2019中考数学一轮复习第一部分教材同步复习第四章三角形第18讲全等三角形权威预测
初中中考数学一轮复习第一部分教材同步复习第四章三角形第18讲全等三角形实用课件
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• 类型3 旋转模型 • 例3 如图，∠CAE＝∠BAD，∠B＝∠D，AC＝AE，求证：
△ABC≌△ADE.
【解答】 ∵∠CAE＝∠BAD， ∴∠CAE＋∠EAB＝∠EAB＋∠BAD，即∠CAB＝∠EAD， ∵在△ABC 和△ADE，∠ ∠BC＝AB∠＝D∠，EAD，
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知识点二 全等三角形的判定
• 1．判定三角形全等的方法 • (1)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为SAS)； • (2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为ASA)； • (3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为AAS)； • (4)三边对应相等的两个三角形全等(简记为SSS)； • (5)①____斜__边____和一条②_直__角__边_____对应相等的两个直角三角形全等
又∵AD＝CF，∴AD＋DC＝DC＋CF，即 AC＝DF. ∵在△ABC 和△DEF 中，∠ ACA＝＝D∠FE，DF，
∠BCA＝∠F， ∴△ABC≌△DEF(ASA)．
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备考策略
• 平移模型
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• 类型2 轴对称模型
• 例2 如图，AB＝AC，AD平分∠BAC，证明：△ABD≌△ACD．
不能再找边对应相等
不能找已对应相等的角 的对边对5 应相等
重难点 ·突破
重难点 全等三角形的判定 重点
• 类型1 平移型模型 • 例1 如图，已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：
△ABC≌△DEF.
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【解答】 ∵AB∥DE，BC∥EF，
∴∠A＝∠EDF，∠F＝∠BCA．
【解答】 ∵AD 平分∠BAC，
2019中考数学一轮复习教材同步复习三角形第18讲全等三角形5年真题精选
第一部分 第四章 第18讲命题点1 全等三角形的判定1．(2018·云南16题6分)如图，已知AC 平分∠BAD ，AB ＝AD ．求证：△ABC ≌△ADC ．证明：∵AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC ＝∠DAC ．∵在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SAS)．2．(2015·云南16题5分)如图，∠B ＝∠D ，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC ≌△ADC ，并说明理由．解：添加∠BAC ＝∠DAC ．(答案不唯一)理由如下： ∵在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠D ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (AAS)．3．(2018·曲靖17题6分)如图，在平行四边形ABCD 的边AB ，CD 上截取AF ，CE ，使得AF ＝CE ，连接EF ，点M ，N 是线段上两点，且EM ＝FN ，连接AN ，CM .(1)求证：△AFN ≌△CEM ；(2)若∠CMF ＝107°，∠CEM ＝72°，求∠NAF 的度数． (1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC ∥AB ， ∴∠CEM ＝∠AFN .∵在△AFN 和△CEM 中，⎩⎪⎨⎪⎧FN ＝EM ，∠AFN ＝∠CEM ，AF ＝CE ，∴△AFN ≌△CEM (SAS)．(2)解：∵∠CMF ＝∠MEC ＋∠ECM ，∠CMF ＝107°，∠CEM ＝72°， ∴∠ECM ＝107°－72°＝35°. ∵∠ECM ＝∠NAF ， ∴∠NAF ＝35°.4．(2014·曲靖22题10分)如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE 于点D ，BE ⊥CE 于点E .(1)求证：△ACD ≌△CBE ；(2)已知AD ＝4，DE ＝1，求EF 的长． (1)证明：∵AD ⊥CE ， ∴∠2＋∠3＝90°.又∵∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3. ∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ， ∴∠E ＝∠ADC ＝90°，在△ACD 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠E ，∠3＝∠1，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE (AAS)． (2)解：∵△ACD ≌△CBE (AAS)，∴CE ＝AD ＝4，∴BE ＝CD ＝CE －DE ＝4－1＝3. ∵∠E ＝∠ADF ，∠BFE ＝∠AFD ， ∴△BEF ∽△ADF ，∴BE AD ＝EFDF. 设EF ＝x ，则DF ＝1－x ， ∴34＝x 1－x ，解得x ＝37，∴EF ＝37.