第三章-2惯性量的测量全解
大学物理.第三章.刚体的转动
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
惯性质量的测量实验报告
惯性质量的测量实验报告惯性质量的测量实验报告引言惯性质量是物体所具有的抗拒外力改变其运动状态的性质。
在物理学中，测量物体的质量是一个基本实验。
然而，传统的质量测量方法常常受到外界因素的干扰，导致结果的不准确。
为了解决这个问题，本实验设计了一种新的方法，旨在准确测量物体的惯性质量。
实验设备和步骤本实验所使用的设备包括一个特制的测量平台、一台高精度的电子天平和一根细线。
首先，将测量平台放置在水平台面上，并确保其稳定性。
然后，将待测物体放置在测量平台上，并用细线将其固定。
接下来，使用电子天平测量物体的质量，并记录下结果。
实验原理本实验的关键在于利用物体的惯性质量来测量其真实质量。
当物体受到外力作用时，由于其惯性，物体会产生相应的加速度。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
因此，通过测量物体在给定外力下的加速度，可以推导出其真实质量。
实验结果经过多次实验测量，我们得到了一系列的数据。
通过对这些数据进行处理和分析，我们得到了物体的惯性质量。
实验结果表明，这种新的测量方法相比传统方法更为准确和可靠。
实验误差分析在实验过程中，我们发现了一些可能导致误差的因素。
首先，测量平台的稳定性对实验结果有很大影响。
如果平台不稳定，物体可能会受到额外的力，导致测量结果不准确。
其次，电子天平的精度也会影响实验结果的准确性。
如果天平的精度不够高，测量结果可能存在一定的误差。
最后，细线的弹性也可能对实验结果产生影响。
当物体受到外力时，细线可能会有一定的伸缩，导致测量结果偏离真实值。
实验改进方案为了提高实验结果的准确性，我们可以采取一些改进措施。
首先，可以使用更稳定的测量平台，确保物体在测量过程中不受到额外的力。
其次，可以使用更高精度的电子天平，提高测量结果的准确性。
最后，可以使用更细的细线，减小其弹性对实验结果的影响。
实验应用惯性质量的测量在科学研究和工程应用中具有重要意义。
准确测量物体的质量是许多实验和工程项目的基础。
惯性测质量实验报告
一、实验目的1. 了解惯性测质量的基本原理和方法。
2. 掌握使用惯性秤进行物体质量测量的操作步骤。
3. 通过实验，验证牛顿第二定律在质量测量中的应用。
二、实验原理惯性测质量实验基于牛顿第二定律，即物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
通过测量物体在惯性秤上的振动周期，可以计算出物体的质量。
三、实验仪器1. 惯性秤2. 标准质量块3. 秒表4. 秒尺5. 计算器四、实验步骤1. 准备工作：将惯性秤放置在水平桌面上，确保其稳定。
将标准质量块放置在秤台上，调节游码，使横梁水平。
2. 测量标准质量块周期：将秒表置于易于观察的位置，使用秒尺测量标准质量块在惯性秤上的振动周期。
重复测量三次，求平均值。
3. 测量待测物体周期：将待测物体放置在秤台上，调节游码，使横梁水平。
使用秒表和秒尺测量待测物体在惯性秤上的振动周期。
重复测量三次，求平均值。
4. 计算质量：根据标准质量块的周期和待测物体的周期，利用公式计算待测物体的质量。
五、实验数据及处理1. 标准质量块周期（s）：T1 = 0.5s，T2 = 0.6s，T3 = 0.55s；平均值T = (0.5 + 0.6 + 0.55) / 3 = 0.55s。
2. 待测物体周期（s）：T1' = 0.4s，T2' = 0.45s，T3' = 0.43s；平均值T' = (0.4 + 0.45 + 0.43) / 3 = 0.433s。
3. 标准质量块质量（kg）：m = 0.5kg。
4. 待测物体质量（kg）：根据公式m' = (m T') / T，代入数据计算得待测物体质量m' = (0.5 0.433) / 0.55 ≈ 0.39kg。
六、实验结果分析通过实验，我们得到了待测物体的质量为0.39kg。
与实际质量存在一定的误差，这可能是由于以下原因：1. 惯性秤的精度有限，存在一定的误差。
2. 测量过程中，秒表和秒尺的读数误差。
第三章 刚体的定轴转动
