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人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.锐角中，已知，，则的取值范围是A. ，B. ，C. ，D. ，2.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则的形状为A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形3.在中，，，，则的值等于A. B. C. D.4.在中，有正弦定理：定值，这个定值就是的外接圆的直径如图2所示，中，已知，点M在直线EF上从左到右运动点M不与E、F重合，对于M的每一个位置，记的外接圆面积与的外接圆面积的比值为，那么A. 先变小再变大B. 仅当M为线段EF的中点时，取得最大值C. 先变大再变小D. 是一个定值5.已知三角形ABC中，，边上的中线长为3，当三角形ABC的面积最大时，AB的长为A. B. C. D.6.在中，，，分别为内角，，所对的边，，且满足若点O是外一点，，，平面四边形OACB 面积的最大值是A. B. C. 3 D.7.在中，，， ，则使有两解的x的范围是A. ，B. ，C. ，D. ，8.的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则的面积为A. B. C. D. 19.在中，若，则是A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形10.在中，已知，，分别为， ， 的对边，则为A. B. 1 C. 或1 D.11.设锐角的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且，，则b的取值范围为A. ，B. ，C. ，D. ，12.在中，内角，，所对边的长分别为，，，且满足，若，则的最大值为A. B. 3 C. D. 9二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）13.设的内角，，所对的边分别为，，且，则角A的大小为______ ；若，则的周长l的取值范围为______ ．14.在中，， ， 所对边的长分别为，，已知，，则______ ．15.已知中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则的形状是______ ．16.在中，若，则的形状为______ ．17.在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则______ ．18.如果满足，，的三角形恰有一个，那么k的取值范围是______ ．19.已知的三个内角，，的对边依次为，，，外接圆半径为1，且满足，则面积的最大值为______ ．三、解答题（本大题共11小题，共132.0分）20.在锐角中，，，是角，，的对边，且．求角C的大小；若，且的面积为，求c的值．21.在中，角，，的对边分别为，，已知．求角A的大小；若，，求的面积．第2页，共23页22.已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．求角C的大小；若边长，求的周长最大值．23.已知函数，．求函数的最小值和最小正周期；已知内角，，的对边分别为，，，且，，若向量，与，共线，求，的值．24.已知中，，，，求的外接圆半径和角C的值；求的取值范围．25.中，角，，的对边分别是，，且满足，求角B的大小；若的面积为为且，求的值．26.已知，，分别为的三个内角，，的对边，且求角A的大小；求的面积的最大值．27.已知函数．Ⅰ当，时，求函数的单调递增区间；Ⅱ若方程在，内恒有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．28.已知A、B、C是的三个内角，向量，，，，且；求角A；若，求．29.在中，角，，的对边分别是，，，已知求的值若，求边c的值．第4页，共23页30.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足：求角C的大小；若，求的取值范围．答案和解析【答案】1. D2. A3. A4. D5. A6. A7. D8. B9. B10. B11. A12. A13. ；，14.15. 等腰三角形或直角三角形16. 等腰三角形或直角三角形17.18. 或19.20. 解：是锐角，，，是角，，的对边，且．由正弦定理得：是锐角，，故；，且的面积为，根据的面积解得：．由余弦定理得．故得c的值为．21. 本题满分为14分解：，由正弦定理得分又，从而分由于，所以分解法一：由余弦定理，而，，，分得，即．因为，所以分故的面积为分解法二：由正弦定理，得，从而，分又由知，第6页，共23页所以．故分所以的面积为分22. 解：由已知，根据正弦定理，得，，即．由余弦定理得．又，．所以．，，，，可得：，，由可知，，可得：．的取值范围，23. 解：由于函数，故函数的最小值为，最小正周期为．中，由于，可得，．再由向量，与，共线可得．再结合正弦定理可得，且．故有，化简可得，，．再由可得，解得，．24. 解：由正弦定理，．再由，，可得，故有，即．再由，可得，．由于．再由，可得，，，即的取值范围为，．25. 解：又，即，，将，利用正弦定理化简得：，，在中，，，，又，则的面积为，，，，又，，由余弦定理得：，，则26. 解：中，，且，利用正弦定理可得，即，即，，．再由，利用基本不等式可得，，当且仅当时，取等号，此时，为等边三角形，它的面积为，故的面积的最大值为：．27. 解：令解得：由于，的单调递增区间为：，和，Ⅱ依题意：由解得：第8页，共23页设函数与由于在同一坐标系内两函数在，内恒有两个不相等的交点．因为：，所以：，根据函数的图象：当，，，，当，时，，，，所以：28. 解：，，，，，，．由题知，，，，．．29. 解：由得即，由余弦定理得30. 本题满分为12分解：在中，，由正弦定理可得：，即，分，由C为三角形内角，分由可知，分分，，，的取值范围为，分【解析】1. 解：由正弦定理可得，，，，为锐角三角形，，且，，，，，，即，第10页，共23页，，由余弦定理可得：，可得：，，．故选：D．由正弦定理可得，，结合已知可先表示，，然后由为锐角三角形及可求B的范围，再把所求的bc用，表示，利用三角公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求bc的范围，由余弦定理可得，从而可求范围．本题综合考查了正弦定理和面积公式及两角和与差的正弦、余弦公式及辅助角公式的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用，属于中档题．2. 解：因为，所以，所以，即，因为，，是三角形内角，所以．三角形为等腰三角形．故选：A．通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形的判断，考查计算能力，属于基础题．3. 解：，，，，，，．故选：A．先利用面积公式求得c的值，进而利用余弦定理可求a，再利用正弦定理求解比值．本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解．4. 解：设的外接圆半径为，的外接圆半径为，则由题意，，点M在直线EF上从左到右运动点M不与E、F重合，对于M的每一个位置，由正弦定理可得：，，又，，可得：，可得：．故选：D．设的外接圆半径为，的外接圆半径为，则由题意，，由正弦定理可得：，，结合，，可得，即可得解．第12页，共23页本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于基础题．5. 解：设 ， ． 