高中立体几何球的课件
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高二数学最新课件-立体几何—球的概念和性质 精品
例3、已知地球半径为R，地面上点A位于东经20o北 纬60o，B点位于东经140o北纬60o，C点位于东经140o 北纬30o。试求A、B两点及B、C两点的球面距离。
练习：
地球半径为R，A、B是北纬 45°纬 线圈上两点，它们的经度差是90°，求A、 B两地的球面距离。
小结： 1.球及其相关概念。
2 R 2 2 3 3
6、球面上有M、N两点，在过M、N的球的大圆O上，弧Байду номын сангаасN
的度数为90o，在过M、N的小圆O1上，弧MN的度数为120o， 又MN= 3 cm，求OO1的长度及M、N的球面距离。
（ OO1=
2 2
cm，M、N的球面距离为
6 （cm) 4
）
思考题
￭自半径为R的球面上一点Q作球的三条两两垂直的弦QA、 QB、QC，求QA2+QB2+QC2的值。
2． 经度和纬度的计算方法 ① 某点的经度——经过这点的经线与
北极
纬线 O1
地轴确定的半平面和0o经线（即本初子 午线，简称子午线）与地轴确定的半 平面所成的二面角的度数。 东经和西经：0o经线以东的经线叫东经， 经线 0o经线以西的经线叫西经。
A
B
O 赤道
0°
南极
东经和西经各180o，东经180o和西经180o是同一条经线。
2.球的截面性质。
3.球的大圆和小圆。
4.球面距离。
5.地球的经纬度和球面距离的计算。
②
某点的纬度—— 经过这点的球半径与赤道平面所成的角的度数。
O1 α
B
O
A
如图，∠AOB的大小即为B点所在的纬度。
3． 地球上两点的球面距离
① 同纬度不同经度的两地间的球面距离：设同一纬线上的A、B两地的经度分 别是α 1 ，α 2， 1o、若A、B同在东经或西经，不妨设α 1＜α 2，则∠AO1B=α 2-α 2o、若A、B在子午线异侧： 当α 1+α 2≤π 时，∠AO1B =α 1+α
2第2课时 球的体积和表面积PPT课件(人教版)
栏目 导引
第八章 立体几何初步
球的表面积与体积
(1)已知球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
C八章 立体几何初步
(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两 条互相垂直的半径，若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 ()
角度五 球的内接直棱柱问题
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点
都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B．73πa2
C．131πa2
D．5πa2
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧
棱与底面边长相等，均为 a．如图，P 为三棱柱上
底面的中心，O 为球心，易知 AP＝23× 23a＝ 33a，
A．17π C．20π
B．18π D．28π
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 (1)设球的半径为 R，则由已知得 V＝43πR3＝323π，解得 R＝2. 所以球的表面积 S＝4πR2＝16π. (2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体， 设球的半径为 r， 故78×43πr3＝238π， 所以 r＝2，表面积 S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选 A. 【答案】 (1)B (2)A
栏目 导引
第八章 立体几何初步
该圆锥的体积为 13×π× 23r2×32r＝38πr3，球体积
为
4 3
πr3
，
所
以
该
圆
锥
的
体
积
和
此
球
体
积
的
比
值
为
3843ππrr33＝392.
第八章 立体几何初步
球的表面积与体积
(1)已知球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
C八章 立体几何初步
(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两 条互相垂直的半径，若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 ()
角度五 球的内接直棱柱问题
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点
都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B．73πa2
C．131πa2
D．5πa2
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧
棱与底面边长相等，均为 a．如图，P 为三棱柱上
底面的中心，O 为球心，易知 AP＝23× 23a＝ 33a，
A．17π C．20π
B．18π D．28π
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 (1)设球的半径为 R，则由已知得 V＝43πR3＝323π，解得 R＝2. 所以球的表面积 S＝4πR2＝16π. (2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体， 设球的半径为 r， 故78×43πr3＝238π， 所以 r＝2，表面积 S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选 A. 【答案】 (1)B (2)A
栏目 导引
第八章 立体几何初步
该圆锥的体积为 13×π× 23r2×32r＝38πr3，球体积
为
4 3
πr3
，
所
以
该
圆
锥
的
体
积
和
此
球
体
积
的
比
值
为
3843ππrr33＝392.
