图Dn,4的若干染色
南京市六校联合体2024-2025学年高三上学期10月联合调研生物试题(含答案)
2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研高三生物一、单选题：共15题，每题2分，共30分。
每题只有一个选项最符合题意。
1.下列有关生物体内元素和化合物的叙述正确的是A.橄榄油中的不饱和脂肪酸熔点较高，不易凝固B.静脉注射时，用0.9%的NaCl溶液溶解药物，目的是为机体补充钠盐C.人的遗传物质彻底水解后可得到6种小分子D.鸡蛋的卵清蛋白中N元素的质量分数高于C元素2.下列关于细胞结构和功能的叙述正确的是A.硝化细菌和发菜均无叶绿体，都能进行光合作用B.哺乳动物成熟的红细胞质膜中的脂质有磷脂和胆固醇C.肺炎支原体、烟草花叶病毒均无细胞结构，遗传物质都是RNAD.醋酸菌和酵母菌均无细胞核，都是原核生物3.图1表示基因型为AaX B Y的果蝇（2n＝8）的正常精原细胞（仅显示部分染色体），图2表示图1精原细胞分裂过程中同源染色体对数的变化。
图3表示精原细胞在分裂过程中一段时期内某种物质或结构的数量变化，变化顺序为C→D→E。
下列叙述错误的是A.图1细胞中含有两个染色体组，图2中的③④段含有四个染色体组B.图2中⑥⑦段可能发生A与a互换，⑧⑨段可能发生A与a的分离C.若图3中a代表4条染色体，则该细胞在CD段不能形成四分体D.若图3中a代表8条染色单体，则DE段变化可对应图2中的⑦⑧段4.如图在肺炎链球菌R型菌转化为S型菌的过程中，相关叙述正确的是A.加热导致S型菌的DNA氢键被破坏，因而断裂为多个较短的DNA片段B.肺炎链球菌体内转化实验发现，加热致死的S型菌的DNA使R型活菌发生了转化C.加入S型菌的DNA和R型活菌的培养基中，一段时间后只存在表面光滑的菌落D.S型菌中的cap S进入R型菌，使R型活菌转化为S型活菌，属于基因重组5.某二倍体动物的性别决定方式为ZW型，雌雄个体数量比例为1∶1。
该动物种群处于遗传平衡状态，雌性个体中有1/10患甲病(由Z染色体上h基因决定)。
下列叙述正确的是A.该种群h基因的频率是10%B.该种群中全部个体含有的H、h基因构成该种群的基因库C.只考虑H、h基因，种群繁殖一代后基因型共有6种D.若某病毒使该种群患甲病雄性个体减少10%，则H基因频率不变，种群无进化6.某同学足球比赛时汗流浃背，赛后适量饮水并充分休息。
图的边染色及一些有限制条件的染色
图的边染色及一些有限制条件的染色图的染色问题在图论及理论计算机科学中都有着极为广泛的应用,是图论研究中最重要的课题之一.在本论文中,我们研究图的边染色及一些简单图的有限制条件的染色.设G是可能具有重边但不具有环的图,分别用V,E,△和μ表示G 的顶点集,边集,最大度和重数.本文的第一章给出图的边染色,点染色及其它一些有限制条件的染色的定义,并给出相关问题的一些主要研究进展和猜想.图的边染色的核心问题是确定其边色数.图G的k-边染色φ是从E到集合{1,2,…,k}(其中的元素称为颜色)的一个映射,使得任意两条相邻边的颜色不同.G的边色数是使得G存在k-边染色的最小正整数k,记作χ’与研究边染色相比,研究分数边染色更加容易一些.图G的分数边染色是G的匹配的集合M(G)的一个非负赋权ω(.),使得对每条边e∈E,有∑M∈M:e∈Mw(M)=1显然这样的赋权ω(.)存在.G的所有分数边染色中最小的总权值∑m∈Mw(M)称为是G的分数边色数,记作χ’f,计算χ’f是多项式时间的.图G的边色数与分数边色数的关系如下△≤x’f ≤x’≤△+μ,其中的上界为Vizing的一个经典结果.事实上,如果χ’f>△,那么x’f=max|E(H)|*[|V(H)|/2]其中的最大取遍G的导出子图H.Goldberg(1973), Andersen(1977)和Seymour(1979)各自先后猜想当χ’≥△+2时,χ’=[χ’f].这一猜想可推出Gupta(1967)在其博士毕业论文中的一个猜想,通常被称为Gildberg猜想或Goldberg-Andersen-Seymour猜想.本文的第二章.我们证明若λ>△+3(?)△/2则χ’=[χ’f].这之前最好的结果是由Scheide和由陈冠涛,郁星星.臧文安分别独立地得到的χ’>△+(?)的图Goldberg猜想的一个等价猜想是下面的Jakobesen猜想：对任意正整数m(m≥3).每个λ’>m/m-1△+m-3/m-1的图G满足χ’=[χ’].在过去的四十年中Jakobsen猜想被证得对至多为15的r77是成立的.我们证明它在m≤23时成立.此外.我们证明Goldberg猜想对△≤23或|V|≤23的图G成立.