设三角形的顶角 ，则由余弦定理得，，根据公式三角形面积，当 时，三角形面积有最大值 此时 ．AB 的长： ． 故选：A ．设 ，三角形的顶角 ，则由余弦定理求得 的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得 ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值时的x 即可．本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力 运算量较大．6. 解： 中， ，，，即 ， ，又 ， 为等边三角形．． ，，故当时，取得最大值为1， 故 的最大值为， 故选：A ．依题意，可求得 为等边三角形，利用三角形的面积公式与余弦定理可求得，从而可求得平面四边形OACB 面积的最大值．题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦定理的应用，求得是解题的关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题． 7. 解：结合图形可知，三角形有两解的条件为， ， ， ，则使 有两解的x 的范围是 ， 故选：D ．根据题意画出图形，由题意得到三角形有两解的条件为，，即可确定出x的范围．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，画出正确的图形是解本题的关键．8. 解：由于，由向量加法的几何意义，O为边BC中点，的外接圆的圆心为O，半径为1，三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形，，斜边，又，，，．故选：B．由，利用向量加法的几何意义得出是以A为直角的直角三角形，又，从而可求，的值，利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了平面向量及应用，三角形面积的求法，属于基本知识的考查．9. 解：由题意，即，亦即，，，，，故选：B．利用可得，再利用两角和差的余弦可求．本题主要考查两角和差的余弦公式的运用，考查三角函数与解三角形的结合属于基础题．10. 解：，，，故选B．先通过余弦定理求得ab和的关系式对原式进行通分，把ab的表达式代入即可．本题主要考查了余弦定理的应用解题的关键是找到，和c的关系式．11. 解：锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、，，，且，．，，，，由正弦定理可得：，，则b的取值范围为，故选A由题意可得，且，解得A的范围，可得的范围，由正弦定理求得，根据的范围确定出b范围即可．此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围．12. 解：，由正弦定理，得，，又，，．由余弦定理可得：，可得：，即有：，代入：可得：，的最大值为．故选：A．利用正弦定理化边为角，可求导，由此可得B，由余弦定理可得：，由基本不等式可得：，代入：可得的最大值．该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，基本不等式的应用，考查学生运用知识解决问题的能力，属于中档题．13. 解：变形得：，利用正弦定理得：，，即，由，得到，又A为三角形的内角，则；，，，即，，即，，则的周长，，，，即，第14页，共23页则l范围为，．故答案为：；，将已知的等式左右两边都乘以2变形后，利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式变形，根据不为0，得出的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；由A的度数求出的值，及的度数，用B表示出C，由正弦定理表示出b与c，而三角形ABC的周长，将表示出的b与c，及a的值代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即可得到l的范围．此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，利用了转化的思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．14. 解：在中，，由正弦定理可得，，联立可解得，由余弦定理可得，再由二倍角公式可得，解得或，再由三角形内角的范围可得，故故答案为：由题意和正弦定理可得，代入余弦定理可得，由二倍角公式和三角形内角的范围可得．本题考查解三角形，涉及正余弦定理和二倍角公式，属中档题．15. 解：将，代入已知等式得：，整理得：，当，即时，为直角三角形；当时，得到，为等腰三角形，则为等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰三角形或直角三角形．利用余弦定理表示出与，代入已知等式，整理后即可确定出三角形形状．此题考查了余弦定理，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16. 解：原式可化为或或．故答案为等腰三角形或直角三角形左边利用正弦定理，右边“切变弦”，对原式进行化简整理进而可得A和B的关系，得到答案．本题主要考查了正弦定理的应用考查了学生利用正弦定理解决三角形问题的能力．17. 解：由已知，即，根据正弦定理，得，，即．由余弦定理得．又，所以．，可得，所以，三角形是正三角形，．故答案为：．通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C的余弦值，得到C的值通过，求出，的值，推出三角形的形状，然后求解数量积的值．本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法三角形形状的判断，向量数量积的应用，考查计算能力．18. 解：当，即，即时，三角形无解；当，即，即时，三角形有解；当，即，即，三角形有个解；当，即时，三角形有1个解．综上所述：当或时，三角形恰有一个解．故答案为：或要对三角形解得各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有2个解，从中得出恰有一个解时k满足的条件．本题主要考查三角形解得个数问题，重在讨论易错点在于可能漏掉这种情况．19. 解：由，利用正弦定理可得：，，，，，，即，，，即，，，第16页，共23页当且仅当时，取等号，面积为，则面积的最大值为：．故答案为：．利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据不为0，可得出的值，然后利用余弦定理表示出，根据的值，得出，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc 的最大值，进而由的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 面积的最大值．此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．20. 利用正弦定理可求角C的大小直接利用的面积求解出b，再用余弦定理可得．本题考查了正弦定理，余弦定理的运用和计算能力．21. 由弦定理化简已知可得，结合，可求，结合范围，可求A的值．解法一：由余弦定理整理可得：即可解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．解法二：由正弦定理可求的值，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．22. 通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C的余弦值，得到C的值．