七年级下册数学几何专题(一)
七年级下册数学几何专项训练题
1、下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）。
A、平行四边形B、等腰三角形C、正方形D、圆（答案：B。
解析：等腰三角形有一条对称轴，即高，但不是中心对称图形，因为不能找到一个点使得图形关于该点中心对称。
平行四边形、正方形和圆都是中心对称图形。
）2、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线（）。
A、一定平行B、一定不平行C、可能平行也可能不平行D、无法确定是否平行（答案：A。
解析：根据同位角相等定理，如果两条直线被第三条直线所截，且同位角相等，那么这两条直线一定平行。
）3、下列说法中，正确的是（）。
A、两条直线被第三条直线所截，内错角一定相等B、直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离C、过一点有且只有一条直线与已知直线平行D、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（答案：D。
解析：A选项，两条直线被第三条直线所截，内错角不一定相等，除非两条直线平行；B选项，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，才叫做点到直线的距离；C 选项，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上则无法作出与已知直线平行的直线；D选项，正确。
）4、若一个角的补角是120°，则这个角的余角是（）。
A、30°B、60°C、90°D、120°（答案：B。
解析：一个角的补角是180°减去这个角，已知补角是120°，所以这个角是180°-120°=60°，它的余角是90°-60°=30°。
）5、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）。
A、等边三角形B、等腰梯形C、菱形D、平行四边形（答案：C。
解析：菱形有两条对角线作为对称轴，且关于其中心点中心对称。
等边三角形只是轴对称图形，等腰梯形也只是轴对称图形，平行四边形只是中心对称图形。
）6、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线（）。
人教版七年级数学4.1几何图形1说课稿
新课导入是激发学生学习兴趣、吸引注意力的关键环节。我将采用以下方式导入新课：
1.生活实例引入：通过展示生活中常见的几何图形，如窗户的形状、地砖的排列等，让学生直观感受到几何图形在生活中的广泛应用，引发他们对几何图形的探究欲望。
2.提出问题：向学生提出引导性问题，如“你们在生活中还见到过哪些几何图形？”“这些图形有什么特点？”等，激发学生的思考，为进入新课学习做好铺垫。
人教版七年级数学4.1几何图形1说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课是人教版七年级数学下册第四章第一节“几何图形1”，在整个课程体系中，本章是学生在学习了一元一次方程、不等式及它们的应用等知识之后，对几何知识的初步接触。这部分内容为后续的几何学习奠定基础，起着承上启下的作用。本节课的主要知识点包括：认识基本的几何图形（如点、线、射线、线段、角等），了解它们的基本性质和分类，以及平面图形的识别。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我将引导学生进行自我评价，并提供有效的反馈和建议：
1.学生自评：让学生回顾本节课所学内容，总结自己在几何图形认识、分类和应用方面的收获和不足。
2.同伴互评：组织学生相互评价，从不同角度给予意见和建议，促进学生之间的相互学习和提高。
3.教师评价：针对学生的表现，给予肯定和鼓励，同时指出存在的问题，为学生提供改进的方向。
2.课堂互动可能不够充分，影响学生的学习积极性。
3.时间分配可能不合理，导致教学计划无法顺利完成。
为应对这些问题，我将：
1.通过丰富的教学资源和手段，如教具、多媒体等，帮助学生提高空间想象力。
2.鼓励学生积极参与，设置多样的互动环节，增强课堂活力。
3.灵活调整教学节奏，确保教学内容能够得到充分讲解和巩固。
七年级数学(下册)几何典型题
七年级数学（下册）几何典型题1. 如图，AC 、BD 相交于点O ，∠A ＝ABC ，∠DBC ＝∠D ，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 的延长线上。
（1） 求证：CD//AB;（2） 若∠D ＝38°，求∠ACE 的度数。
2. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，EO ⊥AB ，垂足为O 。
（1） 若∠EOC ＝35°，求∠EOD 的度数；（2） 若∠AOC+∠BOD ＝100°，求∠EOD 的度数。
3. 如图，在直角坐标系XOY 中，点A 、B 的坐标分别是A （-1，0），B （3，0），将线段AB 向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC ，点AB 的对就点分别是点D 、C ，连接AD 、BC. (1) 直接写出点C 、D 的坐标； (2) 求四边形ABCD 的面积；(3) 点P 为线段BC 上任意一点（与点B 、C 不重合），连接PD 、PO.求证：∠CDP+∠BOP=∠OPD.4. 如图，直接EF 分别与直线AB ，CD 相交于点P 和点Q ，PG 平分∠APQ, QH 平分∠DQP ，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行。
5. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系。
（1） 如图1，若AB//CD ，点P 在AB 、CD 内部，∠B ＝50°，∠D ＝30°，求∠BPD 的度数。
（2） 如图2，将点P 移到AB 、CD 外部，则∠BPD 、∠B 、∠D 之间有何数量关系？请写出你的结论并加以证6. 如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为A （1，2），解答以下问题。
（1） 请在图中建立适当的直角坐标系，并写出图书馆（B ）的位置坐标。
（2） 若体育馆位置坐标为C （-3，3），请在坐标系中标出体育馆的位置，并顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到△ABC ，求△ABC 的面积。
7. 如圖，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC ∥A E8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A （-3，3），B （-5，1），C （-2，0），P （a,b ）是△ABC 的边AC 上任意一点，△ABC 经过平移后得到△A ’B ’C ’,点P 的对应点为P ’（a+6,b-2）. (1) 直接写出点C ’的坐标； (2) 在图中画出△A ’B ’C ’； (3) △AOA ’的面积。
七年级下册数学期末考试几何大题证明必考题
图①DA EC BFl图②ABE F ClD七年级下册数学期末考试几何大题证明必考题精选类型一、正方形中三角形全等与线段长度之间的关系例1、如图①，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，A 、C 两顶点在直线l 同侧，过点A 、C 分别作AE ⊥直线l 、CF ⊥直线l ． (1)试说明：EF ＝AE ＋CF ；(2)如图②，当A 、C 两顶点在直线l 两侧时，其它条件不变，猜想EF 、AE 、CF 满足什么数量关系(直接写出答案，不必说明理由)．练习： 如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°．(1)过点A 任意一条直线l (l 不与BC 相交)，并作B D ⊥l ，C E ⊥l ，垂足分别为D 、E ．度量BD 、CE 、DE ，你发现它们之间有什么关系?试对这种关系说明理由； (2)过点A 任意作一条直线l (l 与BC 相交)，并作B D ⊥l ，C E ⊥l ，垂足分别为D 、E ．度量BD 、CE 、DE ，你发现经们之间有什么关系?试对这种关系说明理由．例2、已知正方形的四条边都相等，四个角都是90º。
如图，正方形ABCD 和正方形AEFG 有一个公共点A ，点G 、E 分别在线段AD 、AB 上。
A E B 图1D CG FA BD CG FE图2（1）如图1， 连结DF 、BF ，说明：DF ＝BF ； （2）若将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，连结DG ，在旋转的过程中，你能否找到一条长度与线段DG 的长始终相等的线段？并以图2为例说明理由。
