二次函数图象与三角形面积
二次函数图象中三角形面积计算问题_陆文娟
2012 年ຫໍສະໝຸດ 二次函数图象中三角形面积计算问题陆文娟
（ 江苏省江阴市新桥中学， 214426 ）
二次函数图象中的三角形面积计算及其 最值问题是初中数学中的重要题型之一 ． 笔 者对如何熟练且准确地求解二次函数图象中 的三角形面积， 进行了初步整理， 现供同学们 参考． 一、 三角形的一边在坐标轴上 例1 抛物线 y = 1 （ x － 4） 2 顶点为 C， 与 2
B， 求 ABC 的面积． 直线 y = x 分别交于点 A、
% y B A O C x
4） ， C（ 2 ， 0 ） 三点 ． （ 1 ） 求抛物线的解析式； （ 2 ） 若点 M 为第三象限内抛物线上一动 点， 点 M 的横坐标为 m， AMB 的面积为 S． 求
图1
解析
0） ， A（ 2 ， 2） ， B（ 8 ， 8） ． 易得 C（ 4 ，
D A M O B C x
m (1 2
2
+m －4
)
=－
1 2 m － 2 m． 2 1 1 MD（ x M － x A ） + MD（ x B － x M ） 2 2 1 MD（ x B － x A ） = － m2 － 4 m． 2 通过添加辅助线， 转化成有一边
则 S = S ADM + S BDM = 1 2 x 2 =
櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷
{
(
P3 （
x1 = y1 =
3 + 槡 17 ， 2
－7 + 槡 17 －7 － 槡 17 ； y2 = ． 2 2
17 － 7 + 槡 17 ， ∴ P2 3 + 槡 ， 2 2 17 － 7 － 槡 17 ． P3 3 － 槡 ， 2 2 综上所述， 点 P 的坐标为： P1 （ 2 ， 1） ， P2 （ 3 + 槡 17 － 7 + 槡 17 ， ）， 2 2
二次函数与三角形面积的综合
二次函数与三角形面积的综合寻找类1、重点：中考压轴题的重点在于寻找分析问题，解决问题的思路和方法。
能应对这部分题的关键需要熟练几部分知识点：（1）二次函数与一次函数，反比例函数的解析式（2）勾股定理（3）四边形（4）相似三角形和三角形全等（5）锐角三角函数（6）轴对称和中心对称（7）求交点的方法（8）知识的综合运用2、难点：寻找联系是这部分内容的一个关键所在，也是一个难点。
尤其是遇到二次函数与三角形面积的综合题的解题思路。
运用面积求坐标等等的合理运用，以及运用的重要因素在哪里？3、易错点：面积中涉及求面积的方法，坐标漏找或错找，坐标与线段长度之间的联系，坐标在不在二次函数的图像上。
这些都是在考试中容易失分的地方。
4、切入点：例如：根据已有条件求坐标，首先要想到平面直角坐标系与锐角三角函数的联系，尤其是正切的运用。
这样直观的可以求出坐标（前提必须建立直角三角形），如果不是直角三角形可以想法构建直角三角形，这是求坐标的最好方法，此方法不通的情况下可以运用勾股定理进行求解，很少运用相似求。
掌握了求解方法再做题的时候就知道如何下手了。
而次部分求面积的时候要先找到点的坐标的具体位置以及如何通过面积求坐标。
5.求面积常用的方法a.直接法b。
简单的组合c。
面积不变同底等高或等底等高的转换d.相似e.三角函数f。
找面积的最大最小值利用二次函数的性质（1）直接法若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并且通过坐标能找到对应的的高，那么三角形的面积能直接用公式算出来。
此题中的三角形的面积就能直接求出。
（2）通过简单的重新组合就能求出面积。
第6题（2009年贵州安顺市）27、（本题满分12分）如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。
（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
二次函数图象与三角形面积求解
定义和图象
定义二次函数和讨论它的图象
顶点
详细讨论函数图象的顶点
对称轴
如何从函数图象中读取对称轴信 息
开口方向
如何从函数表达式中判断函数图 象的开口方向
三角形面积的计算公式和基本知识
在这一部分，我们将介绍三角形的基本知识，包括它的面积公式。我们将解释如何从三角形的边长和高度计算 面积，并通过实例加深理解。
1
原理和方法
详细讨论如何利用二次函数求解三角形
示例一：已知三角形顶点坐标
2
的面积
提供一个实例，介绍如何从三ห้องสมุดไป่ตู้形的坐
标和二次函数求解三角形面积
3
示例二：已知二次函数表达式
提供一个实例，介绍如何从二次函数表 达式和面积公式求解三角形的坐标
应用二次函数和三角形面积求解实际问题
现在我们将介绍如何将前面的知识应用到实际问题中。我们将提供多个实例和思考题，并讨论如何将这些概念 应用到更复杂的问题中。
在这个部分，我们将回顾这个演示文稿的要点，并提供更多拓展的应用和思考题。我们希望这个演示文稿可以 帮助您加深对二次函数和三角形面积的理解，并将这些概念应用到更广泛的领域和问题中。
1 回顾重点
回顾本文所讲述的重点内 容
2 拓展应用
提供更多应用实例和思考 题
3 总结
总结本文的主要内容和贡 献，并展望未来的发展
二次函数图象与三角形面 积求解
在这个演示文稿中，我们将讨论二次函数的定义、图像特征和三角形面积的 计算公式和基本知识，以及如何利用二次函数求解三角形的面积。我们还将 提供多个实例以及思考题，以巩固和拓展这些概念。
