高聚物粘弹性力学模型的几个问题
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高分子物理——高聚物的弹性与粘弹性.
如氯丁胶 Tg-45℃，加葵二酸二丁酯 （-80℃）可使
其的Tg -62℃；
如用磷酸三甲酚酯（-64℃）可使其 Tg-57℃。
可见增塑效果不仅与增塑剂结构有关，还与它本身Tg
有关，增塑剂的Tg越低，则增塑聚合物的 Tg也越低。
• 注意增塑剂的副作用 它使分子链活动性增加，也为形成 结晶结构创造了条件，所以用增塑 剂降低Tg的同时，也要考虑结晶形 成的可能性。
金属普弹性：形变量很小，弹性主要来 自能弹性，熵弹性很小，
(5)式可以变为 : U f fdl du dQ l T ,V 拉伸时，f 0, dl 0 dQ 0(吸热) 绝热时体系温度
热力学分析小结
U S f T l T ,V l T ,V U f T l T T ,V l ,V S T l T ,V
北京理工大学
PB crosslinked
？
北京理工大学
• 橡胶的定义 通俗的概念：施加外力发生大的形变， 外力除去后形变可以恢复的弹性材料” 美国材料协会标准规定“20～27℃下， 1min可拉伸2倍的试样，当外力除去后 1min内至少回缩到1.5倍以下者，或在 使用条件下，具有106～107Pa的杨氏模 量者”
普弹性
高弹性
结论是否正确呢? 靠实验来验证.后部分不能直接测定 需作一变换.
据Gibbs 自由能的定义 : G H TS U PV TS , 对于微小的变化 : dG dU PdV VdP TdS SdT 将(4)式代入得到 : dG fdl VdP SdT (6) G dT 0, dP 0时 : f l T , P G dl 0, dP 0时 : S T l , P G G S f 因此 : l T ,V T l ,V l T l , P T ,V T l T , P l ,V
高分子物理--聚合物的粘弹性ppt课件
ε(t)﹦ε0 sin(ωt﹣δ)
粘弹体的应力与应变的相位关系
一、 粘弹性现象 (二) 动态粘弹性
力学损耗：由于滞后，周期性应力应变变化过程将伴随能量消耗， 称之为力学损耗。 损耗的大小同滞后角有关，常以tanδ 表示
橡胶拉伸与回缩的应力-应变关系示意图
一、 粘弹性现象 (二) 动态粘弹性
聚合物的内耗与频率的关系
表示在复平面上的复模量 E* D* ﹦1
一、 粘弹性现象 (三) 粘弹性参数
G*﹦G1＋iG2
J* ﹦ J1 － iJ2
tan δ ﹦ E2 / E 1
﹦ D2 / D 1 ﹦ G2 / G 1 ﹦ J2 / J 1
链段运动的松弛时间同 作用频率(速率)相匹 配时(ω ~ 1/τ )，粘 弹性现象最显著。
二、 粘弹性的数学描述
(一) Boltzmann叠加原
在Δ σ31 、、
u2 、 ……
u3 、 Δ σn
……
un时刻，对试样加应力Δ σ1 、 Δ σ2 、
ε(t)﹦ ∑Δσi D(t-ui)
i： 1→ n
连续对试样加应力，变化率为? σ (u)/? u
t﹥ un
ε(t)﹦ ∫ D(t-u)(? σ (u)/? u) du u：－ ∞ → t
ηs*﹦ηs1－ηs2 ηs1 ﹦(σ0/γ0 ω)sinδ ηs2 ﹦(σ0/γ0 ω)cosδ
ηs1 ﹦G2/ω
ηs2 ﹦G 1/ω
二、 粘弹性的数学描述
(一) Boltzmann叠加原
1. 数理学表达式
在零时刻，对试样加应力σ0 ε0 (t)﹦σ0 D(t)
在u1时刻，对试样加应力σ1 ε1 (t)﹦σ1 D(t-u1)
粘性响应 理想液体
粘弹体的应力与应变的相位关系
一、 粘弹性现象 (二) 动态粘弹性
力学损耗：由于滞后，周期性应力应变变化过程将伴随能量消耗， 称之为力学损耗。 损耗的大小同滞后角有关，常以tanδ 表示
橡胶拉伸与回缩的应力-应变关系示意图
一、 粘弹性现象 (二) 动态粘弹性
聚合物的内耗与频率的关系
表示在复平面上的复模量 E* D* ﹦1
一、 粘弹性现象 (三) 粘弹性参数
G*﹦G1＋iG2
J* ﹦ J1 － iJ2
