第十章 强度理论
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强度理论
第十章 强度理论
工程力学系
其次确定主应力： 其次确定主应力：
第十章 强度理论
σmax =
σ x +σ y
2
1 + 2
(σ
−σ y ) + 4 xy = 29.28MPa τ2 x
2
σmin =
σ x +σ y
2
1 − 2
(σ
2 −σ y ) + 4τ xy = 3.72MPa x 2
∴σ1＝29.28MPa,σ2＝3.72MPa, σ3＝0
工程力学系
实例:
第十章 强度理论
碳钢在单向拉伸下以屈服的形式失效，但 碳钢制成的螺栓，螺纹根部因应力集中引起三 向拉伸就会出现断裂。 铸铁单向受拉时以断裂的形式失效，但淬 火钢球压在厚铸铁板上，接触点附近的材料处 于三向受压状态，随着压力的增大，铸铁板会 出现明显的凹坑，这表明已出现屈服现象。
工程力学系
第十章 强度理论
σ2 σ1 σ3
工程力学系
(4)强度理论的概念 (4)强度理论的概念
第十章 强度理论
强度理论：为了建立复杂应力状态下的强度条件， 强度理论：为了建立复杂应力状态下的强度条件， 而提出的关于材料破坏原因的种种假说假设。 而提出的关于材料破坏原因的种种假说假设。 这类假说认为:材料之所以按某种方式(断裂或屈 这类假说认为: 服)失效，是应力、应变或变形能等因素中某一 因素引起的。 各种强度理论都认为：无论是何种形式的应力状 各种强度理论都认为： 态，引起失效的因素是相同的。也就是说，造成 引起失效的因素是相同的。也就是说， 材料失效的原因与应力状态无关。 材料失效的原因与应力状态无关。由此便可用拉 伸试验（单向应力状态）的结果，建立复杂应力 伸试验（单向应力状态）的结果， 状态下的强度条件。 状态下的强度条件。
第二篇第六章（第十章）应力状态与强度理论
第⼆篇第六章（第⼗章）应⼒状态与强度理论第⼗章应⼒状态与强度理论第⼀节概述前述讨论了构件横截⾯上的最⼤应⼒与材料的试验许⽤应⼒相⽐较⽽建⽴了只有正应⼒或只有剪应⼒作⽤时的强度条件。
但对于分析进⼀步的强度问题是远远不够的。
实际上，不但横截⾯上各点的应⼒⼤⼩⼀般不同，即使同⼀点在不同⽅向的截⾯上，应⼒也是不同的。
例.直杆轴向拉伸(压缩时)斜截⾯上的应⼒.上例说明构件在复杂受⼒情况下，最⼤应⼒并不都在横截⾯上，从⽽需要分析⼀点的应⼒状态。
⼀、⼀点的应⼒状态凡提到“应⼒”，必须指明作⽤在哪⼀点，哪个（⽅向）截⾯上。
因为不但受⼒构件内同⼀截⾯上不同点的应⼒⼀般是不同的。
即使通过同⼀点不同（⽅向）截⾯上应⼒也是不同的。
⼀点处的应⼒状态就是指通过⼀点不同截⾯上的应⼒情况的总和。
或者说我们把过构件内某点所有⽅位截⾯上应⼒情况的总体称为⼀点的应⼒状态。
下图为通过轴向拉伸构件内某点不同（⽅向）截⾯上的应⼒情况。
⽽本章就是要研究这些不同⽅位截⾯上应⼒随截⾯⽅向的变化规律。
并以此为基础建⽴复杂受⼒(既有正应⼒，⼜有剪应⼒)时的强度条件。
⼆、⼀点应⼒状态的描述1、微元法：在⼀般情况下，总是围绕所考察的点作⼀个三对⾯互相垂直的微正六⾯体，当各边边长充分⼩并趋于零时，六⾯体便趋于宏观上的“点”，这种六⾯体称为“微单元体”，简称“微元”。
当微元三对⾯上的应⼒已知时，就可以应⽤截⾯法和平衡条件，求得过该点任意⽅位⾯上的应⼒。
因此，通过微元及其三对互相垂直的⾯上的应⼒情况，可以描述⼀点的应⼒状态。
上图为轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体。
根据材料的连续均匀假设以及整体平衡则局部平衡即微元体也平衡的原则，微元体（代表⼀个材料点）各微⾯上应⼒特点如下：（1）各微⾯上应⼒均匀分布；（2）相互平⾏的两个侧⾯上应⼒⼤⼩相等、⽅向相反；（3）互相垂直的两个侧⾯上剪应⼒服从剪切互等定律。
（在相互垂直的两个平⾯上，剪应⼒必然成对存在，且⼤⼩相等，两者都垂直于两个平⾯的交线，⽅向则共同指向或共同背离这⼀交线。
《材料力学》第十章 强度理论
材料力学
第十章 强度理论
Theory of Strength
§10-1 强度理论的概念
The Conception of Theory of Strength
材料力学所研究的最基本问题之一——构件的强度问题。
由§1-1我们知道:构件的强度是指构件承受荷载的能力或构件抵抗
