人教A版（2019）高中数学必修一集体备课有效策略研究
高中数学人教A版(2019新教材) 必修(第一册)全册分章节分课时教学案
第一章集合与函数概念1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义[目标] 1.通过实例，能说出集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2.记住集合元素的特性以及常用数集；3.会用集合元素的特性解决相关问题．[重点] 用元素与集合的“属于”关系判断元素与集合的关系；用集合元素的特性解答相关问题．[难点] 集合元素特性的应用.知识点一元素与集合的含义[填一填]1．定义(1)元素：一般地，把所研究的对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．2．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．3．集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．[答一答]1．以下对象的全体能否构成集合？(1)河北《红对勾》书业的员工；(2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手；(3)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上的若干个点；(4)不超过2 019的非负数．提示：(1)能构成集合．河北《红对勾》书业的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来．所以能构成一个集合．(2)“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合．(3)“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上的若干个点”不能构成一个集合．(4)任给一个实数x，可以明确地判断x是不是“不超过 2 019的非负数”，即“0≤x≤2 019”与“x<0或x>2 019”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过2 019的非负数”能构成一个集合．2．若集合A由0,1与x三个元素组成，则x的取值有限制吗？为什么？提示：有限制，x≠0且x≠1.因为集合中的任意两个元素必须是互异的．知识点二元素与集合的关系[填一填]如果a是集合A中的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作a∉A.[答一答]3．若集合A是由元素1,2,3,4所组成的集合，问1与A,5与A有什么关系？提示：1∈A,5∉A.知识点三常用数集及表示[填一填][答一答]4．常用的数集符号N，N*，N＋有什么区别？提示：(1)N为非负整数集(即自然数集)，而N*或N＋表示正整数集，不同之处就是N 包括元素0，而N*或N＋不包括元素0.(2)N*和N＋的含义是一样的，初学者往往误记为N*或N＋，为避免出错，对于N*和N 可形象地记为“星星(*)在天上，十字架(＋)在地下”．＋5．用符号“∈”或“∉”填空． (1)1∈N *；(2)－3∉N ；(3)13∈Q ；； (5)－12∈R.类型一 集合的概念[例1] 下列所给的对象能构成集合的是________． (1)所有的正三角形；(2)高一数学必修1课本上的所有难题； (3)比较接近1的正数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5)平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合； (6)参加里约奥运会的年轻运动员． [答案] (1)(4)(5)[解析] (1)能构成集合．其中的元素需满足三条边相等；(2)不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合； (3)不能构成集合．因“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；(4)能构成集合．其中的元素是“16岁以下的学生”；(5)能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”；(6)不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故而不能构成集合．判断元素能否构成集合，关键是集合中元素的确定性，即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素，若标准明确则可以构成集合，否则不可以.[变式训练1] 下列对象能组成集合的是( D ) A ．3的所有近似值B ．某个班级中学习好的所有同学C ．2018年全国高考数学试卷中所有难题D．屠呦呦实验室的全体工作人员解析：D中的对象都是确定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合．类型二集合中元素的特性命题视角1：集合元素的互异性[例2]已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．[分析]本题中已知集合A中有两个元素且1∈A，根据集合中元素的特点需分a＝1或a2＝1两种情况，另外还要注意集合中元素的互异性．根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，a＝a2，集合A有一个元素，∴a≠1.当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a＝－1.当一个集合中的元素含字母时，可根据题意结合集合中元素的确定性求出集合中字母的所有取值，再根据集合中元素的互异性进行检验.[变式训练2](1)若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(D)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形(2)由a2,2－a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(C)A．1B．－2C．6D．2解析：(1)集合中任何两个元素不相同．(2)由题意知a2≠4,2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1.结合选项知C正确．故选C.命题视角2：集合元素的无序性[例3] 集合A 中含有三个元素0，ba ，b ，集合B 中含有三个元素1，a ＋b ，a ，若A ，B 两个集合相等，求a 2 019＋b 2 019的值．[分析] 由两个集合相等，所含元素相同列出a ，b 的关系式，解出a 与b ，再求a 2 019＋b 2 019的值．[解] 由两个集合相等易知a ≠0，a ≠1，故a ＋b ＝0，且b ＝1或ba ＝1.若b ＝1，由a ＋b ＝0得a ＝－1，经验证，符合题意；若ba ＝1，则a ＝b ，结合a ＋b ＝0，可知a ＝b ＝0，不符合题意．综上知a ＝－1，b ＝1. 所以a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋12 019＝0.两个集合相等，元素相同，因为集合元素无序，所以要进行讨论.同时还需要对集合求值问题代入验证，注意集合中元素的互异性.[变式训练3] 集合A 由1,3,5,7四个元素组成，已知实数a ，b ∈A ，那么ab 的不同值有( B )A ．12个B ．13个C ．16个D ．17个解析：a ，b 是集合A 的元素，ab 的值会因a ，b 的顺序不同而不同．a ，b 所取的值按顺序分别为：1,1；3,3；5,5；7,7；1,3；3,1；1,5；5,1；1,7；7,1；3,5；5,3；3,7；7,3；5,7；7,5，其对应的ab 有13个不同的值．类型三 元素与集合的关系[例4] (1)给出下列关系：①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ；④|－3|∈Q ；⑤0∉N . 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．[答案] (1)B (2)0,1,2[解析] (1)12是实数；2是无理数；|－3|＝3是自然数；|－3|＝3是无理数；0是自然数．故①②正确，③④⑤不正确．(2)由63－x ∈N ，x ∈N 知x ≥0，63－x≥0，且x ≠3，故0≤x <3.又x ∈N ，故x ＝0,1,2. 当x ＝0时，63－0＝2∈N ，当x ＝1时，63－1＝3∈N ，当x ＝2时，63－2＝6∈N .故集合A 中的元素为0,1,2.判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系.[变式训练4] 已知不等式3x ＋2>0的解集为M . (1)试判断元素－1,0与集合M 的关系；(2)若a －1是集合M 中的元素，求a 的取值范围． 解：(1)∵3×(－1)＋2＝－1<0， ∴－1不是集合M 中的元素，∴－1∉M . 又3×0＋2＝2>0，∴0是集合M 中的元素，∴0∈M . (2)∵a －1∈M ，∴3(a －1)＋2>0. ∴3a >1，∴a >13.1．下列各组对象不能构成集合的是( B ) A ．某中学所有身高超过1.8米的大个子 B ．约等于0的实数 C ．某市全体中学生D ．北京大学建校以来的所有毕业生解析：由于“约等于0”没有一个明确的标准，因此B 中对象不能构成集合．2．