互感和磁场能量
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磁场的能量 磁场能量密度
§17-5
磁场的能量
L R
K
当电键打开后，电源已不再向灯泡供应能量了。 它突然闪亮一下，所消耗的能量从哪里来的？
考察在开关合上后的一段时间内，电路中的电 流滋长过程：
由欧姆定律
dI L dt +
ε
L =I R
R
这一方程的解为：
ε
)
I I )
BATTERY
电池
I = R (1 e
= I (1 e
I1
dI dt
M12
1 B2 dV 2
12
I2
1 2 Wm LI 2
， ，
M k L1L 2
磁场能量： Wm v
总磁 能
1 Wm BH d V 2 1 2 1 L 2 m 2 磁场能量密度： 单位体积中储存的磁场能量 wm 磁能密度：
B wm 2
2
总磁能
Wm
V
B dV 2
2
例1 求同轴传输线之磁能 o I 解： B dV = 2 π rl 2r
t
时间内电源提供的部分能量转化为消耗 0 在电阻 R 上的焦耳-楞次热；
1 2
t
RI 2 d t 是
LI 02 是回路中建立电流的暂态过程中电源电动势克
服自感电动势所作的功，这部分功转化为载流回路的 能量； 当回路中的电流达到稳定值后，断开 K1 ，并同时 接通K 2 ，这时回路中的电流按指数规律衰减，此电 流通过电阻时，放出的焦耳-楞次热为
电磁感应 定律
电动势
d m i dt 动 L( v B ) d l
L
大小与方向 非静电力 f 洛 感生电场
磁场的能量
L R
K
当电键打开后，电源已不再向灯泡供应能量了。 它突然闪亮一下，所消耗的能量从哪里来的？
考察在开关合上后的一段时间内，电路中的电 流滋长过程：
由欧姆定律
dI L dt +
ε
L =I R
R
这一方程的解为：
ε
)
I I )
BATTERY
电池
I = R (1 e
= I (1 e
I1
dI dt
M12
1 B2 dV 2
12
I2
1 2 Wm LI 2
， ，
M k L1L 2
磁场能量： Wm v
总磁 能
1 Wm BH d V 2 1 2 1 L 2 m 2 磁场能量密度： 单位体积中储存的磁场能量 wm 磁能密度：
B wm 2
2
总磁能
Wm
V
B dV 2
2
例1 求同轴传输线之磁能 o I 解： B dV = 2 π rl 2r
t
时间内电源提供的部分能量转化为消耗 0 在电阻 R 上的焦耳-楞次热；
1 2
t
RI 2 d t 是
LI 02 是回路中建立电流的暂态过程中电源电动势克
服自感电动势所作的功，这部分功转化为载流回路的 能量； 当回路中的电流达到稳定值后，断开 K1 ，并同时 接通K 2 ，这时回路中的电流按指数规律衰减，此电 流通过电阻时，放出的焦耳-楞次热为
电磁感应 定律
电动势
d m i dt 动 L( v B ) d l
L
大小与方向 非静电力 f 洛 感生电场
14电磁感应2(自感互感、磁场能量)
§14-3 自感和互感
I
一、自感 1．当一线圈中的电流变化时，它所激发的磁 场通过线圈自身的磁通量也在变化，使线 圈自身产生感应电动势。 这种因线圈中电流变化而在线圈自身所引 起的感应现象叫做自感现象，所产生的电 动势叫做自感电动势。
R
L
S2 S1
S
L
闭合开关， 2比S1先亮 S
断开开关，S闪一下熄灭
电流增大时，dI 0 ， L 0 ，即 L与电流反
向，阻碍电流增大；
dI 电流减小时， 0 ， L 0 ，即 L与电流同 dt dt
向，阻碍电流减小
I
例1 、 试计算长直螺线管的自感。 已知：匝数N,横截面积S,长度l ,磁导率
μ
l
自感的计算步骤：
S
LH dl I B H B H
单位长度导线内磁能为：
R
P
Wm wm dV
V
R
0
I 2 r 2 I 2 2rdr 2 4 8 R 16
§14-5 位移电流 麦克斯韦方程组
一、电磁场的基本规律 静电场：
D dS q
S
E dl 0
l
（对真空或电介质都成立）
稳恒磁场：
