分段函数
19.2.2一次函数
第4课时分段函数(导学案)
一、学习目标
（1）了解分段函数的实际意义。
（2）会求分段函数的解析式以及确定自变量的取值范围，能画简单分段函数的图像。
学习重、难点
重点：求分段函数的解析式以及确定自变量的取值范围。
难点：分段函数中分段标准或依据的确定，画分段函数的图像，用函数思想解决实际问题。
二、自学
1、自学指导
（1）自学内容：教材 P95 例5.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学要求：认真阅读例5对比分析内容，边看边思考解题思路过程.
（4）自学参考提纲：
①购买数量x(kg)，当0≤x≤2时，种子单价是，根据：金额=单价×数量，则解析式是。
②购买数量x(kg)，当x＞2时，其中2kg的种子按单价计算，其余的 kg的种子按单价计算，根据；总金额等于两部分金额之和，则解析式是。
④根据自变量的取值范围作出函数的图像是（图像草图即可）
⑤回答P95的思考，一次够买1.5kg种子，需付款元，一次够买3kg种子，需付款元，
你所采用的方法是。
（教师点拨）
三、互学
一个试验室在0:00—2:00保持20℃的恒温，在2：00—4：00匀速升温，每小时升高5℃.写出试验室温度T(单位：℃)关于时间t(单位：h)的函数解析式，并画出函数图象，（图像草图即可）。
四、小结
1．分段函数解题思路. 2.学生小结 3.教师点评 4.函数解题思想的渗透
五、作业强化（评价作业）
随堂演练1----3题：（教师点拨）进一步理解分段函数的意义，熟悉分段函数的图像，能从分段函数图像上获取函数信息。
综合运用4---6题：（教师点拨）学生会求分段函数的解析式以及确定自变量的取值范围，能画简单分段函数的图像。
拓展延伸7题：（教师点拨）分段函数中分段标准或依据的确定，分段函数的图像获取信息，用函数思想解决实际问题。
链接中考8题分段函数的图像获取信息，用数形结合思想，方程思想，函数思想综合运用解决实际问题。
本课时的重点是求分段函数的解析式以及确定自变量的取值范围.教学过程中通过对例题的探究，习题的训练，培养学生勤于动脑、乐于探究、主动参与学习的意识，体会函数思想在数学学习中的重要性.
课堂练习
输入x 值
y= x 2 (0≤x ＜1) y=x-1 （1≤x ＜2） y=x 1 (2≤x ≤4) 一、随堂演练
1．根据如图所示的程序计算函数值，若输入的x 的值为321
，则输出的函数值为（ ）。
A. 1
B. 4-32
C. 7-34
D. 7+34
2．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P 点经过的路线为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y ．则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ）
3．某市推出上网包月制，每月收取费用y(元)与上网时间x （小时）的函数关系如图所示，下列说法不正确的是（ ）。
A.基本月租费是每月60元；
B.小明六月份上网共25小时，应付费60元；
C.当x ≥30时，则y(元)与x(小时)之间的函数关系式是y=3x-30
D.小明七月份上网共付费75元，则小明七月份上网共33小时.
二、综合运用
4．某生物小组观察一植物生长,得到植物高度y(厘米)与观察时间x（天）的关系，并画出如图所示的图像。
（1）该植物多少天后停止长高？
（2）求AC的解析式，并求该植物最高多少厘米？
5．某市出租车起步价5元，超过3千米后，每超1千米加收1.5元，（不足千米按1千米计算）（1）写出费用y（元）与乘坐的里程x(千米)之间的函数关系。
（2）某人坐出租车付费8元，那么他乘坐的里程的范围是多少？
6．小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图像。
（1）根据图像回答：小明去郊外春游距家__________千米。
（2）求小明出发两个半小时离家多远？
（3）小明多少时间离家22千米？
三、拓展延伸
7．我市自来水公司，为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法计算水费，收费标准如表所示：
月用水量不超过12吨的部分超过12吨不超过18吨的部分超过18吨的部分
收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00
(2)作出函数图像
月份10月份11月份12月份合计
交费金额54元22元34元110元
问该老师家第四季度共用水多少吨？
四、中考链接
8．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇.已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离y(千米)与货车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论，结论正确的是( )
①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；
②甲、乙两地之间的距离为120千米；
③图中点B的坐标为(33
4
，75)；
④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时.。
分段函数的极限定理
分段函数的极限定理极限是微积分学中一个重要的概念，它可以用来描述函数在某一点处的行为。
而分段函数是指将定义域分为多个不同区间，在每个区间内使用不同的函数公式描述函数值的函数。
对于分段函数，其极限的计算则需要依赖分段函数的极限定理。
一、分段函数的定义分段函数是由两个或更多个函数在一个定义域相交或断开之后组成的函数。
这类函数通常包含若干个区间，每个区间内用一个函数公式来描述函数值，而不同区间则可以使用不同的函数公式。
通常来说，我们使用符号$f(x)$来表示分段函数。
例如，下面这个函数就是一个分段函数：$$f(x)=\begin{cases} x^2 & x\ge 0 \\ 1/x & x<0 \end{cases}$$这个函数的定义域为实数集$\mathbb{R}$。
当$x\ge 0$时，函数值为$x$的平方；而当$x<0$时，函数值为$1/x$。
二、分段函数的极限定义对于一个实数$a$，如果存在实数$L$，使得对于任意小的正数$\epsilon$，都存在一个正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，$|f(x)-L|<\epsilon$，那么称函数$f(x)$在$x=a$处的极限为$L$，记为$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$。