由已知利用正弦定理可得，，利用三角函数恒等变换的应用化简可求，根据的范围，利用正弦函数的图象和性质得到结果．本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法，以及三角函数恒等变换的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．23. 化简函数的解析式为，可得函数的最小值为，最小正周期为．中，由，求得再由向量，与，共线可得，再由可得，化简求得，故再由正弦定理求得a、b的值．本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理、两个向量共线的性质，属于中档题．24. 由正弦定理求得外接圆半径再由，，可得，化简得．再由，可得，由此可得C的值．由于再由，利用正弦函数的定义域和值域求得的范围，即可求得的取值范围．本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．25. 结合三角形的内角和定理及诱导公式可得，再对已知，利用正弦定理化简可求B结合三角形的面积公式，可求ac，由已知，，再利用余弦定理可求本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用，解决此类问题的关键是要是考生具备综合应用公式的能力26. 由条件利用正弦定理可得再由余弦定理可得．利用基本不等式可得，当且仅当时，取等号，此时，为等边三角形，从而求得面积的最大值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．27. Ⅰ首先利用三角函数的恒等变换，变形成正弦型函数进一步利用函数的单调性求函数在固定区间内的增减区间．Ⅱ把求方程的解得问题转化成求函数的交点问题，进一步利用函数的性质求参数的取值范围．本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的单调性，在同一坐标系内的利用两函数的交点问题求参数的取值范围问题．28. 利用向量共线定理可得：，再利用和差公式、三角函数求值即可得出．由题知，利用倍角公式化为，因此，解得再利用，展开代入即可得出．本题考查了向量共线定理、和差公式、三角函数求值、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．29. 利用二倍角公式将已知等式化简；将得到的式子平方，利用三角函数的平方关系求出．利用求出的三角函数的值将角C的范围缩小，求出C的余弦；将已知等式配方求出边，；利用余弦定理求出c本题考查三角函数的二倍角公式、同角三角函数的平方关系、考查三角形中的余弦定理．30. 利用正弦正理化简已知等式可得：，由余弦定理可得求得，结合A的范围，即可求得A的值．第18页，共23页由正弦定理用、表示出a、b，由内角和定理求出A与B的关系式，代入利用两角和与差的正弦公式化简，根据A的范围和正弦函数的性质得出的取值范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了两角和差的正弦函数公式，解题时注意分析角的范围，属于中档题．赠送以下资料考试知识点技巧大全一、考试中途应饮葡萄糖水大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动,大脑细胞活动需要大量能量。
(word版)高一必修五解三角形复习题及答案
解三角形广州市第四中学刘运科一、选择题.本大题共10小题.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设c2，b6，B120o，那么a 等于【】A．6B．2C．3D．22．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A，a3，b 1，那么c3【】A．1B．2C．31D．3 3.△ABC中，a2，b3，B60o，那么角A等于【】A．135o B．90o C．45o D．30o4.在三角形ABC中，AB5，AC3，BC7，那么BAC的大小为【】2B．53D．A．6C．4335．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，假设a、b、c成等比数列，且c2a，那么cosB【】1322A．4B．4C．4D．36.△ABC中，tanA 1，tanB1】3，那么角C等于【2A．135o B．120o C．45o D．30oABC中，AB=3，AC=2，BC=uuur uuur7.在10，那么AB AC【】A．3B．223 23C．D．3acosA28.假设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosB，】那么【A．△ABC为等腰三角形B．△ABC为直角三角形C．△ABC为等腰直角三角形D．△ABC为等腰三角形或直角三角形9.假设tanAtanB>1，那么△ABC【】A.一定是锐角三角形 B.可能是钝角三角形C.一定是等腰三角形 D.可能是直角三角形10.△ABC的面积为S a2(b c)2，那么tan A＝【】21B．111A．C．D．2346二、填空题：本大题共4小题．11.在△ABC中，三个角A,B,C的对边边长分别为a3,b4,c6,那么bccosAcacosB abcosC的值为.12．在△ABC中，假设tanA1，C150o，BC 1，那么AB．313.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，假设3b ccosAacosC，那么cosA_________________。
高中数学必修5解三角形知识总结及练习(K12教育文档)
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解三角形一、知识点：1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ．(两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角。
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角。
）2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =,sin 2b R B =，sin 2c C R=；(正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中） ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B 4．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩(两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角。
高一必修5解三角形练习题及答案 必修5_新课标人教版
