分段函数
中考知识点分段函数
中考知识点分段函数一、定义域和值域分段函数的定义域和值域是由各个分段的定义域和值域确定的。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，其定义域为整个实数集，值域为 (-∞, +∞)。
二、分段函数的图像对于分段函数，要根据每个分段的函数表达式来绘制图像。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例，在x<0时，图像是一条斜率为1的直线，过原点，并且在x=0处有一个开口向上的拐点。
三、分段函数的连续性分段函数在分段点处可能不连续，需要通过计算极限来确定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例，分段点x=0处的左极限等于0，右极限等于0，与f(0)=0相符，因此该分段函数在x=0处连续。
四、分段函数的性质1. 分段函数的奇偶性由各个分段的奇偶性决定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，第一段函数x+3是奇函数，第二段函数2x是偶函数，所以整个分段函数为奇函数。
2. 分段函数的单调性由各个分段的单调性决定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，第一段函数x+3是递增函数，第二段函数2x也是递增函数，所以整个分段函数是递增函数。
3. 分段函数的最大值和最小值在每个分段函数的最大值和最小值中取得。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，在第一段函数中，最小值为3，最大值不存在；在第二段函数中，最小值不存在，最大值也不存在。
四、分段函数的应用1. 分段函数可以描述现实生活中的一些问题，如电话费计费等。
以电话费计费为例，某通信公司的计费标准为：前50分钟，每分钟0.5元；超过50分钟，每分钟0.3元。
假设通话时长为x分钟，对应的通话费用为函数f(x) = { 0.5x,x<=50 0.3(x-50)+25, x>50 }。
分段函数
分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 1．求分段函数的定义域和值域1、求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域. 2、设()⎩⎨⎧<≥=1,1,2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0， 则()x g 的值域是（ ）A.(][)+∞-∞-,11,B.(][)+∞-∞-,01,C.[)+∞,0 D. [)+∞,1 3、函数21,(1)()1,1)x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨ (>⎪⎩ 值域是______________4、函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.5、已知函数)(x f 的解析式为⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<+≤+=)1(82)10(5)0(53)(x x x x x x x f（1）画出这个函数的图象； （2）求函数)(x f 的最大值。
2．求分段函数的函数值1、设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--1||111||,2|1|2x ，x x x ，则f[f(21)]=( )A.21B.134 C. －59 D.4125 2、设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝ 。
3、已知函数3l o g ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =A.4B.14C.-4 D-144、定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 25、若()()()3,20,185,20x x fx f f fx x -≥⎧⎪==⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩则6、若数列{}n a 满足112(0)2121(1)2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪- ≤<⎪⎩ ，且167a =，20a=________7、设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为3、解分段函数的不等式 1、设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A ),3()1,3(+∞⋃-B ),2()1,3(+∞⋃-C ),3()1,1(+∞⋃-D )3,1()3,(⋃--∞ 2、已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是__。
