分段函数
分段函数的极限
分段函数的极限分段函数是指由多个函数按照不同的自变量范围组合而成的一个函数。
在数学中，分段函数的极限是一个非常重要的概念和计算方法。
本文将介绍什么是分段函数的极限，以及如何计算分段函数的极限。
一、分段函数的定义分段函数是由多个函数组合而成的一个函数。
具体地说，它是指在不同的自变量范围内对应的函数是不同的。
例如，在区间(-∞,-1)内，我们定义f(x)=-x；在区间[-1,1]内，我们定义f(x)=x²；在区间(1,∞)内，我们定义f(x)=x+1。
这三个函数组合在一起，就构成了一个分段函数f(x)。
二、分段函数的极限定义在讨论分段函数的极限之前，我们需要先了解什么是函数的极限。
简单地讲，当自变量x无限接近于某个值a时，函数f(x)的值无限接近于某个数L，我们就称函数f(x)在x趋近于a的过程中极限为L，记为lim（x→a）f(x)=L。
例如，当x趋近于1时，f(x)=x²的极限为1。
与一般函数不同，分段函数在每个自变量范围内都有不同的函数式，因此在计算分段函数的极限时，我们需要对每个自变量范围内的函数分别进行讨论。
具体来说，我们需要分别讨论当x趋近于各个自变量范围中的端点时，函数值的趋势，以决定函数是否存在极限。
三、分段函数的极限计算方法对于一个分段函数f(x)，我们可以在每个自变量范围内对应的函数上分别计算极限。
然后，我们需要比较每个自变量范围内的函数极限，以确定整个分段函数的极限是否存在。
以下是具体的计算步骤：（1）先找出函数f(x)的定义域和值域。
（2）对于每个自变量范围内的函数，我们需要使用极限的定义来计算它的极限。
例如，当x趋近于-2时，f(x)=x²-2x的极限为6；当x趋近于0时，f(x)=x+3的极限为3。
（3）比较每个自变量范围内的函数极限。
如果存在某个自变量范围，其内部的函数极限不存在或者不唯一，那么我们就认为分段函数的极限不存在。
否则，我们可以得出整个分段函数的极限为各个自变量范围内的函数极限的"局部极限"中的极限值。
定积分的分段函数法
定积分的分段函数法定积分是高等数学的一个重要分支，其作用广泛，可以用于求曲线下面的面积、质心、转动惯量等问题。
本文主要介绍定积分中的分段函数法，着重讲解如何利用分段函数法求解复杂问题。
1. 分段函数的定义分段函数指的是在自变量的定义域内，函数值由不同的公式或分支组成的函数。
通常情况下，我们用一条垂直于x轴的直线把自变量的定义域分成若干段，每一段内采用不同的函数公式。
假设f(x)在[a,b]区间内是一个分段函数，可以表示为f(x) = {f1(x) (x∈[a,x1)){f2(x) (x∈[x1,x2))...{fn(x) (x∈[xn,b])其中，[a,x1)，[x1,x2)，...,[xn,b] 是定义区间，f1(x), f2(x),...,fn(x) 是在对应的定义区间上定义的函数公式。
2. 分段函数法求解定积分在计算定积分时，当被积函数为分段函数时，就可以采用分段函数法对其进行求解。
我们以一个简单的例子来说明如何使用分段函数法求解定积分。
例：计算 $\int_0^2 |x-1|dx$由于|x-1|在不同的定义区间上取值不同，在[0,1] 和 [1,2]两个区间内，可以分别采用不同的函数公式进行计算。
因为在[0,1] 区间上，$|x-1|=1-x$，在[1,2] 区间上$|x-1|=x-1$，因此可以得到$\int_0^2 |x-1|dx = \int_0^1 (1-x)dx +\int_1^2 (x-1)dx$化简得到$\int_0^2 |x-1|dx=\int_0^1 dx-\int_0^1 xdx+\int_1^2 xdx -\int_1^2 dx$简化后得到$\int_0^2 |x-1|dx= [\frac{1}{2}x^2-x]_0^1 +[\frac{1}{2}x^2-x]_1^2$计算得到$\int_0^2 |x-1|dx=1$3. 复杂问题的分段函数法解法在实际问题中，被积函数往往比较复杂，可能包含多个分支和多个定义区间。
分段函数的特性
分段函数的特性
分段函数的特性是指函数在一定的区间内有不同的特性。
分段函数具有以下特性：
1.连续性：在分段函数中，对于任意两个区间，该函数都是连续的。
2.可导性：在分段函数中，可以对每个单独的区间求导，以求出其斜率。
3.极大极小值：在分段函数中，可以找到函数的极大值和极小值，但其极值不一定在函数的每个区间中。
4.单调性：在分段函数中，每个单独的区间都是单调的，不同的区间的单调性可能不同。
5.多次导数：在分段函数中，可以计算函数的多次导数，以求出其形式。
6.泰勒级数：在分段函数中，可以对函数求取泰勒级数，以计算函数的值。
7.积分：在分段函数中，可以对函数求取积分，以计算函数的定积分或不定积分。
8.可微函数性：在分段函数中，可以将不同的函数进行可微函数处理，以计算整个函数的定性和定量特性。
9.函数表：在分段函数中，可以用函数表来表示函数的曲线，以便于直观表达和分析。
10.函数图形：在分段函数中，可以通过作图的方式表示函数的曲线，从而可视化地探究函数的特性。
分段函数
（2）若f(a)=3,求a的值；
（3）求f(x)的定义域与值域.