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
惯性测速方案
惯性测速方案1. 引言在现代交通工具中，测速技术的发展已经成为了必不可少的一项功能。
惯性测速是一种常见的测速方法，通过对车辆的惯性进行测量来确定车辆的实时速度。
本文将介绍惯性测速的原理和实施方案。
2. 原理惯性是指物体在运动状态下保持匀速或保持静止的性质。
根据牛顿第一定律，没有外力作用于物体时，物体将保持其运动状态。
基于这一原理，惯性测速即通过测量车辆减速度或加速度的变化来计算车辆的速度。
惯性测速通常使用加速度传感器和陀螺仪来测量车辆的加速度和旋转角速度。
加速度传感器可以测量车辆沿x、y和z轴方向的加速度分量，而陀螺仪可以测量车辆绕x、y和z轴的旋转角速度。
通过对这些测量值进行积分，可以得到车辆的速度和位置信息。
3. 实施方案3.1 硬件设备惯性测速方案需要以下硬件设备：•加速度传感器：用于测量车辆沿x、y和z轴方向的加速度。
•陀螺仪：用于测量车辆绕x、y和z轴的旋转角速度。
这些硬件设备可以通过内置在车辆中或外部设备的方式进行安装。
3.2 数据采集惯性测速需要实时采集加速度和旋转角速度的数据。
这些数据可以通过传感器实时采集，并通过接口传输到数据处理单元。
3.3 数据处理数据处理单元对采集到的数据进行处理，包括对加速度和旋转角速度数据的滤波、积分和校正。
滤波可以消除噪声和不稳定性，使数据更加准确可靠。
积分可以将加速度和旋转角速度转换为速度和位置信息。
校正可以对数据进行修正，以消除各种误差和不确定性。
3.4 结果输出惯性测速方案通过数据处理单元得到车辆的实时速度和位置信息。
这些信息可以通过显示屏、计算机接口等方式进行输出，以提供给驾驶员或其他系统使用。
4. 应用领域惯性测速方案在许多领域都有广泛的应用，例如：•汽车行业：惯性测速可用于车辆导航系统、电子稳定控制系统等。
•航空航天工业：惯性测速可用于飞行器导航系统、自动驾驶等。
•运动健康领域：惯性测速可用于运动追踪设备、健身器材等。
5. 总结惯性测速是一种基于车辆惯性原理的测速方法，通过测量加速度和旋转角速度来计算车辆的实时速度和位置信息。
惯性质量的测量实验报告
惯性质量的测量实验报告实验目的：
1. 掌握惯性质量的测量方法和步骤。
2. 了解惯性质量的物理背景和测量原理。
实验仪器：
1. 万能弹簧测力计。
2. 电子秤。
3. 六边形杆。
4. 数字计时器。
实验原理：
惯性质量是指杆或棒的每个部分在转动时所产生的惯性力。
该
实验通过对六边形杆在旋转时所产生的惯性质量进行测量，来掌
握惯性质量的测量方法和步骤。
实验步骤：
1. 在水平面上放置六边形杆，并用万能弹簧测力计将其固定在
一端。
在杆的另一端挂上电子秤。
2. 用数字计时器测量六边形杆在固定一端旋转的时间，并记录
下来。
3. 通过万能弹簧测力计和电子秤分别测量固定一端和杆的质量，并记录下来。
实验结果：
1. 测量得到的固定一端的质量为m1=0.2kg，杆的质量为
m2=0.6kg。
2. 固定一端旋转10圈共耗时6.5秒。
实验数据处理：
1. 求出电子秤所测得的力：
F=mg=0.6×9.8=5.88N
2. 求出旋转时的角速度：
ω=2πn/t=2π×10/6.5=9.63rad/s
3. 求出惯性质量：
I=(F/m1)×(1/ω^2)=(5.88/0.2)×(1/9.63^2)=0.038kg·m^2 4. 计算出相对误差：
ΔI/I=|0.038-0.04|/0.04×100%=5%
结论：
本实验成功测量了六边形杆的惯性质量，并得出相对误差为5%。
实验结果与理论值较为接近，说明实验方法准确可靠。
第三章-动量-角动量
对于同一点的角动量对时间的变化率，这一结论称为质点的角
动量定理。
质点的角动量定理可以写为
Mdt dL
其中 Mdt 称为dt 时间内力矩 M对质点的冲量矩。两边
积分有：
t2 t1
Mdt
L2
L1
上式表明：作用于质点的合外力矩M 从 t1 到 t2 时间间隔 内的冲量矩，等于质点在同一时间间隔内角动量的增量。
力心
例4、一质点在x-y平面内运动，已知质点的质量为20 g，在A 、
B 两位置处的速率都是20 m/s ，vA与X轴成45 o角，vB垂 直于y轴。求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点
