【练闯考】2015秋版九年级数学(湘教)课件：专题 一元二次方程根的判别式
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湘教版九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》课件(共17张PPT)
解：一元二次方程 x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0 的解为 x＝ 2k＋1± 1
2 ，即 x1＝k，x2＝k＋1.当 AB＝k，AC＝k＋1，且 AB＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则 k＝5；当 AB＝k，AC＝k＋1，且 AC＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则 k＋1＝5，解得 k＝4.所以 k 的值为 5 或 4
实数根，则 a 的取值范围是( B )
A．a>－5
B．a>－5 且 a≠－1
C．a<－5
D．a≥－5 且 a≠－1
8．已知(m－1)x2＋2mx＋(m－1)＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取
值范围是( C )
A．m>12 C．m>12且 m≠1
B．m<12且 m≠1 D.12<m<1
9．(2015·贺州改编)已知关于 x 的方程 x2＋(1－m)x＋m42＝0 有 两个不相等的实数根，则 m 的最大整数值是___0___．
(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即 8k＋9＝0，解得 k ＝－98 (3)∵方程没有实数根，∴Δ<0，即 8k＋9<0，解得 k<－98
11．已知b<0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是
(C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不确定
10．已知关于 x 的方程 2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，问当 k 取什 么值时，
(1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程没有实数根.
解：∵a＝2，b＝－(4k＋1)，c＝2k2－1，∴Δ＝b2－4ac＝[－(4k ＋1)]2－4×2×(2k2－1)＝8k＋9. (1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，即 8k＋9>0，解得 k>－98
2 ，即 x1＝k，x2＝k＋1.当 AB＝k，AC＝k＋1，且 AB＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则 k＝5；当 AB＝k，AC＝k＋1，且 AC＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则 k＋1＝5，解得 k＝4.所以 k 的值为 5 或 4
实数根，则 a 的取值范围是( B )
A．a>－5
B．a>－5 且 a≠－1
C．a<－5
D．a≥－5 且 a≠－1
8．已知(m－1)x2＋2mx＋(m－1)＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取
值范围是( C )
A．m>12 C．m>12且 m≠1
B．m<12且 m≠1 D.12<m<1
9．(2015·贺州改编)已知关于 x 的方程 x2＋(1－m)x＋m42＝0 有 两个不相等的实数根，则 m 的最大整数值是___0___．
(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即 8k＋9＝0，解得 k ＝－98 (3)∵方程没有实数根，∴Δ<0，即 8k＋9<0，解得 k<－98
11．已知b<0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是
(C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不确定
10．已知关于 x 的方程 2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，问当 k 取什 么值时，
(1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程没有实数根.
解：∵a＝2，b＝－(4k＋1)，c＝2k2－1，∴Δ＝b2－4ac＝[－(4k ＋1)]2－4×2×(2k2－1)＝8k＋9. (1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，即 8k＋9>0，解得 k>－98
湘教版九年级上册数学课件：2.3一元二次方程根的判别式(共17张PPT)
练习
（1）
（2）
（3）
（4）
2. 解（1）因为
所以，方程有两个不相等的实数根. （2）因为
所以，方程有两个相等的实数根.
2.不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
练习 （1）
（2）
（3）
（4）
2. 解（3）因为
所以，方程没有实数根. （4）原方程化为：
因为
所以，方程有两个相等的实数根.
小结与复习
一元二次方程 第二章 一元二次方程
第2章
本节内容 一元二次方程根的判别式 2.3
议一议
我们在运用公式法求解
一元二次方程
时，
总是要求
这是为什么？
议一议
将方程 配方后得到
由于
， 所以
，因此发现：
（1）当
时，
.
由于正数有两个平方根，所以原方程的根为
因此，原方程有两个不相等的实数根.
议一议
（2）当
时，
当∆=0时，原方程有两个相等的实数根其根为
当∆<0时，原方程没有实数根.
例 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:
（1） （2） （3）
解：（1）因为 ，
所以，原方程有两个不相等的实数根.
（2）将原方程化为一般形式，得 .
因为 ，
所以，原方程有两个相等的实数根.
（3）将方程化为一般形式，得 .
.
由于0的平方根为0，所以原方程的根为
此时，原方程有两个相等的实数根.
（3）当
时，
.
由于负数在实数范围内没有平方根，
所以原方程没有实数根.
