自由曲线的绘制

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自由曲线与曲面

主要内容
11.1 解析曲面 11.2 Bezier曲面 11.3 B样条曲面 11.4 NURBS曲面 11.5 曲面的其它表达 11.6 曲面求交算法
11.1 解析曲面（代数曲面）
代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复杂曲面造型的要求
适合构造简单曲面，不能构造自由曲面不同类型曲面拼接连续性难以保证不同曲面求交公式不一，程序实现量大工程设计交互性差
通常样条曲面的求交算法采用离散逼近、迭代求精与跟踪的方法，求交精度不高，计算量大，速度慢，对共点、共线、共面难以处理，从而影响布尔运算的效率和稳定性。
基本的求交算法：
由于计算机内浮点数有误差，求交计算必须引进容差。假定
容差为e，则点被看成是半径为e的球，线被看成是半径为e的圆管，面被看成是厚度为2e的薄板。
c）然后固定指标i，以第一步求出的n＋1条截面曲线的控制顶点阵列中的第i排即： di,j, j 0,1,, n 为“数据点”，以上一步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”，在节点矢量V上应用曲线反算，分别求出m＋3条插值曲线即控制曲线的 B样条控制顶点di.j ,i 0,1,,m 2; j 0,1,,n 2 ，即为所求双
superquadric
superquadric曲面在商用 CAD系统应用相对较少，但在动画软件中常用
superquadric toroids
(
x
)2/E2
(
y
)2/E2
E2/E1 a
(
z
)2/E1
1
rx
ry
rz
superquadric ellipsoids
(
x
)2/E2
(
y
E2/E1 )2/E2

visio中画曲线的方法

visio中画曲线的方法摘要：1.了解Visio软件2.画曲线的方法概述3.具体画曲线步骤4.曲线调整技巧5.实践与应用正文：随着科技的发展，越来越多的绘图软件应运而生，Visio作为其中一款强大的专业绘图工具，被广泛应用于各种领域。

