求几何体体积.
几何体面积和体积公式
几何体面积和体积公式一、棱柱。
1. 直棱柱侧面积。
- 公式：S_直棱柱侧=Ch（其中C为底面多边形的周长，h为棱柱的高）。
2. 棱柱的体积。
- 公式：V = Sh（其中S为棱柱的底面积，h为棱柱的高）。
二、棱锥。
1. 正棱锥侧面积。
- 公式：S_正棱锥侧=(1)/(2)Ch'（其中C为底面多边形的周长，h'为正棱锥的斜高）。
2. 棱锥的体积。
- 公式：V=(1)/(3)Sh（其中S为棱锥的底面积，h为棱锥的高）。
三、棱台。
1. 正棱台侧面积。
- 公式：S_正棱台侧=(1)/(2)(C + C')h'（其中C、C'分别为棱台上下底面多边形的周长，h'为正棱台的斜高）。
2. 棱台的体积。
- 公式：V=(1)/(3)h(S+√(SS')+S')（其中h为棱台的高，S、S'分别为棱台的上下底面积）。
四、圆柱。
- 公式：S_圆柱侧=2π rh（其中r为底面半径，h为圆柱的高）。
2. 圆柱的表面积。
- 公式：S = 2π r(r + h)（其中r为底面半径，h为圆柱的高）。
3. 圆柱的体积。
- 公式：V=π r^2h（其中r为底面半径，h为圆柱的高）。
五、圆锥。
1. 圆锥侧面积。
- 公式：S_圆锥侧=π rl（其中r为底面半径，l为圆锥的母线长）。
2. 圆锥的表面积。
- 公式：S=π r(r + l)（其中r为底面半径，l为圆锥的母线长）。
3. 圆锥的体积。
- 公式：V=(1)/(3)π r^2h（其中r为底面半径，h为圆锥的高）。
六、圆台。
1. 圆台侧面积。
- 公式：S_圆台侧=π(r + r')l（其中r、r'分别为圆台上下底面半径，l为圆台的母线长）。
2. 圆台的表面积。
- 公式：S=π(r^2+r'^2+rl + r'l)（其中r、r'分别为圆台上下底面半径，l为圆台的母线长）。
- 公式：V=(1)/(3)π h(r^2+rr'+r'^2)（其中h为圆台的高，r、r'分别为圆台上下底面半径）。
立体几何中的体积与面积计算方法总结
立体几何中的体积与面积计算方法总结立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的物体的形状、大小以及相互关系。
在立体几何中，体积和面积是两个常见且重要的概念。
本文将总结一些常见的体积和面积计算方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、体积计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的几何体，如长方体、正方体、圆柱体等，可以直接通过公式计算其体积。
例如，长方体的体积公式为V = l × w × h，其中l、w、h分别表示长方体的长度、宽度和高度。
2. 分割求和法：对于一些复杂的几何体，可以通过将其分割成若干个简单的几何体，然后计算每个简单几何体的体积，最后将它们求和得到整个几何体的体积。
这种方法常用于计算不规则体的体积，如棱柱、棱锥等。
3. 旋转体积法：对于一些具有旋转对称性的几何体，可以通过旋转这个几何体得到一个旋转体，然后计算旋转体的体积，并乘以旋转角度的比例系数得到原几何体的体积。
这种方法常用于计算圆锥、圆台等几何体的体积。
二、面积计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的几何形状，如矩形、正方形、圆形等，可以直接通过公式计算其面积。
例如，矩形的面积公式为A = l × w，其中l和w分别表示矩形的长度和宽度。
2. 分割求和法：对于一些复杂的几何形状，可以通过将其分割成若干个简单的几何形状，然后计算每个简单形状的面积，最后将它们求和得到整个几何形状的面积。
这种方法常用于计算不规则图形的面积，如多边形、曲线图形等。
3. 面积积分法：对于一些无法通过简单的公式计算的几何形状，可以利用面积积分的方法进行计算。
面积积分是将几何形状分割成无穷小的面元，然后对每个面元的面积进行积分得到整个几何形状的面积。
这种方法常用于计算曲面的面积。
三、应用举例1. 体积计算应用：在建筑工程中，需要计算房间的体积，以确定所需的建材数量。
在制造业中，需要计算产品的体积，以确定运输和储存的空间需求。
高中数学讲义：三视图——几何体的体积问题
三视图——⼏何体的体积问题一、基础知识：1、常见几何体的体积公式：（:S 底面积，:h 高）（1）柱体：V S h=×（2）锥体：13V S h =×（3）台体：(1213V S S h =++×，其中1S 为上底面面积，2S 为下底面面积（4）球：343V R p =2、求几何体体积要注意的几点（1）对于多面体和旋转体：一方面要判定几何体的类型（柱，锥，台），另一方面要看好该几何体摆放的位置是否是底面着地。
对于摆放“规矩”的几何体（底面着地），通常只需通过俯视图看底面面积，正视图（或侧视图）确定高，即可求出体积。