下列命题中，正确命题的个数是( C )①集合N *中最小的数是1；②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 的最小值是2；④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，a ∉N *，故②错误；若a ∈N *，则a 的最小值是1，同理，b ∈N *，b 的最小值也是1，∴当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性，知④是错误的．3．已知a ，b 是非零实数，代数式|a |a ＋|b |b ＋|ab |ab 的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( B )A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M解析：当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是－1；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B 正确．4．集合A 由元素－1和2构成，集合B 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的解，若A ＝B ，则a ＋b ＝－3.解析：∵A ＝B ，∴方程x 2＋ax ＋b ＝0的解是－1或2. ∴a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3.5．已知集合A 由a 2－a ＋1，|a ＋1|两个元素构成，若3∈A ，求a 的值． 解：∵3∈A ，∴a 2－a ＋1＝3或|a ＋1|＝3. ①若a 2－a ＋1＝3，则a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，|a ＋1|＝3，此时集合A 中含有两个3，因此应舍去． 当a ＝－1时，|a ＋1|＝0≠3，满足题意． ②若|a ＋1|＝3，则a ＝－4或a ＝2(舍去)． 当a ＝－4时，a 2－a ＋1＝21≠3，满足题意． 综上可知a ＝－1或a ＝－4.——本课须掌握的三大问题1．理解集合的概念，关键是抓住集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．特别是处理含有参数的集合问题时，一定要注意集合中元素的互异性，即在求出参数的取值或取值范围后，一定要检验集合中元素的互异性．2．关于特定集合N ，N *(N ＋)，Z ，Q ，R 等的意义是约定俗成的，解题时作为已知使用，不必重述它们的意义．3．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果，“∈”与“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合．学习至此，请完成课时作业1第2课时集合的表示[目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)；2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．[重点] 集合的两种表示方法及其运用．[难点] 对描述法表示集合的理解.知识点一列举法[填一填]把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法．{}表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；书写时不需要考虑元素的顺序．[答一答]1．实数集也可以写成{实数}，那么能写成{实数集}或{全体实数}吗？提示：不能，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思．2．列举法能表示元素个数很少的有限集，那么可以用列举法表示无限集吗？提示：对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示，如正自然数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5，…}．3．集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合？提示：不是．知识点二 描述法[填一填]1．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法． 2．具体方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．[答一答]4．集合{x |x >3}与集合{t |t >3}表示同一个集合吗？提示：虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．类型一 用列举法表示集合[例1] (1)若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 中元素的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．[答案] (1)B (2)见解析[解析] (1)集合A ＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．(2)解：①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．②方程x 2＝x 的解是x ＝0或x ＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．用列举法表示集合应注意的三点,(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；(2)集合中的元素一定要写全，但不能重复；(3)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.[变式训练1] 用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合； (2)所有正整数组成的集合；(3)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合． 解：(1){1,3,5,15}．(2)正整数有1,2,3，…，所求集合用列举法表示为{1,2,3，…}．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所求集合用列举法表示为{(1,1)}．类型二 用描述法表示集合[例2] 用描述法表示下列集合： (1)不等式2x －7<3的解集A ；(2)二次函数y ＝x 2＋1的函数值组成的集合B ； (3)被3除余2的正整数的集合C ；(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D .[分析] 先确定集合元素的符号，再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面． [解] (1)解2x －7<3得x <5， 所以A ＝{x |x <5}．(2)函数值组成的集合就是y 的取值集合，所以B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }．(3)被3除余2的正整数可以表示为3n ＋2(n ∈N )，所以集合C ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }． (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0， 所以D ＝{(x ，y )|x ·y ＝0，x ∈R ，y ∈R }．(1)用描述法表示集合，应先弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素.(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围.[变式训练2] 用描述法表示下列集合： (1)函数y ＝－x 的图象上所有点组成的集合； (2)方程x 2＋22x ＋121＝0的解集；(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；(4)⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，12，35，23，57，…. 解：(1){(x ，y )|y ＝－x ，x ∈R ，y ∈R }． (2){x |x ＝－11}．(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合可表示为{x ∈R ||x |>3}．(4)先统一形式13，24，35，46，57，…，找出规律，集合表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝n n ＋2，n ∈N *.类型三 两种方法的灵活应用[例3] 用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解组成的集合；(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合； (3)所有的正方形组成的集合；(4)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．[分析] (1)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)是有限集，但个数较多，用描述法；(3)(4)是无限集，用描述法表示．