例、如图，求同轴传输线之磁能及自感系数 R2 I I 解: H B dV 2rldr R 1 2r 2r 1 W V wdV V H 2 dV 2 R2 1 I 2 ( ) 2rldr R1 2 2r I 2 l R2 ln( ) 4 R1 I 2 l R2 1 2 LI W ln( ) 4 R1 2 l R2 可得同轴电缆 L ln( ) 的自感系数为 2 R1
I
一、自感 1．当一线圈中的电流变化时，它所激发的磁 场通过线圈自身的磁通量也在变化，使线 圈自身产生感应电动势。 这种因线圈中电流变化而在线圈自身所引 起的感应现象叫做自感现象，所产生的电 动势叫做自感电动势。
R
L
S2 S1
S
L
闭合开关， 2比S1先亮 S
断开开关，S闪一下熄灭
电流增大时，dI 0 ， L 0 ，即 L与电流反
向，阻碍电流增大；
dI 电流减小时， 0 ， L 0 ，即 L与电流同 dt dt
向，阻碍电流减小
I
例1 、 试计算长直螺线管的自感。 已知：匝数N,横截面积S,长度l ,磁导率
μ
l
自感的计算步骤：
S
LH dl I B H B H
单位长度导线内磁能为：
R
P
Wm wm dV
V
R
0
I 2 r 2 I 2 2rdr 2 4 8 R 16
§14-5 位移电流 麦克斯韦方程组
一、电磁场的基本规律 静电场：
D dS q
S
E dl 0
l
（对真空或电介质都成立）
稳恒磁场：
例、如图，求同轴传输线之磁能及自感系数 R2 I I 解: H B dV 2rldr R 1 2r 2r 1 W V wdV V H 2 dV 2 R2 1 I 2 ( ) 2rldr R1 2 2r I 2 l R2 ln( ) 4 R1 I 2 l R2 1 2 LI W ln( ) 4 R1 2 l R2 可得同轴电缆 L ln( ) 的自感系数为 2 R1
场波教案-6
电磁感应的应用
高速变化的电场（20-30KHz）产生变化磁场，再通过电磁 感应，引发铁锅内的涡电流，再转化为热能。 电磁炉不适用的锅：铜、铝、陶、玻璃材料的锅和容器。
2. 自感与互感 已知线性媒质的磁导率与磁感应强度的大小无关，因而位于线性 媒质中的单个闭合回路电流产生的磁感应强度与回路电流 I 成正比， 所以穿过回路的磁通也与回路电流 I 成正比。 与回路电流 I 交链的磁通称为回路电流 I 的磁通链，以 表示， 令 与 I 的比值为L，即
I1
式中L11称为回路 l1的自感，M12称为回路 l2 对 l1 的互感。
同理定义
L22
22
I2
M 21
21
I1
式中L22 称为回路 l2的自感，M21称为回路 l1对 l2的互感。
将上述参数 L11，L22，M12 及 M21 代入前式，得
1 L11I1 M12 I 2
第六章 电磁感应
主 要 内 容 电磁感应定律，自感与互感，能量与力。 1，电磁感应定律 2，自感与互感 3，磁场的能量 4，磁场力
1. 电磁感应定律 视频：变化的磁场和闭合线圈中的电流。 可以观察到： 1，变化的 磁场会在闭 合线圈中产 生电流。 2，实验表 明，电流的 方向总是在
阻止磁场的
变化。
0 Ir
2πa
2
dr
但是这部分磁通仅与内导体中自内导体
a
O
轴线位臵 0 至 r 之间部分电流 I ' 交链，
c I b I
而不是与总电流 I 交链，因此，对于总
电流 I 来说，这部分磁通折合成与总电
流 I形成的磁通链应为
I b c e
O
r a dr
互感 自感和磁场能量
Li
L i
1mH=10-3H, 1m H=10-6H
单位：亨（利） H，
三、自感系数（自感）
2.性质：
L i
(1)L 决定于线圈的形状、尺寸、匝数和磁 介质的分布情况，与线圈是否通电流无关。
（2）L反映了回路反抗电流变化的能力
3.有关计算
Li
L i
di L L dt
已知：螺线管单位长度上n匝，圆环面积为S 求:螺线管与圆环的互感系数
思路： i1 B1 21 M
i1
B1
解： 设螺线管通有电流 i1
螺线管内磁场： B1 m0 ni1 通过圆环的全磁通
S
21 M i1
21 B1S m 0ni1 S m 0ni1 S m0 nS
设回路1通电流 i1，求 i1
i1
B1
变化时，回路2中的互感电动势
i2
M21：互感系数