tan δ ﹦ E2 / E 1
﹦ D2 / D 1 ﹦ G2 / G 1 ﹦ J2 / J 1
链段运动的松弛时间同 作用频率(速率)相匹 配时(ω ~ 1/τ )，粘 弹性现象最显著。
二、 粘弹性的数学描述
(一) Boltzmann叠加原
在Δ σ31 、、
u2 、 ……
u3 、 Δ σn
……
un时刻，对试样加应力Δ σ1 、 Δ σ2 、
ε(t)﹦ ∑Δσi D(t-ui)
i： 1→ n
连续对试样加应力，变化率为? σ (u)/? u
t﹥ un
ε(t)﹦ ∫ D(t-u)(? σ (u)/? u) du u：－ ∞ → t
ηs*﹦ηs1－ηs2 ηs1 ﹦(σ0/γ0 ω)sinδ ηs2 ﹦(σ0/γ0 ω)cosδ
ηs1 ﹦G2/ω
ηs2 ﹦G 1/ω
二、 粘弹性的数学描述
(一) Boltzmann叠加原
1. 数理学表达式
在零时刻，对试样加应力σ0 ε0 (t)﹦σ0 D(t)
在u1时刻，对试样加应力σ1 ε1 (t)﹦σ1 D(t-u1)
粘性响应 理想液体
第七章 高分子物理 聚合物的粘弹性
是由内部构象熵变引起的，所以也称熵弹性（橡 胶具有高弹性）
原子偏离平衡位置储存了内能,内能释放,恢复形状， 无能量损耗，形状记忆
高弹性（熵弹性）
粘性流动
覆水难收：无能量储存，无形状记忆
理想弹性与理想粘性比较
弹性 能量储存 形变回复 虎克固体 粘性 能量耗散 永久形变 牛顿流体 d
不同种类聚合物蠕变行为不同 • 线形非晶态聚合物
• T﹤﹤ Tg 时只能看到蠕变的起始部分，要 观察到全部曲线要几个月甚至几年 • T﹥﹥Tg时只能看到蠕变的最后部分 • T≈Tg 附近可在较短的时间内观察到全部曲 线
• 交联聚合物
无粘性流动部分
• 晶态聚合物
不仅与温度有关，而且由于再结晶等情况， 使蠕变比预期的要大
蠕变性能反映了材料的尺寸稳定性和长期负载能力 汽车停在柏油路上，t↑,路面会形成凹陷 悬挂的PVC雨衣，会越来越长； 晒衣服的塑料绳会越来越弯曲。
理想弹性体和粘性体的蠕变和蠕变回复
σ σ0
对 σ0 理 想 弹ε 性ε0 体
0
t1
t2
t
对 理 想 粘 ε 性 体 ε0
0
t1
t2
t
0
t1
t2
t
0
t1
第七章 聚合物的粘弹性
The Viscoelasticity of Polymer
熵弹性 缠结
粘弹性
主要内容
聚合物的力学松弛现象（重点） 描述松弛过程的力学模型 Boltzmann 叠加原理 时温等效原理（重点） 研究粘弹行为的实验方法 聚合物的结构与动态力学性能关系（重点）
材料的粘弹性基本概念
0
π
0 滞 sin(t ) 后 2 /2
原子偏离平衡位置储存了内能,内能释放,恢复形状， 无能量损耗，形状记忆
高弹性（熵弹性）
粘性流动
覆水难收：无能量储存，无形状记忆
理想弹性与理想粘性比较
弹性 能量储存 形变回复 虎克固体 粘性 能量耗散 永久形变 牛顿流体 d
不同种类聚合物蠕变行为不同 • 线形非晶态聚合物
• T﹤﹤ Tg 时只能看到蠕变的起始部分，要 观察到全部曲线要几个月甚至几年 • T﹥﹥Tg时只能看到蠕变的最后部分 • T≈Tg 附近可在较短的时间内观察到全部曲 线
• 交联聚合物
无粘性流动部分
• 晶态聚合物
不仅与温度有关，而且由于再结晶等情况， 使蠕变比预期的要大
蠕变性能反映了材料的尺寸稳定性和长期负载能力 汽车停在柏油路上，t↑,路面会形成凹陷 悬挂的PVC雨衣，会越来越长； 晒衣服的塑料绳会越来越弯曲。
理想弹性体和粘性体的蠕变和蠕变回复
σ σ0
对 σ0 理 想 弹ε 性ε0 体
0
t1
t2
t
对 理 想 粘 ε 性 体 ε0
0
t1
t2
t
0
t1
t2
t
0
t1
第七章 聚合物的粘弹性
The Viscoelasticity of Polymer
熵弹性 缠结
粘弹性
主要内容
聚合物的力学松弛现象（重点） 描述松弛过程的力学模型 Boltzmann 叠加原理 时温等效原理（重点） 研究粘弹行为的实验方法 聚合物的结构与动态力学性能关系（重点）
材料的粘弹性基本概念
0
π
0 滞 sin(t ) 后 2 /2