命题点2 全等三角形的判定与性质5．(2018·昆明15题6分)如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2.求证：BC ＝DE .证明：∵∠1＝∠2， ∴∠DAC ＋∠1＝∠2＋∠DAC ， ∴∠BAC ＝∠DAE .∵在△ABC 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠D ，AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ≌△ADE (ASA)， ∴BC ＝DE .6．(2017·云南15题6分)如图，点E ，C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB ＝DE ，AC ＝DF .求证：∠ABC ＝∠DEF .证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ， ∴BC ＝EF .∵在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF (SSS)， ∴∠ABC ＝∠DEF .7．(2016·云南16题6分)如图，点C 是AE 的中点，∠A ＝∠ECD ，AB ＝CD ，求证：∠B ＝∠D ．证明：∵点C 是AE 的中点， ∴AC ＝CE .在△ABC 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝CE ，∠A ＝∠ECD ，AB ＝CD ，∴△ABC ≌△CDE (SAS)， ∴∠B ＝∠D ．8．(2016·昆明16题6分)如图，点D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，FC ∥AB ．求证：AE ＝CE .证明：∵FC ∥AB ，∴∠A ＝∠ECF ，∠ADE ＝∠CFE .∵在△ADE 和△CFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠FCE ，∠ADE ＝∠CFE ，DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE (AAS)， ∴AE ＝CE .9．(2014·云南16题5分)如图，在△ABC 和△ABD 中，AC 与BD 相交于点E ，AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，求证：AC ＝BD ．证明：∵在△ADB 和△BCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，AB ＝BA ，∴△ADB ≌△BCA (SAS)， ∴AC ＝BD ．10．(2016·曲靖16题6分)如图，已知点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ＝DF ，AC ＝DE ，∠A ＝∠D ．(1)求证：AC ∥DE ；(2)若BF ＝13，EC ＝5，求BC 的长．(1)证明：∵在△ABC 和△DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DF ，∠A ＝∠D ，AC ＝DE ，∴△ABC ≌△DFE (SAS)， ∴∠ACB ＝∠DEF ，∴AC ∥DE . (2)解：∵△ABC ≌△DFE ，∴BC ＝FE ， ∴BC －EC ＝FE －EC ，即BE ＝CF ， ∴BE ＝BF －EC 2＝13－52＝4，∴BC ＝BE ＋EC ＝4＋5＝9.。
【2019-2020】中考数学一轮复习第一部分教材同步复习第四章三角形第18讲全等三角形5年真题精选
【2019-2020】中考数学一轮复习第一部分教材同步复习第四章三角形第18讲全等三角形5年真题精选 第四章 第18讲命题点1 全等三角形的判定1．(2018·云南16题6分)如图，已知AC 平分∠BAD ，AB ＝AD ．求证：△ABC ≌△ADC ．证明：∵AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC ＝∠DAC ．∵在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SAS)．2．(2015·云南16题5分)如图，∠B ＝∠D ，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC ≌△ADC ，并说明理由．解：添加∠BAC ＝∠DAC ．(答案不唯一)理由如下： ∵在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠D ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (AAS)．3．(2018·曲靖17题6分)如图，在平行四边形ABCD 的边AB ，CD 上截取AF ，CE ，使得AF ＝CE ，连接EF ，点M ，N 是线段上两点，且EM ＝FN ，连接AN ，CM .(1)求证：△AFN ≌△CEM ；(2)若∠CMF ＝107°，∠CEM ＝72°，求∠NAF 的度数． (1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴DC ∥AB ， ∴∠CEM ＝∠AFN .∵在△AFN 和△CEM 中，⎩⎪⎨⎪⎧FN ＝EM ，∠AFN ＝∠CEM ，AF ＝CE ，∴△AFN ≌△CEM (SAS)．(2)解：∵∠CMF ＝∠MEC ＋∠ECM ，∠CMF ＝107°，∠CEM ＝72°， ∴∠ECM ＝107°－72°＝35°. ∵∠ECM ＝∠NAF ， ∴∠NAF ＝35°.4．