B1 i1 21 i1 21 M 21i1
d21 di1 dM 21 di1 M 21 i1 M 21 21 dt dt dt dt
同理：
di2 12 M 12 dt
m 0 Il R2 ln 2 R1
L m0 ln R2 l = 2 R1
五、自感现象的应用与危害
•在许多电器设备中，常利用线圈的自感起稳 定电流的作用
例如，日光灯的镇流器就是一个带有铁芯的自感线圈
•通常在具有相当大的自 感和通有较大电流的电 路中，当扳断开关的瞬 时，在开关处将发生强 大的火花,产生弧光放电 现象，亦称电弧
m
L
I
L
i :I
0
自感电动势做的功＝磁场能量变化
大学物理第27章_自感互感
科学成就：亨利在物理学方面的主要成就是对电 磁学的独创性研究。
①强电磁铁的制成，为改进发电机打下了基础。
1829年亨利对英国发明家威廉史特京(17831850）发明的电磁铁作了改进，他把导线用丝绸 裹起来代替史特京的裸线，使导线互相绝缘并且 在铁块外缠绕了好几层，使电磁铁的吸引作用大 大增强。
亨利最初制作的电磁铁能吸起三百公斤铁，后 来他制作的一个体积不大的电磁铁能吸起一吨重 的铁块 。
(a) 什么也没发生——电容器仍然保持充满电的状态Q Q0 。
(b) 电容器很快放电，直至最终放完电（ Q 0）。
(c) 回路中有电流通过，直至电容器反向充电，周而复始。
(d)
最初储存在电容器中的静电能（U E 圈当中，并一直保存在线圈中。
1 2
Q02
/C
）转移到线
(e) 储存在电容器中的一半能量转移到线圈中，并保存在线
1
M
dI 2 dt
2
M
dI1 dt
练习B 如图27-3所示，哪个螺线管-线圈系统的互 感系数最大？假设螺线管均完全相同。
图27-3
互感的应用：变压器
互感现象不仅发生于绕在同一铁芯 上的两个线圈之间,且可发生于任何 两个相互靠近的电路之间。在电力 工程和电子电路中，互感现象有时 会影响电路的正常工作，这时要设 法减小电路间的互感。
互感的应用：心脏起搏器、变压器等
M 的存在有利有弊 在变压器中：M 越大，能量损失越小。 在电子线路中：M 越大，相互干扰越大。
§27-2 自感
自感现象:当一个
线圈（或者螺线管）中
的电流发生变化时，则
通过该线圈自身的磁通
i
量将发生变化，从而在
大学物理-12第十二讲 感生电动势、自感、互感、磁场能量
3.按定义 L I
18
二、互感应
●由于一个载流回路中电流发生变化而引起邻近另 一回路中产生感生电流的现象称为“互感现象”， 所产生的电动势称为 “互感电动势”。
21N 2 21M 21I1 12N 1 12M 12I2
从能量观点可证明：
M12M21M
M称为互感系数简称互感 单位：亨利（H）
同理：
bo
ov r b E感dr0
ab oabo
o
E 感
L R2 L2 dB
2
4 dt
h
a
b
L
方向ab (Ub Ua )
9
vv
Байду номын сангаас法2： 用 LE感dl 求
vv
dE感dl
r 2
dB dt
cos
dl
h 2
dB dt
dl
vv
LE感dl
b h dB dl
a 2 dt 1 hL dB
缆单位长度的自感系数。
解： 两导体圆筒间磁场
B
I
2r
R2 R1
AB
通过单位长度一段的磁通量
I l 1
B vdS vR R 12Bldr2 IlnR R 1 2
DC
单位长度的自感系数 L lnR2 I 2 R1
17
总结L的计算方法 1.设回路电流为I，写出B的表达式（一般由安培
环路定理）
vv
2.计算磁通 B d S, N
LE库dvl
0
v
Ñ 感生电场是非保守力场 LE感dl 0
3
例：在半径为R 的长直螺线管中通有变化的电流，使
管内磁场均匀增强，求螺线管内、外感生电场的场强
18
二、互感应
●由于一个载流回路中电流发生变化而引起邻近另 一回路中产生感生电流的现象称为“互感现象”， 所产生的电动势称为 “互感电动势”。
21N 2 21M 21I1 12N 1 12M 12I2
从能量观点可证明：
M12M21M
M称为互感系数简称互感 单位：亨利（H）
同理：
bo
ov r b E感dr0
ab oabo
o
E 感
L R2 L2 dB