[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故该集合用列举法可表示为{(4，－2)}．该集合也可用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8.(2)设集合的代表元素是x ，则该集合用描述法可表示为{x |x ＝3k ＋2，k ∈N ，且k ≤332}．(3)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}或{正方形}． (4)集合用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2}．当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时，常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集，也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1，3，5，7，9，…}.但值得注意的是，并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.[变式训练3] 用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于5的有理数组成的集合； (2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合． 解：(1)用描述法表示为{x |2<x <5，且x ∈Q }． (2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(3)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |，所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}．1．集合{x ∈N |x <5}的另一种表示方法是( A ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：由题x ∈N ，且x <5，∴x 的值为0,1,2,3,4，用列举法表示为{0,1,2,3,4}．2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( C )A ．{x ＝1，y ＝1}B ．{1}C ．{(1,1)}D ．{(x ，y )|(1,1)}解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 中的条件是点(1,1)，不含x ，y ，排除D.3．集合{x |x ＝a ，a <36，x ∈N }，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5}． 解析：由a <36，可得a <6，即x <6，又x ∈N ，故x 只能取0,1,2,3,4,5. 4．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N ＋}． 解析：正整数中所有的偶数均能被2整除． 5．用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合P ＝{x |x ＝2n,0≤n ≤2，且n ∈N }； (2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合； (3)x 2－4的一次因式组成的集合；(4)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解所组成的集合．解：(1)用列举法表示为P ＝{0,2,4}．(2)可用列举法表示为{6,9,12}；也可用描述法表示为{x |x ＝3n ，4<x <15，且n ∈N }． (3)用列举法表示为{x ＋2，x －2}．(4)可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x ，y )|x ＝1，y ＝2}．——本课须掌握的两大问题1．表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则． (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．学习至此，请完成课时作业2 学科素养培优精品微课堂 “形似异质”的集合的表示开讲啦 集合的类型有多种形式，可以是数集、点集、图形集或是其他类型的集合，判断它是哪种类型的集合主要根据代表元素的类型来判断．[典例] 有下面三个集合：①A ＝{x ∈R |y ＝x 2＋1}；②B ＝{y ∈R |y ＝x 2＋1}；③C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ∈R ，y ∈R }．它们是不是相同集合，为什么？[分析] 分析各集合中代表元素是哪种类型以及对各元素所具有的属性作出判断． [解] 对于集合A ，其代表元素为x ，x 属于实数，因此它表示数集，又元素所满足的条件为y ＝x 2＋1，它表示函数y ＝x 2＋1中自变量x 的取值范围，因为函数y ＝x 2＋1中自变量x 的取值范围是R ，故A ＝R ；对于集合B ，其代表元素为y ，y 属于实数，因此它表示数集，又元素所满足的条件为y ＝x 2＋1，它表示函数y ＝x 2＋1的函数值y ，故B ＝{y |y ≥1}；对于集合C ，其代表元素为(x ，y )，它表示坐标平面中的点的坐标，又元素所满足的条件为y ＝x 2＋1，它表示函数y ＝x 2＋1图象上的点．综上所述，集合A 、B 、C 是不同的集合．[名师点评] 理解描述法表示的集合，关键是对符号语言所表达的含义要正确理解．认识它时，一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的类型，以此确定集合的类型；二要看代表元素所具有的属性，即它要满足什么条件，以此确定集合中元素的组成部分．[对应训练] 判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)整数集Z ＝{x |x ＝n ＋1，n ∈Z }．( √ ) (2){y |y ＝x 2}≠{x |y ＝x }．( × )(3)两条直线y ＝2x 与y ＝x －1的交点构成集合M ，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2xy ＝x －1，则M ＝N .( √ )(4)M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4，x ，y ∈N *}＝{(0,4)，(1,3)，(2,2)}．( × )解析：(1)整数集是个无限集，x ＝n ＋1，n ∈Z 能表示任意一个整数，所有的整数也能写成这种形式，故(1)正确．{y |y ＝x 2}表示通过计算y ＝x 2得到的所有y 值的集合，也可以理解为二次函数y ＝x 2图象上所有点的纵坐标的取值集合，即{y |y ＝x 2}表示非负实数集；{x |y ＝x }表示满足y ＝x 的所有x 的取值集合，因此x 可以取任意非负实数，即{x |y ＝x }表示非负实数集．两者表示的数集完全一样，故(2)错误．集合N 是一个点集，描述集合M 采用的是自然语言，二者含义一样，故(3)正确．集合M 是由满足x ＋y ＝4，且x ，y 均为正整数的x ，y 构成的点集，易知M ＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}，故(4)错误.1.1.2 集合间的基本关系[目标] 1.记住集合间的包含关系，会判断两个简单集合的关系；2.能写出给定集合的子集；3.记住集合相等与空集的含义以及空集与其他集合的关系．[重点] 集合间关系及集合间关系的判断；写出给定集合的子集；空集与其他集合的关系．[难点] 集合间的关系及应用．知识点一子集的有关概念[填一填]1．Venn图通常用平面上封闭曲线的内部代表集合．用Venn图表示集合的优点：形象直观．2．子集(1)自然语言：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集．(2)符号语言：记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．(3)图形语言：用Venn图表示．3．真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A B(B A)．4．集合相等如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A 与集合B中的元素是一样的，因此集合A和集合B相等，记作A＝B.[答一答]1．若A⊆B，则A中的元素是B中的元素的一部分，对吗？提示：不对，A中的元素是B的一部分或是B的全部．2．“∈”与“⊆”有什么区别？提示：“∈”表示元素与集合之间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系．3．“”与“<”一样吗？提示：不一样，“”表示集合与集合之间的关系；“<”表示两实数间的关系．4．如何判断两个集合是否相等？提示：方法一：根据两个集合中的元素是否完全相同进行判断；方法二：根据集合相等的定义，即是否同时满足A⊆B且B⊆A.知识点二空集[填一填]不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．[答一答]5．0，{0}，∅，{∅}有何区别？