71投入产出模型的基本原理(精)
若假设
I A 0 ，则有 X ( I A) 1 Y。
按列建立模型
反映各部门产品的价值形成过程、生 产与消耗之间的平衡关系
x11 x21 xn1 v1 m1 x1 x12 x22 xn 2 v2 m2 x2 x1n x2 n xnn vn mn xn
若记
X x1，x2， ，xn ，Y y1，y2， ，yn a11 a12 a1n a a a 22 2n A 21 an1 an 2 ann
T
T
则方程组可以写成矩阵形式
AX Y X
( I A) Y
它可根据实际问题将部门进行合并或 分解，显得更为灵活。因此，应用范围更 广，应用价值更大。 ② 价值型投入产出表中的部门是“纯 部门”，是根据同类产品的原则来划分的， 而不是按行政和企业来划分的。因此，在 应用价值型投入产出模型研究有关实际问 题时，数据资料的收集和处理一定要注意 这一点。
第1节 投入产出模型的基本原理
实物型投入产出模型 价值型投入产出模型
按照时间概念，可以分为静态投入产 出模型和动态投入产出模型。
静态投入产出模型
主要研究某一个时期各个产业部门之 间的相互联系问题；按照不同的计量单位， 可以分为实物型和价值型两种。 实物型——按实物单位计量；
价值型——按货币单位计量。
q
j 1
n
0j
L
如果令 ij
qij qj
(i, j ＝1 ， 2， ，n)
则 αij 表示生产单位数量的 j 类产品需 要消耗的 i 类产品的数量，它被称为产品 的直接消耗系数。 同理，劳动的直接消耗系数为
a0 j
n
q0 j qjBiblioteka ( j 1 ， 2， ，n)
qi (i 1， 2， ，n)
即
x
j 1
n
ij
yi xi (i 1， 2， ，n)
记直接消耗系数为
aij xij xj (i，j 1， 2， ，n)
则方程变为
a x
j 1 ij
n
j
yi xi (i 1， 2， ，n)
上式叫做产品分配方程组，表明， 对于每一个部门，其总产品等于从该 部门流向其他部门的产品及最终产品 之和。
表7.1.2
价值型投入产出表
最终产品 总产值
中 间 使 用
部门 1 部门2 部门n 小计
物 质 消 耗 新 创 造 价 值
部门1 部门2 部门 n 小计
劳动报酬 纯收入
小计
x11 x 21 x n1 C1
x12 x 22 xn2 C2
x1n x 2n x nn Cn
E1 E2 En C
y1 y2 yn y
x1 x2 xn x
v1 m1 N1
x1
v2 m2 N2
x2
vn
v m N0
x
mn Nn
xn
总产值
按横行建立数学模型
反映各部门产品的生产与分配使用情 况，描述了最终产品与总产品之间的平衡 关系。
x11 x12 x1n y1 x1 x 21 x 22 x 2 n y 2 x 2 x n1 x n 2 x nn y n x n
通过求解得到各类产品的总产量
Q ( I A) 1 Y
实物型投入产出模型，建立了各类 产品的生产和分配使用之间的平衡关系。 在模型中，直接消耗系数矩阵A反映了生 产过程的技术结构。模型通过列昂捷夫 矩阵(I-A)建立了总产品与最终产品之间 (I A) 1 的关系，通过列昂捷夫逆矩阵 建 立了最终产品与总产品之间的关系。
a 为生产单位数量的j部门产品的
全部物质消耗系数。
若将物质消耗系数矩阵记为
n ai1 i 1 0 C 0 0
a
i 1
n
i2
0
T
N 2， ， N n ，该模型的矩阵形式 并记 N N1，
0 0 n ain i 1
这两种模型最能反映投入产出特征。
动态投入产出模型
针对若干时期，研究再生产过程中 各个产业部门之间的相互联系问题。 两者基本原理相同。以静态投入产 出模型为例，介绍投入产出分析的基本 原理。
（一）实物型投入产出模型
实物型投入产出表，是以各种产品为对 象，以不同的实物计量单位编制出来的。表 7.1.1是一个简化的实物型的投入产出表。
表7.1.1
产出 投入
投入产出表
最终产品 总产品
中 间 产 品 1 2 … n
1 2 n
劳 动