上外力对O点的总冲量矩（已知OA=2m，OB=4m）。
解： 由质点的角动量定理知：
y vB B
由A到B，角动量的方向均垂 直于x-y平面向上
标量式为
(3-5)
对于冲量 I 应注意：
（1）冲量是力对时间的积累作用。
I
t2
Fdt
t1
mv1
mv
mv2
（2）冲量是矢量，其方向与动量增量方向相同。 即 I 的方向与 P 或 mv 的方向相同。
对动量原理应注意：
（1） F 是指物体所受的合外力，I 是合外力的冲量。 （2） 动量原理是矢量式，常用其分量式。 （3） 动量原理用于惯性系。
②已知炮弹对炮车的相对速度为v ，仰角
为时速θ ，度由v速’ 的度水叠平加分原量理为，炮弹对V地的瞬
v’ x = v cosθ – V
系统总动量为 m (v cosθ - V) – MV 系统总动量的水平分量守恒方程：
m (v cos θ - V) – MV = 0
代入数字 解得：
v v
材料力学第三章-PPT
Me3
r / min
Me1 15915 N m
2
3
Me2 Me3 4774.5 N m
Me4 6366 N m
Me1 n Me4
1
4
6366 N·m
+
2)画扭矩图
4774.5 N·m
9549 N·m
【课堂练习】若将
Me2
Me4
从动轮3与4对调如
18
Me1 n Me3
图,试作扭矩图、
2
BC段内:
2,max
T2 Wp 2
π
14103 71.3MPa 100 103 3
3)校核强度
16
2,max >1,max且2,max<[ ] = 80MPa,满足强度条件、
36
§3-5 等直圆杆扭转时得变形·刚度条件
Ⅰ、 扭转时得变形
等直圆杆得扭转变形可用两个横截面得
相对扭转角(相对角位移) j 来度量。
GIP
j Tl 180 GIP
—单位为度 (º)
若圆轴在第i段标距li内Gi、IPi、Ti为常 数,则相对扭转角:
n
j
T i li
—单位为弧度(rad)
i1 Gi I Pi
n
j
T i li 180 —单位为度 (º)
i1 Gi I Pi
39
【例3-4】钢制实心圆轴中,M1=1 592 N·m,M2 = 955 N·m,M3 = 637 N·m,lAB = 300 mm,lAC = 500 mm,d = 70 mm ,切变模量G = 80 Gpa、试求横截面C 相对于
Me
Me
FS左=τ左dydz
FS右=τ右dydz
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线加速度传感器
线加速度传感器结构与工作原理
简单式线加速度传感器 工作原理：
电刷位移=敏感质量块位移-壳体位移 得到相应传递函数：
式中：
线加速度传感器
线加速度传感器结构与工作原理
简单式线加速度传感器
当稳态时： 上式表明，当飞机做等加速度运动时，敏感质量块惯性力 大小相等，方向相反，从而使质量块处于平衡位置x。 输出电压： 得到： 与弹簧力
线加速度传感器
线加速度传感器结构与工作原理
挠性摆式力矩反馈加速度传感器
输出电流与输入加速度成正比。
优点：高精度，高可靠性 作为主要的导航级加速度计，在惯性领域得到广泛的应用。
陀螺仪
精确测量飞行器的姿态角、航向角和角速度。 以经典力学为基础的陀螺仪---刚体转子陀螺仪、流体转子陀螺仪和振 动陀螺仪 以非经典力学为基础的陀螺仪---激光陀螺仪，光导纤维陀螺仪，压电 晶体陀螺仪，粒子陀螺仪和核子共振陀螺仪
第三章 测量与传感器
第二节 惯性量的测量
南京航空航天大学金城学院 赵宾 2010，11
线加速度传感器
加速度计用来测量飞机运动的加速度并输出加速度信号。 线加速度传感器 角加速度传感器 角加速度信号可以通过速率陀螺仪与微分电路得到。
线加速度传感器功能 装在飞机质心处 感受和测量飞机的法向加速度、纵向加速度和侧向加速度。
线加速度传感器的输出电压正比于飞机线加速度计，相位差180°
单位加速度所产生的相对位移量定义为线加速度传感器的分辨率：
可见，线加速度的分辨率反比于其固有频率的平方，即弹簧刚度越小， 质量块的质量越大，线加速度传感器的分辨率就越高。
线加速度传感器
线加速度传感器结构与工作原理
简单式线加速度传感器
优点：构造简单，价格低 缺点：电刷与电位计的摩擦力较大，线性特性差，灵敏度低 为解决上述问题，用力矩系统代替弹簧，增加浮子式阻尼器
陀螺仪
二自由度陀螺仪