(2014·曲靖22题10分)如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE 于点D ，BE ⊥CE 于点E .(1)求证：△ACD ≌△CBE ；(2)已知AD ＝4，DE ＝1，求EF 的长． (1)证明：∵AD ⊥CE ， ∴∠2＋∠3＝90°.又∵∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3. ∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ， ∴∠E ＝∠ADC ＝90°，在△ACD 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠E ，∠3＝∠1，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE (AAS)． (2)解：∵△ACD ≌△CBE (AAS)，∴CE ＝AD ＝4，∴BE ＝CD ＝CE －DE ＝4－1＝3. ∵∠E ＝∠ADF ，∠BFE ＝∠AFD ， ∴△BEF ∽△ADF ，∴BE AD ＝EF DF.设EF ＝x ，则DF ＝1－x ， ∴34＝x 1－x ，解得x ＝37，∴EF ＝37. 命题点2 全等三角形的判定与性质5．(2018·昆明15题6分)如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2.求证：BC ＝DE .证明：∵∠1＝∠2， ∴∠DAC ＋∠1＝∠2＋∠DAC ， ∴∠BAC ＝∠DAE .∵在△ABC 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠D ，AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ≌△ADE (ASA)， ∴BC ＝DE .6．(2017·云南15题6分)如图，点E ，C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB ＝DE ，AC ＝DF .求证：∠ABC ＝∠DEF .证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ， ∴BC ＝EF .∵在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF (SSS)， ∴∠ABC ＝∠DEF .7．(2016·云南16题6分)如图，点C 是AE 的中点，∠A ＝∠ECD ，AB ＝CD ，求证：∠B ＝∠D ．证明：∵点C 是AE 的中点， ∴AC ＝CE .在△ABC 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝CE ，∠A ＝∠ECD ，AB ＝CD ，∴△ABC ≌△CDE (SAS)， ∴∠B ＝∠D ．8．(2016·昆明16题6分)如图，点D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，FC ∥AB ．求证：AE ＝CE .证明：∵FC ∥AB ，∴∠A ＝∠ECF ，∠ADE ＝∠CFE .∵在△ADE 和△CFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠FCE ，∠ADE ＝∠CFE ，DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE (AAS)， ∴AE ＝CE .9．(2014·云南16题5分)如图，在△ABC 和△ABD 中，AC 与BD 相交于点E ，AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，求证：AC ＝BD ．证明：∵在△ADB 和△BCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，AB ＝BA ，∴△ADB ≌△BCA (SAS)， ∴AC ＝BD ．10．(2016·曲靖16题6分)如图，已知点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ＝DF ，AC ＝DE ，∠A ＝∠D ．(1)求证：AC ∥DE ；(2)若BF ＝13，EC ＝5，求BC 的长．(1)证明：∵在△ABC 和△DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DF ，∠A ＝∠D ，AC ＝DE ，∴△ABC ≌△DFE (SAS)， ∴∠ACB ＝∠DEF ，∴AC ∥DE . (2)解：∵△ABC ≌△DFE ，∴BC ＝FE ， ∴BC －EC ＝FE －EC ，即BE ＝CF ， ∴BE ＝BF －EC 2＝13－52＝4，∴BC ＝BE ＋EC ＝4＋5＝9.。
中考数学一轮复习第一分教材同步复习第四章三角形第18讲等三角形权威预测试题
创作；朱本晓 2022年元月元日
创作；朱本晓 2022年元月元日
第一局部 第四章 第18讲 1．：如图，点A，F，C，D在同一直线上，AF＝DC，AB∥DE，AB＝DE，求证：BC∥EF.
证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D． ∵AF＝CD，∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中， AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF(SAS)， ∴∠BCA＝∠EFD， ∴BC∥EF. 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上．假设BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°.