（2）对于组合体，首先要判断是由哪些简单几何体组成的，或是以哪个几何体为基础切掉了一部分。
然后再寻找相关要素（3）在三视图中，每个图各条线段的长度不会一一给出，但可通过三个图之间的联系进行推断，推断的口诀为“长对正，高平齐，宽相等”，即正视图的左右间距与俯视图的左右间距相等，正视图的上下间距与侧视图的上下间距相等， 侧视图的左右间距与俯视图的上下间距相等。
二、典型例题：例1：已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________思路：从正视图，侧视图可判断出几何体与锥体相关（带尖儿），从俯视图中可看出并非圆锥和棱锥，而是两者的一个组合体（一半圆锥+ 三棱锥），所以12V V V =+圆锥棱锥，锥体的高计算可得h =（利用正视图），底面积半圆的半径为6，三角形底边为12，高为6（俯视图看出），所以1126362S =××=三角形，2636S p p =×=圆，则13V S h =×=三角形棱锥，13V S h =××=圆圆锥，所以12V V =+=+圆锥棱锥答案：+例2：已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为 .思路：观察可发现这个棱锥是将一个侧面摆在地面上，而棱锥的真正底面体现在正视图（梯形）中，所以()1424122S =×+×=底，而棱锥的高为侧视图的左右间距，即4h =，所以1163V S h =×=底答案：16例3：若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________．思路：该几何体可拆为两个四棱柱，这两个四棱柱的高均为4（俯视图得到），其中一个四棱柱底面为正方形，边长为2（正视图得到），所以2112416V S h =×=×=，另一个四棱柱底面为梯形，上下底分别为2,6，所以()2126282S =+×=，228432V S h =×=×=。
空间几何体的表面积及体积计算公式
空间几何体的表面积及体积计算公式空间几何体是指在三维坐标系中存在的几何图形，包括立方体、圆锥体、圆柱体、球体等等。
对于这些几何体来说，求其表面积和体积是我们在学习空间几何时需要掌握的核心内容。
下面我们将详细介绍各种空间几何体的表面积及体积的计算公式。
一、立方体立方体是一种六个面都是正方形的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积 = 6 × a²体积 = a³其中，a为立方体的边长。
二、正方体正方体是一种所有面都是正方形的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积 = 6 × a²体积 = a³其中，a为正方体的边长。
三、圆锥体圆锥体是一种由一个圆锥顶点和一个底面为圆形的仿射锥面构成的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积= πr²+πrl体积= 1/3πr²h其中，r为底面圆半径，l为母线长度，h为圆锥体的高。
四、圆柱体圆柱体是一种由平行于固定轴的两个相等且共面的圆面和它们之间的圆柱面所围成的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积= 2πrh+2πr²体积= πr²h其中，r为底面圆半径，h为圆柱体的高。
五、球体球体是一种由所有到球心的距离等于固定半径的点所组成的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积= 4πr²体积= 4/3πr³其中，r为球体的半径。
以上就是五种常见空间几何体的表面积及体积计算公式，希望能够对大家在学习空间几何时有所帮助。
同时，我们也需要关注其实际应用，在工程建设和生活中经常会涉及到这些几何体的计算，因此深化这些知识点的学习，将对我们未来的发展产生积极的影响。
几何体的体积计算
几何体的体积计算几何体是指在三维空间中具有一定形状和尺寸的立体物体。
几何体的体积是指该物体所占空间的大小，计算几何体的体积是数学中的一个重要问题。
本文将介绍几种常见几何体的体积计算方法。
一、立方体的体积计算方法立方体是最简单的几何体，它的六个面都是正方形。
立方体的体积计算公式如下：体积 = 边长 x 边长 x 边长其中，边长指的是立方体的边长。
二、长方体的体积计算方法长方体也是一种常见的几何体，它有六个面，其中相邻两个面是相等的长方形。
长方体的体积计算公式如下：体积 = 长 x 宽 x 高其中，长、宽、高分别指的是长方体的长、宽、高。
三、圆柱体的体积计算方法圆柱体由一个平行于底面的圆和与底面相切的侧面组成。
圆柱体的体积计算公式如下：体积= π x 半径 x 半径 x 高其中，π取近似值3.14，半径指的是圆柱体底面圆的半径，高指的是圆柱体的高度。
四、球体的体积计算方法球体是由所有与球心距离相等的点所组成的几何体。