新教材高中数学第八章立体几何初步8.3第2课时球的表面积与体积课件
简单几何体的表面积与体积
第2课时 球的表面积与体积
课标定位
素养阐释
1.了解球体的表面积与体积公式的推导过程.
2.掌握球体的表面积与体积公式,能用公式解决
简单的实际问题.
3.用类比、联系的运动变化思想推导公式,感受
数学运算与几何直观的过程,感受球体的表面积
与体积公式在生产活动中的数学建模.
自主预习·新知导学
【例1】 若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径
相等,求圆锥侧面积与球面面积之比.
解:设圆锥的底面半径为 r,高为 h,母线长为 l,球的半径为 R,
由题意得
·
=
= ,
,
2
3,解得
π(2R)
·
h=
πR
R=h,r=2h,
则 l= + = h,
解析:计算得
3
3
2
V 甲=πa ,S 甲=4πa ,V 乙=πa ,S 乙=πa2,
故 V 甲=V 乙且 S 甲>S 乙.
答案:C
探究二 与球有关的切接问题
【例2】 若一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍,则
圆锥的侧面面积和球的表面积之比为(
)
A.4∶3
B.3∶1
C.3∶2
D.9∶4
由 S 圆锥侧=πrl=π×2h× h=2 πh2,S 球=4πR2=4πh2,
圆锥侧
得
=
=
球
.
有关球体的体积与表面积的问题
(1)求球的体积或表面积时,必须知道半径R或者通过条件能
第2课时 球的表面积与体积
课标定位
素养阐释
1.了解球体的表面积与体积公式的推导过程.
2.掌握球体的表面积与体积公式,能用公式解决
简单的实际问题.
3.用类比、联系的运动变化思想推导公式,感受
数学运算与几何直观的过程,感受球体的表面积
与体积公式在生产活动中的数学建模.
自主预习·新知导学
【例1】 若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径
相等,求圆锥侧面积与球面面积之比.
解:设圆锥的底面半径为 r,高为 h,母线长为 l,球的半径为 R,
由题意得
·
=
= ,
,
2
3,解得
π(2R)
·
h=
πR
R=h,r=2h,
则 l= + = h,
解析:计算得
3
3
2
V 甲=πa ,S 甲=4πa ,V 乙=πa ,S 乙=πa2,
故 V 甲=V 乙且 S 甲>S 乙.
答案:C
探究二 与球有关的切接问题
【例2】 若一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍,则
圆锥的侧面面积和球的表面积之比为(
)
A.4∶3
B.3∶1
C.3∶2
D.9∶4
由 S 圆锥侧=πrl=π×2h× h=2 πh2,S 球=4πR2=4πh2,
圆锥侧
得
=
=
球
.
有关球体的体积与表面积的问题
(1)求球的体积或表面积时,必须知道半径R或者通过条件能
球的表面积和体积第一课时课件-数学高一必修2第一章立体几何初步1定稿.4人教A版定稿.ppt
【解析】 由三视图得直观图如图，三棱锥 O－ABC 中 OA，OB，OC 两两垂直，OA＝3，OC＝4，OB＝2， 可看作是长方体从同一顶点出发的三条棱长，长方体的 对角线，即为球的直径，长为 32＋42＋22，
.精品课件.
35
故外接球半径为
229，外接球的表面积 S 球＝4π
29 2
2＝29π.
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
.精品课件.
21
证明:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，
高为2R.
因为 V球
4 R3 ,V 圆柱 3
R2 2R 2 R3,
所以，V球
2
V 圆柱
3
（2）因为 S球 4 R2 ， NhomakorabeaS = 圆柱侧 2 R 2R 4 R2 ，
所以, S球 S 圆柱侧.
.精品课件.
5
制作一个乒乓球和一个篮球，分别需要多少材质？
.精品课件.
6
把氢气球充满，需要多少氢气呢？
.精品课件.
7
.精品课件.
8
怎样求球的体积?
.精品课件.
9
怎样求球的体积?
m
=rV
V
=
m r
.精品课件.
10
实验：排液法测小球的体积
放入小球前
h
.精品课件.