（1） f ( 7 ) 7 2 1 4 4 4
7 1 1 1 f f ( ) f ( ) 2 4 4 4 2
7 1 f f f ( ) f ( ) 1 4 2 （2）∵f(a)=3,
y
x 2, x 2 y 2 x , x 2
o
1
2
x
x2
x2
定义： 有些函数在它的定义域中，对于自变量 x的不同取值范围，对应法则不同，这样的 函数通常称为分段函数.
注意： 1、分段函数是一个函数，而不是几个函数 . 2、分段函数的定义域是各段定义域的 并集，值域也是各段值域的并集
1 1 = 2× 2×(2+1)-(2-x)(2-x) 3 1 2 5 = - 2 x +2x- 4 ≤x≤2. 2
2×2 1 1 x2 8
×
1 3 ≤x＜ . 2 2
2
＋（x-
1 ）× 2 2
∴所求函数的关系式为 1 2 1 x 0x 2 2 1 1 1 3 y x x 2 8 2 2 3 1 x 2 2x 5 x2 2 4 2 ∴函数的定义域为［0,2］,值域为[0, ] 【评析】分段函数的定义域是各部分x的取值范围的并集,值 域也是y在各部分值的取值范围的并集,因此,函数的解析式、 定义域、值域通常是逐段求解,最后综合求出.
求f{f［f(3)］}
【分析】求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值 在定义域的哪个子区间，然后用与这个区间相对应的对应关 系来求函数值.
【解析】∵3∈［2,+∞),
∴f(3)=32-4×3=-3. ∵-3∈(-∞,-2］,
分段函数
分段函数专题分段函数是自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数。
在表达形式上可表达如下：f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)()()(21x g x g x g n 其图象表现为若干段不一定连续的曲线。
新课程中有下列相关分段函数问题：3画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的最大值或最小值。
（2）]1,1[,122-∈--=x x x y（4）⎪⎩⎪⎨⎧-∞∈-+-+∞∈-+=)0,(,12),0[,12)(22x x x x x x x f 。
6、已知函数,12)(2--=x x x f ，判断函数的奇偶性，并作出函数的图象。
（必修1 p55）例4、画出函数x x f 2log )(=的图象，并由图象写出它的单调区间。
（必修1 p69 ） 2、画出下列函数的图象：（1）;21x x y ++=（2）x x y -=2。
6、画出函数⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=0,00,20,43)(2x x x x x f 的图象，并求出),2(-f ),1(f )),2((f f 的值。
（必修1p94 ）分段函数是一个函数，而不是几个函数，它是一类表达形式特殊的重要函数，跟普通函数一样存在下列一些常见问题：（1）作图象，（2）求解析式，（3）求自变量的取值或取值范围（4）求函数值的取值或取值范围（5）函数性质：最值性、奇偶性、单调性、反函数的存在性等讨论、求解与应用。
只是表达形式特殊，理解掌握有一定困难，加之在现实中有广泛应用，因而高考时有突变。
（一） 分段函数的图象及其应用： A 作图象1、 作函数y=x 2－2｜x ｜＋1的图象。
2、作y=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈+-∈+-∞∈),4(820]4,0[8)0,(8x x x x x 及x x x y +--=432的图象。
B 由图象确定函数最值、单调性等性质、确定方程解的个数等：3、已知函数22)(,12)(x x g x f x -=-=, 函数()F x 定义如下: 当|()|()f x g x ≥时,()|()|F x f x =; 当|()|()f x g x <时, ()()F x g x =-.那么F （x ） （ ）A 、有最小值0，无最大值，B 、有最小值2-，无最大值，C 、有最大值1，无最小值，D 、无最小值，也无最大值。
分段函数
分段函数分段函数：在函数定义域内，对于变量x 取值的不同区间，有着不同的对应关 系。
分段函数是一个函数，不是几个函数。
（分段函数的定义域是各 段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