第一章 解三角形一、选择题1．在ABC ∆中，a =,03,30;c C ==(4)则可求得角045A =的是（ ） A ．（1）、（2）、（4） B ．（1）、（3）、（4） C ．（2）、（3） D ．（2）、（4） 2．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ．10=b ， 45=A ， 70=C B ．60=a ，48=c ， 60=B C ．14=a ，16=b ， 45=A D ． 7=a ，5=b ， 80=A 3．在ABC ∆中，若， 45=C ， 30=B ，则（ ）A ； BC D4．在△ABC ，则cos C 的值为（ ）A. D. 5．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A B ．120≤<k C ．12≥k D ．120≤<k 或二、填空题6．在ABC ∆中，5=a ，60A =， 15=C ，则此三角形的最大边的长为 ．7．在ABC ∆中，已知3=b ，，30=B ，则=a _ _．8．若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．9．在△ABC 中，AB=3，AC=4，则边AC 上的高为10. 在中，（1）若，则的形状是 .ABC △A A B C 2sin )sin(sin =-+ABC △（2）若的形状是 .三、解答题11. 已知在ABC ∆中,cos A =,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边. (Ⅰ)求tan 2A ； (Ⅱ)若sin()23B π+=,c =求ABC ∆的面积. 解:12. 在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，58222bcb c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6， D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d 。
⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ； ⑶求d 的取值范围 解：ABC △13．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列. （I ）求B 的值； （II ）求22sin cos()A A C +-的范围。
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三、解答题 17．在△ABC 中，已知∠A＝30°，a，b 分别为∠A，∠B 的对边，且 a＝4＝ 3 b，解
3 此三角形．
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19．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，若 bcos C＝(2a－c)cos B，
(Ⅰ)求∠B 的大小；
建议收藏下载本文，以便随时学习！ (Ⅱ)若 b＝ 7 ，a＋c＝4，求△ABC 的面积．
20．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，求证： a2 b2 ＝ sin(A B) ．
二、填空题
11．60°或 120°．
解析：由正弦定理 a ＝ b 计算可得 sin A＝ 3 ，∠A＝60°或 120°．
sin A sin B
2
12．等腰．
解析：由已知得 2sin Bsin C＝1＋cos A＝1－cos(B＋C)，
即 2sin Bsin C＝1－(cos Bcos C－sin Bsin C)，
D．①只有一解，②有两解．
二、填空题
11．在△ABC 中，a，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若 a＝ 3 ，b＝1，∠B＝30°，则
∠A 的值是
．
12．在△ABC 中，已知 sin Bsin C＝cos2 A ，则此三角形是__________三角形． 2
13．已知 a，b，c 是△ABC 中∠A，∠B，∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若 a＝4，
6．在△ABC 中，a＝2 3 ，b＝2 2 ，∠B＝45°，则∠A 为( )．
高中数学(人教版必修五)疑难规律 第一章 解三角形 Word版含答案
正弦定理的几种证明方法
正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题(测量)的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养探索精神，思维的深度广度和灵活度．
正弦定理的内容：
＝＝.
．向量法
证明：在△中做单位向量⊥，则
·＝·(＋)，
＝，
故＝，
同理可证：＝.
即正弦定理可证：＝＝.
．高线法
证明：在△中做高线，则在△和△中，
＝，
＝，
即＝，
＝，
同理可证：＝，
即正弦定理可证．
．外接圆法
证明：做△的外接圆，过点连接圆心与圆交于点，连接，设圆的半径为，
∴△为△，且＝，且＝，
∴＝，即＝.
同理：＝，＝，
∴＝＝.
．面积法
∵△＝＝＝，
∴正弦定理可证：＝＝.
正弦定理的一个推论及应用
在初学正弦定理时，若问同学们这样一个问题：在△中，若>，则与的大小关系怎样？那么几乎所有的同学都会认为与的大小关系不确定．若再问：在△中，若>，则与的大小关系怎样？
仍然会有很多同学回答大小关系不确定．鉴于此，下面我们讲讲这个问题．
一、结论
例在△中，>⇔>.
分析题中条件简单，不易入手．但既在三角形中，何不尝试用联系边角的正弦定理？
证明因为>⇔>(其中为△外接圆的半径)，
根据正弦定理变式＝，＝(其中，分别为，的对边)，可得>⇔>，
再由平面几何定理“大角对大边，小角对小边”，
可得>⇔>.所以>⇔>.。
(完整word)高一必修五解三角形复习题及答案
解三角形广州市第四中学 文U 运科、选择题•本大题共10小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.△ ABC 的内角 A B, C 的对边分别为a,b, c ，若c 、、2, b ..6，B 120o ，则a等于【】C .3C . .3 1A . 135oB . 90oC . 45°D . 30°4. 在三角形ABC 中，AB 5, AC 3, BC 7,贝U BAC 的大小为【 】253A .B .C .D .—3 64 3 5. △ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b c ,若a b c 成等比数列，且c 2a ,则 cosB【】132A.4B .4C .4D . 36. △ ABC 中, 已知 tan A 1,tan B 1 则角C 等于【】32 'A.135oB . 120oC . 45oD . 30(一 uuu umr7.在 ABC 中，AB=3, AC=2 , BC= . 10，则 AB AC 【】3 2 2 3A . -B . —C .D .-2 3 3 28.若厶ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，且 a cosA bcosB ,则【A.疋疋锐角—角形B.可能是钝角三角形C.D.可能是直角三角形疋是寺腰三角形10.△ ABC 的面积为 S2a2A(b c)，则tan =【】1111 A .— B .—C .—D .-23 46A . △ ABC 为等腰三角形C . △ABC 为等腰直角三角形9.若 tanAtanB> 1，则△ ABC 【】2.在△ ABC 中，角 A 、B 、 C的对边分别为a 、b 、c ,已知A —, a 3b 1，则 c3. 已知△ ABC 中，a 2 , b 3 , B 60o ，那么角A 等于【B . △ ABC 为直角三角形D . △ABC 为等腰三角形或直角三角形 】二、填空题：本大题共4小题.11.在厶ABC中，三个角A,B,C的对边边长分别为a 3,b 4,c 6,则bccosA cacosB abcosC 的值为 ________________ .112•在△ ABC 中，若tan A - , C 150o, BC 1，则AB .313. 在厶ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ,若,3b c cos A acosC ,贝H cosA _____________ 。