求证：△AEF≌△BCF. 证明：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF， ∴△ABF为等腰直角三角形．∴AF＝BF， ∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC． ∴∠C＋∠EAF＝∠C＋∠CBF＝90°. ∴∠EAF＝∠CBF. 创作；朱本晓 2022年元月元日
创作；朱本晓 2022年元月元日
在△AEF和△BCF中， ∠EAF＝∠CBF，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°， ∴△AEF≌△BCF(ASA)． 励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。 厚积薄发，一鸣惊人。 关于努力学习的语录。自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。 好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。 含泪播种的人一定能含笑收获。 贵在坚持、难在坚持、成在坚持。 功崇惟志，业广为勤。 耕耘今天，收获明天。 成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。 常说口里顺，常做手不笨。 不要自卑，你不比别人笨。不要自满，别人不比你笨。 高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。 敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。 丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。 奋勇冲击，永争第一。 奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。 放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。 翻手为云，覆手为雨。 二人同心，其利断金。 短暂辛苦，终身幸福。 东隅已逝，桑榆非晚。 登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。 大智若愚，大巧若拙。 聪明出于勤奋，天才在于积累。 把握机遇，心想事成。 奥运精神，永驻我心。 “想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。 **燃烧希望，励志赢来成功。楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。 乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。 不学习，如何养活你的众多女人。 不为失败找理由，要为成功想办法。 不勤于始，将悔于终。 不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。 不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。 不敢高声语，恐惊读书人。 不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。 博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。 播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。 创作；朱本晓 2022年元月元日
中考数学高分一轮复习教材同步复习第四章三角形课时18解直角三角形及其应用权威预测
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题第一部分 第四章 课时181．在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，AD 是∠BAC 的平分线，交边BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，则tan ∠EDC ＝( A)A ．43B ．34C ．55D ．35【解析】∵AD 是∠BAC 的角平分线，DB ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴BD ＝DE ，∴AE ＝AB ＝3.根据勾股定理可得AC ＝5, ∴EC ＝AC －AE ＝2. 在Rt △DEC 中，设DE ＝x ，则DC ＝4－x ，根据勾股定理可得，DE 2＋EC 2＝DC 2，即x 2＋22＝(4－x )2，解得x ＝32， ∴tan ∠EDC ＝EC ED ＝232＝43. 2．某湖中间有一棵树，不乘船不易到达．有一天，小华和小军两个人带着测倾器和皮尺想测量这个湖的岸边到这棵树的距离．测量方法如下：如图，首先，小华站在A 处，用测倾器测得树顶端M 点的仰角为26°，此时测得小华的眼睛距地面的高度AB 为1.7米，然后，小华在A 处蹲下，用测倾器测得树顶端M 点的仰角为28°，这时测得小华的眼睛距地面的高度AC 为1米．请你利用以上测得的数据，计算此湖岸边与树之间的距离AN 的长．(结果精确到1米)(参考数据：sin26°≈0.438 4，cos26°≈0.898 8，tan26°≈0.487 7，sin28°≈0.469 5，cos28°≈0.883 0，tan28°≈0.531 7)解：如答图，过点B 作BD ⊥MN ，过点C 作CE ⊥MN ，垂足分别为D ，E .答图设AN＝x米，则BD＝CE＝x米．在Rt△MBD中，MD＝x·tan26°，在Rt△MCE中，ME＝x·tan28°.∵ME－MD＝DE＝BC，∴x·tan28°－x·tan26°＝1.7－1＝0.7，∴x＝0.7tan28°－tan26°≈16(米)．答：此湖岸边与树之间的距离AN的长约为16米．。
2019中考数学一轮复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 第18讲 全等三角形5年真题精选
第一部分 第四章 第18讲命题点1 全等三角形的判定1．(xx·云南16题6分)如图，已知AC 平分∠BAD ，AB ＝AD ．求证：△ABC ≌△ADC ．证明：∵AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC ＝∠DAC ．∵在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SAS)．2．(xx·云南16题5分)如图，∠B ＝∠D ，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC ≌△ADC ，并说明理由．解：添加∠BAC ＝∠DAC ．(答案不唯一)理由如下： ∵在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠D ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (AAS)．3．(xx·曲靖17题6分)如图，在平行四边形ABCD 的边AB ，CD 上截取AF ，CE ，使得AF ＝CE ，连接EF ，点M ，N 是线段上两点，且EM ＝FN ，连接AN ，CM .(1)求证：△AFN ≌△CEM ；(2)若∠CMF ＝107°，∠CEM ＝72°，求∠NAF 的度数． (1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC ∥AB ， ∴∠CEM ＝∠AFN .