） 分段函数的求解：典型例题： 0,l o g 3>x x例1：已知函数=)(x f 0,2≥x x ，则))91((f f =1,3≤x x例2：已知函数=)(x f 1,>-x x ，若 =)(x f 2，则x=例3：书上P27的练习2,3题练习：1.设()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为（ ）A.0B.1C.2D.32.设函数10221,0,()()1,0x x f x f x x x -⎧-≤⎪=>⎨⎪>⎩若，则0x 的取值范围是（ ） A ．)1,1(-B ．),1-(+∞C ．),0()2,(+∞--∞D ．),1()1,(+∞--∞ 1， x>00, x=0 1，x 为有理数3.设=)(x f -1， x<0,=)(x g 0，x 为无理数，则))((∏g f 的值为0,2>x x4.设函数=)(x f 0,1≤+x x ，若0)1()(=+f a f ，则实数a 的值等于5.已知函数实数a ≠0 ,函数=)(x f 1,2<+x a x ，若)1()1(a f a f +=- ， 则a= 1,2≥--x a x函数的单调性一、增函数的概念（1）一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，如果对于定义域A 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数．注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．（2）函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间。
分段函数-PPT课件
第三章 函数的概念与性质
(函数定义域的并集； ②分段函数的值域是各段函数值域的并集． (2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．
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第三章 函数的概念与性质
已知函数 f(x)＝x12，，x－>11或≤xx<≤－11，，则函数的定 义域为________，值域为________． 解析：由已知得定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝ R，又 x∈[－1，1]时，x2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1]． 答案：R [0，1]
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
分段函数求值问题 已知函数 f(x)＝xx＋2＋12，x，x≤－－2<2x，<2，试求 f(－5)，
2x－1，x≥2. f(－ 3)，ff－52的值． 【解】 由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2，2)，－52∈(－∞， －2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
为
______________．
答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)
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第三章 函数的概念与性质
分段函数的定义域、值域
(1)已知函数 f(x)＝|xx|，则其定义域为( )
A．R
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
－x2＋1，0<x<1，
(2)函数 f(x)＝0，x＝0，
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第三章 函数的概念与性质
2．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐 标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意 每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个 分段函数的图象． ■名师点拨 在画每一段函数图象时，可以先不管定义域的限制，用虚线作 出其图象，再用实线保留其在该段定义区间内的相应图象即可， 即“分段作图”．
分段函数
函数 中 的取值 范 围时 ，要确 保做
赢 熹
的值 域是 （ ）
．
后ｇ － ￣ｆ （ ３ ） 的值代 入 函数ｌ ， （ ） 相应
的解析式中， 求 ３ ） ） ．分段 函数 ｙ ＝ ｔ 与 函数ｙ ） 的图象 自左 向右依 次 交 于 四个 不 同 点Ａ， 曰， Ｃ ， Ｄ ．若 Ａ Ｂ ＝ Ｂ Ｃ ． 则实数ｔ 的值为— 思索 — 一
号 ≤ ６ 觯