提示：知识点三子集、真子集的性质[填一填]由子集、真子集和空集的概念可得：(1)空集是任何集合的子集，即∅⊆A；(2)任何一个集合是它自身的子集，即A⊆A；(3)空集只有一个子集，即它自身；(4)对于集合A，B，C，由A⊆B，B⊆C可得A⊆C；(5)对于集合A，B，C，由A B，B C可得A C.[答一答]6．(1)对于集合A、B、C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C，若A B，B⊆C呢？(2)若∅A，则A≠∅对吗？提示：(1)A C.(2)对．类型一确定集合的子集、真子集[例1](1)已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.(2)填写下表，并回答问题：12n数及非空真子集的个数呢？[解](1)由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．(2)}的所有子集的个数是212n是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；,(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，(2n－1)个真子集，(2n－1)个非空子集，(2n－2)个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用.[变式训练1]试写出满足条件∅M{0,1,2}的所有集合M.解：因为∅M{0,1,2}．所以M为{0,1,2}的非空真子集．所以M中的元素个数为1或2，当M中只有1个元素时，M可以是{0}，{1}，{2}；当M中有2个元素时，M可以是{0,1}，{0,2}，{1,2}；所以M可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．类型二集合间关系的判断及应用命题视角1：利用子集的定义判断集合间的关系[例2](1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是() A．M＝N B．N MC．M N D．N⊆M(2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是()A．A⊆B B．A⊇BC．A B D．A B[答案](1)C(2)D[解析](1)由已知得集合M＝{1,2}．由真子集的定义可知M N.(2)因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集．判断两集合关系的步骤：(1)先对所给集合进行化简.(2)搞清两集合中元素的组成，也就是弄清楚集合由哪些元素组成，即把集合间关系的判断转化为相应集合元素之间的关系来判断.[变式训练2]指出下列各组集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)法1：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.法2：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.命题视角2：利用Venn图理解集合间的关系[例3]能正确表示集合M＝{x|0≤x≤2}和集合N＝{x|x2－x＝0}关系的Venn图是下图中的()[答案] B[解析]N＝{0,1}M.用封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn图，是描述集合关系的图形语言，它可以是圆、矩形、椭圆等.通过图形可直观看出两个集合是否有公共元素，甚至还可以解决集合内元素的个数问题，在后续课的学习中Venn图的图解功能再进一步体会.[变式训练3] 已知集合A ＝{x |x 2＝x ，x ∈R }，集合A 与非空集合B 的关系如图所示，则满足条件的集合B 的个数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：∵A ＝{x |x 2＝x ，x ∈R }＝{0,1}，又B A ，且B 为非空集合，∴B 可以为{0}或{1}．故选B.命题视角3：利用数轴理解集合间的关系[例4] 已知A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |4x ＋m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围．[分析] 解决本题可用数形结合的方法画出数轴来分析． [解] 集合A 在数轴上表示如图．要使A ⊇B ，则集合B 中的元素必须都是A 中的元素， 即B 中元素必须都位于阴影部分内，那么由4x ＋m <0，即x <－m 4知，－m4≤－2，即m ≥8，故实数m 的取值范围是m ≥8.在数轴上表示集合A 与B 时要注意，端点处都是空心点，所以当－m4＝－2时，集合B 为{x |x <－2}，仍满足A ⊇B .这种利用子集关系求参数的问题，借助数轴分析时，要验证参数能否取到端点值.[变式训练4] 已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围． 解：(1)若A B ，则集合A 中的元素都在集合B 中，且B 中有不在A 中的元素，则a >2.(2)若B ⊆A ，则集合B 中的元素都在集合A 中，则a ≤2.因为a ≥1，所以1≤a ≤2.1．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则有( B )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：正方形是邻边相等的矩形．2．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }，则( B ) A ．MNB ．NMC ．M ＝ND ．M ，N 的关系不确定解析：由题意，得N ＝{0,1}，故N M .3．已知集合A {1,2,3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 有5个．解析：∵A{1,2,3}，∴A 中至多含有2个元素．∵A 中至少有一个奇数，∴A 可能为{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共5个．4．已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是a ≤14.解析：∵∅{x |x 2－x ＋a ＝0}．∴{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅，即方程x 2－x ＋a ＝0有解，∴Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.5．已知集合B ＝{－1,0,1}，若A ⊆B ，试写出所有满足条件的集合A . 解：当A ＝∅时，满足条件；当A 是单元素集合时，满足条件的集合A 有{－1}，{0}，{1}；当A 是含两个元素的集合时，满足条件的集合A 有{－1,0}，{－1,1}，{0,1}； 当A 是含三个元素的集合时，满足条件的集合A 为{－1,0,1}．故满足条件的集合A 有∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1，1}，{0,1}，{－1,0,1}．——本课须掌握的三大问题1．写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊子集：∅和自身；其次依次按含有一个元素的子集、含有两个元素的子集、含有三个元素的子集……写出子集．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决形如A ⊆B 类问题时， 需分类讨论A ＝∅与A ≠∅两种情况．3．要证明A ＝B ，只需要证明A ⊆B 且B ⊆A 成立即可．即可设任意x 0∈A ，证明x 0∈B 从而得出A ⊆B .又设任意y 0∈B ，证明y 0∈A ，从而得到B ⊆A ，进而证明得到A ＝B .。
2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册同步备课教案：基本不等式
2．2基本不等式（单元教学设计）一、【单元目标】【知识与能力目标】1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；22a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【过程与方法目标】通过实例探究抽象基本不等式；【情感态度价值观目标】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣．二、【单元知识结构框架】三、【学情分析】“基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质．四、【教学设计思路/过程】课时安排：约2课时教学重点：2a b+≤的证明过程；教学难点：12a b +≤等号成立条件；22a b+≤求最大值、最小值．教学方法/过程：五、【教学问题诊断分析】环节一、情景引入，温故知新情景：我们知道，通过研究特殊的多项式乘法，可以得到乘法公式，而乘法公式在代数式的运算中有重要作用．那么，在研究不等式的性质后，是否也有一些特殊的不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢?今天我们就来研究这个问题．问题1：在不等式的学习中，我们从赵爽弦图中抽象出了重要不等式222a b ab + ．特别地，我们限制0a >，0b >a b 、2a b+，你能证明这一不等式吗?