分段函数
分段函数的极限定理
分段函数的极限定理极限是微积分学中一个重要的概念，它可以用来描述函数在某一点处的行为。
而分段函数是指将定义域分为多个不同区间，在每个区间内使用不同的函数公式描述函数值的函数。
对于分段函数，其极限的计算则需要依赖分段函数的极限定理。
一、分段函数的定义分段函数是由两个或更多个函数在一个定义域相交或断开之后组成的函数。
这类函数通常包含若干个区间，每个区间内用一个函数公式来描述函数值，而不同区间则可以使用不同的函数公式。
通常来说，我们使用符号$f(x)$来表示分段函数。
例如，下面这个函数就是一个分段函数：$$f(x)=\begin{cases} x^2 & x\ge 0 \\ 1/x & x<0 \end{cases}$$这个函数的定义域为实数集$\mathbb{R}$。
当$x\ge 0$时，函数值为$x$的平方；而当$x<0$时，函数值为$1/x$。
二、分段函数的极限定义对于一个实数$a$，如果存在实数$L$，使得对于任意小的正数$\epsilon$，都存在一个正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，$|f(x)-L|<\epsilon$，那么称函数$f(x)$在$x=a$处的极限为$L$，记为$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$。
对于分段函数，如果在区间$a<x<b$内，函数值都趋近于$L$，那么我们可以将$f(x)$在$x=a$处和$x=b$处的极限都定义为$L$，并记为：$$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=L,\quad \lim\limits_{x\to b^-}f(x)=L$$例如，对于分段函数$f(x)=\begin{cases} x^2 & x>0 \\ 0 & x\le 0\end{cases}$，我们有$\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=0$和$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=0$。
常用的分段函数
第一种就是常数型：
常数分段函数就是指所给的每段上都是常数，这看似简单却有着自己特殊的功能，常见题型出现在填空题，给出已知条件求解集。
第二种解析型：
所谓分段函数中最常见的形式，顾名思义就是在不同的范围内定义了不同的解析式，这类问题的解决，主要是要求要逐段的思考分析。
第三种关系型：
所谓关系型分段函数就是所给的某个区间是一个确定的关系式，但同时在其他区间上是一组关系式，解决它的问题需要不同区间上的关系互相转化，就是函数与函数之间充满关系，需要互相解答。
分段函数的理解
分段函数的理解分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数。
1、它是一个函数，不是几个不同函数的组合,是同一函数在自变量X的不同取值范围内的不同表达式。
2、最简单的分段函数是一次函数的分段函数。
分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。
谈谈中考中的分段函数在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，分段函数是近几年中考数学中一种重要的题型。
分段函数的应用题多设计成两种（段）情况以上，解答时需分段讨论。
它是考查分类思想，读取、搜集、处理图像信息等综合能力的综合题。
这些分段函数都是直线型，通常是由正比例函数的图像和一次函数的图像构成。
下面我们归纳分析如下，供学习时参考。
一、两段型分段函数1.1正比例函数与一次函数构成的分段函数解答这类分段函数问题的关键,就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解析式。
例1、某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费______元；（２）分别写出当0≤x≤100 , x≥100时，x与y之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数,当x≥100时, 月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；（2）当0≤x≤100时,设y与x之间的函数关系式为y=kx，x=100时,y=40 所以y=2/5xx≥100时, 设y与x之间的函数关系式为y=kx+b由图知：x=100时,y=40；x=200时，y=60 则有 ,解之得 k=1/5,b=20 所求函数关系式为y=1/5x+20（3）把x=280代入y=1/5x+20,得y=1/5x280+20=76，即月通话为280分钟时，应交话费76元．【巩固练习】1、水费中的分段函数某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图(1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时, y与x的函数关系式;(2)若某户该月用水21吨, 则应交水费多少元?2、电费中分段函数今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x≤100和x≥100时， y与x的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？1.2一次函数与一次函数构成的分段函数1、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示．（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖励小强家务劳动的？（2）分别写出当0≤x≤20和x≥20时， y与x的函数关系式；（3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？1.3常数函数与一次函数构成的分段函数例1、有甲、乙公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为元；（2）分别写出当0≤x≤100和x≥100时， y与x的函数关系式（3）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？二、三段型分段函数如图7，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P 在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）三、四段型分段函数例7、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图11，是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图像。
分段函数
（2）若f(a)=3,求a的值；
（3）求f(x)的定义域与值域.