q11 q12 q1n q 21 q 22 q 2 n q n1 q n 2 q nn
y1 y2 yn
/
q1 q2 qn
L
q01 q02 q0n
按每一行可以建立一个方程，这样就有
（二）价值型投入产出模型
该模型是根据价值型投入产出表建立 的。它将整个经济系统划分为若干子系 统——生产部门，并以货币为计量单位。 不仅能够反映各部门产品的实物运动过程， 而且能够描述各部门产品的价值流动过程、 实用性与实用范围。表7.1.2为一个简化的 价值型投入产出表，可以按行或者列建立 数学模型。
即
x
i 1
n
ij
vj mj xj ( j 1 ， 2， ，n)
上式叫做费用平衡方程组，它反映 物质消耗费用、新创造价值与产品总价 值之间的关系。
设
n i 1
N j v j＋m j
ij
则方程组可写成
a
n i 1 ij
x j N j x j ( j 1， 2， ，n)
为
(I C) X N
CX N X
若|I-C|≠0，则可以建立新创造价值与总产值 之间的联系
X ( I C)－1 N
特点
与实物型投入产出模型相比，具有以 下两个方面的特点： ①计量单位统一，对价值型投入产出 表，既可按行建立模型 —— 反映各部门产 品的产生与分配使用情况，也可按列建立 模型 —— 反映各部门产品价值的形成过程， 可同时从产品的使用价值和价值两个方面 反映各个部门之间的相互联系。
第7章 投入产出分析方法
本章主要内容
投入产出模型的基本原理 区域经济活动的投入产出模型 资源利用与环境保护的投入产出分析
投入产出分析，又称“部门平衡”分析， 或称“产业联系”分析，最早由美国经济学家 瓦· 列昂捷夫(W. Leontief)提出。主要通过编制 投入产出表及建立相应的数学模型，反映经济 系统各个部门(产业) 之间的相互关系。自20世 纪60年代以来，这种方法就被地理学家广泛地 应用于区域产业构成分析 、区域相互作用分析， 以及资源利用与环境保护研究等各个方面。在 现代经济地理学中，投入产出分析方法是必不 可少的方法之一。
上述方程的矩阵形式为
( I A)Q Y AQ Y Q
具体形式为
1 a11 a12 a1n a21 1 a22 a2 n ( I A) a a 1 a n2 nn n1
q11 q12 q1n y1 q1 q21 q22 q2 n y2 q2 qn1 qn 2 qnn yn qn q01 q02 q0 n L
以上方程式可以写成
q
j 1
n
ij
yi qi (i 1， 2， ，n)
则有 aij q j yi
j 1
a
j 1
n
0j
qj L
a11 a12 若令 A a21 a22 a n1 an 2 T Q q1，q2 ,，qn , Y
a1n a2 n ann T y1，y2， ，yn
投入产出模型
投入产出模型投入产出模型是指对于经济系统（这一经济系统可以是一个国家，一个地区，一个行业或一个企业的经济活动）的多部门的投入与产出进行研究，编制投入产出表，并建立其数学模型，称作投入产出模型。
这种将经济系统的投入产出关系编制成投入产出表，建立投入产出模型进行研究的方法叫做投入产出法。
投入产出法是由美国著名经济学家瓦西里·列昂节夫20世纪30年代首先提出的。
最初是由研究一国的国民经济各个产业部门间的联系发展起来的,因此被人们称作部门联系平衡法,又叫产业关联法。
利用投入产出模型对经济活动进行分析和进行经济预测，这是一种重要的经济数量分析，叫做投入产出分析。
投入产出分析的理论基础是第七章我们所介绍的一般均衡理论，主要是对一个国家或一个地区宏观经济的研究。
但随着这一方法的广泛应用，它也可以研究一个部门（行业）的经济活动，一个公司或企业的生产经营活动。
本章将在介绍投入产出模型的基础上，着重介绍投入产出模型在国民经济预测和企业经济预测方面的应用。
第一节投入产出模型的基本形式一、投入产出表所谓投入，是指产品生产所需原材料、辅助材料、燃料、动力、固定资产折旧和劳动力的投入；所谓产出，是指产品生产的总量及其分配使用的方向和数量，包括生产消费（中间产品）、生活消费、积累和净出口等。
生产过程就是投入与产出关系的客观反映，一定时期内产品的产出受投入的影响。