2
4 dt
h
a
b
L
方向ab (Ub Ua )
9
vv
Байду номын сангаас法2： 用 LE感dl 求
vv
dE感dl
r 2
dB dt
cos
dl
h 2
dB dt
dl
vv
LE感dl
b h dB dl
a 2 dt 1 hL dB
缆单位长度的自感系数。
解： 两导体圆筒间磁场
B
I
2r
R2 R1
AB
通过单位长度一段的磁通量
I l 1
B vdS vR R 12Bldr2 IlnR R 1 2
DC
单位长度的自感系数 L lnR2 I 2 R1
17
总结L的计算方法 1.设回路电流为I，写出B的表达式（一般由安培
环路定理）
vv
2.计算磁通 B d S, N
LE库dvl
0
v
Ñ 感生电场是非保守力场 LE感dl 0
3
例：在半径为R 的长直螺线管中通有变化的电流，使
管内磁场均匀增强，求螺线管内、外感生电场的场强
第28讲 自感与互感 磁场能量
9.3 自感与互感
dB dI 感 dt dt
?
自感和互感现象
dI L L dt dI1 21 M dt
一 自感 1. 自感现象
当一个线圈中的电流发生变化时，它所激发的 磁场穿过线圈自身的磁通量发生变化，从而在 线圈本身产生感应电动势，这种现象称为自感 现象，相应的电动势称为自感电动势。
4. 自感系数的物理意义
dI const 时， 当线圈中的电流变化率为定值，即 dt L越大，产生的εL越大，因此线圈阻碍电流变化的能 力越强。所以线圈的自感系数L的物理意义为：
自感 L有维持原电路状态的能力, 自感系数L就是 这种能力大小的量度,它表征回路电磁惯性的大小。
dI L L dt
L0=L1+L2+2M =2L+2M
所以 L=L0/2-M < L0/2。
证毕。
9.4 磁场的能量
1 自感磁能 当电路中电流从 0 增加到稳定值 I0 时，电路附近 的空间逐渐建立起一定强度的磁场，磁场也具有 能量。 电源反抗自感电动势所做的功，就在建立磁场的 过程中转化为磁场的能量。 ─自感磁能
0 I 0 B 2 r 0 r R1 R1 r R2 r R2
I
R2 R1
l
取体积元为薄柱壳
d 2 rldr
1 B2 dV Wm wm dV V 2 V 0
r
dr
Wm wm dV
V
V
再根据
R2
R1
1 0 I 2 0 I 2 l R2 ( ) 2 rldr ln( ) 2 0 2 r 4 R1
5.自感的计算方法 • 假设线圈中电流为I; • 计算线圈中的全磁通Ψm ; m N B dS • 由L= Ψm / I, 求出L.
dB dI 感 dt dt
?
自感和互感现象
dI L L dt dI1 21 M dt
一 自感 1. 自感现象
当一个线圈中的电流发生变化时，它所激发的 磁场穿过线圈自身的磁通量发生变化，从而在 线圈本身产生感应电动势，这种现象称为自感 现象，相应的电动势称为自感电动势。
4. 自感系数的物理意义
dI const 时， 当线圈中的电流变化率为定值，即 dt L越大，产生的εL越大，因此线圈阻碍电流变化的能 力越强。所以线圈的自感系数L的物理意义为：
自感 L有维持原电路状态的能力, 自感系数L就是 这种能力大小的量度,它表征回路电磁惯性的大小。
dI L L dt
L0=L1+L2+2M =2L+2M
所以 L=L0/2-M < L0/2。
证毕。
9.4 磁场的能量
1 自感磁能 当电路中电流从 0 增加到稳定值 I0 时，电路附近 的空间逐渐建立起一定强度的磁场，磁场也具有 能量。 电源反抗自感电动势所做的功，就在建立磁场的 过程中转化为磁场的能量。 ─自感磁能
0 I 0 B 2 r 0 r R1 R1 r R2 r R2
I
R2 R1
l
取体积元为薄柱壳
d 2 rldr
1 B2 dV Wm wm dV V 2 V 0
r
dr
Wm wm dV
V
V
再根据
R2
R1
1 0 I 2 0 I 2 l R2 ( ) 2 rldr ln( ) 2 0 2 r 4 R1
5.自感的计算方法 • 假设线圈中电流为I; • 计算线圈中的全磁通Ψm ; m N B dS • 由L= Ψm / I, 求出L.
