6.3实践与探索(1)面积、体积问题
七年级数学下册第6章一元一次方程6.3实践与探索第1课时体积和面积问题教案华东师大版
第1课时体积和面积问题1．使学生能够找出简单应用题中的已知量、未知量和相等关系，然后列出一元一次方程来解简单应用题，并会根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理．2．能够利用一元一次方程解决图形面积、体积等相关问题．重点利用一元一次方程解决图形面积、体积等相关问题．难点找问题中的等量关系．一、创设情境、复习引入我们学过一些图形的相关公式，你能回忆一下,有哪些公式？回忆一些图形的有关公式,为本节课学习用一元一次方程解决图形相关问题，找等量关系起到帮助作用．二、探索问题，引入新知问题：用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形：(1）如果长方形的宽是长的错误!,求这个长方形的长和宽;（2）如果长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积；（3）比较(1)，（2)所得两个长方形面积的大小．还能围出面积更大的长方形吗？解:（1）设长方形的长为x厘米，则宽为错误!x厘米．根据题意，得2（x＋错误!x)＝60，解这个方程，得x＝18，所以长方形的长为18厘米,宽为12厘米．（2）设长方形的长为x厘米,则宽为(x－4）厘米，根据题意,得2(x＋x－4)＝60，解这个方程，得x＝17，所以S＝13×17＝221（平方厘米)．（3)在（1）的情况下S＝12×18＝216（平方厘米)；在（2）的情况下S＝13×17＝221(平方厘米)．还能围出面积更大的长方形，当围出的长方形的长宽相等时，即为正方形，其面积最大,此时其边长为15厘米，面积为225平方厘米．讨论：在第（2）小题中，能不能直接设面积为x平方厘米？如不能，怎么办？如果直接设长方形的面积为x平方厘米,则如何才能找出相等关系列出方程呢？诱导学生积极探索:不能直接设面积为未知数,则需要设谁为未知数呢?那么设未知数的原则又是什么呢？结论：在周长一定的情况下，长方形的面积在长和宽相等的情况下最大；如果可以围成任何图形,则圆的面积最大．【例】将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高(精确到0。
玩转小学数学中的面积和体积问题认识面积和体积的计算和应用方法
玩转小学数学中的面积和体积问题认识面积和体积的计算和应用方法数学是一门抽象而又实用的学科，而其中的面积和体积问题更是我们在日常生活中经常遇到的。
通过正确计算和应用面积和体积的方法，我们可以更好地理解空间的概念，解决实际问题。
本文将深入探讨小学数学中的面积和体积问题，并介绍面积和体积的计算和应用方法，帮助读者在玩转小学数学中取得更好的成绩。
一、认识面积和体积1.1 面积的定义和计算面积是一个平面图形所占据的空间大小的量度。
常见的平面图形有矩形、三角形、圆形等。
计算不同图形的面积需要使用相应的公式。
例如，矩形的面积可以通过长乘以宽来计算，三角形的面积可以通过底乘以高的一半来计算，圆形的面积可以通过π乘以半径的平方来计算。
1.2 体积的定义和计算体积是一个立体图形所占据的空间大小的量度。
常见的立体图形有长方体、圆柱体、球体等。
计算不同图形的体积同样需要使用相应的公式。
例如，长方体的体积可以通过长乘以宽乘以高来计算，圆柱体的体积可以通过底面积乘以高来计算，球体的体积可以通过四分之三乘以π乘以半径的立方来计算。
二、面积和体积的计算方法2.1 面积的计算方法在计算面积时，我们需要根据不同图形的特点选择相应的计算公式。
下面以矩形、三角形和圆形为例介绍具体的计算方法。
矩形的面积计算公式为：面积 = 长 ×宽。
三角形的面积计算公式为：面积 = 底 ×高 ÷ 2。
圆形的面积计算公式为：面积= π × 半径的平方。
2.2 体积的计算方法计算体积时，我们同样需要根据不同图形的特点选择相应的计算公式。
下面以长方体、圆柱体和球体为例介绍具体的计算方法。
长方体的体积计算公式为：体积 = 长 ×宽 ×高。
圆柱体的体积计算公式为：体积 = 底面积 ×高。
球体的体积计算公式为：体积= 4/3 × π × 半径的立方。
三、面积和体积的应用方法3.1 面积的应用面积的计算方法不仅仅是为了解题，更是为了在实际问题中应用。
初中数学华东师大七年级下册第6章 一元一次方程实践与探索(面积与体积问题)
实践与探索第一课时:体积与面积教学目标：知识目标：使学生掌握围成的长方形的长和宽在发生变化，但在围的过程中，长方形的周长不变，由此便可建立“等量关系”同时根据计算，发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面积也发生变化，且长方形的长与宽越接近时，面积越大.能力目标：让学生通过独立思考，积极探索，培养学生积极思考，解决问题的能力。
情感目标：通过解决问题，培养积极进取的人生态度教学重点；通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题教学难点：找出“等量关系”列出方程.。