【破解方法】学生能从探索过程获知，基本不等式是重要不等式的特殊情况，建立新旧知识的联系，为不等式的学习提供可参考的对象．环节二、抽象概念，内涵辨析1．基本不等式问题2：你能直接利用不等式的性质证明这一式子吗?【破解方法】学生先独立思考，由于不等式的性质比较多，到底由哪个性质出发，利用哪些性质进行证明，学生会一头雾水．教师再让学生自学教科书第44页，然后通过问题引导学生思考．2a b+≤用分析法证明：要证2a b+≥（1）只要证a b +≥（2）要证（2），只要证a b +-≥0（3）要证（3），只要证（-）2≥0（4）显然，（4）是成立的．当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立．【归纳新知】对公式2a b+≥的理解．（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”．22a b+≤的几何意义问题32a b+≤的几何意义是什么？【破解方法】如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =，BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD ．易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =．这个圆的半径为2a b +，它大于或等于CD ，即2a b+≥，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立．32a b+≤求最大（小）值问题4：怎样利用基本不等式求最大（小）值？【破解方法】在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．环节三：例题练习，巩固理解题型一：对基本不等式的理解及简单应用【例1】下列不等式中等号可以取到的是（）A2≥B ．221222x x ++≥+C ．2212x x +≥D ．1||32||3x x ++≥+【答案】C【解析】对于A 0>2≥=，当且仅当24x =-，故等号不成立，故A 不符合；对于B ，因为220x +>，所以221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+，即21x =-，故等号不成立，故B 不符合；对于C ，因为20x >，所以2212x x +≥=，当且仅当221x x =，即1x =±时取等号，故C 符合；对于D ，因为30x +>，所以1323x x ++≥=+，当且仅当133x x +=+，即2x =-，故等号不成立，故D 不符合．故选：C ．【对点训练1】《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．0,0)2a ba b +≥>>B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b>>+D ．0,0)2a b a b +≤>>【答案】D【解析】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===，又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=，在Rt OCF 中，可得2222222222a b a b a bFC OC OF -++⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号．故选：D ．题型二：利用基本不等式比较大小【例2】若0a b >>，有下面四个不等式：（1）22a b >；（2）2b aa b+>，（3）a b ab +<，（4）33a b <．则不正确的不等式的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】因为0a b >>，所以22a b <，33a b >成立，所以（1）不正确，（4）不正确；因为0a b ab +<<，所以（3）正确；,a bb a都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正确．故选：C【对点训练2】若01a <<，01b <<，a b ¹，则a b +，2ab ，22a b +中最大的一个是．【答案】a b +/b a+【解析】01a <<，01b <<，a b ¹，则a b +>2>ab ，22a b a b +>+，综上所述：最大的一个是a b +．故答案为：a b+题型三：利用基本不等式证明不等式【例3】已知,a b 是实数．（1）求证：22222a b a b +≥--，并指出等号成立的条件；（2）若1ab =，求224a b +的最小值．【解析】（1）证明：因为2222(222)222a b a b a b a b +---=+-++22(1)(1)0a b =-++≥，所以22222a b a b +≥--，当且仅当1a =，1b =-时，不等式中等号成立．（2）22224(2)2(2)44a b a b a b ab +=+≥⋅⋅==，当且仅当2a b =，即a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以224a b +的最小值为4．【对点训练3】已知000a b c >>>，，，求证222a b c ab bc ca ++≥++．【解析】∵222a b ab + ，①222b c bc + ，②222c a ac + ，③①+②+③得；222222222a b c ab bc ac ++++ ．∴222a b c ab bc ca ++++ （当且仅当a b c ==等号成立）．题型四：利用基本不等式求最值【例4】已知x 、y 都是正数，求证：（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值（2）如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S ．【解析】因为x 、y都是正数，所以2x y+≥（1）当积xy 等于定值P时，2x y+≥=，所以x y +≥，当且仅当x y =时，上式等号成立．于是，当x y =时，和x y +有最小值（2）当和x y +等于定值S22x y S +≤=，所以214xy S ≤，当且仅当x y =时，上式等号成立．于是，当x y =时，积xy 有最大值214S ．【对点训练4】某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为33200m 立方米，深为2m ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低（设蓄水池池底的相邻两边边长分别为x ，y ）？最低总造价是多少？【解析】 要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为33200m 立方米，深为2m 设蓄水池池底的相邻两边边长分别为x ，y ，∴由体积为33200m 可知：23200xy =∴1600xy =，设总造价为z ．又1501600120(44)z x y =⨯++ ，240000480()z x y ∴=++，∴240000480278400z ≥+⨯=，当且仅当，40x y ==时，上式成立，此时278400z =．∴将蓄水池的池底设计成边长为40米的正方形时总造价最低，最低总造价是278400元．环节四：小结提升，形成结构问题5：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：（1）你能归纳一下基本不等式的研究过程吗?（2）你对基本不等式有哪些认识?特别是，其中体现了哪些数学思想方法?（3）处理两类最值问题（积定求和的最小值，和定求积的最大值），需要注意哪些问题?【破解方法】（1）我们遵循“背景一概念一性质一应用”的研究路径，将重要不等式变形获得基本不等式，并对其正确性进行推理论证，再对其结构特点和几何意义进行探究，最后在应用中获得基本不等式模型处理问题的方法．（2）从代数角度看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的大小关系，从几何角度看，基本不等式反映了圆中直径与弦长的大小关系．在推导过程中，灵活运用分析法和综合法；在几何解释中，通过构造与发现提升直观想象素养．（3）在处理两类最值时，要注意是否符合“一正、二定、三相等”这一结构特点，以模型的意识去看待和应用基本不等式．六、【教学成果自我检测】环节五：目标检测，检验效果1．（2023·湖北鄂州·高一校联考期中）设x ∈R ，则“0x >2>”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C2>能推出0x >，故必要性成立，当0x >时，取1x =2=2>，故充分性不成立，所以“0x >2”的必要不充分条件，故选：C ．2．（2023·广西钦州·高一校考开学考试）有一块橡皮泥的体积为2，起初做成一个长，宽，高依次为a ，b ，1的长方体．现要将它的长增加1，宽增加2，做成一个新的长方体，体积保持不变，则新长方体高的最大值为（）A ．116B ．18C ．14D ．12【答案】C【解析】依题意2ab =，设新长方体高为h ，则(1)(2)2a b h ++=，得到22221(1)(2)224284h a b ab a b a b =====+++++++，当且仅当2a b =，即1,2a b ==时取等号，所以h 的最大值为14．故选：C ．3．