重数μ≤ 1的图G称为是简单的.简单图G的k-点染色φ是从V到集合{1.2,…,k}(其中的元素称为颜色)的一个映射,使得相邻点的颜色不同.使得G存在k-点染色的最小正整数k叫做G的点色数.由于确定G的点色数是NP-难的.可将点染色的条件放松,定义树染色如下.简单图G的k树染色φ是颜色1.2.…,k对G的顶点的一个分配,使得G的染每种颜色的顶点导出的子图是森林.G的点荫度va是使得G存在k-树染色的最小正整数k.吴建良,张欣和李海伦考虑树染色在均匀时的情形.即任意两个色类所含的顶点数至多差1.他们猜想任意简单图G的顶点集可均匀地被划分为m个子集,使得每个子集导出的子图是森林,其中m≥[△+1/2]是整数.本文第三章我们证明该猜想对5-退化图是成立的.若去掉k-边染色的定义中相邻边的颜色不同这一条件,则得到k-边赋权的定义.2004年Karonski.Luczak和Thomason猜想每个简单图G存在使用颜色为1,2,3的3-边赋权.使得任意两个相邻顶点关联边的赋权的和不同.这一猜想被称为1-2-3猜想.本文的第四章我们证明1-2-3猜想在把边赋权导出的点染色放松到树染色时是成立的.进一步地,我们给出一些具有树可染的2-边赋权的图类.简单图G的邻和可区别的k-边染色是G的一个k-边染色,使得对任意边uv∈E,与u关联的边的颜色之和异于与v 关联的边的颜色之和.用ndi∑表示G存在邻和可区别的k-边染色的最小的正整数k.Flandrin等人猜想对任意至少G个顶点的简单图G,有ndi∑≤△+2这一猜想被称为是邻和可区别的边染色猜想.G的最大平均度mad(G)=max{2|E(H)|/|,(H)|:H是G的非空子图}.在本文的第五章,我们得到对不含孤立边且mad(G)<8/3的简单图G,有ndi∑≤K,其中k=max{△+1,6}它为邻和可区别的边染色猜想的一个特例.在本文的第六章,我们将对全文进行总结,并提出在图的染色问题中一些今后可继续研究的课题.。
最大度为4的图的关联着色数
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2018, 7(4), 334-337Published Online April 2018 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2018.74041Incidence Coloring of Graphs G with()G 4∗∆≤Zhenzhen Li 1, Xiaoping Liu 21College of Mathematics and System Sciences, Xinjiang University, Urumqi Xinjiang2College of Mathematics and System Sciences, Xinjiang Institute of Engineering, Urumqi XinjiangReceived: Apr. 7th, 2018; accepted: Apr. 19th, 2018; published: Apr. 26th, 2018AbstractAn incidence in a graph G is a pair (v ,e ), where v is a vertex of G and e is an edge of G incidence to v . Two incidence (v ,e ) and (u ,f ) are a djacent if at least one of the following holds: u = v , or e = f or {}uv e f ,∈. An incidence coloring of G is a coloring of its incidence assigning distinct colors toadjacent incidences. The incidence chromatic number of G , denoted by ()i G χ, is the smallestnumber of colors used in a incidence coloring of G . Recently, Gregor, luzar, and Sotak showed that ()i G 7≤χ for a graph G with maximum degree at most 4. The aim of the present paper is topresent a short proof