11
实验：排液法测小球的体积
放入小球后
H h
S
，
1
S
，
2
S 3 ,
,Sn
则球的表面积为
S = S1 S2 S3 Sn
Si
O Vi
.精品课件.
18
半径是 R的球的表面积：S = 4 R 2
高三数学数学球的应用课件-15页精选文档
四、地球的经度纬度
1、地球的经度
某点的经度是经过这点的经线和地轴确定 的半平面与0度经线(本初子午线）和地轴确 定的半平面所成二面角的度数
• 地球的经线就是 球面上从北极到 南极的半个大圆
由地理知识知：AOB 为P点所在经线的经度。
本 初 子 午
线
北极
P 地
轴 O
A
道
赤
B
2、地球的纬度
某点的纬度就是经过
之间的最短连线 就是经过这两点
O
P
的大圆在这两点
间的劣弧的长度
Q
——这个弧两点的大 圆的劣弧？
例1：
我国首都北京靠近北纬40度，求北纬40 度纬线的长度（地球半径约是6370km)
C
本
地
初
子
轴
北京
午
线
O 纬度40
经度116
A
B
赤
道
解：如图， 设纬线的圆心为D点， DP为纬线半径 ∴ OD⊥DP ∵DPO= POB=40°，
赤道上有A、B两点，它们的经度相差 60º，求它们的球面距离（地球半径约 为6 370 km，精确到1 km）。
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别浪费了，留着这坛子好酒给店里赚钱吧！天儿这么晚了，咱们随便吃点儿就行了！”耿英和耿直也都坚持不让开酒坛。酒店 老板和伙计们对这三兄妹更加刮目相看。老板说：“那咱就不用喝酒了。这些饭菜，咱们随意吃吧！”大家愉快地吃饭不提。 饭毕告辞时，老板对耿正兄妹三人说：“今儿个熬得太晚了，又是这么个情况，你们一定很累了。明儿个就不用来上班了，咱 们的契约今天就算是终止了。好好歇息一下，准备你们以后的创业途径吧！还有啊，你们在以后创业的过程中，如果遇到什么 难处了，请一定来和我说一声。咱们酒店还有些个实力，一定会倾力相帮的！”耿正说：“多谢您！可酒店里明天就没有”老 板说：“放心，已经说好了，明儿个一早，就会有一家子献艺的人来应试的！我看他们人挺不错，先试用几天吧！”那个机灵 的演唱台伺应生伙计赶快跑到台后的乐器存放柜里取来二胡。老板接过来拿在手里小心地摸一摸，一边将其递到耿正的手上， 一边说：“耿兄弟啊，你的这把二胡非同寻常哇，你拉二胡的手法也真是少见的好，简直就是人胡合一，美妙得很哪！让人听 得，啧啧，我无法用语言来说得清楚呢！”耿正伸双手接过二胡来，谦逊地说：“您过奖了！只要学一学，谁都能拉得很好听 的。”老板说：“不，这不一样！唉，咱不说这些了，你们快回去休息吧！这天儿太晚了，你们又住得偏僻，让两个伙计护送 你们回去吧！”耿正说：“多谢老板关心，但不用护送了，我们三个人呢！”有两个伙计说：“我俩就住在那一带呢，咱们一 起走吧！”老板将五人送出酒店，对两个伙计说：“你俩可一定要把他们送到出租房的门口啊！巷子太深，这么晚了怕是不安 全呢！”两个伙计都说：“老板放心，我俩一定会把他们送到出租房门口的！”走在路上时，其中的一个伙计对耿正说：“耿 兄弟啊，你这个妹妹可真厉害，不但现编现唱来得那么快，表演得那么好，而且那个气势，啧啧，真正少见呢！”另一个伙计 也说：“是啊！耿妹子，你怎么就那么有把握呢？知道唱完了就一准儿能赢得满堂大喝彩！”耿英说：“因为有大多数客人们 的支持啊！我看得出来，他们早就看不下去了！只要我们能坚持唱下去，大家就肯定能为我们喝大彩的！”耿正说：“正如那 位做证人的老先生所言，邪不压正啊！”一个伙计说：“是这样的！”另一个伙计说：“不过这耿妹子还真是很了不起呢！还 有啊，耿兄弟你和你的这个小弟弟也很了不起！你们兄妹三个不但有志向能吃苦，而且实在是具有超人的智慧和胆识呢！佩服， 佩服啊！”耿英说：“您就别夸我们了。唉，什么智慧啊胆识的，都是被逼出来的啊！”耿正也说“确实是被逼出来的！这人 啊，想要活得好很难，想要做成一些事情就更难嘞！”说着摸摸耿直
高中数学第1章立体几何初步§73球课件高一数学课件
课
主
堂
预
小
习
结
探
[跟进训练]
·
提
新
素
知
2．圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm，两个直径为 5 cm 的玻 养
合 璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下 课
作
时
探
究 降多少？
分 层
释
作
疑
业
难
·
返
首
页
12/12/2021
第二十三页，共四十七页。
·
自 主
[解]
设取出小球后，容器中水面下降 h cm，两个小球的体积为
第十三页，共四十七页。
·
自
课
主
堂
预
小
习 探
(1)B
(2)
5 2
[(1)34πR3＝332π，故 R＝2，球的表面积为 4πR2＝16π.