破坏的能力。在前面各章中,我们得到:
圆簇的包络线(Envelope of the family of limiting stress circles)。
简化的莫尔包络线由简单拉伸极限 应力圆和简单压缩极限应力圆的公切线, 以及简单拉伸极限应力圆的切点间轴正 向侧部分曲线构成。
§10-3 莫尔强度理论及其相当应力
Mohr’s strength theory and its equivalent stresses
P
s
P A
4 50 103
0.12 106
6.37MPa
AA s t
t
T Wn
16 7 106
0.13 109
35.65MPa
s s
1 3
6.37 2
(6.37)2 35.652 38.98 MPa
2
32.61
s1 39.0MPa,s 2 0,s 3 32.6MPa
(2)最大伸长线应变理论(The maximum tension strain theory)
认为:最大伸长线应变是使材料发生断裂破坏的主要因素
破坏条件:
e1=ejx
强度条件: бr2=б1-μ(б2+б3)≤[б]---(10-2)
((10-2)式是由虎克定律得出的,因为:e1=[б1-μ(б2+б3)]/E；单向
第十章 强度理论
Theory of Strength
§10-1 强度理论的概念
The Conception of Theory of Strength
材料力学所研究的最基本问题之一——构件的强度问题。
由§1-1我们知道:构件的强度是指构件承受荷载的能力或构件抵抗
破坏的能力。在前面各章中,我们得到:
圆簇的包络线(Envelope of the family of limiting stress circles)。
简化的莫尔包络线由简单拉伸极限 应力圆和简单压缩极限应力圆的公切线, 以及简单拉伸极限应力圆的切点间轴正 向侧部分曲线构成。
§10-3 莫尔强度理论及其相当应力
Mohr’s strength theory and its equivalent stresses
P
s
P A
4 50 103
0.12 106
6.37MPa
AA s t
t
T Wn
16 7 106
0.13 109
35.65MPa
s s
1 3
6.37 2
(6.37)2 35.652 38.98 MPa
2
32.61
s1 39.0MPa,s 2 0,s 3 32.6MPa
(2)最大伸长线应变理论(The maximum tension strain theory)
认为:最大伸长线应变是使材料发生断裂破坏的主要因素
破坏条件:
e1=ejx
强度条件: бr2=б1-μ(б2+б3)≤[б]---(10-2)
((10-2)式是由虎克定律得出的,因为:e1=[б1-μ(б2+б3)]/E；单向
10-强度理论
[
]
对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果， 对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果， 在工程中得到了广泛应用。 在工程中得到了广泛应用。
适用范围： 适用范围： 塑性屈服
它既突出了最大主剪应力对塑性屈服的作用， 它既突出了最大主剪应力对塑性屈服的作用，又适当考虑 了其它两个主剪应力的影响； 了其它两个主剪应力的影响； 它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好； 它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好； 载荷较为稳定的土建行业，较多地采用第四强度理论。 载荷较为稳定的土建行业，较多地采用第四强度理论。 的土建行业 此准则也称为米泽斯（ 屈服准则； 此准则也称为米泽斯（Mises ）屈服准则；
强度理论的统一表达式： 强度理论的统一表达式： 相当应力
σr ≤ [σ ]
σ r ,1 = σ1 ≤ [σ ]
σ r,2 = σ1 − µ(σ 2 +σ 3 ) ≤ [σ ]
σ r,3 = σ1 −σ3 ≤ [σ ]
无论材料处于什么应力状态, 无论材料处于什么应力状态,只要发生同一种破坏形 式,都是由于同一种因素引起。 都是由于同一种因素引起。
是否强度就没有问题了？ 是否强度就没有问题了？
