第十章强度理论(讲稿)
材料力学强度理论
x=24MPa
x
x=28MPa
解： 首先计算危险点处的主应力。 已知 x =28MPa、 y=0、 x= – 24MPa
由主应力计算式得
1 3
28 2
另一主应力
28 2
2
242
2 0
41.8
MPa
13.8
按莫尔强度条件，得
rM
1
t c
3
41.8
50 150
13.8
讨论
1、双剪应力强度理论与大多数金属材料的实验结果符 合得较好,对于铝合金在复杂应力状态下的实验结果，
较第四强度理论更为接近。 2、该理论也适用于岩石及土壤等材料，并与实验结果有
良好的符合。注意，其失效状态不再是屈服，而是 剪断或滑移。 3、该理论可看作是宏观固体力学中引用微观晶体滑移 理论而提出的一种进似，
A
B
C
0
从理论上讲，确定了 ABC 包络线，就可以确定各种应力状态 下的极限应力圆。
不同材料，包络线不同；
同一材料，包络线唯一。
3、莫尔强度理论的简化
以单向拉、压试验数据得两个极限应力圆，该两圆 的公切线代 替包络线，再除以安全系数。
强度条件：
压
拉
1
t c
3
t
0
相当应力：
3 c
1 t
rM
120 MPa r4
1 2
1
2 2
2
3 2
3
1
2
(a)
1 2
0
1202
120
1202
120
02
120MPa
（2）对于图 b 所示的单元体， 已知 1=14 0MPa，2=110MPa , 3=0
第二篇第六章（第十章）应力状态与强度理论
第⼆篇第六章（第⼗章）应⼒状态与强度理论第⼗章应⼒状态与强度理论第⼀节概述前述讨论了构件横截⾯上的最⼤应⼒与材料的试验许⽤应⼒相⽐较⽽建⽴了只有正应⼒或只有剪应⼒作⽤时的强度条件。
但对于分析进⼀步的强度问题是远远不够的。
实际上，不但横截⾯上各点的应⼒⼤⼩⼀般不同，即使同⼀点在不同⽅向的截⾯上，应⼒也是不同的。
例.直杆轴向拉伸(压缩时)斜截⾯上的应⼒.上例说明构件在复杂受⼒情况下，最⼤应⼒并不都在横截⾯上，从⽽需要分析⼀点的应⼒状态。
⼀、⼀点的应⼒状态凡提到“应⼒”，必须指明作⽤在哪⼀点，哪个（⽅向）截⾯上。
因为不但受⼒构件内同⼀截⾯上不同点的应⼒⼀般是不同的。
即使通过同⼀点不同（⽅向）截⾯上应⼒也是不同的。
⼀点处的应⼒状态就是指通过⼀点不同截⾯上的应⼒情况的总和。
或者说我们把过构件内某点所有⽅位截⾯上应⼒情况的总体称为⼀点的应⼒状态。
下图为通过轴向拉伸构件内某点不同（⽅向）截⾯上的应⼒情况。
⽽本章就是要研究这些不同⽅位截⾯上应⼒随截⾯⽅向的变化规律。
并以此为基础建⽴复杂受⼒(既有正应⼒，⼜有剪应⼒)时的强度条件。
⼆、⼀点应⼒状态的描述1、微元法：在⼀般情况下，总是围绕所考察的点作⼀个三对⾯互相垂直的微正六⾯体，当各边边长充分⼩并趋于零时，六⾯体便趋于宏观上的“点”，这种六⾯体称为“微单元体”，简称“微元”。
当微元三对⾯上的应⼒已知时，就可以应⽤截⾯法和平衡条件，求得过该点任意⽅位⾯上的应⼒。
因此，通过微元及其三对互相垂直的⾯上的应⼒情况，可以描述⼀点的应⼒状态。
上图为轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体。
根据材料的连续均匀假设以及整体平衡则局部平衡即微元体也平衡的原则，微元体（代表⼀个材料点）各微⾯上应⼒特点如下：（1）各微⾯上应⼒均匀分布；（2）相互平⾏的两个侧⾯上应⼒⼤⼩相等、⽅向相反；（3）互相垂直的两个侧⾯上剪应⼒服从剪切互等定律。
（在相互垂直的两个平⾯上，剪应⼒必然成对存在，且⼤⼩相等，两者都垂直于两个平⾯的交线，⽅向则共同指向或共同背离这⼀交线。
《材料力学》第十章 强度理论
第十章 强度理论
Theory of Strength
§10-1 强度理论的概念
The Conception of Theory of Strength
材料力学所研究的最基本问题之一——构件的强度问题。
由§1-1我们知道:构件的强度是指构件承受荷载的能力或构件抵抗
破坏的能力。在前面各章中,我们得到:
圆簇的包络线(Envelope of the family of limiting stress circles)。
简化的莫尔包络线由简单拉伸极限 应力圆和简单压缩极限应力圆的公切线, 以及简单拉伸极限应力圆的切点间轴正 向侧部分曲线构成。
§10-3 莫尔强度理论及其相当应力
Mohr’s strength theory and its equivalent stresses
P
s
P A
4 50 103