球体的体积计算公式如下：体积= (4/3) x π x 半径 x 半径 x 半径其中，π取近似值3.14，半径指的是球体的半径。
五、锥体的体积计算方法锥体由一个圆锥和与圆锥底面相切的侧面组成。
锥体的体积计算公式如下：体积= (1/3) x π x 半径 x 半径 x 高其中，π取近似值3.14，半径指的是锥体底面圆的半径，高指的是锥体的高度。
六、棱柱的体积计算方法棱柱由底面和连接底面顶点与底面对应点的侧面组成。
棱柱的体积计算公式如下：体积 = 底面积 x 高其中，底面积指的是棱柱底面的面积，高指的是棱柱的高度。
七、棱锥的体积计算方法棱锥由底面和连接底面顶点与底面对应点的侧面组成。
棱锥的体积计算公式如下：体积 = (1/3) x 底面积 x 高其中，底面积指的是棱锥底面的面积，高指的是棱锥的高度。
以上是常见几何体的体积计算方法。
通过应用这些公式，我们可以准确计算各种形状的几何体的体积，从而更好地理解和利用几何概念。
几何体的表面积体积计算公式
几何体的表面积、体积计算公式圆台体积计算公式是：设上底的半径为r ,下底的半径为R ,高为h 则V＝ (1/3)*π*h*(R^2 + Rr +r^2)正棱台体积公式: 1/3h[S1+S2+(S1*S2) ^0.5]S1和S2为上下面面积任何立体的体积均可以归纳成： V＝1/6×h×(S1+S2+4S)S1指上表面；S2指下表面；S指高线垂直平分面；柱体：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×h×(S1+S1+4S1)V＝1/6×h×6SV＝Sh锥体：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×h×(S2/4×4+S2)V＝1/6×h×2S2V＝1/3×S2h球体：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×2r×(4S)V＝4/3×SrV＝4/3兀r^3棱台：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×h×(2S1+2S2+2sqrt(S1S2))V＝1/3×h×(S1+S2+sqrt(S1S2))圆台、球冠、球缺甚至球台都可以套用这个公式，计算并不复杂，建议各位都要牢牢记住。
（圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh 体积:πRRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)圆锥体: 表面积:πRR+πR[(hh+RR)的平方根] 体积: πRRh/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高。
平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4a S＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absin α菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh 圆r－半径d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2＝πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360)弓形l－弧长S＝r2/2·(πα/180-sinα)b－弦长＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2h－矢高＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2r－半径＝r(l-b)/2 + bh/2α－圆心角的度数≈2bh/3圆环R－外圆半径S＝π(R2-r2)r－内圆半径＝π(D2-d2)/4D－外圆直径d－内圆直径椭圆D－长轴S＝πDd/4d－短轴平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a^2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a^2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah ＝absinα菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a^2sinα梯形：a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆：r－半径d－直径C＝πd＝2πrS＝πr^2＝πd^2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr^2×(a/360)弓形l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数S＝r^2/2·(πα/180-sinα) ＝r^2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h^2)1/2 ＝παr^2/360 - b/2·[r^2-(b/2)^2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径S＝π(R^2-r^2)＝π(D^2-d^2)/4椭圆D－长轴d－短轴S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a－边长S＝6a^2 V＝a^3长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱S－底面积h－高V＝Sh棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πrS底＝πr^2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr^2h空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh(R^2-r^2)直圆锥r－底半径h－高V＝πr^2h/3圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R^2＋Rr＋r^2)/3球r－半径d－直径V＝4/3πr^3＝πd^3/6球缺h－球缺高r－球半径a－球缺底半径V＝πh(3a^2+h^2)/6 ＝πh^2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r1^2＋r2^2)+h^2]/6圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr^2＝π2Dd^2/4桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D^2＋d^2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V＝πh(2D^2＋Dd＋3d^2/4)/15 (母线是抛物线形)何图形面积可以归纳成：S=1/6×H×(L1+L2+4L)L1上底L2下底L是位于高线上一半的中截险段。
空间几何体的体积与面积的全部公式
空间⼏何体的体积与⾯积的全部公式空间⼏何体的体积与⾯积的全bai部公式：1、圆柱体（duR为圆柱体上下底圆zhi半径，h为圆柱体⾼）S=2πdaoR²+2πRhV=πR²h2、圆锥体（r为圆锥体低圆半径,h为其⾼）S=πR²+πR[(h²+R²)的平⽅根]V=πR²h/33、正⽅体（a为边长）S=6a²V=a³4、长⽅体（a为长，b为宽，c为⾼）S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱（S为底⾯积，h为⾼）V＝Sh6、棱锥（S为底⾯积，h为⾼）V＝Sh/37、棱台（S1和S2分别为上、下底⾯积，h为⾼）V＝h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、圆柱（r为底半径，h为⾼，C为底⾯周长，S底为底⾯积，S侧为侧⾯积，S表为表⾯积）C＝2πr，S底＝πr²，S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr²h9、圆台（r为上底半径，R为下底半径，h为⾼）S= πR²＋πrl＋πRl＋πr²V＝πh(R²＋Rr＋r²)/310、球（r为半径，d为直径）S=4πr²V＝4/3πr^3＝πd^3/6扩展资料：巧记空间⼏何体中的⾯积和体积公式的⽅法：1. ⾯积问题：空间⼏何体的⾯积主要分为两类：侧⾯积和表⾯积，其中的重点是旋转体的侧⾯积公式。
对于多⾯体的⾯积，其各个⾯都是多边形，这个在⼩学阶段就研究过了。
其中，只需要记住圆台的侧⾯积公式就够了。
将圆台侧⾯打开，是⼀个扇环，很像⼀个梯形。
所以圆台的侧⾯积就按照梯形来进⾏计算，就很容易理解。
如下图所⽰：圆台侧⾯积公式对于圆柱和圆锥的侧⾯积公式，不需要单独去记忆，只需要将其看成⼀个特殊的圆台就⾏了。
圆柱体就是上下底相同的圆台，圆锥体就是上底为0的圆台。
2. 体积问题：按照上⾯的思路，把柱体和椎体看成⼀个特殊的台体，因此也只需要记住⼀个台体的体积公式就可以啦。
几何体表面积体积公式大全
几何体表面积体积公式大全以下是一些常见的几何体的表面积和体积的公式：
1. 立方体
表面积：6a²
体积：a³
（a为边长）
2. 长方体
表面积：2lw + 2lh + 2wh
体积：lwh
（l为长度，w为宽度，h为高度）
3. 球体
表面积：4πr²
体积：4/3πr³
（r为半径）
4. 圆柱体
