《微积分》练习三

一、填空题1．设A x f =)('0，则=∆-∆-→∆xx f x x f x )()3(lim0002．函数()x x x f 3=在点0=x 处的导数()=0'f3．根据导数定义，函数()1-=x x x f 在点1=x 处的导数()=1'f 4．函数()x x f sin =在点0=x 处的导数()=0'f5．设函数)()3)(2)(1()(n x x x x x f ++++= （其中n 为正整数），则=)0('f 6．曲线()x e x y +=1在点0=x 处的切线方程为=y 7．设()2x x f =，则()[]=x f f '8．设)(x f y =，且36)2()(lim000=+-→hh x f x f h ，则==0|x x dy9．x e x y -+=2，则=)0("y10．设)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=，则=22dxyd 11．设10<<x ，则=)arcsin (x x d12．求曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程 13．设12+=x y ，则其反函数)(y x x =的导数=')(y x14．设x x y 2arctan )1ln(+-=，则导数dxdy在点4=x 处的值为15．设需求函数bP a Q -=，则边际收益()=Q R '16．某商品的需求量Q 与价格P 的关系为5P Q =，则需求量Q 对价格P 的弹性是 17．设某商品的需求函数为P Q 21000-=，其中P 为价格，Q 为需求量，则该商品的收益弹性=EQER18．某商品的需求函数为P Q 21000-=，其中P 为价格，Q 为需求量，则销售该商品的边际收益为()=Q R '19．某商品的需求量Q 与价格P 之间的关系为bP a Q -=，则该商品的收益弹性=EPER二、单项选择题1．设)(x f 是可导函数，且12)()(lim000=--→hx f h x f h ，则)('0x f 为 ①1 ②2 ③－1 ④－2 2．设)(x f 在1=x 处可导，且2)1('=f ，则=--+→xx f x f x )1()1(lim①1 ②2 ③4 ④33．函数()3x x f =在0=x 处满足下列哪个结论①极限不存在 ②极限存在，不连续 ③连续，不可导 ④可导 4．函数()x f 在区间()b a ,内连续是()x f 在()b a ,内可导的 ①充分但非必要条件 ②必要但非充分条件 ③充分必要条件 ④既非充分又非必要条件5．设)(x f 为奇函数，则其导数)(x f '的奇偶性为①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶 ④奇偶性不定6．设函数)(x f 可导，记)()()(x f x f x g -+=，则导数()x g '为 ①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶 ④奇偶性不定7．设函数)(x f y =有21)('0=x f ，则当0→∆x ，该函数在点0x x =处的微分dy 是 ①与x ∆等价的无穷小 ②与x ∆同阶的无穷小，但不等价 ③与x ∆低阶的无穷小 ④与x ∆高阶的无穷小8．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0001)(1x x e xx f x，在0=x 处 ①不连续 ②连续但不可导 ③可导，且0)0('=f ④可导，且1)0('=f 9．设x x x f ln )(=在0x 处可导，且2)(0='x f ，则=)(0x f①0 ②e ③1 ④2e 10．设xe 2为)(xf 的导函数，则='')(x f①xe2 ②x e 22 ③x e 24 ④011．设(0)2f '=，则当0x →时，()(0)f x f -是x 的①低阶无穷小量 ②同阶无穷小量 ③高阶无穷小量 ④等价无穷小量三、求下列导数或微分1．设x x x y ++=，求dxdy2．设xx y 1sin=，求dx dy3．()x x e y x cos sin +=，求0'=x y4．()x x x y ln cos ln sin +=，求dy 5．21arccos x y -=，求dy 6．设xxx x y 3sin 33++=，求y '7．设21ln 1arctanx x x y ++⋅=，求'y 8．设1111-++--+=x x x x y （1>x ），求dy9．设)100()2)(1()(---=x x x x x f ，求)0(f '10．设xxx y +=1sin ，求dy11．xxex xe y -=，求dx dy 12．设11ln)2arctan(3+-++=x x x y （1||>x ），求y ' 13．设2326)2()1(++=x x x y ，求y '14．设3242)2(2)1(+-+=x x x y ，求y '15．设xx y 1=（0>x ），求y ' 16．设x x y sin 2)1(+=，求dy17．由1)ln(22=++xy e y x 确定y 是x 的函数)(x y ，求)(x y ' 18．已知y x xe ye =，求'y 19．已知y x x y =，求'y 20．已知)cot(y x y -=，求'y 21．已知()0ln =-+x y y ，求'y22．由5)sin(22=++xy ey x 确定y 是x 的函数)(x y ，求)('x y23．设函数)(x y y =由方程x y x x y sin )ln(32+=+确定，求0=x dx dy24．设方程0arctan =+-y y x 确定了)(x y y =，求dxdy25．求由方程0333=-+axy y x （0>a ）确定的隐函数)(x y y =的微分dy26．已知)(x y 是由方程0sin =+y xe y 所确家的隐函数，求y '，以及该方程所表示的曲线在点)0,0(处切线的斜率。