of this result.KeywordsIncidence Coloring, Incidence Chromatic Number最大度为4的图的关联着色数李珍珍1，刘晓平21新疆大学数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 2新疆工程学院，新疆 乌鲁木齐收稿日期：2018年4月7日；录用日期：2018年4月19日；发布日期：2018年4月26日摘 要图中的关联是由图G 中的顶点v 和图G 中与v 关联的边e 所构成的有序对(v ,e )，两个关联对(v ,e )和(u ,f )相邻李珍珍，刘晓平当且仅当u = v 或e = f 或{}uv e f ,∈成立。
数学奥林匹克竞赛讲座14染色问题与染色方法
竞赛讲座14-染色问题与染色方法1．小方格染色问题最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题.解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧.例1 如图29-1(a),3行7列小方格每一个染上红色或蓝色.试证:存在一个矩形,它的四个角上的小方格颜色相同.证明由抽屉原则,第1行的7个小方格至少有4个不同色,不妨设为红色(带阴影)并在1、2、3、4列（如图29-1（b））.在第1、2、3、4列（以下不必再考虑第5，6，7列）中，如第2行或第3行出现两个红色小方格，则这个问题已经得证；如第2行和第3行每行最多只有一个红色小方格（如图29-1（c）），那么在这两行中必出现四角同为蓝色的矩形，问题也得到证明.说明：（1）在上面证明过程中除了运用抽屉原则外，还要用到一种思考问题的有效方法，就是逐步缩小所要讨论的对象的范围，把复杂问题逐步化为简单问题进行处理的方法.（2）此例的行和列都不能再减少了.显然只有两行的方格盘染两色后是不一定存在顶点同色的矩形的.下面我们举出一个3行6列染两色不存在顶点同色矩形的例子如图29-2.这说明3行7列是染两色存在顶点同色的矩形的最小方格盘了.至今,染k色而存在顶点同色的矩形的最小方格盘是什么还不得而知.例2 (第2届全国部分省市初中数学通讯赛题)证明:用15块大小是4×1的矩形瓷砖和1块大小是2×2的矩形瓷砖，不能恰好铺盖8×8矩形的地面.分析将8×8矩形地面的一半染上一种颜色，另一半染上另一种颜色，再用4×1和2×2的矩形瓷砖去盖，如果盖住的两种颜色的小矩形不是一样多，则说明在给定条件不完满铺盖不可能.证明如图29-3，用间隔为两格且与副对角线平行的斜格同色的染色方式，以黑白两种颜色将整个地面的方格染色.显然，地面上黑、白格各有32个.每块4×1的矩形砖不论是横放还是竖盖，且不论盖在何处，总是占据地面上的两个白格、两个黑格，故15块4×1的矩形砖铺盖后还剩两个黑格和两个白格.但由于与副对角线平行的斜格总是同色，而与主对角线平行的相邻格总是异色，所以，不论怎样放置，一块2×2的矩形砖，总是盖住三黑一白或一黑三白.这说明剩下的一块2×2矩形砖无论如何盖不住剩下的二黑二白的地面.从而问题得证.例3 （1986年北京初二数学竞赛题）如图29-4（1）是4个1×1的正方形组成的“L”形，用若干个这种“L”形硬纸片无重迭拼成一个m×n（长为m个单位，宽为n个单位）的矩形如图29-4（2）.试证明mn必是8的倍数.证明∵m×n矩形由“L”形拼成，∴m×n是4的倍数，∴m、n中必有一个是偶数，不妨设为m.把m×n矩形中的m列按一列黑、一列白间隔染色（如图29-4（2）），则不论“L”形在这矩形中的放置位置如何（“L”形的放置，共有8种可能），“L”形或占有3白一黑四个单位正方形（第一种），或占有3黑一白四个单位正方形（第二种）. 设第一种“L”形共有p个，第二种“L”形共q个，则m×n矩形中的白格单位正方形数为3p+q，而它的黑格单位正方形数为p+3q.∵m为偶数，∴m×n矩形中黑、白条数相同，黑、白单位正方形总数也必相等.故有3p+q=p+3q，从而p=q.所以“L”形的总数为2p个，即“L”形总数为偶数，所以m×n一定是8的倍数.2．线段染色和点染色下面介绍两类重要的染色问题.(1) 线段染色.较常见的一类染色问题是发样子组合数学中图论知识的所谓“边染色”（或称“线段染色”），主要借助抽屉原则求解.例4 （1947年匈牙利数学奥林匹克试题）世界上任何六个人中，一定有3个人或者互相认识或者互相都不认识.我们不直接证明这个命题，而来看与之等价的下述命题例5（1953年美国普特南数学竞赛题）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.