师大附中高三第三次月考(理科数学)

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湖南师大附中2025届高三月考数学(三)试卷及答案

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学时量:120分钟满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}0,1,2,3的真子集个数是()A .7B .8C .15D .162.“11x -<”是“240x x -<”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知角α的终边上有一点P 的坐标是)4,3(a a ,其中0a ≠,则sin2α=()A .43B .725C .2425D .2425-4.设向量a,b 满足+=-=a b a b ,则⋅a b 等于()A .B .2C .5D .85.若无论θ为何值,直线sin cos 10y x θθ⋅+⋅+=与双曲线2215x y m -=总有公共点,则m的取值范围是()A.1m ≥B .01m <≤C .05m <<,且1m ≠D .1m ≥,且5m ≠6.已知函数()2f x 的图象关于原点对称,且满足()()130f x f x ++-=,且当()2,4x ∈时,()()12log 2f x x m =--+,若()()2025112f f -=-,则m 等于()A .13B .23C .23-D .13-7.已知正三棱台111ABC A B C -所有顶点均在半径为5的半球球面上,且AB =11A B =()A .1B .4C .7D .1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天,他走进一家酒馆,看见一层层垒起的酒坛,不禁想到:“怎么求这些酒坛的总数呢?”经过反复尝试,沈括提出对于上底有ab 个,下底有cd 个,共n 层的堆积物(如图所示),可以用公式()()()2266n nS b d a b d c c a ⎡⎤=++++-⎣⎦求出物体的总数,这就是所谓的“隙积术”,相当于求数列()()(),11,2ab a b a +++.()()()2,,11b a n b n cd ++-+-= 的和.若由小球堆成的上述垛积共7层,小球总个数为238,则该垛积最上层的小球个数为()A .2B .6C .12D .20二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,则下列正确的是()A .02024a =B .20240120243a a a +++= C .012320241a a a a a -+-++= D .12320242320242024a a a a -+--=- 10.对于函数()sin cos f x x x =+和()sin cos 22g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,下列说法中正确的有()A .()f x 与()g x 有相同的零点B .()f x 与()g x 有相同的最大值点C .()f x 与()g x 有相同的最小正周期D .()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴11.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点,抛物线C 在点A 处的切线与直线2y =-交于点N ,作NM AP ⊥交AB 于点M ,则()A .5OA OB ⋅=-B .直线MN 恒过定点C .点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠D .AB MN选择题答题卡题号1234567891011得分答案三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数12,z z 的模长为1,且21111z z +=,则12z z +=_____.13.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知5,4a b ==,()31cos 32A B -=,则sin B =_____.14.若正实数1x 是函数()2e e x f x x x =--的一个零点,2x 是函数()g x =()()3e ln 1e x x ---的一个大于e 的零点,则()122e ex x -的值为_____.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)现有某企业计划用10年的时间进行技术革新,有两种方案:贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加25%的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年,贷款10年后一次性还本付息(年末结息),若银行贷款利息均按10%的复利计算.(1)计算10年后,A 方案到期一次性需要付银行多少本息?(2)试比较A B 、两方案的优劣.(结果精确到万元,参考数据:10101.1 2.594,1.259.313≈≈)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为等腰梯形,22AD AB BC ==2=.点P 在底面的射影点Q 在线段AC 上.(1)在图中过A 作平面PCD 的垂线段,H 为垂足,并给出严谨的作图过程;(2)若2PA PD ==.求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.已知函数()()e sin cos ,x f x x x f x =+-'为()f x 的导数.(1)证明:当0x ≥时,()2f x '≥;(2)设()()21g x f x x =--,证明:()g x 有且仅有2个零点.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点为12,F F P、为椭圆C 上一动点,设12F PF ∠θ=,当23πθ=时,12F PF ∆.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点(M N M 、在,B N 之间),若Q 为椭圆C上一点,且OQ OM ON =+,①求OBM OBNSS ∆∆的取值范围;②求四边形OMQN 的面积.飞行棋是大家熟悉的棋类游戏,玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出6点时,飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子,直至显示点数不是6点.飞机起飞后,飞行步数即骰子向上的点数.(1)求甲玩家第一轮投掷中,投掷次数X 的均值()()1(k E X kP k ∞===∑()1lim n n k kP k ∞→=⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎭∑;(2)对于两个离散型随机变量,ξη,我们将其可能出现的结果作为一个有序数对,类似于离散型随机变量的分布列,我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布:(记()()()()()(1211,,mni i i j j j i j i p x p x p x y p y p y p x ξη========∑∑,)j y .)ξη1x 2x ...n X 1y ()11,p x y ()21,p x y ...()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y ...()2,n p x y ()22p y ...⋯⋯...⋯...my ()1,m p x y ()2,m p x y ...(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x ...()1n p x 1若已知i x ξ=,则事件{}j y η=的条件概率为{}j i P y x ηξ===∣{}{}()()1,,j i i j i i P y x p x y P x p x ηξξ====.可以发现i x ηξ=∣依然是一个随机变量,可以对其求期望{}{}()111mi j j i j i E x y P y x p x ηξηξ===⋅===∑∣∣.()1,mj i j j y p x y =∑(i )上述期望依旧是一个随机变量(ξ取值不同时,期望也不同),不妨记为{}E ηξ∣,求{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦∣;(ii )若修改游戏规则,需连续掷出两次6点飞机才能起飞,记0ξ=表示“甲第一次未能掷出6点”,1ξ=表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”,2ξ=表示“甲第一次第二次均掷出6点”,η为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数,求E η.炎德・英才大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学参考答案题号1234567891011答案C A C B B D A B BC ACD BC一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】集合{}0,1,2,3共有42115-=(个)真子集.故选C .2.A 【解析】解不等式240x x -<,得04x <<,解不等式11x -<,得02x <<,所以“11x -<”是“240x x -<”的充分不必要条件.3.C 【解析】根据三角函数的概念,2442sin cos 2tan 24tan ,sin23311tan 25y a x a αααααα======+,故选C .4.B 【解析】()()()22111911244⎡⎤⋅=+--=-=⎣⎦a b a b a b .5.B 【解析】易得原点到直线的距离1d ==,故直线为单位圆的切线,由于直线与双曲线2215x y m -=总有公共点,所以点()1,0±必在双曲线内或双曲线上,则01m <≤.6.D 【解析】依题意函数()f x 的图象关于原点对称,所以()f x 为奇函数,因为()()()133f x f x f x +=--=-,故函数()f x 的周期为4,则()()20251f f =,而()()11f f -=-,所以由()()2025112f f -=-可得()113f =,而()()13f f =-,所以()121log 323m --=,解得13m =-.7.A 【解析】上下底面所在外接圆的半径分别为123,4r r ==,过点112,,,A A O O 的截面如图:22222121534,543,1OO OO h OO OO =-==-∴=-=,故选A .8.B 【解析】由题意,得6,6c a d b =+=+,则由()()()772223866b d a b d c c a ⎡⎤++++-=⎣⎦得()()7[26212(6b b a b b a ++++++6)]()762386a a ++-=,整理得()321ab a b ++=,所以773aba b +=-<.因为,a b 为正整数,所以3ab =或6.因此有6,3a b ab +=⎧⎨=⎩或5,6.a b ab +=⎧⎨=⎩而63a b ab +=⎧⎨=⎩无整数解,因此6ab =.故选B .二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.BC 【解析】对于A :令0x =,则01a =,故A 错误;对于B :令1x =,则20240120243a a a +++= ,故B 正确;对于C :令1x =-,则012320241a a a a a -+-++= ,故C 正确;对于D ,由()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,两边同时求导得()20232202312320242024212232024x a a x a x a x ⨯⨯+=++++ ,令1x =-,则12320242320244048a a a a -++-=- ,故D 错误.故选BC .10.ACD 【解析】()()32sin ,2sin 2sin 4244f x x g x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()0f x =,则,4x k k ππ=-+∈Z ;令()0g x =,则3,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的零点是相同的,故选项A 正确.()f x 的最大值点是()2,,4k k g x ππ+∈Z 的最大值点是32,4k k ππ-+∈Z ,两个函数的最大值虽然是相同的,但最大值点是不同的,故选项B 不正确.由正弦型函数的最小正周期为2πω可知()f x 与()g x 有相同的最小正周期2π,故选项C 正确.曲线()y f x =的对称轴为,4x k k ππ=+∈Z ,曲线()y g x =的对称轴为5,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的图象有相同的对称轴,故选项D 正确.故选ACD.设直线AB 的方程为2y tx =+(斜率显然存在),221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,联立22,4,y tx x y =+⎧⎨=⎩消去x 整理可得2480x tx --=,由韦达定理得12124,8x x t x x +==-,A .22121212124,84444x x y y OA OB x x y y =⋅=⋅=+=-+=- ,故A 错误;B .抛物线C 在点A 处的切线为21124x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,当2y =-时,11121244282222x x x x x t x x =-=-=+=-,即()2,2N t -,直线MN 的方程为()122y x t t +=--,整理得xy t=-,直线MN 恒过定点(0,0),故B 正确;C .