九年级数学北师大版《锐角三角函数》单元测试题及答案
九年级数学《锐角三角函数》单元测试题及答案一、填空题：（30分）1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，2a=b ，则tanA=______，sinA=_______。
2．sin55°、cos36°、sin56°的大小关系是____<____<____。
3．在△ABC 中，∠C=90°，如果31tan =A ，则cosB=_______。
如果03cos 42=-A ，是∠A=______度。
4．一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是_________。
5．如图6-29，某飞机于空中A 处探测得地面目标C ，此时飞行高度AC=h 米，从飞机上看到地面控制点B 的俯角为α，则飞机A 到控制点B 的距离是__________米。
6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝ ，sinB ＝ ，tanB ＝ 。
7、直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝ 。
8、已知tan α＝125，α是锐角，则sin α＝ 。
9、cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝ ； 10、如图1，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为 .（结果保留根号）．（1） （2） （3）1136cm ，则一底角的正切值为 .12、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面 米高。
13、如图2，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。
14、在△ABC 中，∠ACB＝90°，cosA=33，AB ＝8cm ，则△ABC 的面积为______ 。
15、如图3，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时，梯子x O AyB的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N ，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米，梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB 是 _米。
二、选择题：（30分）1．下列等式中正确的是（ ）（A ）1sin cos 22=+αα （B ）cos30°+cos45°=cos75°（C ）33260tan 30tan =︒-︒（D ）2cot22°30＇=cot45°=12．△ABC 中，3)90cot(tan =-︒=C B ，则△ABC 是（ ）（A ）等腰三角形（B ）等边三角形（C ）直角三角形（D ）等腰直角三角形3．如果角α为锐角，且31cos =α，那么α在（ ）（A ）0与30°之间（B ）30°与45°之间（C ）45°与60°之间（D ）60°与90°之间4．已知81cos sin =⋅αα，45°<α<90°，则cos α-sin α=（ ）（A ）23（B ）23- （C ）43（D ）23±5．已知α为锐角，则sin α和tan α的大小关系是（ ）（A ）sin α>tan α （B ）sin α≥tan α （C ）sin α<tan α （D ）sin α≤tan α6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列关系式中错误的是（）（A ）b=c ·cosB （B ）b=a ·tanB （C ）a=c ·sinA （D ）a=b ·cotB7．在Rt △ABC 中，AD 为斜边上的高，则下列结论中不成立的是（ ）（A ）AB AC B =tan （B ）AC CD DAC =∠sin （C ）AB ADBAD =∠cos （D ）AD CDDAC =∠cot8．在△ABC 中，三边之比为2:3:1::=c b a ，则sinA+tanA 等于（ ）（A ）6323+ （B ）321+ （C ）233 （D ）213+9．如图6-32，在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ∶AC 等于（ ）（A ）2:3 （B ）3:3 （C ）1∶2 （D ）1:210．如图6-33，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）32 （D ）33811、sin 2θ＋sin 2(90°－θ) (0°＜θ＜90°）等于（ ）A.0 B.1 C.2 D.2sin 2θ12、在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值 （ ）A.也扩大3倍B.缩小为原来的1/3C. 都不变D.有的扩大，有的缩小 13、如图4，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC=53，则BC 的长是（ ）A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm14、若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是 ( )A 、20° B 、30° C 、35° D 、50°15、如果α、β都是锐角，下面式子中正确的是 （ ） A 、sin(α+β)=sin α+sin βB 、cos(α+β)=12时，α+β=600 C 、若α≥β时，则cos α≥cos β D 、若cos α>sin β,则α+β>900 16、如图5,小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 ( )A ．9米B ．28米C ．()37+米 D.()3214+米17、如图6,两建筑物的水平距离为am,从A 点测得D 点的俯角为a,测得C 点的俯角为β,则较低建筑物CD 的高为( )A.a m B.(a ·tan α)m C.tan a αm D.a(tan α－tan β)m 18、如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长23m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到C A '的位置，此时露在水面上的鱼线C B ''为33，则鱼竿转过的角度是( )A ．60° B ．45° C ．15° D ．90°三、解答题：B NA C D MD C B A1、(1)tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°(2)50cos 40sin 0cos 45tan 30cos 330sin 145tan 41222-+-+．(3)︒-︒--︒-︒︒45tan )30tan 1(45cos 60sin 30sin 2c2.如图6-37，某船在A 处测得灯塔B 在北偏东30°方向，现该船从A 处出发以每小时24海里的速度向正北方向航行15分钟到达C 处，在C 处测得灯塔B 在北偏东45°的方向，求A 到灯塔B 的距离（结果取准确值）3.某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道的断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡角为450（如图所示）。
，求挖土多少立方米。
D C5.为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图。
按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入。
（其中AB=9m ，BC=m 5.0）为标明限高，请你根据该图计算CE 。
（精确到0.1m ）（sin18°≈0.3090,cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249)6.已知MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500m 为半径的圆形区域为居民区。
取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°.已知MB=400m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？7．我国为了维护队钓鱼岛P 的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km 的A 处时，飞机在B 处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C 处时，飞机在轮船正上方的E 处，此时EC=5km ．轮船到达钓鱼岛P 时，测得D 处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD （结果保留根号）． 18A D B CE欲拆除一电线杆AB，已知电线杆AB距水平距离14m的D处有有大坝，背水坡CD的坡度30，D、E之间是宽度位2m的人1:2i，坝高C F为2m，在坝顶C处测地杆顶的仰角为=行道。
试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全是否需要将此人行道封闭？请说明你的理由（在地面上以B为圆心，以AB为半径的图形区域为危险区域，.13≈≈）。
732414.12,。
北师大九年级数学下册《1.1锐角三角函数》同步训练含参考答案
