弹性力学应力理论
e3
11
e1
32
31
23
13
22
12 21
x2 e2
x1
Chapter 3.1
外力、内力与应力
把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：
(1) 11e1 12e2 13e3 1jej
(2) 21e1 22e2 23e3 2jej
(3) 31e1 32e2 33e3 3jej x3 33
面力
即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼 上的空气动力、水坝所受的水压力等。
Chapter 3.1
外力、内力与应力
➢定义式
F 体力： f lim
V0 V
fi
lim
V 0
Fi V
V F
f1
lim
V 0
F1 V
f2
lim
V 0
F2 V
f3
lim
V 0
F3 V
Chapter 3.1
外力、内力与应力
弹性力学 Theory of Elasticity
陶嗣巍 北京吉利大学汽车学院
应力理论
外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程
Chapter 3
外力、内力与应力
外力
Chapter 3.1
外力、内力与应力
外力
体力
即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为 质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。
cos (),e1
()1 ;
cos (),e2
()2
cos (),e3
()3
Chapter 3.2
Байду номын сангаас
柯西公式
➢ 柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面正应力
n ( )g = g g = iji j
斜面剪应力
() n
2 n2
Chapter 3.2
柯西公式
➢ 柯西公式应用－给定应力边界条件
Chapter 3.2
柯西公式
()g(e1 1jeje2 2jeje3 3jej) g(ijeiej)
根据商判则，知 ij e i e j 必是一个二阶张量，于是定义
应力张量
ijeiej
Chapter 3.2
柯西公式
() g (ijeiej) g
这就是著名的柯西公式，又称斜面应力公式。
主应力 & 应力不变量
x3
11
2 1
12
22
13
x1
23
32
31 33
( )
x2
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
概念
• 切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。 • 主平面的法线称为应力主轴，或者称为应力主方向。 • 主平面上的正应力称为主应力。
Chapter 3.3
zy
xx
y x
xz
xy
yz
xz
yy
yy z yz
xx
xy
yx
zy
zx
o
y
zz
x
应力分量的正负号规定
Chapter 3.1
外力、内力与应力
zz zy
zx
yz
xz
yy
z xx
xy yx
o
y
x
应力分量的个数
Chapter 3.1
外力、内力与应力
x3
33
pnx xl yxm zxn pny xyl ym zyn pnz xzl yzm zn
由剪应力互等定理可得：
pnx xl xym xzn pny xyl ym yzn pnz xzl yzm zn
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
l 1 ,m 1 ,n 1 , l 2 ,m 2 ,n 2 , l 3 ,m 3 ,n 3
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
3I12I2I30
✓ I1、I2和 I3是三个与坐标选择无关的标量，称为应 力张量的第一、第二和第三不变量。它们是相互独立 的。 ✓ 通常主应力按其代数值的大小排列，称为第一主
主应力 & 应力不变量
主应力和应力不变量
假设存在主平面BCD，其法线方向为n(l,m,n)，截面上 的总应力 pn＝ ，亦即n方向截面上剪应力为零。
则截面上总应力pn在坐标轴方向的分量可以表示为
p nx l p ny m p nz n
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
对斜面BCD运用柯西公式，可得：
斜截面的面元矢量为：