对于分段函数，如果在区间$a<x<b$内，函数值都趋近于$L$，那么我们可以将$f(x)$在$x=a$处和$x=b$处的极限都定义为$L$，并记为：$$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=L,\quad \lim\limits_{x\to b^-}f(x)=L$$例如，对于分段函数$f(x)=\begin{cases} x^2 & x>0 \\ 0 & x\le 0\end{cases}$，我们有$\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=0$和$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=0$。
常用的分段函数
第一种就是常数型：
常数分段函数就是指所给的每段上都是常数，这看似简单却有着自己特殊的功能，常见题型出现在填空题，给出已知条件求解集。
第二种解析型：
所谓分段函数中最常见的形式，顾名思义就是在不同的范围内定义了不同的解析式，这类问题的解决，主要是要求要逐段的思考分析。
第三种关系型：
所谓关系型分段函数就是所给的某个区间是一个确定的关系式，但同时在其他区间上是一组关系式，解决它的问题需要不同区间上的关系互相转化，就是函数与函数之间充满关系，需要互相解答。
分段函数的理解
分段函数的理解分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数。
1、它是一个函数，不是几个不同函数的组合,是同一函数在自变量X的不同取值范围内的不同表达式。
2、最简单的分段函数是一次函数的分段函数。
分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。
谈谈中考中的分段函数在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，分段函数是近几年中考数学中一种重要的题型。
分段函数的应用题多设计成两种（段）情况以上，解答时需分段讨论。
它是考查分类思想，读取、搜集、处理图像信息等综合能力的综合题。
这些分段函数都是直线型，通常是由正比例函数的图像和一次函数的图像构成。
下面我们归纳分析如下，供学习时参考。
一、两段型分段函数1.1正比例函数与一次函数构成的分段函数解答这类分段函数问题的关键,就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解析式。
例1、某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费______元；（２）分别写出当0≤x≤100 , x≥100时，x与y之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数,当x≥100时, 月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；（2）当0≤x≤100时,设y与x之间的函数关系式为y=kx，x=100时,y=40 所以y=2/5xx≥100时, 设y与x之间的函数关系式为y=kx+b由图知：x=100时,y=40；x=200时，y=60 则有 ,解之得 k=1/5,b=20 所求函数关系式为y=1/5x+20（3）把x=280代入y=1/5x+20,得y=1/5x280+20=76，即月通话为280分钟时，应交话费76元．【巩固练习】1、水费中的分段函数某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图(1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时, y与x的函数关系式;(2)若某户该月用水21吨, 则应交水费多少元?2、电费中分段函数今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x≤100和x≥100时， y与x的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？1.2一次函数与一次函数构成的分段函数1、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示．（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖励小强家务劳动的？（2）分别写出当0≤x≤20和x≥20时， y与x的函数关系式；（3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？1.3常数函数与一次函数构成的分段函数例1、有甲、乙公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为元；（2）分别写出当0≤x≤100和x≥100时， y与x的函数关系式（3）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？二、三段型分段函数如图7，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P 在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）三、四段型分段函数例7、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图11，是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图像。
分段函数
（2）若f(a)=3,求a的值；
（3）求f(x)的定义域与值域.
（1） f ( 7 ) 7 2 1 4 4 4
7 1 1 1 f f ( ) f ( ) 2 4 4 4 2
7 1 f f f ( ) f ( ) 1 4 2 （2）∵f(a)=3,
y
x 2, x 2 y 2 x , x 2
o
1
2
x
x2
x2
定义： 有些函数在它的定义域中，对于自变量 x的不同取值范围，对应法则不同，这样的 函数通常称为分段函数.
注意： 1、分段函数是一个函数，而不是几个函数 . 2、分段函数的定义域是各段定义域的 并集，值域也是各段值域的并集
1 1 = 2× 2×(2+1)-(2-x)(2-x) 3 1 2 5 = - 2 x +2x- 4 ≤x≤2. 2
2×2 1 1 x2 8
×
1 3 ≤x＜ . 2 2
2
＋（x-
1 ）× 2 2
∴所求函数的关系式为 1 2 1 x 0x 2 2 1 1 1 3 y x x 2 8 2 2 3 1 x 2 2x 5 x2 2 4 2 ∴函数的定义域为［0,2］,值域为[0, ] 【评析】分段函数的定义域是各部分x的取值范围的并集,值 域也是y在各部分值的取值范围的并集,因此,函数的解析式、 定义域、值域通常是逐段求解,最后综合求出.
求f{f［f(3)］}
【分析】求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值 在定义域的哪个子区间，然后用与这个区间相对应的对应关 系来求函数值.
