2019年福建省中考数学试题(可编辑修改word版)
2019年福建省中考数学试卷-答案(可编辑修改word版)
福建省2019年初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学答案解析1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】()(33)x x ①①12.【答案】1①13.【答案】1 20014.【答案】(1)2①15.【答案】1π①16.【答案】6+17.【答案】解：5,24,x y x y -=⎧⎨+=⎩①①①＋②，得，()24)5(x y x y ①①①①①即，39x ①解得，3x ①把代入②，得，3x ①234y ⨯①①解得．2y ①①所以原方程组的解为32x y =⎧⎨=-⎩【考点】二元一次方程组的解法【考查能力】运算能力18.【答案】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴，90D B ∠∠︒＝＝，AD CB ＝在和中，ADF △CBE △AD CB D B DF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①①∴，ADF CBE △≌△∴．AF CE＝【考点】矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质【考查能力】推理能力19.【答案】解：原式2(21)(1)x x x x--=-- 221(1)x x x x-+=-- 2(1)(1)x x x-=-- 2(1)(1)xx x =-⋅- (1)xx =-当时，原式.1x =1===+【考点】分式的混合运算，因式分解，二次根式的运算【考查能力】运算能力20.【答案】解：（1）即为所求作的三角形．A B C '''△（2）证明∵D ，E ，F 分别是三边AB ，BC ，CA 的中点，ABC △∴，111222DE AC EF AB FD BC ＝，＝，＝同理，．111''''''''''''222D E A C E F A B F D B C ＝，＝，＝∵，ABC A B C '''△∽△=''''AC AB BC A C A B B C =‘’，即111222=111''''222AC AB BC A C A B B C =‘’''''''DE EF FD D E E F F D ==∴DEF D E F '''△∽△【考点】尺规作图，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理【考查能力】推理能力21.【答案】解：（1）在中，，，ABC △90ABC ∠︒＝30ACB ∠︒＝∴．60BAC ∠︒＝由旋转性质得，，．DC AC ＝30DCE ACB ∠∠︒＝＝∴，1180752()DAC ADC DCE ∠∠︒-∠︒＝＝＝又，60EDC BAC ∠∠︒＝＝∴．15ADE ADC EDC ∠∠-∠︒＝＝（2）在中，，，ABC △90ABC ∠︒＝30ACB ∠︒＝∴，12AB AC ＝∵F 是AC 的中点，∴，12BF FC AC ＝＝∴．由旋转性质得，30FBC ACB ∠∠︒＝＝，90AB DE DEC ABC ∠∠︒＝，＝＝，60BCE ACD ∠∠︒＝＝∴，DE BF ＝延长BF 交EC 于点G ，则，90BGE GBC GCB ∠∠∠︒＝＋＝∴，BGE DEC ∠∠＝∴，DE BF A ∴四边形 BEDF 是平行四边形．【考点】图形的旋转，直角三角形，等腰三角形，等边三角形，三角形的内角和，平行四边形的判定【考查能力】运算能力，推理能力22.【答案】解：（1）因为工厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元，又，所以37030688357-=＞35m ＜依题意得，，308123)3(570m m -＋＋＝解得20m ＝故该车间的日废水处理量为20吨．（2）设该厂一天产生的工业废水量为吨．x ①当时，依题意得，，解得，所以．020x ＜≤83010x x ＋≤15x ≥1520x ≤≤②当时，依题意得，，解得，所以．20x ＞12202083010()x x ⨯－＋＋≤25x ≤2025x ＜≤综上所述，，1525x ≤≤故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间．【考点】一元一次方程，一元一次不等式，反比例函数的性质，平均数的概念【考查能力】运算能力，推理能力23.【答案】解：（1）因为100台机器在三年使用期内维修的次数不大于100的台数为10＋20＋30＝60，所以“100台机器在三年使用期内维修的次数不大于10”的频率为，60=0.6100故可估计“1台机器在三年使用期内维修的次数不大于10”的概率为0.6．（2）若每台都购买10次维修服务，则有下表：某台机器使用期内维修次数89101112该台机器的维修费用2400024500250003000035000此时这100台机器维修费用的平均数124000102450020250003030000303500010100100y ⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＝，=27300若每台都购买 11 次维修服务，则有下表：某台机器使用期内维修次数89101112该台机器的维修费用2600026500270002750032500此时这100台机器维修费用的平均数226000102650020270003027500303250010=100y ⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋，=27500因为，所以购买1台该机器的同时应一次性额外购买10次维修服务．12y y ＜【考点】概率，加权平均数，统计表【考查能力】运算能力，推理能力24.【答案】证明：（1）∵，AC BD ⊥∴，90AED ∠︒＝在中，．Rt AED △90ADE CAD ∠︒∠＝－∵，AB AC ＝∴A A AB AC=∴．90ACB ABC ADE CAD ∠∠∠︒∠＝＝＝－在中，，ABC △180BAC ABC ACB ∠∠∠︒＋＋＝∴，即．()(180180290)BAC ABC ACB CAD ∠︒∠∠︒︒∠＝－＋＝－－2BAC CAD ∠=∠（2）∵，DF DC ＝∴，FCD CF ∠∠＝∴，BDC FCD CFD ∠∠∠＝＋∴2BDC CFD∠∠＝∵，且由（1）知，BDC BAC ∠∠＝2BAC CAD ∠∠＝∴，CFD CAD ∠∠＝∵，CAD CBD ∠∠＝∴，CFD CBD ∠∠＝∴，CF CB ＝∵，AC BF ⊥∴，故垂直平分，BE EF ＝CA BF ∴，10AC AB AF ＝＝＝设，则，在和中，，AE x ＝10CE x ＝－Rt ABE △Rt BCE △²²²²²AB AE BE BC CE －＝＝－又∵，BC ＝∴，解得，(()22221010x x -=--6x =∴64AE CE ＝，＝，∴，8BE ∵，，DAE CBE ∠∠＝ADE BCE ∠∠＝∴．ADE BCE △∽△∴AE DE AD BE CE BC==∴3,DE AD ==过点D 作，垂足为H .DH AB ⊥∵，11,1122ABD S AB DH BD AE BD BE DE =⋅=⋅=+=△∴故10116,DH =⨯335DH =在中，Rt ADH △6²²5AH AD DH -＝＝∴112DH tan BAD AH ∠==【考点】圆的有关性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形面积等基础知识【考查能力】运算能力，推理能力25.【答案】解：（1）依题意，，，240b ac △＝－＝22b a-=所以，2440()a ac －－＝因为，所以，即满足的关系式为．0a ≠4c a ＝a c ，4c a ＝（2）①当时，直线为，它与轴的交点为．0k ＝l 1y ＝y (0)1，∵直线与轴平行，1y ＝x ∴等腰直角的直角顶点只能是，且是抛物线的顶点．过作，垂足为，则ABC △A A A AM BC ⊥M ，1AM ＝∴，故点坐标为，1BM MC AM ＝＝＝A (1)0，∴抛物线的解析式可改写为【考点】一次函数和二次函数的图形与性质，等腰直角三角形的性质与判定，图形的对称【考查能力】运算能力，推理能力∴抛物线的解析式可改写为，2(1)y a x =-∵抛物线过点，所以，解得.()0,121(01)a =-1a =所以抛物线的解析式为，即.2(1)y a x =-221y x x =-+②设，则.()()1122,,,B x y C x y ()1,1D x -由得，2121y kx k y x x =+-⎧⎨=-+⎩2(2)0x k x k -++=因为22(2)440k k k =+-=+△＞由抛物线的对称性，不妨设，则，12x x ＜1x =2x =所以，121x x ＜＜设直线的解析式为，则有，解得AD y mx n =+101m n mx n =+⎧⎨-=+⎩111111m x n x ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩所以直线的解析式为.AD 111111y x x x =-+--因为()222221111111111x y x x x x x ⎛⎫---+=-+ ⎪---⎝⎭()()()212111111x x x x -⎡--+⎤⎣⎦=-()21111x x ⎫-+⎪⎪⎝⎭=-0=即，所以点在直线上.22111111y x x x =-+--()22,C x y AD 故对于每个给定的实数，都有三点共线.k ,,A C D。
2019福建省中考数学试卷(详解版)
2019福建省中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）答案解析A.B.C.D.计算的结果是（）．1A，故选：．答案解析A.B.C.D.北京故宫的占地面积约为，将用科学记数法表示为（）．2B．故选．答案解析A.等边三角形B.直角三角形C.平行四边形D.正方形下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．3DA 选项：是轴对称，不是中心对称；B 选项：既不是轴对称，也不是中心对称；C 选项：是中心对称，但不是轴对称；4右图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（从正面看，球的视图是一个圆；长方体的视图是一个长方形，且长方体的长大于球直径，故5已知正多边形的一个外角是6如图是某班甲、乙、丙三位同学最近7下列运算正确的是（8《增删算法统宗》记载：9如图，10若二次函数11因式分解：12如图，数轴上13某校征集校运会会徽图案，遴选出甲、乙，丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了14在平面直角坐标系15如图，边长为16如图，菱形17解方程组：18如图，点19先化简，再求值：20已知21在答案解析某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资组建了日废水处理量为吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本元，并且每处理一吨废水还需其他费用元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付元．根据记录，月日，该厂产生工业废水吨，共花费废水处理费元．22求该车间的日废水处理量．(1)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过元吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．(2)吨．(1)吨到吨之间．(2)因为工厂产生工业废水吨，共花费废水处理费元，又，所以，依题意得，，解得，故该车间的日废水处理量为吨．(1)设该厂一天产生的工业废水量为吨．①当时，依题意得，，解得，所以．②当时，依题意得，，解得，所以，综上所述，，故该厂一天产生的工业废水量的范围在吨到吨之间．(2)某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修还需向维修人员支付工时费元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修需支付维修服务费元，但无需支付工时费．某公司计划购买台该23答案解析种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表：维修次数频数（台数）以这台机器为样本，估计“台机器在三年使用期内维修次数不大于”的概率．(1)试以这台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买台该机器的同时应一次性额外购买次还是次维修服务？(2)．(1)购买台该机器的同时应一次性额外购买次维修服务．(2)因为“台机器在三年使用期内维修次数不大于”的台数为，所以“台机器在三年使用期内维修次数不大于”的频率为，故可估计“台机器在三年使用期内维修次数不大于”的概率为．(1)若每台都购买次维修服务，则有下表：某台机器使用期内维修次数该台机器的维修费用此时这台机器维修费用的平均数，若每台都购买次维修服务，则有下表：某台机器使用期内维修次数该台机器的维修费用此时这台机器维修费用的平均数，因为，所以购买台该机器的同时应一次性额外购买次维修服务．(2)24如图，四边形25已知抛物线设，，则，由得，因为，由抛物线的对称性，不妨设，则，，所以，设直线的解析式为，则有，解得，所以直线的解析式为，因为，即，所以点在直线上，故对于每个给定的实数，都有，，三点共线．2。
福建省2019年中考[数学]考试真题与答案解析