由选项B 可得点M 在以线段OP 为直径的圆上,点O 除外,故点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠,故C 正确;D.222t MN +==,AB =则()2221412222t AB MNt +⎫==+,,m m =≥则12ABm MN m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设()1,f m m m m =-≥,则()2110f m m=+>',当m ≥,()f m 单调递增,所以()min f m f==,故D 错误.故选BC .三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.1【解析】设()()12i ,,i ,z a b a b z c d c d =+∈=+∈R R ,因为21111z z +=,所以2122111z zz z z z +=.因为11221,1z z z z ==,所以121z z +=,所以()()i i i 1a b c d a c b d -+-=+-+=,所以1,0a c b d +=+=,所以()()12i 1z z a c b d +=+++=.13.74【解析】在ABC 中,因为a b >,所以A B >.又()31cos 32A B -=,可知A B-为锐角且()sin 32A B -=.由正弦定理,sin 5sin 4A aB b ==,于是()()()5sin sin sin sin cos cos sin 4B A A B B A B B A B B ⎡⎤==-+=-+-⎣⎦.将()cos A B -及()sin AB -的值代入可得3sin B B =,平方得2229sin 7cos 77sin B B B ==-,故7sin 4B =.14.e 【解析】依题意得,1211e e 0x x x --=,即()()12311122e e ,0,e ln 1e 0x x x x x x -=>---=,即()()3222e ln 1e ,e x x x --=>,()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--,()()()()()()211ln 111112212e e ln 1e ,e e ln 1e e x x x x x x x x -+++⎡⎤∴-=--∴-=--⎣⎦,又22ln 1,ln 10,x x >->∴ 同构函数:()()1e e ,0x F x x x +=->,则()()312ln 1e F x F x =-=,又()()111e e e e e 1e x x x x F x x x +++=-+=-+',00,e e 1,e 10x x x >∴>=∴-> ,又()()1e 0,0,x x F x F x +>'>∴单调递增,()()()3122212222e ln 1e e ln 1,e e e ex x x x x x ---∴=-∴===.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】(1)A 方案到期时银行贷款本息为()1010110%26⨯+≈(万元).……(3分)(2)A 方案10年共获利:()()1091.2511125%125%33.31.251-+++++=≈- (万元),……(5分)到期时银行贷款本息为()1010110%25.9⨯+≈(万元),所以A 方案净收益为:33.325.97-≈(万元),……(7分)B 方案10年共获利:()()101010.31 1.3190.310123.52⨯-⨯++++⨯=⨯+= (万元),……(9分)到期时银行贷款本息为()()()()101091.11.11110%110%110%17.51.11-++++++=≈- (万元),……(11分)所以B 方案净收益为:23.517.56-≈(万元),……(12分)由比较知A 方案比B 方案更优.……(13分)16.【解析】(1)连接PQ ,有PQ ⊥平面ABCD ,所以PQ CD ⊥.在ACD 中,2222cos 54cos AC AD CD AD CD ADC ADC ∠∠=+-⋅⋅=-.同理,在ABC 中,有222cos AC ABC ∠=-.又因为180ABC ADC ∠∠+= ,所以()1cos ,0,1802ADC ADC ∠∠=∈ ,所以60ADC ∠= ,3AC =故222AC CD AD +=,即AC CD ⊥.又因为,,PQ AC Q PQ AC ⋂=⊂平面PAC ,所以CD ⊥平面PAC .CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面PAC .……(5分)过A 作AH 垂直PC 于点H ,因为平面PCD ⊥平面PAC ,平面PCD ⋂平面PAC PC =,且AH ⊂平面PAC ,有AH ⊥平面PCD .……(7分)(2)依题意,22AQ PA PQ DQ =-=.故Q 为,AC BD 的交点,且2AQ ADCQ BC==.所以2222326,333AQ AC PQ PA AQ ===-.过C 作直线PQ 的平行线l ,则,,l AC CD 两两垂直,以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系,则:()()36131,0,0,0,,0,3,0,,,03322D P A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()326232613261,0,0,0,,0,,,,,3333263CD CP AP BP ⎛⎛⎛===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .设平面PCD 的法向量为(),,x y z =m ,则()0,0,3CD x CP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩m m取()0,=-m .同理,平面PAB的法向量)1=-n ,1cos<,3⋅>==m n m n m n ……(14分)故所求锐二面角余弦值为13.……(15分)17.【解析】(1)由()e cos sin x f x x x =++',设()e cos sin x h x x x =++,则()e sin cos x h x x x '=-+,当0x ≥时,设()()e 1,sin x p x x q x x x =--=-,()()e 10,1cos 0x p x q x x ''=-≥=-≥ ,()p x ∴和()q x 在[)0,∞+上单调递增,()()()()00,00p x p q x q ∴≥=≥=,∴当0x ≥时,e 1,sin x x x x ≥+≥,则()()()e sin cos 1sin cos sin 1cos 0x h x x x x x x x x x '=-+≥+-+=-++≥,∴函数()e cos sin x h x x x =++在[)0,∞+上单调递增,()()02h x h ∴≥=,即当0x ≥时,()2f x '≥.……(7分)(2)由已知得()e sin cos 21x g x x x x =+---.①当0x ≥时,()()()e cos sin 220,x g x x x f x g x ≥''=++-=-∴ 在[)0,∞+上单调递增,又()()010,e 20g g πππ=-<=->∴ 由零点存在定理可知,()g x 在[)0,∞+上仅有一个零点.……(10分)②当0x <时,设()()2sin cos 0e x x xm x x --=<,则()()2sin 10exx m x '-=≤,()m x ∴在(),0∞-上单调递减,()()01m x m ∴>=,()e cos sin 20,e cos sin 20x x x x g x x x '∴++-<∴=++-<,()g x ∴在(),0∞-上单调递减,又()()010,e 20g g πππ-=-<-=+> ,∴由零点存在定理可知()g x 在(),0∞-上仅有一个零点,综上所述,()g x 有且仅有2个零点.……(15分)18.【解析】(1)设()00,,P x y c 为椭圆C 的焦半距,12122F PF p S c y ∆=⋅⋅,00y b <≤ ,当0y b =时,12F PF S 最大,此时()0,P b 或()0,P b -,不妨设()0,P b ,当23πθ=时,得213OPF OPF π∠∠==,所以c =,又因为12F PF S bc ∆==,所以1,b c ==从而2,a =∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.……(3分)(2)由题意,直线l 的斜率显然存在.设()()1122: 2.,,,l y kx M x y N x y =+.……(4分)1112OBM S OB x x ∆∴=⋅=,同理,2OBN S x ∆=.12OBM OBN S xS x ∆∆∴= (6))联立()22222,141612044y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩,……(8分)()()()22223164121416430,4k k k k ∴∆=-⨯⨯+=->∴>.……(9分)又121212221612,0,,1414k x x x x x x k k-+==>∴++ 同号.()()2222122121212216641421231414k x x x x k k x x x x kk-⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴===+++.()22212122364641616,4,,42143331434x x k k x x k k ⎛⎫>∴=∈∴<++< ⎪⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭ .令()120x x λλ=≠,则116423λλ<++<,解得()()11,11,3,,11,333OBM OBN S S λ∆∆⎛⎫⎛⎫∈∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .……(12分)(3)()1212,,OQ OM ON Q x x y y =+∴++.且四边形OMQN 为平行四边形.由(2)知()12121222164,41414k x x y y k x x k k-+=∴+=++=++,22164,1414kQ k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭.而Q 在椭圆C 上,2222164441414k k k -⎛⎫⎛⎫∴+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.化简得2154k =.……(14分)∴线段161219357115224MN ==⋅+,……(15分)O到直线MN的距离d == (16))OMQN 574S MN d ∴=⋅=四边形.……(17分)19.【解析】(1)()115,1,2,3,66k P X k k -⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭ ,所以()()215111,1,2,3,,5126666nk n k k k P X k k kP k n =⎛⎫⋅====⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭∑ ,记211112666n n S n =⨯+⨯++⨯ ,则2311111126666n n S n +=⨯+⨯++⨯ .作差得:1211111511111111661666666556616nn n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-⨯=-⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ,所以()16111661,555566556n nn n n k n S kP k S n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+==-+⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑.故()()()116616lim lim 5565nn n n k k E X kP k kP k n ∞∞∞→→==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑.……(6分)(2)(i ){}E ηξ∣所有可能的取值为:{},1,2,,i E x i n ηξ== ∣.且对应的概率{}{}()()()1,1,2,,i i i p E E x p x p x i n ηξηξξ====== ∣∣.所以{}{}()()()()()111111111,,,nnmn m i i j i j i j i j i i j i j i E E E x p x y p x y p x y p x y p x ηξηξ=====⎛⎫⎡⎤==⋅=⋅= ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∣∣又()()()()21111111,,,nmmnmn mj i j j i j j i j j j i j j i j i j y p x y y p x y y p x y y p y E η=======⎛⎫⋅=⋅==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑,所以{}E E E ηξη⎡⎤=⎣⎦∣.……(12分)(ii ){}{}{}12355101,;12,;22,63636E E p E E p E p ηξηηξηη==+===+====∣∣,{}()()5513542122636363636E E E E E ηηξηηη⎡⎤==++++⨯=+⎣⎦∣,故42E η=.……(17分)。