【解析】∵3∈［2,+∞),
∴f(3)=32-4×3=-3. ∵-3∈(-∞,-2］,
分段函数的类型
分段函数的类型
分段函数是数学中一个重要的概念。
它应用于生产、图形计算等多个领域，引用在很多成功的应用中，例如运筹学与机器学习。
分段函数是一种“离散化”的函数，由一些称为子函数(子分段)的函数组成，子
函数可以是不同类型的函数，它们通常在限定的范围内变化、分开且独立。
分段函数的总函数可以从这些子函数构建出来，从而形成一个可以用于单独计算的函数。
一般来说，分段函数可以分为三种：线性、不等式、多项式函数。
线性函数是在离散点之间连接起来形成的一条折线，而不等式函数则不同，它可以把离散点之间的部分连接起来，形成一条曲线。
多项式函数是在把离散点之间连接起来的所有部分拟合成多项式函数，这样会形成一条更加复杂的折线。
此外，分段函数还可以包含其他复杂的元素，比如曲线，它可以把离散点之间的独立曲线连接起来，形成一个更为复杂的变量函数。
分段函数的相关研究广泛应用于机器学习算法、计算模拟、概率论和经济学中。
借助分段函数，人工智能技术可以解决复杂的优化问题；由于分段函数易于分解，复杂的计算任务也可以很容易地解决。
在经济学中，由于分段函数的稳定性，可以进行安全、有效的金融分析和决策。
总之，分段函数具有广泛的应用价值，它可以有效地帮助我们解决机器学习、计算模拟以及经济分析和决策当中繁杂的问题，必将促进科学技术的更进一步发展。
分段函数
分段函数分段函数：在函数定义域内，对于变量x 取值的不同区间，有着不同的对应关 系。
分段函数是一个函数，不是几个函数。
（分段函数的定义域是各 段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
） 分段函数的求解：典型例题： 0,l o g 3>x x例1：已知函数=)(x f 0,2≥x x ，则))91((f f =1,3≤x x例2：已知函数=)(x f 1,>-x x ，若 =)(x f 2，则x=例3：书上P27的练习2,3题练习：1.设()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为（ ）A.0B.1C.2D.32.设函数10221,0,()()1,0x x f x f x x x -⎧-≤⎪=>⎨⎪>⎩若，则0x 的取值范围是（ ） A ．)1,1(-B ．),1-(+∞C ．),0()2,(+∞--∞D ．),1()1,(+∞--∞ 1， x>00, x=0 1，x 为有理数3.设=)(x f -1， x<0,=)(x g 0，x 为无理数，则))((∏g f 的值为0,2>x x4.设函数=)(x f 0,1≤+x x ，若0)1()(=+f a f ，则实数a 的值等于5.已知函数实数a ≠0 ,函数=)(x f 1,2<+x a x ，若)1()1(a f a f +=- ， 则a= 1,2≥--x a x函数的单调性一、增函数的概念（1）一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，如果对于定义域A 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数．注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．（2）函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间。
高中数学一轮复习之分段函数
第3节分段函数【基础知识】1.在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．2．分段函数是一个函数，而不是几个函数；3．分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.【规律技巧】1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．3.研究分段函数的性质，需把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．4. 含绝对值的函数是分段函数另一类表现形式.【典例讲解】例1、设函数f(x)＝2－x，x ∈－∞，1，x 2，x ∈[1，＋，若f(x)>4，则x 的取值范围是______．【方法技巧】求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．【变式探究】已知f(x)的图象如图，则f(x)的解析式为________．例2已知实数0a ，函数1,21,2x a x x a x xf ，若a f a f 11，则a 的值为（）A ．B ．C ．D．【答案】A例3在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是A. 32人B. 35人C. 40人D. 45 人【答案】B 【针对训练】1、作出函数||()x f x xx的图象.【答案】见解析2、已知函数1,1(),1xex f x x x，那么(2)f 的值是（）A ．0 B． C．21eD ．2【答案】D3、设函数,0,22xxx x xxf 若2af f ，则实数a 的取值范围是______【答案】2a 4、设函数246,0()6,0xx xf x x x，则不等式()(1)f x f 的解集是（）A.B. C. D.【答案】A5、已知函数2log ,0,()3,0,xx x f x x ≤，则14ff．【答案】19【练习巩固】1.设)10()],6([)10(,2)(xxf f x x x f 则5f 的值为（）A ．10B ．11C ．12 D．13【答案】B【解析】这是分段函数，求值时一定注意自变量所在的范围，不同范围选用不同的表达式．(5)119151311f f f f f f f ，故选B ．2.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]，上，0111()201xx ax f x bxx ≤≤≤，，，，其中a bR ，．若1322ff，则3a b 的值为．【答案】10 【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴11f f ，即21=2b a ①.又∵311=1222ff a ，1322f f，∴141=23b a ②. 联立①②，解得，=2. =4a b 。
分段函数
函数 中 的取值 范 围时 ，要确 保做
赢 熹
的值 域是 （ ）
．
后ｇ － ￣ｆ （ ３ ） 的值代 入 函数ｌ ， （ ） 相应
的解析式中， 求 ３ ） ） ．分段 函数 ｙ ＝ ｔ 与 函数ｙ ） 的图象 自左 向右依 次 交 于 四个 不 同 点Ａ， 曰， Ｃ ， Ｄ ．若 Ａ Ｂ ＝ Ｂ Ｃ ． 则实数ｔ 的值为— 思索 — 一
号 ≤ ６ 觯
增 函数 ．则 实 数 ａ 的取 值 范 围 是
性， 偶 函数 的 图 象 关 于Ｙ 轴对称 ， 抛 物线 的图 象关于对称轴 对称 ， 从而 得 到点 Ｂ 的 坐标 ． 求出 的值 ．
围， 即可得厂 （ ） 的值域．
破解
…
由题 意 ：
思索
分段 函数单 调递增 ， 则
ｂ ＝ ２ ， ｃ 一１ ．Ａ， Ｂ两 点 关 于 ＝ 一 １ 对称 ， 所 以 ＋ Ｂ ＝ 一 ２； Ｂ， Ｃ两 点 关 于 Ｙ 轴 对 称， ＡＢ ＝ Ｂ Ｃ，所 以Ｘ Ｂ ＝ — Ｘ ＿ Ａ ＋ ＝ － Ｘ — ｃｘ ｓ ＋ ｘ ｃ ＝Ｏ，
，
ｆ
＋ ２ ， ∈（ 一 ∞， 一 １ ） ｕ（ ２ ， ＋ 。 。 ） ，
一
１ ． 分段函数 的定义域和值域
分 段 函数 的 定 义 域 为 每一 段 函数定义域的并集 ，在表示每一段
到 定 义 域不 重 不漏 ，即交 集 为 空 集 ，并集 为整个定义域．值域应 是
其 定 义域 内不 同子 集上 各 关 系 式 的值域 的并集．
倒１ 设函数ｇ （ ） ＝ ｚ 一 ２ （ ∈
是几个 函数 ．只不过在定义域 的不
（ ４ ） 画分 段 函数 图象 时一 定要
函数中的分段与分段函数的应用
函数中的分段与分段函数的应用函数是数学中的重要概念，它描述了变量之间的关系。
在实际问题中，有些情况下函数的定义可能会根据不同的输入值而发生变化，这就涉及到了函数中的分段。
分段函数是指在定义域的不同区间上，函数的定义方式不同。
本文将探讨函数中的分段以及分段函数的应用。
一、函数中的分段在函数中，分段是指函数的定义在不同的区间上有所不同。