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福建省2019年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题1．计算22+（﹣1）0的结果是（ ）A．5B．4C．3D．2答案解析：原式＝4+1＝5故选：A．2．北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000用科学记数法表示为（ ）A．72×104B．7.2×105C．7.2×106D．0.72×106答案解析：将720000用科学记数法表示为7.2×105．故选：B．3．下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．等边三角形B．直角三角形C．平行四边形D．正方形答案解析：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．4．如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ）A．B．C．D．答案解析：几何体的主视图为：故选：C．5．已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（ ）A．12B．10C．8D．6答案解析：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选：B．6．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（ ）A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳答案解析：A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确D．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误．故选：D．7．下列运算正确的是（ ）A．a•a3＝a3B．（2a）3＝6a3C．a6÷a3＝a2D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0答案解析：A、原式＝a4，不符合题意；B、原式＝8a3，不符合题意；C、原式＝a3，不符合题意；D、原式＝0，符合题意，故选：D．8．《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（ ）A．x+2x+4x＝34685B．x+2x+3x＝34685C．x+2x+2x＝34685D．x+x+x＝34685答案解析：设他第一天读x个字，根据题意可得：x+2x+4x＝34685，故选：A．9．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB 等于（ ）A．55°B．70°C．110°D．125°答案解析：连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．故选：B．10．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D （，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1答案解析：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），∴二次函数的对称轴x＝，∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，∵|a|＞0，∴y1＞y3＞y2；故选：D．二、填空题11．因式分解：x2﹣9＝ （x+3）（x﹣3） ．答案解析：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案为：（x+3）（x﹣3）．12．如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是 ﹣1 ．答案解析：∵数轴上A，B两点所表示的数分别是﹣4和2，∴线段AB的中点所表示的数＝（﹣4+2）＝﹣1．即点C所表示的数是﹣1．故答案为：﹣113．某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有 1200 人．答案解析：由题意得：2000×＝1200人，故答案为：1200．14．在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B（4，2），则其第四个顶点是 （1，2） ．答案解析：∵O（0，0）、A（3，0），∴OA＝3，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA＝3，∵B（4，2），∴点C的坐标为（4﹣3，2），即C（1，2）；故答案为：（1，2）．15．如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是 π﹣1 ．（结果保留π）答案解析：延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，故答案为：π﹣1．16．如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝ 6+2 ．答案解析：连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG ⊥x轴于点G，∵函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，∴O，A，C三点在同直线上，且∠COE＝45°，∴OE＝AE，不妨设OE＝AE＝a，则A（a，a），∵点A在在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴a2＝3，∴a＝，∴AE＝OE＝，∵∠BAD＝30°，∴∠OAF＝∠CAD＝∠BAD＝15°，∵∠OAE＝∠AOE＝45°，∴∠EAF＝30°，∴AF＝，EF＝AEtan30°＝1，∵AB＝AD＝2，AE∥DG，∴EF＝EG＝1，DG＝2AE＝2，∴OG＝OE+EG＝+1，∴D（+1，2），故答案为：6+2．三、解答题17．解方程组．答案解析：，①+②得：3x＝9，即x＝3，把x＝3代入①得：y＝﹣2，则方程组的解为．18．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝CE．19．先化简，再求值：（x﹣1）÷（x﹣），其中x＝+1．答案解析：原式＝（x﹣1）÷＝（x﹣1）•＝，当x＝+1，原式＝＝1+．20．已知△ABC和点A'，如图．（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．答案解析：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即可所求．证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴DE＝，，，∴△DEF∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．21．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．答案解析：（1）解：如图1，∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝AC，∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC，∴BF＝AB，∵△ABC绕点C顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE＝CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．22．某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．（1）求该车间的日废水处理量m；（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．答案解析：（1）∵35×8+30＝310（元），310＜370，∴m＜35．依题意，得：30+8m+12（35﹣m）＝370，解得：m＝20．答：该车间的日废水处理量为20吨．（2）设一天产生工业废水x吨，当0＜x≤20时，8x+30≤10x，解得：15≤x≤20；当x＞20时，12（x﹣20）+8×20+30≤10x，解得：20＜x≤25．综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤25．23．某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；维修次数89101112频率（台数）1020303010（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；（2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？答案解析：（1）“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率＝＝0.6．（2）购买10次时，某台机器使用期内维修次数89101112该台机器维修费用2400024500250003000035000此时这100台机器维修费用的平均数y1＝（24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10）＝27300购买11次时，某台机器使用期内维修次数89101112该台机器维修费用2600026500270002750032500此时这100台机器维修费用的平均数y2＝（26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10）＝27500，∵27300＜27500，所以，选择购买10次维修服务．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．答案解析：（1）∵AB＝AC，∴＝，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD；（2）解：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BDC＝2∠DFC，∴∠BFC＝∠BDC＝∠BAC＝∠FBC，∴CB＝CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10．又BC＝4，设AE＝x，CE＝10﹣x，由AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2，解得x＝6，∴AE＝6，BE＝8，CE＝4，∵∠ACD＝∠ABD，∠CED＝∠BEA，∴△CED∽△BEA，∴＝，∴DE＝＝＝3，∴BD＝BE+DE＝3+8＝11，作DH⊥AB，垂足为H，∵AB•DH＝BD•AE，∴DH＝＝＝，∴BH＝＝，∴AH＝AB﹣BH＝10﹣＝，∴tan∠BAD＝＝＝．25．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．①求点A的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．答案解析：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣4ax+4a，则c＝4a；（2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与y轴的交点为（0，1），又△ABC为等腰直角三角形，∴点A为抛物线的顶点；①c＝1，顶点A（1，0），抛物线的解析式：y＝x2﹣2x+1，②，x2﹣（2+k）x+k＝0，x＝（2+k±），x D＝x B＝（2+k﹣），y D＝﹣1；则D，y C＝（2+k2+k），C，A（1，0），∴直线AD表达式中的k值为：k AD＝＝，直线AC表达式中的k值为：k AC＝，∴k AD＝k AC，点A、C、D三点共线．。
厦门市2019年中考数学试题含答案(word版)
2019年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数 学（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）准考证号 姓名 座位号注意事项：1．全卷三大题，27小题，试卷共4页，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分．3．可直接用2B 铅笔画图．一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 反比例函数y ＝1x的图象是A ． 线段B ．直线C ．抛物线D ．双曲线2. 一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这样的骰子一次，向上一面点数是偶数的结果有A .1种B . 2种C . 3种D ．6种3. 已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是 A . －2xy 2 B . 3x 2 C . 2xy 3 D . 2x 34. 如图1，△ABC 是锐角三角形，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则点C 到直线AB 的距离是 A . 线段CA 的长 B .线段CD 的长 C . 线段AD 的长 D .线段AB 的长 5. 2—3可以表示为A ．22÷25B ．25÷22C ．22×25D ．（－2）×（－2）×（－2）6．如图2，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 分别在边AC ，AB 上， 若∠B ＝∠ADE ，则下列结论正确的是A ．∠A 和∠B 互为补角 B ． ∠B 和∠ADE 互为补角C ．∠A 和∠ADE 互为余角D ．∠AED 和∠DEB 互为余角图27. 某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x 元的衣服以(45x －10) 元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是A . 原价减去10元后再打8折B . 原价打8折后再减去10元C . 原价减去10元后再打2折D . 原价打2折后再减去10元8. 已知sin6°＝a ，sin36°＝b ，则sin 2 6°＝A . a 2B . 2aC . b 2D ． b9．如图3，某个函数的图象由线段AB 和BC 组成，其中点 A （0，43），B （1，12），C （2，53），则此函数的最小值是A ．0B ．12C ．1D ．53图310．如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是边BC 的中点，一个圆过点A ，交边AB 于点E ，且与BC 相切于点D ，则该圆的圆心是 A ．线段AE 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点 B ．线段AB 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点 C ．线段AE 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点 D ．线段AB 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点图4二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．不透明的袋子里装有1个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是 ． 12．方程x 2＋x ＝0的解是 ．13．已知A ，B ，C 三地位置如图5所示，∠C ＝90°，A ，C 两地的距离是B ，C 两地的距离是3 km ，则A ，B 两地的距离是 km ；若A 地在C 地的正东方向，则Ｂ地在C 地的 方向．