贵州师大附中2010届高三第3次数学周考试卷(理科)(2009.11)

贵州师大附中2009—2010学年第一学期第三次周考试题高三数学 (理科) 2009-11-27班级__________学号________姓名_________________得分__________考生注意：1．本试卷分选择题、填空题、解答题三个部分，考试时间90分钟，满分100分；2．请将第Ⅰ卷（选择题）的答案填在题后的答题表内．第Ⅰ卷（选择题共36分）一．选择题（每小题3分，共36分）1．设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2,12B y y x x ==--≤≤，则()R A B ð= （）A ．RB ．{}0x x R x ∈≠且C ．{}0D ．∅ 2．若函数()y f x =的定义域[]0,2，则函数(2)1f x y x =-的定义域是（） A ． []0,1 B ． [)0,1 C ． [)(]0,11,4 D ．()0,13．函数()f x =（）A ．25B ．12CD ．14．已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是（）A ．（13，23）B ．［13，23）C ．（12，23）D ．［12，23）5．函数22log 2xy x-=+的图像（） A ．关于原点对称 B ．关于直线y x =-对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称6．函数2()2cos 1(R)f x x x =-∈，则()f x 是（） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数7．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e +8．已知{}n a 是等差数列，244a a +=，3510a a +=，则该数列前10项和10S 等于（） A ．138B ．135C ．95D ．239．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = （）A ．21 B ．22C ．2D ．2 10．已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--，则()f x 的值域是（）A ．[]1,1- B．⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．⎡-⎢⎣⎦ D．1,⎡-⎢⎣⎦11．函数()2sin(2)3f x x π=-的单调递增区间是（）A ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈B ．511[,]()1212k k k Z ππππ++∈ C ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ D ．2[,]()63k k k Z ππππ++∈12．已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是（）A ．0B ．21C ．1D ．25选择题答题表：第Ⅱ卷（非选择题共64分）二．填空题（每小题4分，共16分）13．设函数3()log (6)f x x =+的反函数为1()y f x -=，若11()6()627f m f n --⎡⎤⎡⎤++=⎣⎦⎣⎦，则()f m n += ．14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =，则95S S = ． 15．函数2cos y x x -的最大值是． 16．定义一种运算“*”，它对于正整数n 满足以下运算性质：（1）2*1001=1；（2）(22n +)*1001=3[](2)1001n *．则2008*1001的值是．三．解答题（每小题12分，共48分）17．已知cos()410x π-=，π3π24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．（Ⅰ）求sin x ；（Ⅱ）求sin(2)3x π+的值．18．设a R ∈，二次函数2()22f x ax x a =--，()0f x A >若的解集为，{}|13,B x x A B φ=<<≠ ．求实数a 的取值范围．19．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，a 1=1，数列{}n n a S +是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）证明数列{2}n a -为等比数列；（Ⅲ）求数列{}n na 的前n 项和T n ．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*111, 2(1) ()n n a a S n n N n==+-∈．（Ⅰ）求证：数列{}n a 为等差数列，并求通项公式；（Ⅱ）设数列11n n n n T a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为．求证：1154nT ≤<．选做题．（本小题满分10分，加入总分后满分不得超过100）21．已知211()8ln(1)(23)2x f x x ax a x ==++-+是函数的一个极值点．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求()f x 函数的单调区间；（Ⅲ）若直线()y b f x =与函数y=的图像有3个交点，求b 的取值范围．。

2012东北三省三校联考(三模)理数

哈师大附中2012高三第三次模拟考试（理科数学）参考答案一．选择题：BCCDC CADCA DA二．填空题：13.2281(3)25x y -+= 14. 10 15. 83 16. ①②④ 三．解答题：１７. 解：（1）由已知:())6f x x πω=+ 3 分由222πω=⨯得：2πω= 5 分所以：()sin()26f x x ππ=+ 故：3(1)2f = 7 分（2）由（1）知：()sin()226f x m x m πππ+=++ 为偶函数，所以：sin()126m ππ+=±，故：()262m k k Z ππππ+=+∈ 即：22()3m k k Z =+∈ 故：正数m 的最小值为2312 分１８. 解：（Ⅰ）从5组数据中选取2组数据共有2510C =种情况，其中抽到的2组数据都在[25,30]的共有221C =种情况，所以事件“25302530m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩”的概率为110. ……4分（Ⅱ）根据数据，求得1(1011127)104x =+++=，1(23242615)224y =+++=， 41102311241226715911i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，42222211011127414i i x ==+++=∑. 由公式求得12221911410223141441014n i ii n i i x y nx y b x nx∧==--⨯⨯===-⨯-∑∑， ……6分 3112210147a yb x ∧∧=-=-⨯=-， ……8分所以y 关于x 的线性回归方程为311147y x ∧=-. ……10分当14x =时，311216141477y ∧=⨯-=，2166|30|177-=<，所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ……12分19.解:（1）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系，由已知：F(0,0,1)B,A , D (0,1,0),E( ……2分(BD ∴= ,(0,0,1)CF =,0)CA =0BD CF BD CF ∙=∴⊥0BD CA BD CA ∙=∴⊥又CF CA CBD =∴⊥ 平面AEFC ……5分 (2)由（1）知：(0,1,1)1)FE FD FB ==-=- 设平面EFB 法向量为111(,,)m x y z =由00m FE m FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩得：3,1)m =- ……7分设平面EFD 法向量为222(,,)n x y z =由00n FE n FD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得：(,1)n = ……9分cos ,3m n ∴<>==- ……11分所以：二面角B EFD --的余弦值为3 ……12分 20.. 解：（Ⅰ）设椭圆C 方程为:221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠依题意得:22221()(124(14m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得:2,4m n ==椭圆C 的方程为:22241x y += 5 分（Ⅱ） OM 和ON 的斜率之积为12 ,可知OM 和ON 的斜率存在且不为0, 设OM 的斜率为k , 则ON 的斜率为12k , 直线OM 的方程为:y kx =, 直线ON 的方程为:12y x k=, 设11(,)M x y ,2,2()N x y ,由22241x y y kx ⎧+=⎨=⎩得22(24)1k x +=,解得212124x k =+,221224k y k =+EB同理由2224112x y y x k ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得222212k x k =+ , 22214(12)y k =+ ………………9分∴22OM ON +=22221122x y x y +++ =222222112424124(12)k k k k k k +++++++ 223(12)34(12)4k k +==+. 即证得22OM ON +34=为定值. ………………………12分２１.解：（1）由已知:/2()2(2)2f x ax x x =-<- 1分依题意得:/()0f x ≤在(0,2)上恒成立.1(2)a x x ⇔≤-在(0,2)上恒成立. 3分因为:1()(2)u x x x =-在(0,2)上的最小值为1. 所以:a 的取值范围是:(,1]-∞5分（2）1a >∴ 由22(1)2(1)'()0(2)2a x a f x x x---=-=<- 得：21(1)a x a--=解得：1212,12x x == …… 7分9分当：1x=:2()(12ln(10f x a=+>(1)a>所以：(,1x∈-∞时，()0f x>即：()0f x=在(,1-∞+内无解；令22ax e--=，则222ax e-=-<所以：2200()2ln440af x ax e a a-=+<-=,故(1x∈+又因为：()f x在(1上是减函数，所以:()0f x=在(1内必有一根。

2019-2020学年云南师大附中高三(下)月考数学试卷(理科)(含答案)

2019－2020学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（理科）（六）一、选择题.1.（5分）已知集合2{|log 1}A x x =<，集合{|||2}B x N x =∈<，则(A B = )A .{|01}x x <<B .{|02}x x <C .{|22}x x -<<D .{0，1}2.（5分）已知i 为虚数单位，则复数3(1)(1)(i i --= )A .2iB .2i -C .2D .2-3.（5分）已知平面向量a ，b 的夹角为30︒，||1a =，1()2a a b -=-，则||(b = )AB .2C .3D .44.（5分）已知实数x ，y 满足约束条件()1221x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则yx 的最大值为( )A .2B .32C .1D .235.（5分）在区间(0,3)上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点“发生的概率为( ) A .13B .12C .23D .16.（5分）已知3(21)()x x a -+展开式中各项系数之和为27，则其展开式中2x 项的系数为( )A .24B .18C .12D .47.（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin A =，a =，c a >，则角C 的大小为( )A .3πB .2πC .23πD .34π8.（5分）在下面四个三棱柱中，A ，B 为三棱柱的两个顶点，E ，F ，G 为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB 与平面EFG 不平行的是( )A .B .C .D .9.（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线2:2(0)E y px p =>有公共焦点F ，椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，且A ，B ，F 三点共线，则椭圆C 的离心率为( )A 21B .22C .3D .51-10.（5分）已知数列{}n a 满足：对*n N ∀∈，1log (2)n n a n +=+，设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，则下列说法错误的是( ) A .12a a >B .17a a >C .63T =D .76T T <11.（5分）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形。

湖南师大附中2019届高三3月考数学(理)