证明设A、B、C、D、E、F是所给六点.考虑以A为端点的线段A B、AC、AD、AE、AF，由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设就是A B、AC、AD，且它们都染成红色.再来看△BCD的三边，如其中有一条边例如BC是红色的，则同色三角形已出现（红色△ABC）；如△BCD三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形，同色三角形也现了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形.如果将例4中的六个人看成例5中六点,两人认识的连红线,不认识的连蓝线,则例4就变成了例5.例5的证明实际上用染色方法给出了例4的证明.例6 (第6届国际数学奥林匹克试题)有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.证明用平面上无三点共线的17个点A1,A2,…，A17分别表示17位科学家.设他们讨论的题目为x,y,z,两位科学家讨论x连红线,讨论y连蓝线,讨论z连黄线.于是只须证明以这17个点为顶点的三角形中有一同色三角形. 考虑以A1为端点的线段A1A2,A1A3,…，A1A17，由抽屉原则这16条线段中至少有6条同色，不妨设A1A2，A1A3，…，A1A7为红色.现考查连结六点A2，A3，…，A7的15条线段，如其中至少有一条红色线段，则同色（红色）三角形已出现；如没有红色线段，则这15条线段只有蓝色和黄色，由例5知一定存在以这15条线段中某三条为边的同色三角形（蓝色或黄色）.问题得证.上述三例同属图论中的接姆赛问题.在图论中,将n点中每两点都用线段相连所得的图形叫做n点完全图,记作k n.这些点叫做“顶点”，这些线段叫做“边”.现在我们分别用图论的语言来叙述例5、例6.定理1 若在k6中，任染红、蓝两色，则必有一只同色三角形.定理2 在k17中,任染红、蓝、黄三角，则必有一只同色三角形.（2）点染色.先看离散的有限个点的情况.例7 （首届全国中学生数学冬令营试题）能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论.证明将1986×2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个.现令一个偶数占据一个黑点和一个白色，同一个奇数要么都占黑点，要么都占白点.于是993个偶数，占据白点A1=993个，黑色B1=993个.993个奇数，占据白点A2=2a个，黑点B2=2b个，其中a+b=993.因此，共占白色A=A1+A2=993+2a个.黑点B=B1+B2=993+2b个，由于a+b=993（非偶数！）∴a≠b，从而得A≠B.这与黑、白点各有1986个矛盾.故这种排法不可能.“点”可以是有限个，也可以是无限个，这时染色问题总是与相应的几何问题联系在一起的.例8 对平面上一个点，任意染上红、蓝、黑三种颜色中的一种.证明:平面内存在端点同色的单位线段.证明作出一个如图29-7的几何图形是可能的,其中△ABD、△CBD、△AEF、△GEF都是边长为1的等边三角形，CG=1.不妨设A点是红色，如果B、E、D、F中有红色，问题显然得证.当B、E、D、F都为蓝点或黄点时，又如果B和D或E和F同色，问题也得证.现设B和D异色E和F异色,在这种情况下,如果C或G为黄色或蓝点,则CB、CD、GE、GF中有两条是端点同色的单位线段，问题也得证.不然的话,C、G均为红点，这时CG是端点同色的单位线段.证毕.还有一类较难的对区域染色的问题，就不作介绍了.练习二十九1．6×6的方格盘，能否用一块大小为3格，形如的弯角板与11块大小为3×1的矩形板，不重迭不遗漏地来铺满整个盘面.2．（第49届苏联基辅数学竞赛题）在两张1982×1983的方格纸涂上红、黑两种颜色，使得每一行及每一列都有偶数个方格是黑色的.如果将这两张纸重迭时，有一个黑格与一个红格重合，证明至少还有三个方格与不同颜色的方格重合.3．有九名数学家，每人至多会讲三种语言，每三名中至少有2名能通话，那么其中必有3名能用同一种语言通话.4．如果把上题中的条件9名改为8名数学家，那么，这个结论还成立吗？为什么？5．设n=6（r-2）+3（r≥3），求证：如果有n名科学家，每人至多会讲3种语言，每3名中至少有2名能通话，那么其中必有r名能用同一种语言通话.6．（1966年波兰数学竞赛题）大厅中会聚了100个客人，他们中每人至少认识67人，证明在这些客人中一定可以找到4人，他们之中任何两人都彼此相识.7．