二次函数定义和图象特点
我们将开始介绍二次函数的定义和它的图象特点。我们将讨论它的顶点、对称轴和开口方向，以及如何从函 数图象中读取这些信息。我们将提供多个实例以及思考题，以加深理解。
二次函数中三角形问题(含问题详解)
二次函数中的三角形一．与三角形面积例1：如图，已知在同一坐标系中，直线22k y kx =+-与y 轴交于点P ，抛物线k x k x y 4)1(22++-=与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点。
C 是抛物线的顶点。
（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）； （2）若点A 在点B 的左侧，且021<⋅x x 。
①当k 取何值时，直线通过点B ；②是否存在实数k ，使ABC ABP S S ∆∆=？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。
例2：已知抛物线)1(3)4(2-+---=m x m x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点， （1）求m 的取值范围；（2）若0<m ，直线1-=kx y 经过点A ，与y 轴交于点D ，且25=⋅BD AD ，求抛物线的解析式； （3）若A 点在B 点左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在一点P ，使直线P A 平分ACD ∆的面积？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
例3．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，以AB 的垂直平分线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)。
(1)写出A 、B 、C 、D 及AD 的中点E 的坐标；(2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B 、C 的抛物线的解析式； (3)求对角线BD 与上述抛物线除点B 以外的另一交点P 的坐标；(4)△PEB 的面积S △PEB 与△PBC 的面积S △PBC 具有怎样的关系？证明你的结论。
A BC DO E x y(第25题图)例4.如图1，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于AB ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．二．与三角形形状例5. 如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．图2图1例 6.如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2y x =的图象记为抛物线1l ．（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A B ，两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式．（3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABK ABC S S =△△，求点K 的坐标．（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ，使ABP △为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．x 图①x 图②x 图③例7. 已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点． （1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值； （3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．例8.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． (1)求点B 的坐标；(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方， 那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．(注意：本题中的结果均保留根号)(第25题图)三．二次函数与三角形相似 例9：已知一次函数1243--=x y 的图象分别交x 轴、y 轴于A 、C 两点， （1）求出A 、C 两点的坐标；（2）在x 轴上找出点B ，使ACB ∆∽AOC ∆，若抛物线过A 、B 、C 三点，求出此抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，设动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，以相同速度沿AC 、BA 向C 、A 运动，连结PQ ，使m AP =，是否存在m 的值，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由。
初中数学二次函数中三角形面积问题解析