（2023·甘肃武威·高一天祝藏族自治县第一中学校考开学考试）已知2x >，则42x x +-的最小值为（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由2x >知，20x ->，所以44222622x x x x +=-+≥=--，当且仅当422x x -=-时，即4x =时，等号成立，所以42x x +-的最小值为6．故选：A4．（2023·全国·高一专题练习）如果0a b <<，那么下列不等式正确的是（）A 2a ba b +<<<B ．2a ba b +<<C 2a ba b +<<<D ．2a ba b+<<<【答案】B【解析】由已知0a b <<2a b+<，因为0a b <<，则22a ab b <<，2a b b +<，所以a b <，2a bb +<，∴2a ba b +<<．故选：B5．（2023·天津武清·高一校考阶段练习）已知正实数a ，b 满足21a b +=，则12a b+的最小值为（）A ．92B ．9C ．D【答案】B【解析】因为121222()(2)559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当22b a a b =，即1313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，所以12a b+的最小值为9．故选：B ．6．（多选题）（2023·广东佛山·高一北滘中学校考阶段练习）下列函数的最小值为4的有（）A ．224y x x =+B ．92y x x=+-C．y =D ．()1111y x x x =++>-【答案】AD【解析】对于A，2244y x x =+≥=，当且仅当224x x =，即x =min 4y =，故A 正确；对于B ，取=1x -，则124y =-<，故B 不正确；对于C，2y =≥=1x =时，等号成立，故min y 不是4，故C 错误．对于D ，因为1x >，所以110,01x x ->>-，故有基本不等式可得()112241y x x =+-+≥+=-，当且仅当111x x =--，即2x =时等号成立，故D 正确．故选：AD【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容．环节六：布置作业，应用迁移作业1：教科书第48页习题2．2第1、2、4、5题．【设计意图】掌握集合的表示方法，巩固本节课的知识点．七、【教学反思】。
人教版高中数学必修1(2019A版)教案+反思-3
【新教材】3.1.2 函数的表示法（人教A版）课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．课程目标1、明确函数的三种表示方法；2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.数学学科素养1.数学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式；2.逻辑推理：由条件求函数解析式；3.数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算；4.数据分析：利用图像表示函数；5.数学建模：由实际问题构建合理的函数模型。
重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、 情景导入初中已经学过函数的三种表示法：列表法、图像法、解析法，那么这三种表示法定义是？优缺点是？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课阅读课本67-68页，思考并完成以下问题1.表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？2.函数的各种表示法各有什么特点？3.什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？4.怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
高中数学必修1教案的有效教学策略
高中数学必修1是高中阶段的数学基础课程，它不仅包含了初中阶段所学的数学知识，更是高中阶段数学学科的基石。
高中数学必修1教学的重要性不可忽视。
如何有效地教授这门课程？以下将探讨一些有效的教学策略。
一、前置知识回顾在进行新知识的教学之前，必须先回顾学生的前置知识。
回顾前置知识有助于激发学生的学习兴趣，帮助他们更好地理解新知识的概念和性质。
回顾前置知识还可以帮助学生找到新知识与已知知识的联系，从而更好地掌握新知识。
二、例题讲解针对每一个新的知识点，都应该有相应的例题来进行讲解。
通过举一些简单易懂的例题，讲解新知识点的概念和性质。
同时在讲解时也要结合实际例子，让学生能够对概念和性质达到深刻的理解和记忆。
除了简单的例题之外，也可以通过讲解一些难度适当的综合例题来帮助学生更好地掌握新知识。
三、巩固练习教师在讲完新知识之后还要安排作业，作业既可以是基础练习，也可以是难度适当的拓展练习。
基础练习可以帮助学生加深对概念和性质的理解和记忆，提高解题能力。
难度适当的拓展练习则可以让学生更好地掌握概念和性质在实际问题中的应用。
教师还可以引导学生进行复习，让他们主动分析所学知识点的重点，从而达到掌握知识的效果。
四、举一反三高中数学必修1的课程内容非常丰富，每个知识点都包含了很多深度的思考和应用。
在教学过程中，教师应该引导学生通过举一反三的思考方式去探求更多的问题和应用。
通过将一个已知的问题推广到其他问题上，可以引导学生针对具体的问题进行思考和探究，让他们能够更好地理解和掌握新知识。
五、引导思维高中数学必修1的教学不仅仅注重知识点的掌握，更要注重培养学生的思维能力。
在教学过程中，教师应该引导学生学习一些数学思维方法和技巧。
例如，推理、归纳、演绎等等。
通过让学生练习这些思维方法，可以提高学生的思维能力，使他们更好地理解和掌握数学知识。
六、互动交流教师在教学过程中应该秉持互动交流的理念，与学生进行积极的互动。
在课堂上，教师可以采用问答交互的方式，让学生更好地理解和掌握知识点。
高中数学人教A版《必修1》教材的教学建议
高中数学人教A版《必修1》教材的教学建议新疆维吾尔自治区启动新课程改革已经快七年时间了，作为新课程教学实践的先行者，笔者从2008年7月开始接触高中数学人教A版教材，从最初的学习培训、理解，到深入研究，再到最后使用新教材进行教学实践快七年时间了，在这段时间的教学实践中，笔者付出了许多艰辛的努力，经过许多尝试，也走了一些弯路，总结出了一些在教学中行之有效的宝贵经验，希望能对即将担任高一年级数学课教学的教师有所帮助，使他们能准确地把握课改方向，顺利进入新课程教学之中，从而有效地提高教学效果，促进学生数学综合能力的不断提高.下面就高中数学人教A版《必修1》教材谈谈自己的几点教学体会.一、做好初高中的衔接与过渡初高中的衔接问题一直是高中数学教学的一个基本而又重要的问题.处理得当，高中数学教学就会进展顺利；否则，就有可能影响整个高中数学教学.进入新课程实验以来，由于种种原因，这个问题显得更加突出.处理好初高中的衔接问题是搞好高中数学教学的第一个环节.那么，在具体的教学过程中应该注意哪些问题？1）注意初高中知识点的衔接问题初中新课程中数学知识点去掉了很多要求，如“和的立方、差的立方”公式，“立方和、立方差”公式，“韦达定理”，“十字相乘法分解因式”，“一元二次不等式的解法”等.虽然初中新课程对这些知识点不作要求，但是从高中数学教学的实践来看，学生掌握了这些知识点对学习新的知识有一定的促进作用.因此，建议教师可根据学生和教学的实际情况，做适当的补充，以有利于后期的教学.2）? 学生思维能力和运算能力的进一步强化初中新课程的内容倾向于基础性、普及性、应用性和直观性，学生的实践能力很强，但学生的数学思维能力有所欠缺，尤其是抽象思维能力较弱，这对高中数学学习的影响很大.因此，教师要逐渐培养学生的抽象思维能力.同时，由于初中大量使用计算器，学生的计算能力很弱，这与高中数学要求学生要有较强的化简、变形、推理及运算能力有一定的差距.从教学的实践来看，学生作业中出现的大量错误与计算能力较弱有很大关系.因此，建议教师可根据学生的实际情况，从高一开始就要切实提高学生的运算能力.3）? 抓住高中数学学科特点，做好顺利过渡高中数学知识量大，理论性、综合性强，知识的难度和对学生能力的要求和初中相比都有较大的提高（如“集合”、“映射”、“函数”等都比较抽象，难度大，“函数”等知识综合性较强）.学好高中数学需要学生具有较强的阅读能力、运算能力、逻辑推理能力、抽象思维能力及分析问题、解决问题的综合能力，这与初中数学知识点较少，难度较低形成较大的反差.因此教师要能够根据实际情况及时调整教学方法和教学过程，使学生能顺利进入高中并能尽快适应高中的数学学习.二、深入钻研新教材的内容及教法，对新教材的内容及新的教学理念要有整体的把握新教材在知识内容、知识体系等方面与旧教材有较大的区别.新教材删掉了旧教材的一些知识点，同时增加了许多新的内容（如《必修1》中增加了“幂函数”、“利用二分法求方程的近似解”等内容）.这些新的知识点一些教师并不是非常熟悉.因此，教师要先对教材内容进行深入的研究，教学时才能做到游刃有余.在教学过程中同一学科组的老师可以经常对教材的有关内容进行沟通与交流，互相取长补短，资源共享，共同提高教学效果.三、充分利用计算机辅助教学，提高课堂教学效果人教A版教材的每册课本都配有教学光盘，其中有许多较好的教学课件，这些课件有助于教师进行课堂教学.因此，教师在授课前要对教学光盘里的有关内容有所了解，在教学中可根据教学的实际情况，有选择的使用教学光盘，提高教学效果.四、把新教材作为一种教学资源进行教学新教材体现了课程改革的新理念和课改方向.但是，由于种种原因，新教材的有些内容还需要进行必要的修订和完善.这些内容主要涉及到课本中的一些例题及练习题.通过一年多的教学实践，笔者觉得教师在使用教材进行教学时，应当注意“使用课本进行教学”，而又不能“完全地教课本”.