（首届全国数学冬令营试题）用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证：一定存在一个边长为1或的正三角形，它三个顶点是同色的.练习二十九１．将１、４行染红色、２、５行染黄色、３、６行染蓝色，然后就弯角板盖住板面的不同情况分类讨论．２．设第一张纸上的黑格Ａ与第二张纸上的红格Ａ′重合．如果在第一张纸上Ａ所在的列中，其余的黑格（奇数个）均与第二张纸的黑格重合，那么由第二张纸上这一列的黑格个数为偶数，知必有一黑格与第一张纸上的红格重合，即在这一列，第一张纸上有一方格Ｂ与第二张纸上不同颜色的方格Ｂ′重合．同理在Ａ、Ｂ所在行上各有一个方格Ｃ、Ｄ，第二张纸上与它们重合的方格Ｃ′、Ｄ′的颜色分别与Ｃ、Ｄ不同．３．把９名数学家用点Ａ１，Ａ２，…，Ａ９表示．两人能通话，就用线连结，并涂某种颜色，以表示不同语种。
梯图的点可区别全染色(n≡4(mod8))
ｓｔ ｆ ｏｏ ｓ ｓｉｎ ｄｔ ｈ ｌｍｅ ｔ ｎ ｉｅ ｔ ｎ ｔｅｆｔ ｉ ｅｓｆｏ ｔｅｓｔ ｆｃ ｌｒ ｎ ｉｅ ｔ ｏｖ Ｔ ｅｍｉｉ ａ ｎ ｍｂ ｒ ｆｃ ｌｒ ｅ ｏ ｃ ｌｒ ｓｇ ｅ ｏｔｅｅｅ ｎｓｉｃｄ ｎ ａ ｄｉ ｌ ｏＵｄｆ ｒ ｒ ｍ ｈ ｅ ｏ ｏｏｓｉｃｄ ｎ ｔ ． ｈ ａ ｓ ｎｍ ｌ ｕ ｅ ｏ ｏｏｓ ｒｑ ｉ ｄｆｒａｖ ｒ ｘｄｓ ｎ ｕ ｓｉｇｔｔｌ ｏｏｉｇｏ Ｇ ｉ ｃ ｌ ｄｔｅｖ ｒ ｘｄｓｉｇ ｕｓ ｉｇｔｔｌ ｏｏｉｇｃ ｒｍａｉ ｕ ｅ ．ｎａ ａ ｅ． ｅ ｕｒ ｏ ｅ ｅｔ ｅ ｉｉｇ ｉｈｎ ｏａ ｌｒ ｔ ｃ ｎ ｆ ｓ ａ ｅ ｈ ｅｔ ｉｔ ｇ ｉ ｎ ｏａ ｌｒ ｌ ｅ ｎ ｈ ｃ ｎ ｈｏ ｔ ｃｎ ｍｂ ｒ Ｉ ｐ ｐ ｒｗｅ
下 排 序： １３ ２ｎ １４ ２ｎ １ ５ … ｌ （一 ） １ （— ） ２ｎ ２ｎ ２ｎ ２ｎ １ｌ ｑ １ ５ ｔ １ … １ （一 ）（一 ） ２ （一 ） ｑ ２ｎ２ ｎ１ １３ｎ １ １４ｎ １ ２ （一 ） ２ （一 ）
ｌ３ ２ ４
１４ ３ ５
（一 ） ｎ ３ （ ） ｎ １ ｎ ４ （一 ） ｎ ２ （一 ） （一 ） ｎ ２ （一 ） ｎ ３ （一 ） ｎ １ ｎ
（ 宁夏大学数学计算机学院 宁夏银 川 ， ０ ２ ７ ０ １） ５
（ 州交通 大学应 用数 学研 究所 兰 摘
甘 肃 兰州，７ ０ ） ０ ０ ３ ７
要： ‘ 图 的 全染 色 被 称 为 点 町区 别 的 即对 任 意 两 个 不 同 点 的相 关 联 元 素及 其 本 身 所 构成 的色 集 合 不 同 ， 个
同，其 中 所用 的最 少 颜 色 数 称 为 Ｇ 的 点可 区 别 全 色 数 。 些 文 章 对 点 可 区别 的全 染 色 也 进 行 了研 究 。木 文 定义 了 ‘ 序方法： 种排 三角排序 。 利用 该排 序的结果 证叫 了当
染色数为4的图的最小特征值
・
ｌ ８・
安庆师范学 院学报 （ 自然科学版 ）
２ １ 正 ０ １广
其 中Ｎ （ 为图 Ｇ中与 ｕ ） 相邻 的点构成的集合 ， ｕ的邻域 ， 即 方程（ ） ２ 称为图 Ｇ的（ ，）一特征方程。 Ａ
此外 ， 任意 ｎ维单 位实 向量 ， 对
Ａ （ ）≤ Ａ（ Ｇ Ｇ） （） ３
ｇ Ｐ， ， ） ：： 一２ ＋（ ｐ ） 一２ ｐ＋ｑ—Ｐ ） （ ｑＡ Ａ Ａ １一 ｑ Ａ （ ｑ Ａ一（ ２一ｐ （ ） ２一ｇ ）＝０
且最 小 向量 不含 零分量 。 给定 ≥ ４ 对所有 的 Ｐ≥ ２ｑ≥ ２满 足 ｐ＋ｑ＝ 凡 图 Ｇ ｐ ｇ ， ， ， （ ，）在 ｐ ＝ ｒ ］ ，
关键词 ：图 ； 邻接矩阵 ； 小特征值 最
中图分类号 ：０ ５ １７ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１０ ４ ６ （０ １０ ０ １ ０ ０７— ２ ０ ２ １ ） ４— ０ ７— ４
设 Ｇ＝（ Ｅ 是 ｎ ， ） 阶简单图， 顶点集为 Ｖ＝ （ ）＝ Ｇ ， ， ｝边集为 Ｅ ＝Ｅ Ｇ 。 Ｇ的邻 Ｖ …， ， ２ （ ）图 接矩阵定义为一个 ｎ阶的（ ，） Ｏ １ 矩阵Ａ Ｇ （ ）＝［ ， 中当秽与 相邻时， ＝１否则， ＝ ｏ Ｇ的 ０ ］其 ｉ 口 ； 口 图
２１ ０ １年 １ 月 １
安庆师范学院学报（ 自然科学版）
图论课件-图的顶点着色
AC
所以， (G) 4
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
注：对图的正常顶点着色，带来的是图的顶点集合的