投入与产出的数量关系可以编制成一种矩形的表格表示，即投入产出表。
投入产出表可以按实物形态编制，也可以按价值形态编制。
按实物形态编制的投入产出表叫实物表，按价值形态编制的投入产出表叫价值表，两者基本结构形式是相同的，它们之间只差一个价格因素。
投入产出表按编制的范围不同，可以分作世界投入产出表、国家投入产出表、地区投入产出表、部门投入产出表和企业投入产出表。
这里仅以价值形态的全国表为例介绍投入产出表的结构。
假设把国民经济划分为n 个部分，用1，2，…，n 等号码表示。
第五章 投入产出模型的基本原理
i 1 ij
n
若将物质消耗系数矩阵记为：
n ai1 i 1 0 C 0 0
a
i 1
n
i2
0
T
并记N N1， N 2， Nn (I C) X N
该模型的矩阵形式为：
0 0 n ain i 1
j 1
n
ij
yi qi (i 1， 2， ，n)
q
j 1
n
0j
L
如果令
aij
qij qj
(i, j ＝1 ， 2， ，n)
则aij表示生产单位数量的j类产品需要消耗的i类 产品的数量，它被称为产品的直接消耗系数。 同理，劳动的直接消耗系数为：
a0 j q0 j qj ( j 1 ， 2， ，n)
在下个生产周期，甲、乙计划总产量为297t、122m3 时扣除消耗掉的产品量 后的商品量才满足市场需求。 将 带入（1）
y1 0.8 1.25 x1 70.5 y x 0.14 0.75 46.1 2 2
1 0 I 0 1
1 0.2 0 1.25 0.8 1.25 I A 0 0 . 14 1 0 . 25 0 . 14 0 . 75
将
y1 85 带入（2） y2 50 1 x1 0.8 1.25 y1 297 x2 0.14 0.75 y2 122 x1 260 x2 110
第七章 投入产出分析方法
投入产出模型 区域经济活动的投人产出模型
投入产出数学模型
投入产出的基本平衡关系
从左到右： 中间需求＋最终需求＝总产出 (1)
从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入
(2)
由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：
x11 x12 x1n y1 x1
x21
x22
x2n
表1：投入产出表（一般格式）
流量 产出 消耗部门
最终需求
投入
1 2 n 消费 累计 出口
生
1
x11 x12 x1n
产
2
x21 x22 x2n
部
门
n
xn1 xn2
xnn
新 创 价 值
工资 纯收入 合计
v1 v2 m1 m2 z1 z2
vn mn zn
总投入
x1 x2 xn
合计
y1 y2 yn
数学建模讲座
（二）投入产出数学模型
李媛
1
在经济活动中分析投入多少财力、物力、
人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高
低的主要标志。
投入产出技术正是研究一个经济系统各部 门间的“投入”与“产出”关系的数学模型， 该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷 夫（W.Leontief）提出，是目前比较成熟的 经济分析方法。
i1
由直接消耗系数的定义 xij aij x j，代入(3)，得
a11x1 a12x2 a1n xn y1 x1
a21x1
a22x2
a2n xn
y2
x2
an1x1 an2 x2 ann xn yn xn
令 X x1 x2 xn ,Y y1 y2
(10)
精品课件-投入产出分析
式中， Cij 表示第 j 类最终需求中对第 i 部门产品的需求量，
F j 表示第 j 类最终需求（消费、投资、出口）的总量，
Y T 表示各类最终需求合计。
所以， S 代表最终需求构成系数， 反映各类最终需求占最终需求总量的比例； C 代表最终需求部门组成系数， 反映用于消费、投资和出口的产品中来自各个部门的比例。 利用该式，可以计算最终需求总量发生变化的影响， 最终需求构成和最终需求部门组成等结构性因素发生变化的影响。