∙∙∙∙初中数学二次函数中三角形面积问题解析一、命题意图二次函数中三角形面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题,题型常考常新,体现了数形结合、化归转化、分类讨论数学思想等。
如果将三角形这一平面图形问题与二次函数相结合，就需要学生以逻辑思维和空间思维相结合的方式进行学习，以培养学生逻辑思维与空间思维能力相结合的基本数学思想，让学生学会自主思考问题的过程。
二、考点及对应的考纲要求初中数学课程教学中关于三角形面积问题的讨论一直是教学重点,这其中牵涉了二次函数与几何问题的融合,是初中数学课程中的一个难点。
求面积常用的方法：（1）直接法，若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并且通过坐标能找到对应的高，那么三角形的面积能直接用公式算出来。
（2）简单的组合，解决问题的途径常需要进行图形割补、等积变形等图形变换。
（3）面积不变同底等高或等底等高的转换，利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化。
（4）如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”. 可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
三、试题讲解过程如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2C （0，－4）三点.（1）求该抛物线的解析式； （2）若点D 是该抛物线上一动点，且在第四象限，当∆面积最大时，求点D 的坐标.解:（1）解法一: 由题意得，c=－4, ∴⎩⎨⎧=-+=--0441604b a b a ,解得：⎩⎨⎧-==31b a , ∴=x y 解法二: 由题意得，设y=a （x+1）（x-4）, ∴∴y=（x+1）（x-4）, ∴432--=x x y ,（2）解法一:由（1）可知，y=x 2－3x －4,设点D 为（x, x 2－3x －4）,过点D 作DE ∥OC 交BC 设直线BC 的解析式为y=kx ＋b,则∙∙∙⎩⎨⎧=+-=044b k b ，∴⎩⎨⎧-==41b k ，∴y=x －4, ∴E （x, x －4）∴DE=（x －4）－（x 2－3x －4）= －x 2＋4x,∵a=－1＜0, ∴当x=2时, DE 取最大值，S △BCD 解法二：由（1）可知，y=x 2－3x －4, 设点D 为（x,y ）,过点D 作DF ⊥OB 于点F,S △BCD =S 梯形OCDF ＋S △BDF －S △OBC=21x （4-y ）＋21（-y ）（4-x ）－8 =2x －2y －8=2x －2（x 2－3x －4）－8=－2x 2＋8x,∵a=－2＜0, ∴当x=2时, S △BCD 取最大值，∴D （2,－6解法三:由（1）可知，y=x 2－3x －4, 过点D 作DE ∥设直线BC 的解析式为y=kx ＋b, 则⎩⎨⎧=+-=044b k b ，∴⎩⎨⎧-==41b k ，∴y=x －4,∴设直线DE 的解析式为y=x ＋d,则x 2－3x －4=x ＋d, x 2∴当△=（-4）2-4（-4-d ）=0, d=-8, S △BCD 取最大值， ∴x 2－4x ＋4=0, ∴（x-2）2=0, ∴x 1=x 2=2, ∴D （2,－6）. 四、试题的拓展延伸及变式分析如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2C （0，3）三点.（1）若点D 是抛物线的对称轴上一点，当ACD ∆求点D 的坐标；（2）在（1）的情况下，抛物线上是否存在除点A 得PCD ∆ 的面积与ACD ∆P 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）∵抛物线c bx ax y ++=2经过A （1，0），B （3∴抛物线的对称轴l 是x=231+=2， ∵△ACD 的周长=AD+AC+CD, AC 是定值， ∴当AD+CD 最小时，△ACD 的周长最小，∵点A 、点B 关于对称轴l 对称，∴连接BC 交l 于点D ，即点D 为所求的点, 设直线BC 的解析式为n kx y +=，∴ ⎩⎨⎧=+=033n k n ，∴⎩⎨⎧=-=31n k ,∴直线BC 的解析式为3+-=x y ，∙∙当x=2时，y=-x+3=-2+3=1，∴点D 的坐标是（2，1）.（2）解：由（1）可知，∵抛物线c bx ax y ++=2经过A （1，0），B （3，0），C （0，3）三点，∴c=3, ∴⎩⎨⎧=++=++033903b a b a ,解得：⎩⎨⎧-==41b a ,∴342+-=x x y ,解法一：如图，①过点A 作AP 1∥CD 交抛物线于点P 1，∴设直线AP 1的解析式为d x y +-=， ∴∴d=1,∴直线AP 1的解析式为1+-=x y ， 解方程1+-x =342+-x x ，（x-1）（x-2）∴x 1=1, x 2=2,当x 1=1时，11+-=x y =0当x 2=2时，12+-=x y =-1，∴点P 1②设直线AP 1交y 轴于点E （0，1）把直线BC 向上平移2个单位交抛物线于P 2得直线P 2P 3的解析式为5+-=x y ，解方程5+-x =342+-x x ， x 2－3x －2=0,∴x 3=2173+, x 4=2173-, 当x 3=2173+时，53+-=x y =2177-， 当x 4=2173-时，54+-=x y =2177+， ∴点P 2的坐标是（2173+，2177-）,点P 3的坐标是（2173-，2177+）, 综上所述, 抛物线上存在点P 1（2，-1）,P 2（2173+，2177-）, P 3（2173-，2177+）, 使得△PCD 的面积与△ACD 的面积相等. 