强度理论： 强度理论： 人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概 人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、 提出了种种关于破坏原因的假说， 括，提出了种种关于破坏原因的假说， 找出引起破坏的主要因素， 找出引起破坏的主要因素， 经过实践检验，不断完善， 经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符 合，上升为理论。 上升为理论。 为了建立复杂应力状态下的强度条件， 为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。
第十章 应力状态,强度理论与组合变形1
2 2
s
2 3
2(s1s 2
s 2s 3
s 3s1 )]
(10 11)
用主应力表示的体积改变比能为：
uV
= 1 2
6E
(s1 s 2
s 3 )2
用主应力表示的形状改变比能为：
usd
=
u
uv
=
1
6E
s 1
s2 2
s 2
s3
2
s 3
s
1
2
(10-13)
14
强度理论
问题：
复杂应力状态下 的强度？
屈服判据 s1-s3= sys Tresca条件, 1864, 法
实验验证： 很好地预测了塑性材料屈服。
设计：
强度条件： s1-s3[s]=sys/n
19
10.2.2 延性材料的屈服强度理论
四、形状改变比能理论（第四强度理论）
？ ？ 思考： Tresca条件与s2无关
滑移改变形状 能量
假说： 延性材料屈服取决于其形状改变比能 ud。
1 2
(s 1 s 2 )2 (s 2 s 3 )2 (s 3 s 1 )2 [s ] = s ys / n
21
强度理论汇总：
强度条件的一般形式： 工作应力许用应力
相当应力
破 s1 理论 坏
e1 理论
sr [s]
sr1 = s1 常用
脆性破坏 [s]=sb/n 塑性屈服 [s]=sys /n
5
注意到txy=tyx，解得：
sa=sxcos2a+s ysin2a-2t xy sinacosa t a=(s x-s y)sinacosa+txy(cos2a -sin2a)
强度理论
第10章强度理论10.1 强度理论的概念构件的强度问题是材料力学所研究的最基本问题之一。
通常认为当构件承受的载荷达到一定大小时，其材料就会在应力状态最危险的一点处首先发生破坏。
故为了保证构件能正常地工作，必须找出材料进入危险状态的原因，并根据一定的强度条件设计或校核构件的截面尺寸。
各种材料因强度不足而引起的失效现象是不同的。
如以普通碳钢为代表的塑性材料，以发生屈服现象、出现塑性变形为失效的标志。
对以铸铁为代表的脆性材料，失效现象则是突然断裂。
在单向受力情况下，出现塑性变形时的屈服点σ和发生断裂时s的强度极限σ可由实验测定。
sσ和bσ统称为失效应力，以安全系数除失效应力得到b许用应力[]σ，于是建立强度条件[]σσ≤可见，在单向应力状态下，强度条件都是以实验为基础的。
实际构件危险点的应力状态往往不是单向的。
实现复杂应力状态下的实验，要比单向拉伸或压缩困难得多。
常用的方法是把材料加工成薄壁圆筒(图10-1)，在内压p 作用下，筒壁为二向应力状态。
如再配以轴向拉力F，可使两个主应力之比等于各种预定的数值。
这种薄壁筒试验除作用内压和轴力外，有时还在两端作用扭矩，这样还可得到更普遍的情况。
此外，还有一些实现复杂应力状态的其他实验方法。
尽管如此，要完全复现实际中遇到的各种复杂应力状态并不容易。
况且复杂应力状态中应力组合的方式和比值又有各种可能。
如果象单向拉伸一样，靠实验来确定失效状态，建立强度条件，则必须对各式各样的应力状态一一进行试验，确定失效应力，然后建立强度条件。
由于技术上的困难和工作的繁重，往往是难以实现的。
解决这类问题，经常是依据部分实验结果，经过推理，提出一些假说，推测材料失效的原因，从而建立强度条件。
图10－1经过分析和归纳发现，尽管失效现象比较复杂，强度不足引起的失效现象主要还是屈服和断裂两种类型。
同时，衡量受力和变形程度的量又有应力、应变和变形能等。
人们在长期的生产活动中，综合分析材料的失效现象和资料，对强度失效提出各种假说。
10、强度理论
1 2 2 1 4 2 2 1 2 2 3 4 2 2