高聚物的高弹性和粘弹性
第五章 高聚物的高弹性和粘弹性第一部分 主要容§5 高弹态和粘弹性§5.1 高弹性的特点及热力学分析一、高弹性的特点(1 )E 小，ε大且可迅速恢复(2)E 随T 增大而增大3、拉伸或压缩过程：放热二、理想高弹性的热力学分析——理想高弹性是熵弹性1）橡胶拉伸过程热力学分析dU=-dW+dQdW=-fdl+PdU=-fdldQ=TdSdU=TdS+f fdl等温，等容过程V T l U .)(∂∂=T(V T lS .)(∂∂+f f=-T V T l S .)(∂∂+V T l U .)(∂∂ 熵 能所以，高弹性是一个熵变得过程2）理想高弹性是熵弹性f=-T V T l S .)(∂∂+V T lU .)(∂∂ =f s +f ua f ≈-T V T lS .)(∂∂弹性力是由熵变引起的 熵弹性 bf ∝T T ↑,f ↑,E=εσ↑ c 热弹较变现象ε〈10%时，f 对T 作图为负值§5.2 橡胶弹性的统计理论一、理想弹性中的熵变1）孤立链的S在(x,y,z)位置的几率 W(x,y,z)=)(32222)(z y x e ++-βπββ2=223zbS=klnn=c-k β2(x 2+y 2+z 2)2)理想交联网的假设(1) 两交链点间的链符合高斯链的特征(2)仿射变形(3)(4)Si= c-k β2(x 2i +y 2i +z 2i )Si ’=c-k β2(λ12x 2i +λ22y 2i +λ32z 2i )ΔSi= Si ’- Si=-k β2((λ12-1)x 2i +(λ22-1)y 2i +(λ32-1)z 2i )如果试样的网链总数为NΔS=-KN/2(λ12+λ22+λ32)=-1/2KN(λ2+λ-2-3)σ=-V T lS .)(∂∆∂=NKT(λ-λ-2) 二、真实（橡胶）弹性网与理论值比较及修正（1）比较a ：λ很小， σ理=σ真b ：λ较小，σ理〉σ真因自由端基或网络缺陷c ：λ较大，σ理〈σ真因局部伸展或拉伸结晶引起（2）修正σ= NKT(λ-λ-2)=Mc RT ρ (λ-λ-2) 当分子量为时σ=Mc RT ρ（1-)2MnMc (λ-λ-2)其中 NMc N 1=ρ §5.3 粘弹性的三种表现ε.E （结构.T.t ）弹性——材料恢复形变的能力，与时间无关。
高分子物理chapter7粘弹性
滞后现象与哪些因素有关? a.化学结构：刚性链滞后现象小，柔性链滞后现象大. b.温度：当不变的情况下，T很高时滞后几乎不出现，温度 很低，也无滞后。在Tg附近的几十度的温度范围内，链段既 可运动又不太容易，此刻滞后现象严重。 c. : 外力作用频率低时，链段的运动跟的上外力 的变化， 滞后现象很小； 外力作用频率不太高时，链段可以运动，但是不能完 全跟上外力的变化，表现出明显的滞后现象。 外力作用频率很高时,链段根本来不及运动,聚合物好 像一块刚性的材料，滞后很小。
0 E E 'iE ' ' (cos isin ) 0
E”
实数模量是储能模量
虚数模量为能量的损耗.
E" tan E'
图13
E’
33
第7章 聚合物的黏弹性
④内耗的影响因素 a.结构因素: a.结构因素 b.温度 c.tan与关系
顺丁橡胶:内耗小，链上无取代基，链段运 动的内摩擦阻力小，做轮胎 链刚性内耗大, 链柔性内耗小. 丁苯,丁腈橡胶:内耗大，丁苯有一个苯环； 丁腈有一个-CN，极性较大，链段运动时内 摩擦阻力很大(吸收冲击能量很大，回弹性 差)，用作吸音和消震的材料. BR＜ NR＜ SBR＜ NBR
1、蠕变Creep
在一定的温度和恒定应力（拉力，扭力或压力等）作用下， 材料的形变随时间的增长而逐渐增加的现象。 若除掉外力，形变随时间而减小－－称为蠕变回复。 物理意义：蠕变大小反映了材料尺寸的稳定性和长期负载能力。
6
第7章 聚合物的黏弹性
7
第7章 聚合物的黏弹性
蠕变：一定温度、较小的恒定外力下，材料的形变随时间增加而逐渐增大
②理想交联聚合物，不存在粘流态， 3 =0， =1+2
0 E E 'iE ' ' (cos isin ) 0
E”
实数模量是储能模量
虚数模量为能量的损耗.