北师大九年级数学下册 1.1 锐角三角函数同步训练学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分，）1. 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则A. B. C. D.2. 若为锐角，且，则A.小于B.大于C.大于且小于D.大于3. 若，则下列说法不正确的是（）A.随的增大而增大B.随的增大而减小C.随的增大而增大D.、、的值都随的增大而增大4. 如果在中，，，，那么下列各式正确的是（）A. B.C. D.5. 若把一个直角三角形的两条直角边都扩大倍，（是大于的自然数），则两个锐角的三角函数值（）A.都变大为原来的倍B.都缩小为原来的C.不变化D.各个函数值变化不一致6. 比较，，的大小关系是（）A. B.C. D.7. 如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于，连接，则的值是（）A. B. C. D.8. 如图，在中，点在上，，垂足为，若，，则等于（）A. B. C. D.二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分，）9. ________ （填大小关系）10. 在中，，如果，，那么________．11. 在中，，当已知和时，求，则、、关系式是________．12. 已知在中，为直角，，，________．13. 已知为锐角，且，那么的范围是________．14. 在中，，、、分别是、、的对边，下列式子：① ，② ，③ ，④，必定成立的是________．15. 如图，是的边上一点，且点坐标为，则________________．16. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是________．三、解答题（本题共计 8 小题，每题 9 分，共计72分，）17. 在中，，若，写出的四个三角函数的值．18. 分别求出图中、的正弦值、余弦值和正切值．19. 在中，，、、分别是、、的对边．请利用三角函数的定义探讨能否用边的式子表示？请写出你必要的理由．20. 如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，，求的值．21. 在中，，，，求的值．22. 如图，在中，，是直角边上一点，于点，，，求的值．23. 如图，在中，，，．求的长；利用此图形求的值（精确到，参考数据：，，）24. 如图，在四边形中，平分，，，求的值．答案1. D2. D3. D4. A5. C6. D7. D8. D9.10.11.12.13.②15.16.17. 解：，，由勾股定理，得，，，．18. 解：如图，，，，，，，．如图，，，，，，，．如图 ， ，，，，，，． 19. 解：∵，， ∴，即 ．20. 解：过 作 轴于 ．∴， ∵ ， ∴， ∵ ，∴ ，∴ ，∴．21. 解：在中，，，，∵，∴，则．22. 解：∵ ，，∴ ，又∵ ，∴ ，∴，设，，由勾股定理得：，在中，．23. 解：过作，交的延长线于点，如图所示：在中，，∵ ，∴ ，∴，，在中，，∴ ，∴；在边上取一点，使得，连接，如图所示：∵ ，∴ ，．24. 解：∵ 平分，∴ ．又∵ ，∴ ．∴，在中，∵，∴．。
北师大版数学九年级下《1.1锐角三角函数》同步练习含答案
第一章 直角三角形的边角关系博士寄语亲爱的同学，前面我们已经探索过直角三角形的边与边之间的关系、角与角之间的关系，并利用它们之间的这种关系解决了有关直角三角形的实际问题，但是在生话中有许多关于直角三角形的应用问题，仅仅用前面学到的知识来解决是不够的.因此，学习本章知识，将会更好地帮助你了解、掌握直角三角形的边角关系，并利用它们更好地认识、观察社会．为更有效地学好本章内容，博士还想告诉你：本章学习目标1.通过生活中的实例认识锐角三角函数(sin A 、cos A 、tan A )，探索30︒，45︒，60︒角的三角函数值，并会计算．2.会用计算器由已知的锐角求它的三角函数值，或由已知的三角函数值求它对应的锐角．3.会运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题，体会数形之间的联系，会将实际问题抽象为数学问题并加以解决．本章重点难点本章重点：1.锐角三角函数的概念和直角三角形的解法.2.会利用计算器求所给出锐角的三角函数值及由已知的三角函数值求它对应的锐角；特别应牢记30︒，45︒，60︒角的三角函数值.3.适当地选择锐角三角函数解决实际问题.本章难点：如何理解锐角三角函数的概念，运用三角函数解决相关的实际问题，养成运用数学知识的思想意识.本章学习建议解直角三角彤达一章的学习关键是锐角三角函数的概念，只有正确理解锐角三角函数的概念，才能正确理解直角三角形中边、角之间的关系，并利用它们的这些关系解直角三角形．因此学习本章应注意以下几点：1.数形结合的思想．通过本章的学习，会使你进一步体会数形结合这一重要数学思想方法．2.解直角三角形的知识有较多的实际应用价值，应注意解直角三角形在实际问题中的应用.3.将直角三角形的判定、性质、作图与直角三角形中边、角之间的数量关系统一起来，才能对直角三角形的概念有较为完整的认识，因此应当循序渐进.4.树立数学来源于生活，又为实际生活服务的思想意识.1.锐角三角函数学习目标1.通过对生活中实例的分析，经历探索直角三角形中边角关系的过程，初步掌握锐角三角函数正切的意义；2.在具体情境中体会正切值与倾斜程度（或坡度）的关系，能够运用tan A 表示直角三角形中两边的比：3.经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展抽象思维能力.第一课时同步练习1.如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，12AC =，13AB =，则tan B 等于_______.C BA2.已知Rt ABC △中，90C ∠=︒，4AC =，1tan 2A =，则BC 的长是_______. 3.河堤横断面如图所示，堤高6BC =米，迎水坡AB的坡比为AB 的长为（ ）A.12米B.米C.D.米4.如图，在等腰ABC △中，25AB AC ==，14BC =，求tan B.观察与思考5.小明从黄山百步云梯脚下的点A 约走了1000m 后，到达山顶的点B .已知山顶B 到山脚下的垂直距离约是600m ，求山坡的坡度.6.某建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装饰.现知道楼顶的坡度超过0.5时，瓦片会滑落下来.请你根据图中数据说明这个楼顶铺设的瓦片是否会搬落面来.走进生活7.如图，某公园人口处原有点级台阶，每级台阶高为18cm ，宽为30cm .为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度1:5i =，求AC 的长度.第二课时学习目标1.在了解正切的概念的基础上，进一步探索和掌握正弦和余弦的意义，并能够举例说明；2.在具体情境中体会正弦值、余弦值与倾斜程度的关系，能够运用sin A 、cos A 表示直角三角形中两边的比；3.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.同步练习1.在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，则sin A 等于（ ） A.43 B.34 C.35D.45 2.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是（ ）A.12D.1 3.如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向点C 处测得AC a =，ACB α∠=，那么AB 等于（ ）A.sin a α⋅B.tan a α⋅C.cos a α⋅D.tan a α4.如图，梯子（长度不变）与地面所成的角为α，下面关于α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是_______.（只填序号）①sin α越大，梯子越陡②cos α越大，梯子越陡③tan α越大，梯子越陡. α5.在ABC △中，4AB AC ==，2BC =，则sin B =_______.6.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5cos 13B =，10BC =，求AB 和sin A.拓展与延伸7.如图，在平行四边形ABCD 中，AB a =，BC b =，ABC β∠=，试用a ，b ，β表示平行四边形ABCD 的面积.βDCB A走进生活8.如图，沿AC 方向开山修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E 同时施工，从AC 上的一点B 处取127ABD ∠=︒，沿BD 方向前进，取37BDE ∠=︒，测得520m BD =，并且AC 、BD 和DE 在同一平面内.问：施工点E 离D 多远正好能使A 、C 、E 成一直线？（结果保留整数；参考数据：sin 370.60≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈）答案第一课时同步练习 1.1252.23.A4.247观察与思考 5.346.瓦片不会滑落下来，说明过程略. 走进生活7.作BD AC ⊥于D ，54cm BD = 270cm CD =∴，210cm AC =∴.第二课时同步练习1.D2.C3.B4.①③6.26AB =，5sin 13A = 拓展与延伸7.sin ABCD S ab β=平行四边形 走进生活8.若A 、C 、E 共线，则90E ∠=︒，由cos ED D BD=，得()416m ED ≈.。
北师大版九年级数学下册第一章1 锐角三角函数 1.1正切练习题(含答案)