《大学物理》第14单元课后答案 高等教育出版社
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Ei N
线圈中感应电动势大小： Ei E1 E 2
0 IvL1 0 IvL1 N 2x 2 ( x L2 )
Ei
N 0 IS v ，其中： S L1 L2 ，动生电动势方向为顺时针。 2 x( x L2 )
(2)如果线圈保持不变,长直导线中通有交变电流 I I 0 sin t 。
kh
da
(D) E L / R
Page84
课
后 答
(B) 21 > 12
(C) 21 = 12
M
N
题 21.图
N
作业登记号
学号
姓名
单元十四
单元十四（二） 自感、互感、磁场能量
一、选择题 1. 自感为 0.25H 的线圈中，当电流在(1/16)秒内由 2A 均匀减小到零时，线圈中自感电动势的大小 为: (A) 7.8 10 V
3
【 C (B) 2.0V (C) 8.0V (D) 3.1 10 V
作业登记号
学号
姓名
单元十四
方向垂直纸面向里。
选顺时针为积分正方向
根据： E i ( v B ) dl
a
b
线段 CA 中产生的动生电动势： E1 N
0 IvL1 2x
方向由 C 到 A。
电磁感应 4-3 自感互感、磁场能量
任何磁场的能量
(不一定均匀磁场)
Wm
V wmdV
V
1 BHdV 2
电场 能量
磁场 能量
电场能量与磁场能量的对比
存储在器件中
存储在场中
We
1 2
CU
2
we
1 2
D
E
We V wedV
Wm
1 2
LI
2
wm
1 2
B
H
Wm V wmdV
若同时存在 电场和磁场
w
1
B
H
1
D
E
2
一、电感线圈存储的能量
前面演示自感的典型实验，当开关 突然断开后，灯泡会更亮地突闪。 这说明电感线圈中存储了某种形式 的能量，在开关断开后释放出来了
K
A
I
i
L
自感为 L 通有电流 I 的线圈所具有的磁能等于电流消 失过程中 (I → 0) 自感电动势所做的功，Wm = AL
dt 时间内通过灯泡的电量 q = i dt
的磁场中的，因此我们考虑磁场能量与磁感应强度之
间的关系。以长直螺线管为例，其自感 L = μn2V 忽略边缘效应，其内部的磁感应强度 B = μnI
Wm
1 2
LI 2
1 2
n2I 2V
1 2
B2
V
单位体积 磁场能量
wm
1 2
B2
1 2
BH
1 2
H 2
磁能 密度
wm
1 2
B
H
虽从长直螺线管特例推出，但对任何磁场均普遍适用
l
dr
穿过线框的磁通量为
2r
r
Φ
B dS
电磁感应定律(中文)
单个回路的电感仅与回路的形状及尺寸有关，与 回路中电流无关。 磁通链与磁通不同，磁通链是指与某电流交链的 磁通。
若交链N次，则磁通链增加N倍；若部分 交链，则
中 ⑦ 必须给予适当的折扣。因此，与N匝回路 电流I交链的磁
通链为 =N 。
由N匝回路组成的线N
了=
~T~
<>
与交链的磁通链由两 部
分磁通形成，其一是本 身的磁
汽 通形成的磁通链 1 ,另一是
I2在回路，1中的
中 那么，与电流11交链讒通链孃通链
12 c
刈 毛 =% + 2
与 同理，与电流I2交链的磁通链
为
毛 中 火 =
21 +
22
<>
j多
在线性介质中，比值r 及T2均 V数。
中中
令 6=寸
ML若
^1
12
式中L11称为回路11的自感，M12称为回路12
<>
2.电感
在线性介质中，单个闭合回路电流产生的磁 通密
度与回路电流I成正比，因此穿过回路的磁 通也与回路电 流I成正比。
火与回路电流I交链的磁通称为回路电流I 的磁通链，
以 表示。
r火
火 令
与I的比值为L， L =-
式中即称为回路的电感，单位为H（亨）
。 电感又可理解为与单位电流交链的磁通链。 D< < > >1
M 21 m
4n
d l101 l2
r2 - r1
M12 4nm
d l2 01 l1
r1 - r2
考虑到d4 - dl 2 = dl 2 - dl1，,|弓由止两成if见
= M12 M 21
