实验四 自由曲线曲面算法实验(2)

实验四 自由曲线曲面算法实验

实验项目性质：设计性实验

所属课程名称：3D 游戏图形学

实验计划学时：3学时

一、 实验目的和要求

1. 了解自由曲线和曲面的生成原理；

2. 掌握并实现Bezier 曲线和B 样条曲线的生成算法；

3. 实现Bezier 曲面的生成算法。

二、 实验原理

1. Bezier 曲线是通过一组多边形折线的顶点来定义的。如果折线的顶点固定不变，则由其定义的Bezier 曲线是唯一的。在折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上且作为曲线的起始处和终止处，其他的点用于控制曲线的形状及阶次。曲线的形状趋向于多边形折线的形状，要修改曲线，只要修改折线的各顶点就可以了。因此，多边形折线又称Bezier 曲线的控制多边形，其顶点称为控制点。

三次多项式，有四个控制点，如图1所示，

其数学表示如下：

,300.31 1.32 2.33 3.30

()()()()()()i i i Q t PB t P B t PB t P B t P B t ===+++∑

32230123(1)3(1)3(1),[0,1]t P t t P t t P t P t =-+-+-+∈

（1）

其矩阵形式为

01322313313630()(1),[0,1]33001000P P Q t t t t t P P --????????-????=∈????-????????

（2）

2. B 样条曲线保留了Bezier 曲线的优点，对Bezier 曲线进行了拓广，用B 样条基代替Bernstein 基，克服了Bezier 曲线由于整体表示带来的不具备局部性质的缺点。B 样条曲线的数学定义为

0n k k,m k p(t)P B (t)

==∑

（3）

式中，(0,1

,,)k P k n = 为n+1个控制点，由控制点顺序连成的折线称为B 样条控制多边形。m 是一个阶参数，可以取2到控制顶点个数n+1之间的任一整数，m-1是B 样条曲线的次数。参数t 的选取取决于B 样条结点矢量的选取。k,m B (t)是B 样条基函数，

()()k 1,1,,11,111

1 ()0 ()k k k k m k m k m k m k m k k m k t t t B t t t t t B t B t B t t t t t ++-+-+-++≤

从式（3）和（4）可以看出，仅仅给定控制点和参数m 还不足以完全表达B 样条曲线，还需要给定结点矢量并使用公式（4）来获得基函数。

对于三次均匀周期性B 样条曲线，m=4，如果用4个控制点来拟合三次曲线，则n=3。假设结点矢量(0,1,2,3,4,5,6,7)T =，于是得到基函数计算式为：

()(),1,,11,11 1()0 ()11

k k m k m k m k t k B t t k k m t B t B t B t m m -+-≤<+?=??-+-=+--其他 （5）

最终得到该B 样条曲线的矩阵形式为

,0010414243423013223()1331363011

303061

410 t [0,1)

n

k k m

k ,,,,B B p t P B P P B (t)B (t)B (t)B (t)P P P P t t t P P T M G ==??????=???????????

--????????-??????=?????????-????????=??∈∑ （6） 三、 实验内容

1．下面的代码用来生成三次Bezier 曲线，将代码补充完整，编译运行；修改代码，利用OpenGL 函数生成三次Bezier 曲线。

参考代码：

#include

#include

#include

#include

using namespace std;

struct Point{

int x, y;

};

Point pt[4],bz[11];

vector vpt;

bool bDraw;

int nInput;

void CaleBZPoints()

{

添加代码；生成Bezier 曲线上的点；

}

void ControlPoint(vector vpt)

{

glPointSize(2);

for(int i=0;i

{

glBegin(GL_POINTS);

glColor3f(1.0f,0.0f,0.0f); glVertex2i(vpt[i].x,vpt[i].y);

glEnd();

}

}

void PolylineGL(Point * pt, int num)

{

glBegin(GL_LINE_STRIP);

for(int i=0;i

{

glColor3f(1.0f,1.0f,1.0f);

glVertex2i(pt[i].x,pt[i].y);

}

glEnd();

}

void myDisplay()

{

glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);

glColor3f(1.0f,1.0f,1.0f);

if(vpt.size()>0)

{

ControlPoint(vpt);

}

if(bDraw)

{

PolylineGL(pt, 4);

CaleBZPoints();

PolylineGL(bz,11);

}

glFlush();

}

void Init()

{

glClearColor(0.0,0.0,0.0,0.0);

glShadeModel(GL_SMOOTH);

printf("Please Click left button of mouse to input control point of Bezier Curve!\n");

}

void Reshape(int w, int h)