教学过程一、复习提问1．列一元一次方程解应用题的步骤是什么?2．长方形的周长公式、面积公式.二、新授问题3．用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形.(1)使长方形的宽是长的专，求这个长方形的长和宽.(2)使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积.(3)比较(1)、(2)所得两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗?让学生独立探索解法，并互相交流.第(1)小题一般能由学生独立或合作完成，教师也可提示：与几何图形有关的实际问题，可画出图形，在图上标注相关量的代数式，借助直观形象有助于分析和发现数量关系.分析：由题意知，长方形的周长始终不变，长与宽的和为60÷2＝30(厘米)，解决这个问题时，要抓住这个等量关系.第(2)小题的设元，可让学生尝试、讨论，对学生所得到的结论都应给予鼓励，在讨论交流的基础上，使学生知道，不是每道应用题都是直接设元，要认真分析题意，找出能表示整个题意的等量关系，再根据这个等量关系，确定如何设未知数.(3)当长方形的长为18厘米，宽为12厘米时长方形的面积＝18×12＝216(平方厘米)当长方形的长为17厘米，宽为13厘米时长方形的面积＝221(平方厘米)∴(1)中的长方形面积比(2)中的长方形面积小.问：(1)、(2)中的长方形的长、宽是怎样变化的?你发现了什么?如果把(2)中的宽比长少“4厘米”改为3厘米、2厘米、1厘米、厘米长方形的面积有什么变化?猜想宽比长少多少时，长方形的面积最大呢?并加以验证.通过计算，发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面积也发生变化，并且长和宽的差越小，长方形的面积越大，当长和宽相等，即成正方形时面积最大.实际上，如果两个正数的和不变，当这两个数相等时，它们的积最大，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理.三、巩固练习练习1、2.第l题，组织学生讨论，寻找本题的“等量关系”.用一块橡皮泥捏出的各种形状的物体，它的体积是不变的.因此等量关系是：圆柱的体积＝长方体的体积.第2题，先让学生根据生活经验，开展讨论，解这道题的关键是什么?题中的等量关系是什么?通过思考，使学生明确要解决“能否完全装下”这个问题，实质是比较这两个容器的容积大小，因此只要分别计算这两个容器的容积，结果发现装不下，接着研究第2个问题，“那么瓶内水面还有多高”呢?如果设瓶内水面还有x厘米高，那么这里的等量关系是什么?等量关系是：玻璃杯中的水的体积十瓶内剩下的水的体积＝原来整瓶水的体积.从而列出方程四、小结本节课同学们认真思考，积极探索，通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步体会到运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，有些等量关系是隐藏的，不明显，同学们要联系实际，积极探索，找出等量关系.五、作业习题第1、2、3.教学反思：。
解析关于面积与体积的常见问题(知识点总结)
解析关于面积与体积的常见问题（知识点总结）在几何学中，面积和体积是两个重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将对面积与体积的概念进行解析，并针对常见问题进行知识点总结。
一、面积的概念与计算方法面积是指平面图形所覆盖的单位区域的大小。
常见的平面图形包括矩形、正方形、三角形、圆等。
以下是各种图形的面积计算方法：1. 矩形和正方形的面积计算公式为：面积 = 长 ×宽。
其中，长和宽分别表示矩形或正方形的边长。
2. 三角形的面积计算公式为：面积 = 底边长 ×高 / 2。
其中，底边长表示三角形的底边长度，高表示从底边到顶点的垂直距离。
3. 圆的面积计算公式为：面积= π × 半径²。
其中，半径表示圆的半径长度，π是一个常数，约等于3.14。
二、体积的概念与计算方法体积是指三维立体物体所占据的空间大小。
常见的三维物体包括长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。
以下是各种物体的体积计算方法：1. 长方体和正方体的体积计算公式为：体积 = 长 ×宽 ×高。
其中，长、宽和高分别表示长方体或正方体的边长。
2. 圆柱体的体积计算公式为：体积= π × 半径² ×高。
其中，半径表示圆柱底面的半径长度，高表示圆柱的高度。
3. 圆锥体的体积计算公式为：体积= π × 半径² ×高 / 3。
其中，半径表示圆锥底面的半径长度，高表示圆锥的高度。
三、常见问题解析1. 什么是表面积？表面积是指立体物体外部所有可见面的总和。
例如，一个长方体有六个面，其中有两个底面和四个侧面，表面积等于底面积和侧面积之和。
2. 什么是体积的单位？体积的单位取决于物体所处的测量系统。
国际单位制中，常用立方米（m³）作为体积的单位。
在实际应用中，还可以使用立方分米（dm³）或立方厘米（cm³）进行表示。
3. 如何计算复杂形状的面积和体积？对于复杂形状，面积和体积的计算可以通过分解为简单形状的部分进行求解，然后将结果进行累加。
《实践与探索》(周长、面积、体积问题)参考课件1
合并同类项 将未知数的系数相加，常数项项加。
依据是乘法分配律
系数化为1 在方程的两边除以未知数的系数.