必修5解三角形知识点和练习题(含答案)
高二数学期末复习专题——解三角形复习要点1.正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩ﻩ． 3．(1)两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角．2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角．(2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角．4.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.5.解题中利用ABC ∆中A B C π++=,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算,如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++===． 一．正、余弦定理的直接应用：1、ΔA ＢC 中,a=1,b ＝3, ∠A ＝30°，则∠B 等于ﻩ( )A.６0°ﻩＢ．6０°或120°ﻩC.30°或150°ﻩD ．1２0°2、在ΔABC 中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，若1sin ,2A=sin 2B =,求::a b c 3、在ΔAB Ｃ中，若S ΔABC =41 （a 2+ｂ２-c 2),那么角∠Ｃ=___＿_＿. 4．若△ＡＢC 的周长等于２0，面积是10错误!,Ａ＝60°,则ＢC 边的长是( ) Ａ．5 ﻩﻩﻩB ．6 C ．7 ﻩD.8 5．在△A ＢC 中，C -A ＝错误!，sin B ＝错误!.(１)求sin A 的值；（2)设AC ＝错误!,求△ABC 的面积.6．在△ＡＢC 中，若()()3a b c a b c ac ++-+=，且tan tan 3A C +=+AB 边上的高为求角,,A B C 的大小与边,,a b c 的长二．判断三角形的形状7、在锐角三角形ＡBC 中,有ﻩ（ )A.ｃos Ａ＞sinB 且c ｏsB>s ｉnA ﻩB.co ｓA<si ｎB 且co ｓＢ＜sinAC ．ｃｏsA ＞sinB 且ｃo ｓＢ<ｓi ｎA ﻩD ．ｃo ｓA<sin Ｂ且cos Ｂ>ｓｉn Ａ8、若（ａ＋b+c)(b+c －a)=3bc,且ｓin Ａ=２ｓinBco ｓC ， 那么ΔABC 是( ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形 Ｄ.等腰直角三角形9、钝角ΔA ＢＣ的三边长分别为x,ｘ+1，x+2,其最大角不超过120°则实数x 的取值范围是: 1０.已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边 （1）若ABC ∆面积,60,2,23︒===∆A c S ABC 求a 、b 的值； (2）若B c a cos =，且A c b sin =，试判断ABC ∆的形状.三．测量问题11．在2０0 ｍ高的山顶上,测得山下塔顶和塔底的俯角分别为３0°,６０°，则塔高为( ) A.４0０3ｍ B.错误! m C ．错误! m D.错误! m 12.测量一棵树的高度，在地面上选取给与树底共线的A 、Ｂ两点,从Ａ、B 两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且AB=60米,则树的高度为多少米？13.如图,四边形A ＢCD 中，∠B =∠C ＝12０°,AB ＝4，B Ｃ=C Ｄ=2，则该四边形的面积等于（ ）Ａ.错误! B ．5错误! C ．6错误! D ．7错误!14．一缉私艇发现在北偏东 45方向,距离1２ nm ｉle 的海面上有一走私船正以10 nm ｉle/h 的速度沿东偏南15方向逃窜.缉私艇的速度为1４ nmi ｌe/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东α+ 45的方向去追，.求追及所需的时间和α角的正弦值.15．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点A 、B 、C .景区管委会又开发了风景优美的景点D .经测量景点D 位于景点A 的北偏东３0°方向上8 k ｍ处,位于景点B 的正北方向,还位于景点C 的北偏西７5°方向上,已知AB =５ k ｍ.（1)景区管委会准备由景点D 向景点B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(２)求景点C 和景点D 之间的距离．AB C 北 东四．正、余弦定理与三角函数,向量的综合应用16、设A 、B 、C 为三角形的三内角，且方程(s ｉnB －si ｎA)ｘ2＋(s ｉnA-sinC ）x +(ｓinC －sinB)=０有等根,那么三边a ，b ，ｃ的关系是 ﻩ１７.在Rt △ABC 中,090C =,则B A sin sin 的最大值是___＿＿__＿_______。
(完整)数学必修5解三角形,正弦,余弦知识点和练习题(含答案),推荐文档
C . a=1,b=2,/ A=100C . b=c=1, / B=45解三角形3. ( 1)两类正弦定理解三角形的问题： 1已知两角和任意一边，求其他的两边及一角•2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角 (2)两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角•2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 . 5•解题中利用 ABC 中A B C ，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算, 如：sin(A B) si nC,cos(A B) cosC, tan (A B) tanC,sin~ cosC,cos — sinC.tanA^ cotC .、1>A ABC 中,a-1,b-、3/ A-30 °，则/ B 等于( )A . 60°B . 60° 或 120°C . 30° 或 150°D . 120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )a b—— 2R 或变形sinC sin A sin B 2a2 2b c 2bccosA b 2 2 2 a c2accosB 或 2 c2 2 b a2bacosCa:b: c sinA:sin B:sin CcosAb 22c 2a2bccosB a 22 c b 22accosC b 22 a 2c2ab1正弦定理2 •余弦定理:A. a-1,b-2 ,c=3 B . a-1,b- . 2 ，/A-30 °C. a=1,b=2,/ A=100 C. b=c=1, / B=453、在锐角三角形ABC中，有5、设A、B、C为三角形的三内角，且方程(sinB —sinA)x2+(sinA —sinC)x +(sinC —sinB)=0有等根，那么角BD .不定的高度AB等于asin sin A .si n(asin cosC .sin( )a sinB .cos(31a=5'b=4^os(A —"3?则cosC=A为厶ABC的一个内角，且sinA+cosA=—,则厶ABC 是12三角形•9、在厶ABC中，若S A ABC4 (a2+b2—c2),那么角/ C=A . cosA>sinB 且cosB>sinAC. cosA>sinB 且cosB<sinA4、若(a+b+c)(b+c —a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,A .