这种情况下，我们可以使用不同的公式或表达式来描述函数在不同区间上的行为。
常见的分段函数有三种形式：分段常数函数、分段线性函数和分段定义函数。
1. 分段常数函数分段常数函数是指在不同的区间上，函数的取值为常数。
例如，考虑函数f(x)，当x小于0时，f(x)等于-1；当x大于等于0时，f(x)等于1。
此时，函数f(x)可以表示为：f(x) =-1, x < 01, x ≥ 02. 分段线性函数分段线性函数是指在不同的区间上，函数的定义为线性函数。
例如，考虑函数g(x)，当x小于0时，g(x)等于x；当x大于等于0时，g(x)等于2x。
此时，函数g(x)可以表示为：g(x) =x, x < 02x, x ≥ 03. 分段定义函数分段定义函数是指在不同的区间上，函数的定义方式不同。
例如，考虑函数h(x)，当x小于0时，h(x)等于x^2；当x大于等于0且小于1时，h(x)等于x；当x 大于等于1时，h(x)等于1。
此时，函数h(x)可以表示为：h(x) =x^2, x < 0x, 0 ≤ x < 11, x ≥ 1二、分段函数的应用分段函数在实际问题中有广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 温度转换在温度转换中，摄氏度和华氏度之间的关系可以使用分段函数来表示。
当给定摄氏度时，可以使用以下分段函数将其转换为华氏度：F(x) =1.8x + 32, x ≥ -273.15无定义, x < -273.15其中，-273.15是绝对零度，低于此温度时无法进行温度转换。
考点04 分段函数(解析版)
考点4 分段函数以及应用一、 知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:（1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.（3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。
（4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x >0,x -<0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f(x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数.（6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题.（7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决.（8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.（10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可.（11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.（12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围.2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题.将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结，对今后考题规律作以展望.二、题型与相关高考题解读 1.分段函数求值1.1考题展示与解读例1.（2017山东文9）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【命题意图探究】本题考查了分段函数求值及分类整合思想是中档试题. 【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【解题能力要求】分析问题能力、分类整合思想【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 1.2【典型考题变式】1.【变式1：改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧≥+-<<+2,8220,2x x x x x ，若)2()(+=a f a f ，则)1(a f =（ ）A.165 B. 2 C.6 D.217【答案】B【解析】由2x ≥时()28f x x =-+是减函数可知,若2a ≥,则()()2f a f a ≠+,所以02a <<,由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++,解得1a =,则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,故选B.2. 【变式2：改编结论】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()12f a =,则a = （ ）B.41 B. 45 C. 41或45D. 2【答案】C【解析】由题意知，⎪⎩⎪⎨⎧=<<2110a a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-≥21)1(21a a ，解得14a =或45=a ，故选C【变式3：改编问法】已知f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）=，则f （﹣）=（ ）A ．B ．C ．1D ．﹣1【答案】C ．【解析】∵f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）=，则f （﹣）=﹣f （）=﹣f （）=﹣log 2=1，故选C ．【变式4：函数迭代】已知a ∈R ，函数()24,2,3, 2.x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a = ． 【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值．【解析】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2． 2.分段函数的最值与值域2.1考题展示与解读例2【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.【命题意图探究】本题主要考查分段函数的最值及分类整合思想、数形结合思想. 【答案】2，(,1)-∞-.【解析】如图作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =-是函数()g x 的极大值点，①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，因此()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-，故填：2，(,1)-∞-．【解题能力要求】分类整合思想、数形结合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】先根据各段函数的图象与性质求出各段函数在相应区段上的值域，这些值域的并集就是函数的值域. 2.2【典型考题变式】 【变式1：改编条件】设函数的最小值是1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，4]B ．[4，+∞）C ．（﹣∞，5]D ．[5，+∞） 【答案】B【解析】由题知，当x ＜1时，f （x ）=x 2﹣4x+a=（x ﹣2）2+a ﹣4，且为减函数，可得f （x ）＞f （1）=a ﹣3，由x≥1时，f （x ）递增，可得f （x ）的最小值为f （1）=1，由题意可得a ﹣3≥1，即a≥4，故选B ．【变式2：改编结论】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩，讨论)(x f 的值域.