分段函数知识点总结
分段函数知识点总结一、分段函数的定义分段函数是指在定义域上将函数分成若干段，每一段上使用不同的函数表达式来描述函数的行为。
它可以是由有限个函数组成的，也可以是由无限个函数组成的。
一般来说，分段函数的定义域可以被划分成有限个不相交的区域，每个区域内使用不同的函数表达式描述函数的行为。
例如，一个简单的分段函数可以是这样的：\[f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}\]在这个例子中，定义域被分成两段：$x < 0$和$x \geq 0$，分别在这两个区域内使用不同的函数表达式来描述函数的行为。
二、分段函数的图像分段函数的图像通常是由多个部分组成的，每个部分对应于函数定义域中的一个区域。
因此，对于一个有限段的分段函数，其图像是由一些部分图像组成的；对于一个无限段的分段函数，则可能包含无限个部分图像。
以前面的例子$f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}$为例，其图像可以通过分别画出$y = 2x$和$y = x^2$的图像来得到。
当然，我们也可以直接画出$f(x)$的图像，只需在$x = 0$处将两个部分对接起来即可。
对于无限段的分段函数，我们可能无法通过直接画出所有部分图像来得到完整的图像，但是我们可以通过分析函数表达式的性质来对函数的整体行为有所了解。
三、分段函数的性质分段函数可以具有各种不同的性质，这取决于定义域内不同区域上使用的函数表达式。
首先，在定义域的各个区域内，分段函数可以具有不同的函数性质。
在一个区域上，它可能是线性的；在另一个区域上，它可能是二次的，甚至是高次的多项式函数；在另一个区域上，它可能是指数函数、对数函数或者三角函数等。
分段函数的统一表达
分段函数的统一表达分段函数是数学领域里一种有效的方法，用来表示某个区域内的某个函数。
它使用定义域在某一点上进行分割，以表示改变函数以响应外部输入。
它因其优越性而广受欢迎，被应用于计算机图形学、标准计算机语言编程以及信号处理等专业领域。
一、什么是分段函数分段函数是一种有规则的函数，它由若干断续的子函数组成。
其基本特征为把定义域在某一点上进行分割，换句话说，它是把一段定义域划分成多个子域，每个子域对应一个单调的函数段，也就是分段函数的子函数。
点集的每一部分代表不同的函数。
二、分段函数的表达分段函数可以用两种方式表达：一种是一字符号表形式，一种是图形形式。
在一字符表形式中，分段函数用大括号“{”来定义，通常是f(x):= {pre， x<a；post，x≥a}的形式，其中，a 是定义域的某一点，pre 和 post 是函数的子函数。
用图形形式表示分段函数时，可以用一张坐标图表示出分段函数的起点和终点，以及它们之间断点的位置。
当数据点不规则或不断增加时，可以使用折线图分段函数来表示。
三、分段函数的作用分段函数有许多应用，因其简单易用和完备性，在专业领域中被Availity广泛使用，比如：（1）计算机图形学：分段函数用于描述空间图形特征，如表面细节、几何技术、光照和反射的变化。
（2）标准计算机语言编程：分段函数可用于定义条件和循环结构，可以实现自动考虑和处理某些输入变量的逻辑判断。
（3）信号处理：分段函数可用于表示信号变化时的相关特性，像找出某一信号中特殊特征和变化趋势。
四、分段函数的优势分段函数有以下几个优势：（1）易于使用：分段函数只需要两个参数，而其他函数会有更多参数，所以使用分段函数更容易理解。
（2）比较快：将任务分割为独立子任务，每个子任务处理时间就会比较快，从而提高了整体处理的效率。
（3）节省空间：构建分段函数，可以使得记忆单元能够支持更多的功能。
（4）应用广泛：分段函数应用广泛，在不同的专业领域比较常用，且可以根据实际任务选择函数。
分段函数(整理)
分段函数(整理)什么是分段函数？分段函数是指一个函数在定义域的不同区间上有不同的表达式或定义方式。
通常，分段函数在定义域内被分成了多个不相交的区间，每个区间上有自己的表达式。
分段函数的定义形式一般而言，分段函数可以用以下形式来表示：\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}f_1(x), & if\ x \in D_1 \\f_2(x), & if\ x \in D_2 \\... \\f_n(x), & if\ x \in D_n \\\end{array}\right. \]其中，\(f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x)\) 是每个区间上的函数表达式，而 \(D_1, D_2, ..., D_n\) 则是定义域的不相交区间。