14．如图6，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是边AD 的中点， 图5若AC ＝10，DC ＝25，则BO ＝ ，∠EBD 的大小约为 度 分．（参考数据：tan26°34′≈12）15．已知(39＋813)×(40＋913)＝a ＋b ，若a 是整数，1＜b ＜2，则a ＝ ． 图616．已知一组数据1，2，3，…，n （从左往右数，第1个数是1，第2个数是2，第3个数是3，依此类推，第n 个数是n ）．设这组数据的各数之和是s ，中位数是k ，则s ＝ （用只含有k 的代数式表示）． 三、解答题（本大题有11小题，共86分）17．（本题满分7分）计算：1－2＋2×(－3)2 ． 18．（本题满分7分）在平面直角坐标系中，已知点A （－3,1），B （－2,0）C （0,1）,请在图7中画出△ABC ，并画出与△ABC关于原点O 对称的图形． 图7 19．（本题满分7分）计算：xx ＋1＋x ＋2x ＋1．20．（本题满分7分）如图8，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，若DE ∥BC ， AD ＝3 ，AB ＝5，求DEBC的值．21．（本题满分7分）解不等式组⎩⎨⎧2x ＞2，x ＋2≤6＋3x .22.（本题满分7分）某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面试和笔试，他们的成绩（百分制）如下表所示．若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？23．（本题满分7分）如图9，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上． 若DE ＝DF ，AD ＝2，BC ＝6，求四边形AEDF 的周长．图924．（本题满分7分）已知实数a ，b 满足a －b ＝1，a 2－ab ＋2＞0，当1≤x ≤2时，函数y ＝ax （a ≠0）的最大值与最小值之差是1，求a 的值．25.（本题满分7分）如图10，在平面直角坐标系中，点A （2，n ），B （m ，n ）（m ＞2），D （p ，q ）(q ＜n ），点B ，D 在直线y ＝12x ＋1上．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，且AB ∥CD ，CD ＝4，BE ＝DE ，△AEB 的面积是2．求证：四边形ABCD 是矩形．图1026．（本题满分11分）已知点A （－2，n ）在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上． （1）若b ＝1，c ＝3，求n 的值； （2）若此抛物线经过点B （4，n ），且二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的最小值是－4，请画出点P （x －1，x 2＋bx ＋c ）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．27．（本题满分12分）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，∠DCB＜90°，对角线AC平分∠DCB，延长DA，CB相交于点E．（1）如图11，EB＝AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；（2）如图12，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF＝30°．当∠ACE≥30°时，判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．图112019年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数学参考答案说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应评分.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）11. 12 12. 0，－1 13. 5；正北14. 5，18,26 15. 1611 16. 2k 2－k三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17．（本题满分7分）解： 1－2＋2×(－3)2＝－1＋2×9＝17. ……………………………7分 18．（本题满分7解：……………………………7分19．（本题满分7分） 解：xx ＋1＋x ＋2x ＋1＝2x ＋2x ＋1……………………………5分 ＝2 ……………………………7分 20．（本题满分7分）解：∵ DE ∥BC ，∴ △ADE ∽△ABC . ……………………………4 ∴ DE BC ＝ADAB . ……………………………6分 ∵ AD AB ＝35，∴ DE BC ＝35. ……………………………7分21．（本题满分7分）解：解不等式2x ＞2，得x ＞1. ……………………………3分解不等式x ＋2≤6＋3x ，得x ≥－2. ……………………………6分不等式组⎩⎨⎧2x ＞2，x ＋2≤6＋3x的解集是x ＞1. ……………………………7分22.（本题满分7分）解：由题意得，甲应聘者的加权平均数是6×87＋4×906＋4＝88.2. ……………………………3分乙应聘者的加权平均数是6×91＋4×826＋4＝87.4. ……………………………6分∵88.2＞87.4，∴甲应聘者被录取. ……………………………7分 23．（本题满分7分）解：∵AB ＝AC ，E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，∴AE ＝AF ＝12AB . ……………………………1分又∵DE ＝DF ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD . ……………………………2分 ∴∠EAD ＝∠F AD .∴AD ⊥BC ， ……………………………3分 且D 是BC 的中点.在R t △ABD 中，∵E 是斜边AB 的中点，∴DE ＝AE . ……………………………6分 同理，DF ＝AF .∴四边形AEDF 的周长是2AB . ∵BC ＝6，∴BD ＝3.又AD ＝2，∴AB ＝13.∴四边形AEDF 的周长是213. ……………………………7分 24．（本题满分7分）解1：由a －b ＝1，a 2－ab ＋2＞0得，a ＞－2. ……………………………2分∵a ≠0，（1）当－2＜a ＜0时， ……………………………3分 在1≤x ≤2范围内y 随x 的增大而增大， ∴ a2－a ＝1. ∴ a ＝－2 ……………………………4分 不合题意，舍去.（2）当a ＞0时， ……………………………5分 在1≤x ≤2范围内y 随x 的增大而减小，∴ a －a2＝1.∴ a ＝2. ……………………………6分 综上所述a ＝2. ……………………………7分解2：（1）当a ＜0时， ……………………………1分 在1≤x ≤2范围内y 随x 的增大而增大， ∴ a2－a ＝1. ∴ a ＝－2. ……………………………2分 ∴ b ＝－3.而a 2－ab ＋2＝0，不合题意，∴a ≠－2. ……………………………3分 （2）当a ＞0时， ……………………………4分 在1≤x ≤2范围内y 随x 的增大而减小， ∴ a －a2＝1.∴ a ＝2. ……………………………5分 ∴ b ＝1. 而a 2－ab ＋2＝4＞0，符合题意，∴ a ＝2. ……………………………6分 综上所述， a ＝2. ……………………………7分25.（本题满分7分）解1：∵ AB ∥CD ，∴∠EAB ＝∠ECD ，∠EBA ＝∠EDC . ∵ BE ＝DE ，∴ △AEB ≌△CED . ……………………………1分 ∴ AB ＝CD ＝4.∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形. ……………………………2分 A （2，n ），B （m ，n ）（m ＞2）， ∴ AB ∥x 轴，且CD ∥x 轴.∵ m ＞2，∴m ＝6. ……………………………3分 ∴n ＝12×6＋1＝4.∴ B （6，4）. ∵△AEB 的面积是2，∴△AEB 的高是1. ……………………………4分 ∴平行四边形ABCD 的高是2. ∵ q ＜n ， ∴q ＝2.∴p ＝2， ……………………………5分 即D （2，2）. ∵点A （2，n ），∴DA ∥y 轴. ……………………………6分∴AD ⊥CD ，即∠ADC ＝90°.∴四边形ABCD 是矩形. ……………………………7分解2：∵AB ∥CD ，∴∠EAB ＝∠ECD ，∠EBA ＝∠EDC . ∵ BE ＝DE ，∴ △AEB ≌△CED . ……………………………1分∴ AB ＝CD ＝4. ∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形. ……………………………2分 ∵A （2，n ），B （m ，n ）（m ＞2）， ∴ AB ∥x 轴，且CD ∥x 轴.∵ m ＞2，∴m ＝6. ……………………………3分 ∴n ＝12×6＋1＝4.∴ B （6，4）.过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ， ∵△AEB 的面积是2，∴EF ＝1. ……………………………4分 ∵ q ＜n ，∴点E 的纵坐标是3. ∴点E 的横坐标是4.∴点F 的横坐标是4. ……………………………5分 ∴点F 是线段AB 的中点.∴直线EF 是线段AB 的中垂线.∴EA ＝EB . ……………………………6分 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AE ＝EC ，BE ＝ED .∴AC ＝BD .∴四边形ABCD 是矩形. ……………………………7分 26．（本题满分11分）（1）解：∵ b ＝1，c ＝3，∴ y ＝x 2＋x ＋3. ……………………………2分 ∵点A （－2，n ）在抛物线y ＝x 2＋x ＋3上，∴n ＝4－2＋3 ……………………………3分 ＝5. ……………………………4分 （2）解：∵点A （－2，n ），B （4，n ）在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，∴⎩⎨⎧4－2b ＋c ＝n ，16＋4b ＋c ＝n .∴b ＝－2.∴顶点的横坐标是－b2＝1.即顶点为（1，－4）. ∴－4＝1－2＋c .∴c ＝－3. ……………………………7分∴P （x －1，x 2－2x －3）.∵将点（x ，x 2－2x －3）向左平移一个单位得点P （x －1，x 2－2x －3）， ∴将点（x ，x 2－2x －3）的纵坐标随横坐标变化的函数的图象向左平移 一个单位后可得点P （x －1，x 2－2x －3）的纵坐标随横坐标变化的函 数的图象. ……………………………8分 设p ＝x －1，q ＝x 2－2x －3，则q ＝p 2－4.画出抛物线q ＝p 2－4的图象. ……………………………11分 27．（本题满分12分）（1）证明：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ADC ＝90°，∴∠ABC ＝90°.∴∠ABE ＝90°. ……………………………1分 ∵AC 平分∠DCB ，∴∠ACB ＝∠ACD . ……………………………2分 ∴AB ＝AD . ……………………………3分 ∵EB ＝AD ，∴EB ＝AB . ……………………………4分∴△ABE 是等腰直角三角形. ……………………………5分（2）直线EF 与⊙O 相离.证明：过O 作OG ⊥EF ，垂足为G . 在Rt △OEG 中， ∵∠OEG ＝30°，∴OE ＝2OG . ……………………………6分∵∠ADC ＝90°,∴AC 是直径. 设∠ACE ＝α，AC ＝2r . 由（1）得∠DCE ＝2α，又∠ADC ＝90°， ∴∠AEC ＝90°－2α. ∵α≥30°，∴（90°－2α）－α≤0. ……………………………8分 ∴∠AEC ≤∠ACE .∴AC ≤AE . ……………………………9分 在△AEO 中，∠EAO ＝90°＋α， ∴∠EAO ＞∠AOE .∴EO ＞AE . ……………………………10分 ∴EO －AE ＞0.由AC ≤AE 得AE －AC ≥0. ∴EO －AC ＝EO ＋AE －AE －AC＝（EO －AE ）＋（AE －AC ）＞0. ∴EO ＞AC . 即2OG ≥2r .∴OG ＞r . ……………………………11分 ∴直线EF 与⊙O 相离. ……………………………12分。
福建省2019中考数学试题(含答案)-精编