本文将为您介绍如何在Visio中绘制曲线，以及一些实用的技巧。

一、了解Visio软件Visio是一款由微软公司开发的绘图软件，它具有丰富的功能和易于使用的界面，可以帮助用户创建各种专业的图表和图形。

在Visio中，可以轻松地绘制直线、曲线、折线等，满足各种绘图需求。

二、画曲线的方法概述在Visio中画曲线，主要通过以下几个步骤：1.打开Visio软件，新建一个绘图文件。

2.在工具栏中，找到“形状”工具，点击选择。

3.在形状选项中，选择“自由曲线”。

4.将鼠标移到画布上，按下鼠标左键，开始绘制曲线。

5.拖动鼠标，调整曲线的形状和走势。

6.释放鼠标左键，完成曲线的绘制。

三、具体画曲线步骤1.启动Visio，创建一个新的绘图文件。

2.点击工具栏中的“形状”工具，在形状选项中找到“自由曲线”。

3.将鼠标移到画布上，按下鼠标左键，开始绘制曲线。

4.沿着所需的曲线轨迹拖动鼠标，同时可以按下键盘上的方向键，精细调整曲线的走势。

5.完成曲线后，释放鼠标左键。

四、曲线调整技巧1.完成曲线后，可以使用“形状”工具对曲线进行调整。

2.按下Ctrl键，选择曲线上的点，可以进行精确调整。

3.按住Alt键，在曲线两端拖动，可以调整曲线的弯曲程度。

4.使用“路径”工具，可以调整曲线的整体走势。

五、实践与应用1.在实际绘图过程中，可以根据需求绘制不同的曲线。

2.将曲线与其他形状结合，创作出丰富多彩的图案。

3.利用曲线进行数据分析，制作专业图表。

4.在教育、设计、工程等领域，发挥Visio曲线的实用性。

通过以上步骤和技巧，您可以在Visio中轻松地绘制出满意的曲线。

不仅提高了绘图效果的美观度，还能为您的作品增色添彩。

N次三角多项式B样条绘制自由曲线

（成都市工业职业技术学校计算机系，成都
６０１１２３）
∑
Ⅳ
、
摘要：Ｎ次三角多项式均匀Ｂ样条基组成的样条曲线可表示直线、抛物线、椭圆、螺旋线。本文介绍了带形状参数的三角多项式均匀Ｂ样条，最后利用形状参数为零的带形状参数的三角多项式均匀Ｂ样条来绘制椭圆和螺旋线，体现了该类方法下绘制曲线在ＣＧ中的有效性ＡＤ关键词：曲线；三角多项式；函数中图分类号：Ｔ３文献标识码：ＡＰ９文章编号：１０ — ５９（０２）１０６ — ２０７９９２１０— ０２０
３
＝
∑ ，）＋（ｆ
ｊｏ＝
（２）
，
其中，Ｎｌ（）：／１ｔ。，Ｎ，（）１６（ｔ＿ｔ４，Ｄｔ１６（－）４４ｔ：／３３６）＋
Ｎ．ｔ１６（３３３＋）Ｎ，ｔ：／ｔ２４（）＝／一ｔ＋ｔ＋ｔ１，３４（）１６
一
、
｛ｉ２：ｇｓｎｔ
＝ｏｆｉＰＺＮ， —ａ￣）（
ｉ＝０
，
＞，３
）ｆ。＝＿（
… ＬｌＪ
（＝ｆ∑ ）
ｉ＝Ｏ
Ｐ为控制顶点，Ｎ，（ｔｔ）为构造的基函数。上述为三角多项式Ｂ样条曲线的离散公式，这类曲线没有有式中Ｎ（）是ｋ１Ｂ样条曲线的基函数。ｔ－次理形式，所以既可以表示多项式曲线，又可表示三角函数曲线根据（）式可以推导出三次均匀Ｂ样条曲线的表达式，于１对（）带形状参数三角多项式均匀Ｂ样条基函数的构造三ｎ１控制顶点Ｐ，Ｐ，… ，Ｐ，每四个顺序点构造相应的一段三＋个ｏｋ次带形状参数三角多项式均匀Ｂ样条基函数构造如下：次Ｂ条曲线：样，控制顶点有ｎ，对参数ｔ均匀分割的步长为ａ。个作） Ⅳ，）。ｌ）２）＋３）：０＋＋，＋ Ⅳ，＋，，Ｎ４＋ Ⅳ ｋ３的情况，不存在三角多项式Ｂ样条基函数＜

自由曲线和自由曲面

x x(t)
y
y(t)
(7.1)
z z(t)
为便于计算机处理，曲线上一点常用其位置向量表示，如下所示：
P(t) x(t) y(t) z(t)
(7.2)
通常，通过对参数变量的规格化，使参数 t 在闭区间[0，1]内变化（写成t 0 1），并对此区间内的
参数曲线进行研究。
用参数方程描述自由曲线具有以下优点： ● 所描述的曲线形状与坐标系的选取无关。例如，如果通过一系列型值点拟合一条曲线或由一系列控制点（或特征点）定义一条曲线，曲线的形状仅取决于这些点本身之间的关系，而与这些点所在的坐标系无关。
● 规格化的参数变量 t 0 1，使其相应的几何分量是有界的（即表示曲线是有界的），不需要另设
其他参数来定义其边界。
● 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为： y a0 a1x a2x2 a3x3
其中只有 4 个系数用来控制此曲线的形状。而该曲线的参数表示为：
1. 点点是构造曲线和曲面的最基本的几何元素，在曲线和曲面构造中常用的点有型值点、控制点（特征点）和插值点，如 6.1 节所述。
2. 插值插值是函数逼近的重要方法。其原理是：
设函数 f (x) 在区间[ a, b ]上有互异的 n 个型值点 f (xi ) （ i 1, 2, 3, , n ），基于这个列表数据，寻求某个函数(x) 去逼近 f (x) ，使 (xi ) f (xi )（ i 1, 2, 3, , n ），则称(x) 为 f (x) 的插值函数， xi 为插值节点。
● 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，并且不限制变量的个数，便于用户把低维空间中的曲线或曲面扩展到高维空间。这种变量分离的特点使得人们可以用数学公式去处理几何分量，如本章随后使用到的调和函数就具有此特点。