北师大版九年级数学下第一章1 锐角三角函数 1.1正切练习题（含答案）一、选择题1．如图1，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则tanA 的值为( )图1A ．3B.13C.1010D.3 10102．如图2，已知山坡AB 的坡度为1∶2，坡高BC ＝1 m ，则坡长AB 为( )图2A. 3 mB. 5 mC ．2 mD ．4 m3．如图3，点A(t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tanα＝32，则t 的值是( )图3A ．1B ．1.5C ．2D ．34．如图4，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC 的值为( )图4A.12B.55C.53D.2 555．如图5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，tanA ＝34，则AC 的长是( )图5A ．3B ．4C ．6D ．86．如图6所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则tanB 的值为( )图6A.45B.35C.34D.437．直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按图7中所示的方式折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是( )图7A.247B.73C.724D.13二、填空题8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若△ABC 各边的长度同时扩大为原来的10倍，则tanA 的值________．(填“变大”“不变”或“变小”)9．如图8，一座公路桥离地面的高度AC 为6米，引桥AB 的水平宽度BC 为24米，为降低坡度，现决定将引桥坡面改为AD ，使其坡度为1∶6，则BD 的长是________．图8三、解答题10．如图9，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，CD ⊥AB 于点D ，求tan ∠BCD 的值．图911．如图10所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，宽为30 cm.为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C.现设计斜坡BC的坡度为1∶5，求AC的长．图1012．如图11所示，全全和品品分别将两根木棒AB，CD斜立在竖直的墙AE上，其中AB＝10 cm，CD＝6 cm，BE＝6 cm，DE＝2 cm，你能判断谁的木棒更陡吗？请说明理由．图11附加题1.如图12，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，顶点A ，B 分别在反比例函数y ＝1x (x ＞0)与y ＝－5x (x ＜0)的图象上，则tan ∠BAO 的值为________．图122．数学老师布置了这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tanα＝13，tanβ＝12，求α＋β的度数．甲、乙两名同学想利用正方形网格图来解决这个问题，他们分别设计了图13①和②. (1)请你分别利用图①、图②求出α＋β的度数；(2)请参考以上解决问题的方法，选择一种方法解决下面的问题：如果α，β都为锐角，当tanα＝5，tanβ＝23时，在图③的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON ，使得∠MON ＝α－β，并求出α－β的度数．图13参考答案1．[答案] A2．[解析] B ∵山坡AB 的坡度为i ＝1∶2，坡高BC ＝1 m ，∴BC AC ＝12，∴AC ＝2 m ．根据勾股定理，得AB＝AC 2＋BC 2＝22＋12＝5(m)．故选B.3．[解析] C 过点A 作AB ⊥x 轴于点B . ∵点A (t ，3)在第一象限，∴AB ＝3，OB ＝t . 又∵tan α＝AB OB ＝32，∴t ＝2.4．[答案] A5．[解析] D 因为tan A ＝34＝BCAC，所以设BC ＝3x ，AC ＝4x (x >0)．由勾股定理，得BC 2＋AC 2＝AB 2，即(3x )2＋(4x )2＝100，解得x ＝2，所以AC ＝4x ＝4×2＝8.故选D.6．[解析] C ∵CD 是斜边AB 上的中线，CD ＝5，∴AB ＝2CD ＝10. 在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8， ∴tan B ＝AC BC ＝68＝34.故选C.7．[解析] C 设CE ＝x ，根据折叠的性质，得BE ＝AE ＝8－x .在Rt △BCE 中，根据勾股定理列出关于x 的方程，得x 2＋62＝(8－x )2，解得x ＝74(负值已舍去)，即可计算出tan ∠CBE ＝724.8．[答案] 不变 9．[答案] 12米10．解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3， ∴AC ＝52－32＝4. ∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠B ＝90°，∠A ＋∠B ＝90°， ∴∠A ＝∠BCD ，∴tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝34.11．解：如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D .依题意可求得AD ＝60 cm ，BD ＝54 cm.因为斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，所以BD CD ＝15，所以CD ＝270 cm ，故AC ＝CD －AD ＝270－60＝210(cm)．12．解：能．品品的木棒CD 更陡．理由：∵AB ＝10 cm ，BE ＝6 cm ，∠AEB ＝90°， ∴AE ＝AB 2－BE 2＝8 cm ， ∴tan B ＝AE BE ＝43.∵CD ＝6 cm ，DE ＝2 cm ，∠CED ＝90°， ∴CE ＝CD 2－DE 2＝4 2 cm ， ∴tan D ＝CE DE ＝4 22＝2 2.∵43＜2 2，即tan B <tan D ， ∴品品的木棒CD 更陡． 附加题 1．[答案] 5[解析] 过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ， 则∠BDO ＝∠ACO ＝90°.∵顶点A ，B 分别在反比例函数y ＝1x (x >0)与y ＝－5x (x <0)的图象上，∴S △BDO ＝52，S △OCA ＝12.∵∠BDO ＝∠AOB ＝90°，∴∠BOD ＋∠DBO ＝∠BOD ＋∠AOC ＝90°， ∴∠DBO ＝∠AOC ，∴△BDO ∽△OCA ， ∴S BDO S △OCA ＝(OBOA)2＝5212＝5，∴OB OA ＝5，∴tan ∠BAO ＝OBOA＝ 5. 故答案为 5. 2．解：(1)如图①. 在△AMC 和△CNB 中，∵AM ＝CN ，∠AMC ＝∠CNB ＝90°，MC ＝NB ， ∴△AMC ≌△CNB ， ∴AC ＝CB ，∠ACM ＝∠CBN . ∵∠BCN ＋∠CBN ＝90°，∴∠ACM＋∠BCN＝90°，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，即α＋β＝45°.如图②，连接BE.设每个小正方形的边长均为1，则CE＝1，AE＝2，BE＝2，∴CEBE＝12＝22，BEAE＝22，∴CEBE＝BEAE.又∵∠CEB＝∠BEA，∴△CEB∽△BEA，∴∠CBE＝∠BAE＝α，∴∠BED＝∠CBE＋∠ECB＝α＋β.∵DE＝DB，∠D＝90°，∴∠BED＝45°，∴α＋β＝45°.(2)如图③，∠MOE＝α，∠NOH＝β，∠MON＝α－β.在△MFN和△NHO中，∵MF＝NH，∠MFN＝∠NHO＝90°，FN＝HO，∴△MFN≌△NHO，∴MN＝NO，∠MNF＝∠NOH.∵∠NOH＋∠ONH＝90°，∴∠ONH＋∠MNF＝90°，∴∠MNO＝90°，∴∠MON＝∠NMO＝45°，即α－β＝45°.。
北师大版九年级下《1.1锐角三角函数》同步练习含答案
1.1锐角三角函数同步练习一、单选题1、把三角形三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正弦函数值A、扩大为原来的2倍B、缩小为原来的C、不变D、不能确定2、梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A、sinA的值越大，梯子越陡B、cosA的值越大，梯子越陡C、tanA的值越小，梯子越陡D、陡缓程度与∠A的函数值无关3、已知Rt△ABC中，∠C=90º，那么cosA表示（）的值A、B、C、D、4、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，BE=2，则tan∠DBE的值（）B、2C、D、5、在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB=（）A、B、C、D、6、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，则tan∠DBE（）A、B、2C、D、7、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是（）A、B、C、8、如图，两条宽都为1的纸条交叉重叠地放在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分的面积为( )A、B、C、sinαD、19、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cosA的值为（）A、B、C、D、10、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（）A、C、D、11、在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（）A、B、3C、D、212、已知α＞45°，下列各式：tanα、sinα、cosα由小到大排列为（）A、tanα＜sinα＜cosαB、cosα＜tanα＜sinαC、cosα＜sinα＜tanαD、sinα＜cosα＜tanα13、若sinA=，则A的取值范围是（）A、0°＜∠A＜30°B、30°＜∠A＜45°C、45°＜∠A＜60°D、60°＜∠A＜90°14、在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则sinB的值为（）A、B、C、D、15、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为( )A、B、C、D、二、填空题16、在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于________ ．17、已知一个直角三角形的一边长等于另一边长的2倍，那么这个直角三角形中较小锐角的正切值为________18、如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30o得到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于________ 。