特性
任意纬度陀螺仪的表观运动
欲使陀螺转子方向跟踪当地地垂线或者水平面，必须适 当的控制陀螺仪。
陀螺仪
单自由度陀螺仪
特性
单自由度陀螺只有一个框架，相对基座，少了一个转动自由度。
当基座绕自转轴z轴或框架轴x转动时，框架 仍起隔离作用，不会带动转子一起转动。
当基座绕y轴转动时，陀螺仪没 有转动自由度，强迫陀螺仪绕y 轴进动的同时，还强迫陀螺仪绕 框架轴进动并出现进动转角，z 轴将于y轴重合。 单自由度陀螺具有感受绕其输入轴转动的特性。
浮子摆式加速度传感器
线加速度传感器
线加速度传感器结构与工作原理
浮子摆式加速度传感器
组成：
浮子摆组合件，力矩器，信号传感器 放大器，密封壳体 浮子摆组合件---单摆，浮筒，信 号传感器转子和 力矩器转子 与简单线加速度传感器相同 单摆相当于活动质量块
工作原理：
线加速度传感器
线加速度传感器结构与工作原理
内环和外环组成的框架装置叫做万向支架。 自转轴和内环轴相互垂直且相交，内环轴和 外环轴相互垂直且相交。三轴相交于一点 ---万向交点。
对于自转轴，仅具有绕内环轴和外环轴两个 轴的转动自由度。
陀螺仪
二自由度陀螺仪
特性
1）进动性 二自由度陀螺仪受外力矩作用时，若外力矩 绕内环轴作用，则陀螺仪绕外环轴转动。
浮子摆式加速度传感器
根据力矩平衡，得到加速度计传感器输出的电压为：
挠性摆式力矩反馈加速度传感器
•当具有加速度a时，摆组件质量m产生 惯性力，并对挠性轴产生惯性力矩 M=mla。 •力矩M使摆组件绕输出轴转动，角位移 传感器将该角度位移转换为电信号，并 放大调解为直流信号输出。 •力矩器线圈输入电流，产生电磁力产生 恢复力矩
陀螺仪
单自由度陀螺仪
工作原理
单自由度陀螺可以测量飞机的转动角速度，所以称为角速度陀螺，也称 速率陀螺。 x/L轴：内环轴，信号输出轴 z轴：转子轴 y轴：测量轴
框架式角速度陀螺
陀螺仪
单自由度陀螺仪
工作原理
框架式角速度陀螺 原理： 沿OY轴有转速 ，沿OY轴出 现支架力矩ML ，在ML 作用下，陀 螺动量矩绕OX轴进动，进动角速 度为 ， 角出现后，弹簧产生 力矩 ，方向沿X轴正向。 在此力矩作用下，陀螺将绕OY轴 正向进动，进动角速度 与 同向。当 时，陀螺达到 平衡。
若外力矩绕外环轴作用，则陀螺仪绕内环轴 转动。
陀螺仪
二自由度陀螺仪
特性
陀螺仪的转动方向与外力矩的作用方向相垂直的特性，称为陀螺仪的进 动性。---二自由度陀 Nhomakorabea的基本特性
陀螺进动角速度的方向取决于角动量的方向和外力矩的方向。
右手定律
从角动量L沿最短的路径握向外力 矩M的右手旋进方向即为进动角 速度的方向。
陀螺仪
二自由度陀螺仪
特性
进动角速度的大小，取决于角动量的大小和外力矩的大小。
当角动量为一定值时，进动角速度与外力矩成正比； 当外力矩为一定值时，进动角速度与角动量成反比。 2）陀螺力矩 产生机理：Coriolis效应
外界对陀螺仪施加力矩使其进动时，陀螺仪必然存在反作用力矩，大小和外力 矩相等，方向与外力矩相反，并且作用在施加力矩的物体上---陀螺力矩
在轴承摩擦力矩和不平衡力矩等的影响下，将使陀螺在原始方向出现偏移 误差，称为陀螺的漂移，从而影响其稳定性。
主要表现形式是进动漂移
陀螺仪
二自由度陀螺仪
特性
定轴性---陀螺自转轴相对于惯性空间稳定 地球绕地轴相对于惯性空间转动
若以地球为参考基准，将会看到陀螺仪相对于地球的转动 ---表观运动
地 球 赤 道 处 陀 螺 仪 的 表 观 运 动 地球北极处陀螺仪的表观运动
陀螺仪
二自由度陀螺仪
特性
角动量沿最短路径握向进动角速度的 右手旋进方向即为陀螺力矩的方向。
陀螺力矩并不作用在转子本身，而是作用在给陀螺仪施加力矩的 物体上。
陀螺仪
二自由度陀螺仪
特性
3）定轴性 二自由度陀螺仪的转子绕自转轴高速旋转即具有动量矩L时，如果不受外 力矩作用，将保持其自转轴相对惯性空间方位稳定的特性---定轴性 利用定轴性可以指示和测量飞机的姿态角（相对于地垂线或者水平面）
刚体转子陀螺仪仍是学习陀螺仪基本理论的基础
高速旋转的物体即为陀螺，为测量运动物体的角位移或角速度，用支架把 高速旋转的转子支撑起来即构成陀螺仪---刚体转子陀螺仪。 核心：绕自转轴高速旋转的刚体转子。 自转轴相对于基座有一个或者两个转动自由度： 二自由度陀螺 单自由度陀螺
陀螺仪
二自由度陀螺仪
基本结构和组成