2＝0
r 3 1 3 2 4 2
r4
1 2 2 2 2 2 （ 1 2） 2 3 3 1 ] 3 [ 2
关。
构件由于强度不足将引发两种失效形式 (1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂， 断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上， 如铸铁受拉、扭，低温脆断等。
关于断裂的强度理论： 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论
(2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性 变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面 上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。 关于屈服的强度理论： 最大切应力理论和最大畸变能密度理论
第十章 强度理论
§10-1 概述
一、强度理论的概念
1.引言
正应力强度条件
切应力强度条件
FN max 轴向拉压 σmax [σ ] A M max 弯曲 σmax [σ ] Wz FS [ ] 剪切 A Tmax 扭转 max [ ] Wt * FS max S z max 弯曲 max [ ] I zb
。1924年德国的亨
1. 最大拉应力理论（第一强度理论）
最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。
即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大拉应力达 到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。
1－构件危险点的最大拉应力 0 －极限拉应力，由单拉实验测得
1
0
b
0
1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 断裂条件 强度条件
脆性破坏,故选用第一或第二强度理论;
（4）在二向和三向等压应力状态时,无论是塑性还是脆性材 料都发生塑性破坏,故选用第三或第四强度理论.
10强度理论
材料力学
复杂应力状态强度问题/常用的强度理论 复杂应力状态强度问题/常用的强度理论
σr1 =σ1 ≤ [σ]
σr2 =σ1 − µ(σ2 +σ3) ≤[σ]
材料力学
复杂应力状态强度问题/ 复杂应力状态强度问题/强度理论的概念
无论材料处于什么应力状态, 无论材料处于什么应力状态,只要发生同一种破坏形 式,都是由于同一种因素引起。 都是由于同一种因素引起。
材料力学
复杂应力状态强度问题/ 复杂应力状态强度问题/强度理论的概念
强度理论：为了建立复杂应力状态下的强度条件， 强度理论：为了建立复杂应力状态下的强度条件， 而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。 而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。
即 不论是处于什么应力状态，相同的破坏形式由相同的 不论是处于什么应力状态， 失效原因， 失效原因，利用拉伸试验的结果建立复杂应力状态下 的强度条件。 的强度条件。
m ax
= 0)
1、未考虑 σ2 的影响，试验证实最大影响达 、 的影响，试验证实最大影响达15%。 。 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象， 、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象， 3、不适用于脆性材料的破坏。 、不适用于脆性材料的破坏。
材料力学
复杂应力状态强度问题/常用的强度理论 复杂应力状态强度问题/常用的强度理论
材料力学
复杂应力状态强度问题/常用的强度理论 复杂应力状态强度问题/常用的强度理论
—最大拉应变理论（第二强度理论） 最大拉应变理论（第二强度理论） 最大拉应变理论