湖南师大附中2019届高三3月考数学(理科)一、选择题：1．已知集合A ＝{4，2，a －1}，B ＝{0，－2，a 2＋1}，若A ∩B ＝{2}，则实数a 满足的集合为(D)A ．{1}B ．{－1}C ．{－1，1}D ． 2．已知复数z 满足z ＋||z ＝3＋i ，则z ＝(D)A ．1－iB ．1＋i C.43－i D.43＋i3．下列说法正确的是(D) A ．命题“x 0∈[]0，1，使x 20－1≥0”的否定为“x ∈[]0，1，都有x 2－1≤0”B ．命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0”及它的逆命题均为真命题C ．命题“在锐角△ABC 中，sin A<cos B ”为真命题D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”【解析】命题“x 0∈[]0，1，使x 20－1≥0”的否定应为“x ∈[]0，1，都有x 2－1<0”，所以A 错误；命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0”的逆命题为假命题，故B 错误；锐角△ABC 中，A ＋B>π2π2>A>π2－B>0，∴sin A>sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，所以C 错误，故选D.4．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176两)．问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为(C)A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，74【解析】执行程序框图，x ＝86，y ＝90，s ≠27；x ＝90，y ＝86，s ≠27；x ＝94，y ＝82，s ≠27；x ＝98，y ＝78，s ＝27，结束循环，输出的x ，y 分别为98，78，故选C.5．已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f(log 0.53)，b ＝f ()log 25，c ＝f ()2＋m 则a ，b ，c 的大小关系为(B)A ．a<b<cB ．a<c<bC ．c<a<bD ．c<b<a【解析】∵函数f ()x 是偶函数，∴f ()x ＝f ()－x 在R 上恒成立，∴m ＝0， ∴当x ≥0时，易得f(x)＝2||x －1为增函数， ∴a ＝f(log 0.53)＝f(log 23)，b ＝f ()log 25，c ＝f ()2，∵log 23<2<log 25，∴a<c<b ，故选B.6．学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有(D)A ．70种B ．140种C ．840种D ．420种【解析】从9名同学中任选3名分别到A ，B ，C 三地进行社会调查有C 39A 33种安排方法，3名同学全是男生或全是女生有(C 35＋C 34)A 33种安排方法，故选出的同学中男女均有的不同安排方法有C 39A 33－(C 34＋C 35)A 33＝420(种)．7．已知(x ＋1)5＋(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，则a 7＝(B) A ．9 B ．36 C ．84 D ．243【解析】令t ＝x －1，则(x ＋1)5＋(x －2)9＝(t ＋2)5＋(t －1)9，只有(t －1)9中展开式含有t 7项，所以a 7＝C 29＝36，选B.8．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧1≤x ＋y ≤2，x ≤－1，则x ＋yy 的取值范围是(B)A.⎣⎡⎤12，23B.⎝⎛⎦⎤0，23C.⎝⎛⎦⎤－1，－13D.⎣⎡⎦⎤32，2 【解析】将题中可行域表示如右图，易知k ＝yx 在A(－1，3)处取得最小值－3，且斜率k小于直线x ＋y ＝1的斜率－1，故－3≤k<－1，则－1<x y ≤－13，故0<x ＋y y ≤23.9．正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 为SC 的中点，则BE 与SA 所成角的余弦值为(C)A.13B.12C.33D.32【解析】如图，设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，因为OE 是△SAC 的中位线，故EO ∥SA ，则∠BEO 为BE 与SA 所成的角．设SA ＝AB ＝2a ，则OE ＝12SA ＝a ，BE ＝32SA ＝3a ，OB＝22SA ＝2a ，所以△EOB 为直角三角形，所以cos ∠BEO ＝OE BE ＝a 3a ＝33，故选C.10．如图所示，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是(C)A ．(2，6)B ．(6，8)C ．(8，12)D ．(10，14)【解析】抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线定义可得|AF|＝x A ＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，∴三角形FAB 的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝(x A ＋2)＋(x B －x A )＋4＝6＋x B ，由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，则x B ∈(2，6)，所以6＋x B ∈(8，12)，故选C.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(3，0)，B(1，2)，D(3，2)，动点P 满足OP →＝λOA →＋μOB →，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，2]，λ＋μ∈[1，2]，则点P 落在三角形ABD 里面的概率为(A)A.12B.33C.32D.23【解析】以OA ，OB 为邻边做平行四边形OACB ，延长OB 至E ，使得OE ＝2OB ， ∵OP →＝λOA →＋μOB →，且λ∈[0，1]，μ∈[0，2]，λ＋μ∈[1，2]，∴P 点位于平行四边形ABEC 的内部(包含边界)，则点P 落在三角形ABD 里面的概率P ＝S △ABC S ABEC ＝12，选A.12．已知函数f(x)＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，46π3，若函数F(x)＝f(x)－3的所有零点依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1<x 2<x 3<…<x n ，则x 1＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －1＋x n ＝(C)A.1 276π3 B ．445π C ．455π D.1 457π3【解析】函数f(x)＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2x －π6＝π2＋k π得x ＝12k π＋π3，k ∈Z ，即f(x)的对称轴方程为x ＝12k π＋π3，k ∈Z .∵f(x)的最小正周期为T ＝π，0≤x ≤46π3，当k ＝30时，可得x ＝46π3，∴f(x)在⎣⎡⎦⎤0，46π3上有31条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数f(x)＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y ＝3的交点x 1，x 2关于π3对称，x 2，x 3关于5π6对称，…，即x 1＋x 2＝2π6×2，x 2＋x 3＝5π6×2，…，x n －1＋x n ＝2×⎝⎛⎭⎫292π＋π3，将以上各式相加得：x 1＋2x 2＋3x 3＋…＋2x 30＋x 31＝2⎝⎛⎭⎫2π6＋5π6＋…＋89π6＝(2＋5＋8＋…＋89)×π3＝455π，则x 1＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －1＋x n ＝(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＋x 3＋…＋x n －1＋(x n －1＋x n )＝2⎝⎛⎭⎫π2＋3π2＋…＋59π2＝455π.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为．14．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x 3＋f′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，f(x)，则f′(1)＝__0__．【解析】因为f(x)＝x 3＋f′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，所以f′(x)＝3x 2＋2f ′⎝⎛⎭⎫23x －1，所以f′⎝⎛⎭⎫23＝3⎝⎛⎭⎫232＋2f′⎝⎛⎭⎫23×23－1，则f′⎝⎛⎭⎫23＝－1，f(x)＝x 3－x 2－x ，则f′(x)＝3x 2－2x －1，故f′(1)＝0.15．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P －ABC 的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为__80π3__．【解析】依题意，记三棱锥P －ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的距离为h ，则由V P －ABC ＝13S △ABC h ＝13×⎝⎛⎭⎫34×42×h ＝163得h ＝433.又PC 为球O 的直径，因此球心O 到平面ABC 的距离等于12h ＝233.又正△ABC 的外接圆半径为r ＝AB 2sin 60°＝433，因此R 2＝r 2＋⎝⎛⎭⎫2332＝203，所以三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝80π3.16．已知在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，AC ⊥CD ，AC ＝CD ，则四边形ABCD 的面积的最大值为．【解析】如图所示，设∠ABC ＝θ，θ∈(0，π)，则在△ABC 中，由余弦定理得， AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos θ＝6－42cos θ，∴四边形ABCD 的面积为S ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12(AB·BC·sin θ＋AC·CD)，化简得：S ＝12(22sin θ＋6－42cos θ)＝3＋2(sin θ－2cos θ)＝3＋10sin(θ－φ)，其中tan φ＝2，当sin(θ－φ)＝1时，S 取得最大值为3＋10. 三、解答题：17．(本题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设b n ＝a n2n －1＋2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.【解析】(1)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1，两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n ，2分则a n ＋12n －32·a n2n －1＝1，即a n ＋12n ＋2＝32⎝⎛⎭⎫a n 2n －1＋2.∴b n ＋1＝32b n ，(n ≥2)，4分当n ＝1时，2S 1＝a 2－22＋1，且S 1＝a 1＝1，则a 2＝5， ∴b 1＝a 120＋2＝3，b 2＝a 221＋2＝92，满足b 2＝32b 1，∴b n ＋1＝32b n ，(n ∈N *)．