自由曲线曲面造型技术

自由曲线曲面造型技术自由曲线曲面造型技术是一种用于制作3D图形的先进技术。

它可以让设计师轻松地将自己的想法转化成真实的3D模型。

该技术旨在为设计师提供更高的创作自由度，使其能够以更自然、更流畅的方式来表现自己的创意。

下面我们来详细了解一下自由曲线曲面造型技术。

一、基础知识1. 什么是自由曲线曲面造型技术？自由曲线曲面造型技术是一种用于编辑多边形网格模型的技术。

它允许设计师自由地绘制曲线和曲面，以创建具有复杂形状和曲率变化的物体。

2. 自由曲线曲面造型技术的应用范围自由曲线曲面造型技术广泛应用于艺术设计领域、工业设计领域、建筑设计领域和汽车设计领域等。

它可以用于设计和制造车身、雕塑、建筑立面和自然景观等。

二、自由曲线曲面造型技术的基本原理自由曲线曲面造型技术的基本原理是“控制点—曲线/曲面—几何体”的过程。

它的主要思想是通过控制点操纵曲线/曲面的形状，最终得到所需的几何体。

三、自由曲线曲面造型技术的工具和实现方式1. 曲线工具曲线工具允许设计师创建用于控制曲面形状的曲线。

这些曲线可以是贝塞尔曲线、NURBS曲线等，设计师可以自由选择。

2. 曲面工具曲面工具是将曲线连接起来形成的曲面。

设计师可以通过调整控制点、曲线和曲面的参数，来控制曲面的形状。

3. 几何体工具几何体工具是将曲面转换成带有体积的3D模型，如球体、立方体、圆柱体等。

设计师可以通过这些工具来创建真实的3D模型。

四、自由曲线曲面造型技术的优点1. 创意自由度高自由曲线曲面造型技术可以允许设计师非常灵活地表达自己的想法。

它可以让设计师轻松创建复杂形状和曲率变化的物体。

2. 精度高自由曲线曲面造型技术具有非常高的精度，可以帮助设计师创建精细的3D模型，并且不会出现几何失真的问题。

3. 可控性强自由曲线曲面造型技术基于控制点和曲线，具有非常强的可控性。

这意味着设计师可以精确地控制曲线和曲面的形状，从而创造出高质量的3D模型。

五、自由曲线曲面造型技术的应用案例自由曲线曲面造型技术已经被应用于许多领域，以下是一些典型的应用案例：1. 工业设计中的3D模型制作自由曲线曲面造型技术广泛应用于工业设计领域，例如汽车、飞机、手机等产品。

如何在PPT中绘制自由曲线和线段

如何在PPT中绘制自由曲线和线段在现代商务和教育领域中，演示文稿（PPT）已经成为了一种非常重要的工具。

人们可以通过PPT来展示自己的想法、表达观点以及向他人传达信息。

而在PPT 中，绘制自由曲线和线段是一种常见的需求。

接下来，我将分享一些关于如何在PPT中绘制自由曲线和线段的技巧和方法。

首先，我们来看如何绘制自由曲线。

在PPT中，我们可以使用"形状"工具栏中的"曲线"选项来绘制自由曲线。

点击"曲线"选项后，我们可以看到鼠标指针变成了一个十字形状。

在绘制自由曲线时，我们只需要按住鼠标左键并拖动，就可以在PPT中绘制出我们想要的曲线形状。

当我们绘制完一段曲线后，可以松开鼠标左键，然后再次点击鼠标左键，就可以开始绘制下一段曲线。

通过不断重复这个过程，我们可以绘制出复杂的自由曲线形状。

绘制线段相对来说更加简单。

我们可以使用"形状"工具栏中的"直线"选项来绘制线段。

点击"直线"选项后，我们可以看到鼠标指针变成了一个十字形状。

在绘制线段时，我们只需要按住鼠标左键并拖动，就可以在PPT中绘制出我们想要的线段形状。

与绘制自由曲线不同的是，在绘制线段时，我们只需要按住鼠标左键并拖动到我们想要的终点位置，然后松开鼠标左键即可完成线段的绘制。

除了使用基本的绘图工具，我们还可以使用一些高级的技巧来绘制自由曲线和线段。

例如，我们可以使用"曲线"工具栏中的"编辑顶点"选项来调整曲线或线段的形状。

点击"编辑顶点"选项后，我们可以在曲线或线段上看到一些小圆圈，这些小圆圈表示曲线或线段的控制点。

通过拖动这些控制点，我们可以调整曲线或线段的形状，使其更符合我们的需求。

此外，我们还可以使用"形状格式"工具栏中的"样式"选项来对绘制的曲线或线段进行样式设置。

基于PLC的自由曲线绘制拟合算法实现

一种基于PLC的自由曲线绘制拟合算法实现摘要：针对自由曲线的绘制实现问题，通过拟合算法进行点集拟合，最后通过PLC进行双轴平台的搭建并控制实现了自由曲线的绘制。

关键词：PLC 自由曲线拟合算法一. 引言近年来,PLC在工业自动控制领域应用愈来愈广,它在控制性能、组机周期和硬件成本等方面所表现出的综合优势是其他工控产品难以比拟的。

随着PLC技术的发展,它在位置控制、过程控制、数据处理等方面的应用也越来越多。

在机床的实际设计和生产过程中,为了提高数控机床加工的精度,对其定位控制装置的选择就显得尤为重要。

[1]其中，如何常会遇到一个问题：如何实现自由曲线的运动问题。

其可以描述成如下示意图1：图1 研究内容示意图图2 系统框图二. 实现方案概述任何自由曲线都可运用直线段和圆弧进行逼近。

从而，要实现自由曲线的绘制，只要实现有顺序的直线段与圆弧绘制即可。

图3 方案二实现示意图对关键点进行采样，从而得到一系列有顺序点集，然后根据点集关系进行曲线拟合，得出直线段和圆弧的指令，然后在通过PLC及伺服电机执行。

三. 拟合算法拟合算法就是把平面上的顺序点集进行一定的运算处理，而变成直线段和圆弧指令的算法。

其中多点采样输入方式的“拟合算法”基于平面上三个离散点的几何关系。

基本思想如下：设平面空间有任意三点0、1、2，此三点所成的夹角有三种可能的关系，如上图4所示。

现在定义：图4 平面三点关系示意图图5 平面四点共圆判断示意图当角度>时，把三点近似为一段直线段上，称为直线关系当角度<=<=时，把三点近似为一段圆弧上，称为圆弧关系当角度<时，把三点近似为一个折角关系现在假设平面空间上有多个顺序点，其中任何的三个相邻的点都会属于以上的三种关系之一，当三点近似成一条直线时，则中间点被舍弃。