当应用需求拉动分析研究经济发展对资源需 求量的影响时，建议使用与生产规模相关的 可变资源直接消耗系数。
3. 结构分解分析
Structural Decomposition Analysis，简 称SDA模型 研究目标：将一定时期内经济系统某种生产 结果的变化分解到经济系统内各个相关影响 因素上。 基本原则：将其他因素固定在基期，乘以某 个因素的变化值即为该因素对目标变量的净 影响。
四个象限
产出分为两类，投入也分为两类，其相互交 叉就构成了投入产出表的四个象限。
第Ⅰ象限
假定经济系统可以分为n个部门，则第Ⅰ象 限为一个n×n的矩阵，反映货物和服务在部 门间的流量。 第Ⅰ象限中，元素Xij具有双重含义，一方 面它表示当期第j部门在生产过程中对第i部 门产品的消耗量，即在j部门生产过程中有 Xij数量的i部门产品作为中间投入被j部门所 消耗；另一方面它表示当期i部门产品分配给 j部门使用的数量。
投入
在投入方向，根据投入品价值转移方式的差别分为 中间投入，其价值在新产品的生产过程中一次性全 部转移到新产品上，原有实物形态消失，各种原材 料、能源等都属于中间投入； 最初投入，其价值根据生产中的消耗而逐步转移， 其实物形态在较长时期内保持不变，所以最初投入 主要指固定资产以及劳动力的投入，此外利润与税 收也列在最初投入中。
投入产出模型
投入产出模型投入产出模型是指对于经济系统（这一经济系统可以是一个国家，一个地区，一个行业或一个企业的经济活动）的多部门的投入与产出进行研究，编制投入产出表，并建立其数学模型，称作投入产出模型。
这种将经济系统的投入产出关系编制成投入产出表，建立投入产出模型进行研究的方法叫做投入产出法。
投入产出法是由美国著名经济学家瓦西里·列昂节夫20 世纪30年代首先提出的。
最初是由研究一国的国民经济各个产业部门间的联系发展起来的,因此被人们称作部门联系平衡法,又叫产业关联法。
利用投入产出模型对经济活动进行分析和进行经济预测，这是一种重要的经济数量分析，叫做投入产出分析。
投入产出分析的理论基础是第七章我们所介绍的一般均衡理论，主要是对一个国家或一个地区宏观经济的研究。
但随着这一方法的广泛应用，它也可以研究一个部门（行业）的经济活动，一个公司或企业的生产经营活动。
本章将在介绍投入产出模型的基础上，着重介绍投入产出模型在国民经济预测和企业经济预测方面的应用。
第一节投入产出模型的基本形式一、投入产出表所谓投入，是指产品生产所需原材料、辅助材料、燃料、动力、固定资产折旧和劳动力的投入；所谓产出，是指产品生产的总量及其分配使用的方向和数量，包括生产消费（中间产品）、生活消费、积累和净出口等。
生产过程就是投入与产出关系的客观反映，一定时期内产品的产出受投入的影响。
投入与产出的数量关系可以编制成一种矩形的表格表示，即投入产出表。
投入产出表可以按实物形态编制，也可以按价值形态编制。
按实物形态编制的投入产出表叫实物表，按价值形态编制的投入产出表叫价值表，两者基本结构形式是相同的，它们之间只差一个价格因素。
投入产出表按编制的范围不同，可以分作世界投入产出表、国家投入产出表、地区投入产出表、部门投入产出表和企业投入产出表这里仅以价值形态的全国表为例介绍投入产出表的结构。
假设把国民经济划分为n个部分，用1，2，⋯，n 等号码表示。
投入产出分析
投入产出分析，在中国也被称为投入产出法，在日本被称为产业关联法，而在前苏联和东欧国家曾经被称为部门联系平衡法。
所有这些不同的名称，抽去它们在经济理论上的不同解释，就其作为一种经济数量分析方法来说，原理是一致的。
本节主要介绍投入产出的定义、关于投入产出模型的概念，以及投入产出分析理论与实践的发展。
可以用一句话给出投入产出分析的定义：投入产出分析是研究经济系统中各个部分之间在投入与产出方面相互依存的经济数量分析方法。
这里的经“济系统” ，可以是整个国民经济，也可以是地区、部门和企业，也可以是多个地区、多个部门、多个国家。
所谓部“分” ，是指所研究的经济系统的组成部分。