增 函数 ．则 实 数 ａ 的取 值 范 围 是
性， 偶 函数 的 图 象 关 于Ｙ 轴对称 ， 抛 物线 的图 象关于对称轴 对称 ， 从而 得 到点 Ｂ 的 坐标 ． 求出 的值 ．
围， 即可得厂 （ ） 的值域．
破解
…
由题 意 ：
思索
分段 函数单 调递增 ， 则
ｂ ＝ ２ ， ｃ 一１ ．Ａ， Ｂ两 点 关 于 ＝ 一 １ 对称 ， 所 以 ＋ Ｂ ＝ 一 ２； Ｂ， Ｃ两 点 关 于 Ｙ 轴 对 称， ＡＢ ＝ Ｂ Ｃ，所 以Ｘ Ｂ ＝ — Ｘ ＿ Ａ ＋ ＝ － Ｘ — ｃｘ ｓ ＋ ｘ ｃ ＝Ｏ，
，
ｆ
＋ ２ ， ∈（ 一 ∞， 一 １ ） ｕ（ ２ ， ＋ 。 。 ） ，
一
１ ． 分段函数 的定义域和值域
分 段 函数 的 定 义 域 为 每一 段 函数定义域的并集 ，在表示每一段
到 定 义 域不 重 不漏 ，即交 集 为 空 集 ，并集 为整个定义域．值域应 是
其 定 义域 内不 同子 集上 各 关 系 式 的值域 的并集．
倒１ 设函数ｇ （ ） ＝ ｚ 一 ２ （ ∈
是几个 函数 ．只不过在定义域 的不
（ ４ ） 画分 段 函数 图象 时一 定要
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“分段函数”教学方案
平山县职业教育中心：郄东明
课题：分段函数（高等教育出版社《数学（基础模块）》上册第三章第3节）
第一部分：（教学导入环节设计与意图阐释）
一、场景描述
选择场景：繁华的步行街；DV拍摄切入视角：过往人群，两旁林立商场及商家门面上的广告．
导入语：生活，让我们学会了合理的分析与正确的选择．今天我们跟随镜头，去看看繁华的步行街．
播放提前录制的DV视频，画面展示过往人群及两旁林立的商场．
特定镜头1：李宁专卖店门前广告．
特定镜头2：联通公司神州行话费资费标准．
特写镜头3：出租车收费标准．
特定镜头1 特定镜头2 特定镜头3
设计意图：以步换景的方式，表述身边的真实生活场景，突出学生的切身体会，引起学生关注生活细节．有选择地挖掘场景中与数学相关联的问题，使学生对场景本身有一种新的认识，达到吸引学生的注意力，激活学生学习的动机与潜能．
二、角色模拟
在拍摄DV的过程中，选择了几处特写镜头，请说说有几处特写镜头？并简要说明特写镜头描述的内容．学生：（略）
教师：今天我们去体验一下生活，同学们如何对待这三件事情？
事件一：购买李宁牌服装一件，打9折；购买李宁牌服装二件或三件，打8.5折；购买李宁牌服装四件以上，打7.5折．现李宁牌服装全国统一价128元，在李宁专买店里，你看中了一件服装，刚巧遇到了四位顾客正在挑选李宁牌服装，也想购买．此时，你将做如何打算？说说你的合理性，并建立购买李宁牌服装的折扣价与购买数量之间的函数关系式．
学生1：通过主动招呼四位顾客，分析联合购买的优惠价．
学生
教师：用列表的方法，我们一看就可以得出购买李宁牌服装的折扣价与购买数量的关系．我们用函数解析式的方法如何给出？
学生3：设购买服装的数量x 件，服装的折扣价y 元，则
⎪⎩⎪⎨⎧∈≥===*,4,963,2,8.1081
,2.115N
x x x x y ．（教师进行适时点拔与评价）
注：在分析过程中，突出不同自变量有不同的取值，为抽象出分段函数做铺垫．
教师：买了新衣服，心情非常愉悦，走进联通公司去充话费．神州行卡（免费接听）话费资费标准如下．
事件二：神州行卡（免费接听）市内通话费资费标准：每次通话3分钟以内，每分钟20.0元；超过3分钟，每分钟（不足1分钟按1分钟计算）收费10.0元．试建立一次通话应付费与通话时间之间的函数关系．
学生：设通话时间为x 分钟，一次通话应付费为y 元．
⎩⎨⎧>-⨯+⨯≤<=3),3(1.032.03
0,2.0x x x x y ．（教师评价）
教师：我们来仔细分析刚才同学建立起来的函数关系能不能正确表述问题3．
学生：不能．因为x 取5.3需要按4计算．
教师：锐利的目光，洞察了表达式的关键错误．（追问：怎么去解决呢？）
学生：加一个限制条件，当x 不是整数时，取1][+x ，][x 表示x 的整数部分．（教师：鼓励语）
教师：也可以采用分更小的段表示：如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<≤<=
54,8.04
3,7.032,6.021,4.01
0,2.0x x x x x y ．
教师：充了话费，时间也不早了，逛街也累了，走出步行街，就打的回家吧．
事件三：出租车的收费标准：当行程不超过2km 时，收费6元；行程超过2km ，但不超过10km 时，在收费6元的基础上，超过2km 部分每公里收费0.2元；超过10km 时，超过部分除每公里收费0.2之外，再加收%50的回程空驶费．试建立一个出租车收费y （元）与行程x （公里）之间的函数解析式．从步行街到你家，花费了你14元，那步行街到你家的距离在什么范围内？