一种划分方式。所以，对应的实际问题也是分类问题。 属于同一种颜色的顶点集合称为一个色组，它们彼此不 相邻接，所以又称为点独立集。用点色数种颜色对图G 正常着色，称为对图G的最优点着色。
若G1是非正则单图，则由数学归纳，G1是可Δ (G)顶点 正常着色的，从而，G是可Δ (G)正常顶点着色的。
(2) 容易证明：若G是1连通单图，最大度是Δ ，则
(G) (G)
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3) Δ (G)≥3
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1), (v3 )=3
v1
v6
v5
(2),C(v4)=3,C C(v4) 1, 2, 4,5, k 1
(1), (v4 )=1
v2
(2),C(v5)=1,C C(v5) 2,3, 4,5, k 2
v
块
块
块
G -v
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由于G本身2连通，所以G-xn的每个仅含有一个割点的块 中均有点与xn邻接。设分属于H1与H2中的点x1与x2，它们与 xn邻接。由于x1与x2分属于不同块，所以x1与x2不邻接。又 因为Δ ≥3，所以G-｛x1, x2｝连通。
减数分裂各时期图
DN和染色体的数量变化
减数分裂后期I：同源染色体分 离，非同源染色体自由组合
减数分裂后期II：染色体着丝 点分裂，形成两个子细胞
减数分裂后期I和II：DN数量 减半，染色体数量不变
减数分裂后期I和II：染色体形 态和数目不变，DN数量减半
05 减数分裂末期
末期特征
染色体数目减半 同源染色体分离 非同源染色体自由组合 细胞质分裂，形成两个子细胞
细胞质分裂情况
细胞质分裂：细胞质中的细胞器、 细胞质基质等物质进行分裂，形成 两个子细胞
细胞质分裂过程：细胞质中的细胞 器、细胞质基质等物质进行分裂， 形成两个子细胞
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
细胞质分裂方式：细胞质中的细胞 器、细胞质基质等物质进行分裂， 形成两个子细胞
细胞质分裂结果：细胞质中的细胞 器、细胞质基质等物质进行分裂， 形成两个子细胞
DN和染色体的数量变化
减数分裂末期，DN数量减半
染色体数量不变，但每条染色 体上的DN数量减半
染色体数量不变，但每条染色 体上的DN数量减半
染色体数量不变，但每条染色 体上的DN数量减半
06
减数分裂与有丝分裂的 比较
染色体变化比较
减数分裂：染色体数目减半，形成单倍体 有丝分裂：染色体数目不变，形成二倍体 减数分裂：同源染色体分离，非同源染色体自由组合 有丝分裂：同源染色体不分离，非同源染色体自由组合 减数分裂：形成四个子细胞，每个子细胞含有一半的染色体 有丝分裂：形成两个子细胞，每个子细胞含有全部的染色体
减数分裂包括两 个阶段：减数第 一次分裂和减数 第二次分裂
减数分裂过程中， 染色体复制一次， 细胞分裂两次，最 终产生四个单倍体 生殖细胞
画出染色体为2N=4的
3、画出一条染色体有丝分裂过程中 DNA含量变化图
4、画出一个细胞中染色体为2N 的数量变化图
5、画出一个细胞中DNA含量为2N的 变化图
赤道板
前期 （２）中期
中期
①在纺锤丝的牵引下，染色体着丝粒排列在细胞
中央的赤道板上
②染色体形态固定，数目清晰可见
中期
１条染色体 （含两个染色单体）
后期
２条染色体 （无单体）
后期 （４）末期 “两消两重现”
①染色体变成染色质 ②核膜、核仁重新出现
③纺锤体消失 ④细胞膜向内凹陷，一个细胞缢裂成两个子细胞
一、染色体、姐妹染色单体、着丝 粒、DNA的关系图
C
• A的一个染色体上有1个DNA分子，而B的 染色体中含2个DNA分子，分别位于2个染 色单体上。C中每个染色体只含一个DNA分 子。
• （1）染色体数目的计算，以着丝粒为依据。
• （2）一条染色体上DNA的数目在复制前后 不同：
• 当有染色单体时——染色体∶染色单 体∶DNA=1∶2∶2；
• 没有染色单体时——染色体∶染色单 体∶DNA=1∶0∶1。
• 例1、细胞周期的各阶段中，一个细胞中的 染色体和DNA分子数量比不可能是下列中 的（ ）
• 上图表示的是在有丝分裂过程中染色体的 着丝粒、纺锤丝与分裂增殖时间关系的曲 线，曲线A表示染色体的着丝点与纺锤丝的 相应极之间的平均距离，图中的曲线B代表 染色体的染色单体之间的距离。