练习：如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，B 、C 、G 三点在一条直线上，且边长分别为2和3，在BG 上截取GP ＝2，连结AP 、PF. （1）观察猜想AP 与PF 之间的大小关系，并说明理由.（2）图中是否存在通过旋转、平移、反射等变换能够互相重合的两个三角形？若存在，请说明变换过程；若不存在，请说明理由.（3）若把这个图形沿着PA 、PF 剪成三块，请你把它们拼成一个大正方形，在原图上画出示意图，并请求出这个大正方形的面积.附加：如图，△ABC 与△ADE 都是等边三角形，连结BD 、CE（1）BD 与CE 相等吗？请说明理由．A BCFDE GP32B（2）你能求出BD与CE的夹角∠BFC的度数吗？（3）若将已知条件改为：四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，连结BE、DG交点记为点M（如图）．请直接写出线段BE和DGF例3、正方形四边条边都相等，四个角都是90o．如图，已知正方形ABCD在直线MN 的上方，BC在直线MN上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）如图1，当点E在线段BC上（不与点B、C重合）时：①判断△ADG与△ABE是否全等，并说明理由；②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点E在射线CN上（不与点C重合）时：①判断△ADG与△ABE是否全等，不需说明理由；②过点F 作FH ⊥MN ，垂足为点H ，已知GD ＝4，求△CFH 的面积．练习：如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．（1）如图1，说明BG= DE 的理由（2）将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针方向旋转任意角度 ，得到如图2．请你猜想①BG= DE 是否仍然成立？②BG 与DE 位置关系？并选取图2验证你的猜想．图 2FG DA图 1FDA类型二、探究题例1、如图，已知等边△A B C 和点P ，设点P 到△A B C 三边A B 、A C 、B C （或其延长线）的距离分别为h 1、h 2、h 3，△A B C 的高为h ．在图（1）中，点P 是边B C 的中点，此时h 3=0，可得结论：h h h h =++321． 在图（2）--（5）中，点P 分别在线段M C 上、M C 延长线上、△A B C 内、△A B C 外．（1）请探究：图（2）--（5）中， h 1、h 2、h 3、h 之间的关系；（直接写出结论）（2）证明图（2）所得结论； （3）证明图（4）所得结论．（4）（附加题2分）在图（6）中，若四边形R B C S 是等腰梯形，∠B =∠C =60o ，R S =n ，B C =m ，点P 在梯形内，且点P 到四边B R 、R S 、S C 、C B 的距离分别是h 1、h 2、h 3、h 4，桥形的高为h ，则h 1、h 2、h 3、h 4、h 之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？ABC DEPM(3)ABCDE (2)ABCD EM (P )(1)练习：1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边上任意一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，BD ⊥AC.（1）求证：PE+PF=BD ；（2）若点P 是底边BC 的延长线上一点，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请画出图形，并探究它们的关系.CBAPDE2、如图，已知△ABC 三边长相等，和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC （或其延长线）的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h ．在图（1）中， 点P 是边BC 的中点，由S △ABP+S △ACP=S △ABC 得，h BC h AC h AB ⋅=⋅+⋅21212121可得h h h =+21又因为h 3=0，所以：h h h h =++321．图（2）~（5）中，点P 分别在线段MC 上、MC 延长线上、△ABC 内、△ABC 外．（1）请探究：图（2）~（5）中， h 1、h 2、h 3、h 之间的关系；（直接写出结论）⑵ ⑶ ⑷ ⑸ （2）说明图（2）所得结论为什么是正确的； （3）说明图（5）所得结论为什么是正确的．ABC DEP ABCDEPM(3)ABCDE P M (2)ABCDEM (P )(1)ABCDEP M(5)FC B E 例2、已知△ABC 是等边三角形，将一块含30o 角的直角三角板DEF 如图1放置，当点E 与点B 重合时，点A 恰好落在三角板的斜边DF 上. （1）AC=CF 吗? 为什么?（2）让三角板在BC 上向右平行移动，在三角板平行移动的过程中，(如图2)是否存在与线段EB 始终相等的线段（设AB ，AC 与三角板斜边的交点分别为G ，H ）？如果存练习：1、如图1，一等腰直角三角尺GEF （∠EGF=90°,∠GEF=∠GFE=45°,GE=GF ）的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 相等吗？并说明理由；（2）若三角尺GEF 旋转到如图3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立C图1吗？请说明理由．2、已知：△ABC 为等边三角形，M 是BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A ，且60º角的顶点E 在BC 上滑动，（点E 不与点B 、C 重合），斜边∠ACM 的平分线CF 交于点F（1）如图（1）当点B 在BC 边得中点位置时（6分） ○1猜想AE 与BF 满足的数量关系是 。
部编数学七年级下册专题01相交线与平行线中的四种几何模型全攻略(解析版)含答案
专题01 相交线与平行线中的四种几何模型全攻略类型一、猪脚模型例．问题情境：如图①，直线AB CD ∥，点E ，F 分别在直线AB ，CD 上．(1)猜想：若1130Ð=°，2150Ð=°，试猜想P Ð=______°；(2)探究：在图①中探究1Ð，2Ð，P Ð之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展：将图①变为图②，若12325Ð+Ð=°，75EPG Ð=°，求PGF Ð的度数．【答案】(1)80°(2)36012P Ð=°-Ð-Ð；证明见详解(3)140°【详解】（1）解：如图过点P 作MN AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB MN CD ∥∥．∴1180EPN Ð+Ð=°，2180FPN Ð+Ð=°．∵1130Ð=°，2150Ð=°，∴12360EPN FPN Ð+Ð+Ð+Ð=°∴36013015080EPN FPN Ð+=°-°-°=°．∵P EPN FPN Ð=Ð+Ð，∴∠P =80°．故答案为：80°；（2）解：36012P Ð=°-Ð-Ð，理由如下：如图过点P 作MN AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB MN CD ∥∥．∴1180EPN Ð+Ð=°，2180FPN Ð+Ð=°．∴12360EPN FPN Ð+Ð+Ð+Ð=°∵EPN FPN P Ð+Ð=Ð，36012P Ð=°-Ð-Ð．（3）如图分别过点P 、点G 作MN AB ∥、KR AB∥∵AB CD ∥，∴AB MN KR CD ∥∥∥．∴1180EPN Ð+Ð=°，180NPG PGR Ð+Ð=°，2180RGF Ð+Ð=°．∴12540EPN NPG PGR RGF Ð+Ð+Ð+Ð++Ð=°∵75EPG EPN NPG Ð=Ð+Ð=°，PGR RGF PGF Ð+Ð=Ð，12325Ð+Ð=°，∴12540PGF EPG Ð+Ð+Ð+Ð=°∴54032575140PGF Ð=°-°-°=°故答案为：140°．【变式训练1】已知直线a b ∥，直线EF 分别与直线a ，b 相交于点E ，F ，点A ，B 分别在直线a ，b 上，且在直线EF 的左侧，点P 是直线EF 上一动点（不与点E ，F 重合），设∠PAE ＝∠1，∠APB ＝∠2，∠PBF ＝∠3．(1)如图1，当点P 在线段EF 上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；(2)当点P 在线段EF 外运动时有两种情况．