（1） f ( 7 ) 7 2 1 4 4 4
7 1 1 1 f f ( ) f ( ) 2 4 4 4 2
7 1 f f f ( ) f ( ) 1 4 2 （2）∵f(a)=3,
y
x 2, x 2 y 2 x , x 2
o
1
2
x
x2
x2
定义： 有些函数在它的定义域中，对于自变量 x的不同取值范围，对应法则不同，这样的 函数通常称为分段函数.
注意： 1、分段函数是一个函数，而不是几个函数 . 2、分段函数的定义域是各段定义域的 并集，值域也是各段值域的并集
1 1 = 2× 2×(2+1)-(2-x)(2-x) 3 1 2 5 = - 2 x +2x- 4 ≤x≤2. 2
2×2 1 1 x2 8
×
1 3 ≤x＜ . 2 2
2
＋（x-
1 ）× 2 2
∴所求函数的关系式为 1 2 1 x 0x 2 2 1 1 1 3 y x x 2 8 2 2 3 1 x 2 2x 5 x2 2 4 2 ∴函数的定义域为［0,2］,值域为[0, ] 【评析】分段函数的定义域是各部分x的取值范围的并集,值 域也是y在各部分值的取值范围的并集,因此,函数的解析式、 定义域、值域通常是逐段求解,最后综合求出.
求f{f［f(3)］}
【分析】求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值 在定义域的哪个子区间，然后用与这个区间相对应的对应关 系来求函数值.
【解析】∵3∈［2,+∞),
∴f(3)=32-4×3=-3. ∵-3∈(-∞,-2］,
分段函数的类型
分段函数的类型
分段函数是数学中一个重要的概念。
它应用于生产、图形计算等多个领域，引用在很多成功的应用中，例如运筹学与机器学习。
分段函数是一种“离散化”的函数，由一些称为子函数(子分段)的函数组成，子
函数可以是不同类型的函数，它们通常在限定的范围内变化、分开且独立。
分段函数的总函数可以从这些子函数构建出来，从而形成一个可以用于单独计算的函数。
一般来说，分段函数可以分为三种：线性、不等式、多项式函数。
线性函数是在离散点之间连接起来形成的一条折线，而不等式函数则不同，它可以把离散点之间的部分连接起来，形成一条曲线。
多项式函数是在把离散点之间连接起来的所有部分拟合成多项式函数，这样会形成一条更加复杂的折线。
此外，分段函数还可以包含其他复杂的元素，比如曲线，它可以把离散点之间的独立曲线连接起来，形成一个更为复杂的变量函数。
分段函数的相关研究广泛应用于机器学习算法、计算模拟、概率论和经济学中。
借助分段函数，人工智能技术可以解决复杂的优化问题；由于分段函数易于分解，复杂的计算任务也可以很容易地解决。
在经济学中，由于分段函数的稳定性，可以进行安全、有效的金融分析和决策。
总之，分段函数具有广泛的应用价值，它可以有效地帮助我们解决机器学习、计算模拟以及经济分析和决策当中繁杂的问题，必将促进科学技术的更进一步发展。
分段函数
分段函数分段函数：在函数定义域内，对于变量x 取值的不同区间，有着不同的对应关 系。
分段函数是一个函数，不是几个函数。
（分段函数的定义域是各 段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
） 分段函数的求解：典型例题： 0,l o g 3>x x例1：已知函数=)(x f 0,2≥x x ，则))91((f f =1,3≤x x例2：已知函数=)(x f 1,>-x x ，若 =)(x f 2，则x=例3：书上P27的练习2,3题练习：1.设()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为（ ）A.0B.1C.2D.32.设函数10221,0,()()1,0x x f x f x x x -⎧-≤⎪=>⎨⎪>⎩若，则0x 的取值范围是（ ） A ．)1,1(-B ．),1-(+∞C ．),0()2,(+∞--∞D ．),1()1,(+∞--∞ 1， x>00, x=0 1，x 为有理数3.设=)(x f -1， x<0,=)(x g 0，x 为无理数，则))((∏g f 的值为0,2>x x4.设函数=)(x f 0,1≤+x x ，若0)1()(=+f a f ，则实数a 的值等于5.已知函数实数a ≠0 ,函数=)(x f 1,2<+x a x ，若)1()1(a f a f +=- ， 则a= 1,2≥--x a x函数的单调性一、增函数的概念（1）一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，如果对于定义域A 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数．注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．（2）函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间。
高中数学一轮复习之分段函数