d S d S 1 e 1 d S 2 e 2 d S 3 e 3
Chapter 3.2
柯西公式
四面体的体积为：
V
1 3
dhdS
dh为顶点 O 到斜面 的垂直距离
x1
x3
图2-4
( ) ( )3
x2
( )2
()1
Chapter 3.2
柯西公式
x3
四面体上作用力的平衡条件是：
1，2，3，即为该点的三个主应力。
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
若将一个根代入如下方程组：
x l xym xzn 0
xyl y m yzn 0
xzl yzm z n 0
l2 m2 n2 1
可以顺次求出相应于1，2和3的三个主方向：
主应力 & 应力不变量
➢正交性 • 特征方程无重根时，三个主应力必两两正交； • 特征方程有一对重根时，在两个相同主应力的作 用平面内呈现双向等拉(或等压)状态，可在面内任 选两个相互正交的方向作为主方向； • 特征方程出现三重根时，空间任意三个相互正交 的方向都可作为主方向。
( ) ( )3
(1) dS1 (2) dS2 (3) dS3
x2
( )2
()
dS
f
(1dhdS) 3
0
x1
图2-4
()1
第五项是体力的合力，由于dh是小量，故体力项可以
略去。可得：
()(g e1)(1)(g e2)(2)(g e3)(3) g (e1(1)e2 (2)e3(3))
主应力 & 应力不变量
➢ 极值性
主应力1和3是一点正应力的最大值和最小值。
在主坐标系中，任意斜截面上正应力的表达式：
n=g g = ijij
=11 222 233 2
= 1 (1 2 )2 2 (2 3 )3 2 1 = (1 3 )1 2 (2 3 )2 2 3 3
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
x l xym xzn 0
xyl y m yzn 0
xzl yzm z n 0
由于l2m2n21，所以要有非零解，则上述三
个方程必须是线性相关的，亦即系数行列式为零：
x xy xz
xy y
yz
xz yz 0 z
Chapter 3.3
正六面体微元: 外法线与
坐标轴同向的三个面称
为正面，记为dSi，它们
的单位法向矢量为i＝ei， z
ei是沿坐标轴的单位矢量； o
y
另三个外法线与坐标轴
x
反向的面元称为负面。
Chapter 3.1
外力、内力与应力
( )
yz
yy
z
yx
o
y
x
Chapter 3.1
外力、内力与应力
zz zx
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应力
➢ 应力矢量
S
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应力矢量：
S
( )
lim
S0
F S
若取 S 为变形前面元的初始面积，则上式给出工程 应力，亦称名义应力，常用于小变形情况。
对于大变形问题，应取 S 为变形后面元的实际面积， 称真实应力，简称真应力, 也称柯西应力。
pnx xl xymxzn
p nx l
pny xyl ymyzn (1) p n y m ( 2 )
pnz xzl yzmzn
p nz n
由(1)和(2)式得：
x l xym xzn 0
xyl y m yzn 0
xzl yzm z n 0
Chapter 3.3
Chapter 3.2
柯西公式
➢ 柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面上应力的大小
()
22 2
()1
()2
()3
1/2
1/2
()i ()i
k ki l li
Chapter 3.2
柯西公式
➢ 柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面上应力的方向
n
( )
即
32
即：
(i) ijej
31
e3 11
13 12
e2 e1
23 22
21 x2
x1
Chapter 3.1
外力、内力与应力
(1) 11e112e2 13e3 1jej (2) 21e122e2 23e3 2jej (3) 31e132e2 33e3 3jej
共出现九个应力分量：
11 12 13
( ij ) 21
22
23
31 32 33
Chapter 3.1
外力、内力与应力
11 12 13
( ij ) 21
22
23
31 32 33
第一指标i表示面元的法线方向，称面元指标；第 二指标j表示应力的分解方向，称方向指标。