你能解释吗?
父亲的羊越来越多，想拆旧羊圈扩大面 积，可是没有多余的篱笆，怎么办呢？他叫 来了儿子,儿子不慌不忙地说：“爸，我有办 法”。“你看，旧羊圈长70米，宽30米，面 积2100平方米。如果改成长宽都是50米的新 羊圈，不用添篱笆，羊圈面积就有2500平方 米”。
将一个底面直径是10厘米,高为36厘米的 “瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20厘米的 “矮胖”形圆柱，高变成了多少？
锻压前的体积=锻压后的体积
解：设锻压后圆柱的高为x厘米，填
写下表：
锻压前
锻压后
底面半径
5厘米
10厘米
高
36厘米
x 厘米
体 积 5236 102 x
根据等量关系，列出方程：
π×52×36 = π×102×x
同样长的铁丝围成怎样的四边形时面积最大？
1.等积变形:变形前的体积=变形后的体积 2.等周长变形:
变形前的周长=变形后图形的周长 3.寻找不变量, 以不变应万变。
小明的爸爸想用10米铁丝在墙边围成一 个鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮他爸 爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？
墙面
x
铁丝
x+4
若小明用10米铁丝在墙边围成一个长方形 鸡棚，使长比宽大5米，但在宽的一边有一扇 1米宽的门，那么，请问小明围成的鸡棚的长 和宽又是多少呢？
门
墙面
铁丝
作业
课本16.练习题第1.2 题做到作业本上
解得： x=17
宽为： 17－4=13（厘米）
面积为： 17×13＝221（平方厘米）
华师大版数学七年级下册_《实践与探索》(周长、面积、体积问题)参考课件2
x 3.4
经检验 , 符合题意.
x
·
r=1.5
答:圆柱的高是 3.4 厘米.
2.在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装 满水,再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘 米的圆柱形玻璃杯中,能否完全装下?若装不下,那么瓶 内水面还有多高?若未能装满,求杯内水面离杯口距离.
（2）长方体、圆柱的体积公式
V V 长方体=长×宽×高， 圆柱=∏r2h
问 用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形.
题 1
(1)如果长方形宽是长的2/3，求这个长方形的长和宽.
解:(1)设这个长方形的长为 x 厘米,
x
则宽为 2 x 厘米,据题意得 3 (x 2 x) 2 60
2x 3
3
5 x 2 60 3
x4
2x 4 30
2x 30 4
2x 34
(长) x 17
(宽) x 4 17 4 13
这个长方形的面积: 17 13 221 (平方厘米)
答:这个长方形的面积为221平方厘米.
问
题 1
(3)比较(1)、(2)所得两个长方形面积的大小. 还能围成面积更大的长方形吗?