①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．【答案】(1)证明见详解(2)①312Ð=Ð+Ð；证明见详解；②123Ð=Ð+Ð；证明见详解【详解】（1）解：如图4所示：过点P 作PC a ∥，∵a b ∥∴PC a b ∥∥∴1APC Ð=Ð，3BPC Ð=Ð，∵2APC BPC Ð=Ð+Ð，∴213Ð=Ð+Ð；（2）解：①如图5过点P 作PC a ∥，∵a b∥∴PC a b∥∥∴3BPC Ð=Ð，1APC Ð=Ð，∵2BPC APC Ð=Ð+Ð，∴312Ð=Ð+Ð；②如图6过点P 作PC a ∥，∵a b∥∴PC a b∥∥∴1APC Ð=Ð，3BPC Ð=Ð，∵2APC BPC Ð=Ð+Ð，∴123Ð=Ð+Ð．【变式训练2】阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1，AB CD P ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．BEF Ð的平分线与DFE Ð的平分线交于点G ．(1)求证：EG FG ^；(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．①在图1的基础上，分别作BEG Ð的平分线与DFG Ð的平分线交于点M ，得到图2，则EMF Ð的度数为 ．②如图3，AB CD P ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．点O 在直线AB ，CD 之间，且在直线EF 右侧，BEO Ð的平分线与DFO Ð的平分线交于点P ，则EOF Ð与EPF Ð满足的数量关系为 ．180BEF DFE \Ð+Ð=°EG Q 平分BEF Ð，FG 平分12GEB BEF \Ð=Ð，Ð1GEB GFD \Ð+Ð=Ð45EMF BEM MFD \Ð=Ð+Ð=°，故答案为：45°；②结论：2EOF EPF Ð=Ð．理由：如图3中，由题意，EOF BEO DFO Ð=Ð+Ð，EPF BEP DFP Ð=Ð+Ð，PE Q 平分BEO Ð，PF 平分DFO Ð，2BEO BEP \Ð=Ð，2DFO DFP Ð=Ð，2EOF EPF \Ð=Ð，故答案为：2EOF EPF Ð=Ð．【变式训练3】如图：(1)如图1，AB CD ∥，=45ABE а，21CDE Ð=°，直接写出BED Ð的度数．(2)如图2，AB CD ∥，点E 为直线AB ，CD 间的一点，BF 平分ABE Ð，DF 平分CDE Ð，写出BED Ð与F Ð之间的关系并说明理由．(3)如图3，AB 与CD 相交于点G ，点E 为BGD Ð内一点，BF 平分ABE Ð，DF 平分CDE Ð，若60BGD Ð=°，95BFD Ð=°，直接写出BED Ð的度数．【答案】(1)∠BED =66°；(2)∠BED =2∠F ，见解析；(3)∠BED 的度数为130°．【详解】（1）解：（1）如图，作EF ∥AB ，，∵直线AB ∥CD ，∴EF ∥CD ，∴∠ABE =∠1=45°，∠CDE =∠2=21°，∴∠BED =∠1+∠2=66°；（2）解：∠BED=2∠F，理由是：过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠2=∠1，∠3=∠4，则∠5=2∠2，∠6=2∠3，∴∠BED=2(∠2+∠3)，又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，∴∠3+∠2+∠F=∠BED，综上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；（3）解：延长DF交AB于点H，延长GE到I，∵∠BGD=60°，∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°，∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1) =70°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABE=2∠2，∠CDE=2∠1，∴∠BEI=∠ABE +∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE，∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+( ∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°，∴∠BED 的度数为130°．类型二、铅笔模型例．问题情景：如图1，AB ∥CD ，∠PAB ＝140°，∠PCD ＝135°，求∠APC 的度数．（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC ＝85°，请补全她的推理依据．如图2，过点P 作PE ∥AB ，因为AB ∥CD ，所以PE ∥CD ．（ ）所以∠A +∠APE ＝180°，∠C +∠CPE ＝180°．（ ）因为∠PAB ＝140°，∠PCD ＝135°，所以∠APE ＝40°，∠CPE ＝45°，∠APC ＝∠APE +∠CPE ＝85°．问题迁移：（2）如图3，AD ∥BC ，当点P 在A 、B 两点之间运动时，∠ADP ＝∠α，∠BCP ＝∠β，求∠CPD 与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．（3）在（2）的条件下，如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合），请直接写出∠CPD 与∠α、∠β之间的数量关系．【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行（或平行公理推论），两直线平行，同旁内角互补；（2）CPD a b Ð=Ð+Ð，理由见解析；（3）CPD b a Ð=Ð-Ð或CPD a bÐ=Ð-Ð【详解】解：（1）如图2，过点P 作PE ∥AB ，因为AB∥CD，所以PE∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（两直线平行同旁内角互补）因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如图3所示，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）当P在BA延长线时，如图4所示：过P作PE∥AD交CD于E，同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β-∠α；当P在AB延长线时，如图5所示：同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α-∠β．综上所述，∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系为：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．【变式训练1】已知，直线AB∥CD（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC 的度数是多少？（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【详解】解：（1）如图，过点G作GE∥AB，∵AB∥GE，∴∠A+∠AGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠A=140°，∴∠AGE=40°．∵AB∥GE，AB∥CD，∴GE∥CD．∴∠C+∠CGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠C=150°，∴∠CGE=30°．∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．（2）如图，过点G作GF∥AB∵AB∥GF，∴∠A=AGF（两直线平行，内错角相等）．∵AB∥GF，AB∥CD，∴GF∥CD．∴∠C=∠CGF．∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C．∵∠A=x°，∠C=y°，∴∠AGC=（x+y）°．（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（两直线平行，内错角相等）．∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD．∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【变式训练2】问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC 的度数；小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为 °；问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【答案】问题解决：110°；问题迁移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α，理由见解析【详解】解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°，故答案为：110；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；例．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由见解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由见解析【详解】解：（1）如图（1）过点P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如图（3），∠BPD=∠D-∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠BPD，∴∠D=∠B+∠BPD，即∠BPD=∠D-∠B；如图（4），∠BPD=∠B-∠D．理由：∵AB ∥CD ，∴∠1=∠B ，∵∠1=∠D +∠BPD ，∴∠B =∠D +∠BPD ，即∠BPD =∠B -∠D ．【变式训练2】已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ^于B ．（1）如图1，点B 在两条平行线外，则A Ð与C Ð之间的数量关系为______；（2）点B 在两条平行线之间，过点B 作BD AM ^于点D ．①如图2，说明ABD C Ð=Ð成立的理由；②如图3，BF 平分DBC Ð交DM 于点,F BE 平分ABD Ð交DM 于点E ．若180,3FCB NCF BFC DBE ÐÐÐÐ+=°=，求EBC Ð的度数．【答案】（1）∠A +∠C =90°；（2）①见解析；②105°【详解】解：（1）如图1，AM 与BC 的交点记作点O ，∵AM ∥CN ，∴∠C =∠AOB ，∵AB ⊥BC ，∴∠A +∠AOB =90°，∴∠A +∠C =90°；（2）①如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，BG CN\//,∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．类型四、齿距模型例．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．【答案】y=90°-x+z．【详解】解：作CG//AB，DH//EF，∵AB//EF，∴AB//CG//HD//EF，∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z∵∠BCD＝90°∴∠1+∠2=90°，∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，∴∠y=∠z+90°-∠x．即y=90°-x+z．【变式训练1】如图1，已知AB ∥CD ，∠B ＝30°，∠D ＝120°；(1)若∠E ＝60°，则∠F ＝ ；(2)请探索∠E 与∠F 之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2，已知EP 平分∠BEF ，FG 平分∠EFD ，反向延长FG 交EP 于点P ，求∠P 的度数．【答案】(1)90°；(2)30F E Ð=Ð+°，理由见解析；(3)15°【详解】（1）解：如图1，分别过点E ，F 作//EM AB ，//FN AB ，////EM AB FN \，30B BEM \Ð=Ð=°，MEF EFN Ð=Ð，又//AB CD Q ，//AB FN ，//CD FN \，180D DFN \Ð+Ð=°，又120D Ð=°Q ，60DFN \Ð=°，30BEF MEF \Ð=Ð+°，60EFD EFNÐ=Ð+°，60EFD MEF \Ð=Ð+°3090EFD BEF \Ð=Ð+°=°；故答案为：90°；（2）解：如图1，分别过点E ，F 作//EM AB ，//FN AB ，////EM AB FN \，30B BEM \Ð=Ð=°，MEF EFN Ð=Ð，又//AB CD Q ，//AB FN ，（1）求证：//GH MN ；（提示：可延长AC 交MN 于点P 进行证明）（2）如图2，AE 平分GAC Ð，DE 平分BDC Ð，若AED GAC Ð=Ð，求GAC Ð与ACD Ð之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，如图3，BF 平分DBM Ð，点K 在射线BF 上，13KAG GAC Ð=Ð，若AKB ACD Ð=Ð，直接写出GAC Ð的度数．∵ACD C Ð=Ð，∴//AP BD ，∴NBD NPA Ð=Ð，∵GAC NBD Ð=Ð，∴GAC NPA Ð=Ð，∴//GH MN ；（2）延长AC 交MN 于点P ，交DE 于点Q ，∵180E EAQ AQE Ð+Ð+Ð=°，180AQE AQD Ð+Ð=°，∴AQD E EAQ Ð=Ð+Ð，∵//AP BD ，∴AQD BDQ Ð=Ð，∴BDQ E EAQ Ð=Ð+Ð，∵AE 平分GAC Ð，DE 平分BDC Ð，∴2GAC EAQ Ð=Ð，2CDB BDQ Ð=Ð，∴2CDB E GAC Ð=Ð+Ð，∵AED GAC Ð=Ð，ACD CDB Ð=Ð，∴23ACD GAC GAC GAC Ð=Ð+Ð=Ð； （3）当K 在直线GH 下方时，如图，设射线BF 交GH 于I ，。
专题1.11 《平行线》几何模型1(知识讲解)七年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)
专题1.11 《平行线》几何模型1（知识讲解）几何模型1：M 型模型（也称“猪蹄模型”）图 一//=MA NC A B ⇒∠∠+∠条件：ABC ////PQ =,==MA NC A C C A C∴∠∠∠∠∴∠∠+∠证明：过点B 作PQ//MA.，ABQ BQ ，ABC几何模型2：铅笔头模型图二0//==360MA NC A B ⇒∠+∠∠条件：ABC000////P ////PQ ,180,180360MA NC BMA NC A C C A C∴∠∠=∠∠=∴∠+∠+∠=证明：过点B 作BP//MA.则，ABP+BP+，ABC几何模型3：鸡翅模型图三//-=MA NC A B ⇒∠∠∠条件：C////PQ ////PQ ,,,MA NC MA NC A C C B CBQ A C B∴∠∠∠∠∴∠=∠∠∴∠-∠=∠证明：过点B 作PQ//MA.则，ABQ=BQ=，ABQ-几何模型4：折鸡翅模型图四//MA NC A B ⇒∠=∠+∠条件：C ////PQ ////PQ ,,,MA NC MA NC A C C ABC CBQ A ACB C∴∠∠∠∠∴∠=∠∠∴∠==∠+∠证明：过点B 作PQ//MA.则，ABQ=BQ=，ABQ-几何模型5：多个M 型模型12121//......n n MA NB P PPAQ Q Q B -⇒∠+∠++∠=∠+∠+∠++∠条件： 证明思路参考几何模型1几何模型6：多个铅笔头模型12121//......n n MA NB P P P A Q Q Q B -⇒∠+∠++∠=∠+∠+∠++∠条件： 证明思路参考几何模型2类型一、M 型模型1（2020·宁波市惠贞书院七年级期中）如图，//AB EF ，设90C ∠=︒，那么x ，y ，z 的关系式______．【答案】90x y z +-=︒【分析】过C 作//CN AB ，过D 作//DM AB ，根据平行线的性质可知//////AB CN DM EF ，然后根据平行线的性质即可求解；解：如图，过C 作//CN AB ，过D 作//DM AB ，∴//////AB CN DM EF ，∴1x =∠，23∠∠=，4z ∠=，∴90BCD ∠=︒，∴1290∠+∠=︒，∴390x +∠=︒，∴3490x z +∠+∠=︒+，∴90x y z +=︒+，∴90x y z +-=︒．故答案为：90x y z +-=︒．【点拨】本题考查了平行线的性质，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，正确理解平行线的性质是解题的关键；举一反三：【变式1】（2020·四川成都市·天府四中七年级期中）如图，//,,3527'EE MN CA CB EAC ⊥∠=︒，则MBC ∠=____________________．【答案】5433'【分析】过C 点做EF 的平行线，利用平行线的性质，即可证明．解：过C 点做EF 的平行线,GH//,EF MN////,EF GH MN ∴3527'EAC ACH ∴∠=∠=，又,CA CB ⊥90,ACB ∴∠=︒5433',HCB ACB ACH ∴∠=∠-∠=︒又//,GH MN5433'HCB CBM ∴∠=∠=.