北京师范大学附属实验中学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》检测(答案解析)
一、选择题1．已知：如图，四边形AOBC是矩形，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，3），∠OAB＝60°，以AB为轴对折后，C点落在D点处，则D点的坐标为（）A．33(3,)22-B．33(3,)22--C．33(,3)22D．(3,33)-2．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD 相交于点O，则sin∠BOD的值等于（）A．10B．310C．2105D．103．如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于( )A．31)m B．31)mC．31)m D．31)m4．在ABC中，(2sinA-1)21cos2B-=0，则ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinB的值等于（）A ．43B ．34C ．45D ．356．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，22AC BC ==，CD AB ⊥于点D ．点P 从点A 出发，沿A D C →→的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE AC ⊥于点E ，作PF BC ⊥于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°()()2323232323AC CD -====-++-．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A．21+B．2﹣1 C．2D．1 28．如图，Rt△ABC中，AB=4，BC=2，正方形ADEF的边长为2，F、A、B在同一直线上，正方形ADEF向右平移到点F与B重合，点F的平移距离为x，平移过程中两图重叠部分的面积为y，则y与x的关系的函数图象表示正确的是（）A．B．C．D．9．在半径为1的O中，弦AB、AC的长度分别是3，2，则BAC∠为（）度．A．75B．15或30C．75或15D．15或4510．如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，B在y轴正半轴上，D在x轴负半轴上，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转30至AB C D'''，CD与B C''相交于点E，则E坐标为（）A．3⎛-⎝⎭B．11,2⎛⎫-⎪⎝⎭C．3⎛-⎝⎭D．21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭11．如图所示，矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3△ADE为正三角形．若半径为R的圆能够覆盖五边形ABCDE（即五边形ABCDE的每个顶点都在圆内或圆上），则R的最小值是（）A ．23B ．4C ．2.8D ．2.512．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为（ ）A ．513B ．1213C ．512D ．125二、填空题13．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘AC ＝BD ＝54cm ，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm ．14．小芳同学在学习了图形的镶嵌和拼接以后，设计了一幅瓷砖贴纸（图1），它是由图2这种基本图形拼接而成。
北师大九年级数学下册《1.1锐角三角函数》同步训练含参考答案
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计 24 分 ， ） 1. 如图， △ ������������������的三个顶点都在方格纸的格点上，则������������������������ = ( )
1
7
3 7
3
A.2 D.4 B. 3 C. 7 二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计 24 分 ， ） ∘ ∘ 9. ������������������30 ________ ������������������40 （填大小关系） ∘ 10. 在������������ △ ������������������中，∠������ = 90 ，如果������������ = 5，������������ = 13，那么������������������������ = ________． ∘ 11. 在������������ △ ������������������中，∠������ = 90 ，当已知∠������和������时，求������，则∠������、������、������关系式是������ = ________． 12. 已知在������������ △ ������������������中，∠������为直角，������������ = 4������������，������������ = 3������������，������������������∠������ = ________．
������ = ������ ⋅ ������������������������，③������ = ������ ⋅ ������������������������，④������ = ������������������������，必定成立的是________． 15. 如图，������是∠������的边������������上一点，且������点坐标为(3, 4)，则������������������������ = ________������������������������ = ________．
北师大版九年级下册数学《锐角三角函数》测试卷(含答案)
北师大版九年级下册数学《锐角三角函数》测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共10小题）1.在ABC△中，190tan3C A∠=︒=，，则sin B的值为（）．AB．23C．34D【答案解析】D;【解析】设BC k=．因为1tan3BCAAC==，所以3AC k=．据勾股定理得：AB=所以sin ACBAB==．2.直角三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos A的值是（）A．34B．43C．35D．45【答案解析】D3.在ABC△中，A∠、B∠都是锐角，且sin A=12，cos B，则ABC△是（）A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案解析】B;【解析】由特殊三角函数值知A∠＝30︒，B∠＝30︒，根据三角形的内角和是180︒得该三角形是钝角三角形。
A4.如图，从热气球C 上测定建筑物A B 、底部的俯角分别为30︒和60︒，如果这时气球的高度CD 为150米，且点A D B 、、在同一直线上，建筑物A B 、间的距离为（ ）米．5.已知：sin cos sin cos m n αααα+=-=，，则m n ，之间的关系是（ ）A ． m n =B ． 21m n =+C ． 222m n =-D ． 212m n =-【答案解析】C;【解析】因为sin cos sin cos m n αααα+=-=，，所以两式平方相加可得22222(sin cos )2m n αα+=+=6.在ABC △中，若()2sin 1tan 0A B -+-=，则C ∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．75︒ D ．105︒【答案解析】C ；【解析】由题意得：sin 0A =，1tan 0B -= 所以6045A B ∠=︒∠=︒，，所以18075C A B ∠=︒-∠-∠=︒7.如图所示，将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（ ）cm ．A D ．2【答案解析】B;【解析】分别过点P Q 、作PN OQ ⊥于N ，QM OP ⊥于M ，则2PN QM cm ==所以sin 60PN OP OQ ===︒60PON ∠=︒，所以PQ OP OQ ==8.已知α为锐角，且2cos 3α=，则α的取值范围是 ( )A ．030α︒<<︒B ．3045α︒<<︒C ．4560α︒<<︒D ．6090α︒<<︒【答案解析】C9.如图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A ，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10公分．如图2，若此钟面显示3点45分时，A 点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A 点距桌面的高度为多少公分（ ）DC10.在ABC △中，60,1,A AC BC ∠=︒==那么B ∠等于（ ）A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30︒或150︒D ．30︒【答案解析】D解法一：如图，过点C 作CD AB ⊥于D ．在Rt ACD △中，1,60AC A =∠=︒，所以CD =又在Rt BCD △中，BC1sin 2CD B BC ∠=== 所以30B ∠=︒解法二：tan tan 603BCA AC==， 所以ABC △是直角三角形， 即90C ∠=︒，所以30B ∠=︒二、填空题（本大题共5小题）11.若A ∠的补角是A ∠的3倍，则sin A = ．;【解析】由题意得：1803A A ︒-∠=∠，所以45A ∠=︒12.如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos AOB ∠的值等于_________．【答案解析】12;【解析】根据圆的性质可知：OAB △是等边三角形，即OBA60OAB ∠=，所以1cos 2AOB ∠=．13.如图，在Rt ABC △中，90,30,ABC ACB ∠=︒∠=︒将ABC △绕点A 按逆时针方向旋转15︒后得到1111,AB C B C △交AC 于点D，如果AD =，则ABC △的周长等于 ．【答案解析】6+【解析】在Rt ABC △中，90,30,ABC ACB ∠=∠= 所以60BAC ∠= 因为115∠=，所以2145BAC ∠=∠-∠= 又在1Rt AB D △中，AD =12AB AB ==所以4BC AC ==即ABC △的周长：6AB BC AC ++=+14.ABC ∆中，a b c 、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边。