应当把新教材作为一种教学资源来进行教学，对课本的有些内容要做灵活的处理，尤其是对课本中的有些习题可以做适当的调整.要有选择的为教学服务，必要时可适当地给学生补充一些典型的练习题，以巩固学生所学的有关知识.五、边实践边总结，不断提高教学效果教师在教学中要不断总结教学过程中的得与失，经验与教训，把教学中的体会和感受及时地与其他教师进行交流和沟通，互相取长补短.同一备课组的教师应当定期进行研讨，及时解决教学中遇到的有关问题，不断调整教学内容和教学进度，以有利于教学效果的提高.同时，因为新教材内容多，课时少，学生对所学的知识浅尝辄止，缺少必要的应用，知识掌握不到位，容易产生遗忘现象.因此，教师在教学过程中要对有关知识进行及时地归纳总结，必要时可安排复习和测验等形式，以帮助学生及时巩固所学知识.由于与新教材相配套的参考书较少，因此教师要注意研究和编写章节复习题、测验题等有关内容，也可借鉴上一年级教师整理的教学资料.同时，要注意整理和保存这些资料，以有利于下一年级教师的教学.总之，与旧教材相比，高中数学人教A版《必修1》教材在教学理念、知识体系以及对学生的能力要求等许多方面与旧教材有很大的不同.教师在教学中如果能注意到这些不同之处，在对新教材充分理解的基础上，把握新课程改革的教育教学理念，与时俱进，科学合理地使用新教材进行教学，那么就一定能激发学生学习数学的兴趣，使学生感受到数学的巨大魅力，从而爱数学，学数学，用数学.如果这样的话，教师的教学效果将会得到不断提高，学生的学习成绩将会不断提高，学生的分析问题、解决问题的能力将不断增强，新课程的改革也必将走向成功.。
数学学科高一年级有效集体备课模式探究
数学学科高一年级有效集体备课模式探究的阶段性报告彩虹学校王春莉一．问题的提出：高中一年级的学生处于学习模式的转型期。
教师的教学方式与学生们在从小学到初中时形成的习惯相比，也发生了新的变化。
能否使学生迅速适应新的学习方式，对于师生双方来说意义重大。
要解决这个问题，以集体备课为基础的有效教学是一条行之有效的方法。
我认为，做好集体备课是新课程改革下的必不可少的一个重要环节。
集体备课作为教师合作研讨的一种有效形式，可以发挥教师团队优势，解决教学中遇到的困惑和问题，最大限度地减少教学中的不足和失误，能够真正实现有效教学。
实际上，集体备课是集体的智慧在交流，大家在一起集体讨论，集思广益，每个人都受益匪浅，促进个人更好的提高教学水平。
此外，集体备课可最大限度的挖掘集体智慧，避免随意性，发挥团队效应，有利于教学水平的整体提升。
集体备课既能给教师相互合作，取长补短，又能提供施展才能的平台，有利于整体提高教师的业务水平，更有利于青年教师的迅速成长，即缩短了年轻教师的成长周期。
二．实施的步骤：学校教学教研要依靠备课组具体实施。
备课组要统一行动，讨论交流，合作共进。
备课工作重点是对课程、教材和教法、学法的研讨。
集体备课是我校实行的一项制度。
根据实行的实际情况，有这么几步：首先是个人先备。
根据考纲，教材，考试说明，先做学情分析，教学设计。
对重点难点的突破和顺应、立体的设计和变式训练、数学思想和方法的运用、知识的广度和深度、能力的增长点、问题的呈现方式、问题解决的活动设计以及问题的迁移等问题要一并考虑。
其次是集体备课。
每人都说明自己的设计意图，然后根据三维教学目标，同组讨论，指出不足和改进的地方，要突出新旧知识的关联，实现顺应和同化，建立知识教学结构，使学生整体把握教材的知识和方法。
要充分体现集体参与，群策群力，在教研中不断提升自己。
第三是上课。
教师根据自己的班级学情实施教学过程，可作微调，但要完成教学任务。
第四是教后反思。
2019统编人教版高中数学A版必修一教学计划含教学进度表
新教材】2019 统编人教版高中数学A 版必修一教学计划（含教材分析培优补差等）XX 高级中学高一数学组XXX2019统编人教版高中数学A版必修1 教学计划高一年级学生的自主学习能力较差，问题很多。
有些学生解方程、解不等式甚至连分数的加减法都不会。
这给教学工作带来了一定的难度，要想在这个基础上把教学搞好，任务很艰巨。
所以特制定如下教学工作计划。
一、指导思想准确把握《教学大纲》和《考试大纲》的各项基本要求，立足于基础知识和基本技能的教学，注重渗透数学思想和方法。
针对学生实际，不断研究数学教学，改进教法，指导学法，奠定立足社会所需要的必备的基础知识、基本技能和基本能力，着力于培养学生的创新精神，运用数学的意识和能力，奠定他们终身学习的基础。
二、教学准备1、深入钻研新教材。
以教材为核心，深入研究教材中章节知识的内外结构，熟练把握知识的逻辑体系，细致领悟教材改革的精髓，逐步明确教材对教学形式、内容和教学目标的影响。
2、准确把握新大纲。
新大纲修改了部分内容的教学要求层次，准确把握新大纲对知识点的基本要求，防止自觉不自觉地对教材加深加宽。
同时，在整体上，要重视数学应用；重视数学思想方法的渗透。
如增加阅读材料（开阔学生的视野），以拓宽知识的广度来求得知识的深度。
3 、树立以学生为主体的教育观念。
学生的发展是课程实施的出发点和归宿，教师必须面向全体学生因材施教，以学生为主体，构建新的认识体系，营造有利于学生学习的氛围4、发挥教材的多种教学功能。
用好章头图，激发学生的学习兴趣；发挥阅读材料的功能，培养学生用数学的意识；组织好研究性课题的教学，让学生感受社会生活之所需；小结和复习是培养学生自学的好材料。
5、落实课外活动的内容。
组织和加强数学兴趣小组的活动内容。
三、教学内容第一部分：集合与常用逻辑用语1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。
2．能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。
人教版高中数学必修1(2019A版)教案+反思-2
第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（共2课时）（第1课时）本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第1课时。
从内容上看学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识及三角形相似的知识、圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导学生：从代数与几何的角度理解基本不等式。
引导学生学会观察几何图形，进行几何与代数的结合运用，培养数学结合的思想观点，发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。
1.教学重点：的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值；2.教学难点：基本不等式ab ba ≤+2等号成立条件； 多媒体2a b+≤教学过程教学设计意图 核心素养目标 （一）、情景导学如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。
弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系． 思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？ （二）、探索新知1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形A BCD 中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边 长为a,b （a ≠b ）,那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时， 正方形EFGH 缩为一个点，这时有．（通过几何画板演示当a=b 时的图像）2．得到结论（重要不等式）：一般的，对于任意实数a,b ，我们有，当且仅当a=b 时，等号成立。
3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：证明：因为，当且仅当a=b 时等号成立通过介绍第24届国际数学家大会会标 的背景，进行设问，引导学生观察分析，发现图形中蕴藏的基本不等式，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养，同时渗透数学文化，和爱国主义教育。
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人教 A版（ 2019）高中数学必修一集
体备课有效策略研究
摘要：集体备课是目前中学数学教师的一项重要教研活动，通过互相交流，
互相学习，提高全组教师的备课质量，同时有效减轻组员的备课负担，在高中数
学教学阶段得到了广泛的渗透与应用。
本文主要针对人教A版（2019）高中数学
必修一教材展开分析，探究开展集体备课的有效策略，希望能够为广大数学教师
提供有用的信息和参考。
关键词：高中数学；集体备课；有效策略；探究分析。
引言：在高中数学集体备课研究中，开展集体备课的形式有多种，本文主要
采取的是单元备课方式。
单元备课是一种立足于单元角度，全面分析教学目标，
教学内容以及教学策略的一种备课方式。
单元备课更能适应目前新新课新教材提
倡的大单元知识结构，大单元教学设计，通过单元备课，使教师从整体上更好把
握整章教学内容，能更深层次理解知识间的联系。
同时通过借助集体备课，教师
可以有效的充分发挥集体智慧，增强教师团队凝聚力，同时解决教学过程中的困惑，使得教师对于整章内容和各个小节的内容都能够融会贯通，每个教师组员都
会精心参与研讨学习，进而有效地提升备课的效率。
同时备课组的老师们也能够
利用集体备考活动，从而达到了思路还有进度的统一。
从学校角度，能够利用教
师集中备课，从而形成了一个良好的教学团队。
由此可见，集体备课对推动高中
数学教育的发展方面，有着非常关键而积极的意义。
1.