E" tan E'
图13
E’
33
第7章 聚合物的黏弹性
④内耗的影响因素 a.结构因素: a.结构因素 b.温度 c.tan与关系
顺丁橡胶:内耗小，链上无取代基，链段运 动的内摩擦阻力小，做轮胎 链刚性内耗大, 链柔性内耗小. 丁苯,丁腈橡胶:内耗大，丁苯有一个苯环； 丁腈有一个-CN，极性较大，链段运动时内 摩擦阻力很大(吸收冲击能量很大，回弹性 差)，用作吸音和消震的材料. BR＜ NR＜ SBR＜ NBR
1、蠕变Creep
在一定的温度和恒定应力（拉力，扭力或压力等）作用下， 材料的形变随时间的增长而逐渐增加的现象。 若除掉外力，形变随时间而减小－－称为蠕变回复。 物理意义：蠕变大小反映了材料尺寸的稳定性和长期负载能力。
6
第7章 聚合物的黏弹性
7
第7章 聚合物的黏弹性
蠕变：一定温度、较小的恒定外力下，材料的形变随时间增加而逐渐增大
②理想交联聚合物，不存在粘流态， 3 =0， =1+2
高分子物理第七章聚合物粘弹性
高分子材料？ 高分子运动单元的时间温度依赖性
聚合物：力学行为强烈依赖于温度和外力作用时间
在外力作用下，高分子材料的性质介于弹性材料和粘性材料之 间，高分子材料产生形变，应力同时依赖于应变和应变速率。 聚合物的这种既有弹性有粘性的性质称为粘弹性。
聚合物的力学性能随时间的变化统称为力学松弛。最基本
的力学松弛现象包括：
滞后和内耗
E'' 0 sin 0
tg E''
E'
用来表示内耗
E' 0 cos 0
=0， tg =0, 没有热耗散 =90°， tg = , 全耗散掉
力学性能的分子解释
聚合物的宏观性能是内部分子运动状态的反应。
频率的影响：（温度恒定）
（1）交变应力的频率小时：（相 当于高弹态）
链段完全跟得上交变应力的 变化，内耗小，E’小，E” 和tgδ都 比较低.
本章内容
➢ 聚合物的力学松弛现象
蠕变，应力松弛，滞后
➢ 粘弹性的数学描述
力学模型，Boltzmann叠加原理
➢ 时温等效和叠加
蠕变 Creep
定义：在一定的温度和较小的恒定应力（拉力，扭力或压力等）
作用下，材料的形变随时间的增长而逐渐增加的现象。 若除掉外力，形变随时间变化而减小－－称为蠕变回复。 物理意义：蠕变大小反映了材料尺寸的稳定性和长期负载能力。
✓ 在适当的和Tg以上附近温度，才可以观察到完整 的蠕变曲线。因为链段可运动，但又有较大阻力—— 内摩擦力，因而只能较缓慢的运动。
蠕变的影响因素
（4）结构：主链刚性，分子运动性差，外力作用下，蠕变小
C3 H
O
O
C
OC
n
高聚物粘弹性力学模型的几个问题课件
微观结构和宏观性能的联系
建立有效的模型来描述高聚物微观结构（如分子链的排列、交联密度等）与宏观性能（如弹性模量、粘度等）之间的关系是当前研究的热点。
非线性粘弹性
传统的高聚物粘弹性模型主要基于线性假设，但实际高聚物在复杂应力状态下表现出显著的的非线性粘弹性行为。因此，发展非线性粘弹性模型是未来的重要方向。
VS
宏观模型是从高聚物宏观结构和宏观尺度行为出发，通过建立宏观尺度模型来描述高聚物的粘弹性行为。这种模型通常包括本构方程、状态方程和传递方程等。
宏观模型的优点是能够方便地描述高聚物的宏观粘弹行为，如应力松弛、蠕变和滞后等。然而，宏观模型通常缺乏对高聚物内部结构和分子动力学的考虑，难以揭示粘弹行为的微观机制。
高聚物粘弹性在许多领域都有广泛应用，如塑料、橡胶、涂料、胶粘剂等。
高聚物粘弹性在材料设计、加工、性能优化等方面具有重要价值，能够提高材料的性能和稳定性。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA
高聚物粘弹性力学模型
唯象模型是从实验现象出发，通过建立数学模型来描述高聚物的粘弹性行为。这种模型通常包括粘壶模型、弹簧模型和阻尼器模型等。
模型在不同应力状态下的适用性也不同，如拉伸、压缩、剪切等。
适用应力状态
03
参数优化
通过优化算法对模型参数进行优化，以使预测结果与实验结果尽可能一致。
01
实验数据
确定模型参数通常需要实验数据支持，如时间-温度-应力等依赖性实验数据。
02
参数敏感性分析