解法二：如图,过A 点作AE∥y 轴，交BC 于点E ．则E 点的纵坐标为231=+-．∴ AE＝2． 设点P 为（n ，342+-n n ），过P 点作PF∥y 轴，交BC 于点F ，则点F 为（n ，n -3），PF∥AE． 若PF ＝AE ，则△PCD 与△ACD 的面积相等．∙∙①若P 点在直线BC 的下方，则PF ＝（n -3）-（342+-n n ）=n 2-∴n n 32+-=2．解得21=n ，12=n ．当2=n 时，3-n-2∴P 1点坐标为（2，-1）． 同理 当1=n 时，P 点坐标为（1，0）（不合题意，舍去）．②若P 点在直线BC 的上方，则PF=（342+-n n ）-（n -3）=n n 32-∴232=-n n ．解得21733+=n ，4=n 当21733+=n 时，P 点的纵坐标为2177221733-=++-； 当21734-=n 时，P 点的纵坐标为2177221733+=+--． ∴点P 2的坐标是（2173+，2177-）,点P 3的坐标是（2173-，2177+）, 综上所述, 抛物线上存在点P 1（2，-1）,P 2（2173+，2177-）, P 3（2173-，2177+）, 使得△PCD 的面积与△ACD 的面积相等. 在以上问题的分析中研究思路为：（1）分析图形的成因；（2）识别图形的形状；（3）找出图形的计算方法。
二次函数中的三角形面积问题
探究
例1. 如图，抛物线 y = - x2 - 2x +3
与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)， 与y轴交于点C，若点E为第二象限 抛物线上一动点，连接BE、CE， 求四边形BOCE面积的最大值，并 求此时E点的坐标． （至少用2种方法）
中考链接
【中考链接1】
如图，已知二次函数
的图象与直
线 AC 相交于A ，C 两点，与 x 轴的另一个交点为 B ,
（2）连结 AC ，点 P 是位于线段 BC 上方的抛物线上一动
点，若直线 PC 将 △ABC 的面积分成 1 : 3 两部分，求
此时点 P 的坐标．
二次函数中的三角形面积问题
A
A
HB A
C
DB
C B
C
A
C D B
思想：化难为易、化斜为直 方法：公式法、割补法、铅垂法 、切线法
边在坐标轴上， 取三角形的底边
时，一般以坐标
轴上线段或以与 坐标轴平行的线 段为底边
底边
三边
数坐在标形 结均在不坐合
轴上 标轴上
三边均不在坐标 轴上的三角形采 用割或补的方法 把它转化成易于 求出面积的图形
抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴的交点为 E，连接
BC．其中A(-3,0),B(1,0)
（1）求直线 AC 的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点 M（不与C重合），使
S△ACM = S△ABC ？ 若存在，求出点 M 的坐标；若不存
在，请说明理由．
探究
例2. 如图，已知抛物线 y = - x2 - 2x +3过点 O
ι 的直线 将
分成△面AB积C为
1 : 2的两部分，求该直线与抛物线的交
二次函数与三角形面积(周长最小与面积最大问题2)
1．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 经过点A （1，0），C （0，3），且对称轴为直线x=﹣1．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使△PAB 得面积为10，请写出所有点P 的坐标．2、（2016秋·新泰市月考）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=212x -+bx+c 经过点A （-2,0），C （4,0）两点，和y 轴相交于点B ，连接AB ，BC.（1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC 上方的抛物线上，找一点D ，使S △BCD ：S △ABC =1:4，并求出此时点D 的坐标.3、（永州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为（-1，0）、（0点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线x=1，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P 的横坐标为m ，用含m 的代数式表示线段PF 的长；（3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标．4．（2012•广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2011•茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．6．