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n
L n2V
长直螺线管的磁场能量:Wm
1 2
LI2
1 2
n2V
B
n
2
B2
2
V
定义磁场的能量密度:
B2
wm 2
磁场所储存的总能量:
B2
Wm wmdV 2 dV 积分遍及磁场存在的全空间。
电场能量与磁场ห้องสมุดไป่ตู้量比较
电场能量
电容器储能
已知：0、N1 、N2 、l 、S 求：互感系数
B2
0
N2 l
I2
N2
0
S
B dS
B2 S
0
N2 l
N1
I2S
l
12
N112
0 N1 N 2 I2 S
l
M
12
I2
0 N1 N 2
l2
lS
M 0n1n2V
L1 0n12V
L2 0n22V
1 CV 2 1 QV Q2
2
2
2C
电场能量密度
we
1 2
ED
1 2
0
r
E
2
电场能量 We V wedV
能量法求 C
磁场能量
自感线圈储能
1 LI 2 2
磁场能量密度
wm
1 2
BH
B2
20r
磁场能量 Wm V wmdV
能量法求 L
11-6 电磁场的理论基础
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
穿B1 过回路 2 的
21 N 2 s2 B1 dS
得 M 21
I1
感应圈 21
互感
自感线圈的串联
L1
L2
Ia b c d
（a）顺接
L L1 L2 2M
L1
L2
Ia b c
d
（b）逆接
L L1 L2 2M
例1 有两个直长螺线管，它们绕在同一个圆柱面上。
I I0 cost 时，直导线中的感生电动势为多少？
N
I1
这是一个互感问题 先求M
h
I
x 设直导线中通有电流I1
ds
h R1
R2
B1
0 I1 2x
21
N 21
N s2
B
1
dS
N I h 01 2
R2 dx x R1
N0I1h ln R2 2 R1
N
I1
I
h
21
N0 I1h 2
ln
R2 R1
ds
R1
h
M
21
I1
0 Nh 2
ln
R2 R1
R2
1
M
dI 2 dt
0Nh ln 2
R2 R1
d dt
(I
I0 cost)
0NhI0 ln R2 sint
2
R1
引入：
11-5 磁场的能量
+ +dq _
解:设直导线中通有自下而上的电流I,它通过矩形线圈的
磁通链数为
dr
N sB dS
ab I
I
NIl a b
l
N a
ldr
ln
2r
2 a
互感为
M Nl ln a b I 2 a
a
b
练习：矩形截面螺绕环尺寸如图, 密绕N匝线圈,其轴 线上置一无限长直导线，当螺绕环中通有电流
19世纪伟大的英 国物理学家、数 学家。经典电磁 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。
•他提出了有旋电场和位移电流概 念，建立了经典电磁理论，并预 言了以光速传播的电磁波的存在。 他的《电磁学通论》与牛顿时代 的《自然哲学的数学原理》并驾 齐驱，它是人类探索电磁规律的 一个里程碑。
•在气体动理论方面，他还提出气 体分子按速率分布的统计规律。
dt
Idt LIdI RI 2dt
t
I
t
Idt LIdI RI 2dt
0
0
0
电源供给 的能量
电源反抗自感 电动势作的功(磁场
的能量)
焦耳热
自感线圈贮存的磁场
Wm
I 0
LIdI
1 2
LI2
二、磁场的能量
以长直螺线管为例：当流有电流I时 B nI
I B
一、位移电流 1、电磁场的基本规律
对静电场
S D dS q0
L E dl 0
对变化的磁场
L E dl
M L1L2
在此例中，线圈1的磁通全部通过线圈2，称为无漏磁。
在一般情况下
M K L1L2
称K 为耦合系数 0 K 1
耦合系数的大小反映了两个回路磁场耦合松紧的 程度。由于在一般情况下都有漏磁通，所以耦合系数 小于一。
例2. 如图所示,在磁导率为的均匀无限大磁介质中, 一无限长直载流导线与矩形线圈一边相距为a,线圈共 N匝,其尺寸见图示,求它们的互感系数.