【答案】当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞； 当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞； 当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【解析】如图作出函数3()3h x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33h x x =-，知1x =-是函数()h x 的极大值点，1=x 是函数()h x 的极小值点，当1-<a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为)2(33a a a --- =0)1)(1(<-+a a a ，所以a a a 233-<-，所以函数)(x f 的值域为)2,(a --∞；当21≤≤-a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]2,(-∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为22≤-a ，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞；当2>a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为a a a 323-<-，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞；综上所述，当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞； 当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞； 当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数g （x ）=asin （x ）﹣2a+2（a ＞0），若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣，1] B ．[，] C ．[，] D ．[，2] 【答案】B【解析】当x ∈[0，]时，y=﹣x ，值域是[0，]；x ∈（，1]时，y=，y′=＞0恒成立，故为增函数，值域为（，1]．则x ∈[0，1]时，f （x ）的值域为[0，1]，当x ∈[0，1]时，g （x ）=asin （x ）﹣2a+2（a ＞0），为增函数，值域是[2﹣2a ，2﹣]，∵存在x 1、x 2∈[0，1]使得f （x 1）=g （x 2）成立，∴[0，1]∩[2﹣2a ，2﹣]≠∅，若[0，1]∩[2﹣2a ，2﹣]=∅，则2﹣2a ＞1或2﹣＜0，即a ＜，或a ＞．∴a 的取值范围是[，]，故选B ．3.分段函数的解析式3.1考题展示与解读例3．（2021年高考天津卷9）设a ∈R ，函数()()()22cos 22,,215,x a x a f x x a x a x aπ-π<⎧⎪=⎨-+++≥⎪⎩，若函数()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是 （ ）A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B ．7511,2,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．711,2,344⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【解题能力要求】本题主要考查分段函数、函数零点、数形结合思想、转化与化归思想，是难题. 【答案】A【分析】由()222150x a x a -+++=最多有2个根，可得()cos 220x a π-π=至少有4个根，分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出． 【解析】()222150x a x a -+++=最多有2个根，()cos 220x a ∴π-π=至少有4个根，由22,2x a k k ππ-π=+π∈Z 可得1,24k x a k =++∈Z ，由1024k a a <++<可得11222a k --<<-． （1）x a <时，当15242a -≤--<-时，()f x 有4个零点，即7944a <≤；当16252a -≤--<-，()f x 有5个零点，即91144a <≤；当17262a -≤--<-，()f x 有6个零点，即111344a <≤．（2）当x a ≥时，()()22215f x x a x a =-+++，()()()22Δ414582a a a =+-+=-，当2a <时，∆<0，()f x 无零点；当2a =时，0∆=，()f x 有1个零点； 当2a >时，令()()22215250f a a a a a a =-+++=-+≥，则522a <≤，此时()f x 有2个零点；∴若52a >时，()f x 有1个零点．综上，要使()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则应满足7944522a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩，则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦．【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况． 【方法技巧归纳】较复杂的函数零点个数问题，常转化为对应方程解得个数问题，再通过移项、局部分离等方法转化为两边都是熟悉函数的方程解得个数问题，再转化为这两个函数的交点个数问题，画出对应函数的函数的图象，利用数形结合思想求解. 3.2【典型考题变式】【变式1：改变条件】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) （A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.【变式2：改编条件】已知函数f（x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}【答案】D【解答】函数f（x）=，可得f（1﹣x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，即为f（1﹣x）=kx﹣k+有三个不同的实根，作出y=f（1﹣x）和y=kx﹣k+的图象，当直线y=kx﹣k+与曲线y=（x≤1）相切于原点时，即k=时，两图象恰有三个交点；当直线y=kx﹣k+与曲线y=（x﹣2）2（1＜x＜2）相切，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k=2（m﹣2），且km﹣k+=（m﹣2）2，解得m=1+，k=﹣2，即﹣2＜k≤0时，两图象恰有三个交点；综上可得，k的范围是（﹣2，0]∪{}，故选D．【变式3：改编结论】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若方程()()=0f x g x - 恰有2个不同的解，则b 的取值范围是( ) （A ）()72,{}4+∞⋃ （B ）()2,+∞ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()(2)0f x f x b +--=有2个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知2b >或47=b ，故选.A.【变式4：改编问法】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =x x 42-，则方程2)(-=x x f 解的个数为 . 【答案】3【解析】当0<x 时，0>-x ，所以x x x f 4)()(2+-=-，因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-=x x 42+，所以x x x f 4)(2--=，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥-<--=0,404)(22x x x x x x x f ，，所以2)()(+-=x x f x g =⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+--0,250,2522x x x x x x ，由)(x g y =的图象知，)(x g y =有3个零点，所以方程2)(-=x x f 解的个数为3.4.