（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点A、C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．7．（2009•江津区）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．8、如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0,4），B（1,0），C（5,0）,对称轴与x轴相交于点M.（1）求抛物线的解析式和对称轴.（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，求出点N坐标；若不存在，请说明理由.9、（广安）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的侧），平行于y轴的直线x=m（0＜m）与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）；（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．10、（2017春·新泰市校级月考）如图所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，-3）.（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.11、（2016泰安）28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点E 、B ．（1）求二次函数y=ax 2+bx+c 的表达式；（2）过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD 平行与y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；12、已知：抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． 其中点A 在x轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA 、OC 的长（OA<OC ）是方程2540x x -+=的两个根，且抛物线的对称轴是直线1x =．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连结CD ，设BD 的长为m ，△CDE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数与三角形面积问题
二次函数与三角形面积问题二次函数与三角形面积问题的关系是通过求解二次函数图像与x轴交点来得到三角形的面积。
具体而言，如果给定二次函数的表达式，我们可以求解方程f(x) = 0的解，这些解就是二次函数图像与x轴交点的横坐标。
通过这些横坐标，我们可以确定三角形的底边的长度。
同时，我们可以求解二次函数的最值来确定三角形的高，进而计算出三角形的面积。
首先，让我们来回顾一下二次函数的定义和性质。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数且a不等于零。
二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向由a的正负号决定，当a 大于零时开口向上，当a小于零时开口向下。
二次函数的顶点是抛物线的最值点，当a大于零时顶点是最小值点，当a小于零时顶点是最大值点。
现在，让我们将二次函数与三角形面积问题联系起来。
假设我们有一个给定的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望求解该二次函数图像与x轴交点的横坐标，并计算出通过这些交点确定的三角形的面积。
首先，我们需要求解方程f(x) = 0，也就是求解ax^2 + bx + c = 0。
这可以通过使用求根公式来进行计算。
根据求根公式，对于一个二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
根据这个公式，我们可以求解出具体的x值。
假设我们求解得到了两个根，x1和x2。
接下来，我们可以通过计算这两个根之间的距离来确定三角形的底边的长度。
根据数学知识，我们知道两个点(x1, 0)和(x2, 0)之间的距离等于|x2 - x1|。
因此，通过计算|x2 - x1|，我们可以得到底边的长度。
接下来，我们需要确定三角形的高。
为了做到这一点，我们需要找到二次函数的顶点。
二次函数的顶点的横坐标可以通过使用公式x = -b / (2a)来计算。
通过计算出的顶点横坐标，我们可以计算出顶点在x轴上的纵坐标。
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y
4
(0,3) C
3 2
H (m,－m2+2m+3) y=－x2+2x+3 (m,-m+3) M
2
1
(-1,0)
A O
B
(3,0)
x
3 = HM 2
27 ΔBCH面积的最大值为 8
y=－x+3
巩固练习
已知二次函数 y=x2-4x-5与x轴交于A（-1,0）、 B(5,0)两点，与y轴交于点C(0,-5). 点D(2,-9)是抛物线的顶点。 y
.P
B)、P2 (6,7)
C
(0,-5)
.