直角三角形C.等腰三角形B . cosA<sinB 且cosB<sinAD . cosA<sinB 且cosB>sinA那么△ ABC是( ) B .等边三角形D .等腰直角三角形B>60 °C. B<60°D. B w 60°6、满足A=45 ° ,c=、..6 ,a=2 的厶ABC的个数记为m,则a m的值为7、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是BB ),则A点离地面sina cos sincos( )10、在4 ABC 中,11、在4 ABC中，求分别满足下列条件的三角形形状：①B=60 ° ,b2=ac; ②b2tanA=a2tanB;— sin A sin B 金，2“ 2 2③sinC= ④(a2—b2)sin(A+B)=(a 2+b2)sin(A —B).cosA cosB12.在△ ABC中，已知内角A —,边BC 2, 3 •设内角B x，周长为y .(1)求函数y f(x)的解析式和定义域；(2)求y的最大值.13 .在VABC中，角A, B,C对应的边分别是a, b,c，若sin A 丄，si nB2求a: b: c14.在VABC中a,b,c分别为A, B, C的对边，若2sinA(cosB cosC) 3(sinB sinC),(1)求A的大小；(2)若a . 61,b c 9，求b和c的值。
(完整word版)高一必修五解三角形复习题及答案
解三角形广州市第四中学 文U 运科、选择题•本大题共10小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.△ ABC 的内角 A B, C 的对边分别为a,b, c ，若c 、、2, b ..6，B 120o ，则a等于【】C .3C . .3 1A . 135oB . 90oC . 45°D . 30°4. 在三角形ABC 中，AB 5, AC 3, BC 7,贝U BAC 的大小为【 】253A .B .C .D .—3 64 35. △ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b c ,若a b c 成等比数列，且c 2a ,则 cosB【】132A . 4B .4C .4D . 36.△ABC中,已知tan A 1 ,tan B1 则角C 等于【】32 'A135oB.120oC . 45oD . 30(一 uuu umr7.在AB C中，AB=3,AC=2 , BC=. 10，则 AB AC 【】3 2 2 3A . -B . —C .D .-2 3 3 28.若厶ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，且 a cosA bcosB ,则【2.在△ ABC 中，角 A 、、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知A —, a3b 1，则 c3.已知△ ABC 中，a 2 , b 3 , B 60o ，那么角A 等于【B . △ ABC 为直角三角形D . △ABC 为等腰三角形或直角三角形】二、 填空题：本大题共 4小题.11.在厶ABC 中，三个角 A,B,C 的对边边长分别为 a 3,b 4,c 6,则bccosA cacosB abcosC 的值为 ________________ .112•在△ ABC 中，若 tan A - , C 150o , BC 1，则 AB.313. 在厶ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,若,3b c cos A acosC ,贝H cosA _____________ 。
2019-2020学年高中数学(人教版必修五)疑难规律 第一章 解三角形 Word版含答案
1 正弦定理的几种证明方法正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题(测量)的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养探索精神，思维的深度广度和灵活度． 正弦定理的内容： a sinA ＝b sinB ＝c sinC . 1．向量法证明：在△ABC 中做单位向量i ⊥AC →，则i ·AB →＝i ·(AC →＋CB →)，|i ||AB →|sin A ＝|i ||CB →|sin C ， 故a sinA ＝c sinC， 同理可证：a sinA ＝b sinB. 即正弦定理可证：a sinA ＝b sinB ＝csinC .2．高线法证明：在△ABC 中做高线CD ，则在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，CD ＝b sin A ，CD ＝a sin B ，即b sin A ＝a sin B ， a sinA ＝b sinB ， 同理可证：a sinA ＝c sinC， 即正弦定理可证． 3．外接圆法证明：做△ABC 的外接圆O ，过点C 连接圆心与圆交于点D ，连接AD ，设圆的半径为R ， ∴△CAD 为Rt △，且b ＝2R sin D ，且D ＝B ， ∴b ＝2R sin B ，即bsinB ＝2R .同理：a sinA ＝2R ，c sinC＝2R ， ∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC. 4．面积法∵S △ABC ＝12bc sin A ＝12ab sin C ＝12ac sin B ，∴正弦定理可证：a sinA ＝b sinB ＝csinC .2 正弦定理的一个推论及应用在初学正弦定理时，若问同学们这样一个问题：在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系怎样？那么几乎所有的同学都会认为A 与B 的大小关系不确定．若再问：在△ABC 中，若A >B ，则sin A 与sin B 的大小关系怎样？仍然会有很多同学回答大小关系不确定．鉴于此，下面我们讲讲这个问题． 一、结论例1 在△ABC 中，sin A >sin B ⇔A >B .分析 题中条件简单，不易入手．但既在三角形中，何不尝试用联系边角的正弦定理？ 证明 因为sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，根据正弦定理变式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (其中a ，b 分别为A ，B 的对边)，可得sin A >sin B ⇔a >b ， 再由平面几何定理“大角对大边，小角对小边”， 可得a >b ⇔A >B .所以sin A >sin B ⇔A >B . 二、结论的应用例2 在△ABC 中，A ＝45°，a ＝4，b ＝22，求B .分析 在遇到这样的问题时，有的同学一看，这不正好用正弦定理吗，于是就直接由正弦定理得B ＝30°或B ＝150°.其实这是错误的！错在哪儿？我们只需由上述结论即可发现．解 由正弦定理得sin45°4＝sinB 22，sin B ＝12，又sin B <sin A ，所以B <A ，所以B ＝30°.点评 同学们在解题时，一定要根据问题的具体情况，恰当地选用定理．同时，使用正弦定理求角时，要特别小心，不要出现漏解或增解的情况．例3 在△ABC 中，已知B ＝30°，b ＝3，c ＝33，求A .分析 同学们在求解这个问题的时候，在用正弦定理求角C 时不要丢解． 