0.12 106
6.37MPa
AA s t
t
T Wn
16 7 106
0.13 109
35.65MPa
s s
1 3
6.37 2
(6.37)2 35.652 38.98 MPa
2
32.61
s1 39.0MPa,s 2 0,s 3 32.6MPa
(2)最大伸长线应变理论(The maximum tension strain theory)
认为:最大伸长线应变是使材料发生断裂破坏的主要因素
破坏条件:
e1=ejx
强度条件: бr2=б1-μ(б2+б3)≤[б]---(10-2)
((10-2)式是由虎克定律得出的,因为:e1=[б1-μ(б2+б3)]/E；单向
第十章 应力状态,强度理论与组合变形1
2 2
s
2 3
2(s1s 2
s 2s 3
s 3s1 )]
(10 11)
用主应力表示的体积改变比能为：
uV
= 1 2
6E
(s1 s 2
s 3 )2
用主应力表示的形状改变比能为：
usd
=
u
uv
=
1
6E
s 1
s2 2
s 2
s3
2
s 3
s
1
2
(10-13)
14
强度理论
问题：
复杂应力状态下 的强度？
屈服判据 s1-s3= sys Tresca条件, 1864, 法
实验验证： 很好地预测了塑性材料屈服。
设计：
强度条件： s1-s3[s]=sys/n
19
10.2.2 延性材料的屈服强度理论
四、形状改变比能理论（第四强度理论）
？ ？ 思考： Tresca条件与s2无关
滑移改变形状 能量
假说： 延性材料屈服取决于其形状改变比能 ud。
1 2
(s 1 s 2 )2 (s 2 s 3 )2 (s 3 s 1 )2 [s ] = s ys / n
21
强度理论汇总：
强度条件的一般形式： 工作应力许用应力
相当应力
破 s1 理论 坏
e1 理论
sr [s]
sr1 = s1 常用
脆性破坏 [s]=sb/n 塑性屈服 [s]=sys /n
5
注意到txy=tyx，解得：
sa=sxcos2a+s ysin2a-2t xy sinacosa t a=(s x-s y)sinacosa+txy(cos2a -sin2a)
强度理论
第10章强度理论10.1 强度理论的概念构件的强度问题是材料力学所研究的最基本问题之一。
通常认为当构件承受的载荷达到一定大小时，其材料就会在应力状态最危险的一点处首先发生破坏。
故为了保证构件能正常地工作，必须找出材料进入危险状态的原因，并根据一定的强度条件设计或校核构件的截面尺寸。
各种材料因强度不足而引起的失效现象是不同的。
如以普通碳钢为代表的塑性材料，以发生屈服现象、出现塑性变形为失效的标志。
对以铸铁为代表的脆性材料，失效现象则是突然断裂。
在单向受力情况下，出现塑性变形时的屈服点σ和发生断裂时s的强度极限σ可由实验测定。
sσ和bσ统称为失效应力，以安全系数除失效应力得到b许用应力[]σ，于是建立强度条件[]σσ≤可见，在单向应力状态下，强度条件都是以实验为基础的。
实际构件危险点的应力状态往往不是单向的。
实现复杂应力状态下的实验，要比单向拉伸或压缩困难得多。
常用的方法是把材料加工成薄壁圆筒(图10-1)，在内压p 作用下，筒壁为二向应力状态。
如再配以轴向拉力F，可使两个主应力之比等于各种预定的数值。
这种薄壁筒试验除作用内压和轴力外，有时还在两端作用扭矩，这样还可得到更普遍的情况。
此外，还有一些实现复杂应力状态的其他实验方法。
尽管如此，要完全复现实际中遇到的各种复杂应力状态并不容易。
况且复杂应力状态中应力组合的方式和比值又有各种可能。
如果象单向拉伸一样，靠实验来确定失效状态，建立强度条件，则必须对各式各样的应力状态一一进行试验，确定失效应力，然后建立强度条件。
由于技术上的困难和工作的繁重，往往是难以实现的。
解决这类问题，经常是依据部分实验结果，经过推理，提出一些假说，推测材料失效的原因，从而建立强度条件。
图10－1经过分析和归纳发现，尽管失效现象比较复杂，强度不足引起的失效现象主要还是屈服和断裂两种类型。
同时，衡量受力和变形程度的量又有应力、应变和变形能等。
人们在长期的生产活动中，综合分析材料的失效现象和资料，对强度失效提出各种假说。
10强度理论
材料力学
复杂应力状态强度问题/常用的强度理论 复杂应力状态强度问题/常用的强度理论
σr1 =σ1 ≤ [σ]
σr2 =σ1 − µ(σ2 +σ3) ≤[σ]
材料力学
复杂应力状态强度问题/ 复杂应力状态强度问题/强度理论的概念