分段函数图像4.1考题展示与解读例4．（2021高考上海卷14）已知参数方程[]334,1,12x t t t y ⎧=-⎪∈-⎨=⎪⎩，下列选项的图中，符合该方程的是 （ ）【答案】B【解析】当0,0,0,t x y ===∴过原点，排除A ；当1t =时1,0x y =-=，排除C 和D ；当31230,340,0,,22x t t t t t =-===-=时，1230,,22y y y ==-=，故选B ． 4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，g （x ）=f （x ）+x +a ．若g （x ）存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0）B ．[0，+∞）C ．[﹣1，+∞）D ．[1，+∞）【命题意图探究】本题主要考查利用分段函数图像解含参数函数零点问题，是难题. 【答案】C【解析】由g （x ）=0得f （x ）=﹣x ﹣a ，作出函数f （x ）和y =﹣x ﹣a 的图象如图，当直线y =﹣x ﹣a 的截距﹣a ≤1，即a ≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g （x ）存在2个零点，故实数a 的取值范围是[﹣1，+∞），故选C ．【解题能力要求】数形结合思想、转化思想、分类整合思想、运算求解能力【方法技巧归纳】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为()0F x >的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围.【变式2：改编条件】已知函数()22,0,{ ,0x x f x x x ≤=>，若函数()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是A. ()(),14,-∞-⋃+∞B. ][(),14,-∞-⋃+∞ C. [)()1,04,-⋃+∞ D. [)[)1,04,-⋃+∞【答案】C【解析】()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，等价于()y f x =与()1y k x =-有两个交点，同一坐标系，画出()y f x =与()1y k x =-的图象，直线过()0,1时， 1k =-，直线与()20y xx =≥，相切时4k =，由图知， [)()1,04,k ∈-⋃+∞时，两图象有两交点，即k 的取值范围是[)()1,04,-⋃+∞，故选C.【变式3：改编结论】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，则函数||)(x x f y -=零点个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】A【解析】函数||)(x x f y -=零点个数，即为方程||)(x x f =解得个数，即为函数)(x f y =与函数||x y =交点个数，画出函数()f x 的图象与函数||x y =，由图像知，函数)(x f y =与函数||x y =交点个数0， 所以函数||)(x x f y -=零点个数为0，故选A.【变式4：改编问法】已知函数，则函数f (x )的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】函数，当x ＜0时，函数是二次函数，开口向下，对称轴为x=﹣1，排除选项B ，C ；当x≥0时，是指数函数向下平移1单位，排除选项A ，故选D ．5.分段函数性质5.1考题展示与解读例5【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}【命题意图探究】本题主要考查分段函数的性质及函数方程解的个数问题，考查数形结合思想、运算求解能力，是中档题. 【答案】C【解析】由()f x 在R 上递减可知43020131a a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩，解得1334a ≤≤，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是123[,]{}334，故选C.【解题能力要求】数形结合思想、分类整合思想、运算求解能力. 【方法技巧归纳】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 5.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，] B ．[，+∞）C ．[，]D ．（，）【答案】C【解析】由于函数f （x ）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，2a≥e ﹣a ，解得a≥．排除A ，D ，当a=2时，x=1可得e x ﹣2x 2=e ﹣2；2a+lnx=4＞e ﹣2，显然不成立，排除B ，故选C ．【变式2：改编结论】已知()2243,0,23,0,x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩不等式()()2f x a f a x +>-在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B.C.D.【答案】A【解析】二次函数243x x -+的对称轴是2x =，所以该函数在(],0-∞上单调递减； 2433x x ∴-+≥，同样可知函数223x x --+， 2233x x ∴--+<，在()0,+∞上单调递减， ()f x ∴在R 上单调递减，；，所以由()()2f x a f a x +>-得到2x a a x +<-，即2x a < , 2x a ∴<在[],1a a +上恒成立，()21;2a a a ∴+<∴<-，所以实数a 的取值范围是(),2-∞-，故选A.【变式3：改编问法】已知函数则下列结论错误的是（ ）A ．f （x ）不是周期函数B ．f （x ）在上是增函数C ．f （x ）的值域为[﹣1，+∞）D ．f （x ）的图象上存在不同的两点关于原点对称 【答案】D 【解析】函数的图象如图所示，则f （x ）不为周期函数，A 正确；f （x ）在[﹣，+∞）递增，B 正确；f （x ）的最小值为﹣1，无最大值，则C 正确；由于x ＜0时，f （x ）=sinx ，与原点对称的函数为y=sinx （x ＞0），而sinx=x 在x ＞0无交点，则D 不正确，故选D ．6.分段函数的综合应用6.1考题展示与解读例2【2018全国卷Ⅰ】设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【命题意图探究】本题主要考查分段函数不等式及分类整合思想，是中档题. 【答案】D【解析】当0x ≤时，函数()2xf x -=是减函数，则()(0)1f x f =≥，作出()f x 的大致图象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2)+<f x f x ，则需102021x x x x +<⎧⎪<⎨⎪<+⎩或1020x x +⎧⎨<⎩≥，所以0x <，故选D ．【解题能力要求】分类整合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.6.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，则不等式f （x+2）＜f （x 2+2x ）的解集是（ ）A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】函数f （x ）=，可得x≥0，f （x ）递增；x ＜0时，f （x ）递增；且x=0时函数连续，则f （x ）在R 上递增，不等式f （x+2）＜f （x 2+2x ），可化为x+2＜x 2+2x ，即x 2+x ﹣2＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2，则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故选C ．【变式2：改编结论】．