27．设)(x y y =由方程)]([y g x f y +=所确定，其中f 和g 均可导，求y ' 28．函数)(x y y =由方程0=--xy e e yx确定，求22=x dx yd29．设⎩⎨⎧==te y t e x t t 2222sin cos ，求dx dy 30．设)(x y y =由212)1(s x +=和212)1(s y -=所确定，试求dxdy 31．设⎩⎨⎧==te y t e x 22sin cos ，求dx dy 32．设⎩⎨⎧==te y t e x tt sin cos 22，求dx dy 33．若参数方程为⎩⎨⎧++==2322t t y e x t ，求dx dy在0=t 时的值。

34．设⎩⎨⎧+==2ln 3sin 2t e y t x ，求22dx y d 35．设⎩⎨⎧==-t t tey e x ，求22dx yd 36．设⎩⎨⎧-==-t t e t y e x 2，求22dx y d 37．设曲线方程为⎩⎨⎧+=++=t t y t t x cos 2sin ，求此曲线在点2=x 处的切线方程，及22dx yd38．设32)54()32)(1(x x x y +++=，求)0()5(y （=63900）四、应用题1． 设生产某商品的固定成本为20000元，每生产一个单位产品，成本增加100元，总收益函数为221400)(x x x R -=（假设产销平衡），试求边际成本、边际收益及边际利润。

2． 一人以2m/秒的速度通过一座高20m 的桥，此人的正下方有一小船以34m/秒的速度与桥垂直的方向前进，求第5秒末人与船相离的速率。

五、分析题1． 设曲线)(x f 在]1,0[上可导，且)(cos )(sin 22x f x f y +=，求dxdy 2． 设曲线方程为09)cos()1(33=++++y x y x π，试求此曲线在横坐标为1-=x 的点处的切线方程和法线方程。

3． 设||3)(x a x f -=，求)(x f '4． 讨论函数⎩⎨⎧<-≥=010sin )(x x x xx f 在0=x 处的可导性。

5． 设⎩⎨⎧<≥++=0)1ln()(sin x ex x k x f x，当k 为何值时，点0=x 处可导；此时求出)(x f '。

6． 若)(x f y =是奇函数且在点0=x 处可导，则点0=x 是函数xx f x F )()(=什么类型的间断点？说明理由。

7． 试确定常数b a ,的值，使得函数⎩⎨⎧≥++<+=0102)(2x bx x x a e x f x 处处可导。

8． 验证⎩⎨⎧-=+=ty t x 11（11<<-t ），满足方程02223=+dx y d y 9． 已知函数⎩⎨⎧>+≤=11)(2x b ax x x x f 在),(∞+-∞上可导，求a 和b 的值。

六、证明题1．证明函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=00011)(x x xx x f 在点0=x 处连续，但不可导。

2．设)(sin )()(0x x x g x f -=α（1≥α），其中)(x g 在0x 处连续，证明：)(x f 在0x 处可导。