•互感系数的大小反映了两个线圈磁场的相互 影响程度。
3 说明： (1) 负号表明，在一个线圈中所引起的互感电动势要 反抗另一线圈中电流的变化； (2) 互感系数M是表征互感强弱的物理量，是两个 电路耦合程度的量度。
问：下列几种情况互感是否变化？
O
1）线框平行直导线移动；
2）线框垂直于直导线移动；
C
电容器充电，储存电场能量
We
1 2
QU
1 2
CU
2
E
N
电场能量密度
we
1
2
E2
k
电流激发磁场，也要供给能量，所以磁场具有能量。
当线圈中通有电流时，在其周围建立了磁场，所储存
的磁能等于建立磁场过程中，电源反抗自感电动势所
做的功。
一、线圈贮存的能量——自感磁能
对于如图所示的电路
－L dI RI
3）线框绕 OC 轴转动；
4）直导线中电流变化.
4、应用
互感器：通过互感线圈能够使能量或信号由一个线圈方便 地传递到另一个线圈。电工、无线电技术中使用的各种变 压器都是互感器件。常见的有电力变压器、中周变压器、 输入输出变压器、电压互感器和电流互感器。
电压互感器
电流互感器
5、互感的计算 设I1 的I磁1 场分布
周围无铁磁性物质。实验指出：
21 M21I1 12 M12I2
实验和理论都可以证明：
M12 M21 M
12 I1
I 2
21
2）互感电动势：
12
d12
dt
M
dI 2 dt
21
d 21
dt
M
dI1 dt
•互感系数和两回路的几何形状、尺寸，它们 的相对位置，以及周围介质的磁导率有关。
复习
• 感生电动势
• 感生电场 • 感生电动势计算
B
L Ek dl S t dS
• 自感
• 自感计算
二、互感现象
1、互感现象
因两个载流线圈中电流变
12 I1
化而在对方线圈中激起感应电
动势的现象称为互感应现象。
I 2
21
2、互感系数与互感电动势
1) 互感系数(M) 若两回路几何形状、尺寸及相对位置不变，
L n2V
长直螺线管的磁场能量:Wm
1 2
LI2
1 2
n2V
B
n
2
B2
2
V
定义磁场的能量密度:
B2
wm 2
磁场所储存的总能量:
B2
Wm wmdV 2 dV 积分遍及磁场存在的全空间。
电场能量与磁场ห้องสมุดไป่ตู้量比较
电场能量
电容器储能
已知：0、N1 、N2 、l 、S 求：互感系数
B2
0
N2 l
I2
N2
0
S
B dS
B2 S
0
N2 l
N1
I2S
l
12
N112
0 N1 N 2 I2 S
l
M
12
I2
0 N1 N 2
l2
lS
M 0n1n2V
L1 0n12V
L2 0n22V
1 CV 2 1 QV Q2
2
2
2C
电场能量密度
we
1 2
ED
1 2
0
r
E
2
电场能量 We V wedV
能量法求 C
磁场能量
自感线圈储能
1 LI 2 2
磁场能量密度
wm
1 2
BH
B2
20r
磁场能量 Wm V wmdV
能量法求 L
11-6 电磁场的理论基础
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
穿B1 过回路 2 的
21 N 2 s2 B1 dS
得 M 21
I1
感应圈 21
互感
自感线圈的串联
L1
L2
Ia b c d
（a）顺接
L L1 L2 2M
L1
L2
Ia b c
d
（b）逆接
L L1 L2 2M
例1 有两个直长螺线管，它们绕在同一个圆柱面上。
I I0 cost 时，直导线中的感生电动势为多少？
N
I1
这是一个互感问题 先求M
h
I
x 设直导线中通有电流I1
ds
h R1
R2
B1
0 I1 2x
21
N 21
N s2
B
1
dS
N I h 01 2
R2 dx x R1
N0I1h ln R2 2 R1
N
I1
I
h
21
N0 I1h 2
ln
R2 R1
ds
R1
h
M
21
I1
0 Nh 2
ln
R2 R1
R2
1
M
dI 2 dt