已知函数(),0{2,lnx x e f x lnx x e<≤=->，若正实数,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ）A. ()2,e eB. ()21,e C. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 21,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】作出)(x f 的图像，不妨设c b a <<，由图知，201a b e c e <<<<<<,由题知，|ln ||ln |b a =，即b a ln ln =-，所以0)ln(ln ln ==+ab b a ，所以ab =1,则c abc =),(2e e ∈,故选A.【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数y=f （x ）﹣a 有四个不同的零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2+x 3x 4的取值范围为（ ） A ．[4，5） B ．（4，5] C ．[4，+∞） D ．（﹣∞，4]【答案】A【解析】当x ＞0时，f （x ）=x+﹣3≥2﹣3=1，可得f （x ）在x ＞2递增，在0＜x ＜2处递减，由f（x ）=e，x≤0，当x ＜﹣1时，f （x ）递减；﹣1＜x ＜0时，f （x ）递增，可得x=﹣1处取得极小值1，作出f （x ）的图象，以及直线y=a ，可得e=e=x 3+﹣3=x 4+﹣3，即有x 1+1+x 2+1=0，可得x 1=﹣2﹣x 2，﹣1＜x 2≤0，x 3﹣x 4=﹣=，可得x 3x 4=4，x 1x 2+x 3x 4=4﹣2x 2﹣x 22=﹣（x 2+1）2+5，在﹣1＜x 2≤0递减，可得所求范围为[4，5），故选A ．三、课本试题探源必修1 P39页习题1.3 A 第6题：已知函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =)1(x x +.画出函数)(x f 的图象，并求出函数的解析式.【解析】当0<x 时，0>-x ，所以)1()(x x x f --=-， 因为函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数， 所以)1()()(x x x f x f --=-=-， 所以)1()(x x x f -=， 所以函数的解析式⎩⎨⎧≥+<-=0),1(0),1()(x x x x x x x f ，函数图象如下图所示：四．典例高考试题演练一、单选题1．（2021·四川成都零模（文））已知函数2log (2),1()e ,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则(2)(ln 4)f f -+=（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【分析】分别求出()2f -和()ln 4f 的值再求它们的和，从而可得正确的选项. 【详解】()22log 42f -==，()ln4ln 44f e ==，故(2)(ln 4)6f f -+=，故选：C. 【点睛】易错点睛：本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据自变量的大小选择合适的解析式来计算，本题属于基础题.2．（2021·四川射洪模拟（理））定义函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[1.3]1=，[ 1.5]2-=-，[2]2=.当*[))0,(x n n N ∈∈时，()f x 的值域为n A .记集合n A 中元素的个数为n a ，则2020211i i a =-∑的值为（ ） A ．40402021B ．20192021C ．20192020D ．20191010【答案】D【分析】先根据条件分析出当[)0,x n ∈时，集合n A 中的元素个数为222n n n a -+=，进而可得111211n a n n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，再结合裂项相消法进行求和可得结果. 【详解】因为[][)[)[)[)0,0,11,1,22,2,3......1,1,x x x x n x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪-∈-⎪⎩，所以[][)[)[)()[)0,0,1,1,22,2,3......1,1,x x x x x x x n x x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪-∈-⎪⎩，所以[]x x 在各个区间中的元素个数分别为：1,1,2,3,4,......,1n -，所以当[)*0,,x n n N ∈∈时，()f x 的值域为n A ，集合n A 中元素个数为：()()2121123 (1122)n n n n n a n --+=+++++-=+=，所以()1112211n n a n n ⎛⎫=-≥ ⎪--⎝⎭， 所以2020211111112019212...22112232019202020201010i ia =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑，故选：D. 3．（2021·山东高三其他模拟）已知函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1a ∈B ．3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．30,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】C 【分析】 将条件()()12120f x f x x x -<-等价于函数函数()f x 为定义域上的单调减函数，由分段函数的单调性要求，结合指数函数、一次函数的单调性得到关于a 的不等式组，求解即得. 【详解】由题意，函数()f x 对任意的12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，即函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩为R 上的减函数，可得0120,123a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-+⎩解得304a <≤，故选:C.4．（2021·江苏南京模拟（理））我们知道，任何一个正实数N 都可以表示成10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈.定义：(),00,0N n W N N n ≥⎧⎨<⎩的整数部分的位数＝的非有效数字的个数，如()()()2211.2103,(1.2310)2,3102, 3.001101W W W W --⨯=⨯=⨯=⨯=，则下列说法错误的是（ ）A ．当1,1M N >>时，()()()W M N W M W N ⋅=+B ．当0n <时，()W N n =-C ．当0,()1n W N n >=+D ．若1002,lg 20.301N ≈＝，则()31W N = 【答案】A【分析】A ．理解()W N 的含义，举例分析即可；B ．根据0n <分析所表示数的特点，由此可得()W N 的结果；C ．根据0n >分析所表示数的特点，由此可得()W N 的结果；D ．先将N 化为10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈的形式，然后计算出()W N 的值.【详解】当[)0,100N ∈时，N 的整数部分位数为2，当[)100,1000N ∈，N 的整数部分位数为3，一般地，)()110,100,1,2,3,4,......n n N n +⎡∈=⎣时，N 的整数部分位数为1n +； 当[)0.1,1N ∈时，N 的非有效数字0的个数为1，当[)0.01,0.1N ∈时，N 的非有效数字0的个数为2，一般地，)()110,101,2,3,4,5,......n n N n +⎡∈=-----⎣时，N 的非有效数字0的个数为n -，A ．