2019年福建省中考数学试题及答案一、选择题(每小题4分，共40分)1.计算22+(－1)°的结果是( ).A.5B.4C.3D.22.北京故宫的占地面积约为720 000m 2，将720 000用科学记数法表示为( ).A.72×104B.7.2×105C.7.2×106D. 0.72×1063.下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ). A.等边三角形 B.直角三角形 C.平行四边形 D.正方形4.右图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是( ).5.已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ). A.12 B.10 C.8 D.66.如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是( ).A.甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D.就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳 7.下列运算正确的是( ). A.a ·a 3= a 3 B.(2a )3=6a 3 C. a 6÷a 3= a 2 D.(a 2)3－(－a 3)2=0 8.问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有34 685个字，设他第一天读x 个字，则下面所列方程正确的是( ).A. x +2x +4x =34 685B. x +2x +3x =34 685C. x +2x +2x =34 685D. x +21x +41x =34 685 9.如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上， 且∠ACB ＝55°，则∠APB 等于( ).A.55°B.70°C.110°D.125°10.若二次函数y =|a |x 2+bx+c 的图象经过A(m ,n )、B(0,y 1)、C(3－m ,n )、，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ).A. y 1< y 2< y 3B. y 1 < y 3< y 2C. y 3< y 2< y 1D. y 2< y 3< y 1 二、填空题(每小题4分，共24分)11.因式分解：x 2－9=__( x +3)( x －3)_____.12.如图，数轴上A 、B 两点所表示的数分别是－4和2，点C 是线段AB 的中点，则点C 所表示的数是__－1_____.13.某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有__1200_____人.14.中在平面直角坐标系xOy 中，□OABC 的三个顶点O (0,0)、A (3,0) 、P主视方向 DCE O0-4(第12题)B (4,2),则其第四个顶点是是__(1,2)_____.15.如图,边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的⊙O 的圆心重合, E 、F 分别是AD 、BA 的延长与⊙O 的交点,则图中阴影部分的面积 是__π－1_____.(结果保留π) 16.如图,菱形ABCD 顶点A 在例函数y =x3(x >0)的图象上，函数 y =xk(k >3，x >0)的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D 两点，若AB ＝2，∠DAB ＝30°，则k 的值为_6+23______.三、解答题(共86分) 17. (本小题满分8分) 解方程组：⎩⎨⎧=+=-425y x y x解：⎩⎨⎧-==23y x18. (本小题满分8分)如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边 AB 、CD 上的一点，且DF ＝BE . 求证：AF=CE .解：（略）19. (本小题满分8分) 先化简，再求值：(x －1)÷(x －xx 12-),其中x =2+1 解：原式=1-x x, 1+2220. (本小题满分8分)如图，已知△ABC 为和点A'.(1)以点A'为顶点求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC ，S △A'B'C'=4S △ABC ; (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)设D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，求证：△DEF ∽△D'E'F'.FEDCBA A'CB AC B A(2)证明(略)21. (本小题满分8分)在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到△AED ，点B 、C 的对应点分别是E 、D .(1)如图1，当点E 恰好在AC 上时，求∠CDE 的度数；(2)如图2，若α=60°时，点F 是边AC 中点，求证：四边形BFDE 是平行四边形.22.(本小题满分10分)某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理. 但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理. 已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元. (1)求该车间的日废水处理量m ；(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围. 解：(1)∵处理废水35吨花费370，且3530370-＝768>8，∴m <35, ∴30+8m +12(35－m )＝370，m ＝20(2)设一天生产废水x 吨,则当0< x ≤20时，8x +30≤10 x ， 15≤x ≤20当x >20时，12(x －20)+160+30≤10x ， 20<x ≤25 综上所述，15≤x ≤20 23.(本小题满分10分) 某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元.每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费某公司计划购实1台该种机器，为决(图1)EDC B A (图2)FE D C B A策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；(1)以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；(2)试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？ 解： (1)0.6(2)购买10次时，此时这100台机器维修费用的平均数 y 1=1001(24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10)＝27300 购买11次时，此时这100台机器维修费用的平均数 y 2=1001(26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10)＝27500 所以，选择购买10次维修服务.24. (本小题满分12分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB=AC ，BD ⊥AC ，垂足为E ，点F 在BD 的延长线上，且DF =DC ，连接AF 、CF .(1)求证：∠BAC =2∠DAC ；(2)若AF ＝10，BC ＝45，求tan ∠BAD 的值. 解：(1)∵BD ⊥AC ，CD=CD ， ∴∠BAC =2∠CBD =2∠CAD ; (2)∵DF =DC ， ∴∠BFC =21∠BDC =21∠BAC =∠FBC , ∴CB=CF ,又BD ⊥AC ，∴AC 是线段BF 的中垂线，AB= AF =10, AC =10. 又BC ＝45，设AE ＝x , CE =10－x ,AB 2－AE 2=BC 2－CE 2, 100－x 2=80－(10－x )2, x =6 ∴AE =6,BE =8,CE =4,("1,2,5";"3,4,5";Rt △组合) ∴DE =BE CE AE ⋅=846⨯=3, FEDCBA HFEDCBA作DH ⊥AB ，垂足为H ，则DH=BD ·sin ∠ABD =11×53=533, BH= BD ·cos ∠ABD =11×54=544∴AH =10－544＝56∴tan ∠BAD =AH DH =633=21125.已知抛物y=ax 2+bx+c (b <0)与轴只有一个公共点. (1)若公共点坐标为(2，0)，求a 、c 满足的关系式；(2)设A 为抛物线上的一定点，直线l ：y=kx+1－k 与抛物线交于点B 、C 两点，直线BD 垂直于直线y =－1,垂足为点D .当k ＝0时，直线l 与抛物线的一个交点在 y 轴上，且△ABC 为等腰直角三角形.①求点A 的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数 k ，都有A 、D 、C 三点共线. 解：(1) y=a (x －2)2, c =4a ;(2) y=kx+1－k = k (x －1)+1过定点(1,1),且当k ＝0时，直线l 变为y =1平行x 轴,与轴的交点为(0,1) 又△ABC 为等腰直角三角形，∴点A 为抛物线的顶点 ①c =1，顶点A (1,0)抛物线的解析式: y = x 2－2x +1.②⎩⎨⎧-+=+-=k kx y x x y 1122x 2－(2+k)x +k ＝0,x ＝21(2+k ±42+k )x D ＝x B ＝21(2+k －42+k ), y D =－1； D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+1,2412k k y C ＝21(2+k 2+k 42+k , C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++2)4(1,24122k k k k k , A (1,0) ∴直线AD 的斜率k AD =422+--k k =242++k k ,直线AC 的斜率k AC =242++k k∴k AD = k AC , 点A 、C 、D 三点共线.。
2019年福建省福州市中考数学试卷及解析(word版)
2019年福建省福州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（2019年福建福州）﹣5的相反数是（）A．﹣5 B．5C．D．﹣分析：根据相反数的定义直接求得结果．解：﹣5的相反数是5．故选：B．点评：本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．2．（2019年福建福州）地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记数法表示为（）A．11×104B．1.1×105C．1.1×104D．0.11×105分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将110000000用科学记数法表示为：1.1×105．故选：B．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（2019年福建福州）某几何体的三视图如图，则该几何体是（）A．三棱柱B．长方体C．圆柱D．圆锥分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选D．点评：考查了由三视图判断几何体的知识，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为锥体．4．（2019年福建福州）下列计算正确的是（）A．x4•x4=x16B．（a3）2=a5C．（ab2）3=ab6D．a+2a=3a分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，幂的乘方，底数不变指数相乘，积的乘方，先把积的每一个因式分别乘方，再把所得到幂相乘，合并同类项，即把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．对各小题计算后利用排除法求解．解；A．x4•x4=x16，故本小题错误；B．（a3）2=a5，故本小题错误；C．（ab2）3=ab6故本小题错误；D．a+2a=3a，正确．故选：D．点评：本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项，熟练掌握运算性质并理清指数的变化是解题的关键．5．（2019年福建福州）若7名学生的体重（单位：kg）分别是：40，42，43，45，47，47，58，则这组数据的平均数是（）A．44 B．45 C．46 D．47分析：先求出这组数的和，然后根据“总数÷数量=平均数”进行解答即可；解：平均数为：（40+42+43+45+47+47+58）÷7=322÷7=46（千克）；故选C．点评：此题考查了平均数的计算方法，牢记计算方法是解答本题的关键，难度较小．6．（2019年福建福州）下列命题中，假命题是（）A．对顶角相等B．三角形两边的和小于第三边C．菱形的四条边都相等D．多边形的外角和等于360°分析：分别利用对顶角的性质、三角形的三边关系、菱形的性质及多边形的外角和对四个选项分别判断后即可确定正确的选项．解：A、对顶角相等，正确，是真命题；B、三角形的两边之和大于第三边，错误，是假命题；C、菱形的四条边都相等，正确，是真命题；D、多边形的外角和为360°，正确，为真命题，故选B．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟知对顶角的性质、三角形的三边关系、菱形的性质及多边形的外角和定理，属于基础知识，难度较小．7．（2019年福建福州）若（m﹣1）2+=0，则m+n的值是（）A．﹣1 B．0C．1D．2分析：根据非负数的性质，可求出m、n的值，然后将代数式化简再代值计算．解：∵（m﹣1）2+=0，∴m﹣1=0，n+2=0；∴m=1，n=﹣2，∴m+n=1+（﹣2）=﹣1故选：A．点评：考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．8．（2019年福建福州）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．=B．=C．=D．=分析：根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．解：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产（x+50）台．依题意得：=．故选：A．点评：此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．9．（2019年福建福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°分析：根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD又∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD=DE，∠DAE=60°∴AD=AE∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°又∵∠BAC=45°∴∠BFC=45°+15°=60°故选：C．点评：本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠ABE=15°．10．（2019年福建福州）如图，已知直线y=﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=交于E，F两点，若AB=2EF，则k的值是（）A．﹣1 B．1C．D．分析：作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，先利用一次函数图象上点的坐标特征得到A（2，0），B（0，2），易得△AOB为等腰直角三角形，则AB=OA=2，所以EF=AB=，且△DEF为等腰直角三角形，则FD=DE=EF=1；设F点坐标为（t，﹣t+2），则E点坐标为（t+1，﹣t+1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到t（﹣t+2）=（t+1）•（﹣t+1），解得t=，这样可确定E点坐标为（，），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=×．