D (2,-9)
巩固练习
已知二次函数 y=x2-4x-5与x轴交于A（-1,0）、 B(5,0)两点，与y轴交于点C(0,-5). 点D(2,-9)是抛物线的顶点。
（4）在抛物线上（除点C外） .N2 是否存在动点 N，使得 1 A S NAB= S △ ABD S△ = S △ NAB= S △ ABD △NAB2 △ABC， O (-1,0) 若存在，求出点N的坐标， C 若不存在，请说明理由。 (0,-5)
4
P
(0,3) C
3 2
y=－x2+2x+3
1 PM h1 h 2 2 3 1 PM OB PM 2 2
M
1
(-1,0)
A O
2
B
(3,0)
x
探究 （3）H为直线BC 上方在抛物线上的 动点(设点H的横坐 标为m)，求 △BCH面积的最大 值
S BCH 1 HM OB 2
P
y=－x2+2x+3
h1
G M
1 PM h1 h 2 2 3 1 PM OB PM 2 2
1
(-1,0)
F
A O h1
2 h 2
B
(3,0)
x
3 （2）S△ PBC=_______
y
(1,4)
S△PBC=S△PCM+S△PBM
1 1 PM h1 PM h 2 2 2
1.如何求抛物线 y ax bx ca 0
2
与两坐标轴的交点？
令x=0，得y=c,
2
所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）
令y=0，得 ax bx c 0 ，
2 b 当 4ac 0 时，抛物线与x轴的有两个交点 2 b 当 4ac 0时，抛物线与x轴的有一个交点 2 b 当 4ac 0时，抛物线与x轴没有交点
A x1
B o x2 x
4、怎样求图中三角形的面积
y
P
A
O
B
x
D
图二
水平宽 铅锤高 S 2
y
A
O
B
x
图三
水平宽 铅锤高 S 2
y
M
y C
C
y
E D
D
N
B
O
x
O A
x
O
E
x
图四
图五
水平宽 铅锤高 S 2
图六
例1:已知抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A,B
两点，其中A点位于B点的左侧，与y轴交于C 点，顶点为P. y
O
N
B
(5,0)
x
125 △BCM面积的最大值 为 8 5 35 M（ ， - ） 2 4
C
(0,-5)
.M
.
D (2,-9)
巩固练习
已知二次函数 y=x2-4x-5与x轴交于A（-1,0）、 B(5,0)两点，与y轴交于点C(0,-5). 点D(2,-9)是抛物线的顶点。 y （3）在BC上方抛物线上是否存 在一点P，使得S△PBC=6，若存在， A 求出点P的坐标，若不存在，说明 (-1,0) 理由。
(1,4) （1）求出点A、B、C、P的坐标 (0,3) C
4 3
P
（2） S△ PBC=_______
2 1
(-1,0)
A O
2
B
(3,0)
x
3 （2）S△ PBC=_______ E (0,3) C
4 3 2
y
(1,4)
S△PBC=S△PCM+S△PBM
1 1 PM h1 PM h 2 2 2
y
.N
B
(5,0)
3
x
. N1
.
D (2,-9)
A
(-1,0)
B O
(5,0)
x
（1）求△BCD的面积
C
(0,-5)
SΔBCD = 15
.
D (2,-9)
巩固练习
已知二次函数 y=x2-4x-5与x轴交于A（-1,0）、 B(5,0)两点，与y轴交于点C(0,-5). 点D(2,-9)是抛物线的顶点。 y （2）设M（a，b）（其中0<a<5） 是抛物线上的一个动点，试求 A (-1,0) △BCM面积的最大值， 及此时点M的坐标。
2、怎样求平面直角坐标系内一 点到x轴、y轴的距离？
y， 设平面直角坐标系内任一点P的坐标为（x y），则： P（m，n） 点P到x轴的距离=│y│ • 点P到y轴的距离=│x│ o
x
3、怎样求抛物线与x轴的两个交点的距离？
y
设抛物线与x轴的两个 交点坐标为A(x1，0)， B(X2，0)， 则： AB=│x1-x2│ =│x2-x1│