故数列{b n }是首项为3，公比为32的等比数列，即b n ＝3·⎝⎛⎭⎫32n －1.6分 (2)由(1)知b n ＝a n 2n －1＋2＝3⎝⎛⎭⎫32n －1，∴a n ＝3n －2n ，则1a n ＝13n －2n ，8分当n ≥2时，⎝⎛⎭⎫32n>2，即3n －2n >2n， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －1<32.11分当n ＝1时，1a 1＝1<32，上式也成立．综上可知，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.12分18．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF ＝1.(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为θ()θ≤90°，试求cos θ的取值范围．【解析】(1)在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，所以AB ＝2，所以AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos 60°＝3，所以AB 2＝AC 2＋BC 2，所以BC ⊥AC.因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ， BC 平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE.(2)建立以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系如图所示，令FM ＝λ(0≤λ≤3)，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，1，0)，M(λ，0，1)，所以AB →＝(－3，1，0)，BM →＝(λ，－1，1)，设n 1＝(x ，y ，z)为平面MAB 的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BM →＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，λx －y ＋z ＝0，取x ＝1，所以n 1＝(1，3，3－λ)，因为n 2＝(1，0，0)是平面FCB 的一个法向量．所以cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝11＋3＋（3－λ）2×1＝1（λ－3）2＋4. 因为0≤λ≤3，所以当λ＝0时，cos θ有最小值77，当λ＝3时，cos θ有最大值12.所以cos θ∈⎣⎡⎤77，12.19．(本题满分12分)如图，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的左、右顶点为A 1，A 2，上、下顶点为B 1，B 2，记四边形A 1B 1A 2B 2的内切圆为C 2.(1)求圆C 2的标准方程；(2)已知圆C 2的一条不与坐标轴平行的切线l 交椭圆C 1于P ，M 两点．(ⅰ)求证：OP ⊥OM ；(ⅱ)试探究1OP 2＋1OM 2是否为定值．【解析】(1)因为A 2，B 1分别为椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的右顶点和上顶点，则A 2，B 1坐标分别为(2，0)，(0，1)，可得直线A 2B 1的方程为：x ＋2y ＝2.则原点O 到直线A 2B 1的距离为d ＝21＋22＝25，则圆C 2的半径r ＝d ＝25，故圆C 2的标准方程为x 2＋y 2＝45.(2)(i)可设切线l ：y ＝kx ＋b(k ≠0)，P(x 1，y 1)，M(x 2，y 2)，将直线PM 方程代入椭圆C 1可得⎝⎛⎭⎫14＋k 2x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，由韦达定理得：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2kb 14＋k 2，x 1x 2＝b 2－114＋k2，则y 1y 2＝(kx 1＋b)(kx 2＋b)＝k 2x 1x 2＋kb(x 1＋x 2)＋b 2＝－k 2＋14b 214＋k 2，又l 与圆C 2相切，可知原点O 到l 的距离d ＝|b|k 2＋12＝25，整理可得k 2＝54b 2－1，则y 1y 2＝1－b 214＋k 2，所以OP →·OM →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，故OP ⊥OM.8分(ii)由OP ⊥OM 知S △OPM ＝12||OP ||OM ，①当直线OP 的斜率不存在时，显然|OP|＝1，|OM|＝2，此时1OP 2＋1OM 2＝54； ②当直线OP 的斜率存在时，设OP ：y ＝k 1x 代入椭圆方程可得x 24＋k 21x 2＝1，则x 2＝41＋4k 21，故OP 2＝x 2＋y2＝(1＋k 21)x 2＝4（1＋k 21）1＋4k 21，同理OM 2＝4⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－1k 121＋4⎝⎛⎭⎫－1k 12＝4（k 21＋1）k 21＋4，则1OP 2＋1OM 2＝1＋4k 214（1＋k 21）＋k 21＋44（1＋k 21）＝54. 综上可知：1OP 2＋1OM 2＝54为定值. 20．中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2 000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人．这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试(满分100分)，结果如下表所示：否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？(2)的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为ξ，求Eξ.参考公式：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.【解析】2分等高条形图如图：4分通过图形可判断学习先修课与优等生有关系，又K 2＝2 000（60×1 560－140×240）2300×1 700×200×1 800≈39.216>6.635，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.(2)①p ＝20300×0.9＋55300×0.8＋105300×0.6＋70300×0.5＋50300×0.4＝0.6.8分②设获得某高校自主招生通过的人数为ξ，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫150，35， P(x ＝k)＝C k 150⎝⎛⎭⎫35k ⎝⎛⎭⎫25150－k，k ＝0，1，2，…，150，10分所以Eξ＝150×35＝90.12分21．设函数f(x)＝x 22－aln x －12，a ∈R .(1)若函数f(x)在区间[]1，e (e ＝2.718 28…为自然对数的底数)上有唯一的零点，求实数a 的取值范围；(2)若在[1，e](e ＝2.718 28…为自然对数的底数)上存在一点x 0，使得f ()x 0<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝x －a x ＝x 2－ax，其中x ∈[1，e]，①当a ≤1时，f ′(x)≥0恒成立，f(x)单调递增，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意．②当a ≥e 2时，f ′(x)≤0恒成立，f(x)单调递减，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意.3分③当1<a<e 2时，1≤x<a 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，又∵f(1)＝0，∴f(a)<f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，a]上有唯一的零点，当a<x ≤e 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，∴当f(e)<0时符合题意，即e 22－a －12<0，∴a>e 2－12时，函数f(x)在区间[1，a]上有唯一的零点；∴a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≤1或a>e 2－12.6分 (2)在[1，e]上存在一点x 0，使得f ()x 0<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，等价于x 0＋1x 0－aln x 0＋a x 0<0在[1，e]上有解，即函数g(x)＝x ＋1x －aln x ＋ax在[]1，e 上的最小值小于零．g ′()x ＝1－1x 2－a x －a x 2＝x 2－ax －a －1x 2＝()x ＋1()x －a －1x 2，8分①当a ＋1≥e 时，即a ≥e －1时，g ()x 在[]1，e 上单调递减，所以g ()x 的最小值为g ()e ，由g ()e ＝e ＋1＋a e －a<0可得a>e 2＋1e －1，∵e 2＋1e －1>e －1，∴a>e 2＋1e －1；②当a ＋1≤1时，即a ≤0时，g ()x 在[]1，e 上单调递增，所以g ()x 的最小值为g ()1，由g ()1＝1＋1＋a<0可得a<－2；10分③当1<a ＋1<e 时，即0<a<e －1时，可得g ()x 的最小值为g ()a ＋1，∵0<ln ()a ＋1<1，∴0<aln ()a ＋1<a ，g ()a ＋1＝a ＋1＋1a ＋1－aln ()a ＋1＋aa ＋1＝a ＋2－aln(a ＋1)>2，所以g ()1＋a <0不成立．综上所述：可得所求a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.12分(二)选考题：22．选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l ：θ＝α(α∈[0, π), ρ∈R )与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求|OM|的最大值．【解析】(1)曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝22，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.5分 (2)联立θ＝α和ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0，得ρ2＋2ρ(cos α－sin α)－2＝0，设A(ρ1, α)，B(ρ2, α)，则ρ1＋ρ2＝2(sin α－cos α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，由|OM|＝|ρ1＋ρ22|，得|OM|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤2，当α＝3π4时，|OM|取最大值 2. 23选修4—5: 不等式选讲已知函数f ()x ＝||x ＋a ＋||x －2.(1)当a ＝1时，求不等式f ()x ≥7的解集；(2)若f ()x ≤||x －4＋||x ＋2a 的解集包含[]0，2，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝1时， f ()x ＝⎩⎨⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x<2，2x －1，x ≥2，当x ≤－1时，由f ()x ≥7得－2x ＋1≥7，解得x ≤－3；当－1<x<2时， f ()x ≥7无解；当x ≥2时，由f ()x ≥7得2x －1≥7，解得x ≥4，所以f ()x ≥7的解集为(]－∞，－3∪[)4，＋∞.(2)f ()x ≤||x －4＋||x ＋2a 的解集包含[]0，2等价于||x ＋a －||x ＋2a ≤||x －4||－x －2在[]0，2上恒成立，当x ∈[]0，2时，||x ＋a －||x ＋2a ≤||x －4||－x －2＝2等价于(||x ＋a －||x ＋2a )max ≤2恒成立，而||x ＋a －||x ＋2a ≤||（x ＋a ）－（x ＋2a ）＝||a ，∴||a ≤2，故满足条件的a 的取值范围是[]－2，2.。