取210,10M N ==，所以()()()()33,2,104W M W N W M N W ==⋅==，()()325W M W N +=+=，所以()()()W M N W M W N ⋅≠+，故错误；B ．当0n <时，)11010,10n n n N a +⎡=⨯∈⎣，N 的非有效数字0的个数为n -，所以()W N n =-，故正确；C ．当0n >时，)11010,10n n n N a +⎡=⨯∈⎣，N 整数部分位数为1n +，所以()1W N n =+，故正确； D ．因为1002N ＝，所以lg =100lg230.1N ≈，所以30.110N ≈，所以)303110,10N ⎡∈⎣，所以()30131W N =+=，故正确，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解()W N 的含义以及计算的方法， 通过对10n N a =⨯的分析，首先判断n 与0的关系，然后决定采用哪一种计算方法（类似分段函数）.5．（2021·安徽皖江名校联考）已知函数()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩，方程()10f x -=有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,1)2B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．()1,+∞【答案】B【分析】根据已知条件对a 进行分类讨论：01a <<、1a >，然后分别考虑每段函数的单调性以及取值范围，确定出方程()10f x -=有两解时a 所满足的不等式，由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩，所以0a >且1a ≠， 当01a <<时，()f x 在(,1]x ∈-∞-时单调递增，所以()()max 11f x f =-=； 又()f x 在()1,x ∈-+∞时单调递增，且()()12f x f a >-=， 因为方程()10f x -=有两解，所以21a <，所以102a <<； 当1a >时，()f x 在(,1]x ∈-∞-时单调递减，()()min 11f x f =-=； 又()f x 在()1,x ∈-+∞时单调递增，()()12f x f a >-=， 因为方程()10f x -=要有两解，所以21a <，此时不成立. 综上可得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：B.【点睛】方法点睛：根据方程解的个数求解参数范围的常见方法：方法（1）：将方程解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过图象直观解答问题；方法（2）：若方程中有指、对数式且底数为未知数，则需要对底数进行分类讨论，然后分析()f x 的单调性并求解出其值域，由此列出关于参数的不等式，求解出参数范围.6．（2021·山东济南模拟）若函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．(]0,2C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得. 【详解】因函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则有2y ax =-在(,2]-∞上递增，()()32ln 1y a x =--在(2,)+∞上也递增， 根据增函数图象特征知，点(2,22)a -不能在点(2,0)上方，于是得0320220a a a >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩ ，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围是(]0,1. 故选：A7．（2021·山西名校联考）已知函数()cos ()ln f x x g x x ==，用max{,}a b 表示a ，b 中的最大值，则函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】分1x >，1x =，01x <<三种情况讨论可得结果. 【详解】 分三种情况讨论：① 当1x >时，()ln 0g x x =>，所以()()0h x g x ≥>，故()h x 无零点；② 当1x =时，(1)cos110f =-<，(1)0g =，所以(1)0h =，故1x =是()h x 的零点；③ 当01x <<时，()ln 0g x x =<，所以()f x 的零点就是()h x 的零点.显然，()cos f x x =(0,1)上单调递减，且(0)10=>f ，(1)cos110f =-<， 故()f x 在(0,1)内有唯一零点，即()g x 在(0,1)内有唯一零点. 综上可知，函数()h x 在0x >时有2个零点. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：分1x >，1x =，01x <<三种情况讨论.8．（2021·北京市十一学校高三其他模拟）已知函数()22,0313,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a->-成立，则满足条件的整数a 的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．无数【答案】C 【分析】作出f （x ）的函数图象，利用直线的斜率，根据不等式只有1整数解得出a 的范围． 【详解】作出f （x ）的函数图象如图所示：()1f x x a--表示点(,())x f x 和点(,1)a 所在直线的斜率，即曲线上只有一个点(,())x f x 且x 是整数和点(,1)a 所在直线的斜率大于零.如图所示，动点(,1)a 在直线1y =上运动.因为(0)0,(1)3,(2)0f f f ===,当[1,0]a ∈-时，只有点(1,3)这个点满足()10f x x a ->-，当[1,2]a ∈时，只有点(0,0)这个点满足()10f x x a->-. 所以a ∈][1,01,2⎡⎤-⋃⎣⎦.所以满足条件的整数a 有4个.故选：C.【点睛】关键点睛：本题主要考查函数的图像，考查直线的斜率，关键在于考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力. 二、多选题9．（2021·重庆高三三模）()f x 是定义在R 上周期为4的函数，且()(](]1,112,1,3x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，则下列说法中正确的是（ ） A ．f ()x 的值域为[]0,2B ．当(]3,5x ∈时，()f x =C ．()f x 图象的对称轴为直线4,x k k Z =∈D ．方程3f x x 恰有5个实数解【答案】ABD 【分析】画出()f x 的部分图象结合图形分析每一个选项即可. 【详解】根据周期性，画出()f x 的部分图象如下图所示，由图可知，选项A ，D 正确，C 不正确；根据周期为4，当(3,5]x ∈时，()(4)f x f x =-==B 正确.故选：ABD.10．（2021·辽宁铁岭二模）设函数()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 值域为[)1,-+∞C ．存在00x <，使得()()00f x f =D ．()f x 与()f x -具有相同的单调区间【答案】BC【分析】根据函数奇偶性的定义判断A ，由分段函数求值域确定B ，由余弦函数性质确定C ，由二次函数及余弦函数的单调性确定D.【详解】因为()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≤-=⎨>⎩.所以()()f x f x -≠，()f x 不是偶函数，故选项A 错误. 当0x ≥时，211x +≥，当0x <时，cos [1,1]x ∈-，所以()f x 值域为[)1,-+∞，故B 正确； 因为()01f =，()21f π-=，选项C 正确.因为()f x 具有单调性的区间与()f x -具有单调性的区间不同，是数轴上关于原点对称的，选项D 错误(由()f x -表达式也可以看出).故选：BC 。