北京师范大学附属中学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试题(答案解析)
一、选择题1．如图，在等边△ABC 中，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB 、BC 相交于点D 、E ，F 是AC 上的点，判断下列说法错误的是（ ）A ．若EF ⊥AC ，则EF 是⊙O 的切线B ．若EF 是⊙O 的切线，则EF ⊥ACC ．若BE ＝EC ，则AC 是⊙O 的切线D ．若32BE EC =，则AC 是⊙O 的切线 2．如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，E 是BC 的中点，AE CE =，3BAC CBD ∠=∠，6266BD =+，则AB 的长为（ ）A ．6B ．62C ．12D ．102 3．菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（ ）A ．5:1B ．4:1C ．3:1D ．2:1 4．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA 交于点B ，再以B 为圆心，BO 长为半径画弧，两弧交于点,C 画射线OC ，则tan AOC ∠的值为（ ）A ．12B 3C 3D 35．下列计算中错误的是( )A ．sin60sin30sin30︒-︒=︒B ．22sin 45 cos 451︒+︒=C ．sin 60tan 60sin 30︒︒=︒D ．cos30tan 60cos60︒︒=︒6．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos∠ACB值为（）A．355B．175C．35D．457．如图，在矩形ABCD中，AB=3，做BD的垂直平分线E，F，分别与AD、BC交于点E、F，连接BE，DF，若EF=AE+FC，则边BC的长为（）A．23B．33C．63D．93 28．如图，ABC∆的三个项点均在格点上，则tan A的值为（）A．12B．5C．2 D．259．如图，为一幅重叠放置的三角板，其中∠ABC=∠EDF=90°，BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移，当EF经过AC的中点O时，直线EF交AB于点G，若BC=3，则此时OG的长度为（）A 322B332C ．32D ．33322- 10．西南大学附中初2020级小李同学想利用学过的知识测量棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段AB 表示，小李站在C 点测得∠BCA ＝45°，小李从C 点走4米到达了斜坡DE 的底端D 点，并测得∠CDE ＝150°，从D 点上斜坡走了8米到达E 点，测得∠AED ＝60°，B ，C ，D 在同一水平线上，A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，则大树AB 的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）A ．24.3B ．24.4C ．20.3D ．20.4 11．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两个邻角的比为（ ）A ．6:1B ．5:1C ．4:1D ．3:1 12．如图所示，矩形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝23，△ADE 为正三角形．若半径为R 的圆能够覆盖五边形ABCDE （即五边形ABCDE 的每个顶点都在圆内或圆上），则R 的最小值是（ ）A ．23B ．4C ．2.8D ．2.5二、填空题13．01sin 4513(32018)6tan 302--+-+︒︒=________． 14．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC=2，则tanD=__．15．如图，已知直线l ：33y x =，过点()0,1A 作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点1A ；过点1A 作y 轴的垂线交直线l 于点1B ，过点1B 作直线l 的垂线交y 轴于点2A ；…；按此作法继续下去，则点2020A 的坐标为__________．16．计算：112tan 6032()2-+---____． 17．如图，已知平行四边形ABCO ，以点O 为原点，OC 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，AB 交y 轴于点D ，AD=4，OC=10，∠A=60°，线段EF 垂直平分OD ，点P 为线段EF 上的动点，PM ⊥x 轴于点M 点，点E 与E'关于x 轴对称，连接BP 、E'M ，则BP+PM+ME'的长度的最小值为______．18．在△ABC 中，若()21cos 1tan 02A B -+-=，则∠C=____________． 19．如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=12cm ，BC=5cm ，AB=13cm ，则点C 到AB 边的距离是______cm ．20．如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，∠AOB ＝∠B ＝30°，OA ＝2，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，点B 的对应点B'的坐标是_______．三、解答题21．如图，ABC 中，,45,tan 2AB AC BC ABC ==∠=；（1）求AC 和AC 边上的高；（2）在AC 上取一点M ，使得BM BC =，过M 作MH AB ⊥，求BH AH的值． 22．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝BC ，∠A ＝30°，O 为线段AC 上一点，以O 为圆心，线段OC 的长为半径画圆恰好经过点B ，与AC 的另一个交点为D ．（1）求证：AB 是圆O 的切线；（2）若⊙O 的半径为1，求图中阴影部分的面积．23．如图，AB 为O 的直径，,C D 为O 上两点，且C 为弧BD 的中点，过点C 作AD 的垂线，交AD 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ，连结AC（1）求证：EF 是O 的切线；（2）当32,sin 5BF F ==时，求AE 的长．24．如图，已知⊙O 的直径 AB 与弦 CD 互相垂直，垂足为点 E ．⊙O 的切线 BF 与弦 AC 的延长线相交于点 F ，且AC=8，tan ∠BDC=34．（1）求⊙O 的半径长；（2）求线段 CF 长．25．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边6,12AB BC ==，直线32y x m =-+与y 轴交于点P ，与边BC 交于点E ，与边OA 交于点D ．（1）已知矩形ABCO 为中心对称图形，对称中心(点F )为对角线AC OB ，的交点，若直线32y x m =-+恰好经过点F ，求点F 的坐标和m 的值﹒ （2）在（1）的条件下，过点P 的一条直线绕点P 顺时针旋转时，与直线BC 和x 轴分别交于点,N M 、试问是否存在ON 平分CNM ∠的情况．若存在，求线段AM 的长，若不存在，说明理由﹒（3）将矩形ABCO 落在（1）条件下的直线32y x m =-+折叠，若点О落在边CB 上，求出该点坐标，若不在边CB 上，请你说明将（1）中的直线32y x m =-+沿y 轴进行怎样的平移，使矩形ABCO 沿平移后的直线折叠，点O 恰好落在边CB 上．26．如图，在ABC 中，60ABC ∠=，23AB =，8BC =，以AC 为腰，点A 为顶点作等腰ACD △，且120DAC ∠=，则BD =______．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】A 、连接OE ，根据同圆的半径相等得到OB ＝OE ，根据等边三角形的性质得到∠BOE ＝∠BAC ，求得OE ∥AC ，于是得到A 选项正确；B 、由于EF 是⊙O 的切线，得到OE ⊥EF ，根据平行线的性质得到B 选项正确；C 、根据等边三角形的性质和圆的性质得到AO ＝OB ，过O 作OH ⊥AC 于H ，根据三角函数得到OH 3≠OB ，于是得到C 选项错误；D 、根据等边三角形的性质和等量代换即可得到D 选项正确．【详解】A 、如图，连接OE ，则OB ＝OE ，∵∠B ＝60°∴∠BOE ＝60°，∵∠BAC ＝60°，∴∠BOE＝∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确，不符合题意．B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确，不符合题意．C、∵∠B＝60°，OB＝OE，∴BE＝OB，∵BE＝CE，∴BC＝AB＝2BO，∴AO＝OB，如图，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC＝60°，∴OH＝3AO≠OB，∴C选项错误，符合题意．D、如C中的图，∵BE 3，∴CE＝33BE，∵AB＝BC，BO＝BE，∴AO＝CE23OB，∴OH ＝2AO ＝OB ， ∴AC 是⊙O 的切线，∴D 选项正确．故选：C ．【点睛】本题为圆的综合题，掌握切线的判定和性质、平行线的判定和性质以及勾股定理是解答本题的关键．2．