2020年初中数学竞赛讲义：第28讲-避免漏解的奥秘

2020年初中数学竞赛讲义：第28讲-避免漏解的奥秘“会而不对，对而不全”，这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误，提高解题周密性，避免漏解的奥秘在于：掌握分类讨论法，学会分类讨论．
分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法，其实质是化整为零、各个击破的转化策略．
解题时何时需要进行分类?一般来说，当问题包含的因素发生变化，问题结果也相应发生变化，我们就需要对这一关键因素分类讨论，怎样进行正确分类?分类的基本要求是不重复、不遗漏，每次分类必须保持同一的分类标准，多级讨论，逐级进行．
【例题求解】
【例1】四条线段的长分别为9，5，x，1(其中x为正实数)，用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段(如图)，则x可取值的个数为．
思路点拨AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x，又CD长不定，所以应就AB、CD的取值作全面讨论．
注：初中数学常见的分类方法有：
(1)按定义、性质、法则、公式分类；
(2)对参数分类；
(3)按图形位置分类；
(4)按图形特征分类；
(5)按余数分类．
注：参数是较为常见的分类对象，因为参数的不同取值，可能导致不同的运算结果，或者必须使用不同的方法去解决，这一分类方法在方程、不等式、函数中有广泛的应用．
【例2】 方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
思路点拨 这是一个特殊的幂指数方程问题，根据幂指数的意义，可将原问题分成三个并列的简单问题求解：(1)非零实数的零次幂等于1；(2)1的任何次幂等于1；(3)1-的偶次幂等于1．
【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程023)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．
思路点拨 根据方程定义，r 是否为零影响方程的次数，这是质的不同，
解法也不同，所以，应对r=0及r ≠0两种情况分类求解．
【例4】 已知一三角形纸片ABC ，面积为25，BC 边的长为10，∠B 和∠C 都为锐角，M 为AB 边上的一动点(M 与点A 、B 不重合)．过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ．设MN=x ．
(1)用x 表示△AMN 的面积S △AMN ；
(2)用△AMN 沿MN 折叠，使△AMN 紧贴四边形BCNM(边AM 、AN 落在四边形BCNM 所在的平面内)，设点A 落在平面BCNM 内的
点为A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y．①试求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当x为何值
时重叠部分的面积y最大，最大为多少?
思路点拨折叠△AMN，A点位置不确定，可能在△ABC内或在BC 边上或在△ABC外，故需按以上三种情况分别求出y关于x的函数关系式，进而求出y的最大值．
注：有关平面几何问题，经常按图形相互之间的位置进行分类，因为图形存在不同的位置关系，其解答结果可能不同，也可能需要使用不同的方法解决，初中平面几何按位置关系分类，最终一般都归结为点、直线和圆之间的位置关系．
【例5】已知⊙O l与⊙O2外切，⊙O l的半径R=2，设⊙O2的半径是r．
(1)如果⊙O l与⊙O2的圆心距d=4，求r的值；
(2)如果⊙O l、⊙O2的公切线中有两条互相垂直，并且r≤R，求r的值．
思路点拨题中没有给出图形，题设中外切两圆的公切线中有两条互相垂直，情况不惟一，故应分类讨论．
注：中考压轴题分类讨论有以下常见情形：
(1)由点的不确定定引起的分类讨论；
(2)由图形全等或相似的对应关系的不确定性引起的分类讨论；
(3)由图形运动导致图形之间位置发生变化引起的分类讨论．
学力训练
1．已知m 为实数，如果函数62)4(2----=m mx x m y 的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的取值为 ．
2．若实数a 、b 满足0582=+-a a ，0582=+-b b ，则1111--+--b a a b 的值为 ．
3．若半径为5和4的两个圆相交，且公共弦长为6，则它们的圆心距等于 ．
4．已知⊙O 和不在⊙O 上的一点P ，过P 直线交⊙O 于A 、B 点，若PA ·PB=4，OP=5，则⊙O 的半径为 ．
5．和抛物线11082+-=x x y 只有一个公共点(-1，-1)的直线解析式为( )
A ．76--=x y
B ．1-=x
C ．76--=x y 或1-=x
D ．1-=y
6．若线段AB 两端点到直线l 的距离分别为4和8，则AB 的中点到直线l 的距离是( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．2或6
7．点A(-4，0)，B(2，0)是xoy 坐标平面上两定点，C 是22
1+-=x y 的图象上的动点，则满足上述条件的直角△ABC 可以画出( )
A ．1个
B ．2个
C ． 3个
D ．4个
8．如图，在直角梯形ABCD 中，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB 上的点P 使得以P 、A 、D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，那么这样的P 点有( )
A ．1个
B ． 2个
C ．3个
D ．4个
9．已知关于x 的方程022)13(22=+++-k k x k x ．
(1)求证：无论k 是取何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC 的一边长6=a ，另两边长为b 、c 恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．
10．已知：如图，抛物线C 1经过A ，B ，C 三点，顶点为D ，且与x 轴的另一个交点为E ．
（1）求抛物线C 1的解析式；
（2）求四边形ABCD 的面积；
（3）△AOB 与△BDE 是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由；
（4）设抛物线C 1的对称轴与x 轴交于点F ，另一条抛物线C 2经过点E （抛物线C 2与抛物线C 1不重合），且顶点为M （a ，b ），对称轴与x 轴相交于点G ，且以M ，G ，E 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶
点的三角形全等，求a ，b 的值（只需写出结果，不必写出解答过程）
11．以O 为圆心的两个同心圆的半径分别为9cm 和5cm ，⊙O ′与这两个圆都相切，则⊙O ′的半径是 ．
12．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角B 的大小为 ．
13．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则R 的取值范围是 ．
14．已知点A(0，6)，B(3，0)，C(2，0)，M(0，m)，其中m<6，以M 为圆心，MC 为半径作圆，那么当m= 时，⊙M 与直线AB 相切．
15．关于x 的方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求整数是的值．
17．如图，已知：△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与点A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．
(1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长；
(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；
(3)试问：在AB 上是否存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形?若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ 的长．
18．已知关于x 的方程0)1(2=+++-p x q p x (q ≥0)的两个实数根为α，β且α≤β．
(1)试用含有α，β的代数式表示p 和q ；
(2)求证：α≤1≤β
(3)若以α，β为坐标的点M(α，β)在△ABC 的三条边上运动，且△
ABC 顶点的坐标分别为A(1，2)，B(2
1，1)，C(1，1)，问是否存在点M 使p +q =4
5，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
19．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙表示的抛物线段表示．(1)写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系)(t f
P=；写出图乙表示
的种植成本与时间的函数关系式)(t g
Q=．
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元／102㎏，时间单位：天)
参考答案。