对于模型参数的微小变化可能会对预测结果产生显著影响的情况，需要进行参数敏感性分析。
高聚物粘弹性力学模型的几个问题课件
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA
建立有效的模型来描述高聚物微观结构（如分子链的排列、交联密度等）与宏观性能（如弹性模量、粘度等）之间的关系是当前研究的热点。
非线性粘弹性
传统的高聚物粘弹性模型主要基于线性假设，但实际高聚物在复杂应力状态下表现出显著的的非线性粘弹性行为。因此，发展非线性粘弹性模型是未来的重要方向。
VS
宏观模型是从高聚物宏观结构和宏观尺度行为出发，通过建立宏观尺度模型来描述高聚物的粘弹性行为。这种模型通常包括本构方程、状态方程和传递方程等。
宏观模型的优点是能够方便地描述高聚物的宏观粘弹行为，如应力松弛、蠕变和滞后等。然而，宏观模型通常缺乏对高聚物内部结构和分子动力学的考虑，难以揭示粘弹行为的微观机制。
高聚物粘弹性在许多领域都有广泛应用，如塑料、橡胶、涂料、胶粘剂等。
高聚物粘弹性在材料设计、加工、性能优化等方面具有重要价值，能够提高材料的性能和稳定性。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA
高聚物粘弹性力学模型
唯象模型是从实验现象出发，通过建立数学模型来描述高聚物的粘弹性行为。这种模型通常包括粘壶模型、弹簧模型和阻尼器模型等。
模型在不同应力状态下的适用性也不同，如拉伸、压缩、剪切等。
适用应力状态
03
参数优化
通过优化算法对模型参数进行优化，以使预测结果与实验结果尽可能一致。
01
实验数据
确定模型参数通常需要实验数据支持，如时间-温度-应力等依赖性实验数据。
02
参数敏感性分析
对于模型参数的微小变化可能会对预测结果产生显著影响的情况，需要进行参数敏感性分析。
高聚物粘弹性力学模型的几个问题课件
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA
七高聚物的高弹性粘流性粘弹性
e e1
e2+e3 e2 普弹形变
高弹形变
e3 粘性流动 t
e1
t1 t2
• 蠕变结果：形变保留（粘性流动产生的形变）
蠕变与受力时间有关，受 力时间越长，蠕变越严重。
蠕变：在外力作用下，被拉长的分
子中的一些链段逐渐适应了新的环境和
形态，使高能量的构象逐渐转化为较低
能量的构象。
高能量
较长时间以后
低能量 蠕变
力）、缠结的解开。
• • • • •
滞后和内耗的影响因素： （1）结构 （2）交联X （3）温度X （4）增强剂、增塑剂
• 应用：隔音、防震材料。
• 本章小结： • 高弹性的特点：弹性形变，形变大模量小，可以 恢复。 • 概念：牛顿流体非牛顿流体、弹性形变、粘弹性、 切力变烯体、蠕变、应力松弛、滞后现象、力学 内耗。 • 蠕变、应力松弛、力学内耗的影响因素：柔顺性 的影响因素同此。
柔性分子
抗蠕变性能好
易蠕变
ABS 中的聚 苯乙烯
顺丁橡胶
2、结晶
3、交联
结晶高聚物
交联高聚物 线形高聚物
一般抗蠕变性 能较好
抗蠕变性能好 酚醛塑料
抗蠕变性能差， 聚乙烯 易蠕变 抗蠕变性能好
4 、相对分子 质量
高相对分子 质量
外因
具 体 情 性能 况 有利于蠕 变 有利于蠕 变 抗蠕变 有利于蠕 变
e2
t1
t2
形变逐渐恢复 t
高弹形变示意图
（iii）粘性流动（e3）： 受力时发生分子链的相对位移，外力 除去后粘性流动不能回复，是不可逆形变。 如下图：
e3 形变保留
受力时间（t2-t1） 越长，粘性流动形 变越大（蠕变）
e2+e3 e2 普弹形变
高弹形变
e3 粘性流动 t
e1
t1 t2
• 蠕变结果：形变保留（粘性流动产生的形变）
蠕变与受力时间有关，受 力时间越长，蠕变越严重。
蠕变：在外力作用下，被拉长的分
子中的一些链段逐渐适应了新的环境和
形态，使高能量的构象逐渐转化为较低
能量的构象。
高能量
较长时间以后
低能量 蠕变
力）、缠结的解开。
• • • • •
滞后和内耗的影响因素： （1）结构 （2）交联X （3）温度X （4）增强剂、增塑剂
• 应用：隔音、防震材料。