分段函数的图像由于分段函数在不同区间上拥有不同的表达式，因此其图像通常表现为多个不相交的线段、曲线或点的集合。
分段函数的应用分段函数广泛应用于各个领域，例如经济学、数学、物理学等。
它可以模拟和描述各种现实情况和实验结果。
在经济学中，分段函数可以用于描述不同经济阶层的收入分配情况；在物理学中，分段函数可以用于描述物体在不同时期的运动状态。
分段函数的性质分段函数具有以下性质：1. 分段函数的图像是不连续的，因为不同区间上的表达式存在不连续点。
2. 分段函数在定义域的各个区间上具有不同的特性和性质，需要根据具体情况进行分析和讨论。
3. 分段函数的导数在不同区间上可能存在不连续点。
总结分段函数是一种以不同表达式定义的函数，它在定义域内的不同区间上具有不同的特性和性质。
分段函数在模拟和描述各种现实情况中起着重要的作用，并且在数学和其他学科中都有广泛的应用。
分段函数
分段函数一、分段函数概念理解1、定义：在定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称之为分段函数。
2、注意点：①分段函数是一个函数，而不是几个函数，它是由各段上的解析式（对应法则）用符号“｛”合并成的一个整体；②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；③解分段问题应突出“对号入座”、“先分后合思想”。
二、分段函数的应用例1：某旅游景点的门票一张110元，如果一次买10张以上，则可以打8折，用X表示旅游团的人数，用y表示购买门票的费。
（1）用公式（函数解析式）法表示购买门票的费用y元与人数x之间的函数关系。
（2）画出这个函数的图像。
（3）求出旅游团人数为9人、30人时门票费为多少？例2：某城市出租车收费标准如下，3千米以内（含3千米）收8元，超过3千米的部分每千米收费1.4元。
求出应收车费Y（元）与出租车行驶路程X千米之间的函数关系式。
3X-50≤X≤3例3：试作y= 4 3＜X≤5 的图像，并求出它的最大值和最小值。
14-2X X＞5例4：作Y=|X-3|+|X+1|+|X+3|的图像解：（找0点） X-3=0 X+1=0 X+3=0得 X=3 X=-1 X=-3(分区域)如是在X轴上可以分四个区域它们分别是X≤-3 -3≤ X≤-1 -1≤X≤3 X≤3如图三-3X-1 X≤-3于是用端点法即得分段函数-X+5 -3≤X≤-1 的图像,如图四X+7 -1≤X≤33X+1 X≥3例5.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费40元；（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？76例6：上海市出租车的收费规定如下：行驶里程不超过3公里（含3公里）时,起步费为11元；超过3公里至10公里（含10公里）部分，每公里收费2.1元；超过10公里部分，每公里收费3.2元。
分段函数
( x < 0) ( x = 0) ( x > 0)
都是定义域为
的分段函数. 的分段函数.
图1-3
分段函数 ：
在定义域内不同部分上， 在定义域内不同部分上，有不同的解析表 达式，这种形式的函数称为分段函数。 达式，这种形式的函数称为分段函数。 分段函数不能误认为是几个函数， 分段函数不能误认为是几个函数，它是一个 整体。对于分段函数，必须分段处理， 整体。对于分段函数，必须分段处理，最后 还要写成一个函数表达式。 还要写成一个函数表达式。
即
x +1 f ( x − 1) = ( x − 1) 2
.
思考交流
已知函数f 已知函数 (x)=
x+2, (x≤－1) － x2, (－1＜x＜2) － ＜ ＜ 2x, ( x≥2 )
的值是( 若f(x)=3, 则x的值是 D ) 的值是 3 A. 1 B. 1或 2 或 C. 1, ± 3 , 3 D. 3
x + 1 ( x > 0) l.若f ( x ) = π 若 ( x = 0) 0 x<0
则 ⑴ f (－1 ) = － ⑵ f ( f (－1)) = － 0 π ； ;
，
⑶ f ( f －
。
例2： ：
的图象， 画出函数 f ( x ) = | x | 的图象，并求 f (－3 )，f ( 3 )，f (－1 )，f ( 1 )的值。 的值。 － ， ， － ， 的值 解：∵ f ( x ) = | x |
解：设路程为 x km时，收费额为 y 元， 时 则⑴当 x ≤ 3时，y = 7； 时 ； ⑵当x > 3时，y = 7 + 2.4×(x - 3) = 2.4x － 0.2 时 × 于是收费关于路程的函数解析式为
分段函数
分段函数
1、分段函数的概念：在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，函数有着不同的对
应关系，这样的函数就称为分段函数。
如()1,0,1,0.x f x x -≥⎧=⎨<⎩
注: 1) 分段函数由几部分构成，但仍是一个函数，而不是几个函数.
2) 分段函数的“段”可以是等长的也可以不是等长的.