C解析：C【分析】作DF BC ⊥于F ，根据题意判断出ABC ∆是等腰直角三角形，求出CBD ∠的度数，进而判断出ACD ∆是等边三角形，设AB a ，在Rt BDF ∆中利用直角三角形的性质求出DF 的长，用a 表示出CF 的长，再根据勾股定理即可得出a 的值，进而得出答案．【详解】解：作DF BC ⊥于F ，AB AC AD ==，E 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，AE CE =，BE EC =，90BAC ∴∠=︒，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，3BAC CBD ∠=∠，30DBC ∴∠=︒，15ABD ∠=︒，1801515150BAD ∴∠=︒-︒-︒=︒，90BAC ∠=︒，60CAD ∴∠=︒，AC AD =，ACD ∴∆是等边三角形，AB AC AD CD ∴===，设AB a ，则BC =，AC AD CD a ===，在Rt BDF ∆中，30DBF ∠=︒，BD =2BD DF ∴==，cos BF BD CBD =∠==CF BF BC ∴=-=，在Rt CDF ∆中，由勾股定理可得222CF DF CD +=，即222)a +=，解得12a =或24，∵12324+＞6266+，即此时AB＞BD，不符合，∴AB=12，故选：C．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质及含30度角的直角三角形的性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出含30度角的直角三角形，根据直角三角形的性质进行解答．3．A解析：A【分析】先根据菱形的性质求出菱形的边长，再根据菱形的高与边长的关系求出∠A，进而可求出∠ADC，从而可得答案．【详解】解：如图，DE是菱形ABCD的高，DE=1cm，∵菱形ABCD的周长是8cm，∴AD=2cm，在Rt△ADE中，∵DE=12AD，∴∠A=30°，∵AB∥DC，∴∠A+∠ADC=180°，∴∠ADC=150°，∴∠ADC：∠A=150°：30°=5:1．故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质和30°角的直角三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．4．D解析：D【分析】由题意可以得到∠AOC的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值可以得解．【详解】解：如图，连结BC，则由题意可得OC=OB，CB=OB，∴OC=OB=BC，∴△BOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴tan∠AOC=tan60°3故选D．【点睛】本题考查尺规作图与三角形的综合应用，由尺规作图的作法得到所作三角形是等边三角形是解题关键．5．A解析：A【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的运算即可得．【详解】A、31311sin60sin303022-︒-︒==︒=，此项错误；B、22222211sin45cos4512222⎛⎫⎛︒+︒=+=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，此项正确；C、3sin602tan603,31sin302︒︒===︒sin60tan60sin30︒︒=︒，此项正确；D、3cos302tan603,31cos602︒︒===︒cos30tan60cos60︒︒=︒，此项正确；故选：A．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．6．C解析：C【分析】如图，过点A 作AH BC ⊥于H ．利用勾股定理求出AC 即可解决问题．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ．在Rt ACH ∆中，4AH =，3CH =， 2222435AC AH CH ∴=+=+=，3cos 5CH ACH AC ∴∠==， 故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 7．B解析：B【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因为四边形BEDF 是菱形，所以可求出BE ，AE ，进而可求出BC 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，//,DE BF ∴,,DEO BFO EDO FBO ∴∠=∠∠=∠EF 垂直平分BD ，OB OD ∴=，BOF DOE ∴∆∆≌，,OE OF ∴=∴ 四边形BEDF 是菱形，∵四边形ABCD 是矩形，四边形BEDF 是菱形，∴∠A=90°，AD=BC ，DE=BF ，OE=OF ，EF ⊥BD ，∠EBO=FBO ，∴AE=FC ．又EF=AE+FC ，∴EF=2AE=2CF ，又EF=2OE=2OF ，AE=OE ，∴△ABE ≌OBE ， ∴∠ABE=∠OBE ，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，∴BE= cos30BO ＝23， ∴BF=BE=23，∴CF=AE=3，∴BC=BF+CF=33，故选B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°． 8．A解析：A【分析】连接格点BD,根据格点的长度求出BD 、CD 边的长度，根据勾股定理证明∠BDC=90°，再计算BD tan A=AD计算即可． 【详解】解：如图所示，连接格点BD ，根据格点的性质，可得BD=CD=2，BC=2，∴∠BDC=90°，故ABD 为在直角三角形，且AD=22，∴BD 21tan A=AD 222， 故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理及锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握格点三角形边长的求解办法．9．A解析：A【分析】分别过O 作OH ⊥BC ，过G 作GI ⊥OH ，由O 是中点，根据平行线等分线段定理，可得H为BC 的中点，则可得BH=32，再由三个角都是直角的四边形是矩形，可得GI=BH=32，在等腰直角三角形OGI 中，即可求解．【详解】解：过O作OH⊥BC于H，过G作GI⊥OH于I ∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴OH∥AB，又O为中点，∴H为BC的中点，∴BH=12BC=32∵GI⊥OH，∴四边形BHIG为矩形，∴GI∥BH，GI=BH=32,又∠F=45°，∴∠OGI=45°，∴在Rt△OGI中，32cos2GIOGOGI==∠．故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形及平行线等分线段定理，构造合适的辅助线是解题关键．10．B解析：B【分析】过E作EG⊥AB于G，EF⊥BD于F，则BG=EF，EG=BF，求得∠EDF=30°，根据直角三角形的性质得到EF=12DE=4，DF=43，得到CF=CD+DF=4+43，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【详解】过E 作EG ⊥AB 于G ，EF ⊥BD 于F ，则BG ＝EF ，EG ＝BF ，∵∠CDE ＝150°，∴∠EDF ＝30°，∵DE ＝8，∴EF ＝12DE ＝4，DF ＝43， ∴CF ＝CD +DF ＝4+43，∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝45°，∴AB ＝BC ，∴GE ＝BF ＝AB +4+43，AG ＝AB ﹣4，∵∠AED ＝60°，∠GED ＝∠EDF ＝30°，∴∠AEG ＝30°，∴tan30°＝3443AG GE AB ==++ ， 解得：AB ＝14+63≈24.4，故选：B ．【点睛】此题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意作出辅助线是解题的关键． 11．B解析：B【分析】由锐角函数可求∠B 的度数，可求∠DAB 的度数，即可求解．【详解】如图，∵四边形ABCD 是菱形，菱形的周长为16，∴AB=BC=CD=DA=4，∵AE=2，AE ⊥BC ，∴sin ∠B=12BE AB ＝ ∴∠B=30° ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴∠DAB+∠B=180°，∴∠DAB=150°，∴菱形两邻角的度数比为150°：30°=5：1，故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，能求出∠B 的度数是解决问题的关键． 12．C解析：C【分析】连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，根据勾股定理可得AC ，根据直角三角形的边角关系可得∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°，再根据正三角形的性质可得：∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得EC 的长．判断△EAB ≌△EDC ，根据全等三角形的性质可得EB ＝EC ，继而根据题意可判断能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ，从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．根据等腰三角形的判定和性质可得F 是BC 中点，BF ＝CF EF ⊥BC ，由勾股定理可得EF 的长，继而列出关于R 的一元二次方程，解方程即可解答．