• 本章小结： • 高弹性的特点：弹性形变，形变大模量小，可以 恢复。 • 概念：牛顿流体非牛顿流体、弹性形变、粘弹性、 切力变烯体、蠕变、应力松弛、滞后现象、力学 内耗。 • 蠕变、应力松弛、力学内耗的影响因素：柔顺性 的影响因素同此。
柔性分子
抗蠕变性能好
易蠕变
ABS 中的聚 苯乙烯
顺丁橡胶
2、结晶
3、交联
结晶高聚物
交联高聚物 线形高聚物
一般抗蠕变性 能较好
抗蠕变性能好 酚醛塑料
抗蠕变性能差， 聚乙烯 易蠕变 抗蠕变性能好
4 、相对分子 质量
高相对分子 质量
外因
具 体 情 性能 况 有利于蠕 变 有利于蠕 变 抗蠕变 有利于蠕 变
e2
t1
t2
形变逐渐恢复 t
高弹形变示意图
（iii）粘性流动（e3）： 受力时发生分子链的相对位移，外力 除去后粘性流动不能回复，是不可逆形变。 如下图：
e3 形变保留
受力时间（t2-t1） 越长，粘性流动形 变越大（蠕变）
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• ③、描述各向同性并且是不可压缩牛顿流体的力学行为只
需要一个力学常数，或者是剪切粘度，或者是拉伸粘度， 其中拉伸粘度是剪切粘度的3倍。
• 1.3、高聚物粘弹性的力学模型被忽视的一个重要假定
高聚物在通常温度和通常的外力作用时间下就表现出明显的粘弹性， 可以简单地认为是胡克弹性体和牛顿流体的线性组合。
C42
4! 2!(4 2)!
6
E 2G(1 ) G(3 2G) (1 )(1 2 ) 9K(K ) 9KG 3K(1 2 )
G
3K 3K G
K E 2 G (1 ) 3G(1 ) GE
3(1 2 ) 3
3 3(1 2 ) 3(3G E)
讨论：当 ＝0.5时，E=3G；K 、趋于无穷大
• 1.2、描述不可压缩牛顿流体力学行为所需要的材料力学
常数
牛顿流体满足本构方程：
ij pij DijklVkl
ij Cijklekl
ij pij 'Vkkij 2G'Vij
ij ekkij 2Geij
’, G’, K’, E’, ’
, G, K, E,
• 对牛顿流体来说不可压缩条件经常得到满足，相当于：
1 E
11
杨氏模量E反映了材料抗拉伸 能力的大小
-e22/e11=-e33/e11=
泊松比 反映了拉伸过程中材料的横 向收缩与纵向伸长的比值
• 因为找不到一种简单的实验方法让第一拉
梅常数在某个方程里单独出现，因此其物
理或几何意义都不明确，在实际过程中很
少使用。
ij ekkij 2Geij
G
高聚物粘弹性力学模型中值得 探讨的几个问题
杨海洋
• 1、描述各向同性胡克弹性体的力学行为需要两个独立的
力学常数，描述不可压缩牛顿流体的力学行为需要一个力 学常数。高聚物在通常温度和通常的外力作用时间下就表 现出明显的粘弹性，可以简单地认为是胡克弹性体和牛顿 流体的线性组合，那么在高聚物粘弹性力学模型中描述高 分子材料的力学行为所需要的力学常数为什么不是三个而 是两个？
x1
x3
G：材料抗剪切应变能力大小
=G
• 当i = j时， ij ekkij 2Geij
kk ＝(3 +2G)ekk 3kekk = 3kV/V
在静水压条件下
11＝ 22＝ 33＝－P ：其中P为静水压
V/V ＝－P/k
k：抗体积变化能力的大小，称之为本体模量
• 对广义胡克定律的展开形式求逆可以引伸出另外两个力
3
a1 j x j c1
j1
3
a2 j x j
c2
j1
3
a3 j x j
c3
j1
小结：
aa21
j j
x x
j j
c1 c2
a3
j
x
j
c3
aij x j ci
自由指标在同一项中只出现一次，可任意取值；
求和指标在同一项中出现两次，可以被另一表示求和指标置换。
• 克罗内克尔符号（Kronecker delta）
• 2、广义胡克定律只有在无限小应变条件下才是严格成立
的。高聚物所涉及的形变如橡胶的高弹形变都不是无限小 应变，为什么依旧可以用胡克弹性体和牛顿流体的线性组 合来描述高聚物的力学行为？
• 3、高聚物流变性同样可以用粘弹性力学模型来描述，那
么如何从胡克弹性体和牛顿流体的线性组合来解释在简单 剪切条件下高聚物流体所表现出的异常力学行为?