18
解:(3)当长方形的长为18厘米,宽为12厘米时, (1) 12
解:(2)当长为8米，宽为（24-8）÷2=8，S长方形=8×8=64米2 当长为10米，宽为（24-10）÷2=7，S长方形=10×7=70米2 当长为12米，宽为（24-12）÷2=6，S长方形=12×6=72米2 当长为14米，宽为（24-14）÷2=5，S长方形=14×5=70米2
故当小花圃才长为12米，宽为6米时，其面积最大，为72米2
面积、体积相关问题
轻松解决面积与体积问题的方法
轻松解决面积与体积问题的方法在数学中，面积和体积是两个常见且重要的概念。
许多学生在解决与面积和体积相关的问题时可能会感到困惑，因为涉及到不同的图形和物体。
然而，通过一些简单的方法和技巧，我们可以轻松地解决面积和体积问题。
本文将介绍一些实用的方法，帮助您更好地理解和计算面积和体积。
一、面积问题的解决方法1. 学习基本公式要解决面积问题，首先需要掌握一些基本的面积公式。
例如，矩形的面积公式为长乘以宽，三角形的面积公式为底边乘以高的一半等等。
如果你熟悉这些公式，就能更快速、准确地计算出图形的面积。
2. 分割图形有时候，一个图形的面积难以计算，特别是当它的形状很复杂时。
这时，你可以尝试将图形分割成几个简单的形状，然后计算每个形状的面积，最后将它们相加。
例如，一个由两个矩形组成的图形，你可以分别计算每个矩形的面积，然后将它们相加得到整个图形的面积。
3. 利用相似图形相似图形具有相同的形状但尺寸不同。
当你遇到一个复杂的图形时，如果能够找到一个相似但尺寸简单的图形，就可以利用它们之间的比例关系来计算面积。
例如，如果你知道一个三角形的底边和高与另一个相似三角形的底边和高的比例，你就可以用这个比例来计算两个三角形的面积比。
二、体积问题的解决方法1. 学习基本公式与求解面积问题类似，解决体积问题时也需要掌握一些基本的体积公式。
例如，矩形的体积公式为长乘以宽乘以高，圆柱体的体积公式为底面积乘以高等等。
当你熟悉这些公式后，就能够轻松地计算出不同形状的物体的体积。
2. 分解物体有时候，一个物体的体积难以计算，尤其是当它的形状复杂或不规则时。
此时，你可以尝试将物体分解成几个简单的形状，计算每个形状的体积，然后将它们相加。
例如，一个由圆柱体和球体组成的物体，你可以分别计算圆柱体和球体的体积，然后将它们相加得到整个物体的体积。
3. 利用比例关系当你遇到一个与已知物体相似但尺寸不同的物体时，可以利用它们之间的比例关系来计算体积。
利用面积与体积的关系解决问题
利用面积与体积的关系解决问题在数学中，面积和体积是两个非常基本且重要的概念。
面积是二维图形所占空间的大小，而体积则是三维物体所占空间的大小。
本文将探讨如何利用面积与体积的关系解决数学问题。
一、面积与体积的定义在谈论面积与体积之前，我们先来了解一下它们的定义。
1. 面积：面积通常指的是平面图形所占据的空间大小。
常见的平面图形有矩形、圆形、三角形等。
计算面积的公式因图形而异，比如矩形的面积可以通过长乘以宽来计算，圆形的面积可以通过半径平方乘以π来计算。
2. 体积：体积是指三维物体占据的空间大小。
常见的三维物体有立方体、圆柱体、球体等。
计算体积的公式也因物体而异，比如立方体的体积可以通过边长的立方来计算，圆柱体的体积可以通过底面积乘以高来计算。
二、利用面积与体积的关系解决问题面积与体积之间存在一定的关系，通过这一关系，我们可以解决一些与面积和体积相关的问题。
下面，我们将通过几个具体例子来说明。
例子一：求解一个立方体的边长假设一个立方体的体积为64立方厘米，我们需要求解它的边长。
解：设立方体的边长为a，则立方体的体积为a³。
根据已知条件，a³=64，解得a=4。
因此，该立方体的边长为4厘米。
例子二：求解一个圆柱体的高假设一个圆柱体的体积为100π立方米，底面半径为5米，我们需要求解它的高。
解：设圆柱体的高为h，则圆柱体的体积为底面积乘以高，即100π=25πh，解得h=4。
因此，该圆柱体的高为4米。
例子三：求解一个三角形的面积假设一个三角形的底边长为6厘米，高为8厘米，我们需要求解它的面积。
解：三角形的面积可以通过底边长乘以高再除以2来计算，即面积=(6×8)/2=24平方厘米。
因此，该三角形的面积为24平方厘米。
通过以上的例子，我们可以看到面积与体积的关系在解决数学问题中起到了重要的作用。
通过运用相应的公式和数学推理，我们能够根据已知条件求解出未知量，从而达到解决问题的目的。
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·6
某市按以下规定收取每月煤气费:如果不超过60立方米， 按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分 按每立方米1.2元收费.已知某用户一个月的煤气费平均 每立方米0.88元，求该用户这个月应交的煤气费. 解:设该用户这个月所用煤气为 x 立方米, 则根据题意,得 60 0 . 8 1 . 2 ( x 60 ) 0 . 88 x
解:设圆柱的高是
x 厘米,则根据题意,得
2
r x
解这个方程 ,
43 2
2
3 . 14 1 . 5 x 24
7 . 065 x 24
x 24 7 . 065
2 4
3
x
x 3 .4
经检验 , 符合题意 .
·
r=1.5
答:圆柱的高是 3.4 厘米.