【详解】如图所示，连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC＝∠DAB ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°,AD ∥BC ，AD ＝BC ＝AB ＝CD ＝2∵BC ＝AB ＝2由勾股定理可得：AC 4∴sin ∠ACB ＝24AB AC =＝12，sin ∠CAD ＝24CD AC =＝12∴∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°∵△ADE 是正三角形 ∴∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝∴∠EAC ＝∠EAD ＋∠CAD ＝90°,∴△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得：EC ＝22AE AC +＝()22234+＝27∵∠EAB ＝∠EAD ＋∠BAD ＝150°∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝150°∴∠EAB ＝∠EDC∵EA ＝ED ，AB ＝DC∴△EAB ≌△EDC∴EB ＝EC ＝27即△EBC 是等腰三角形∵五边形ABCDE 是轴对称图形，其对称轴是直线EF ，∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ．从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．设此圆圆心为O ，则OE ＝OB ＝OC ＝R ，∵F 是BC 中点∴BF ＝CF ＝3，EF ⊥BC在Rt △BEF 中，由勾股定理可得：EF ＝22EB BF -＝()()22273-＝5 ∴OF ＝EF －OE ＝5－R在Rt △OBF 中，222BF OF OB 即()()22235R R +-= 解得：R ＝2.8∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的半径为2.8．故选C ．【点睛】本题考查勾股定理的应用、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系．解题的关键是理解圆内接五边形的特点，并且灵活运用所学知识．二、填空题13．【分析】先计算特殊角的三角函数值化简绝对值零指数幂再计算实数的混合运算即可得【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值绝对值零指数幂实数的运算熟记各运算法则是解题关键解析：322+ 【分析】先计算特殊角的三角函数值、化简绝对值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可得．【详解】原式111)622-++=⨯1122=++32=+，故答案为：32． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、实数的运算，熟记各运算法则是解题关键．14．【分析】连接BC 可得∠ACB=90°根据同弧对等角有∠D=∠A 在△ABC 中根据正切定义可求出tanD 【详解】如图所示连接BC 因为AB 是直径所以∠ACB=90°在Rt △ABC 中BC=tanA=而BC 弧解析：【分析】连接B 、C ，可得∠ACB=90°，根据同弧对等角有∠D=∠A ，在△ABC 中根据正切定义可求出tanD.【详解】如图所示，连接B 、C ，因为AB 是直径，所以∠ACB=90°在Rt △ABC 中tanA=BC =AC 2，而BC 弧所对的∠D=∠A ，所以tanD= tanA=【点睛】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、勾股定理，连接BC 构造直角三角形是解题的关键.15．【分析】先求出点B 的坐标为（1）得到OA=1OB=求出∠AOB=60°再求出∠得到求出(04)；同理得到（0）；由此得到规律求出答案【详解】将y=1代入中得x=∴B （1）∴OA=1OB=∴tan ∠A解析：()20200,4【分析】先求出点B 31），得到OA=1，3∠AOB=60°，再求出∠130OA B =得到133AA =，求出1A (0，4)；同理得到1143A B =1211312A A A B ==，2A （0，24）；由此得到规律求出答案.【详解】将y=1代入33y x =中得3 ∴B 3，1），∴OA=1，3∴tan ∠AOB=3AB OA=， ∴∠AOB=60°，∵∠A 1BO=90°， ∴∠130OA B =, ∴133AA =,∴14OA =,∴1A (0，4)； 同理：1143A B =1211312A A B =，∴2OA =1624=，∴2A （0，24）； ，∴点2020A 的坐标为()20200,4，故答案为：()20200,4.【点睛】 此题考查图形类规律的探究，一次函数的实际应用，锐角三角函数，根据图形的规律求出点的坐标得到点坐标的表示规律是解题的关键.16．【分析】先利用特殊的三角函数值计算再利用绝对值和负指数得出结论【详解】解:原式=故答案为：【点睛】本题涉及特殊角的三角函数值绝对值负整数指数幂3个考点在计算时需要针对每个考点分别进行计算然后根据实数 解析：43+ 【分析】 先利用特殊的三角函数值计算，再利用绝对值和负指数得出结论． 【详解】 解:原式=23+2322332243⨯-+=-++=+，故答案为：43+．【点睛】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂3个考点．在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果．17．【分析】连接OP 先确定OD 的长和B 点坐标然后证明四边形OPME 是平行四边形可得OP=EM 因为PM 是定值推出PB+ME=OP+PB 的值最小时即当OPB 共线时BP+PM+ME 的长度最小最后根据两点间的距解析：22123+【分析】连接OP ,先确定OD 的长和B 点坐标，然后证明四边形OPME'是平行四边形，可得OP=EM ，因为PM 是定值，推出PB+ME'=OP+PB 的值最小时，即当O 、P 、B 共线时BP+PM+M E 的长度最小，最后根据两点间的距离公式和线段的和差解答即可．【详解】解:如图：连接OP在Rt △ADO 中，∠A=60°，AD=4，∴OD=4tan60°3∴A （-4，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=OC=10，∴DB=10-4=6∴B （6，∵线段EF 垂直平分OD∴OE=12，∠PEO=∠EOM=∠PM0=90°， ∴四边形OMPE 是矩形，∴，∵OE=0E'∴PM=OE'，PM//OE'，∴四边形OPME'是平行四边形，∴0P=EM ，∵是定值，∴PB+ME'=OP+PB 的值最小时，BP+PM+ME 的长度最小，∴当0、P 、B 共线时，BP+PM+ME 的长度最小∴BP+PM+ME 的最小值为=故答案为【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、锐角三角函数等知识，掌握并灵活应用两点之间线段最短是解答本题的关键． 18．75°【分析】根据非负数性质得根据三角函数定义求出∠A=60°∠B=45°根据三角形内角和定理可得【详解】因为所以所以所以∠A=60°∠B=45°所以∠C=180°-∠A-∠B=75°故答案为：75解析：75°【分析】根据非负数性质得1cos 0,1tan 02A B -=-=，根据三角函数定义求出∠A=60°，∠B=45°，根据三角形内角和定理可得.【详解】 因为()21cos 1tan 02A B -+-= 所以1cos 0,1tan 02A B -=-= 所以1cos ,tan 12A B ==所以∠A=60°，∠B=45°所以∠C=180°-∠A-∠B=75°故答案为：75°【点睛】考核知识点：特殊锐角三角函数．熟记特殊锐角三角函数值是关键．19．【分析】根据△ABC 的面积相等选择AC 和BC 为底高算出的△ABC 的面积和选择AB 为底C 到AB 边的距离为高算出的面积一样列出等式求解【详解】解：在Rt △ABC 中设点C 到AB 边的距离为由△ABC 的面积相 解析：6013【分析】根据△ABC 的面积相等，选择AC 和BC 为底、高算出的△ABC 的面积和选择AB 为底，C 到AB 边的距离为高算出的面积一样列出等式求解.【详解】解：在Rt △ABC 中，设点C 到AB 边的距离为d ，由△ABC 的面积相等可列出如下等式：11=22⨯⨯AC BC AB d ，代入数据： 即：11125=1322⨯⨯⨯⨯d 解得：6013=d 故点C 到AB 边的距离是6013cm. 故答案为：6013. 【点睛】 本题结合直角三角形考查了三角形的面积公式，点到直线的距离垂线段最短等知识点，掌握好直角三角形的等面积法是解题的关键.20．（3）【分析】如图作B′H ⊥y 轴于H 解直角三角形求出B′HOH 即可【详解】如图作B′H ⊥y 轴于H 由题意：OA′=A′B′=2∠B′A′H=60°∴∠A′B′H=30°∴AH′=A′B′=1B′H=∴解析：（3）【分析】如图，作B′H ⊥y 轴于H ．解直角三角形求出B ′H ，OH 即可．【详解】如图，作B′H ⊥y 轴于H ，由题意：OA′=A′B′=2，∠B′A′H=60°，∴∠A′B′H=30°，∴AH′=12A′B′=1，B′H=3-， ∴OH=3，∴B′（3-，3），故答案为：（3-，3）．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．三、解答题21．（1）10AC =，AC 边上的高为8；（2）223BH AH =． 【分析】（1）如图（见解析），先根据等腰三角形的三线合一可得1252BD BC ==，再利用正切三角函数的定义可得AD 的长，然后利用勾股定理可得AB 的长，从而可得AC 的长，最后利用三角形的面积公式即可得AC 边上的高；（2）如图（见解析），先根据利用勾股定理、等腰三角形的三线合一可得28CM CE ==，从而可得2,6AM AE ==，再利用BAC ∠的余弦三角函数可得AH 的长，然后根据线段的和差可得BH 的长，由此即可得出答案．【详解】（1）如图1，过点A 作AD BC ⊥于点D ，过点B 作BE AC ⊥于点E ，∵,45AB AC BC ==∴1252BD BC==，∴tan225ADABCBD∠===，解得45AD=，∴2222(45)(25)10AB AD BD=+=+=，10AC∴=，∵1122ABCS BC AD AC BE=⋅=⋅△，∴45458BC ADBEAC⋅⨯===；（2）由题意，画出图形如图2所示：由（1）得：8BE=，45BC=，224CE BC BE∴=-=，1046AE AC CE∴=-=-=，∵BM BC=，BE AC⊥，∴28CM CE==，∴1082AM AC CM=-=-=，在Rt ABE△中，63s5c10oAEBACAB∠===，在Rt AMH中，cos325AH AHBACAM∠===，解得65AH=，∴6441055BH AB AH=-=-=，∴44225635BHAH==．