一般或者是指组成经济系统的各个部门，或者是指组成经济系统的各种产品和服务。
所谓投“入” ，是指各个部门或产品在其生产或者运营过程中所必须的各种中间投入和最初投入。
例如工业部门在其生产过程中必须有资本、劳动等最初投入和原材料、燃料、劳务等中间投入。
所谓“产出”，是指各个部门或产品的的产出量的分配与使用。
例如工业部门的产出量中一部分作为本部门的投入，一部分作为其它部门的投入，一部分用于消费，一部分作为资本品用于投资，一部分用于出口。
根据上述对投“入”和产“出”的定义，可以想见，一个经济系统的各个部分之间存在着错综复杂的相互依存关系，由这些关系将经济系统的各个部分连成为一个不可分割的整体。
通过对这些相互依存关系的描述和分析，就可以揭示经济系统中包含的各种数量关系，可以使人们更深入地了解与把握经济系统。
⒈世界范围内投入产出分析的发展美国经济学家列昂捷夫(Wassily Leontief )于 1931 年开始研究投入产出分析，编制美国 1919 年、 1929 年投入产出表，并用于美国的经济结构研究； 1936 年他发表了关于投入产出分析的第一篇论文“美国经济制度中的投入产出分析” (美国《经济学与统计学评论》 1936.8. )；1941 年出版专著《美国经济结构： 1919—1929 》；在 1942-1944 年间，他又主持编制了 1939 年美国投入产出表； 1966 年出版专著《投入产出经济学》。
投入产出模型
投入产出模型投入产出模型是指对于经济系统（这一经济系统可以是一个国家，一个地区，一个行业或一个企业的经济活动）的多部门的投入与产出进行研究，编制投入产出表，并建立其数学模型，称作投入产出模型。
这种将经济系统的投入产出关系编制成投入产出表，建立投入产出模型进行研究的方法叫做投入产出法。
投入产出法是由美国著名经济学家瓦西里·列昂节夫20世纪30年代首先提出的。
最初是由研究一国的国民经济各个产业部门间的联系发展起来的,因此被人们称作部门联系平衡法,又叫产业关联法。
利用投入产出模型对经济活动进行分析和进行经济预测，这是一种重要的经济数量分析，叫做投入产出分析。
投入产出分析的理论基础是第七章我们所介绍的一般均衡理论，主要是对一个国家或一个地区宏观经济的研究。
但随着这一方法的广泛应用，它也可以研究一个部门（行业）的经济活动，一个公司或企业的生产经营活动。
本章将在介绍投入产出模型的基础上，着重介绍投入产出模型在国民经济预测和企业经济预测方面的应用。
第一节投入产出模型的基本形式一、投入产出表所谓投入，是指产品生产所需原材料、辅助材料、燃料、动力、固定资产折旧和劳动力的投入；所谓产出，是指产品生产的总量及其分配使用的方向和数量，包括生产消费（中间产品）、生活消费、积累和净出口等。
生产过程就是投入与产出关系的客观反映，一定时期内产品的产出受投入的影响。
投入与产出的数量关系可以编制成一种矩形的表格表示，即投入产出表。
投入产出表可以按实物形态编制，也可以按价值形态编制。
按实物形态编制的投入产出表叫实物表，按价值形态编制的投入产出表叫价值表，两者基本结构形式是相同的，它们之间只差一个价格因素。
投入产出表按编制的范围不同，可以分作世界投入产出表、国家投入产出表、地区投入产出表、部门投入产出表和企业投入产出表。
这里仅以价值形态的全国表为例介绍投入产出表的结构。
假设把国民经济划分为n 个部分，用1，2，…，n 等号码表示。
《投入产出模型》课件
目录
CONTENTS
• 投入产出模型概述 • 投入产出模型的构建 • 投入产出模型的分析方法 • 投入产出模型的应用案例 • 投入产出模型的未来发展
01
CHAPTER
投入产出模型概述
定义与特点
定义
投入产出模型是一种经济数量分析方法，通过建立数学模型来描述和分析各部 门之间的经济技术联系和投入产出关系。
02
Excel是一款常用的办公软件， 可以通过添加插件或使用自定 义函数来处理投入产出模型的 数据。
03
SAS和Stata则是专业的统计分 析软件，具有强大的数据处理 和模型分析功能，适用于复杂 的投入产出模型分析。
04
CHAPTER
投入产出模型的应用案例
地区经济分析
总结词