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
弹性力学的应力分析与优化
弹性力学的应力分析与优化弹性力学是一门研究物体在受力作用下的变形和恢复性质的学科。
在工程领域中，弹性力学的应用十分广泛，特别是在结构设计和材料优化方面。
本文将探讨弹性力学中的应力分析与优化方法。
一、应力分析弹性力学的应力分析研究了物体在受力作用下的应力分布情况。
应力是物体内部分子间相互作用的结果，是描述物体抵抗外力的能力的物理量。
应力在弹性力学中分为三种类型：拉应力、剪应力和压应力。
拉应力（tensile stress）是指物体在受拉力作用下产生的应力，通常用符号σ表示。
拉应力的计算公式为：σ = F / A其中，F为物体上的拉力，A为物体上受力截面的面积。
拉应力越大，物体的变形程度越大。
剪应力（shear stress）是指物体在受剪力作用下产生的应力，通常用符号τ表示。
剪应力的计算公式为：τ = F / A其中，F为物体上的剪切力，A为物体上受力截面的面积。
剪应力越大，物体的变形程度越大。
压应力（compressive stress）是指物体在受压力作用下产生的应力，通常也用符号σ表示。
压应力的计算公式与拉应力相同，即：σ = F / A不同的是，压应力与拉应力的方向相反。
压应力越大，物体的变形程度越大。
在应力分析过程中，我们可以通过解析法或数值模拟法来求解物体内部的应力分布情况。
解析法主要适用于简单几何形状的物体，例如直杆或简支梁。
数值模拟法则可以用来求解复杂几何形状的物体，例如复杂结构的建筑或机械零件。
二、优化设计在弹性力学的应用中，我们常常需要通过优化设计来提高物体的性能或减少材料的使用量。
优化设计旨在寻找最优的结构形式或材料参数，使得物体在给定的约束条件下达到最佳的性能指标。
优化设计可以分为两种类型：形状优化和拓朴优化。
形状优化主要是通过改变物体的几何形状来优化结构。
例如，在某一受力部位增加材料的厚度或减小切削孔的直径，以提高物体的刚度或承载能力。
形状优化的方法有很多，包括拟合法、参数法和拓扑有机化等。
应力分析原理
应力分析原理
应力分析原理是一种用于研究物体受力情况的方法。
应力是物体内部受到的力的分布情况，通常以单位面积上的力来描述。
应力分析原理主要包括以下几个方面。
首先，应力分析原理基于弹性力学理论。
弹性力学是研究物体在受到外力作用后，形状和尺寸发生变化的性质和规律。
它假设物体在受力后会恢复到原来的形状和尺寸，同时也假设物体的变形与受力有一定的数学关系。
其次，应力分析原理基于克希荷夫定律。
克希荷夫定律是弹性力学的基本定律之一，它描述了物体内部各点的应力与应变之间的关系。
根据克希荷夫定律，应力与应变成正比例，比例系数为物体的弹性模量。
再次，应力分析原理基于受力平衡条件。
根据受力平衡的原理，物体各点受到的合力和合力矩为零。
通过分析物体的受力平衡条件，可以得到物体内部各点的应力分布情况。
最后，应力分析原理还基于材料的力学性质。
不同的材料具有不同的力学性质，例如刚度、强度、韧性等。
根据材料的力学性质，可以预测物体在受力后的变形情况，并进一步分析应力的分布。
综上所述，应力分析原理是基于弹性力学、克希荷夫定律、受力平衡条件和材料的力学性质等基本原理，通过对物体受力情况进行分析，揭示物体内部应力的分布情况。
弹性力学中的应力与应变关系
弹性力学中的应力与应变关系弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在外力的作用下产生的形变与应力的关系。
在弹性力学理论中，应力与应变关系是最为核心的概念之一。
本文将探讨弹性力学中的应力与应变关系的基本原理，并从不同角度对其进行分析。
一、基本概念在弹性力学中，应力是描述物体内部单位面积受力情况的物理量。
它可以分为正应力和剪应力。
正应力表示物体在垂直于某一平面上的受力情况，剪应力表示物体在平行于某一平面上的受力情况。
应力的大小一般采用希腊字母σ表示。
应变是描述物体形变情况的物理量。
它可以分为线性应变和体积应变。
线性应变表示物体中某一方向上的长度相对变化，体积应变表示物体在各个方向上的体积变化。
应变的大小可以用希腊字母ε表示。
二、胡克定律胡克定律是描述弹性体材料中应力与应变关系最基本的定律。
其数学表达式为σ = Eε，即应力等于弹性模量与应变之积。
其中，弹性模量E是描述物体对应变的抵抗能力的物理量。
根据胡克定律，应力与应变之间的关系是线性的，即若应变增大，则应力也会相应增大。
胡克定律适用范围有限，对于非线性应力-应变关系的材料，需要采用其他力学模型进行描述。