解：作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，2），OA=OB，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AB=OA=2，∴EF=AB=，∴△DEF为等腰直角三角形∴FD=DE=EF=1，设F点坐标为（t，﹣t+2），则E点坐标为（t+1，﹣t+1），∴t（﹣t+2）=（t+1）•（﹣t+1），解得t=，∴E点坐标为（，），∴k=×=．故选D．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（2019年福建福州）分解因式：ma+mb=．分析：这里的公因式是m，直接提取即可．解：ma+mb=m（a+b）．点评：本题考查了提公因式法分解因式，公因式即多项式各项都含有的公共的因式．12．（（2019年福建福州）若5件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，则抽到不合格产品的概率是．分析：根据不合格品件数与产品的总件数比值即可解答．解：∵在5个外观相同的产品中，有1个不合格产品，∴从中任意抽取1件检验，则抽到不合格产品的概率是：．故答案为：．点评：本题主要考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．13．（2019年福建福州）计算：（+1）（﹣1）=．分析：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．解：（+1）（﹣1）=．点评：本题应用了平方差公式，使计算比利用多项式乘法法则要简单．14．（2019年福建福州）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则▱ABCD 的周长是．分析：根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD，∵在▱ABCD中，AD=6，BE=2，∴AD=BC=6，∴CE=BC﹣BE=6﹣2=4，∴CD=AB=4，∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20．故答案为：20．点评：本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．15．（2019年福建福州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=BC．若AB=10，则EF的长是．分析：根据三角形中位线的性质，可得DE与BC的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得DC与EF的关系，根据直角三角形的性质，可得DC与AB的关系，可得答案．解：如图，连接DC．DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=，∵CF=BC，∴DE∥CF，DE=CF，∴CDEF是平行四边形，∴EF=DC．∵DC是Rt△ABC斜边上的中线，∴DC==5，∴EF=DC=5，故答案为：5．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（满分90分）16．（2019年福建福州）（1）计算：+（）0+|﹣1|；（2）先化简，再求值：（x+2）2+x（2﹣x），其中x=．分析：（1）本题涉及零指数幂、绝对值、二次根式化简三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）根据完全平方公式、单项式成多项式，可化简整式，根据代数式求值，可得答案．解：（1）原式=3+1+1=5；（2）原式=x2+4x+4+2x﹣x2=6x+4，当x=时，原式=6×+4=2+4=6．点评：本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、绝对值、二次根式的运算．17．（2019年福建福州）（1）如图1，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：∠A=∠D．（2）如图2，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上．①sinB的值是；②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C与C1相对应），连接AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B的面积．分析：（1）根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据正弦函数的定义，可得答案；根据轴对称性质，可作轴对称图形，根据梯形的面积公式，可得答案．（1）证明：BE=CF，∴BE+EF=CF+EF．即BF=CE．在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS）．∴∠A=∠D；（2）解：①∵AC=3，BC=4，∴AB=5．sinB=；②如图所示：由轴对称性质得AA1=2，BB1=8，高是4，∴==20．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等式的性质，全等三角形的判定与性质．18．（2019年福建福州）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级，75≤x≤85为B级，60≤x≤75为C级，x＜60为D级．现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了名学生，α=%；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为度；（4）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？分析：（1）根据B级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用A级的人数除以总数即可求出a；（2）用抽取的总人数减去A、B、D的人数，求出C级的人数，从而补全统计图；（3）用360度乘以C级所占的百分比即可求出扇形统计图中C级对应的圆心角的度数；（4）用D级所占的百分比乘以该校的总人数，即可得出该校D级的学生数．解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生数是：=50（人），a=×100%=24%；故答案为：50，24；（2）等级为C的人数是：50﹣12﹣24﹣4=10（人），补图如下：（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为×360°=72°；故答案为：72；（4）根据题意得：2000×=160（人），答：该校D级学生有160人．点评：此题考查了是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19．（2019年福建福州）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元．（1）求A，B两种商品每件各是多少元？（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？分析：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，根据关系式列出二元一次方程组．（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件，根据关系式列出二元一次不等式方程组．求解再比较两种方案．解：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，依题意，得，解得．答：A商品每件20元，B商品每件50元．（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件解得5≤a≤6根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6．方案一：当a=5时，购买费用为20×5+50×（10﹣5）=350元；方案二：当a=6时，购买费用为20×6+50×（10﹣6）=320元；∵350＞320∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低．答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低．点评：此题主要考查二元一次方程组及二元一次不等式方程组的应用，根据题意得出关系式是解题关键．20．（2019年福建福州）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆．（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径．分析：（1）根据题意得出AE的长，进而得出BE=AE，再利用tan∠ACB=，求出EC的长即可；（2）首先得出AC的长，再利用圆周角定理得出∠D=∠M=60°，进而求出AM的长，即可得出答案．解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴∠AEB=∠AEC=90°，在Rt△ABE中，∵sinB=，∴AE=ABsinB=3sin45°=3×=3，∵∠B=45°，∴∠BAE=45°，∴BE=AE=3，在Rt△ACE中，∵tan∠ACB=，∴EC====，∴BC=BE+EC=3+；（2）连接AO并延长到⊙O上一点M，连接CM，由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=，∴AC=2，∵∠D=∠M=60°，∴sin60°===，解得：AM=4，∴⊙O的半径为2．点评：此题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数关系应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键．21．（2019年福建福州）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．（1）当t=秒时，则OP=1，S△ABP=；（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ•BP=3．分析：（1）如答图1所示，作辅助线，利用三角函数或勾股定理求解；（2）当△ABP是直角三角形时，有三种情形，需要分类讨论；（3）如答图4所示，作辅助线，构造一对相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似关系证明结论．（1）解：当t=秒时，OP=2t=2×=1．如答图1，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△POD中，PD=OP•sin60°=1×=，∴S△ABP=AB•PD=×（2+1）×=．（2）解：当△ABP是直角三角形时，①若∠A=90°．∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，∴∠A≠90°，故此种情形不存在；②若∠B=90°，如答图2所示：∵∠BOC=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，又OP=2t，∴t=1；③若∠APB=90°，如答图3所示：过点P作PD⊥AB于点D，则OD=OP•cos30°=t，PD=OP•sin60°=t，∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB﹣OD=1﹣t．在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA2+PB2=AB2∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）=AB2，即[（2+t）2+（t）2]+[（1﹣t）2+（t）2]=32解方程得：t=或t=（负值舍去），∴t=．综上所述，当△ABP是直角三角形时，t=1或t=．（3）证明：如答图4，过点O作OE∥AP，交PB于点E，则有，∴PE=PB．∵AP=AB，∴∠APB=∠B，∵OE∥AP，∴∠OEB=∠APB，∴∠OEB=∠B，∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．∵AQ∥PB，∴∠OAQ+∠B=180°，∴∠OAQ=∠3；∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，∴∠1=∠2；∴△OAQ∽△PBO，∴，即，化简得：AQ•PB=3．点评：本题是运动型综合题，考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程等多个知识点．第（2）问中，解题关键在于分类讨论思想的运用；第（3）问中，解题关键是构造相似三角形，本问有多种解法，可探究尝试．22．（2019年福建福州）如图，抛物线y=（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．分析：（1）根据二次函数性质，求出点A、B、D的坐标；（2）如何证明∠AEO=∠ADC？如答图1所示，我们观察到在△EFH与△ADF中：∠EHF=90°，有一对对顶角相等；因此只需证明∠EAD=90°即可，即△ADE为直角三角形，由此我们联想到勾股定理的逆定理．分别求出△ADE三边的长度，再利用勾股定理的逆定理证明它是直角三角形，由此问题解决；（3）依题意画出图形，如答图2所示．由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．利用二次函数性质求出EP2最小时点P的坐标，并进而求出点Q的坐标．（1）解：顶点D的坐标为（3，﹣1）．令y=0，得（x﹣3）2﹣1=0，解得：x1=3+，x2=3﹣，∵点A在点B的左侧，∴A（3﹣，0），B（3+，0）．（2）证明：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD=3．令x=0，得y=，∴C（0，）．∴CG=OC+OG=+1=，∴tan∠DCG=．设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣）=．由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG．∴tan∠EOM=tan∠DCG==，解得EM=2，∴DE=EM+DM=3．在Rt△AEM中，AM=，EM=2，由勾股定理得：AE=；在Rt△ADM中，AM=，DM=1，由勾股定理得：AD=．∵AE2+AD2=6+3=9=DE2，∴△ADE为直角三角形，∠EAD=90°．设AE交CD于点F，∵∠AEO+∠EFH=90°，∠ADC+AFD=90°，∠EFH=∠AFD（对顶角相等），∴∠AEO=∠ADC．（3）解：依题意画出图形，如答图2所示：由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2=（）2+（y﹣2）2．∵y=（x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2=2y+2．∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5当y=1时，EP2有最小值，最小值为5．将y=1代入y=（x﹣3）2﹣1，得（x﹣3）2﹣1=1，解得：x1=1，x2=5．又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1=1舍去．∴P（5，1）．此时点Q坐标为（3，1）或（，）．点评：本题是二次函数压轴题，涉及考点众多，难度较大．第（2）问中，注意观察图形，将问题转化为证明△ADE为直角三角形的问题，综合运用勾股定理及其逆定理、三角函数（或相似形）求解；第（3）问中，解题关键是将最值问题转化为求EP2最小值的问题，注意解答中求EP2最小值的具体方法．第 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2019年福建省中考数学试卷