无论材料处于什么应力状态, 无论材料处于什么应力状态,只要发生同一种破坏形 式,都是由于同一种因素引起。 都是由于同一种因素引起。
材料力学
复杂应力状态强度问题/ 复杂应力状态强度问题/强度理论的概念
强度理论：为了建立复杂应力状态下的强度条件， 强度理论：为了建立复杂应力状态下的强度条件， 而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。 而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。
即 不论是处于什么应力状态，相同的破坏形式由相同的 不论是处于什么应力状态， 失效原因， 失效原因，利用拉伸试验的结果建立复杂应力状态下 的强度条件。 的强度条件。
m ax
= 0)
1、未考虑 σ2 的影响，试验证实最大影响达 、 的影响，试验证实最大影响达15%。 。 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象， 、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象， 3、不适用于脆性材料的破坏。 、不适用于脆性材料的破坏。
材料力学
复杂应力状态强度问题/常用的强度理论 复杂应力状态强度问题/常用的强度理论
材料力学
复杂应力状态强度问题/常用的强度理论 复杂应力状态强度问题/常用的强度理论
—最大拉应变理论（第二强度理论） 最大拉应变理论（第二强度理论） 最大拉应变理论
(Maximum Tensile-Strain Criterion) 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂 无论材料处于什么应力状态 只要发生脆性断裂, 只要发生脆性断裂 都是由于微元内的最大拉应变（线变形） 都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单 拉伸时的破坏伸长应变数值。 拉伸时的破坏伸长应变数值。
理论力学 强度理论
4. 最大畸变能密度理论（第四强度理论） 最大畸变能密度是引起材料屈服的主要因素。
即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大畸变能密 度达到简单拉伸屈服时的极限值,材料就会发生屈服。
vd vd0
－构件危险点的形状改变比能 d
0－形状改变比能的极限值，由单拉实验测得 d
屈服条件 强度条件
实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理 论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。
（1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态；
（2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯剪试验测定 试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全系数而得,即根据相应的试验结果建立的强度 条件.
强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推 理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出 引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善， 在一定范围与实际相符合，上升为理论。
1. 最大拉应力理论（第一强度理论）
最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。
即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大拉应力达 到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。
1 0 1－构件危险点的最大拉应力 0－极限拉应力，由单拉实验测得
0 b
1. 最大拉应力理论（第一强度理论）
断裂条件 强度条件
形状改变 比能
§10- 1 四个强度理论
1.伽利略播下了第一强度理论的种子; 2.马里奥特关于变形过大引起破坏的论述,是第二强度理论 的萌芽; 3.库仑提出了最大切应力理论;