3) 写分段函数的定义域时,区间端点保证不重不漏.
4) 处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应关系.
5) 分段函数的定义域是各段自变量取值区间的并集，值域是各段函数值的并集.
2、分段函数的常见类型
1） 取整函数：()[]f x x =([]x 表示不大于x 的最大整数).
2） ()1,1,.x f x x -⎧=⎨⎩
为正奇数，为非负偶数 3) 含有绝对值符号的函数.如()()2,2,22, 2.
x x f x x x x +≥-⎧=+⎨-+<-⎩
4) 自定义函数.
典例分析
例1:若函数()1,1,3, 1.x x f x x x +≤⎧=⎨
-+>⎩则52f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值为_________.
例2:已知函数()2232,1,23, 1.x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩,则使()2f x <的x 值组成的集合为_________.
例3:已知()(
)5,6,,2,,6,x x x N f x f x x +-≥⎧∈=⎨+<⎩则()3=f _________.
例4：已知()212,111,1+x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，则1=2f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦_________.。
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200
我们称此类函数为 100
分段函数．
0 5 10 15 x/分
练习：小星以2米/秒的速度起跑后，先匀速跑5秒， 然后突然把速度提高4米/秒，又匀速跑5秒。试写 出这段时间里他的跑步路程s（单位：米）随跑步 时间x（单位：秒）变化的函数关系式，并画出函 数图象。
{ s=2x (0≤x≤5)
解:依题意得 s=10+6(x-5) (5<x≤10)
（2）如果从A城运往C乡x吨肥料，则你能表示出其它 的变量吗？
200-x
240-x 60+x
（3）如果总运费为y元，你会表示y与x的函数关系吗？ ｙ＝20ｘ＋25（200－ｘ）＋15（240－ｘ）＋24（60＋ｘ）
3．解决问题：
解：设总运费为ｙ元，A城运往C乡的肥料量为 ｘ吨，则运往D乡的肥料量为（200－ｘ）吨； B城运往C、D乡的肥料分别为（240－ｘ）吨与 （60＋ｘ）吨。由总运费与各运输量的关系可 知，反映ｙ与ｘ之间关系的函数为：
（1）分别求出0≤ x ≤2 和
6
x≥2时y与x之间的函数关系式;
解:(1)当0≤ x ≤2时, 设y=kx(k≠0) 3
因图象过点(2,6), 代入得6=2k, k=3
∴y=3x
当x ≥ 2时, 设y=kx+b(k≠0) 因图象过点(2,6)及点(10,3),
代入得
2k b 6 10k b 3
1．注意按自变量的取值不同进行合理分段 ２．分清每一段所对应的是什么函数？ （是正比例函数？还是一次函数？还是常函数？） ３．写出每一段的函数解析式
开始时引入图象所表示的函数也是分段函数，你能写出 它的解析式吗？
6x （0≤x≤2） y= 12 （ 2＜x≤3）
-4x+24（ 3＜x≤6）
一次函数 分段函数
O2
10
x/时
解得
k
3 8
bLeabharlann 27 4y 3 x 27 84
生活中的数学
当 0≤ x ≤2时, y=3x;
当x ≥ 2时,
y 3 x 27 84
y/微克
6
（2）如果每毫升血液中含药 量为4微克或4微克以上时，治
4
3
疗疾病有效，那么这个有效时
间是多长?
