2019年高中数学北师大版必修四课件：第三章 §3 第1课时 倍角公式及其应用

2 答案：且 cos α＝ ，求 13
π α＋ 4 的值． α＋4π
5 [尝试解答] ∵α 为第一象限角，且 cos α＝ ，∴sin α 13 2 sin α＋cos α 2 12 2 sin α＋cos α ＝ .原式＝ ＝ · 2 13 cos 2α 2 cos α－sin2α 2 1 2 1 13 2 ＝ · ＝ × ＝－ . 2 cos α－sin α 2 5 12 14 13－13
当待求值的函数式较复杂时，一般需要利用诱导公式， 倍角公式以及和差公式进行化简，与已知条件取得联系，从而
达到化简求值的目的．
3π 1 10 2．已知 4 <α<π，tan α＋tan α＝－ 3 . (1)求 tan α 的值； α α 2α 2α 5sin 2＋8sin 2cos 2＋11cos 2－8 (2)求 的值． π 2sinα－ 4
2 sin 2 x ＋ 2sin x π 3 17π 7π 已知 cos(4＋x)＝5， 12 <x< 4 ，求 的值． 1－tan x
[解]
sin 2x＋2sin2x 2sin xcos x＋2sin2x 法一：∵ ＝ sin x 1－tan x 1－cos x
2sin xcos xcos x＋sin x ＝ ， cos x－sin x π π 由 cos x＋sin x＝ 2sin (4＋x)，cos x－sin x＝ 2cos(4＋ x)， π ∴原式＝sin 2xtan(4＋x)． 17π 7π 5π π π 又∵ 12 <x< 4 ，∴ 3 <x＋4<2π，∴sin(4＋x)<0， π 4 π 4 ∴sin(4＋x)＝－5，∴tan(4＋x)＝－3.
π 因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4， 2π π 又 ω>0，所以2ω＝4×4，因此 ω＝1. π (2)由(1)知 f(x)＝－sin2x－3 . 3π 5π π 8π 当 π≤x≤ 2 时， 3 ≤2x－3≤ 3 . π 3 3 所以－ 2 ≤sin2x－3≤1.因此－1≤f(x)≤ 2 . 3π 3 故 f(x)在区间 π， 2 上的最大值和最小值分别为 2 ，－ 1.
(1) 因为 f(x) ＝ sin2ωx － cos2ωx ＋ 2 3sin π ωx· cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋ 3sin 2ωx＋λ＝2sin(2ωx－6)＋λ. 由直线 x＝π 是 y＝f(x)图像的一条对称轴， π 可得 sin(2ωπ－6)＝± 1. [ 尝试解答 ]
π π k 1 所以 2ωπ－6＝kπ＋2(k∈Z)，即 ω＝2＋3(k∈Z)． 1 5 又 ω∈(2，1)，k∈Z，所以 k＝1，故 ω＝6. 6π 所以 f(x)的最小正周期是 5 . π π (2)由 y＝f(x)的图像过点(4，0)得 f(4)＝0， 5 π π π 即 λ＝－2sin(6×2－6)＝－2sin4＝－ 2，即 λ＝－ 2， 5 π 故 f(x)＝2sin(3x－6)－ 2， 函数 f(x)的值域为[－2－ 2，2－ 2]．
二倍角公式的“三用”： (1)公式正用 从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，运 用已知条件和推算手段逐步达到目的．
(2)公式逆用 要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有 1 sin 2α 2sin αcos α＝sin 2α， sin αcos α＝ sin 2α， cos α＝ ， 2 2sin α 2tan α 2 2 cos α－sin α＝cos 2α， ＝tan 2α. 1－tan2α (3)公式的变形用 主要形式有 1± sin 2α＝sin2α＋cos2α± 2sin αcos α＝(sin α± cos α)2,1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α(升幂公式)， 1＋cos 2α 1－cos 2α 2 2 cos α＝ ，sin α＝ (降幂公式)． 2 2
π π cos 16 8 π 1 π 2 ＝ sin ＝ . 8 16 4 32
3sin 10° 2sin 50° ＋cos 10° (1＋ cos 10° ) (2)原式＝ 2cos25° 2sin 50° ＋cos 10° ＋ 3sin 10° ＝ 2cos 5° 1 3 2sin 50° ＋ 2cos 10° ＋2 ＝ 2cos 5° 2sin 50° ＋2sin 40° 2sin 50° ＋2cos 50° ＝ ＝ 2cos 5° 2cos 5° 2 2 2 2 2 sin 50° ＋2 2 2sin 95° ＝ ＝ ＝2. 2cos 5° 2cos 5°
1 10 解： (1)∵tan α＋tan α＝－ 3 ，∴3tan2α＋10tan α＋3＝ 1 3π 0.解得 tan α＝－3或 tan α＝－3.∵ 4 <α<π，∴－1<tan α<0， 1 ∴tan α＝－3.