故答案为：5433'．【点拨】本题考查了通过平行线的性质求解角度问题，解题关键在于过中间的点作已知直线的平行线．【变式2】（2019·辽宁大连市·七年级期末）阅读材料：如图1，点A 是直线MN 上一点，MN 上方的四边形ABCD 中，140ABC ∠=︒，延长BC ，2DCE MAD ADC ∠=∠+∠，探究DCE ∠与MAB ∠的数量关系，并证明.小白的想法是：“作ECF ECD ∠=∠（如图2），通过推理可以得到CF MN ，从而得出结论”.请按照小白的想法．．．．．完成解答：拓展延伸：保留原题条件不变，CG 平分ECD ∠，反向延长CG ，交MAB ∠的平分线于点H （如图3），设MAB α∠=，请直接写出H ∠的度数（用含α的式子表示）.【答案】阅读材料：40∠=︒+∠ECD MAB ，见解析；拓展延伸：120CHA α=∠︒-. 【分析】（1）作ECF ECD ∠=∠，DG MN ，BH MN ，由平行线性质可得180MAD ADG ∠+∠=︒，结合已知2DCE MAD ADC ∠=∠+∠，可证180CDG DCF ∠+∠=︒，进而得到DG CF ，从而CF BH ，140BCF MAB ABC ∠+∠=∠=︒，将180180BCF ECF ECD ∠=︒-∠=︒-∠代入可得40∠=︒+∠ECD MAB .（2）过H 点作HP∴MN ，可得∴CHA=∴PHA+∴PHC ，结合（1）的结论和CG 平分∴ECD 可得∴PHC =∴FCH =120°-3MAB 2∠，即可得120CHA α=∠︒-.解：【阅读材料】作ECF ECD ∠=∠，DG MN ，BH MN （如图1）.∵DG MN ，∴180MAD ADG ∠+∠=︒.∴()180CDG MAD ADC ∠+∠+∠=︒.∵2DCE MAD ADC ∠=∠+∠，∴2180CDG DCE ∠+∠=︒.∴180CDG DCF ∠+∠=︒.∴DG CF .∵DG MN ，∴MN CF .∵BH MN ，∴CF BH .∴BCF CBH ∠=∠，MAB ABH ∠=∠.∴140BCF MAB ABC ∠+∠=∠=︒.∵180180BCF ECF ECD ∠=︒-∠=︒-∠，∴40∠=︒+∠ECD MAB .【拓展延伸】结论：120CHA α=∠︒-.理由：如图，作ECF ECD ∠=∠，过H 点作HP∴MN ，∴∴PHA=∴MAH=1BAM 2∠，由（1）得FC∴MN ，∴FC∴HP ，∴∴PHC=∴FCH ，∴40∠=︒+∠ECD MAB ,CG 平分∴ECD ， ∴∴ECG=20°+1MAB 2∠，∴∴FCH=180ECG ECF ︒-∠-∠=180°-(40MAB ︒+∠)-(20°+1MAB 2∠)=120°-3MAB 2∠ ∴∴CHA=∴PHA+∴PHC=1MAB 2∠∠+（120°-3MAB 2∠）=120°-MAB ∠即：120CHA α=∠︒-.【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用． 类型二、铅笔头型模型2 （2020·山东聊城市·七年级期末）直线AB 、CD 被直线EF 所截，AB∴CD ，点P 是平面内一动点．（1）若点P 在直线CD 上，如图∴，∴α＝50°，则∴2＝ °．（2）若点P 在直线AB 、CD 之间，如图∴，试猜想∴α、∴1、∴2之间的等量关系并给出证明；（3）若点P在直线CD的下方，如图∴，（2）中∴α、∴1、∴2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由．【答案】（1）50；（2）∴α＝∴1+∴2，证明见解析；（3）不成立．理由见解析．【分析】（1）由题意直接根据平行线的性质可直接求解；（2）由题意过P作PG∴AB，则PG∴AB∴CD，利用平行线的性质即可求解；（3）根据题意过P作PH∴AB，则PH∴AB∴CD，利用平行线的性质进行分析即可求解．解：（1）∵AB∥CD，∠α＝50°∴∠2＝∠α＝50°，故答案为：50；（2）∠α＝∠1+∠2．证明：过P作PG∥AB，∵AB∥CD，∴PG∥AB∥CD，∴∠2＝∠EPG，∠1＝∠FPG，∵∠α＝∠EPF＝∠EPG+∠FPG，∴∠α＝∠1+∠2；（3）不成立．理由：过P 作PH ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴PH ∥AB ∥CD ，∴∠2＝∠EPH ，∠1＝∠FPH ，∵∠α＝∠EPF ＝∠EPH ﹣∠FPH ，∴∠α＝∠2﹣∠1，故不成立．【点拨】本题主要考查平行线的性质，注意掌握并灵活运用平行线的性质是解题的关键． 举一反三：【变式1】（2020·河北邢台市·八年级月考）如图1，四边形MNBD 为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（BAE AEC ECD ∠∠∠、、），则BAE AEC ECD ∠+∠+∠=__________°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（BAE AEF EFC FCD ∠∠∠∠、、、），则BAE AEF EFC FCD ∠+∠+∠+∠=__________°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（BAE AEF EFG FGC GCD ∠∠∠∠∠、、、、），则BAE AEF EFG FGC GCD ∠+∠+∠+∠+∠=___________°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n 刀，剪出()1n +个角，那么这()1n +个角的和是____________°．【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【分析】（1）过点E作EH∴AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．证明：（1）过E作EH∥AB（如图②）．∵原四边形是长方形，∴AB∥CD，又∵EH∥AB，∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．∵EH∥AB，∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，又∵∠1+∠2=∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；（3）分别过E 、F 、G 分别作AB 的平行线，如图④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；（4）由此可得一般规律：剪n 刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n 度． 故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n ．【点拨】题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．举一反三：【变式2】（2020·湖北随州市·七年级期末）已知12l l //，点A ，C 分别在直线1l ，2l 上，点B 在直线1l 与2l 之间，90BCN BAM ∠<∠≤︒．（1）如图1，求证：ABC BAM BCN ∠=∠+∠．阅读并补齐下列推理过程过点B 作//BG NC ，因为12l l //，所以//AM _____（______________）所以ABG BAM ∠=∠，CBG BCN ∠=∠（_______________________）所以ABC ABG CBG BAM BCN ∠=∠+∠=∠+∠．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，在学习中要注意体会．（2）如图2，点D ，E 在直线1l 上，DBC BAM ∠=∠，BE 平分ABC ∠，求证：DBE DEB ∠=∠．（3）在（2）的条件下，过点B 作BF 平分CBE ∠，请直接写出使//BF AM 时，BAM ∠与BCN ∠之间应具备的关系．【答案】（1）BG ，平行于同一条直线的两条直线平行，两条直线平行内错角相等；（2）见解析；（3）3BAM BCN ∠=∠【分析】（1）添加平行线，根据平行于同一条直线的两条直线平行，再利用平行线的性质进行角的等量代换；（2）与（1）同理，通过添加平行线，根据平行于同一条直线的两条直线平行，再利用平行线的性质、角平分线的定义进行角的等量代换；（3）在（2）的条件下，根据已有的数量关系，加上平行线得到的内错角相等进行等量代换即可．解：（1）BG ，平行于同一条直线的两条直线平行，两条直线平行内错角相等；（2）过点B 作BG //NC ，12//l l ，AM //BG ∴DEB EBG ∴∠=∠，CBG BCN ∠=∠，由（1）知，ABC BAM BCN ∠=∠+∠，又DBC BAM ∠=∠，ABC DBC BCN ∴∠=∠+∠，ABC ABD DBC ∠=∠+∠，ABD BCN ∴∠=∠，∴ABD CBG ∠=∠， BE 平分ABC ∠，ABE CBE ∴∠=∠，DBE EBG ∴∠=∠，DEB DBE ∴∠=∠（3）BAM 3BCN ∠=∠，理由如下：∴DBC ＝∴DBE ＋∴EBF ＋∴FBC ，∴BF∴AM ，∴∴EBF ＝∴DEB ，∴BF 平分∴CBE ，∴∴CBF ＝∴EFB ，而由（2）知：∴DBE ＝∴DEB ，∴∴DBC ＝3∴FBC ，∴CN∴AM ，∴CN∴BF ，∴∴FBC＝∴BCN，∴DBC＝3∴BCN，而∴BAM＝∴DBC，∴∴BAM＝3∴BCN【点拨】本题考查平行线的推论和性质，熟练掌握平行线的性质，并灵活进行等量代换是关键．。