解 由正弦定理及已知条件，得 sin C ＝csinB b ＝32，因为sin C >sin B ， 所以C >B ，所以C 有两解． (1)当C ＝60°时，有A ＝90°； (2)当C ＝120°时，有A ＝30°.点评 除此之外，本题也可以利用余弦定理来求解.3 三角形定“形”记根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用．1．通过角之间的关系定“形”例1 在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形分析 通过三角形恒等变换和正弦、余弦定理，把条件式转化，直至能确定两角(边)的关系为止，即可判断三角形的形状．解析 方法一 利用正弦定理和余弦定理 2sin A cos B ＝sin C 可化为2a ·a2＋c2－b22ac ＝c ，即a 2＋c 2－b 2＝c 2，即a 2－b 2＝0，即a 2＝b 2，故a ＝b . 所以△ABC 是等腰三角形．故选B. 方法二 因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 即C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin(A ＋B )． 由2sin A cos B ＝sin C ，得2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0. 又因为－π＜A －B ＜π， 所以A －B ＝0，即A ＝B .所以△ABC 是等腰三角形，故选B. 答案 B点评 根据角的三角函数之间的关系判断三角形的形状，一般需通过三角恒等变换，求出角(边)之间的关系． 2．通过边之间的关系定“形”例2 在△ABC 中，若sinA ＋sinC sinB ＝b ＋c a ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形分析 先运用正弦定理化角为边，根据边之间的关系即可判断三角形的形状． 解析 在△ABC 中，由正弦定理，可得sinA ＋sinC sinB ＝a ＋c b ＝b ＋ca ，整理得a (a ＋c )＝b (b ＋c )，即a 2－b 2＋ac －bc ＝0，(a －b )(a ＋b ＋c )＝0. 因为a ＋b ＋c ≠0，所以a －b ＝0，即a ＝b ， 所以△ABC 是等腰三角形．故选C. 答案 C点评 本题也可化边为角，但书写复杂，式子之间的关系也不易发现．4 细说三角形中解的个数解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入探讨．1．出现问题的根源我们作图来直观地观察一下．不妨设已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，作图步骤如下：①先做出已知角A ，把未知边c 画为水平的，角A 的另一条边为已知边b ；②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心，边a 为半径作圆C ；③观察圆C 与边c 交点的个数，便可得此三角形解的个数． 显然，当A 为锐角时，有如图所示的四种情况：当A 为钝角或直角时，有如图所示的两种情况：根据上面的分析可知，由于a ，b 长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解．若A 为锐角，只有当a 不小于b sin A 时才有解，随着a 的增大得到的解的个数也是不相同的．当A 为钝角时，只有当a 大于b 时才有解．2．解决问题的策略 (1)正弦定理法已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求B . 根据正弦定理a sinA ＝b sinB ，可得sin B ＝bsinAa.若sin B >1，三角形无解；若sin B ＝1，三角形有且只有一解；若0<sin B <1，B 有两解，再根据a ，b 的大小关系确定A ，B 的大小关系(利用大边对大角)，从而确定B 的两个解的取舍． (2)余弦定理法已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求c . 利用余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 整理得c 2－2bc cos A －a 2＋b 2＝0.适合问题的上述一元二次方程的解c 便为此三角形的解． (3)公式法当已知△ABC 的两边a ，b 和角A 时，通过前面的分析可总结三角形解的个数的判断公式如下表：3．实例分析例 在△ABC 中，已知A ＝45°，a ＝2，b ＝2(其中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )，试判断符合上述条件的△ABC 有多少个？分析 此题为“已知两边和其中一边的对角”解三角形的问题，可以利用上述办法来判断△ABC 解的情况． 解 方法一 由正弦定理a sinA ＝bsinB ，可得sin B ＝22sin45°＝12<1. 又因为a >b ，所以A >B ，故B ＝30°， 符合条件的△ABC 只有一个． 方法二 由余弦定理得22＝c 2＋(2)2－2×2×c cos45°，即c 2－2c －2＝0，解得c ＝1± 3.而1－3<0， 故仅有一解，符合条件的△ABC 只有一个．方法三 A 为锐角，a >b ，故符合条件的△ABC 只有一个．5 挖掘三角形中的隐含条件解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点．由于我们对三角公式比较熟悉，做题时比较容易入手．但是公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够．下面结合例子谈谈解三角形时，题目中隐含条件的挖掘． 隐含条件1.两边之和大于第三边例1 已知钝角三角形的三边a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的取值范围． ∵c >b >a 且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角． 由余弦定理得cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝k2＋(k ＋2)2－(k ＋4)22k(k ＋2)＝k2－4k －122k(k ＋2)<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6.又∵k 为三角形的边长， ∴k >0.综上所述，0<k <6.忽略了隐含条件：k ，k ＋2，k ＋4构成一个三角形，需满足k ＋(k ＋2)>k ＋4.即k >2而不是k >0. ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理得cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝k2－4k －122k(k ＋2)<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6.由两边之和大于第三边得k ＋(k ＋2)>k ＋4，∴k >2， 综上所述，k 的取值范围为2<k <6.温馨点评 虽然是任意两边之和大于第三边，但实际应用时通常不用都写上，只需最小两边之和大于最大边就行了.隐含条件2.三角形的内角范围例2 已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________． 由正弦定理，得sin C ＝ABsinB AC ＝32.∴C ＝60°，∴A ＝90°.