学常数
ij ekk ij 2Geij
kk ＝(3 +2G)ekk
eij
1 2G
ij
2G
3
1
2G
kk
ij
令：E G(3 2G) ，
G
2( G)
eij
1
E
ij
E
kk
ij
• 如果在1方向对材料进行单向拉伸（22=33=0）
eij
1
E
ij
E
kk
ij
e22
Hale Waihona Puke E11, e33E
11
e11
• 1.0、求和指标（哑指标）和自由指标（数学准备）
求和指标：
x1 x2 x3
ax by cz 1
3
ai xi 1
i 1
ai xi 1
a1 a2 a3
ax2 by2 cz2 2dxy 2eyz 2 fzx 1
aij xi x j 1
ai xi 1 ajxj 1
3
ai xi 1
＋
更加复杂的力学 模型
麦克斯韦（Maxwell）模型 沃伊特（Voigt）模型或开 尔文（Kelvin）模型
0.5 无穷 无穷 E’/3 3G’
’, ’, K’, G’, E’,
t
定义为剪切粘度， t定义为拉伸粘度，对不可 压缩的牛顿流体来说， t ＝3
• 小结：
• ①、描述各向同性胡克弹性体的力学行为需要两个独立的
力学常数；
• ②、如果泊松比等于0.5，则描述各向同性胡克弹性体的力
学行为只需要一个力学常数，或者是剪切模量，或者是杨 氏模量，其中杨氏模量是剪切模量的3倍；
i 1 3
ajxj 1
j 1
a1x1 a2 x2 a3x3 1 a1x1 a2 x2 a3x3 1
ai xi a j x j ak xk 表示求和指标可以相互被置换
自由指标：
aa2111xx11
a12x2 a22x2
a13 x3 a23 x3
c1 c2
a31x1 a32x2 a33x3 c3
E K
2G G(E 2G) K 2 G Ev 3K 3K(3K E)
1 2 3G E
3 (1 )(1 2 ) 1 9K E
G E (1 2 ) 3 (K ) 3K(1 2 ) 3KE
2(1 ) 2 2
2(1 ) 9K E
E 1 3K 2G 3K E 2G 2( G) 3K 2(3K G) 6K
1,当i j
ij 0,当i j
11 12 13 1 0 0 21 22 23 0 1 0 31 32 33 0 0 1
• 1.1、描述各向同性条件下胡克弹性体力学行为所需要的
材料力学常数
• （初中物理教材）胡克定律：F=kx, k：弹簧的弹性系数 • （大学力学教材）广义胡克定律：
ij Cijklekl
各向同性
ij ekkij 2Geij
其中：第一拉梅（Lame）常数； G第二拉梅常数（剪切模量）
• 当i j时， ij ekkij 2Geij
12 ＝2Ge12, 23 ＝2Ge23, 31 ＝2Ge31
在简单剪切条件下，23 =31 =0， x2
12 ＝2Ge12,
需要一个力学常数，或者是剪切粘度，或者是拉伸粘度， 其中拉伸粘度是剪切粘度的3倍。
• 1.3、高聚物粘弹性的力学模型被忽视的一个重要假定
高聚物在通常温度和通常的外力作用时间下就表现出明显的粘弹性， 可以简单地认为是胡克弹性体和牛顿流体的线性组合。
C42
4! 2!(4 2)!