微专题一同位角、内错角、同旁内角的常见模型图(教案)-2022-2023学年七年级下册数学(人教版)
（1）识别同位角、内错角、同旁内角：对于初学者来说，区分这三个角度关系可能存在一定的难度。
难点突破：通过直观的图形展示，让学生观察、比较，引导学生总结规律，加强记忆。
（2）平行线中同位角、内错角、同旁内角的性质理解：理解这些性质背后的逻辑关系，对于学生来说可能存在困难。
难点突破：采用举例法，通过多个具体实例的讲解，让学生感受性质的应用，从而加深理解。
4.平行线中同位角、内错角、同旁内角的性质；
5.运用同位角、内错角、同旁内角的性质解决实际问题。
本节内容旨在帮助学生掌握平行线中同位角、内错角、同旁内角的基本概念和性质，并能够运用这些知识解决实际题目。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的几何直观能力，通过观察和分析同位角、内错角、同旁内角的常见模型图，让学生能够直观地理解和把握几何图形之间的关系；
微专题一同位角、内错角、同旁内角的常见模型图（教案）-2022-2023学年七年级下册数学（人教版）
一、教学内容
本节教学内容选自人教版七年级下册数学第四章“平行线的性质”中的微专题一，主要围绕同位角、内错角、同旁内角的常见模型图展开。内容包括：
1.同位角的定义及识别；
2.内错角的定义及识别；
3.同旁内角的定义及识别；
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与同位角、内错角、同旁内角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过折叠纸张来演示同位角、内错角、同旁内角的形成和性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用同位角、内错角、同旁内角的性质来证明两条直线平行。
七年级数学下册专题01 平行线的四大模型(原卷版)-7年级数学下册压轴题攻略(人教版)
专题01 平行线的四大模型平行线的性质和判定是证明角相等、研究角的关系的重要依据，是研究几何图形位置关系与数量关系的基础，是平面几何的一个重要内容和学习简单的逻辑推理的素材。
它不但为三角形的内角和定理的证明提供了转化的方法，而且也是今后学习三角形、四边形知识的基础.本节课重点学习平行线的基础模型的应用迁移.模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.专题分析模型分类模型分析【典例1】（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．【变式1-1】（2023•渝中区校级模拟）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．40°B．50°C．130°D．140°典例分析【变式1-2】（2023•金安区一模）如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（）A．100°B．105°C．115°D．125°【变式1-3】（2022春•肇州县期末）如图，AB∥CD，∠C＝110°，∠B＝120°，则∠BEC ＝（）A．110°B．120°C．130°D．150°【变式1-4】（2023春•巴南区月考）已知直线MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN和PO之间．（1）如图1，求证：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA；（2）如图2，CD∥AB，点E在直线PQ上，且∠MCA＝∠DCE，求证：∠ECN＝∠CAB；（3）如图3，BF平分∠PBA，CG平分∠ACN，且AF∥CG．若∠CAB＝50°，直接写出∠AFB的度数．【变式1-5】（2023春•遂宁期末）如图，直线PQ∥MN，两个三角形如图①放置，其中∠ABC ＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°，点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．（1）求∠DEQ的度数；（2）如图②，若将△ABC绕B点以每秒3°的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒，当t＝10时，边BG与CD有何位置关系？请说明理由．模型分析模型二“猪蹄”模型（模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.典例分析【典例2】（2023春•邵阳县期末）如图，直线AB∥CD，连接EF，直线AB，CD及线段EF 把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点G落在某个部分时，连接GE，GF，构成∠EGF，∠GEB，∠GFD三个角．（1）当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：∠EGF，∠GEB，∠GFD三者的关系；（2）当动点G落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成立，说明理由．【变式2-1】（2023•盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（）A．44°B．34°C．24°D．14°【变式2-2】（2023•盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（）A．44°B．34°C．24°D．14°【变式2-3】（2023•海南模拟）如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD 等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°【变式2-4】（2023春•覃塘区期末）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF ＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【变式2-5】（2023春•赣县区期末）【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．【问题探究】：（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED 与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由；【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线AB∥CD，若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，求∠BEG+∠GFD的度数；【灵活应用】：（3）如图3，直线AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝25度．【变式2-6】（2023春•邵阳期末）如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点．（1）若∠MNB＝45°，∠MDP＝20°，求∠MPD；（2）如图1，当点P在线段MN上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由；（3）如图2，若T是直线MN上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点P在射线MT上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由．【变式2-7】（2023春•防城港期末）阅读下面材料：（1）小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB∥CD，E为直线AB，CD之间一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．