2019年福建省中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1. （4分）计算22+ （- 1）0的结果是（）C. 32. （4分）北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000用科学记数法表示为（）A . 72 X 104 B. 7.2X 105 C . 7.2 X 106 D . 0.72X 1063. （4分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形 B .直角三角形C.平行四边形D.正方形4. （4分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）)D . 66. （4分）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）1QC1A .甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B. 乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C. 丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高第1页（共22页）第2页（共22页）D •就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳 7. （4分）下列运算正确的是（ ）A . a?a 3= a 3B . （2a ） 3= 6a 3C . a 6* a 3= a 2D . （a 2）3-（ - a 3） 2= 0& （4分）《增删算法统宗》记载： “有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？ ”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的 字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有 34685个字，设他第一天读x 个字，则下面所列方程正确的是（ ）B. x+2x+3x = 34685 D . x+ x+ x = 34685B 为切点，点C 在O O 上，且/ ACB = 55°，则/2 1A. y 1V y 2< y 3 B . y 1< y 3< y 2 二、填空题（每小题 4分，共24分） 11 . （4分）因式分解：x 2- 9 = ________12 . （4分）如图，数轴上 A 、B 两点所表示的数分别是- 4和2,点C 是线段AB 的中点, 则点C 所表示的数是 _________13 . （4分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎，ACS随机调查了该校* 100名学生，识中60名同学喜欢甲图案，若该校共有 2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有 ___________ 人.14 . （4分）在平面直角坐标系 xOy 中，？ OABC 的三个顶点 0（ 0，0）、A （3，0）、B （4，A . x+2x+4x = 34685 C . x+2x+2x = 346859. (4分)如图，PA 、PB 是O O 切线，A 、 APB 等于()C . 110°=|a|x 2+bx+c 的图象经过 A (m , n )、B (0, y i )、 125°C (3 - m , n )、DC . y 3< y 2< y 1D . y 2< y 3< y 1y =y 3）,则y i 、y 2、y 3的大小关系是（70° B .第3页（共22页）2）,则其第四个顶点是 ________.15. （4分）如图，边长为 2的正方形ABCD 中心与半径为2的O O 的圆心重合，E 、F 分别 是AD 、BA 的延长与O O 的交点，则图中阴影部分的面积是•（结果保留n ）ABCD 顶点A 在函数y = （x >0）的图象上，函数 y =（ k > 3, xB 、、p 两点，若 AB = 2, ，则k18. （8分）如图，点D.__£19勺分）先化简, E 、F 分别是矩形 [2x+y=4ABCD 的边AB 、CD 上的一点，且 ），其中 x = +1 .DF = BE .求证:20. （8分）已知 △ ABC 和点A',如图.2x-l（1）以点A'为一个顶点作 △ A'B'C', 使△ A'B'C'sA ABC , y[2且△ A'B'C'的面积等于 △ ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设D 、E 、F 分别是△ ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点, D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边 A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△ DEF D'E'F'.AC 对称，且经过点 再求值：（x - 1）((1)以这100台机器为样本，估计 1台机器在三年 第4页(共使用期内维修次数不大于10”的概22页)(1) 当点E 恰好在 AC 上时，如图1,求/ ADE 的大小；(2) 若a= 60°时，点F 是边AC 中点，如图2,求证：四边形 BEDF 是平行四边形.严绿水青山就是金山银山 “的发展理念，投资组建了日废水处理量为m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理•但随着工厂生产规模 的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废 水交给第三方企业处理•已知该车间处理废水，每天需固定成本 30元，并且每处理一吨 废水还需其他费用 8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付 12元•根据记录，5月21日，该厂产生工业废水 35吨，共花费废水处理费 370元. (1) 求该车间的日废水处理量 m ；(2) 为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处 理的平均费用不超过 10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.23. (10分)某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元.每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费 500元;如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费次数，整理得下表;维修次数8910111221C(8 分)在 Rt △ ABC 中，/ 定的角度=%得到△ DEC ，点=90° , / ACB = 30 B 的对应点分别是D 、 ，将△ ABC 绕点A 顺时针旋转 E .5000元，但无需支付工时费•某公司计划购买 1台该种机器，为决策在购买机器时应同 时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修为贯彻落实(10分)某22 B（第5页(共22页)率；(2)试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买 1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？(12分)如图，四边形 ABCD 内接于O O , AB = AC , AC 丄BD ，垂足为E ,点F 在BD 的延长线上，且 DF = DC ,连接 AF 、CF . (1) 求证：/ BAC = 2/CAD ;(2) 若 AF = 10, BC = 4 ，求 tan / BAD 的值.抛物 y = ax 2+bx+c (b v 0)与x 轴只有一个公共点.(1)若抛物线与x 轴的公共点坐标为(2, 0),求a 、c 满足的关系式 (2)设A 为抛物线上的一定点，直线I: y = kx+1 - k 与抛物线交于点 B 、C ,直线BD 垂直于直线y =- 1,垂足为点D .当k = 0时，直线I 与抛物线的一个交点在 y 轴上，且△ABC 为等腰直角三角形.① 求点A 的坐标和抛物线的解析式；② 证明：对于每个给定的实数 k ,都有A 、D 、C 三点共线.24 25 （14 分）2019 年福建省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40 分）1. （4分）计算22+ （- 1）0的结果是（）A ．5 B．4 C．3 D．2【分析】分别计算平方、零指数幂，然后再进行实数的运算即可.【解答】解：原式=4+1 = 5故选： A .【点评】此题考查了实数的运算，解答本题关键是掌握零指数幂的运算法则，难度一般.2. （4分）北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000用科学记数法表示为（）A . 72X 104B . 7.2X 105C . 7.2X 106D . 0.72X 106【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a x I0n,其中1 w|a|v 10, n为整数, 据此判断即可．【解答】解：将720000 用科学记数法表示为7.2X 105．故选： B ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法•科学记数法的表示形式为 a x 10n的形式，其中1 < |a|v 10, n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.3．（4 分）下列图形中,一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A .等边三角形B .直角三角形C.平行四边形 D .正方形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确.故选： D ．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴,图第6 页（共22 页）形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180 度后两部分重合第7 页（共22 页）4. （4分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）【解答】解：几何体的主视图为:故选：C.）【点评】’此题考查了简单组合体的三视图，主视图即为从正面看几何体得到的视图.5. （4分）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（）A. 12 B . 10 C. 8 D. 6【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案.【解答】解：360°+ 36° = 10,所以这个正多边形是正十边形.故选：B.【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理.是需要识记的内容.6. （4分）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）A •甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B •乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C. 丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D •就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来•以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化.方差是反映一组数据的波动大小的一个量•方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好【解答】解：A.甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；B •乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确D •就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误.故选： D •【点评】本题是折线统计图，要通过坐标轴以及图例等读懂本图，根据图中所示的数量解决问题.7. (4分)下列运算正确的是( )A •a?a3= a3B. (2a) 3= 6a3C. a6* a3= a2D. (a2) 3-( - a3) 2= 0【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=a4,不符合题意；B、原式=8a3,不符合题意；C、原式=a3,不符合题意；D、原式=0,符合题意，故选： D ．【点评】此题考查了整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．