例如，当外力作用超出一定范围时，弹性体会发生塑性变形，此时应力和应变之间的关系就无法再用胡克定律来描述。
三、材料力学模型由于胡克定律的局限性，研究者们提出了各种各样的材料力学模型来描述应力与应变之间的关系。
其中，最常用的有线性弹性模型、非线性弹性模型和本构模型。
线性弹性模型是胡克定律的拓展，它适用于应力与应变关系呈线性关系的情况。
在这种模型中，应力与应变之间的关系是单一的、唯一的。
当外力作用停止后，物体能够完全恢复到初始状态。
非线性弹性模型适用于应力与应变关系不再呈线性关系的情况。
它可以更好地描述材料的实际变形情况。
在这种模型中，应力与应变之间的关系可以是非线性的、曲线状的。
本构模型是一种综合考虑多种因素的力学模型，它可以更全面地描述材料的应力与应变关系。
弹性力学-应力和应变
σ x τ xy τ xz σ xx σ xy σ xz τ xy σ y τ yz 或σ xy σ yy σ yz τ z τ yz σ z σ xz σ yz σ zz
写法： 采用张量下标记号的应力写法 写法： 把坐标轴x、 、 分别 把坐标轴 、y、z分别 表示， 用x1、x2、x3表示， 或简记为x 或简记为 j (j=1,2,3),
s j = σ j −σm, ( j = 1,2,3)
应力偏张量也有三个不变量： 应力偏张量也有三个不变量：
(3 −13)
J1 = s1 + s2 + s3 = σ1 +σ2 +σ3 −3σM = 0 1 2 2 2 J2 = −(s1s2 + s2s3 + s3s1) = (s1 + s2 + s3 ) 2 J3 = s1s2s3
3
偏张量的第二不变量 J2 有关。 有关。
四、等效应力 1.定义： 定义： 定义 相等的两个应力状态的力学效应相同， 如果假定 J2相等的两个应力状态的力学效应相同，那么
对一般应力状态可以定义： 对一般应力状态可以定义：
σ ≡ 3J2 =
1 2
(σ1 −σ2 )2 + (σ2 −σ3 )2 + (σ3 −σ1)2
三、等斜面上的应力 等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴
夹角相等 坐标轴与三个应力主轴一致， 设在这一点取 x1, x2 , x3 坐标轴与三个应力主轴一致， σ 3 则等斜面法线的三个方向余弦为
l1 = l2 = l3 =1/ 3
(3 − 20)
八面体面： 八面体面：
满足（3-20）式的面共有八个，构成 满足（ 20）式的面共有八个， 一个八面体，如图所示。 一个八面体，如图所示。 等斜面常也被叫做八面体面。 等斜面常也被叫做八面体面。 若八面体面上的应力向量用F 表示，则按（ 若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有 1 2 2 2 2 2 2 2 F = (σ1l1) + (σ2l2 ) + (σ3l3) = (σ1 +σ2 +σ3 ) (3− 21) 8 3
弹性力学中的应力与应变理论
弹性力学中的应力与应变理论弹性力学是研究物体在受力作用下的变形与恢复的力学分支。
应力与应变理论是弹性力学的重要组成部分，它描述了物体在受到外力作用时产生的应力和应变之间的关系。
在本文中，我们将深入探讨弹性力学中的应力与应变理论。
一、应力的概念与分类应力是物体在受力作用下产生的单位面积的内力。
根据受力方向的不同，应力可以分为三类：拉应力、压应力和剪应力。
1. 拉应力：拉应力是指物体在受到拉伸力作用下产生的应力。
拉应力可分为轴向拉应力和切向拉应力。
轴向拉应力是指沿物体轴线方向产生的应力，而切向拉应力则是指垂直于轴线方向产生的应力。
2. 压应力：压应力是指物体在受到压缩力作用下产生的应力。
与拉应力类似，压应力也可分为轴向压应力和切向压应力。
3. 剪应力：剪应力是指物体在受到剪切力作用下产生的应力。
剪应力沿着物体内部平面的切线方向产生。
二、应变的概念与分类应变是物体在受力作用下发生的长度、面积或体积的变化。
根据变形形式的不同，应变可分为三类：线性应变、平面应变和体积应变。
1. 线性应变：线性应变是指物体在受力作用下产生的长度变化与初始长度之比。
它是最基本的应变形式，常用符号ε表示。
线性应变假设变形产生的应力与应变之间呈线性关系。
2. 平面应变：平面应变是指物体在受到外力作用下产生的面积变化与初始面积之比。
平面应变常用符号γ表示。
3. 体积应变：体积应变是指物体在受到外力作用下产生的体积变化与初始体积之比。
体积应变常用符号η表示。
三、胡克定律与应力应变关系胡克定律是弹性力学中最基本的定律之一，它描述了由于外力作用下物体的弹性变形情况。