第3节分段函数【基础知识】1.在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．2．分段函数是一个函数，而不是几个函数；3．分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.【规律技巧】1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．3.研究分段函数的性质，需把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．4. 含绝对值的函数是分段函数另一类表现形式.【典例讲解】例1、设函数f(x)＝2－x，x ∈－∞，1，x 2，x ∈[1，＋，若f(x)>4，则x 的取值范围是______．【方法技巧】求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．【变式探究】已知f(x)的图象如图，则f(x)的解析式为________．例2已知实数0a ，函数1,21,2x a x x a x xf ，若a f a f 11，则a 的值为（）A ．B ．C ．D．【答案】A例3在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是A. 32人B. 35人C. 40人D. 45 人【答案】B 【针对训练】1、作出函数||()x f x xx的图象.【答案】见解析2、已知函数1,1(),1xex f x x x，那么(2)f 的值是（）A ．0 B． C．21eD ．2【答案】D3、设函数,0,22xxx x xxf 若2af f ，则实数a 的取值范围是______【答案】2a 4、设函数246,0()6,0xx xf x x x，则不等式()(1)f x f 的解集是（）A.B. C. D.【答案】A5、已知函数2log ,0,()3,0,xx x f x x ≤，则14ff．【答案】19【练习巩固】1.设)10()],6([)10(,2)(xxf f x x x f 则5f 的值为（）A ．10B ．11C ．12 D．13【答案】B【解析】这是分段函数，求值时一定注意自变量所在的范围，不同范围选用不同的表达式．(5)119151311f f f f f f f ，故选B ．2.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]，上，0111()201xx ax f x bxx ≤≤≤，，，，其中a bR ，．若1322ff，则3a b 的值为．【答案】10 【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴11f f ，即21=2b a ①.又∵311=1222ff a ，1322f f，∴141=23b a ②. 联立①②，解得，=2. =4a b 。
分段函数
函数 中 的取值 范 围时 ，要确 保做
赢 熹
的值 域是 （ ）
．
后ｇ － ￣ｆ （ ３ ） 的值代 入 函数ｌ ， （ ） 相应
的解析式中， 求 ３ ） ） ．分段 函数 ｙ ＝ ｔ 与 函数ｙ ） 的图象 自左 向右依 次 交 于 四个 不 同 点Ａ， 曰， Ｃ ， Ｄ ．若 Ａ Ｂ ＝ Ｂ Ｃ ． 则实数ｔ 的值为— 思索 — 一
号 ≤ ６ 觯
增 函数 ．则 实 数 ａ 的取 值 范 围 是
性， 偶 函数 的 图 象 关 于Ｙ 轴对称 ， 抛 物线 的图 象关于对称轴 对称 ， 从而 得 到点 Ｂ 的 坐标 ． 求出 的值 ．
围， 即可得厂 （ ） 的值域．
破解
…
由题 意 ：
思索
分段 函数单 调递增 ， 则
ｂ ＝ ２ ， ｃ 一１ ．Ａ， Ｂ两 点 关 于 ＝ 一 １ 对称 ， 所 以 ＋ Ｂ ＝ 一 ２； Ｂ， Ｃ两 点 关 于 Ｙ 轴 对 称， ＡＢ ＝ Ｂ Ｃ，所 以Ｘ Ｂ ＝ — Ｘ ＿ Ａ ＋ ＝ － Ｘ — ｃｘ ｓ ＋ ｘ ｃ ＝Ｏ，
，
ｆ
＋ ２ ， ∈（ 一 ∞， 一 １ ） ｕ（ ２ ， ＋ 。 。 ） ，
一
１ ． 分段函数 的定义域和值域
分 段 函数 的 定 义 域 为 每一 段 函数定义域的并集 ，在表示每一段
到 定 义 域不 重 不漏 ，即交 集 为 空 集 ，并集 为整个定义域．值域应 是
其 定 义域 内不 同子 集上 各 关 系 式 的值域 的并集．
倒１ 设函数ｇ （ ） ＝ ｚ 一 ２ （ ∈
是几个 函数 ．只不过在定义域 的不
（ ４ ） 画分 段 函数 图象 时一 定要
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19.2.2一次函数
第4课时分段函数(导学案)
一、学习目标
（1）了解分段函数的实际意义。
（2）会求分段函数的解析式以及确定自变量的取值范围，能画简单分段函数的图像。
学习重、难点
重点：求分段函数的解析式以及确定自变量的取值范围。
难点：分段函数中分段标准或依据的确定，画分段函数的图像，用函数思想解决实际问题。
二、自学
1、自学指导
（1）自学内容：教材 P95 例5.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学要求：认真阅读例5对比分析内容，边看边思考解题思路过程.