4 .米塞斯最早提出了最大畸变能理论, 。1924年德国的亨
奇从畸变能密度出发对这一准则作了解释 （1） 第一类强度理论—以脆断作为破坏的标志 包括:最大拉应力理论和最大伸长线应变理论 （2）第 二类强度理论—以出现屈服现象作为破坏的标志 包括:最大切应力理论和形状改变比能理论
第十章强度理论(讲稿)
第十章强度理论同济大学航空航天与力学学院顾志荣一、教学目标掌握强度理论的概念。
了解材料的两种破坏形式（按破坏现象区分）。
了解常用的四个强度理论的观点、破坏条件、强度条件。
掌握常用的四个强度理论的相当应力。
了解莫尔强度理论的基本观点。
会用强度理论对一些简单的杆件结构进行强度计算。
二、教学内容讲解强度理论的概念及材料的两种破坏形式。
讲解常用的四个强度理论的基本观点，并推导其破坏条件从而建立强度计算方法。
介绍几种强度理论的应用范围和各自的优缺点。
简单介绍莫尔强度理论。
三、重点难点重点：强度理论的概念、常用的四个强度理论的观点、强度条件及其强度计算。
难点：常用四个强度理论的理解；危险点的确定及其强度计算。
四、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
五、计划学时 2学时 六、实施学时 七、讲课提纲(一)为什么需要强度理论及强度理论的概念？1、为什么需要强度理论(回顾基本变形下强度条件的建立）2、复杂应力状态下的强度条件是什么？怎样建立？3、强度理论的概念4、四个强度理论及其相当应力 (二)四个强度理论第一强度理论——最大拉应力理论 第二强度理论——最大拉应变理论 第三强度理论——最大剪应力理论第四强度理论——⎪⎩⎪⎨⎧形状改变比能理论均方根剪应力理论 (三)相当应力11σσ=r-=12σσr μ)(32σσ+313σσσ-=r 2132322214)()()(21σσσσσσσ-+-+-=r (四)复杂应力状态下强度条件的表达式 σr ≤[σ](一)为什么需要强度理论？强度理论的概念1、回顾构件处于简单变形下的强度条件的建立 [拉、压] （单向）图10-1强度条件：[]nA F o N σσσ=≤=，b S oσσσ由试验得[扭转]（双向）图10-2强度条件：[]nW M on n τττ=≤=max，b S o τττ由试验得[弯曲]（二向）强度条件（上下边缘点）：[]σσ≤=zW M maxmax 中性层处：[]ττ≤⋅=bI S F Z z Q *maxmax max （[]σ、[]τ由试验得）为什么可以这样来建立强度条件？ 因为：⑴构件内的应力状态比较简单；⑵用接近这类构件受力情况的试验装置测定极限应力值比较容易实现。
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第十章强度理论一、教学目标掌握强度理论的概念。
了解材料的两种破坏形式（按破坏现象区分）。
了解常用的四个强度理论的观点、破坏条件、强度条件。
掌握常用的四个强度理论的相当应力。
了解莫尔强度理论的基本观点。
会用强度理论对一些简单的杆件结构进行强度计算。
二、教学内容讲解强度理论的概念及材料的两种破坏形式。
讲解常用的四个强度理论的基本观点，并推导其破坏条件从而建立强度计算方法。
介绍几种强度理论的应用范围和各自的优缺点。
简单介绍莫尔强度理论。
三、重点难点重点：强度理论的概念、常用的四个强度理论的观点、强度条件及其强度计算。
难点：常用四个强度理论的理解；危险点的确定及其强度计算。
四、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
五、计划学时 2学时 六、实施学时 七、讲课提纲(一)为什么需要强度理论及强度理论的概念？1、为什么需要强度理论(回顾基本变形下强度条件的建立）2、复杂应力状态下的强度条件是什么？怎样建立？3、强度理论的概念4、四个强度理论及其相当应力 (二)四个强度理论第一强度理论——最大拉应力理论 第二强度理论——最大拉应变理论 第三强度理论——最大剪应力理论第四强度理论——⎪⎩⎪⎨⎧形状改变比能理论均方根剪应力理论 (三)相当应力11σσ=r-=12σσr μ)(32σσ+313σσσ-=r2132322214)()()(21σσσσσσσ-+-+-=r (四)复杂应力状态下强度条件的表达式 σr ≤[σ](一)为什么需要强度理论？强度理论的概念1、回顾构件处于简单变形下的强度条件的建立 [拉、压] （单向）图10-1强度条件：[]nA F o N σσσ=≤=，b S oσσσ由试验得[扭转]（双向）图10-2强度条件：[]nW M o n n τττ=≤=max ，b S oτττ由试验得[弯曲]（二向）强度条件（上下边缘点）：[]σσ≤=zW M maxmax 中性层处：[]ττ≤⋅=bI S F Z z Q *maxmax max （[]σ、[]τ由试验得）为什么可以这样来建立强度条件？ 因为：⑴构件内的应力状态比较简单；⑵用接近这类构件受力情况的试验装置测定极限应力值比较容易实现。