湖南师大附中高三第三次月考数学(理)试卷(含解析)

高三月考试卷（三）理科数学湖南师大附中高三数学备课组组稿命题人：李莉苏萍周正安审题人：贺忠良邓仁辉时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A ={y ∈R |y =lg x , x ＞1},B ={x |0＜|x |≤2, x ∈Z },则下列结论正确的是（D ）A ．A ∩B ={-2，-1} B ．（C R A ）∪B =（-∞，0] C ．A ∪B =[0，+∞]D ．（C R A ）∩B ={-2，-1} 2．设a 是实数，且2i 1i 1+++a 是实数，则a = （B ） A ．21B ．1C ．23 D ．23．“ac =b 2”是“a ，b ，c 成等比数列”的（B ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．3)141(-+xx 展开式中的常数项为（A ） A ．25- B ．25C ．-1D ．15．已知0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是（C ） A ．ab ＜b 2＜1 B ．21log b ＜21log a ＜0C ．2b ＜2a ＜2D ．a 2＜ab ＜16．若奇函数f (x )(x ∈R )满足f (2)=1，f (x +2)=f (x )+f (2)，则f (5)= （C ） A ．0 B ．1 C ．25 D ．5 7．焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（B ） A ．1241222=-y x B ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x8．在锐角三角形△ABC 中，tan A =t +1，tan B =t -1，则t 的取值范围是（A ） A ．（2，+∞） B ．（1，+∞） C ．（1，2） D ．（-1，1）9．一个质地均匀且形状为正方体的骰子，它的六个面上的点数依次为1、2、3、4、5、6，连续掷此骰子3次，正面朝上的点数之和为10的不同抛掷结果有（A ）A ．27种B ．30种C ．33种D ．36种 10．已知无穷等比数列{a n }的前n 项的积为T n ，且a 1＞1，a 2008a 2009＞1，（a 2008-1）(a 2009-1) ＜0，则这个数列中使T n ＞1成立的最大正整数n 的值等于（C ）A ．2008B ．2009C ．4016D ．4017选择题答题卡11．已知函数f (x )=log sin1(x 2-6x +5)在（a ，+ ∞）上是减函数，则实数a 的取值范围为 [5，+∞） .12．四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1、6、3，四面体的四个顶点在同一个球面上，则这个球的体积为 332π. 13．若动直线x =m 与函数f (x )=2cos(65π-x )、g (x )=4sin x 的图像分别交于点M 、N ，则|MN | 的最大值为 32 .14．已知A （x 1，y 1）是抛物线y 2=4x 上的一个动点，B （x 2，y 2）是椭圆13422=+y x 上的一个动点，N （1，0）是一定点.若AB ∥x 轴，且x 1＜x 2，则△NAB 的周长l 的取值范围是 )4,310(. 15．在平面上，OC 是平行四边形OACB 的对角线，设=a , =b , BH ⊥OC 于点H . （1）若|a |=|b |=1，∠AOB =60°，则|OC |= 3 ；（2）若∠AOB ＜90°，请你用a ，b 表示OH = )(||)(2b a b a bb a ++∙+.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，sin B +sin C =sin(A -C ). （1）求A 的大小；（2）若BC =3，求△ABC 的周长l 的最大值. 解：（1）将sin B +sin C =sin(A -C )变形得sin C (2cos A +1)=0, （2分）而sin C ≠0，则cos A =21-，又A ∈（0，π），于是A =32π；（6分）（2）记B =θ，则C =3π-θ（0＜θ＜3π），由正弦定理得⎪⎩⎪⎨⎧-π==)3sin(32sin 32θAB θAC ，（8分）则△ABC 的周长l =23[sin θ+sin(3π-θ)]+3=23sin(θ+3π)+3≤23+3，（10分）当且仅当θ=6π时，周长l 取最大值23+3. （12分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车每年最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为91、101、111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；（2）获赔金额ξ的分布列与期望.解：设A k 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，k =1，2，3.由题意知A 1、A 2、A 3相互独立，且P （A 1）=91，P （A 2）=101，P （A 3）=111. （1）该单位一年内获赔的概率为 1-P (1A 2A 3A )=1-P (1A )P (2A )P (3A )=1-113111010998=⨯⨯. （5分）（2）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000. （6分） P (ξ=0)=P (1A 2A 3A )=P (1A )P (2A )P (3A )=118111010998=⨯⨯，（7分） P (ξ=9000)=P (A 12A 3A )+P (1A A 23A )+P (1A 2A A 3) =P (A 1)P (2A )P (3A )+P (1A )P (A 2)P (3A )+P (1A )P (2A )P (A 3) =451199024211110998111010198111010991==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，（8分） P (ξ=18000)=P (A 1A 23A )+P (A 12A A 3)+P (1A A 2A 3) =P (A 1)P (A 2)P (3A )+P (A 1)P (2A )P (A 3)+P (1A )P (A 2)P (A 3) =1103990271111019811110991111010191==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，（9分） P (ξ=27000)=P (A 1A 2A 3)=P (A 1)P (A 2)P (A 3)=990111110191=⨯⨯. （10分）综上知，ξ（11分）由ξ的分布列得 E ξ=18.27181129900990127000110318000451190001180≈=⨯+⨯+⨯+⨯(元). （12分）如图，P —ABCD 是正四棱锥，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB =2，P A =6.（1）求证：P A ⊥B 1D 1；（2）求平面P AD 与平面BDD 1B 1所成的锐二面角θ的大小；（3）求B 1到平面P AD 的距离. 解：解法一：（1）连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，则PO ⊥面ABCD ，又∵AC ⊥BD ，∴P A ⊥BD ，∵BD ∥B 1D 1，∴P A ⊥B 1D 1. （4分）（2）∵AO ⊥BD ，AO ⊥PO ， ∴AO ⊥面PBD ，过点O 作OM ⊥PD 于点M ，连结AM ，则AM ⊥PD ，∴∠AMO 就是二面角A —PD —O 的平面角，（6分）又∵AB =2，P A =6， ∴OD =2，PO =226=-， OM =32622=⨯=∙PD OD PO ， ∴tan ∠AMO =26322==OM AO ，即二面角的大小为arctan26. （8分）（3）分别取AD ，BC 中点E ，F ，作平面PEF ，交底面于两点S ，S 1，交B 1C 1于点B 2，过点B 2作B 2B 3⊥PS 于点B 3，则B 2B 3⊥面P AD ，又B 1C 1∥AD ，∴B 2B 3的长就是点B 1到平面P AD 的距离. （10分） ∵PO =AA 1=2，∴EF =221=SS ，tan ∠PSS 1=224=，sin ∠PSS 1=52， ∴B 2B 3=B 2S sin ∠PSS 1=556523=⨯. （12分）解法二：以A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系，（1）设E 是BD 的中点，∵P —ABCD 是正四棱锥， ∴PE ⊥ABCD .又AB =2，P A =6，∴PE =2， ∴P （1，1，4），∴11D B =（-2，2，0），=（1，1，2）（2分）∴11D B ·AP =0，即P A ⊥B 1D 1。

湖南师范大学附属中学2021届高三第一学期数学月考试卷及答案(三)