·
结 提
新
素
知
(2)设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，球的半径为 R， 养
合 作 探 究
则由题意得13πr2·h＝34πR3，
课 时 分
释
r＝2R，
习
结
探 PH＝x，如图所示．
·
提
新
素
知
∵AC＝ 3r，PC＝3r，
养
·
·
合
∴以 AB 为底面直径的圆锥的容积为
课
作
时
探
究 释
V 圆锥＝31πAC2·PC
分 层 作
疑
业
难
＝13π( 3r)2·3r＝3πr3，V 球＝43πr3.
返
首
页
高中数学第六章立体几何初步6.6.3球的表面积和体积课件北师大版必修第二册
【跟踪训练】
圆柱形容器的内壁底半径是10 cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中,若取出
这个铁球(水的损耗不计),测得容器的水面下降了 5 cm,则这个铁球的表面
3
积为( )
A.50π cm2
C.5 0 0 cm2
3
B.500π cm2 D.100π cm2
【解析】选D.设实心铁球的半径为R,则 4 πR3=π×102× 5 ,解得R=5,故这个
又AO1=2 3 3 1.
32
所以SO1= 2 .
所以正四面体的体积V=1 3
2
3 2
6.
34
4
设内切球球心为O,半径为r,连接OS,OA,OB,OC.
所以VS-ABC=VO-SAB+VO-SBC+VO-SAC1+V4O-AB3C=
2
3 r
3r
6，
34
4
所以r= 2 ,
4
所以球的体积V球=4r3 4( 2)3 2.
2
AB=10,求球的表面积与球的体积.
【解析】如图,设球的半径为R,球心为O,截面圆心为O1,则OO1=3 R.在△ABC中,
2
因为AC2+BC2=AB2,所以∠ACB=90°,所以O1是AB的中点,即O1B=O1A=5.
又 O O+12 O1A2=OA2,
所以 ( 3 R+) 52 2=R2,所以R2=100,R=10.
【解题策略】 1.解决与球有关的“切”“接”问题关键是把空间问题平面化. (1)“切”的处理:球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体.解答时要找 准切点,通过作截面来解决. (2)“接”的处理:把一个多面体的顶点放在球面上即球外接于该多面体.解决 这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半 径.
高中数学北师大版必修2课件：第一章立体几何初步1.7.3球
∴OM= (√2)2 + 1 = √3,即球的半径为√3,
4
∴V=3π(√3)3=4√3π.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
(2)由题知△SAC,△SAB,△SBC均为直角三角形,O是SC的中点,如图
所示.
1
3
3
所以 OB=OA=2SC=OS=OC=2,即球 O 的半径为2,
所以球 O 的表面积为 S=4π×
内注入水并且放入一个半径为 3√225 的铁球,这时水面恰好和球面
相切,问将球从圆锥内取出后,圆锥内水面的高是多少?