2、复杂应力状态下的强度条件是什么？怎样建立？复杂应力状态单元体图10-3它的强度条件是：σx≤[σ]、σy≤[σ] 吗？τx≤[τ]、τy≤[τ]不是！实践证明：⑴强度与σ、τ均有关，相互影响例：易剪断不易剪断就象推动某物一样：易动不易动图10-4⑵强度与σx、σy、σz (σ1、σ2、σ3)间的比例有关图10-5 σ1=σ2=0 σ1=σ2=σ 3 单向压缩，极易破坏三向均有受压，极难破坏那么，复杂应力状态下的强度条件怎样建立？模拟实际受力情况，通过实验来建立？不行！！因为σxσy有无穷的比例关系，实验无穷无尽，不可能完成。
σz怎么办？长期以来，随着生产和实践的发展，人们在大量观察和研究了各种类型的材料在不同受力条件下的破坏情况，根据对材料破坏现象的分析，提出了各种各样的假说，认为材料某一类型的破坏是由于某种因素所引起的，并通过简单的试验来推测材料在复杂应力状态下的强度，分析其极限条件，从而建立强度条件。
3、强度理论的概念何谓强度理论？假说材料某一类型的破坏是由于某种因素所引起的，这种假说就称为强度理论。
(二)四个强度理论第一强度理论——最大拉应力理论假说：决定材料产生断裂破坏的主要因素是单元体的最大拉应力σ1即：不论在什么样的复杂应力状态下，只要构件内一点处的三个主应力中的最大拉应力σ1到达材料的极限值o σ时，材料就会发生脆断破坏。
破坏条件： σ1=σb +材料在拉伸试验中发生脆断的极限应力 强度条件： σ1≤[σ]=nbσ───────────（A ）评价：1、只考虑三个主应务中的σ1，而没有考虑较小的σ2、σ3； 2、无法解释下列现象：⑴塑性材料： 简单拉伸时，材料在屈服阶段沿着45°斜面发生滑移，而并不从最大拉应力σ1所在的横截面上拉断。
⑵脆性材料： 简单压缩时图10-6⑶三向均匀受压：σ1=σ2=σ3 材料极不容易破坏，甚至超过极限应力几倍、十几倍也不破坏（如海底岩石）3、此理论只对少数脆性材料受简单拉伸的情况才是正确的（铸铁拉伸） 因此更名：最大拉应力理论（最大正应力理论——该理论在十七世纪由伽利略提出，距今已有三百多年历史，最早提出：第一.第二强度理论——最大拉应变理论假说: 决定材料发生断裂破坏的主要因素是单元体的最大拉应变ε1即: 不论在怎么复杂的应力状态下，只要构件内一点处的最大拉应变 ε1达到了材料的极限值ε°，材料就会发生断裂破坏。
破坏条件：ε1=ε°=Ebσ b σ──脆断破坏时极限应力为统一起见，将此条件改用σ来表示，根据虎克定律：-=11[1σεEμ)](32σσ- ── 将此式代入上式 得：-1σμb σσσ=-)(32 强度条件：-1σμnbσσσσ=≤-][)(32─────────────（B ）评价：1、此理论与脆性材料简单拉伸试验结果相结合，也可解释脆性材料的压缩破坏。
据此理论可解释：图10-72、根据此理论，二向、三向受拉应力状态比单向应力状态更安全，更容易承载，但这个结论被实验结果所否定。
图10-8更安全吗？否!3、三向均匀受压不易破坏这一现象，第二强度理论也无法解释。
第三强度理论——最大剪应力理论假说：决定材料塑性屈服破坏的主要因素是单元体的最大剪应力τmax 。
破坏条件：2max ooσττ== （o σ——拉伸时， 45=α，2max στ=）复杂应力状态下：231max σστ-=带入上式得： s σσσ=-31 强度条件：[]nSσσσσ=≤-31────────────（C ）评价：1、此理论能满意地解释下述现象： ⑴塑性材料单向拉伸时，45°斜面有τmax ，滑移线。
⑵脆向材料轴向压缩时大致与轴线成45°方向斜面破坏。
⑶三向均匀受压（σ1-σ3=0，即τ=0、τmax =0，应力圆上是个点圆）材料极不容易破坏的现象。
2、这个理论没有考虑σ2的影响，显然是个缺陷。
3、这个理论不能解释： ⑴脆性材料简单拉伸，并不在τmax 面上破坏。
⑵三向均匀受拉，也应该不易破坏（∵同样也是个点圆，τ=0）。
以上三个理论是十七世纪提出来的，因此称为古典三理论。