结论
我们把
叫作一元二次方程
的根的判别式，
秋湘教版九年级数学上册习题课件：2.3 一元二次方程根的判别式(共11张PPT)
C．两个根都是自然数
D．无实数根
2．(安顺中考)若关于 x 的方程 x2＋mx＋1＝0 有两个不相等的实数根，则 m
的值可以是( D )
A．0
B．－1
C．2
D．－3
3．下列关于 x 的一元二次方程有实数根的是( D )
A．x2＋1＝0
B．x2＋x＋1＝0
C．x2－x＋1＝0
D．x2－x－1＝0
4．下列方程：①x2－1＝0；②x2＋1＝0；③x2＋2x＋3＝0；④x2＋2x＝3，
8．若一元二次方程 x2－2x－m＝0 无实数根，则一次函数 y＝(m＋1)x＋m
－1 的图象不经过第________象限( D )
A．四
B．三
C．二
D．一
9．方程(m－2)x2－ 3－mx＋14＝0 有两个实数根，则 m 的取值范围是( B )
A．m＞52
B．m≤52且 m≠2
C．m≥3
D．m≤3 且 m≠2
数根，则 a 的取值范围是 a＞－94且 a≠0
.
13．已知方程 2x2－(4m＋1)x＋2m2－1＝0，求该方程满足下列条件时 x 的 值． (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根． 解：Δ＝(4m＋1)2－4×2(2m2－1)＝8m＋9.
(1)Δ＞0，m＞－98； (2)Δ＝0，m＝－98； (3)Δ＜0，m＜－98.
数学 九年级 上册•X
第2章 一元二次方程
2.3 一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判定 1．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，我们把 b2－4ac 叫根的判别式． (1)当 b2－4ac＞0 时： 方程有两个不相等的实数根 ； (2)当 b2－4ac＝0 时： 方程有两个相等的实数根 ； (3)当 b2－4ac＜0 时： 方程没有实数根 .
湘教版数学九年级上册一元二次方程根的判别式课件
b2－4ac.
知2－讲
知识点
2 一元二次方程根的类别
综上所知，我们不难发现一元二次方程a x2＋b x＋c＝0
( a ≠ 0 ) 的根的情况可由 =b2－4ac 来判断：
当＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1＝
, x2＝
.
2a
2a
当＝0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
b
x1＝x2＝
.
2a
当＜0时，原方程没有实数根.
知2－讲
例1
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) 3x2＋4x －3 = 0；
(2) 4x2 = 12x －9；
(3) 7y = 5 ( y2＋1 ).
解： (1) 因为=b2－4ac = 42 －4×3×(－3)
因为=b2－4ac = (－7) 2 －4×5×5
=49－100 =－51 ＜0，
所以，原方程没有实数根.
知2－讲
总 结
利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法：
先将一元二次方程化成一般情势 ax2＋bx＋c ＝0，
当方程中的a，b，c 是常数时，直接求出 = b2－4ac
的值， 确定方程根的情况；当方程中的a，b，c 含有
母，则应注意检验二次项系数是否为零.
3. 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、
有两个不等的实根、有两个相等的实根）.
知3－讲
例2 【中考·凉山】关于 x 的一元二次方程 ( m－2 )x2＋
2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( D )
A．m ≤3
B．m ＜3
知2－讲
知识点
2 一元二次方程根的类别
综上所知，我们不难发现一元二次方程a x2＋b x＋c＝0
( a ≠ 0 ) 的根的情况可由 =b2－4ac 来判断：
当＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1＝
, x2＝
.
2a
2a
当＝0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
b
x1＝x2＝
.
2a
当＜0时，原方程没有实数根.
知2－讲
例1
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) 3x2＋4x －3 = 0；
(2) 4x2 = 12x －9；
(3) 7y = 5 ( y2＋1 ).
解： (1) 因为=b2－4ac = 42 －4×3×(－3)
因为=b2－4ac = (－7) 2 －4×5×5
=49－100 =－51 ＜0，
所以，原方程没有实数根.
知2－讲
总 结
利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法：
先将一元二次方程化成一般情势 ax2＋bx＋c ＝0，
当方程中的a，b，c 是常数时，直接求出 = b2－4ac
的值， 确定方程根的情况；当方程中的a，b，c 含有
母，则应注意检验二次项系数是否为零.
3. 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、
有两个不等的实根、有两个相等的实根）.