胡克定律可以简要表述为：应力与应变成正比。
根据胡克定律，可以得出应力与应变的数学关系，即应力等于弹性模量与应变之积。
根据具体的应力类型和应变类型，应力与应变的关系可以用不同的公式来表示。
四、应力与应变的计算方法在实际应用中，为了计算物体在受力作用下的应变情况，可以使用不同的方法来计算应力和应变。
弹性力学中的应力和应变
弹性力学中的应力和应变弹性力学是物理学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下的变形和应力分布规律。
在弹性力学中，应力和应变是两个关键的概念。
本文将详细介绍弹性力学中的应力和应变，并探讨它们之间的关系和物体在外力作用下的行为。
一、应力的概念与分类在弹性力学中，应力是描述物体内部受力状况的物理量。
它的定义是单位面积上的力，即单位面积上所受的力。
在材料力学中，通常将力的作用面积取无限小，这样就可以得到面积趋于无穷小的情况下的应力。
根据作用方向的不同，应力可以分为三种类型：正应力、剪应力和体应力。
1. 正应力：即垂直于物体截面的力在该截面上单位面积的作用力。
正应力可以分为正拉应力和正压应力，正拉应力是指物体上的拉力，正压应力是指物体上的压力。
2. 剪应力：即平行于物体截面的力在该截面上单位面积的作用力。
剪应力是指物体上的切力，它使得物体相对于截面沿切应变方向发生形变。
3. 体应力：即物体内部体积元素上的力在该体积元素上单位体积的作用力。
体应力是指物体中各个点处的压力或拉力。
二、应变的概念与分类应变是描述物体变形程度的物理量，它是物体的形状改变相对于初始形状的相对变化量。
应变也可以分为三种类型：线性应变、剪应变和体应变。
1. 线性应变：即物体在受力下沿作用力方向产生的长度变化与初始长度的比值。
线性应变通常用拉伸应变表示。
2. 剪应变：即物体在受剪力作用下发生的相对位移与物体初始尺寸的比值。
3. 体应变：即物体受力时体积的相对变化量与初始体积的比值。
三、应力和应变的关系应力和应变之间存在着一定的关系，它们之间通过杨氏模量来联系。
杨氏模量是描述物体在拉伸应力作用下的应变程度的物理量。
弹性体的材料有两个重要的杨氏模量：弹性模量（或称杨氏模量）和剪切模量。
1. 弹性模量（E）：它描述的是物体在正应力作用下的正应变情况。
根据材料的不同，弹性模量也不同。
2. 剪切模量（G）：它描述的是物体在剪应力作用下的剪应变情况。
弹性力学弹性体的应力与应变关系
弹性力学弹性体的应力与应变关系弹性力学是一门研究固体材料在外力作用下的变形和应力分布规律的学科。
其中，弹性体是一类能够在外力作用下发生形变，但恢复力可以将其恢复到原始状态的物质。
弹性体的应力与应变关系是弹性力学中的基本概念和重要理论。
一、什么是应力与应变在力学中，应力是物体受来自外界作用的力引起的单位面积内的力的大小。
它是描述物体受力情况的物理量。
应力可分为正应力和剪应力两种，正应力作用于物体的表面上的垂直方向，而剪应力则作用于物体的表面上的切向方向。
应变是描述材料形变程度的物理量，是物体在受力下发生变形时单位长度的变化。
应变也可分为正应变和剪应变两种，正应变是物体长度在受力作用下产生的相对变化量，而剪应变则是物体形状的变化量与原始尺寸之比。
二、背景知识弹性体的应力与应变关系可以通过背景知识来理解。
弹性体的主要特性是能够在外力的作用下发生形变，但当外力消失时，它能够恢复到原来的形状和尺寸。
这是因为弹性体的分子或原子之间存在着弹性力，当外力作用结束时，弹性力将趋于平衡，使得物体恢复到原来的状态。
三、胡克定律胡克定律是描述弹性体应力与应变关系的基本定律。
根据胡克定律，当外力作用于弹性体时，弹性体内部的应力与应变成正比。
具体数学描述如下：σ = Eε其中，σ代表应力，单位为帕斯卡（Pa），E代表弹性模量，单位为帕斯卡（Pa），ε代表应变，为无单位。
胡克定律适用于弹性体在线性弹性范围内，即应力与应变成正比，并且比例系数恒定。
此时的应力-应变关系为线性关系，称为胡克定律。
超出线性弹性范围后，材料会发生塑性变形。
四、弹性模量弹性模量是表征弹性体抵抗形变的能力大小的物理量。
它是胡克定律中比例系数的倒数，可以用来度量弹性体的刚度。
常见的弹性模量有：1. 杨氏模量（Young's Modulus）：用E表示，描述的是物体在拉伸或压缩时的应变与应力之间的关系。
2. 剪切模量（Shear Modulus）：用G表示，描述的是物体在受剪时的应变与应力之间的关系。
清华大学_弹性力学_第二章_应力理论_习题答案