表面积：2πr(h + r)
体积：πr²h
（r为底面半径，h为高）
5. 圆锥体
表面积：πr(r + l)
体积：1/3πr²h
（r为底面半径，h为高，l为斜高）
6. 正四面体
表面积：√3a²
体积：a³/6√2
（a为边长）
7. 正六面体（立方体）
表面积：6a²
体积：a³
（a为边长）
8. 正八面体
表面积：2√3a²
体积：a³√2/3
（a为边长）
9. 正十二面体
表面积：3√(25+10√5)a²
体积：(15+7√5)/4 a³
（a为边长）
10. 正二十面体
表面积：5√3a²
体积：5(3+√5)/12 a³
（a为边长）
以上公式都是基于各几何体的特性和性质推导出来的，对于一些不规则的几何体，可能需要采用其他的数学方法来计算其表面积和体积。
计算三维几何体的体积和表面积
计算三维几何体的体积和表面积立方体
立方体是一个具有六个相等的正方形面的三维几何体。
它的体积公式和表面积公式如下：
- 体积公式：边长的立方
- 表面积公式：6倍边长的平方
长方体
长方体是一个具有六个不同大小的矩形面的三维几何体。
它的体积公式和表面积公式如下：
- 体积公式：长乘以宽乘以高
- 表面积公式：2倍长乘以宽加上2倍长乘以高加上2倍宽乘以高
圆柱体
圆柱体是一个有两个平行圆面和一个连接这两个圆面的曲面的三维几何体。
它的体积公式和表面积公式如下：
- 体积公式：底面积的圆半径的平方乘以高
- 表面积公式：两倍底面积的圆半径加上底面积的圆周长乘以高
圆锥体
圆锥体是一个有一个圆面和一个从圆面上的每个点到一个顶点的曲面的三维几何体。
它的体积公式和表面积公式如下：
- 体积公式：底面积的圆半径的平方乘以高除以3
- 表面积公式：底面积的圆周长乘以斜面的斜高加上底面积
球体
球体是一个在三维空间中由所有离一个中心点的距离不超过一个给定常数的点组成的集合。
它的体积公式和表面积公式如下：
- 体积公式：4/3乘以π乘以半径的立方
- 表面积公式：4乘以π乘以半径的平方
以上是计算常见三维几何体体积和表面积的公式和方法。
根据
具体的三维几何体类型，选择相应的公式和方法进行计算即可。
如
果你需要更复杂的计算，例如不规则形状的体积和表面积，可能需
要使用数值计算方法或更高级的几何学技巧来解决。
在这种情况下，建议咨询数学专家或采用专业的计算软件。
空间几何体积计算
空间几何体积计算在数学中，空间几何体积计算是一个重要的概念和技巧。
它涉及到我们如何计算不同几何体的体积，从而帮助我们更好地理解和应用这些几何体。
本文将介绍一些常见几何体的体积计算方法，并提供实际应用的例子。
一、直角三角形的体积计算直角三角形是三边中有一个角为直角的三角形。
对于直角三角形，我们可以利用其两个直角边的长度来计算其体积。
常见的直角三角形有直角棱镜、直角梯形等。
下面以直角棱镜为例，介绍其体积计算方法。
直角棱镜是由一个长方形和两个直角三角形构成的几何体。
我们可以通过以下公式计算直角棱镜的体积：体积 = 长方形的面积 ×直角三角形的高度二、长方体的体积计算长方体是一个底面为长方形的几何体。
它有六个面，分别是底面、顶面和四个侧面。
长方体的体积计算方法非常简单，只需将长方体的三条边长相乘即可。
体积 = 长 ×宽 ×高长方体是现实生活中常见的几何体之一。
例如，我们可以利用长方体的体积计算公式来计算一个房间的容积，从而帮助选择合适的空调功率。
三、球体的体积计算球体是由所有离一个固定点的距离相等的点组成的几何体，其表面为一个完全封闭的曲面。
球体在几何学和物理学中都有广泛的应用。
计算球体的体积需要知道其半径。
体积= (4/3) × π × 半径的立方球体的体积计算公式可以应用于很多场景，例如计算一个水池中的水量或者确定一个容器的最大容积。
四、圆柱体的体积计算圆柱体是一个底面为圆形的几何体，它的侧面由一个矩形和两个半圆组成。
计算圆柱体的体积需要知道其底面的半径和高度。
体积 = 圆的面积 ×高度圆柱体的体积计算方法也有很多实际应用，比如计算一个储油罐的容量或者一个筒形容器的容积。
五、锥体的体积计算锥体是一个底面为圆形的几何体，其侧面由一个圆锥和一个扇形锥组成。
计算锥体的体积需要知道其底面的半径和高度。
体积 = (1/3) ×圆的面积 ×高度锥体的体积计算公式在建筑工程、制造业和物理学等领域都有重要的应用。
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y
Vx
2 a y2 dx
0
y
o
a 2 a x
2 a2 (1 cos t)2 a(1 cost) d t 0
利用对称性
2
a3 0
(1 cos t)3 d t
16
a3 sin6 0
t 2
dt
(令 u
t) 2
32
a3
2
0
sin 6
u
du
32
a3
5 6
3 4
1 2
2
5 2a3
11
绕 y 轴旋转而成的体积为
02
2 tan R2x 1 x3 R
30
y
ox
R x
19
思考: 可否选择 y 作积分变量 ?