下面是小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，直线a∥b，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BED的度数，（温馨提示：过点E作EF∥AB）模型分析模型三“臭脚”模型“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.典例分析【典例3】（2023春•中山区期末）如图，∠ABE+∠BED＝∠CDE．（1）如图1，求证AB∥CD；（2）如图2，点P在AB上，∠CDP＝∠EDP，BF平分∠ABE，交PD于点F，探究∠BFP，∠BED的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，如图3，PQ交ED延长线于点Q，∠DPQ＝2∠APQ，∠PQD ＝80°，求∠CDE的度数．【变式3-1】已知AB∥CD．（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F．若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．模型分析结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.典例分析【典例4】（2022秋•朝阳区校级期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G 为射线EF上一点．（1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线MN∥AB，又∵AB∥CD，∴∥CD∵MN∥AB，∴∠＝∠MGA．∵MN∥CD，∴∠D＝（）∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由．（3）【应用拓展】如图3，AH平分∠GAE，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDF，∠HDF＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数为°．【变式4-1】（2022秋•肃州区校级期末）如图（1），AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：解：如图（1），过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知）∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠PFD＝130°（已知）∴∠2＝180°﹣130°＝50°∴∠EPF＝∠1+∠2＝40°+50°＝90°即∠EPF＝90°【探究】如图（2），AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．【应用】如图（3），在【探究】的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．【变式4-2】（2022春•朝阳县期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系，小明过点P作l1的平行线，可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝．（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程．【变式4-3】（2020春•乳山市期中）【信息阅读】材料信息：如图①，AB∥DE，点C是直线AB，DE外任意一点，连接BC，DC．方法信息：如图②，在“材料信息”的条件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度数．解：过点C作CF∥AB．∴∠BCF＝∠B＝55°．∵AB∥DE，∴CF∥DE．∴∠DCF＝∠D＝35°．∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．【问题解决】（1）通过【信息阅读】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：；（2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点C的位置，∠B，∠D，∠BCD之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由．1.（2023春•建昌县期末）如图，将一个含30°角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边MN，PQ之间，则下列结论中：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠1+∠3＝90°；④若∠3＝60°，则AB⊥PQ，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2023春•芜湖期末）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（）A．180°﹣αB．120°﹣αC．60°+αD．60°﹣α3．（2022•恩施州）已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（）A．120°B．130°C．140°D．150°4．（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360°B．300°C．270°D．180°5．（2021春•椒江区校级月考）如图，已知AB∥CD，∠BAD和∠BCD的平分线交于点E，∠FBC＝n°，∠BAD＝m°，则∠AEC等于（）度．A．90﹣+m B．90﹣﹣C．90﹣D．90﹣+ 6．（2023春•赫山区期末）【问题情景】（1）如图1，AB∥CD，∠P AB＝135°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数；【问题迁移】（2）如图2，已知∠MON，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，连接PD，PC，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由；【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点P在A，B两点之间运动”改为“点P在A，B两点外侧运动（点P与点A，B，O三点不重合）”其他条件不变，请直接写出∠CPD 与∠α，∠β之间的数量关系．7．（2022春•良庆区校级期中）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB＝∠CFD，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．8．（2021秋•平昌县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．9．（2023春•黑山县期中）问题情境我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．问题初探（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为，∠EMC的度数为．类比再探（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF 与∠EMC的数量关系，并说明理由．（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．10．（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为；②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．11．（2023春•孝义市期末）综合与探究数学活动课上，老师以“一个含45°的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，如图1，已知直线m∥n，直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝∠ABC＝45°．