(Maximum Tensile-Strain Criterion) 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂 无论材料处于什么应力状态 只要发生脆性断裂, 只要发生脆性断裂 都是由于微元内的最大拉应变（线变形） 都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单 拉伸时的破坏伸长应变数值。 拉伸时的破坏伸长应变数值。
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比较两者的危险程度。
(a)
(b)
(a)
(b)
状态 (a ) 为平面应力状态
2 ( ) ()2 3 2 2
1
2 0
r4
2
3
2
(a)
(b)
状态 (b)为空间应力状态 y= 为主应力之一
另两个主应力为：
包括：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论
第 二类强度理论——以出现屈服现象作为破坏的标志
包括：最大剪应力理论和形状改变比能理论
第 一类强度理论
一、 最大拉应力理论（第一强度理论）
根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料
就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏。
基本假说：最大拉应力 1 是引起材料脆断破坏的因素。
塑性材料在纯剪切应力状态 下的 纯剪切应力状态下:
1 = , 2 = 0 , 3 = –
1 = , 2 = 0 , 3 = –
1 [( 0)2 (0 )2 ( )2 3 2
3
[]为材料在单轴拉伸是的许用拉应力。
沿最大剪应力所在截面滑移而发生屈服失效。
基本假说： 最大剪应力 max 是引起材料屈服的因素。
屈服条件（屈服判据）：
max u
s 2
在复杂应力状态下一点处的最大剪应力为
1
max (1 3)
2
1 3 s
强度条件为
1 3
四、 形状改变比能理论（第四强度理论）
材料在纯剪切应力状态下的许用剪应力为
0.577
3
例题 ：对于图示各单元体，试分别按第三强度理论及第 四强度理论求相当应力。
120 MPa
解： 对于图 (a) 所示的单元体。
120 MPa
1 0
2 3 120MPa
(a)
r 3 1 3 0 (120) 120MPa
3 x 2 ( x ) 2 x 2
2
代入第三和第四强度条件
r 3
4 [ ]
2 x 2 x
y
3 x
r 4
3 [ ]
2 x 2 x
x 1
0
三，强度理论的一个应用
根据强度理论 , 可以从材料在单轴拉伸时的 可推知低 C 钢类
3 = –140MPa
(C)
r 3 220MPa
r 4 195MPa
对图d 所示的单元体 解：0 主应力之一
50MPa
70MPa
由 x =70 ， y = 30 ，x = – 40 求另两个主应力
(d)
x =70 ， y = 30 ，x = – 40
相当应力
(τ 12 τ 23)
(τ 12 τ 23)
1 rT 1 (2 3) 2 1 rT (1 2) 3 2
(12 23) (12 23)
R . J . Asaro 和 J . R . Rice 曾指出，在晶体的主滑移面 ms
上除了剪应力 ms 会影响剪切变形外，另外两个与主滑移面 ms 垂直且相互垂直的平面上的剪应力 mx 和 sx 也将促进主 滑移面 产生剪切变形，并给出本构关系式 ：
140 MPa
110 MPa
(b)
r 3 1 3 140MPa
r4
1 2
2 2 1402 128MPa 30 110
对于图 c 所示的单元体
1 = 8 0MPa
140 MPa
70 MPa 80 MPa
2 = –70MPa
max min
设 ，则
(a)
(b)
1
2
2 2
3
3
r4
两种情况下的危险程度相等。
例题 ：两端简支的工字钢梁承受载荷如图 (a) 所示。 已知其材料 Q235 钢的许用为 = 170MPa , = 100MPa。 试按强度条件选择工字钢的号码。
200KN
200KN
A C
0.42 1.66
2.50
B D
0.42
200KN
200KN
解：作钢梁的内力图。 C , D 为危险截面 (1) 按正应力强度条件选择截面 取 C 截面计算 Q C左 = Qmax = 200kN MC = Mmax = 84kN.m