湖南师大附中2021届高三月考试卷(三)一、单项选择题(共8小题，每小题5分，共40分)1.已知R 是实数集，21M x x ⎧<⎫=⎨⎬⎩⎭，{}1N x y y ==-，则()N M =R( )A.()1,2B.[]0,2C.∅D.(],2-∞2.如图，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=( )A.2B.22C.2D.83.若l ，m 为两条不同的直线，α为平面，且l α⊥，则“m//α”是“m l ⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“21p -(p 是质数)”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是2213-=，3217-=，52131-=，721127-=，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数.已知第10个梅森数为8921-，则第10个梅森数的位数为( )(参考数据：lg20.301≈)A.25B.29C.27D.285.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这三种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为( )A.150B.180C.200D.2806.已知定义在R 上的偶函数()f x ，对任意x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时()21xf x -=-.若在1a >时，关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.()1,2B.232,2⎛⎫⎪⎝⎭C.()23,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D.()2,+∞7.已知O 为ABC △的外心，26OA OB OC ++=0，则ACB ∠的正弦值为( )A.64B.14C.12D.388.l 是经过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>焦点F 且与实轴垂直的直线，A ，B 是双曲线C 的两个顶点，若在l 上存在一点P ，使45APB ∠=︒，则双曲线离心率的最大值为( )A.2B.3C.2D.3二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 9.下列命题正确的是( )A.若随机变量()~100,X B p ，且()20E X =，则1152D X ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A 与B C D 是互斥事件，也是对立事件C.一只袋内装有m 个白球，n m -个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，()2P ξ=等于()23m nn m A A -D.由一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 得到回归直线方程y bx a =+，那么直线y bx a =+至少经过()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 中的一个点10.若非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式不一定成立的是( )A.1ab< B.2b aa b+≥ C.2211ab a b<D.22a ab b +<+11.如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM △沿直线AM 翻折成1AB M △，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是( )A.存在某个位置，使得1CN AB ⊥B.翻折过程中，CN 的长是定值C.若AB BM =，则1AM B D ⊥D.若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π12.已知曲线()22:201,2,n C x nx y n -+==.点()1,0P -向曲线n C 引斜率为()0n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y .则下列结论正确的是( )A.数列{}n x 的通项为1n nx n =+ B.数列{}n y 的通项为211n n n y n +=+C.当3n >时，1352111nn nx x x x x x --⋅⋅⋅⋅>+ D.12sin 1n n n n x x x y -<+三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.若()()()()17217012172111x a a a x x a x +=+++++++，则012316a a a a a +++++=_______.14.已知抛物线2:4C y x =与圆()22:19E x y -+=相交于A ，B 两点，点M 为劣弧AB 上不同于A ，B 的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则MNE △的周长的取值范围为________.15.既要金山银山，又要绿水青山，说明了既要发展经济，又要保护环境，两者兼得，社会才能又快又好的发展.现某风景区在践行这一理念下，计划在如图所示的以AB 为直径的半圆形山林中设计一条休闲小道AC (C 与A ，B 不重合)，A ，B 相距400米，在紧邻休闲小道AC 的两侧及圆弧CB 上进行绿化，设BAC θ∠=，则绿化带的总长度()fθ的最大值约为________米.(参考数据：3 1.7≈，3π≈)16.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()00f =，若对任意x ∈R ，都有()()1f x f x '->，则使得()11exf x +>成立的x 的取值范围为________.四、解答题(本题共6小题，共70分) 17.(本小题满分10分) 在①222sin 2cos 2cos cos 122C B C B C B -+++=，②2tan tan tan B bA B c=+a=()sin C C 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c，且满足a =，3b =，________，求ABC△的面积.18.(本小题满分12分) 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状的这一阶段称为潜伏期.各种传染疾病的潜伏期不同，数小时、数天、甚至数月不等.某市疾病预防控制(2)将200期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该市疾病预防控制中心随机调查了该地区30名患者，其中潜伏期超过6天的人数为X ，求随机变量X 的期望和方差：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.已知，如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2AB PA ==，PA ⊥平面ABCD ，E ，M 分别是BC ，PD 中点，点F 在棱PC 上移动.(1)证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ； (2)当直线AF 与平面PCD 所成的角最大时，确定点F 的位置.20.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的首项12a =，前n 项和为n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公差的等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n n b a =，*n ∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n T .①求证：数列n T n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列； ②若存在整数(),1m n m n >>，使得()()m m n n m S T T n S λλ+=+，其中λ为常数，且2λ≥-，求λ的所有可能值.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，过2F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，若1F PQ △的周长为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线():0l y kx m m =+≠交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，N的半径为NO .设D 为AB 的中点，DE ，DF 与N 分别相切于点E ，F ，求EDF ∠的最小值.已知函数()1ln(1)x f x x ++=，()()1mg x m x =∈+R .(1)判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性； (2)若()()f x g x >在()0,+∞上恒成立，求整数m 的最大值；(3)求证：()()()2311212311en n n -+⨯+⨯++>⎡⎤⎣⎦(其中e 为自然对数的底数).湖南师大附中2021届高三月考试卷(三)数学参考答案三、填空题 13.1721-14.()6,815.88016.()0,+∞三、解答题17.【解析】选①因为222sin 2cos 2cos cos 122C B C BC B -+++=，所以()()()1cos 1cos 2cos cos 22cos 22cos 1C B C B C B C B A --++++=++=-=，所以1cos 2A =，因为C 为三角形的内角， ∴A π=，又∵a =，3b =，∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得：21139232c c =+-⨯⨯⨯，可得：2340c c --=，解得4c =，或1-(舍去)，∴11sin 3422ABC S bc A ==⨯⨯=△ 选②∵2tan tan tan B bA B c=+， ∴由正弦定理可得：2tan sin tan tan sin B BA B C =+，可得：sin 2sin cos sin sin sin cos cos B B B A B CA B⨯=+，可得：2sin 2sin 2sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin sin cos cos cos cos B B B A B B B A B B A C C CA B A B==+， ∵sin 0B ≠，sin 0C ≠，∴解得1cos 2A =，∵()0,A π∈， ∴3A π=.选③由正弦定理得sin sin a bA B=，∵()3sin sin sin 3cos B A C C =+，∴()3sin sin sin 3sin cos A C A C A C +=+， ∴3cos sin sin sin A C A C =， ∵sin 0C ≠，即3cos sin A A =，tan 3A =，又()0,A π∈， ∴3A π=.潜伏期≤6天潜伏期>6天总计50岁以上(含50岁) 7525 100 50岁以下 45 55 100 总计 12080200由上表可得()22007555254518.75 6.63512080100100K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关. (2)由题意可知，一名患者潜伏期超过6天的概率为8022005P ==，随机变量服从2~30,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴()230125E X =⨯=. ()2236301555D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.答：随机变量X 的期望和方差分别为12与365. 19.【解析】(1)证明：连接AC ，∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒， ∴ABC △为正三角形， ∵E 是BC 的中点，∴AE BC ⊥，又AD//BC ， ∴AE AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴PA AE ⊥，∵PA AD A =，PA AD ⊂、平面PAD ， ∴AE ⊥平面PAD ， ∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAD .(2)由(1)知，AE 、AD 、AP 两两垂直，故以AE 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()3,1,0B -，()3,1,0C，()0,2,0D ，()0,0,2P ，()0,1,1M ，()3,0,0E，∴()3,1,2PC =-，()0,2,2PD =-，()0,0,2AP =.设()3,,2PF PC λλλλ==-，()3,,22AF AP PF λλλ=+=-.设平面PCD 的法向量为()111,,x y z =m ，则1111132022PC x y z PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩m m，令1z =11x =，1y =∴(=m .设直线AF 与平面PCD 所成的角为θ，则sin cos ,AF AF AF θ⋅====⋅m m m当12λ=时，sin θ最大，此时F 为PC 的中点. 20.【解析】(1)∵12a =，∴121S=， ∴()11321222n S n n n =+-=+，即21322n S n n =+，当2n ≥时，()()22113111112222n S n n n n -=-+-=+-，∴()112n n n a S S n n -=-=+≥，当1n =时，12a =符合上式， ∴()*1n a n n =+∈N .(2)①证明：∵()*1n a n n =+∈N ， ∴()21nn b n =+，∴()2322232421n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯+，则()2341222232421n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯+，两式相减，可整理得12n n T n +=⋅，∴11242n n nT n+-==⨯， ∴数列n T n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列.②由①可知，12n n T n +=⋅，且由(1)知21322n S n n =+，代入()()m m n n m S T T n S λλ+=+，可得21121322213222m n m m m m n n n n λλ++⎛⎫++ ⎪⋅⎝⎭=⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭，整理得22232232m n m m n n λλ++=++，即22323222n mn n m m λλ++++=，设2322n nn n c λ++=，则m n c c =，则()()22211113123224222n nn n n n n n n n n c c λλλ+++++++++---+-=-=. ∵2λ≥-，∴当3n ≥时，2112402n n n n n c c λ++---+-=<，即1n n c c +<，∵1m n >>，且24514360288c c λλλ+++-=-=≥，∴()25n c c n >≥， ∴24c c =或23c c =，即2n =，4m =或3.当2n =，4m =时，2λ=-，当2n =，3m =时，1λ=-. 故λ的所有可能值为1-，2-.21.【解析】(1)由椭圆的定义可知，1F PQ △的周长为4a ，∴48a =，2a =，又离心率为22， ∴2c =，222422b a c =-=-=，因此椭圆方程为22142x y +=. (2)设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，得()222214240k x kmx m +++-=，由0∆>，得2242m k <+(*)且122421kmx x k -+=+，因此122221my y k +=+，所以222,2121kmm D k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又()0,N m -，所以2222222121km m ND m k k ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得：()()22422241321m k k ND k ++=+，因为NF m =，所以()()()2422222224318312121k k ND k kkNF+++==+++.令283t k =+，3t ≥，故21214t k ++=，所以()222161611112NDt N t t tF =+=++++. 令1y t t =+，所以211y t'=-. 当3t ≥时，0y '>，从而1y t t =+在[)3,+∞上单调增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22134NF ND ≤+=，由(*)得m <<且0m ≠，故设12NFND ≥，设2EDF θ∠=，则1sin 2NFND θ=≥，所以θ的最小值为6π. 从而EDF ∠的最小值为3π，此时直线l 的斜率为0. 综上所述：当0k =，()()0,2m ∈时，EDF ∠取得最小值为3π. 22.【解析】(1)因为()()()1ln 10x f x x x ++=>，所以()()21ln 11x x f x x --++'=，()0x >，又因为0x >，所以101x>+，()ln 10x +>，所以()0f x '<，即函数()f x 在()0,+∞上为减函数.(2)由()()f x g x >在()0,+∞上恒成立，即()()11ln 1x x x m x++++<在()0,+∞上恒成立，即()()min11ln 1x x x m x ++++⎛⎫< ⎪⎝⎭，设()()()11ln 1x x x h x x++++=，所以()()21ln 1x x h x x --+'=，()0x >，令()()1ln 1g x x x =--+，则()11011x g x x x '=-=>++，即()g x 在()0,+∞为增函数，又()21ln30g =-<，()322ln20g =->，即存在唯一的实数根a ，满足()0g a =，且()2,3a ∈，()1ln 10a a --+=，当x a >时，()0g x >，()0h x '>，当0x a <<时，()0g x <，()0h x '<，即函数()h x 在()0,a 为减函数，在(),a +∞为增函数，则()()()()()min 11ln 113,4a a a h a a a h x ++++===+∈，故整数m 的最大值为3.(3)由(2)知，()213ln 1211x x x x -+>=-++，()0x >，令()1x n n =+，则()()()3311ln 1122231111n n n n n n n n ⎛⎫++>->-=--⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭， ()()()11111ln 112ln 123ln 1123123232231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯++⨯++++>--+--++--⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1231231n n n ⎛⎫=-->- ⎪+⎝⎭，故()()()2311212311e n n n -+⨯+⨯++>⎡⎤⎣⎦.。