(4 分)《增删算法统宗》记载：“ 有个学生资性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多, 问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧,三天读完一部《孟子》,每天阅读的字数是前一天的两倍,问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685 个字,设他第一天读x 个字,则下面所列方程正确的是( )A • x+2x+4x= 34685 B. x+2x+3x= 34685第8 页(共22 页)C. x+2x+2x= 34685D. x+ x+ x= 34685【分析】设他第一天读x个字，根据题意列出方程解答即可.【解答】解：设他第一天读x个字，根据题意可得：x+2x+4x= 34685,故选：A.【点评】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程.9. （4分）如图，PA、PB是O O切线，A、B为切点，点C在O O上，且/ ACB = 55°，则/APB等于（）D. 125°OA, 0B,求得/AOB = 110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解.【解答】解：连接OA, OB,••• PA, PB是O O的切线，••• PA丄OA, PB 丄OB ,•••/ ACB = 55 ° ,•••/AOB = 110° ,•••/ APB = 360° - 90° - 90° - 110° = 70° .故选：B.泊勺内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出/ AOB的度数.第9页（共22页）10. （4 分）若二次函数y=|a『+bx+c 的图象经过A （m, n）、B （0, y1）、C （3 - m, n）、D第9页（共22页）第i0页(共22页)(,y 2)、E (2, y 3),则 y i 、y 2、y 3 的大小关系是( )【解答】解：T•数轴上A , B 两点所表示的数分别是- 4和2,•线段AB 的中点所表示的数= (-4+2 )=- i .即点C 所表示的数是-i .1故答案为：-i7【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键.A . y i v y 2V y 3B . y i v y 3V y 2C . y 3v y 2v y iD . n )的对称性，可求函数的对称轴为y 2V y 3V y ix =，再由B(0, y i )、D (, y 2) > E ( 2, y 3)与对称轴的距离，即可判断【解答】解：T 经过A (m , n )、C ( 3 - m , n ),•••二次函数的对称轴 x =,y i > y 3> y 2；2TB (0,y i )、D ( , y 2)、E (2, •••|a|> 0, 2二 y i > y 3> y 2；1^1故选：D .y 3)与对称轴的距离 B 最远，D 最近,【点评】 本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关 键.二、填空题(每小题 4分，共24分) ii.(4 分)因式分解： x 2- 9 =(x+3) (x - 3).【分析】原式利用平方差公式分解即可. 故答案为：(x+3) (x - 3).【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键. i2. (4分)如图，数轴上 A 、B 两点所表示的数分别是-4和2,点C 是线段AB 的中点,则点C 所表示的数是 —iACa- A 所表示的数即可.■P4和2,禾U 用中点公式求出线段 AB 的中点由点 A (m , n )、C (3 - m ,【分析】根据A 、B 两点所表示的数分别为-13. (4分)某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案•为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有1200人.【分析】用总人数乘以样本中喜欢甲图案的频率即可求得总体中喜欢甲图案的人数.【解答】解：由题意得：2000 X = 1200人，故答案为：1200.【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中喜欢甲图案的频率，难度不大.14. (4分)在平面直角坐标系xOy中，？ OABC的三个顶点0(0, 0)、A (3 , 0)、B (4,2),则其第四个顶点是(1, 2).【分析】由题意得出OA = 3，由平行四边形的性质得出BC// OA , BC = OA = 3,即可得出结果.【解答】解：•/O (0, 0)、A ( 3, 0),OA= 3,•••四边形OABC是平行四边形，••• BC / OA, BC = OA= 3,B (4, 2),•点C的坐标为(4 - 3, 2),即 C (1, 2);故答案为：(1, 2).【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.15. (4分)如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的O O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与O O的交点，则图中阴影部分的面积是n- 1 .(结果保留n)£q析】延长D第11页(共22页)CB交O O于M , N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论.第11页(共22页)(• 0E = AE ,第16页（共22页）16【解答】解：延长DC , CB 交O O 于M , N , 则图中阴影部分的面积= X （ S 圆0-S 正方形ABCD ）= X （ 4n-4）= n - 1 , 故答案为：n- 1 .]1【点评】诽题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键. （4分）如图，菱形 ABCD 顶点A 在函数y = （x >0）的图象上，函数 y = > 0 ）的图象关于直线 AC 对称，且经过点 B 、D 两点，若AB = 2, / BAD = 30° 6+2标，便可求得结果.EAE 丄x 轴于点E ，延长DA 与x 轴交于点F ，过点 二第一象限的角平分线上，求得 A 点坐标，进而求得【解答】解：连接0C , AC 过A 作AE 丄x 轴于点E ,延长DA 与x 轴交于点F , 作DG 丄x 轴于点G ,•.•函数y = （ k > 3 , x >0）的图象关于直线 ■ I ・O\ FEGx••• 0、A 、C 三点在同直线上，且 / C0E = 45 AC 对称,(k >3, x ，则k =D 作DG D 点坐过点D(不妨设 OE = AE = a ,则 A （a , a ）,•••点A 在在反比例函数 y = （x > 0）的图象上, a 2= 3,••• AE = OE = ,•••/ BAD = 30 ° ,•/ AB = AD = 2, AE // DG , EF = EG = 1, DG = 2AE = 2• OG = OE+ EG = +1 , • D (+1 , 2 ),【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反 比例函数的性质，菱形的性质，解直角三角形，关键是确定 上.解答题（共86 分）【分析】方程组利用加减消元法求出解即可. 【解答】解：【2叶尸,4①+②得：3x = 9,即卩x = 3, 把x = 3代入①得：y =- 2, 则方程组的解为 .法与加减消元法.［尸-218. （8分）如图，点 E 、F 分别是矩形 ABCD 的边AB 、CD 上的一点，且 DF = BE .求证: 第13页（共22页）/ BAD =15•••/ OAE = / AOE =•••/ EAF = 45°，2• AF =,EF = AEtan30° = 1,故答案为:A 点第一象限的角平分线17（8分）解方程组【点评】此题考查了解二元一次方程组 ，利用了消元的思想, 消元的方法有：代入消元 • -Z OAF =第18页（共22页）AF = CE .a __ r ____ r T7【分析】 由S AS -正明△ ADF ◎△ BCE ，即可得出 AF = CE . 【解答】证明：•••四边形ABCD 是矩形， •••/ D = / B = 90° , AD = BC ,在厶ADF 和厶BCE 中,AD^BC•••△ ADF N BCE (SAS ), • AF = CE .【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证 明三角形全等是解题的关键.19. （8分）先化简，再求值：（x - 1 ）*（ x -），其中x =+1.【分析】先化简分式，然后将 x 的值代入计算即可. 【解答】解：原式=（x - 1）十 =(x - 1 ) ?=1+ .【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键. 20. （8分）已知 △ ABC 和点A',如图.（1）以点 A'为一个顶点作 △ A'B'C',使厶A'B'C's^ ABC ，且△ A'B'C'的面积等于 △ ABC 面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D 、E 、F 分别是△ ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，D'、E'、F'分别是你所作的 △ A'B'C'三边 A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证： △ DEF D'E'F'.cV2第19页（共22页）【分析】(1)分别作 A'C'= 2AC 、A'B' = 2AB 、B'C'= 2BC 得厶A'B'C'即可所求. (2)根据中位线定理易得 •••△ DEFABC , △ D'E'F's^ A'B'C',故厶 DEF s\ D'E'F'【解答】 解：(1)作线段 A'C'= 2AC 、A'B'= 2AB 、B'C'= 2BC ，得△ A'B'C'即可所求.2)证明：'△ABC•/ D 、E 、F 分别是△ ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点, 图2 • DE =• △ DEF] ABC ] ]DF^-AC EF=V AB 同理： △D'E'F's^ A'B'C', 社 由（1）可知：△ ABCA ' B ' C ',•••△ DEF D'E'F'.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键 是掌握相似三角形的判定方法，本题用到的是三边法.21. （8 分）在 Rt △ ABC 中，/ ABC = 90° , / ACB = 30°，将△ ABC 绕点 A 顺时针旋转第20页(共22页)定的角度a 得到△ DEC ，点A 、B 的对应点分别是 D 、E . (1) 当点E 恰好在 AC 上时，如图1,求/ ADE 的大小；(2) 若a= 60°时，点F 是边AC 中点，如图2,求证：四边形 BEDF 是平行四边形.计算出Z ADE 的度数;(2)如图2,利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF = AC ,禾U 用含30度的直角三角形三边的关系得到 AB = AC ,贝U BF = AB ,再根据旋转的性质得到 Z BCE = Z ACD =\260° , CB = CE , DE = AB ,从而得到 DE = BF , △ ACD 和厶BCE 为等边三角形，接着证 明厶CFD ◎△ ABC 得到DF = BC ,然后根据平行四边形的判定方法得到结论.【解答】(1)解：如图1 , •••△ ABC 绕点A 顺时针旋转a 得到△ DEC ，点E 恰好在AC 上, ••• CA = CD , Z ECD = Z BCA = 30° , Z DEC = Z ABC = 90° , •/ CA = CD ,• Z CAD = Z CDA = (180 ° - 30° )= 75° ,• Z ADE = 90 ° - 75° = 25° ;(2)证明：如图2, •••点F 是边AC 中点，• BF = AC , •••Z ACB = 30 ° , • AB = AC , • BF = AB ,• △ ABC 绕点A 顺时针旋转 60得到△ DEC , •••/BCE = Z ACD = 60° , CB = CE , DE = AB ,••• DE = BF , △ ACD 和厶BCE 为等边三角形，【分析】( 口图1,利用旋3 ----------- rBABC = 90°，再根据等腰三角形的性 =CD , / ECD = Z BCA = 30° , / DEC = Z质和三角形内角和计算出Z CAD ，从而利用互余和:A(•BE= CB,•••点F为△ ACD的边AC的中点，•DF 丄AC,易证得△ CFD ◎△ ABC,•DF = BC,•DF = BE,而BF = DE,•四边形BEDF 是平行四边形．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．22．（10 分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30 元，并且每处理一吨废水还需其他费用8 元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12 元．根据记录， 5 月21日，该厂产生工业废水35 吨，共花费废水处理费370 元．（1）求该车间的日废水处理量m；（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10 元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．【分析】（1）求出该车间处理35吨废水所需费用，将其与350比较后可得出m v 35,根据废水处理费用=该车间处理m吨废水的费用+第三方处理超出部分废水的费用，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设一天产生工业废水x吨，分0v x w 20及x> 20两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论.【解答】解：（1）•/ 35X 8+30 = 310 （元），310 v 350,•m v 35．解得：m = 20.依题意，得：30+8m+12 （35- m）= 370,第21 页（共22 页）(第22页(共22页)某台机器使用期内维修次数10 11 12答：该车间的日废水处理量为 20吨. (2)设一天产生工业废水 x 吨， 当 0 v x w 20 时，8x+30 < 10x , 解得：15w x < 20;当 x >20 时，12 (x — 20) +8 X 20+30w 10x , 解得：20v x w 25.