M图
200kN
A C
0.42 1.66
形式 ,进行分析,提出破坏原因的假说,在这些假说的
基础上,可利用材料在单轴应力状态时的试验结果 ,
来建立材料在复杂应力状态下的强度条件。
基本观点
构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏的表面
现象如何复杂，其破坏形式总不外乎几种类型，
而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引
起的。
材料破坏的两种类型（常温、静载荷）
屈服条件:
( 13 12) C
( 13 23) C
C —— 待定系数
(τ 12 τ 23) (τ 12 τ 23)
0
σ3 σ2
σ1
1 13 (1 3) 2 1 12 (1 2) 2 1 23 (2 3) 2
1 13 (1 3) 2 1 12 (1 2) 2 1 23 (2 3) 2
普遍形式的特例。
§ 10 - 5
一，适用范围
各种强度理论的适用范围及其应用
1，最大剪应力理论和形状改变比能理论都适用于塑性材料
2、 在二向和三向拉伸应力时，采用最大拉应力理论。
二，强度理论用于二向应力状态
y
x 1 2
( x ) 2 x 2
2
3 x x 1
0
2 0
脆断破坏的条件： 1 = u （材料极限值）
强度条件：
1
[
二、 最大伸长线应变理论（第二强度理论）
根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料 就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生 破坏。
基本假说：最大伸长线应变 1 是引起材料脆断破坏的因素。
脆断破坏的条件：若材料服从胡克定律。则
120 MPa
120 MPa
(a)
r4
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2
1 0 1202 120 1202 120 02 2
120MPa
对于图 b 所示的单元体 1 = 14 0MPa， 2 = 110MPa 3 = 0
1 dγ dmS dSx β dmx h
ms 面——主滑移面 ，（sx mx） m s 面
（1）当 =1 ， = 0 或 = 0 ， =1 时视为双剪切曲服 判据式的依据。
( 13 12) C
( 13 23) C
(τ 12 τ (τ 12 τ
1 1 2 2 2
r 4
2 3 2 3 1 2
§10 - 4 双剪应力强度理论及其相当应力
0
σ3 σ2
σ1
0
σ3 σ2
σ1
根据：
在一点的应力状态中，除了最大主剪应力 13 外，
其它的主剪应力也将影响材料的屈服。
基本假设：双剪应力强度理论只考虑 两个较大的主剪应力 对材料屈服的影响。
第十章
强度理论
目录
10-1 强度理论的概念
10-2 四个强度理论及其相当应力
10-4 双剪应力强度理论及其相当应力
10-5 各种强度理论的适用范围及其应用
内容提要
本章主要研究了强度理论的概念和各种强度理论的适用范围 及其应用
重点
1. 强度理论的概念 2. 四个强度理论及其相当应力
难点
1. 双剪应力强度理论及其相当应力 2. 各种强度理论的适用范围及其应用
§10 - 1
一 、 引言
强度理论的概念
正应力强度条件
轴向拉、压
max
N max A
弯曲
max M max [] W
剪应力强度条件
剪切
Q [] AS
扭转
max M n max Wn
Qmax S max Iz b
* z max
弯曲
代入曲服条件
( 13 12) C
( 13 23) C
(τ 12 τ 23) (τ 12 τ 23)
屈服条件可写为
1 σ 1 (σ 2 σ 3) C 2
(τ 12 τ 23)
1 (σ 1 σ 2 ) σ 3 C 2
(τ 12 τ 23)
C—— 可由材料在单轴拉伸试验中的屈服极限s 来确定。
单轴拉伸试验中，材料屈服时有 1 = s 代入下式可得 , 2 = 3 = 0
1 σ 1 (σ 2 σ 3) C 2
(τ 12 τ 23)
C = s
[ ] S n
按双剪切理论建立的强度条件为
1 σ 1 (σ 2 σ 3) σ 2 1 (σ 1 σ 2 ) σ 3 σ 2
上述强度条件具有如下特点