则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×23×2×1＝2 3.上述解法中在用正弦定理求C 时丢了一解．实际上由sin C ＝32可得C ＝60°或C ＝120°，它们都满足条件．由正弦定理，得sin C ＝ABsinB AC ＝32.∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，A ＝90°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝2 3.当C ＝120°时，A ＝30°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.故△ABC 的面积是23或 3.温馨点评 利用正弦定理理解“已知两边及其中一边对角，求另一角”问题时，由于三角形内角的正弦值都为正的，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准确出错. 例3 在△ABC 中，tanA tanB ＝a2b2，试判断三角形的形状．tanA tanB ＝a2b2⇔sinAcosB cosAsinB ＝sin2Asin2B⇔cosB cosA ＝sinA sinB ⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin2A ＝sin2B ， ∴A ＝B .∴△ABC 是等腰三角形．上述错解忽视了满足sin2A ＝sin2B 的另一个角之间的关系：2A ＋2B ＝180°.tanA tanB ＝a2b2⇔sinAcosB cosAsinB ＝sin2Asin2B⇔cosB cosA ＝sinA sinB ⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin2A ＝sin2B ⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°. ∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．温馨点评 在△ABC 中，sin A ＝sin B ⇔A ＝B 是成立的，但sin2A ＝sin2B ⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°. 例4 在△ABC 中，B ＝3A ，求ba 的取值范围．由正弦定理得b a ＝sinB sinA ＝sin3AsinA＝sin(A ＋2A)sinA ＝sinAcos2A ＋cosAsin2AsinA＝cos2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1. ∵0≤cos 2A ≤1， ∴－1≤4cos 2A －1≤3， ∵b a >0，∴0<ba≤3. 忽略了三角形内角和为180°，及角A 、B 的取值范围，从而导致ba 取值范围求错．由正弦定理得b a ＝sinB sinA ＝sin3AsinA＝sin(A ＋2A)sinA ＝sinAcos2A ＋cosAsin2AsinA＝cos2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1.∵A ＋B ＋C ＝180°，B ＝3A .∴A ＋B ＝4A <180°， ∴0°<A <45°.∴22<cos A <1， ∴1<4cos 2A －1<3，∴1<b a<3.温馨点评 解三角形问题，角的取值范围至关重要．一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败.6 正弦、余弦定理三应用有些题目，表面上看不能利用正弦、余弦定理解决，但若能构造适当的三角形，就能利用两定理，题目显得非常容易，本文剖析几例． 1．平面几何中的长度问题例1 如图，在梯形ABCD 中，CD ＝2，AC ＝19，∠BAD ＝60°，求梯形的高．分析 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则DE 为所求的高．由∠BAD ＝60°，知∠ADC ＝120°，又边CD 与AC 的长已知，故△ACD 为已知两边和其中一边的对角，可解三角形．解Rt △ADE ，需先求AD 的长，这只需在△ACD 中应用余弦定理．解 由∠BAD ＝60°，得∠ADC ＝120°， 在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos∠ADC ，即19＝AD 2＋4－2AD ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得AD ＝3或AD ＝－5(舍去)． 在△ADE 中，DE ＝AD ·sin60°＝332.点评 依据余弦定理建立方程是余弦定理的一个妙用，也是函数与方程思想在解三角形中的体现． 2．求范围例2 如图，等腰△ABC 中，底边BC ＝1，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，求BD 的取值范围(注：0<x <1时，f (x )＝x －1x为增函数)．分析 把BD 的长表示为∠ABC 的函数，转化为求函数的值域． 解 设∠ABC ＝α.因为∠ABC ＝∠C ，所以∠A ＝180°－2α，∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝180°－2α＋α2＝180°－3α2，因为BC ＝1，在△BCD 中，由正弦定理得BD ＝sin αsin 3α2＝2sin α2cos α2sin αcos α2＋cos αsin α2＝2cosα24cos2α2－1＝24cos α2－1cosα2，因为0°<α2<45°，所以22<cos α2<1，而当cos α2增大时，BD 减小，且当cos α2＝22时，BD ＝2；当cos α2＝1时，BD ＝23，故BD 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. 点评 本题考查：(1)三角知识、正弦定理以及利用函数的单调性求值域的方法；(2)数形结合、等价转化等思想．3．判断三角形的形状例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝k ，(k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．解 (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC →＝ca cos B . 又AB →·AC →＝BA →·BC →， ∴bc cos A ＝ac cos B ， ∴b cos A ＝a cos B .方法一 ∴sin B cos A ＝sin A cos B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0， ∴sin(A －B )＝0，∵－π＜A －B ＜π，∴A ＝B . ∴△ABC 为等腰三角形．方法二 利用余弦定理将角化为边， ∵b cos A ＝a cos B ，∴b ·b2＋c2－a22bc ＝a ·a2＋c2－b22ac ，∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2， ∴a 2＝b 2，∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形． (2)由(1)知：a ＝b .∴AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b2＋c2－a22bc ＝c22＝k ， ∵c ＝2，∴k ＝1.。