学生：⎪⎩
⎪⎨⎧>⨯-+≤<⨯-+≤<=10,3)10(22102,2)2(62
0,6x x x x x y ．（教师评价）
设计意图：问题的设置以递进式的方法，层层深入，并对每一个问题只是一种模型，可以对具体情况做适当的修改．如事件三出租车收费问题，可以按照当地情况作变化．对于这四个问题呈现，充分把学生置身于场景中，进行了角色模拟，把学习活动看成自我体验，自我教育的过程，达成三维的教学目标，并充分激发学生学习的主观能动
性．
三、回归任务
教师：我们分析了三项任务，建立了各自的函数关系式，试说说他们的共同特点？
学生1：在自变量的不同取值范围内，对应的函数值不同．（教师补充：有不同的对应法则．）
学生2：不同的对应法则，用不同的解析式表示．
教师：我们今天新认识了一个函数：叫分段函数．
回归概念：在自变量不同的取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段函数．
设计意图：任务的分解与概念的回归，体现了数学的原生态发展的必然结果．运用场景激活学生的思维，让学生在教师的引导下通过具体问题去感受、体会，从而逐渐形成一般的认识．从设置问题开始，始终强化主线的提炼，揭示函数的本性，延拓了生活的命题．从步步深入的过程中，体会数学与生活的关系．
第二部分：（教学导入设计的总体构思）
一、数学教学的设计思想
场景式教学的设计紧扣教育即生活的思想，展现教学的生动活泼与灵活多样．场景式数学教学的核心理念是：回归数学的原生态．场景式数学教学以生活（或某工程、活动）场景为核心，倡导“以用为本，学以致用”的教学方法．以学生已有认识水平为行动指向，辅以生活（或某工程、活动）提炼成的问题，运用角色模拟，深入浅出地展开数学教学过程．选择课题分段函数进行场景式教学，突出了函数应用的广泛性与实用性，生活场景表现了数学的本源性，充分揭示了数学的抽象概括过程，挖掘了数学的文化思想．导入设计贯穿在学生生活的主线上，尤其凸现了以生为本的原则，引领学生关注身边的每一个故事．
二、分段函数导入设计的总体构思
教学目标
（1）通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型；
（2）在初步掌握了函数的列表法、图象法、解析法三种主要表示方法基础上，进一步学习分段函数的表示方法；
（3）经历三个场景问题（李宁专卖店的广告、联通神州行收费单及出租车收费标准）抽象为数学问题（分段函数）的过程，认识到数学与实际生活的密切联系；
（4）从三个场景抽象到三个问题，提高学生对数学的高度抽象性、概括性的认识及数学素质的培养；
（5）体验每一个场景活动的探索过程，锻炼合理分析的意识，逐渐认识数学的意义；发展条理、清晰地阐述自我观点的能力，从而获得成功的体验，激起学习数学的兴趣，建立学好数学的自信心．
教学重难点
依据课程标准要求与教学目标，分段函数的重点是根据相关条件建立简单分段函数的表达式．通过反复呈现、螺旋上升方法呈现教学重点内容，强调学生的参与、自主探索及自我反思．分段函数的难点是分段函数的本质理解．对于学习者来说，能够增进理解力的知识，就是对于学习者的生活具有解释力和作用力的知识．因而，从导入开始进行了层层铺设，把问题设置成具有现实性、简易性及连贯性，让学生对分段函数概念的理解层层深入，数学思维能力不断提升．
教学生成过程
从分段函数概念形成的过程中，展示了数学思维的连续性、完整性、思想性和本质性，这对学生学习具有重要的引领作用．场景式数学教学的生成过程是以场景为核心内容，通过问题生成、角色模拟、回归任务及实践提升的四个环节，达成学生的数学三基（基本知识、基本技能、基本能力）、学生能力、自主能力、合作精神及文化思想的教学目标．教学生成过程如下图．
在分段函数这一课时的教学中，选择了步行街的场景，融入了三个细节场景，提出了三个主题，生成了三个问题，让学生去模拟实践角色，达成任务之后，提炼出新的概念与规律，从而达成了提出的目标与要求．
三、分段函数导入设计的反思
对于分段函数的导入设计充分考虑了以下几个疑问：
1．如何运用教学设计技巧，把课堂内容设置成能够增进学生的理解力、解释力及作用力？综观分段函数的导入设计，在每一个问题的设置中，渗透了学生参与的理解力，挖掘了问题的解释力及作用力．以鲜活的实例，激发学生的对问题表达的欲望与探索的持久兴趣．
2．学习怎样的知识才能实现真正的理解？对于约定性知识，通过回归数学的原生态，让学生体会数学的发生、发展的过程，从而获得抽象概括的体验，达到了新的思想文化理解．3．每个人独特方法的形成，在于每个人所关注的问题、价值追求、所拥有的资源，以及所经历的经验教训和成功等．因此，要深入理解方法的形成，就必须深入到形成方法的个人主体生活当中去，而主体的生活既有独特的个人性，又有当时当地的时代性和本土性．运用场景式数学教学，正符合了学生的现实需求．。