1、 危险点处于单轴应力状态或纯剪切应力状态。
2、 材料的许用应力 ，是通过拉(压)试验或纯剪试 验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以 此极限应力作为强度指标,除以适当的安全系数
(a)
(b)
(a)
(b)
状态 (a ) 为平面应力状态
2 ( ) ()2 3 2 2
1
2 0
r4
2
3
2
(a)
(b)
状态 (b)为空间应力状态 y= 为主应力之一
另两个主应力为：
包括：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论
第 二类强度理论——以出现屈服现象作为破坏的标志
包括：最大剪应力理论和形状改变比能理论
第 一类强度理论
一、 最大拉应力理论（第一强度理论）
根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料
就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏。
基本假说：最大拉应力 1 是引起材料脆断破坏的因素。
塑性材料在纯剪切应力状态 下的 纯剪切应力状态下:
1 = , 2 = 0 , 3 = –
1 = , 2 = 0 , 3 = –
1 [( 0)2 (0 )2 ( )2 3 2
3
[]为材料在单轴拉伸是的许用拉应力。
沿最大剪应力所在截面滑移而发生屈服失效。
基本假说： 最大剪应力 max 是引起材料屈服的因素。
屈服条件（屈服判据）：
max u
s 2
在复杂应力状态下一点处的最大剪应力为
1
max (1 3)
2
1 3 s
强度条件为
1 3
四、 形状改变比能理论（第四强度理论）
材料在纯剪切应力状态下的许用剪应力为
0.577
3
例题 ：对于图示各单元体，试分别按第三强度理论及第 四强度理论求相当应力。
120 MPa
解： 对于图 (a) 所示的单元体。
120 MPa
1 0
2 3 120MPa
(a)
r 3 1 3 0 (120) 120MPa
3 x 2 ( x ) 2 x 2
2
代入第三和第四强度条件
r 3
4 [ ]
2 x 2 x
y
3 x
r 4
3 [ ]
2 x 2 x
x 1
0
三，强度理论的一个应用
根据强度理论 , 可以从材料在单轴拉伸时的 可推知低 C 钢类
3 = –140MPa
(C)
r 3 220MPa
r 4 195MPa
对图d 所示的单元体 解：0 主应力之一
50MPa
70MPa
由 x =70 ， y = 30 ，x = – 40 求另两个主应力
(d)
x =70 ， y = 30 ，x = – 40
相当应力
(τ 12 τ 23)
(τ 12 τ 23)
1 rT 1 (2 3) 2 1 rT (1 2) 3 2
(12 23) (12 23)
R . J . Asaro 和 J . R . Rice 曾指出，在晶体的主滑移面 ms
上除了剪应力 ms 会影响剪切变形外，另外两个与主滑移面 ms 垂直且相互垂直的平面上的剪应力 mx 和 sx 也将促进主 滑移面 产生剪切变形，并给出本构关系式 ：
140 MPa
110 MPa
(b)
r 3 1 3 140MPa
r4
1 2
2 2 1402 128MPa 30 110
对于图 c 所示的单元体
1 = 8 0MPa
140 MPa
70 MPa 80 MPa
2 = –70MPa
max min
设 ，则
(a)
(b)
1
2
2 2
3
3
r4
两种情况下的危险程度相等。
例题 ：两端简支的工字钢梁承受载荷如图 (a) 所示。 已知其材料 Q235 钢的许用为 = 170MPa , = 100MPa。 试按强度条件选择工字钢的号码。
200KN
200KN
A C
0.42 1.66
2.50
B D
0.42
200KN
200KN
解：作钢梁的内力图。 C , D 为危险截面 (1) 按正应力强度条件选择截面 取 C 截面计算 Q C左 = Qmax = 200kN MC = Mmax = 84kN.m
M图
200kN
A C
0.42 1.66
形式 ,进行分析,提出破坏原因的假说,在这些假说的
基础上,可利用材料在单轴应力状态时的试验结果 ,
来建立材料在复杂应力状态下的强度条件。
基本观点