0Nh ln 2
R2 R1
d dt
(I
I0 cost)
0NhI0 ln R2 sint
2
R1
引入：
11-5 磁场的能量
+ +dq _
解:设直导线中通有自下而上的电流I,它通过矩形线圈的
磁通链数为
dr
N sB dS
ab I
I
NIl a b
l
N a
ldr
ln
2r
2 a
互感为
M Nl ln a b I 2 a
a
b
练习：矩形截面螺绕环尺寸如图, 密绕N匝线圈,其轴 线上置一无限长直导线，当螺绕环中通有电流
19世纪伟大的英 国物理学家、数 学家。经典电磁 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。
•他提出了有旋电场和位移电流概 念，建立了经典电磁理论，并预 言了以光速传播的电磁波的存在。 他的《电磁学通论》与牛顿时代 的《自然哲学的数学原理》并驾 齐驱，它是人类探索电磁规律的 一个里程碑。
•在气体动理论方面，他还提出气 体分子按速率分布的统计规律。
dt
Idt LIdI RI 2dt
t
I
t
Idt LIdI RI 2dt
0
0
0
电源供给 的能量
电源反抗自感 电动势作的功(磁场
的能量)
焦耳热
自感线圈贮存的磁场
Wm
I 0
LIdI
1 2
LI2
二、磁场的能量
以长直螺线管为例：当流有电流I时 B nI
I B
一、位移电流 1、电磁场的基本规律
对静电场
S D dS q0
L E dl 0
对变化的磁场
L E dl
M L1L2
在此例中，线圈1的磁通全部通过线圈2，称为无漏磁。
在一般情况下
M K L1L2
称K 为耦合系数 0 K 1
耦合系数的大小反映了两个回路磁场耦合松紧的 程度。由于在一般情况下都有漏磁通，所以耦合系数 小于一。
例2. 如图所示,在磁导率为的均匀无限大磁介质中, 一无限长直载流导线与矩形线圈一边相距为a,线圈共 N匝,其尺寸见图示,求它们的互感系数.
•互感系数的大小反映了两个线圈磁场的相互 影响程度。
3 说明： (1) 负号表明，在一个线圈中所引起的互感电动势要 反抗另一线圈中电流的变化； (2) 互感系数M是表征互感强弱的物理量，是两个 电路耦合程度的量度。
问：下列几种情况互感是否变化？
O
1）线框平行直导线移动；
2）线框垂直于直导线移动；
C
电容器充电，储存电场能量
We
1 2
QU
1 2
CU
2
E
N
电场能量密度
we
1
2
E2
k
电流激发磁场，也要供给能量，所以磁场具有能量。
当线圈中通有电流时，在其周围建立了磁场，所储存
的磁能等于建立磁场过程中，电源反抗自感电动势所
做的功。
一、线圈贮存的能量——自感磁能
对于如图所示的电路
－L dI RI
3）线框绕 OC 轴转动；
4）直导线中电流变化.
4、应用
互感器：通过互感线圈能够使能量或信号由一个线圈方便 地传递到另一个线圈。电工、无线电技术中使用的各种变 压器都是互感器件。常见的有电力变压器、中周变压器、 输入输出变压器、电压互感器和电流互感器。
电压互感器
电流互感器
5、互感的计算 设I1 的I磁1 场分布
周围无铁磁性物质。实验指出：
21 M21I1 12 M12I2
实验和理论都可以证明：
M12 M21 M
12 I1
I 2
21
2）互感电动势：
12
d12
dt
M
dI 2 dt
21
d 21
dt
M
dI1 dt
•互感系数和两回路的几何形状、尺寸，它们 的相对位置，以及周围介质的磁导率有关。
复习
• 感生电动势
• 感生电场 • 感生电动势计算
B
L Ek dl S t dS
• 自感
• 自感计算
二、互感现象
1、互感现象
因两个载流线圈中电流变
12 I1
化而在对方线圈中激起感应电
动势的现象称为互感应现象。
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2、互感系数与互感电动势
1) 互感系数(M) 若两回路几何形状、尺寸及相对位置不变，