新高考、新课程标准、新教材下高中数学教师集体备课的存在问题
作为一线数学教师，经过实际的教学实践调查可知，在新高考、新课程标准、新教材下实施初始阶段，高中数学教师开展集体备课的现状不容乐观，原因主要
有以下几点。
其一，大部分教师在教育改革中缺少自我革新意识，跟不上教育改革的步伐，没有终身学习，终身备课的理念。
由于新课程教学改革的不断深入，虽然集体备
课早已深入到了各个学校的教研活动当中，可是仍然有部分老师缺乏对于集体备
课的真正认识，有些老师完全封闭自我，不讲新教材，使用的还是十多年前的讲
义上课，而有些老师则对手上资料极其保密，不愿意与组内老师分享。
其二，集中备课形式跟不上教育改革的步伐，不能充分发挥集体备课的功效。
有些学校的所谓集体备课就是组内开开会，听听课，完成学校形式任务即可，没
有对新课程标准的研究，没有对新教材的探索，也就没有教师之间的讨论互动，
没有对教学中出现问题的解决。
同时有些集体备课没有长远的规划，没有明确的
主题，导致集体备课活动上有些教师在无意义的话题上长篇大论，而有些教师则
不愿意发言，久而久之集体备课就变得乏味无趣、毫无收获。
其三，缺少专家的引领和必要的面对面的学习培训。
不管是新高考改革还是
新课程标准、新教材的落实，还是一些优秀的教育经验的普及，作为一线的教师
都应该经过专业的培训，才更能领悟其本质含义，集体备课模式也如此。
但是由
于学校财务情况或者疫情原因，很多普通学校既不能聘请优秀专家到学校讲学也
不能派送教师出去学习，而线上的学习效果则大打折扣，这些对新高考、新课程
标准、新教材下的集体备课有效落实与改进也是一个严重的阻碍。
由此可见，目前高中数学开展集体备课的现状还需进一步改善。
二、高中数学集体备课的流程设置
在高中数学教学中实施集体备课，通常以小组合作的方式开展，本课题组就
将全体教师分成了四个小组，每个小组之中有3~5名组员，每个小组负责一个单
元的内容和任务，要求所有组员在一学期里做到：精备一单元，参与所有备课。
比如：第一小组中共有3~5名成员，讲解第一单元“集合与常用逻辑用语”的内容，课时总共10课时，分为“1.1集合的概念；1.2集合间的基本关系；1.3集
合的基本运算；1.4充分条件与必要条件；1.5全称量词与存在量词；复习1”这
六个部分；重点难点也按照课表的要求设定。
第二小组中也是3~5名成员，讲解
第二单元“一元二次函数、方程和不等式”的内容，课时总数为10，分为“2.1
等式的性质与不等式的性质；2.2基本不等式；2.3二次函数与一元二次方程、
不等式；复习2”的部分，教学重难点也是按照课程标准要求所设定。
当设计完
教学内容和课时之后，然后由小组中推选出的小组长进行统筹安排，合理划分教
学任务，增强全组成员的教学责任意识。
首先在初稿设定的阶段，由小组长进行任务的分配工作，将具体任务分配到
具体教师，然后教师个人再独立的研究和编写。
当每个组员都完成任务后，经过
组间讨论，制定一个最终的初稿方案，最终再发给组长进行一个完整的汇总。
其次就是修改定稿的阶段，当初稿完成之后，小组长要将初稿以邮件的方式，发送至组内的QQ群平台中，指导全组成员一起共同交流和学习，在探讨的过程中，每个组员都可以自由地发表自己的言论和意见，各抒己见，共谋划策，通过
反馈与筛选的形式来修改定稿直至完善。
然后就是备课研讨的活动，由组内派一名代表，在全组集体备课活动之上担
任主讲，然后向大家介绍有关集体备课的相关成果和注意事项，同时还包含各个
教学资料的使用说明等等。
最后就是二次备课过程，整个小组的组员都要结合自己班级中学生学习的具
体情况还有具体需求，有针对性地对集体备课内容进行一个补充和筛选，完善备
课的知识框架，提升集体备课的价值和效率。
只有明确集体备课流程，然后按照
标准和要求执行，才是保障集体备课能够实现有效性的重要基础。
三、集体备课的注意事项
为了能够在集体备课过程中实现整体性、关联性、专题性以及实效性，教师
就必须要关注一下几个注意事项。
其一，在计算课时的过程中，各个组长要明确课时的划分，结合本小组得到
的教学任务，具体的安排教学时间，要细致到整个章节需要多少课时，每一小节
又需要多少课时？大家要做到心中有数。
其二，在备课过程中，每个组员都要安排学生的任务导读提纲，通过提纲的
方式，给学生安排一个具体的预习任务还有相对应的练习题，指导学生结合学习
任务去进行阅读和思考，实现对每节课的课前预习过程。
在预期的过程之中，激发学生的自主学习意识，优化学生的数学感悟能力。
其三，在备课过程中，每个组员都要做好教材的分析和整理工作。
教师不仅要分析教材中的知识和例题所体现的功能作用，同时还要分析每个小节的知识内容是否还需要相应的拓展和延伸，练习的题目是否还需要变式？还需要重点把握每个内容在高考中的考察情况，在归纳和整理之后，在组间进行交流与探讨。
最后，就是筛选和补充课堂教学的课件、试题资料等内容，在开展单元教学内容之前，教师要准备好早测试卷，考查学生对本节内容的了解程度，从而有助于调整教学内容和进度；在教学内容结束之后，教师还要准备单元测试卷，全面评估学生学习的情况。
除此之外，每个组员教师还要甄选出适合本班学生学习的微课视频或者其他课外资料，拓宽学生的学习渠道，为学生提供一个良好的学习平台，还能够有效丰富学生的课后学习资源，指导学生突破学习过程中的重难点内容。
总而言之，集体备课是在个人精心备课的基础之上，集全组智慧开展的一项有效的教研活动。
教师通过集体备课的研讨，可以从多个角度认识到个人在教学过程中存在的问题，比如教学观念、教学能力等等。
帮助老师站在更高的角度，突破个人教学认知的局限，注重与其他教师合作，真正促进教师专业教学能力的提升。
参考文献
[1] 罗羽.高中数学有效进行集体备课的研究[J].管理宝典,2017,(11)58-59.
[2] 温岭市城西小学课题组.第二轮集体备课操作策略研究结题报告[D].
[3] 贾金媛.中学教师集体备课的现状调查与对策研究[J].山西师范大学研
究生硕士学位论文,2014,(04).。