解: 当y=4时,
4 由y=3x , 得 x1 3
回顾反思：
解决含有多个变量的问题时，可以分析这 些变量间的关系，选取其中某个变量作为 自变量，然后根据问题中的条件寻求可以 反映实际问题的函数．
实际问题
建立函数
解函数问题
数学问题
数学问 题的解
思考：若A城有肥料300吨，B城有肥料200吨，现要把这 些肥料全部运往C,D两乡．从A城往C,D两乡运肥料的费 用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D乡运肥料的费 用分别为每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨,D乡需 要肥料260吨，怎样调运可使总运费最小？
（2）已知某户5月份的用水量为米3，求该用户5月份的水 费。
s(米)
① x(秒) 0 5 s(米) 0 10
40·
· s=10+6(x-5) (5<x≤10)
② x(秒) 5 10 s(米) 10 40
· 10· s=2x (0≤x≤5)
o· 5· 1·0
x(秒）
例２、某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方 法来计算电费，月用电x（度）与相应电费y（元）之间 的函数的 图象如图所示。
设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨．
y=20x+25（300-x）+15（240-x）+24（x-40）
可得：y=4x＋10140（40≤x≤240）
思考：在上题的解决中，你认为在解 决此类问题时需要注意哪些方面？
练一练
从A、B两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水 15万吨，乙地需水13万吨，A、B两水库各可调出14 万吨。从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地 到甲地60千米，到乙地45千米。设计一个调运方案 使水的调运量最小。
（1）填空，月用电量为100度时，应交电费 40 元； 1
（2）当x≥100时求y与x之间的函数关系式； Y= 5 x+20 （3）月用电量为260度时，应交电费多少元？ 72元
Y（元）
60 40 20
O
100 200
X（度）
2. 沙尘暴发生后，经过开阔荒漠时加速，经过乡镇、 遇到防护林带区则减速，最终停止。某气象研究所观 察一场沙尘暴从发生到结束的全过程，记录了风速 y(km/h)随时间t（h）变化的图象（如图） （1） 求沙尘暴的最大风速； （2） 用恰当的方式表示沙尘暴风速y与时间t之间
时，销售
收入等于销售成本。
（5）当销售量
时，该公司盈
利（收入大于成本）。
当销售
时，该公司亏损（收
入小于成本）。
生活中的数学
【例 3】某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，
如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（微克）
随时间x（时）的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服
药后。
y/微克
探求新知
1.问题：小芳以200米／分的速度起跑后，先
匀加速跑5分钟，每分提高速度20米，又匀速
跑 10 分 钟 ． 请 写 出 这 段 时 间 里 她 的 跑 步 速 度
y(米／分钟）随跑步时间x(分）变化的函数关
系式．
20x 200 (0≤x ≤ 5)
y
300
(5≤x≤15) y/（米）
2.请画出上述函数的图象．300
ｙ＝20ｘ＋25（200－ｘ）＋15（240－ｘ）＋24
（60＋ｘ） 可得：y=4x＋10040（0≤x≤200）
y 10040
由图象与解析式可知：当x=0时，y的值
最小，最小值为10040
0
x
答：从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨，从B城运往C乡 240吨，运往D乡60吨，此时总运费最小，最小值为10040元。
O x1 2 x2 10
由
y 3 x 27 84
,
得
x2
22 3
22 4 18
x2 x1
3
3
3
6
答：所以使用该种新药的有效时间是６小时．
x/时
实际问题
A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些 肥料全部运往C,D两乡．从A城往C,D两乡运肥料的 费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D乡运肥 料的费用分别为每吨15元和24元，现C乡需要肥料 240吨,D乡需要肥料260吨，怎样调运可使总运费 最小？
练习：
为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城
市规定用水标准如下：每户每月用水量不超过6米3时，水 费按0.6元/米3收费，每户每月用水量超过6米3时，超过的 部分按1元/米3。设每户每月用水量为x米3，应缴纳y元。
（1）写出每户每月用水量不超过6米3和每户每月用水量
超过6米3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为 一次函数。
.分析思考：影响总运费的变量有哪些？由A、城 分别运往C,D乡的肥料量共有几个量？这些量之间 有什么关系？
A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全 部运往C,D两乡．从A城往C,D两乡运肥料的费用分别为 每吨20元和25元；从B城往C、D乡运肥料的费用分别为 每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260 吨，怎样调运可使总运费最小？
的关系。
3、如图所示，l2反映了某公司产品 的销售收入与销售量的关系。l1反 映了该公司产品的销售成本与销售
量的关系，根据图意填空：
（1） l1对应的表达式是
对应的表达式是
。
， l2
（ 2）当销售量为2吨时，销售收入
= 元，销售成本=
元。
（3）当销售量为6吨时，销售收入
= 元，销售成本=
元。
（4）当销售量等于