此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ? 提示:
A( y) 2x y tan 2 tan y R2 y2
V 2 tan Ry R2 y2 dy 0
y
o
R (x, y) x
20
r
y
o
r
x
上半圆：y1 b a2 x2
a
o
y
a
下半圆：y2 b a2 x2
a
o
y
a体积：
V
a
y12dx
a
y22dx
a
b
a
a
a
a
4 b a2 x2 dx 2 2a2b. a
2
a2 x2 dx b
a2 x2
2 dx
17
例5. 设
在 x≥0 时为连续的非负函数, 且
4
该立体 （因为两圆柱半径相同）所截的截面,是一个边长为
正方形, 所以截面面积 A(x) R2 x。2
R2 x2 的
故两圆柱面所围成的立体体积
R
V 8
R2 x2
dx 16 R3
0
3
5
2、旋转体体积公式
设f 是[a, b]上的连续函数， 是由平面图形：0 y f (x) , x [a, b（ ] 右图阴影部分）绕 x轴旋转一周所得的旋转体， 那么易知截面面积函数为
i 1
i 1
由此可得:
b
V A(x)dx.
a
这里，体积的计算的关键是求截面面积A(x) , 常用的方法先 画出草图，分析图象求出A(x).
3
例 1 求两圆柱: x2 y 2 R2 z 2 x2 R2 所围的立体体积 .
解：两圆柱所围成的立体是关于8个卦限对称的，因此，它的体 积是其在第一卦限体积的8倍。如何求其在第一卦限的体积？ 下图就是其在第一卦限部分立体：
18
例6. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,
并
与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为
x2 y2 R2
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
A(x) 1 (R2 x2 ) tan (R x R)
2
利用对称性
V 2 R 1 (R2 x2 ) tan d x
§ 3 求几何体体积
1
1、已知平行截面面积（函数）求体积的公式
现在我们看右图一个空
A(x)
间立体，假设我们知道它
在x 处截面面积为A(x)，
求出它的体积？
x
2
如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似 看作直柱体，其体积等于底面积乘高， 所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积
n
n
V Vi A(x) xi
14
2
2
0
a(t
sin
t)
a2
(1
cos
t)2
d
t
8 a3 2 (t sin t)sin4 t d t
0
2
令u t 2
16
a
3
0
(2u
sin
2u)
sin
4
u
d
u
令v u
2
16
a3
2
2
(2v
sin 2v) cos4 v d v
偶函数
奇函数
15
例3 求由圆 x2 ( y b)2 a2 (0 a b)绕x轴旋转 一周所得环状立体体积。 解：如上图所示，上、下半圆方程分别为：y1 b a2 x2 , y2 b a2 x2 , x a则环体体积是由上、 下两个半圆绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积之差 (如下图所示）：
例7. 计算由曲面
所围立体(椭球体)
的体积.
解: 垂直 x 轴的截面是椭圆
b2
y2 (1
x2 a2
)
c2
z2 (1
x2 a2
)
1
它的面积为
c
xo
截立体所得截面面积函数 A(x) 的具体表达式。
利用平行截面面积求立体体积，关键是求出截面面积函数的表达
式，则立体体积的计算就可以轻易地转化为截面面积函数的定积分计
算。
z c
x0
by
-a
0
ax
-b
-c
10
例2. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
2a
x x2 ( y)
o
a 2 a x
x x1( y)
2a
2
(t
sin t)2 a sin
0
a
2
(t
tdt sin t)2
a
sin
注意上下限
tdt
!
a3 2 (t sin t)2 sin td t 0
注
12
说明:
y
x xdx
柱面面积
柱壳体积
2 a(t sin t) a (1 cost)
a 0
4 ab2
3
8
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
时,
就得半径为a
的球体的体积
4
3
a3
.
9
例
求由椭圆面 x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
所围立体（椭球）的体积。(如上图）
解法：画出草图，关键是求出用垂直于 x 轴（其它轴也可）的平面
形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明:
证: 利用柱壳法
y f (x)
dV 2 (t x) f (x) d x
则
V
(t
)
t
0
2
(t
x)
f
(
x)
d
x
o
xt
x
2
t
t0
f
( x) d
x
2
t
0
x
f
( x) d
x
xdx
V
(t)
2
t
0
f
( x) d
x
2
t
f
(t)
2
t
f
(t)
故 V (t) 2 f (t)
有
V d [( y)]2dy c
y
d y x (y) c
ox
7
例1. 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
A（x） f (x)2 , x [a, b]，
由已知平行截面面积求体积的 公式可知，旋转体的体积公式为：
b
V f (x)2dx. a
y
y f (x)
o a
y
y f (x)
oa
x
x b
b
x
6
yy
y f (x)
oo aa x bb xx
当考虑连续曲线段
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,