第二章知识点： （1）应力矢量()0limS FSνσ∆→∆∆其中，ν是S ∆的法向量（2）应力张量()()()111121321222323132333σσσσσσσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中，()()()123,,σσσ 分别是123,,e e e方向的应力矢量，且()()()111122133121122223323113223333e e e e e e e e e σσσσσσσσσσσσ=++=++=++上式可以写为张量形式ij i j e e σσ=或者用正应力剪应力将应力张量写为x xy xz yx y yz zx zy z σττστστττσ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）柯西公式（应力矢量和应力张量的关系）()νσνσ=⋅其中，ν是斜面的法向量，对于表面来说，就是外法向量。
可以将柯西公式写成如下形式()i i mj m j i mj i m j i mj im j i ij j e e e e e e e e νσνσνσνσνσδνσ=⋅=⋅=⋅== 即()i ij j νσνσ=这其实是三个式子，分量形式为()()()111122133112112222332231132233333++++i i i i i i νννσνσνσνσνσσνσνσνσνσσνσνσνσνσ==++====在表面上，所求出的()νσ就是外载荷。
（4）应力张量的转轴公式''''m n ij m i n j σσββ=证明如下：'''''''''''''''''''',ij i j m n m n i m i m j n j n ij m i n j m n m n m n m n ij m i n je e e e e e e e e e e e σσσββσββσσσββ====∴=∴=也可以将转轴公式写为矩阵形式[][][][]'Tσβσβ=其中，[]σ、[]'σ是坐标系变换前后的应力张量的分量，[]()'m i ββ=，'m i β是i e 在'm e上的分量，可以用如下公式计算()''cos ,m ii m e e β=（5）剪应力互等定理根据微元体的力矩平衡，可以得到 ,,yz zy xz zx xy yx ττττττ===也就是说ij ji σσ=应力张量是一个二阶对称的张量 （6）主应力由于应力张量是二阶对称的，所以可以将其对角化[][][]123Tσσβσβσ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦并且123,,σσσ从大到小排列，他们称为主应力，[]β是三个主应力的方向。
弹性力学中的应力分布
弹性力学中的应力分布弹性力学是研究物体在外力作用下的变形和应力分布规律的科学，广泛应用于工程设计和材料研究。
在弹性力学中，应力分布是一个非常重要的概念，它描述了物体在外力作用下的内部应力状况。
本文将探讨弹性力学中的应力分布及其影响因素。
首先，我们需要了解什么是应力。
应力是单位面积上的力，它描述了物体内部各点对面积上的单位力的反应。
根据牛顿定律，应力可以分为两种类型：拉应力和压应力。
当物体受到外拉力时，其内部发生拉伸，此时的应力被称为拉应力；相反，如果物体受到外压力，则会发生压缩，产生压应力。
所以，根据力的作用方向和力对单位面积的作用方式，我们可以确定应力的类型。
其次，应力的分布不是均匀的，而是随着物体的形状和受力情况而变化的。
在弹性力学中，最简单的情况是一维拉伸或压缩。
在这种情况下，物体的形状是直线型，应力的分布是线性的，即应力随着位置的改变而线性变化。
这可以用胡克定律来描述，胡克定律指出应力与应变之间存在线性关系。
应变是物体形变程度的度量，可以用长度或角度的变化来表示。
当物体受到拉力时，它会产生拉伸应变，而当物体受到压力时，会产生压缩应变。
然而，实际情况往往更加复杂。
当物体的形状不再是直线时，应力的分布就有所变化。
例如，在悬臂梁或梁上的集中力作用下，应力的分布呈现出不均匀的情况。
在这种情况下，物体的形状是曲线状，应力的分布也会随之变化。
在曲线的凸起部分，应力较大，在曲线的凹陷部分，应力较小。
这是因为在曲线的凸起部分，物体受到的外力更大，所以产生更大的应力。
这种现象在工程设计中是非常重要的，因为不均匀的应力分布可能导致物体的破坏。
此外，应力分布还受到材料的性质和外力的大小和方向的影响。
不同的材料对外力的响应方式不同，有些材料更容易变形，有些材料则更难变形。
这取决于材料的弹性模量，即材料在受力下的变形程度。
弹性模量越大，材料的刚度越大，物体的形变程度越小。
因此，不同的材料在受力下会产生不同的应力分布。