6
E 2G(1 ) G(3 2G) (1 )(1 2 ) 9K(K ) 9KG 3K(1 2 )
G
3K 3K G
K E 2 G (1 ) 3G(1 ) GE
3(1 2 ) 3
3 3(1 2 ) 3(3G E)
讨论：当 ＝0.5时，E=3G；K 、趋于无穷大
• 1.2、描述不可压缩牛顿流体力学行为所需要的材料力学
常数
牛顿流体满足本构方程：
ij pij DijklVkl
ij Cijklekl
ij pij 'Vkkij 2G'Vij
ij ekkij 2Geij
’, G’, K’, E’, ’
, G, K, E,
• 对牛顿流体来说不可压缩条件经常得到满足，相当于：
1 E
11
杨氏模量E反映了材料抗拉伸 能力的大小
-e22/e11=-e33/e11=
泊松比 反映了拉伸过程中材料的横 向收缩与纵向伸长的比值
• 因为找不到一种简单的实验方法让第一拉
梅常数在某个方程里单独出现，因此其物
理或几何意义都不明确，在实际过程中很
少使用。
ij ekkij 2Geij
G
高聚物粘弹性力学模型中值得 探讨的几个问题
杨海洋
• 1、描述各向同性胡克弹性体的力学行为需要两个独立的
力学常数，描述不可压缩牛顿流体的力学行为需要一个力 学常数。高聚物在通常温度和通常的外力作用时间下就表 现出明显的粘弹性，可以简单地认为是胡克弹性体和牛顿 流体的线性组合，那么在高聚物粘弹性力学模型中描述高 分子材料的力学行为所需要的力学常数为什么不是三个而 是两个？
x1
x3
G：材料抗剪切应变能力大小
=G
• 当i = j时， ij ekkij 2Geij
kk ＝(3 +2G)ekk 3kekk = 3kV/V
在静水压条件下
11＝ 22＝ 33＝－P ：其中P为静水压
V/V ＝－P/k
k：抗体积变化能力的大小，称之为本体模量
• 对广义胡克定律的展开形式求逆可以引伸出另外两个力
3
a1 j x j c1
j1
3
a2 j x j
c2
j1
3
a3 j x j
c3
j1
小结：
aa21
j j
x x
j j
c1 c2
a3
j
x
j
c3
aij x j ci
自由指标在同一项中只出现一次，可任意取值；
求和指标在同一项中出现两次，可以被另一表示求和指标置换。
• 克罗内克尔符号（Kronecker delta）
• 2、广义胡克定律只有在无限小应变条件下才是严格成立
的。高聚物所涉及的形变如橡胶的高弹形变都不是无限小 应变，为什么依旧可以用胡克弹性体和牛顿流体的线性组 合来描述高聚物的力学行为？
• 3、高聚物流变性同样可以用粘弹性力学模型来描述，那
么如何从胡克弹性体和牛顿流体的线性组合来解释在简单 剪切条件下高聚物流体所表现出的异常力学行为?
学常数
ij ekk ij 2Geij
kk ＝(3 +2G)ekk
eij
1 2G
ij
2G
3
1
2G
kk
ij
令：E G(3 2G) ，
G
2( G)
eij
1
E
ij
E
kk
ij
• 如果在1方向对材料进行单向拉伸（22=33=0）
eij
1
E
ij
E
kk
ij
e22
Hale Waihona Puke E11, e33E
11
e11
• 1.0、求和指标（哑指标）和自由指标（数学准备）
求和指标：
x1 x2 x3
ax by cz 1
3
ai xi 1
i 1
ai xi 1
a1 a2 a3
ax2 by2 cz2 2dxy 2eyz 2 fzx 1
aij xi x j 1
ai xi 1 ajxj 1
3
ai xi 1
＋
更加复杂的力学 模型
麦克斯韦（Maxwell）模型 沃伊特（Voigt）模型或开 尔文（Kelvin）模型
0.5 无穷 无穷 E’/3 3G’
’, ’, K’, G’, E’,
t
定义为剪切粘度， t定义为拉伸粘度，对不可 压缩的牛顿流体来说， t ＝3
• 小结：
• ①、描述各向同性胡克弹性体的力学行为需要两个独立的
力学常数；
• ②、如果泊松比等于0.5，则描述各向同性胡克弹性体的力
学行为只需要一个力学常数，或者是剪切模量，或者是杨 氏模量，其中杨氏模量是剪切模量的3倍；
i 1 3
ajxj 1
j 1
a1x1 a2 x2 a3x3 1 a1x1 a2 x2 a3x3 1
ai xi a j x j ak xk 表示求和指标可以相互被置换
自由指标：
aa2111xx11
a12x2 a22x2
a13 x3 a23 x3
c1 c2
a31x1 a32x2 a33x3 c3
E K
2G G(E 2G) K 2 G Ev 3K 3K(3K E)
1 2 3G E
3 (1 )(1 2 ) 1 9K E
G E (1 2 ) 3 (K ) 3K(1 2 ) 3KE
2(1 ) 2 2
2(1 ) 9K E
E 1 3K 2G 3K E 2G 2( G) 3K 2(3K G) 6K
1,当i j
ij 0,当i j
11 12 13 1 0 0 21 22 23 0 1 0 31 32 33 0 0 1
• 1.1、描述各向同性条件下胡克弹性体力学行为所需要的
材料力学常数
• （初中物理教材）胡克定律：F=kx, k：弹簧的弹性系数 • （大学力学教材）广义胡克定律：
ij Cijklekl
各向同性
ij ekkij 2Geij
其中：第一拉梅（Lame）常数； G第二拉梅常数（剪切模量）
• 当i j时， ij ekkij 2Geij
12 ＝2Ge12, 23 ＝2Ge23, 31 ＝2Ge31
在简单剪切条件下，23 =31 =0， x2
12 ＝2Ge12,