当三点为折角关系时，则中间点就是折点，如果要进行连续曲线拟合的时，则从前一点走到中间点，然后中间点变成一个新的起点，进行下一步的关系判断。

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2
{ pDC->SetPixel(points[i],RGB(0,0,0)); } } 3. 在 CClipLineView 中创建 casteljau 与 bezier_to_points 成员函数。
代码如下： POINT CBezierView::casteljau(int k, POINT controls[], float t) { int r,i; float t1; POINT controlsa[10]; t1=1-t; for(i=0;i<=k;i++) { controlsa[i]=controls[i]; } for(r=1;r<=k;r++) { for(i=0;i<=k-r;i++) { controlsa[i].x=int(t1*controlsa[i].x+t*controlsa[i+1].x+0.5); controlsa[i].y=int(t1*controlsa[i].y+t*controlsa[i+1].y+0.5); } } return controlsa[0]; } void CBezierView::bezier_to_points(int k, int npoints, POINT controls[], POINT point[]) { float t,delt; int i; delt=1.0f/npoints; t=0.0; for(i=0;i<=npoints;i++) { point[i]=casteljau(k,controls,t); t=t+delt; } }
五、实验步骤与结果：（由学生按照实验内容完成）
1.打开 VC6.0 新建 MFC AppWizard[exe]工程。
2.在 void CBezierView::OnDraw(CDC* pDC)函数中调用 casteljau 与 bezier_to_points 成员函数画出曲线图像。
1
void CBezierView::OnDraw(CDC* pDC) { CBezierDoc* pDoc = GetDocument(); ASSERT_VALID(pDoc); // TODO: add draw code for native data here int k=9; POINT controls[10]; POINT points[50]; int npoints=20; controls[0].x=200; controls[0].y=100; controls[1].x=160; controls[1].y=80; controls[2].x=100; controls[2].y=100; controls[3].x=90; controls[3].y=140; controls[4].x=120; controls[4].y=160; controls[5].x=200; controls[5].y=140; controls[6].x=230; controls[6].y=160; controls[7].x=220; controls[7].y=200; controls[8].x=160; controls[8].y=220; controls[9].x=120; controls[9].y=200; CPen pen1(PS_SOLID,1,RGB(0,255,0)); CPen *pOldpen=pDC->SelectObject(&pen1); pDC->MoveTo(controls[0]); for(int i=1;i<=k;i++){ pDC->LineTo(controls[i]); } pDC->SelectObject(pOldpen); bezier_to_points(k,npoints,controls,points); CPen pen2(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0)); pOldpen=pDC->SelectObject(&pen2); pDC->MoveTo(points[0]); for( i=1;i<=npoints;i++){ pDC->LineTo(points[i]); } pDC->SelectObject(pOldpen); for( i=0;i<=npoints;i++)
实验四
专业班级实验学时实验时间实验成绩
自由曲线的绘制
验证性姓名实验地点
学号实验类型指导老师
年一、实验目的：
1．掌握 Bezier 曲线的定义方法； 2．掌握生成 Bezier 曲线型值点的 Casteljau 算法。
月
日
二、实验内容：
1.自定义一个任意阶 Bezier 曲线并显示其控制多边形； 2.使用 Casteljau 算法计算出该 Bezier 曲线的若干个型值点； 3.用线性插值绘制出近似的 Bezier 曲线。
3
4.实验截图
六、总结写出实现 Casteljau 算法的函数，求出某个 t 时的型值点； 2.自己编写出求 Bezier 曲线多个型值点的函数； 3.写出实验报告。
四、编程提示：
1. 课本 P98Casteljau 函数伪算法中计算型值点语句为： controlsa[i]=t1*controlsa[i]+t*controlsa[i+1]; 只能计算一个分量，且将点坐标定义为 float 类型，而在程序中使用 POINT 类型能更方便的表示点坐标，计算后还需进行四舍五入，为此将其改为： controlsa[i].x=int(t1*controlsa[i].x+t*controlsa[i+1].x+0.5); controlsa[i].y=int(t1*controlsa[i].y+t*controlsa[i+1].y+0.5);