贵州师大附中2010届高三第三次月数学试题(理科)答案

贵州师大附中2009——2010学年第一学期第三次月考高三数学理科参考答案13、{1，7，9} 14、1315、15-16、①③④17、(I):(1)a<0,A=,∅∅ 解当时有A B=,{(2)0,-33}a A x a x a ≥=+≤≤+当时有,{81}B x x x =<->或.由∅ A B=,有3813a a -+≥-⎧⎨≥+⎩ 得112a a ≤⎧⎨≤-⎩ 与0a ≥,矛盾!故当∅ A B=时,a 的取值范围是(,0)-∞; (II)解:(1)a<0,A=,∅ 当时有A B=B ,{(2)0,-33}a A x a x a ≥=+≤≤+当时有,{-81}B x x x =<>或由 A B=B,必有A B ⊆,得38a +<-或31a -+>得11a <- (舍去)或2a <得02a ≤< 故当 A B=B 时, a 的取值范围是(,2)-∞.18、解：0)(,)1,1()(<'-x f x f 且内可导在 )1,1()(-∴在x f 上为减函数又当b a ,0)()(,0),1,1(=+=+-∈b f a f b a 时)()(),()(a f a f a f b f -=--=∴即)1,1()(-∴在x f 上为奇函数 )1()1(0)1()1(22m f m f m f m f -->-⇔>-+-∴2111111111)1()1(222<<∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-⇔->-⇔m m m m m m f m f∴原不等式的解集为)2,1(19、解法一：(Ⅰ)由已知l 2⊥MN, l 2⊥l 1 , MN ∩l 1 =M, 可得l 2⊥平面ABN ．由已知MN ⊥l 1 ，AM=MB=MN ，可知AN=NB 且AN ⊥NB ．又AN 为AC 在平面ABN 内的射影.∴AC ⊥NB（Ⅱ）∵Rt △CAN ≌Rt △CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°，因此 △ABC 为正三角形．AB MNCl 2 l 1 H∵Rt △ANB ≌Rt △CNB ，∴NC=NA=NB ，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心，连结BH,∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角．在Rt △NHB 中,cos ∠NBH= HB NB = 33AB 22AB = 63 .解法二：如图,建立空间直角坐标系M －xyz.令MN=1，则有 A(－1, 0, 0)，B(1, 0, 0)，N(0, 1, 0)．(Ⅰ)∵MN 是 l 1、l 2的公垂线, l 1⊥l 2, ∴l 2⊥平面ABN. l 2平行于z 轴．故可设C(0,1,m).于是 AC →=(1,1,m), NB →=(1,－1,0)． ∴AC →·NB →=1+(－1)+0=0 ∴AC ⊥NB ． (Ⅱ)∵AC → =(1,1,m), BC →=(－1,1,m), ∴|AC →|=|BC →|, 又已知∠ACB=60°，∴△ABC 为正三角形，AC=BC=AB=2．在Rt △CNB 中，NB=2，可得NC=2,故C(0,1, 2)．连结MC ，作NH ⊥MC 于H ，设H(0,λ, 2λ) (λ>0)．∴HN →=(0,1－λ,－2λ)， MC →=(0,1, 2)．HN →·MC →= 1－λ－2λ=0, ∴λ= 13，∴H(0, 13, 23)，可得HN →=(0,23, － 23)，连结BH,则BH →=(－1,13, 23)，∵HN →·BH →=0+29 － 29 =0，∴HN →⊥BH →, 又MC ∩BH=H ，∴HN ⊥平面ABC ，∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角.又BN →=(－1,1,0)， ∴cos ∠NBH= BH →·BN →|BH →|·|BN →| = 4323×2= 63．20、解：随机变量ξ的分布列是ξ的均值为111111233266E ξ=⨯+⨯+⨯=l附：ξ的分布列的一种求法，共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是1：⑥之下，A 直接感染了三个人．21、解：(Ⅰ)设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．(Ⅱ)12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ， 50134)13(42212-⨯+--=-k S k ， ∴当13=k 时，12-k S 取得最大值．12-k S 的最大值为626．22. 解：（Ⅰ）22222'(),1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=-=++++∵()f x 在x=1处取得极值，∴2'(1)0,120,f a a =+-= 即解得 1.a =（Ⅱ）222'(),(1)(1)ax a f x ax x +-=++ ∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +>①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞②当02a <<时，由'()0'()0f x x f x x >><<解得由解得∴()f x +∞的单调减区间为（0单调增区间为）.（Ⅲ）当2a ≥时，由（Ⅱ）①知，()(0)1;f x f =的最小值为当02a <<时，由（Ⅱ）②知，()f x 在x =(0)1,f f <=综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,)+∞．。

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（4分）（2）设平面P AD 的法向量m =（x ，y ，z ），∵AD =（0，2，0），AP =（1，1，2）， ∴y =0，x +2z =0取z =1得m =(-2，0，1)，又平面BDD 1B 1的法向量是n =(-1，1，0)，（6分） ∴cos<m ，n >=510-=∙|n ||m |n m ， ∴θ=arccos510. （8分）（3）∵A B 1=（-2，0，2）， ∴B 1到平面P AD 的距离d =556||||1=∙m m B . （12分） 19．（本小题满分13分）某商场预计2009年从1月份起前x 个月，顾客对某种商品的需求总量p (x )（单位：件）与x 的关系近似地满足p (x )=21x (x +1)(39-2x )，(x ∈N *，且x ≤12).该商品第x 月的进货单价q (x )（单位：元）与x 的近似关系是q (x )=150+2x .(x ∈N *，且x ≤12)（1）写出今年第x 月的需求量f (x )件与x 的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2009年第几月份销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？解：（1）当x =1时，f (1)=p (1)=37；（2分）当2≤x ≤12时，f (x )=p (x )-p (x -1)=21x (x +1)(39-2x )-21(x -1)x (41-2x )=-3x 2+40x (x ∈N *，且2≤x ≤12) （5分）验证x =1符合要求，故f (x )=-3x 2+40x (x ∈N *，且1≤x ≤12) （6分）（2）该商场预计第x 月销售该商品的月利润为g (x )=(-3x 2+40x )(185-150-2x )=6x 3-185x 2+1400x (x ∈N *，且1≤x ≤12) （8分） g ′(x )=18x 2-370x +1400，令g ′(x )=0，解得x =5，x =9140(舍去). (10分) 当1≤x <5时，g ′(x )>0，当5<x ≤12时，g ′(x )<0， ∴当x =5时，g (x )max =g (5)=3125(元).综上，商场2009年第5月份的月利润最大，最大利润为3125元. （13分） 20．（本小题满分13分）已知点P n （x n ，y n ）是函数y =221x 在第一象限内图像上的点，点P n （x n ，y n ）在x 轴上的射影为Q n （x n ，0），O 为坐标原点，点A （3，0），且Q nOQ n n 1=(n ∈N *).（1）求{x n }的通项公式；（2）令b n =273411+-+n x x n n ，求{b n }的前n 项和S n ；（3）在（2）的条件下，求证：对一切正整数n ≥2，有.nS y S y S y n n 85323322<+⋯++ 解：（1）∵A Q nOQ n n 1= ∴（x n ，0）=n1（3-x n ，0）（2分）即x n =n1（3-x n ） x n =13+n （n ∈N *）（4分）（2）∵b n =,91275912734)23(9127341221++=+-++=+-+n n n n n n x x n n （6分）则S n =n n n 91)21(275)21(91222++⋯++++⋯++ =91·61n (n +1)(2n +1)+545n (n +1)+91n =27)64(2++n n n . （8分）（3）∵P （x n ，y n ）在y =221x 的图像上， ∴y n =1812122)n (x n+=，（9分）对2≤k ≤n 的整数k 有：23)64()1(23222≤+++=k k k k kS y k k ·23254)1(2342=++++k k k k k ·)211(43)2(1+-=+k k k k （12分）所以.856543)21113121(43323322=∙<+-+-+≤+⋯++n n nS y S y S y n n （13分）21．（本小题满分13分）已知椭圆C ：2222b y a x +=1（a >b >0）过点P （2，1），离心率e =23，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点（A 、B 均异于P 点）且有PA ·PB =0.（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线l 过定点. 解：（1）由11422=+b a 及,a c e 23== （3分）可得a 2=8，b 2=2，c 2=6. （5分）∴椭圆C 的方程为2822y x +=1. （6分）（2）证明：设l ：y =kx +m 与椭圆C 的方程联立，消去y ，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2-8=0. （7分）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 x 1+x 2=2418k km+-，x 1x 2=224184k m +-. （8分）PA ·PB =（x 1-2，y 1-1）·(x 2-2，y 2-1)=(x 1-2)(x 2-2)+(y 1-1)(y 2-1)=(x 1-2)(x 2-2)+(kx 1+m -1)(kx 2+m -1) =(1+k 2)x 1x 2+(km -k -2)(x 1+x 2)+4+(m -1)2=222413251612k m m km k +--++=041)12)(356(2=+-+++k m k m k （10分）∴（6k +5m +3）(2k +m -1)=0. 由6k +5m +3=0，可得l ：y =kx -536+k =k (x -56)-53， ∴l 过定点（56，-53）. （11分）由2k +m -1=0. 可得l ：y =kx +1-2k =k (x -2)+1，∴l 过定点（2，1），这与A 、B 两点均异于P 点矛盾，故舍去. （12分）若直线l 的斜率不存在，可设l 的方程为：x =x 1(x 1≠2)，并令A （x 1，y 1）、B （x 1，-y 1），由·=（x 1-2，y 1-1）·（x 1-2，-y 1-1）=0及422121x y -=可求得x 1=56，此时，直线l 也过定点（56，-53）.综上，直线l 过定点（56，-53）. （13分）。