2.在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水,再将瓶 内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中,能 否完全装下?若装不下,那么瓶内水面还有多高?若未能装满,求杯内 水面离杯口距离.
比较上面所得两个方程， 你发现了什么 ？
（2）使长方形的宽比长少4厘米，求这个长 方形的面积是多少？
x
x4
解：设长方形的长为Xcm，则长方形的宽为 （X-4 ）cm。
解： 设长方形的长为 x cm，则长方形的宽为 (x-4) cm。根据题意得： 2 [X+（X-4）]=60 解得 X=17 经检验，符合题意 长方形的宽为： X-4=17-4=13 长方形的面积为： S=17*13=221cm2 答：使长方形的宽比长少4cm ，那么这个长方形 的面积为221cm2
2.在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水,再将瓶 内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中,能 否完全装下?若装不下,那么瓶内水面还有多高?若未能装满,求杯内 水面离杯口距离. 18
·
1.其它条件不变，玻璃杯高改为 13.5 ㎝，再解答上面的问题；
2.其它条件不变，玻璃瓶高改为 12 ㎝，再解答 上面的问题； 5 10
48 1 . 2 x 72 0 . 88 x 1 . 2 x 0 . 88 x 72 48
0 . 32 x 24 , x
应交煤气费
24 0 . 32 ,
x 75 . 66 .
: 0 . 88 x 0 . 88 75
答:该用户这个月应交的煤气费为66元.
问题1
用一根长为60厘米的铁丝围成一个长方形， 2 （1）使长方形的宽是长的 ，那么这个长方形的长和宽分 3 别是多少？
等量关系︰
① 长 + 宽 = 30 2 长 ② 宽 = 3
解： 设长方形的长为 x cm，则长方形的宽为
2 3
x
cm。
根据题意得：
解这个方程，得 长方形的宽为：
x
2 3
x 30
224 224.75 225
观察以上数据，你能发现长方形的面积和长方形长、宽之 差有什么关系么？
结 论
通过计算,发现在周长为60厘米时随着 长方形的长与宽的变化,长方形的面积也 发生变化,并且长和宽的差越小,长方形的 面积越大,当长和宽相等时,面积最大.即 当长和宽相等都为15厘米时,围成的长方 形(即正方形)面积最大.此时面积为225厘 米2.
用一根长为60厘米的铁丝围成一个长方形， ________，这个长方形的面积是多少？
（发挥你的想象力，添加一个条件，并解答。）
练习:课本16页第1、2题
1.一块长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米的长方 体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆柱， 它的高是多少？（精确到0.1厘米, 取3.14)
1.怎样说明装下与装不下？ 2.装下与装不下的相等关系分别是什么？ 装不下的相等关系： 瓶内有水部分体积 = 瓶体积 - 杯体积 全装下的相等关系： 杯内有水部分体积 = 杯体积 - 瓶体积
18
·
5 10
·
6
2.在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水,再将瓶 内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中,能 否完全装下?若装不下,那么瓶内水面还有多高?若未能装满,求杯内 水面离杯口距离. 解:瓶内装水:
x
2 3 x
x 18
2 3 x 2 3 18 12
经检验，符合题意。 答：长方形的长和宽分别是18cm和12cm 解法二： 设长方形的长为 cm，则长方形的宽为 3 0 x cm。
x
根据题意得： 3 0 x
2 3
x
解这个方程，得
（以下略）
还有其它方法吗？
x 18
2 2 . 5 18 112 . 5
18 (厘米3 )
玻璃杯可装水: (厘米3 ) 所以玻璃杯不能完全装下.
2 3 10 90
·
5 10
设:瓶内水面还有
x 厘米高,则
2 2 . 5 x 112 . 5 90
·6
x 3 .6
答:玻璃杯不能完全装下,瓶内水面还有 3.6 厘米高.
探 索
将问题（3）中 使长方形的宽比长少4厘米改为3厘米、2厘米、1厘 米、0厘米，分别计算这个长方形的面积是多少？
分组练习！ （由小组长分工，3分钟内完成）
加油！
加油！
分析
思考
长-宽
6
4 17 13
3 16.5 13.5
2 16 14
1
05 15 14.5 15
面积 216 221 222.75
辉县市孟庄中心校
范家明
做一做
1、长方形的长宽分别为9cm、1.2dm，长 方形的周长为________面积为_________。 42cm 108cm2 25πcm2 2、r=5cm的圆的周长为_________面积为_______ 10πcm
长方形的周长：L=2（a+b） 长方形的面积：S=ab 圆 的 周长： L=2πr S=πr2 圆 的 面积：