综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15w x w 20.【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： (1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；( 2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.23. (10分)某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外 购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元.每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费 500元;如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费次数，整理得下表;维修次数 8 9 10 11 12率;(2)试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买 次性额外购10次还是11次维修服务? 【分析】(1)利用概率公式计算即可.(2)分别求出购买10次，11次的费用即可判断.【解答】 解：(1) “1台机器在三年使用期内维修次数不大于 10”的概率=0.6.(2)购买10次时,5000元，但无需支付工时费•某公司计划购买 1台该种机器，为决策在购买机器时应同 时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修频率(台数)1020303010(1)以这100台机器为样本，估计1台机 .器在三年 使用期内维修次数不大于10”的概1台该机器的同时应一60100(【解答】解：（1） •/ AB = AC ,第23页（共22页）该台机器维修费用24000 24500 25000 30000 35000此时这100台机器维修费用的平均数 y i =(24000X 10+24500 X 20+25000 X 30+30000X 30+35000 X 10)= 27300购买11次时，某台机器使用期内维修次数8 9 10 11 12此时这100台机器维修费用的平均数•/ 27300 V 27500,1所以，选择购买10次维修服务.【点评】本题考查利用频率估计概率，加权平均数，列表法等知识，解题的关键是理解 题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.24. （12分）如图，四边形 ABCD 内接于O O , AB = AC , AC 丄BD ，垂足为 E ,点F 在BD的延长线上，且 DF = DC ,连接 AF 、CF .（1）求Z BAC = 2Z CAD ;(2)若 AF = 10, BC = 4 ，求 tan / BAD 的值./ ABC = Z ACB ，根据圆心角、弧、弦的关系/ ABC = Z ADB ，根据三角形内角和定理得到 Z ABC = （180 °-Z BA.C ).= 90 ° - Z BAC , Z ADB = 90° - Z CAD ，从而得到 Z BAC = Z CAD ，即AB AC—1 2可证得结论；(2)易证得BC = CF = 4 ，即可证得 AC 垂直平分BF ，证得AB = AF = 10,根据勾股 定理求得AE 、CE 、BE ,根据相交弦定理求得 DE ，即可求得BD ，然后根据三角形面积 公式求得DH ，进而求得 AH ,解直角三角函数求得 tan Z BAD 的值.该台机器维修费用2600026500270002750032500=y 2 =(26000X 10+26500 X 20+27000 X 30+27500X 30+32500 X 1 0)= 2750 0,D= ,Z ABC= Z ACB,•Z ABC = Z ADB, Z ABC = ( 180° - Z BAC)= 90° - Z BAC, AB AC•/ BD 丄AC, ] ]•Z ADB = 90 ° - Z CAD, 2 2 Z BAC = Z CAD ,BAC = 2 / CAD ;CD•••/ BFC = / BDC = / BAC = Z FBC ,• CB= CF,又BD丄AC,• AC是线段BF的中垂线，AB= AF = 10, AC = 10.又BC = 4设AE = x, CE = 10-x,由AB2- AE2= BC2- CE2,得100 - x2= 80-( 10- x) 2,解得x= 6,• AE= 6, BE = 8, CE = 4,• DE = = = 3,• BD = BE+DE = 3+8 =11作DH丄AB,垂足为H ,•/ AB?DH = BD?AE,•AH = AB - BH = 10-=第24页（共22页）•tan Z BAD = = =TDH|3311AH|62第25页（共22页）第21页(共22页)并灵活运用性质定理，属于中考压轴题.25. (14分)已知抛物 y = ax 2+bx+c (b v 0)与x 轴只有一个公共点. (1) 若抛物线与x 轴的公共点坐标为(2, 0),求a 、c 满足的关系式；(2) 设A 为抛物线上的一定点，直线 I: y = kx+1 - k 与抛物线交于点 B 、C ,直线BD 垂 直于直线y =- 1,垂足为点D .当k = 0时，直线I 与抛物线的一个交点在 y 轴上，且△ ABC 为等腰直角三角形.① 求点A 的坐标和抛物线的解析式；② 证明：对于每个给定的实数 k ,都有A 、D 、C 三点共线.【分析】(1)抛物线与x 轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解；(2)①y = kx+1 - k = k (x - 1) +1过定点(1, 1)，且当k = 0时，直线I 变为y = 1平行 x 轴，与轴的交点为(0, 1),即可求解；②计算直线AD 表达式中的k 值、直线AC 表 达式中的k 值，两个k 值相等即可求解.【解答】解：(1)抛物线与x 轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y = a (x - 2) 2=ax 2- 4ax+4a , 贝 U c = 4a ；(2) y = kx+1 - k = k (x - 1) +1 过定点(1, 1),且当k = 0时，直线I 变为y = 1平行x 轴，与轴的交点为(0, 1), 又厶ABC 为等腰直角三角形， •••点A 为抛物线的顶点；① c = 1,顶点 A (1, 0), 抛物线的解析式：y = x 2 - 2x+1 ,②尸］c'-2 x+1it y=kx+l-k勾股定理，锐角三角函数, 圆心角、，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握考查了圆周角定理,(B =X D =X2),y D=— 1 ；y c= (2+k2+k,A (1, 0),二k AD = k AC,点A、C、D三点共线-22 'k+Vk£ + 4直线AC表达式中的k值为：k AC等知识点,。
2019年福州中考数学试题及答案
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2019年福建省中考数学试题
一、选择题（每小题4分，共40分）
1计算22+(-1)0的结果是（） A.5
B.4
C.3
D.2
北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000用科学记数法表示为（） A.72×104
B.7.2×105
C.72×106
D.0.72×106
下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（） A.等边三角形
B.直角三角形
C.平行四边形
D.正方形
【导学号:S1*******】下图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）
已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（） A.12
B.10
C.8
D.6
如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）.
A.甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定
B乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C.丙
的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D.就
甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳
下列运算正确的是（）.
A.a·a3=a3
B.(2a)3=6a3
C.a6÷a3=a2
D.(a2)3-(-a3)2=0
《增删算法统宗》记载:“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若毎日读多少？”其大意是？有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（）
A.x+2x+4x=34685
B.x+2x+3=34685
C.x+2x+2x=34685
D.x+ 1x+1x=34685
44
如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB=55°，则
∠APB等于（）．
A.55°
x
B.70°
C.110°
D.125°
10若二次函数y=|a|x 2+bx+c 的图象经过A （m ，n ），B （0，y 1），C （3- m ，n ），
D （√2，y 2），
E （2，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系是（）
A.y 1＜y 2＜y 3
B.y 1＜y 3＜y 2
C.y 3＜y 2＜y 1
D.y 2＜y 3＜y 1
二、填空题（每小题4分，共24分）
11因式分解：x 2-9= .
12如图，数轴上A 、B 两点所表示的数分别是-4和2，点C 是线段AB 的中点， 则点C 表示的数是
.
13某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有 人.
14在平面直角坐标系xOy 中，□OABC 的三个顶点O （0，0）、A （3，0）、B （4，2），则其第四个顶点是 .
15如图，边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E 、F 分别是AD 、BA 的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是 .（结果保留π）
16如图，菱形ABCD 顶点A 在反比例函数y= 3 （x ＞0）的图象上，函数y=x
k （k ＞3, x ＞0）的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D 两点，若AB=2，∠DAB=30°，则k 的值为
.
三、解答题（共 86 分）
17.x −y = 5
解方程组{2x+y=4
18如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF=BE.求证： AF=CE.
19先化简，再求值：(x-1)÷(x- 2x−1)，其中x=√2+1.
x
20如图，已知△ABC和点A′.
（1）以点A'为顶点求作△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，S△A′B′C′=4S△ABC；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D′、E′、F′分别是你所作的
△A′B′C′三边A′B′、B′C′、A′C′的中点，求证：△DEF∽△D′E′F′.
21在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.
（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；
（2）如图2，若α=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形，22某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超岀日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水，毎天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元.
（1）求该车间的日废水处理量m；
（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.
23某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元.每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费.某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表：
维修次数89101112
频率（台数）1020303010
（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；
（2）试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？
24如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.
（1）求证：∠BAC＞2∠DAC；
（2）若AF=10，BC=4√5，求tan∠BAD的值.
25已知抛物y=ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．
（1）若公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；
（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y=kx+1-k与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于直线y=-1，垂足为点D.当k=0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形.
①求点A的坐标和抛物线的解析式;
②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线.。