（1）如图1，若∠2＝65°，则∠1＝；（直接写出答案）（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图2，调整三角板的位置，当三角板ABC的直角顶点C在直线n上，直线m与AB，AC相交时，他们得出的结论是：∠1﹣∠2＝135°，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；（3）如图3，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图2的基础上，继续调整三角板的位置，当点C不在直线n上，直线m与AC，BC相交时，∠1与∠2有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．12．（2023春•安化县期末）在课后学习中，小红探究平行线中的线段与角的数量关系，如图，直线AB∥CD，点N在直线CD上，点P在直线AB上，点M为平面上任意一点，连接MP，MN，PN．（1）如图1，点M在直线CD上，PM平分∠APN，试说明∠PMN＝∠MPN；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，∠PMN＝70°，∠MNC＝30°，求∠APM的度数；（3）如图3，∠APM和∠MNC的平分线交于点Q，∠PQN与∠PMN有何数量关系？并说明理由．12．（2023春•甘井子区期末）如图1，点M在射线BA，CD之间，0°＜∠ABM＜30°，连接BM，过点M作ME⊥BM交射线CD于点E，且∠MED﹣∠B＝90°．（1）求证：AB∥CD；（2）过点C作∠ECN＝∠B，交直线ME于点N，先按要求画图，再解决下列问题．①当CN在CD上方，满足∠CNE＝5∠B时，在图2中画图，求∠B的度数；②作∠BME的角平分线交射线CD于点K，交∠ECN的角平分线于点F，请直接写出∠MKC与∠MFC之间的数量关系．。
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几何复习专题训练
一、三角形三边关系及内角和问题
1、（1）一个三角形的三边长分别为2，x-1，3，则x 的取值范围是_____________
(2)一个三角形两边的长分别是2cm 和7cm ，第三边的长是偶数，则这个三角形的周长为____________ 2、一个三角形三个内角度数的比是2∶3∶4，那么这个三角形是 __________三角形 3、在△ABC 中， ∠A －∠B ＝36°，∠C ＝2∠B ，则∠C ＝___________ 4、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______________
5、（1）如图，在△ABC 中，P 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，试探索∠A 与∠P 的数量关系，并说出你的理由。
（2）如图，在△ABC 中，P 是∠ABC 与∠ACE 的平分线的交点，试探索∠A 与∠P 的数量关系，并说出你的理由。
（3）如图，PB 、PC 别是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的外角角平分线，BP 、CP 相交于P ，试探索∠BPC 与∠A 之间的数量关系，并说出你的理由．
6、如图，在 中，D 是BC 上任意一点，E 是AD 上任意一点。
求证：（1）∠BEC ＞∠BAC ； （2）AB ＋AC ＞BE ＋EC 。
二、线段的垂直平分线与角平分线转化问题
1、如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ，若△ABC 的周长为28，BC=8，求△BCE 的周长。
变式：如图，如图，△ABC 中边AB 的垂直平分线分别交BC ，AB 于点D ，E ，AE=3cm ，△ADC 的周长为9cm ，则△ABC 的周长是____________
E
C
D
B
A
H
F
E
I
D
C
B
G
A
P
E
D
C
B
A
D
E
C
B
A
P
C
B
A
P
E
C
B
A
2、如图，已知在△ABC 中，AD 垂直平分BC ，AC=EC ，点B 、D 、E 在同一直线上，那么AB+DB=DE 会成立么？为什么？
3、如图，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于0，过0作MN ∥BC ，交AB 于M ，交AC 于N 。
求证：BM ＋NC ＝MN 。
4如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB
5如图，己知，AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF ，试说明 ∠B=∠CAF.
三、等腰三角形中的分类讨论：
1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为_________________. ２、等腰三角形中，一个角是另一个角的两倍，求它各角的度数___________________． ３、（1）若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为________________．
（2）等腰三角形的一个外角等于110°，则顶角的度数为___________________ 4、等腰三角形中，两个内角的比为4：1，则顶角的度数为______________
５、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________________ 6、已知一等腰三角形两边为2，4，则它的周长为__________________
7、有一个等腰三角形，三边分别是3x －2，4x －3，6－2x ，等腰三角形的周长为 ___________ 8、（1）等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为________________ （2）等腰三角形的周长是30，其中两边的差是3，则这个三角形的三边分别为________________________
9、一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm 和18cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是
_________________
10、等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把周长分成的两部分之差为2cm ，则腰长为_____________ 11、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为30°，这个等腰三角形的顶角的度数 ___ 12、等腰三角形的一个角是50°，它的一腰上的高与底边的夹角为____________
13、己知在△ABC 中，AB=AC ，AC 边的垂直平分线与AB 边所在的直线相交所得的锐角为38°，则∠C=___________ 14、如图，CA=CB ，DF=DB ，AE=AD ，求∠A 的度数.
15、如图，在△ABC 中，AB=AC ，BC=BD,AD=DE=EB ，求∠A 的度数
F
C
D
B
E A
E
C
D
B
A
B
C
D
A
E
F
C
B A
E
D
16、如图，∠A=16°，AB=BC=CD=DE=EF ，求∠FEM 的度数。
变式：①如图AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管_______根．
②如图，AB=A 1B ，A 1C=A 1A 2，A 2D=A 2A 3，A 3E=A 3A 4, ∠B=20°
(1)求∠A 4的度数；（2）根据上述规律，请写出∠A n 的度数。
（请用含n 的代数式表示）
17、如图，D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE.
18、已知：△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是BC 边上的高，BF 平分∠ABC ，交AD 于E 。
求证：△AEF 是等腰三角形
19、如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC ，且∠BDC=2∠ABC.AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点F ，试说明△ADF 是等边三角形。
20、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，△ACE 、△CBD 都是等边三角形，试判断EC 与BD 的位置关系，并说明你的结论。
四、折叠问题
如图，己知长方形ABCD ，把△ABC 沿对角线AC 折叠，交AD 于点F ，则△AFC 是一个等腰
三角形吗？为什么？
C
E
M
N
F D
B
A
F
E D
C
A
B
D B
C
A
E
A
A
A
A
E D
C
B A
E
F
D C
B
A。