知3－讲
例2 【中考·凉山】关于 x 的一元二次方程 ( m－2 )x2＋
2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( D )
A．m ≤3
B．m ＜3
一元二次方程根的辨别式课件湘教版数学九年级上册
学习目标
2.3 一元二次方程的辨别式
1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念； 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况； 3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围.（重点、 难点）
2.3 一元二次方程的辨别式 一、一元二次方程根的判别式
议一议
我们在运用公式法求解一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 时，总是要求b2 - 4ac ≥ 0.这是为什么？
2.3 一元二次方程的辨别式
应用2：根据方程根的情况确定字母的取值范围
若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x – 1 = 0 有两个不相等的实数根，则
k 的取值范围是( B )
A. k > -1
B. k > -1 且 k ≠ 0
C. k < 1
D. k < 1 且 k ≠ 0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2 - 4ac > 0， 同时要求二次项系数不为0，即 (-2)2 - 4k > 0 ，k ≠ 0.解得k > -1且k ≠ 0， 故选B.
将方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)配方后得到
2.3 一元二次方程的辨别式 由于a ≠ 0，所以 4a2 > 0，因此我们不难发现：
由于正数有两个平方根，所以原方程的根为
此时，原方程有两个不相等的实数根.
2.3 一元二次方程的辨别式 由于0的平方根为0，所以原方程的根为 此时，原方程有两个相等的实数根.
(1) 3x2 + 4x - 3 = 0； (2) 4x2 = 12x - 9； (3) 7y = 5(y + 1).
解：(1)因为 Δ = b2 - 4ac
2.3 一元二次方程的辨别式
1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念； 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况； 3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围.（重点、 难点）
2.3 一元二次方程的辨别式 一、一元二次方程根的判别式
议一议
我们在运用公式法求解一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 时，总是要求b2 - 4ac ≥ 0.这是为什么？
2.3 一元二次方程的辨别式
应用2：根据方程根的情况确定字母的取值范围
若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x – 1 = 0 有两个不相等的实数根，则
k 的取值范围是( B )
A. k > -1
B. k > -1 且 k ≠ 0
C. k < 1
D. k < 1 且 k ≠ 0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2 - 4ac > 0， 同时要求二次项系数不为0，即 (-2)2 - 4k > 0 ，k ≠ 0.解得k > -1且k ≠ 0， 故选B.
将方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)配方后得到
2.3 一元二次方程的辨别式 由于a ≠ 0，所以 4a2 > 0，因此我们不难发现：
由于正数有两个平方根，所以原方程的根为
此时，原方程有两个不相等的实数根.
2.3 一元二次方程的辨别式 由于0的平方根为0，所以原方程的根为 此时，原方程有两个相等的实数根.
(1) 3x2 + 4x - 3 = 0； (2) 4x2 = 12x - 9； (3) 7y = 5(y + 1).
解：(1)因为 Δ = b2 - 4ac
九年级数学上册第2章一元二次方程根的判别式习题课件(
m≠1
四、判别式与隐含条件相结合
6．已知关于 x 的一元二次方程(1－k)x2－2x－1＝0 有两个不相等
的实数根，则 k 的最大整数值是( C )
A．2
B．1
C．0
D．－1
7．已知关于 x 的方程 kx2－ 2k＋4x＋1＝0，若此方程有两个不相
等的实数根，求 k 的取值范围．
解：根据题意有Δ＝4－2k>0，k≠0，2k＋4≥0，解得－ 2≤k<2且k≠0
专题 一元二次方程根的判别式
一、已知常数系数直接判断方程根的情况 1．不解方程直接判别下列方程根的情况． (1)2x2＋3x－4＝0；
解：Δ>0，∴方程有两个不相等的实数根 (2)2x2－x＋1＝0；
解：Δ<0，∴方程没有实数根 (3)16y2＋25＝40y；
解：Δ－4)＝－5－8x.