（4）自学参考提纲：
①购买数量x(kg)，当0≤x≤2时，种子单价是，根据：金额=单价×数量，则解析式是。
②购买数量x(kg)，当x＞2时，其中2kg的种子按单价计算，其余的 kg的种子按单价计算，根据；总金额等于两部分金额之和，则解析式是。
④根据自变量的取值范围作出函数的图像是（图像草图即可）
⑤回答P95的思考，一次够买1.5kg种子，需付款元，一次够买3kg种子，需付款元，
你所采用的方法是。
（教师点拨）
三、互学
一个试验室在0:00—2:00保持20℃的恒温，在2：00—4：00匀速升温，每小时升高5℃.写出试验室温度T(单位：℃)关于时间t(单位：h)的函数解析式，并画出函数图象，（图像草图即可）。
四、小结
1．分段函数解题思路. 2.学生小结 3.教师点评 4.函数解题思想的渗透
五、作业强化（评价作业）
随堂演练1----3题：（教师点拨）进一步理解分段函数的意义，熟悉分段函数的图像，能从分段函数图像上获取函数信息。
综合运用4---6题：（教师点拨）学生会求分段函数的解析式以及确定自变量的取值范围，能画简单分段函数的图像。
拓展延伸7题：（教师点拨）分段函数中分段标准或依据的确定，分段函数的图像获取信息，用函数思想解决实际问题。
链接中考8题分段函数的图像获取信息，用数形结合思想，方程思想，函数思想综合运用解决实际问题。
本课时的重点是求分段函数的解析式以及确定自变量的取值范围.教学过程中通过对例题的探究，习题的训练，培养学生勤于动脑、乐于探究、主动参与学习的意识，体会函数思想在数学学习中的重要性.
课堂练习
输入x 值
y= x 2 (0≤x ＜1) y=x-1 （1≤x ＜2） y=x 1 (2≤x ≤4) 一、随堂演练
1．根据如图所示的程序计算函数值，若输入的x 的值为321
，则输出的函数值为（ ）。
A. 1
B. 4-32
C. 7-34
D. 7+34
2．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P 点经过的路线为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y ．则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ）
3．某市推出上网包月制，每月收取费用y(元)与上网时间x （小时）的函数关系如图所示，下列说法不正确的是（ ）。
A.基本月租费是每月60元；
B.小明六月份上网共25小时，应付费60元；
C.当x ≥30时，则y(元)与x(小时)之间的函数关系式是y=3x-30
D.小明七月份上网共付费75元，则小明七月份上网共33小时.
二、综合运用
4．某生物小组观察一植物生长,得到植物高度y(厘米)与观察时间x（天）的关系，并画出如图所示的图像。
（1）该植物多少天后停止长高？
（2）求AC的解析式，并求该植物最高多少厘米？
5．某市出租车起步价5元，超过3千米后，每超1千米加收1.5元，（不足千米按1千米计算）（1）写出费用y（元）与乘坐的里程x(千米)之间的函数关系。
（2）某人坐出租车付费8元，那么他乘坐的里程的范围是多少？
6．小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图像。
（1）根据图像回答：小明去郊外春游距家__________千米。
（2）求小明出发两个半小时离家多远？
（3）小明多少时间离家22千米？
三、拓展延伸
7．我市自来水公司，为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法计算水费，收费标准如表所示：
月用水量不超过12吨的部分超过12吨不超过18吨的部分超过18吨的部分
收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00
(2)作出函数图像
月份10月份11月份12月份合计
交费金额54元22元34元110元
问该老师家第四季度共用水多少吨？
四、中考链接
8．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇.已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离y(千米)与货车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论，结论正确的是( )
①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；
②甲、乙两地之间的距离为120千米；
③图中点B的坐标为(33
4
，75)；
④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时.。