构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏的表面
现象如何复杂，其破坏形式总不外乎几种类型，
而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引
起的。
材料破坏的两种类型（常温、静载荷）
屈服条件:
( 13 12) C
( 13 23) C
C —— 待定系数
(τ 12 τ 23) (τ 12 τ 23)
0
σ3 σ2
σ1
1 13 (1 3) 2 1 12 (1 2) 2 1 23 (2 3) 2
1 13 (1 3) 2 1 12 (1 2) 2 1 23 (2 3) 2
普遍形式的特例。
§ 10 - 5
一，适用范围
各种强度理论的适用范围及其应用
1，最大剪应力理论和形状改变比能理论都适用于塑性材料
2、 在二向和三向拉伸应力时，采用最大拉应力理论。
二，强度理论用于二向应力状态
y
x 1 2
( x ) 2 x 2
2
3 x x 1
0
2 0
脆断破坏的条件： 1 = u （材料极限值）
强度条件：
1
[
二、 最大伸长线应变理论（第二强度理论）
根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料 就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生 破坏。
基本假说：最大伸长线应变 1 是引起材料脆断破坏的因素。
脆断破坏的条件：若材料服从胡克定律。则
120 MPa
120 MPa
(a)
r4
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2
1 0 1202 120 1202 120 02 2
120MPa
对于图 b 所示的单元体 1 = 14 0MPa， 2 = 110MPa 3 = 0
1 dγ dmS dSx β dmx h
ms 面——主滑移面 ，（sx mx） m s 面
（1）当 =1 ， = 0 或 = 0 ， =1 时视为双剪切曲服 判据式的依据。
( 13 12) C
( 13 23) C
(τ 12 τ (τ 12 τ
1 1 2 2 2
r 4
2 3 2 3 1 2
§10 - 4 双剪应力强度理论及其相当应力
0
σ3 σ2
σ1
0
σ3 σ2
σ1
根据：
在一点的应力状态中，除了最大主剪应力 13 外，
其它的主剪应力也将影响材料的屈服。
基本假设：双剪应力强度理论只考虑 两个较大的主剪应力 对材料屈服的影响。
第十章
强度理论
目录
10-1 强度理论的概念
10-2 四个强度理论及其相当应力
10-4 双剪应力强度理论及其相当应力
10-5 各种强度理论的适用范围及其应用
内容提要
本章主要研究了强度理论的概念和各种强度理论的适用范围 及其应用
重点
1. 强度理论的概念 2. 四个强度理论及其相当应力
难点
1. 双剪应力强度理论及其相当应力 2. 各种强度理论的适用范围及其应用
§10 - 1
一 、 引言
强度理论的概念
正应力强度条件
轴向拉、压
max
N max A
弯曲
max M max [] W
剪应力强度条件
剪切
Q [] AS
扭转
max M n max Wn
Qmax S max Iz b
* z max
弯曲
代入曲服条件
( 13 12) C
( 13 23) C
(τ 12 τ 23) (τ 12 τ 23)
屈服条件可写为
1 σ 1 (σ 2 σ 3) C 2
(τ 12 τ 23)
1 (σ 1 σ 2 ) σ 3 C 2
(τ 12 τ 23)
C—— 可由材料在单轴拉伸试验中的屈服极限s 来确定。
单轴拉伸试验中，材料屈服时有 1 = s 代入下式可得 , 2 = 3 = 0
1 σ 1 (σ 2 σ 3) C 2
(τ 12 τ 23)
C = s
[ ] S n
按双剪切理论建立的强度条件为
1 σ 1 (σ 2 σ 3) σ 2 1 (σ 1 σ 2 ) σ 3 σ 2
上述强度条件具有如下特点
1、 危险点处于单轴应力状态或纯剪切应力状态。
2、 材料的许用应力 ，是通过拉(压)试验或纯剪试 验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以 此极限应力作为强度指标,除以适当的安全系数