投入产出模型在地区经济分析中，能够全面反映各产业间的经济联系，为地区经济发展战略制定提供决策依据。
数据来源
通过调查、统计和会计资料等途径获取各部门之间的 经济联系数据。
编制方法
采用会计和经济统计方法，按照生产活动的流程和特 点，将各部门之间的经济联系进行分类和整理。
直接消耗系数的计算
直接消耗系数
表示某部门生产单位产品所需直接消耗的另一 部门产品的数量。
计算方法
通过投入产出表中的投入数据计算，反映部门 之间的直接经济联系。
特点
投入产出模型具有系统性、动态性、预测性和政策模拟性，能够全面反映经济 系统的结构、功能和运行机制，为政策制定和经济发展提供科学依据。
投入产出模型的应用领域
产业结构分析
投入产出模型可以用于分析产业 间的关联关系和依存度，揭示产 业发展的内在规律和趋势，为产 业结构调整和优化提供决策支持 。
投入产出模型
证明 由定理3知，
n
bij aij bik akj
k 1
将 n2个等式用矩阵表示为
i, j 1,2,,n
B A BA或BE A A
由定理1知(E-A)可逆，故
B AE A1
E E AE A1 E A1 E 16
例3 假设某公司三个生产部门间的报告价值型投入产出表如表4，
投入产出数学模型
1
一、投入产出数学模型（基础） 二、区域间投入产出模型基础知识
2
一、投入产出数学模型（基础）
在经济活动中分析投入多少财力、物力、人力，产出多 少社会财富是衡量经济效益高低的主要标志。
投入产出技术正是研究一个经济系统各部门间的“投入” 与“产出”关系的数学模型.
该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷夫 （W.Leontief）提出，是目前比较成熟的经济分析方法。
4
表1：投入产出表
流量 产出 消耗部门
最终需求
投入
生1
产2
部
门
n
新 工资
创 纯收入
价 值
合计
总投入
1 2 n 消费 累计 出口
x11 x12 x1n x21 x22 x2n
xn1 xn2
xnn
v1 v2 vn m1 m2 mn z1 z2 zn
x1 x2 xn
合计
y1 y2 yn
3
（一）投入产出数学模型的概念
投入：从事一项经济活动的消耗； 产出：从事经济活动的结果； 投入产出数学模型：通过编制投入产出表，运用线性代数工具
建立数学模型，从而揭示国民经济各部门、再生产各环节之 间的内在联系，并据此进行经济分析、预测和安排预算计划。
按计量单位不同，该模型可分为价值型和实物型。 首先，必须清楚投入产出表。见下：
投入产出模型
线性代数 在经济管理中的应用
经济与管理学院 黄丽娟
西安电子科技大学 Xi Dian
University
目录
1 模型简介 投入产出模型是什么？ 2 模型思路 投入产出模型如何建？ 3 应用举例 投入产出模型怎么用？
西安电子科技大学 Xi Dian
University
1 投入产出模型简介
0.15 1
0.35
0.1 2
0.15
0.3 3
西安电子科技大学 Xi Dian
University
经济与管理学院 黄丽娟 - 8 -
3 投入产出模型应用举例
【国民经济宏观模型】设国民经济由制造业、农业
和服务业三部门组成。各部门的单位消耗列向量如
下表所示。
向下列部门 购买
制造业
每单位输出的输入消耗
向下列部门
每单位输出的输入消耗
购买 制造业 农业 服务业
制造业
农 业0.5 服 5务0业
v 0.5
1000v.12
100 00..3405 .2
002..1205
0.15 1 0.01 .15 10.35
西安电子科技大学 Xi Dian
University
经济与管理学院 黄丽娟 - 10 -
University
2 投入产出模型思路
基本假设：
对于每个部门，存在一个在 n 维单位消耗列向
量 vi ，它表示第 i 个部门每产出一个单位（比如
100万美金）产品，需消耗其他部门产出的数量。
把这 n 个 vi 并列起来，就可以构成一个 n n
的系数矩阵，成为内部需求矩阵V。由于要向外 部提供产品，V 矩阵各列向量元素之和必小于1。