8．函数y＝kx＋b的图象如图所示，试判断关于x的方程x2＋x＋k＋ b＝0根的情况．
解：根据图象知k<0，b<0，Δ＝1－4(k＋b)＝－4(k＋b)＋1， ∵k<0，b<0，∴－4(k＋b)＋1>0，∴关于x的方程x2＋x＋k＋b＝ 0有两个不相等的实数根
三、结合“a≠0”确定字母的取值范围
4．若关于 x 的一元二次方程 kx2－2x－1＝0 有两个不相等的实数
根，则 k 的取值范围是( B )
A．k>－1
B．k>－1 且 k≠0
C．k<1
D．k<1 且 k≠0
5．已知关于 x 的一元二次方程(m－1)x2－2(m＋1)x＋m＝0 有两个
实数根，求 m 的取值范围． 解：根据题意有：Δ＝12m＋4≥0，且 m－1≠0，∴m≥－13且
湘教版数学九年级上册课件：《一元二次方程根的判别式》
4.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论
正确的是
()
D
A.当k=1/2时，方程两根互为相反数
B.当k=0时，方程的根是x=-1
C.当k=±1时，方程两根互为倒数
D.当k≤1/4时，方程有实数根
5.若一n元二次方程 x2 mx n 0 有两个相等的实数根，
那么 m 的值为
若a与c异号,则方程 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根b2 4ac
C.没有实数根
b2 4ac 0
D.根的情况无法
例3.设关于x的方程, x2 2mx 2m 4 0 证明:不论m为何值,这个方程总有 两个不相等的实数根
解 : 4m2 4 2m 4 4m2 8m 16
(C )
A.-4 B.4
C. 1/4 D.- 1/4
完成创优作业本课时的习题
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( )
A
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D.只有一个实数根
3.下列一元一次方程中，有实数根的是
A.x2-x+1=0 C.x2+x-1=0
B.x2-2x+3=0 D.x2+4=0
(C )
➢ 课时训练
4 m2 2m 1 12
4m 12 12 0
所以,不论m为何值,这个方程总有两
个不相等的实数根
➢ 典型例题解析
已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程 ax2 2 b2 c2 x 2(b c) 2a
有两个等根，试判断△ABC的形状.
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1 解：根据题意有：Δ＝12m＋4≥0，且 m－1≠0，∴m≥－ 且 3 m≠1
四、判别式与隐含条件相结合 6．已知关于 x 的一元二次方程(1－k)x2－2x－1＝0 有两个不相等 的实数根，则 k 的最大整数值是( A．2 B．1
C
C．0
) D．－1
7．已知关于 x 的方程 kx2－ 2k＋4x＋1＝0，若此方程有两个不相 等的实数根，求 k 的取值范围．
解：根据题意有Δ＝4－2k>0，k≠0，2k＋4≥0，解得－ 2≤k<2且k≠0
8．函数y＝kx＋b的图象如图所示，试判断关于x的方程x2＋x＋k＋ b＝0根的情况．
解：根据图象知 k<0 ， b<0 ， Δ ＝ 1 － 4(k ＋ b) ＝－ 4(k ＋ b) ＋ 1 ，
∵k<0，b<0，∴－4(k＋b)＋1>0，∴关于x的方程x2＋x＋k＋b＝ 0有两个不相等的实数根
专题
一元二次方程根的判别式
一、已知常数系数直接判断方程根的情况 1．不解方程直接判别下列方程根的情况． (1)2x2＋3x－4＝0； 解：Δ>0，∴方程有两个不相等的实数根 (2)2x2－x＋1＝0；
解：Δ<0，∴方程没有实数根 (3)16y2＋25＝40y；
解：Δ＝0，∴方程有两个相等的实数根 (4)x(2x－4)＝－5－8x. 解：Δ<0，∴方程没有实数根
解：Δ＝4(m－1)2≥0，∴方程有两个实数根
1 2 (4)2x －mx＋m－4＝0. 解：Δ＝(m－1)2＋7>0，∴方程有两个不相等的实数根
1 3．已知关于 x 的方程 x －(2k＋1)x＋4(k－2)＝0，求证：这个方
2
程总有两个实数根．
1 证明：Δ＝[－(2k＋1)] －4×1×4(k－ )＝(2k－3)2≥0，∴方 2
2
程总有两个实数根
三、结合“a≠0”确定字母的取值范围 4．若关于 x 的一元二次方程 kx2－2x－1＝0 有两个不相等的实数 根，则 k 的取值范围是( A．k>－1 C．k<1
B
) B．k>－1 且 k≠0 D．k<1 且 k≠0
5． 已知关于 x 的一元二次方程(m－1)x2－2(m＋1)x＋m＝0 有两个 实数根，求 m 的取值范围．
二、含字母系数时配方成 a2，－a2，a2＋正数，－a2－正数，来判断 方程根的情况 2.判别下列关于 x 的一元二次方程的根的情况． 1 (1)4x2－2ax＋5a2＋1＝0；
解：Δ＝－a2－1<0，∴方程没有实数根
1 (2)x2－ax＋4a2＝0；
解：Δ＝0，∴方程有两个相等的实数根
(3)x2－2mx＋2m－1＝0；