∵在△AFN 和△CEM 中，⎩⎪⎨⎪⎧FN ＝EM ，∠AFN ＝∠CEM ，AF ＝CE ，∴△AFN ≌△CEM (SAS)．(2)解：∵∠CMF ＝∠MEC ＋∠ECM ，∠CMF ＝107°，∠CEM ＝72°， ∴∠ECM ＝107°－72°＝35°. ∵∠ECM ＝∠NAF ， ∴∠NAF ＝35°.4．(xx·曲靖22题10分)如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE 于点D ，BE ⊥CE 于点E .(1)求证：△ACD ≌△CBE ；(2)已知AD ＝4，DE ＝1，求EF 的长． (1)证明：∵AD ⊥CE ， ∴∠2＋∠3＝90°.又∵∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3. ∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ， ∴∠E ＝∠ADC ＝90°，在△ACD 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠E ，∠3＝∠1，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE (AAS)． (2)解：∵△ACD ≌△CBE (AAS)，∴CE ＝AD ＝4，∴BE ＝CD ＝CE －DE ＝4－1＝3. ∵∠E ＝∠ADF ，∠BFE ＝∠AFD ， ∴△BEF ∽△ADF ，∴BE AD ＝EFDF. 设EF ＝x ，则DF ＝1－x ， ∴34＝x 1－x ，解得x ＝37，∴EF ＝37.命题点2 全等三角形的判定与性质5．(xx·昆明15题6分)如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2.求证：BC ＝DE .证明：∵∠1＝∠2， ∴∠DAC ＋∠1＝∠2＋∠DAC ， ∴∠BAC ＝∠DAE .∵在△ABC 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠D ，AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ≌△ADE (ASA)， ∴BC ＝DE .6．(xx·云南15题6分)如图，点E ，C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB ＝DE ，AC ＝DF .求证：∠ABC ＝∠DEF .证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ， ∴BC ＝EF .∵在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF (SSS)， ∴∠ABC ＝∠DEF .7．(xx·云南16题6分)如图，点C 是AE 的中点，∠A ＝∠ECD ，AB ＝CD ，求证：∠B ＝∠D ．证明：∵点C 是AE 的中点， ∴AC ＝CE .在△ABC 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝CE ，∠A ＝∠ECD ，AB ＝CD ，∴△ABC ≌△CDE (SAS)， ∴∠B ＝∠D ．8．(xx·昆明16题6分)如图，点D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，FC ∥AB ．求证：AE ＝CE .证明：∵FC ∥AB ，∴∠A ＝∠ECF ，∠ADE ＝∠CFE .∵在△ADE 和△CFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠FCE ，∠ADE ＝∠CFE ，DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE (AAS)， ∴AE ＝CE .9．(xx·云南16题5分)如图，在△ABC 和△ABD 中，AC 与BD 相交于点E ，AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，求证：AC ＝BD ．证明：∵在△ADB 和△BCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，AB ＝BA ，∴△ADB ≌△BCA (SAS)， ∴AC ＝BD ．10．(xx·曲靖16题6分)如图，已知点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ＝DF ，AC ＝DE ，∠A ＝∠D ．(1)求证：AC ∥DE ；(2)若BF ＝13，EC ＝5，求BC 的长．(1)证明：∵在△ABC 和△DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DF ，∠A ＝∠D ，AC ＝DE ，∴△ABC ≌△DFE (SAS)， ∴∠ACB ＝∠DEF ，∴AC ∥DE . (2)解：∵△ABC ≌△DFE ，∴BC ＝FE ， ∴BC －EC ＝FE －EC ，即BE ＝CF ， ∴BE ＝BF －EC 2＝13－52＝4，∴BC ＝BE ＋EC ＝4＋5＝9.。
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邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。
师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。
夫书者，凡得学者，有亲也。
一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。
”师恻然曰：“欲书可耳”原曰：“无钱资。
”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。
”于是遂就书。
一冬之间，诵《孝经》《论语》。
第一部分第四章第18讲
1．已知：如图，点A ，F ，C ，D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ∥DE ，AB ＝DE ，求证：BC ∥EF .
证明：∵AB ∥DE ，
∴∠A ＝∠D ．
∵AF ＝CD ，∴AC ＝DF ，
在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＝DE ，∠A＝∠D，
AC ＝DF ，
∴△ABC ≌△DEF (SAS)，
∴∠BCA ＝∠EFD ，
∴BC ∥EF .
2.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，点E 在AD 上．若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，∠BAC ＝45°.
求证：△AEF ≌△BCF .
证明：∵∠BAC ＝45°，BF ⊥AF ，
∴△ABF 为等腰直角三角形．∴AF ＝BF ，
∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ．
∴∠C ＋∠EAF ＝∠C ＋∠CBF ＝90°.
∴∠EAF ＝∠CBF .
在△AEF 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠EAF＝∠CBF，AF ＝BF ，
∠AFE＝∠BFC＝90°，
∴△AEF ≌△BCF (ASA)．。