分析:设球未取出时的水面高度和取出后的水面高度,则水面降
落,减少的体积就是球的体积,建立一个关系式来解决.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:设△PAB所在平面为轴截面,AB为水平面,设球未取出时,水面
答案:(1)4√3π (2)9π
3 2
2
=9π.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟1.计算球的表面积和体积关键是计算球的半径,而计算
半径的关键是寻找球心的位置.
2.当球的半径增加为本来的2倍时,球的表面积增加为本来的4倍,
球的体积增加为本来的8倍.
3.注意公式的“双向”应用,也就是说当知道球的表面积或体积时,
4
解析:球的半径为 3,S 球=4π×32=36π;V 球= π×33=36π.
3
答案:D
名师点拨1.球的表面积与体积由它的半径唯一确定,因此求球的
表面积、体积的关键是求出球的半径.
2.球的表面不像柱体、锥体和台体那样可以展开在一个平面上,
即使是球面上任意小的一块,也不能展开在一个平面上,因此球的
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赤道是一个大圆， 其它的纬线都是 小圆
某点的纬度就是经过这点的球半 径与赤道面所成角的度数
Page 11
如果把地球看成一个球体，则地球的北纬 60度纬线和南纬30度纬线长的比值？
设地球半径为R
对应的北纬60度纬线所在的小圆的半径
60
为1/2R，其周长为 R
对应的南纬30度纬线所在的大圆半径 ，3R / 2 其周长为 3R
所以地球上的北纬60度纬线和南纬30
30
度纬线长的比值 R ： 3R = 3 / 3
Page 12
设地球半径为R,
在北纬60度圈上有A，B两地，
它们在纬度圈上的弧长是 R/2,则这
两地的球面距离是多少？
A
BR
60
Page 13
设地球半径为R,在北纬60度圈上有A，B两地，它们在 纬度圈上的弧长是 R/2,则这两地的球面距离是多少？
球的应用
例题
Page 3
练习
小结
现实生活中的各种球形
1.地球 2.篮球 3.足球 4.西瓜 5.乒乓球
Page 4
以 直 径 为 旋 转 轴
Page 5
球的定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的
曲面叫球面
球面所围成的几何体叫球体，简称 球
Page 6
球的有关概念
半圆的圆心叫做球心
E
一个球用它的球心字母 来表示，例如：球0
2.一个正方形的顶点都在球面上，其 棱长为2㎝，则球的表面积为？
Page 15
球的概念和性质 大圆，小圆，球面上两点距离的定义 球的截面为圆面，以及这个截面的性质 地球经纬的含义
Page 16
Page 17
连接球心和球面上任 意一点的直线叫做半 D 径
连接球面上两点并经过 球心的线段叫做球的直 径
G
Page 7
G
O
F
H J
球的性质
球心和截面圆 心的连线垂直 于截面
r d
。
R
O
P平 面截的圆叫大圆 如灰色圆面，绿色圆面
球面被不经过球心的 平面截得的圆叫小圆 如蓝色圆面，红色圆面
球
制 作 人： 董 凯 瑞
初中知识
圆
高中知识
球
平面图形
立体图形
Page 2
教学目标：
1、能陈述球的概念和性质 2、能说出大圆，小圆，球面上两点的距离的定 义 3、能记住球的截面为圆面及截面的性质 4、能将球的有关问题转化为圆的问题来求解 5、能说明地球经纬度的含义 6、球的直观图做法
球的概念
球的性质
Page 9
球面距离
在球面上两点之间的 最段距离，就是经 过这两点的大圆在 这两点间的劣弧的 长度------------这个 弧长叫两点的球面 距离
。
O
。
P
。 Q
Page 10
地球经纬度的介绍
某点的经度是经过这点的经线和 地轴确定的半平面与0度经线和地 轴确定的半平面所成二面角的度 数
地球的经线就是球面上从北极到南 极的半个大圆
设北纬60度的圆心为C, 球心为O
则CB=CA=Rcos60=R/2 因为A,B在纬度圈上的弧长为 R/2,
则角ACB= R/2÷(R/2)=
所以A,B,C三点共线
因为OA=OB
角CAO=60
A
所以ABC是正三角形
C
B
60
所以角AOB= /3
。O
A,B的球面距离等于R/3
Page 14
1.设正方形的全面积是24㎝，一个球内切 于该正方形，那么这个球的体积是？