α 2α 2＋11cos 2－8 1 (2)∵tan α＝－3，∴ π 2sinα－4 1＋cos α 2α 2α 5sin 2＋cos 2＋4sin α＋6 －8 2 ＝ sin α－cos α 4sin α＋3cos α 4tan α＋3 5 ＝ ＝ ＝－4. sin α－cos α tan α－1
α 5sin 2＋8sin 2cos
2α
3.(湖北高考)设函数 f(x)＝sin2ωx＋2 3sin ωx· cos ωx－ cos2ωx＋λ(x∈R)的图像关于直线 x＝π 对称，其中 ω，λ 为 1 常数，且 ω∈( ，1)． 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期； π (2)若 y＝f(x)的图像经过点( ，0)，求函数 f(x)的值域． 4
π π π π π 1 ． 求 值 ： (1)sin cos cos cos cos ＝ 64 64 32 16 8 ________； 2sin 50° ＋ ＋ 3 (2) ＝________. 1＋cos 10°
1 π π 解析：(1)原式＝ sin cos cos 2 32 32 1 π π π 1 π ＝ sin cos cos ＝ sin cos 4 16 16 8 8 8
1 3 － 2 sin 10° cos 10° － 3sin 10° 22cos 10° (4)原式＝ sin 10° cos 10° ＝ sin 10° cos 10° 4sin 30° cos 10° －cos 30° sin 10° 4sin 20° ＝ ＝ sin 20°＝4. 2sin 10° cos 10°
北师大版数学课件
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第1课时 倍角公式及其应用
二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)
记法 S2α 公式 sin 2α＝ 2sinαcosα ． 推导方法 令 α＝β ． Sα＋β S2α
2 2 cos 2α＝ cos α－sin α ．
C2α
cos 2α＝ 1－2sin2α cos 2α＝ 2cos2α－1 tan 2α＝
1．计算 1－2sin222.5° 的结果等于( 1 2 3 3 A.2 B. 2 C. 3 D. 2
2
)
2 解析：选 B 1－2sin 22.5° ＝cos 45° ＝2.
(
π 2 2 2．(新课标全国卷Ⅱ)已知 sin 2α＝ ，则 cos α＋4 ＝ 3 ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3
2．在什么条件下，sin 2α＝2sin α成立？ 提示：一般情况下，sin 2α≠2sin α，只有当α＝2kπ(k∈Z)时， sin 2α＝2sin α才成立.
1 2π 1. 求 下 列 各 式 的 值 ： (1)sin 75° cos 75° ； (2) － sin ； 2 8 2tan 150° 1 3 (3) ；(4) － . sin 10° cos 10° 1－tan2150° 1 [尝试解答] (1)原式＝ (2sin 75° cos 75° ) 2 1 1 1 1 ＝2sin 150° ＝2×2＝4. 1 1 π 1 2 2 2π (2)原式＝ (1－2sin )＝ cos ＝ × ＝ . 2 8 2 4 2 2 4 (3)原式＝tan(2×150° )＝tan 300° ＝tan(360° －60° ) ＝－tan 60° ＝－ 3.
2sin xcos xcos x＋sin x cos x－sin x
π 3 2 3 3 2 由 cos(4+x)=5,得 2 (cos x－sin x)=5,即 cos x－sin x= 5 . ② 18 7 平方得 1－sin 2x＝25，∴sin 2x＝25③ 32 2 ∴(cos x＋sin x) ＝1＋sin 2x＝25. 17π 3π 4 2 又∵ 12 <x< 2 , ∴cos x＋sin x<0.则 cos x＋sin x＝－ 5 . ④ 7 4 25×－5 2 28 将②③④代入①有原式＝ ＝－75. 3 5 2
3 3．(山东高考)设函数 f(x)＝ 2 － 3sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且 y=f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的 π 距离为 4. 3π (1)求 ω 的值；(2)求 f(x)在区间π， 2 上的最大值和最 小值．
解：本题主要考查三角函数的图像和性质，考查转化思 想和运算能力． 3 (1)f(x)＝ 2 － 3sin2ωx－sin ωxcos ωx 1－cos 2ωx 1 3 3 1 ＝ 2 － 3· － sin 2 ωx ＝ cos 2 ωx － sin 2 2 2 2 2ωx π 2 ωx － ＝－sin . 3
2tan α 1－tan2α
令α＝β ． Cα＋β C2α ． 利用 sin2α＋cos2α＝1 ． 消去 sin2α 或 cos2α ． 令 α+β ． Tα＋β T2α
T2α
1．倍角公式成立的条件是什么？
提示：在公式 S2α，C2α 中，角 α 为任意角，在 T2α 中， π kπ π 只有当 α≠kπ＋2(k∈Z)及 α≠ 2 ＋4(k∈Z)时，才成立．