{

glViewport(0,0,(GLsizei)w,(GLsizei)h);

glMatrixMode(GL_PROJECTION);

glLoadIdentity();

gluOrtho2D(0.0,(GLdouble)w,0.0,(GLdouble)h);

}

void mouse(int button, int state, int x, int y)

{

switch(button)

{

case GLUT_LEFT_BUTTON:

if(state==GLUT_DOWN)

{

if(nInput==0)

{

pt[0].x=x;

pt[0].y=480-y;

nInput=1;

vpt.clear();

vpt.push_back(pt[0]);

bDraw=false;

glutPostRedisplay();

}

else if(nInput==1)

{

pt[1].x=x;

pt[1].y=480-y;

vpt.push_back(pt[1]);

nInput=2;

glutPostRedisplay();

}

else if(nInput==2)

{

pt[2].x=x;

pt[2].y=480-y;

vpt.push_back(pt[2]);

nInput=3;

glutPostRedisplay();

}

else if(nInput==3)

{

pt[3].x=x;

pt[3].y=480-y;

bDraw=true;

vpt.push_back(pt[3]);

nInput=0;

glutPostRedisplay();

}

}

break;

default:

break;

}

}

int main(int argc, char * argv[])

{

glutInit(&argc, argv);

glutInitDisplayMode(GLUT_RGB|GLUT_SINGLE);

glutInitWindowPosition(100,100);

glutInitWindowSize(640,480);

glutCreateWindow("Hello World!");

Init();

glutDisplayFunc(myDisplay);

glutReshapeFunc(Reshape);

glutMouseFunc(mouse);

glutMainLoop();

return 0;

}

2. 改写教材P241程序8-1，实现三次均匀周期性B样条曲线的生成算法，并利用OpenGL函数生成同样的三次周期性B样条曲线。

参考代码：

#include

#include

#include

class Pt3D{

public:

GLfloat x,y,z;

};

void GetCnk(GLint n, GLint *c)

{

GLint i,k;

for(k=0;k<=n;k++){

c[k]=1;

for(i=n;i>=k+1;i--) c[k]=c[k]*i;

for(i=n-k;i>=2;i--) c[k]=c[k]/i;

}

}

void GetPointPr( GLint *c, GLfloat t, Pt3D *Pt, int ControlN, Pt3D *ControlP)

{

GLint k,n=ControlN-1;

GLfloat Bernstein;

Pt->x=0.0; Pt->y=0.0; Pt->z=0.0;

for(k=0; k

Bernstein=c[k]*pow(t,k)*pow(1-t,n-k);

Pt->x += ControlP[k].x*Bernstein;

Pt->y += ControlP[k].y*Bernstein;

Pt->z += ControlP[k].z*Bernstein;

}

}

void BezierCurve(GLint m, GLint ControlN, Pt3D *ControlP)

{

GLint *C,i;

Pt3D CurvePt;

C = new GLint[ControlN];

GetCnk(ControlN-1, C);

glBegin (GL_POINTS);

for(i=0;i

GetPointPr(C,(GLfloat)i/(GLfloat)m, &CurvePt, ControlN, ControlP);

glVertex2f(CurvePt.x, CurvePt.y);

}

glEnd();

delete [] C;

}

void initial(void)

{

glClearColor (1.0, 1.0, 1.0, 0.0);

// pNurb=gluNewNurbsRenderer();

}

void Display(void)

{

glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);

GLint ControlN=4,m=500;

Pt3D

ControlP[4]={{-80.0,-40.0,0.0},{-10.0,90.0,0.0},{10.0,-90.0,0.0},{80. 0,40.0,0.0}};

glColor3f(0.0, 0.0, 0.0);

BezierCurve(m,ControlN,ControlP);

// gluBeginCurve(pNurb);

for(GLint i=0;i<4;i++)

glVertex3f(ControlP[i].x,ControlP[i].y,ControlP[i].z);

glEnd();

glFlush();

}

void Reshape(GLint newWidth, GLint newHeight)

{

glViewport(0,0,newWidth,newHeight);

glMatrixMode(GL_PROJECTION);

glLoadIdentity();

gluOrtho2D(-100.0,100.0,-100.0,100.0);

}

void main(void)

{

glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);

glutInitWindowPosition(100, 100);

glutInitWindowSize(400, 400);

glutCreateWindow("Bezier曲线");

initial();

glutDisplayFunc(Display);

glutReshapeFunc(Reshape);

glutMainLoop();

}

3. 利用OpenGL函数实现Bezier曲面的生成算法。