第四强度理论——均方根剪应力理论假设：决定材料塑性屈服破坏的主要因素是单元体的均方根剪应力*τ。
这个均方根剪应力*τ在数量上与单元体的三对主剪应力。
22112σστ-=、22223σστ-=、21331σστ-=有关可表达成下式：][1213213232221231223212）（）（）（σσσσσσττττ-+-+-=++=*即：不论在什么样的复杂应力状态下，只要构件内一点处的均方根剪应力达到单向拉压危险状态时的均方根剪应力*jx τ时，材料就要发生塑性屈服破坏。
则破坏条件：**=jx ττ 而单向拉压情况下：S S S jx σσστ61)(12122=+=* 于是，强度条件：[]n S σσσσσσσσ=≤-+-+-][21213232221）（）（）（────（D ）评价：1、在二向应力状态下，试验资料表明：按这个理论计算所得的结果，基本上与试验结果相符，它比第三强度理论更接近实际情况。
2、该理论能满意解释三向均匀受压不易破坏的现象。
3、在机械制造工业中，第四强度理论和第三强度理论都得到广泛的应用。
第四强度理论——形状改变比能理论又称： 能量理论u均方根剪应力理论假设：决定材料达到危险状态的主要因素是单元体的形状改变比能u d .即：不论在什么样的复杂应力状态下，只要构件内一点处的形状改变比能u d 达到了材料在单向应力状态下进入危险状态时的形状改变比能u d ，它就处于极限状态。
破坏条件：u d =o u ，材料在单向应力状态下进入危险状态时的形状改变比能)(31133221232221σσσσσσσσσ---+++=E u u d 2)(31o o d E u u σ+=, 0321===σσσσo 强度条件：[]σσσσσσσ≤-+-+-][21213232221）（）（）（──────（D ’）评价：1、这个理论的本质仍然是剪应力是使材料达到危险状态的决定因素。
2、这个理论能满意地解释三向均匀受压极不容易破坏的现象。
3、这个理论不能解释：⑴脆性材料在简单拉伸时发生脆断的情况；⑵三向均匀受拉，按此理论材料不会发生破坏，这与事实不符。
4、试验资料表明：由这一理论计算所得的结果基本上与试验结果相符，它比第三强度理论更接近实际情况。
(三)相当应力综合公式（A ）、（B ）、（C ）、（D ），按四个强度理论所建立的强度条件，可写成统一的形式：σr ≤[σ]式中的σr 是根据不同的强度理论所得到的复杂应力状态下几个主应力的综合值。
这种主应力的综合值和以它作为轴向拉伸时的拉应力在安全程度上的是相当的，通常称σr 为相当应力。
四个强度理论的相当应力表达式分别为11σσ=r-=12σσr μ)(32σσ+313σσσ-=r][212132322214）（）（）（σσσσσσσ-+-+-=r(四)强度理论的选用一般说来：第一、二强度理论用于脆性材料；第三、四强度理论用于塑性材料。
例题10-1 有一铸铁制成的构件，其危险点处的应力状态如图所示。
材料的容许拉应力[σ+]=35MPa,压应力[σ-]=120 MPa,试校核此构件的强度。
图10-10解：1、计算主应力MPa 4.124.324.221020)220(210)2(22222max min -=±=+±=+±=x xxτσσσ MPa 4.321=σ，02=σ，MPa 4.123-=σ2、强度理论选用。
∵铸铁是脆性材料 ∴采用第一强度理论校核35MPa ][MPa ===+σσσ 4.3211r3、结论：根据第一强度理论的计算结果可知。
该构件强度足够。
例题10-2 在钢材Q 235制成的构件中的危险点处取应力状态如图所示。
已知钢的[σ]=170MPa,试校核强度。
图10-9解：1、计算主应力根据应力状态，分别求出601=σMPa 472=σMPa 873-=σMPa2、强度理论选用Q 235—塑性材料，采用第三或第四强度理论校核][MPa σσσσ 147)87(60313=--=-=r3、分析与讨论根据第三强度理论。
该构件安全∵34r r σσ ∴满足第三强度则第四理论必然满足。
例题10-3 单元体如图所示，材料的泊松比μ=0.3。
图10-11⑴求主应力，并在单元体图中表示出主应力及其作用平面；⑵若用第二强度理论进行强度计算，试计算其相当应力，并在单元体中表示出相应的危险截面，然后再在应力圆上用一个D 点来表示这个平面；⑶若用第三强度理论进行强度计算，试计算其相当应力并在单元体中表示出相应的危险截面，然后再在圆上用一个E 点来表示这个平面。