有丝分裂概念梳理1染色体与染色质dna2染色体染色单体dna3纺锤体纺锤丝星射线4染色体复制中心体复制5细胞增殖与有丝分裂的意义6赤道板与细胞板7一条染色体与细胞内的染色体变化曲线1画出染色体为2n4的动物细胞有丝分裂五个时期图2有丝分裂过程中一条染色体形态变化规律3画出一条染色体有丝分裂过程中dna含量变化图4画出一个细胞中染色体为2n的数量变化图5画出一个细胞中dna含量为2n的变化图一染色体姐妹染色单体着丝粒dna的关系图a的一个染色体上有1个dna分子而b的染色体中含2个dna分子分别位于2个染色单体上
蛛形图的若干染色问题
（ ） ｍｉ｛ 一 Ｓ Ｃｏ Ｇ 一 ｎｋＩ Ａ Ｅ ｆＧ｝ 为图 Ｇ的邻
强边色 数．
（ Ｇ）一 ｍｉ｛ ｋ— ｎｋＪ ＡＶＤ— ＴＣｏ ＶＥ Ｇ｝ ｆ 设 Ｇ（ Ｅ）是 阶数 不 小于 ３的简单 Ｖ， 为 Ｇ 的邻点 可 区别 点边 全 色数 ． 定 义 ５ 蛛形 图 ＆ 的头点 为 ｏ从 出发有 ｋ ， 条路 （ ≥ ３ ， 条 路 有 ｋ个 点 ， 有 个 点 （ 中 ）每 共 其
０ 引 言
图的染 色是 图论 的重要 研究 内容 之一 ， 年来 ， 近 许 多 图论研究 工作 者提 出 了一 系列新 染色 ． ： 如 邻强 边染 色‘ 邻点 强可 区别 全染 色 点可 约 全染 色 ¨、 引、 。 ］ 以及邻 点可 区别 点 边 全 染 色 等 ， 已成 为染 色 问题
第 ４期
△（ ＋ ２ （ ．
孙亮萍等 ： 形图的若干染色 问题 蛛
１９ ２
引理 ２ ［
对 于 简单 图 Ｇ， 有 △（ 则 Ｇ）＋ １≤
ｆ，＝ｉ －，， ２ ） （１ ｛ ２愚－一＞ ｅ） ｊ 一（２ｋ ｉ ＝＋一（ｊ ￣） ｊ ＋ ｉ ＋＋
ｉ １２ … ， ， ＝ ， ， 是 Ｊ一 ２ ３ … ， 一 ｌ ，， 走 ；
ｉ一 １， … ， 一 １， … ， ２， ｋ， ２， ｋ一 １ ｉ：＝１， … ， — ｋ； ： ２， ｋ，
＞ 图 走 ，
ｋ １． 据定 义 ４ 一 ）根 可知 ， （ ） ５ 如下 给 出蛛 形 一 ． 的一个 ５一 ＴＣ 如 下 定 义 一 个从 （ ）Ｕ ＶＲ ．
本文未加说明的术语 ， 请参考文献［ — ０ ． ５ １］
＋ １ ２ … ，＋ ≤ 是 ，＋ ， ）
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［ ２ — ５ ］ 通过构造具体染 色得 到了一些特殊 图的 邻 点 可 区别 边 染 色 数 ， 文献 ［ ６］ 给 出 了 邻 点 可 区 别 全染 色 的概 念 和若 干 特 殊 图 的染 色 ， 文献 ［ ７一 ｌ Ｏ ］ 给 出 了若 干 特 殊 图 的邻 点可 区别 全 色 数 。通
１ 预 备 知识
定义 １ ［ １ － ５ ］ ： 设 Ｇ （ Ｖ ， Ｅ ） 是 简单 图， ｋ是 自然
数 厂 是 从 Ｅ（ Ｇ） 到 Ｃ＝｛ １ ， ２ ， … ｝ 的映 射 ， 如 果满 足对 任 意 的两相 邻 的边 ， Ｕ Ｗ∈Ｅ（ Ｇ ） （ Ｖ ≠Ｗ） ， （ ） Ｕ Ｗ） ， 则称 ． 厂 是 图 Ｇ的 一 个 一 正 常 边 染
，
ｏ ｄ ． Ｔ ｈ ｅ ａ ｄ ｊ ａ ｃ ｅ ｎ ｔ ｖ ｅ ｒ ｔ ｅ ｘ ｄ ｉ ｓ ｔ ｉ ｎ ｇ ｕ ｉ ｓ ｈ ｉ ｎ ｇ ｅ ｄ ｇ ｅ ｃ ｈ ｒ ｏ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ａ ｄ ｊ ａ ｃ ｅ ｎ ｔ ｖ ｅ ｒ ｔ ｅ ｘ ｄ ｉ ｓ ｔ ｉ ｎ ｇ ｕ ｉ ｓ ｈ ｉ ｎ ｇ
ｔ ａ ｌ ｃ ｏ ｌ ｏ ｒ ｉ ｎ ｇ ｏ ｆ ｇ ｒ ａ ｐｈ Ｄ ４ ａ ｒ ｅ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ ｂ ｙ ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ ｈ ａ ｕ ｓ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｍｂ ｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｔ ｉ ｃ ｍｅ ｔ ｈ ＿
ｔ ｉ ｎ ｇ ｕ ｉ ｓ ｈ ｉ ｎ ｇ ｔ ｏ ｔ ａ ｌ ｃ ｏ ｌ ｏ ｒ ｉ ｎ ｇ
０ 引言
图的染 色 是 图论 的研 究 热 点 之 一 ， 很 多学 者 对 其进 行 了研 究 ， 文献 ［ １ ］ 给 出 了 图 的 邻 点 可 区 别 边染 色 的概 念 和 一些 特 殊 图 的具 体 染 色 ， 文 献
关键 词 ： 穷举 法 ； 邻点 可区别边染 色； 邻 点可区别全染 色
中图分类号 ： Ｏ１ ５ ７ ． ５ 文献标识码 ： Ａ 文章编 号 ： １ ０ ０ １— ３ ６ ７ ９ （ ２ ０ １ ５ ） ０ １ —０ ５ ９—０ ３
Ｓ ｏ ｍｅ Ｃｏ ｌ ｏ ｒ ｉ ｎｇ ｓ ｏ ｆ Ｇｒ ａ ｐ ｈ Ｄ ４
Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔ ｈ ｅ ａ ｄ ｊ ａ ｃ ｅ ｎ ｔ ｖ ｅ ￣ ｅ ｘ ｄ ｉ ｓ ｔ ｉ ｎ ｇ ｕ ｉ ｓ ｈ ｉ ｎ ｇ ｅ ｄ ｇ ｅ ｃ ｏ ｌ ｏ ｒ ｉ ｎ ｇ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ａ ｄ ｊ ａ ｃ ｅ ｎ ｔ ｖ ｅ ｒ ｔ ｅ ｘ ｄ ｉ ｓ ｔ ｉ ｎ ｇ ｕ ｉ ｓ ｈ ｉ ｎ ｇ ｔ ｏ ‘
．
ＺＨＡＮＧ Ｄｏ ｎ ｇ ｈ ａ ｎ
（ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ， Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｌ ｕ ｏ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， ７ ２ ６ ０ ０ ０， Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｌ ｕ ｏ ， Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ ， Ｐ Ｒ Ｃ ）
第３ ３ 卷 第１ 期
２ ０ １ ５年 ２月
江
西
科
学
Ｖ０ １ ． ３ ３ Ｎｏ ． １ Ｆ ｅ ｂ． ２ ０１ ５
Ｊ Ｉ ＡＮＧ ＸＩ Ｓ Ｃ Ｉ Ｅ ＮＣ Ｅ
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． １ ３ ９ ９ ０ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ｌ ０ ０ １ — ３ ６ ７ ９ ． ２ ０ １ ５ ． ０ １ ． ０ １ ３
过 对 大量 文献 的研 读 ， 研究 了 图 Ｄ 的邻 点 可 区 别 边 染色 和邻 点 可 区别 全染 色 。
也就 是 ｃ（ ） ≠ｃ（பைடு நூலகம்１ ３ ） ， 其中 ｃ （ “ ）＝｛ 厂 （ Ｕ Ｎ ， ） ｌ ∈Ｅ （ Ｇ ） ｝ ， Ｃ （ “ ）＝Ｃ—Ｃ（ ） ， 则称 ／为 图 Ｇ的一 个邻
ａ ｒ ｅ ｇ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ｂ ｙ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｐ ｅ ｃ ｉ ｆ ｉ ｃ ｃ ｏ ｌ ｏ ｒ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ． ｔ ｏ ｔ ａ ｌ ｃ ｈ ｒ ｏ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｎｕ ｍｂ ｅ ｒ ｏ ｆ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ Ｄ ４
图Ｄ 的若 干 染 色
张 东 翰
（ 商洛学院数学与计算机应用 学院 ， ７ ２ ６ ０ ０ ０ ， 陕西 ， 商 洛） 摘要： 利 用穷举 法和组合分析 法讨论 了图 Ｄ 的邻点可 区别边染 色和邻点 可区别全 染 色， 通 过构造 具体 染 色
得 到 了图 Ｄ 的邻 点 可 区 别 边 色数 和 邻 点 可 区 别全 色数 。
．
Ｋｅ ｙ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ： ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ ｅ ｘ ｈ ａ ｕ ｓ ｔ ｉ ｏ ｎ ； ａ ｄ ｊ ａ ｃ ｅ ｎ ｔ ｖ ｅ ｔ ｒ ｅ ｘ ｄ ｉ ｓ ｔ ｉ ｎ ｇ ｕ ｉ ｓ ｈ ｉ ｎ ｇ ｅ ｄ ｇ ｅ ｃ ｏ ｌ ｏ ｒ ｉ ｎ ｇ ； ａ ｄ ｊ ａ ｃ ｅ ｎ ｔ ｖ ｅ ￣ ｅ ｘ ｄ ｉ ｓ —
点 可 区别边 染色 （ 简 记 为 ｋ—Ａ Ｖ Ｄ Ｐ Ｅ Ｃ ） ， 并 将 。 （ Ｇ ）＝ｍ ｉ ｎ ｛ ｋ ｌ Ｇ有 一个 ｋ— Ａ Ｖ Ｄ Ｐ Ｅ Ｃ｝ 称 为 图 Ｇ的