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．22．（1）见解析；（2）326π- 【分析】 （1）连接OB ，根据等边对等角可求得∠OBA=90°，根据切线的判定即可求出答案． （2）分别求出△ABO 与扇形OBD 的面积后即可求出阴影部分面积．【详解】解：（1）连接OB ，∵AB ＝BC ，∴∠C ＝∠A ＝30°，∠CBA ＝120°，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠C ＝30°，∴∠OBA ＝∠CAB ﹣∠OBC =90°，∵OB 是⊙O 的半径，∴AB 是圆O 的切线；（2）∵∠A ＝30°，OB ＝1， ∴AB ＝tan 30OB =3=3， ∴S △ABO ＝12×1×3＝3， ∵∠AOB =2∠C=60°，∴S 扇形OBD ＝601360π︒︒⨯＝6π， ∴S 阴影＝S △ABO ﹣S 扇形OBD ＝326π-．【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、锐角的三角函数、三角形的面积公式、扇形的面积公式，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键．23．245【分析】（1）连接OC ，如图，由弧BC=弧CD 得到∠BAC=∠DAC ，加上∠OCA=∠OAC ．则∠OCA=∠DAC ，所以OC ∥AE ，从而得到OC ⊥FE ，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）设半径OB=OC=3x ，则OF=5x=3x+2，列方程得到OC=3，OD=5，求得AF=8，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC ，如图，∵点C 为弧BD 的中点，∴弧BC=弧CD ．∴∠BAC=∠DAC ，∵OA=OC ，∴∠OCA=∠OAC ．∴∠OCA=∠DAC ，∴OC ∥AE ，∵AE ⊥FE ，∴OC ⊥FE ．∴FE 是⊙O 的切线；（2）∵3in 5OC s F OF==， ∴设OB=OC=3x ，OF=5x ，∵OF=OB+BF ，BF=2∴5x=3x+2，∴x=1，∴OC=3，OF=5，∴AF=8， ∵3in 58AE AE s F AF ===， ∴245AE =． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．24．（1）5；（2）92【分析】 （1）过O 作OH 垂直于AC ，利用垂径定理得到H 为AC 中点，求出AH 的长为4，根据同弧所对的圆周角相等得到tanA ＝tan ∠BDC ，求出OH 的长，利用勾股定理即可求出圆的半径OA 的长； （2）由AB 垂直于CD 得到E 为CD 的中点，得到EC ＝ED ，在直角三角形AEC 中，由AC 的长以及tanA 的值求出CE 与AE 的长，由FB 为圆的切线得到AB 垂直于BF ，得到CE 与FB 平行，由平行得比例列出关系式求出AF 的长，根据AF−AC 即可求出CF 的长．【详解】（1）作OH AC ⊥于H ，则142AH AC ==，在Rt AOH ∆中，344AH tanA tan BDC ==∠=，， 3OH ∴=，∴半径225OA AH OH =+=；（2）AB CD ⊥，E ∴为CD 的中点，即CE DE =， 在Rt AEC ∆中，384AC tanA ==，，设3CE k =，则4AE k =， 根据勾股定理得：222AC CE AE =+，即2291664k k +=，解得85k =则2432,55CE DE AE ===， BF 为圆O 的切线，FB AB ∴⊥，又AE CD ⊥，//CD FB ∴，AC AE AF AB ∴=，即328510AF =， 解得：252AF =，则92CF AF AC =-=． 【点睛】 此题考查了切线的性质，垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 25．（1）F （6，3），m=12；（2）存在，1243+或1243-；（3）不在，需将直线3122y x =-+沿y 轴向下平移94个单位长度． 【分析】（1）由题意得矩形的中心F 坐标为（6，3），代入32y x m =-+，得m=12； （2）分,M N 在y 轴左、右两侧两种情况，证明MON ∆是等边三角形即可得到结论； （3）假设沿直线3122y x =-+将矩形ABCO 折叠，点O 落在边AB 上O′处．连接PO′，OO′．则有PO′=OP ，由（1）得AB 垂直平分OP ，所以PO′=OO′，则△OPO′为等边三角形．则∠OPE=30°，则（2）知∠OPE ＞30°所以沿直线3122y x =-+将矩形ABCO 折叠，点O 不可能落在边AB 上．设沿直线32y x a =-+将矩形ABCO 折叠，点O 恰好落在边AB 上O′处．连接P′O′，OO′．则有P′O′=OP′=a ，则由题意得：AP′=a -6，∠OPE=∠AO′O ，Rt △OPE 中，OE OA OP AO '=，即8612AO =所以AO′=9，在Rt △AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）2+92=a 2解得：394a =，所以将直线3122y x =-+沿y 轴向下平移94单位得直线，将矩形ABCO 沿直线折叠，点O 恰好落在边AB 上． 【详解】()1四边形ABCO 是矩形，6,12,AB BC ==()()()12,012,6,,0,6A B C ∴，F 是,AC OB 的交点，FO ∴是OB 的中点，()6,3P ，将()6,3F 代入32y m =-+， 得:363,2m -⨯+= 解得12,m = ∴点F 的坐标为()6,3，m 的值为12．（2）存在，①当,M N 在y 轴左侧时，如图1，直线3122y x =-+与y 轴交于点P ， (),0,1212,P OP ∴=,PC OC MG ∴==过M 点作MG BC ⊥交BC 的延长线于点,G,,MNG PNC PCN MGN PC GM ∠=∠∠=∠=，()MGN PCN AAS ∴∆≅∆，,PN MN ∴=点N 是PM 的中点，1,2ON PM MN ∴== ON 平分,//,CNM BC AM ∠,MNO CNO NOM ∴∠=∠=∠MON ∴∆是等边三角形，60,NMO ∴∠=︒4333MO ∴=== 4312AM MO OA ∴=+=+．②当,M N 在y 轴右侧时，如图2，同理可得3,OM =1243,AM AO OM ∴=-=-综上所述，线段AM 的长为1243+或1243- ()3不在，理由如下： 假设沿直线y=-32x+12将矩形ABCO 折叠，点O 落在边AB 上O′处． 连接PO′，OO′，则有PO′=OP ，由（1）得AB 垂直平分OP ，所以PO′=OO′，则△OPO ′为等边三角形．则∠OPE=30°，则（2）知∠OPE ＞30°， 所以沿直线y=-32x+12将矩形ABCO 折叠，点O 不可能落在边AB 上． 设沿直线y=-32x+a 将矩形ABCO 折叠，点O 恰好落在边AB 上O′处． 连接P′O′，OO′．则有P′O′=OP′=a ，则由题意得：AP′=a -6，∠OPE=∠AO′O ，在Rt △OPE 中，tan OE OPE OP ∠=，在Rt △OAO′中，tan OA AO O AO '∠='， 所以OE OA OP AO '=，即8612AO ='， 所以AO′=9，在Rt △AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）2+92=a 2解得：a=394， 所以将直线y=-32x+12沿y 轴向下平移94单位得直线y=-32x+394， 将矩形ABCO 沿直线y=-32x+394折叠，点O 恰好落在边AB 上．【点睛】主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义和相似三角形的性质来表示相应的线段之间的关系，再结合具体图形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．26．10．【分析】以A为旋转中心，把△BAC逆时针旋转120°，得到△EAD，连接BE，作AP⊥BE于P，根据等腰三角形的性质、余弦的概念求出BE，根据旋转变换的性质得到∠DEB＝90°，根据勾股定理计算即可．【详解】解：以A为旋转中心，把△BAC逆时针旋转120°，得到△EAD，连接BE，作AP⊥BE于P，则∠BAE＝120°，AB＝AE，DE＝BC，∴∠ABE＝∠AEB＝30°，∴BP＝AB•cos∠ABP＝3，∠DEA＝∠ABC＝60°，∴∠DEB＝30°＋60°＝90°，BE＝2BP＝6，在Rt△BED中，BD22＋＝10，ED BE故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理、旋转性质以及等腰三角形的性质等知识的综合运用，综合熟练掌握相关知识并利用旋转构造直角三角形和等腰三角形模型是解题的关键．。
九年级数学北师大版《锐角三角函数》单元测试题(卷)与答案
..九年级数学《锐角三角函数》单元测试题及答案一、填空题：（30 分）1．在 Rt △ABC中，∠ C=90°， 2a=b，则 tanA=______ ， sinA=_______ 。
2． sin55 °、 cos36°、 sin56 °的大小关系是____<____<____。
3．在△ ABC中，∠ C=90°，假如tan A 1，则cosB=_______。
假如 4 cos2 A 3 0，是∠A=______度。
34．一个直角三角形有两条边长为 3 和 4，则较小锐角的正切值是_________。
5．如图 6-29 ，某飞机于空中 A 处探测得地面目标C，此时飞翔高度AC=h米，从飞机上看到地面控制点 B 的俯角为α，则飞机 A 到控制点 B 的距离是 __________米。
6、在 Rt △ABC中，∠ C＝ 90°， a＝ 2，b＝ 3，则 cosA＝，sinB＝，tanB＝。
7、直角三角形ABC的面积为24cm2，直角边AB为 6cm，∠ A 是锐角，则sinA ＝。
8、已知 tan＝5，是锐角，则sin＝。
129、 cos 2(50 °＋) ＋ cos2 (40 °－) － tan(30 °－)tan(60°＋) ＝；10、如图1，机器人从 A 点，沿着西南方向，行了个 4 2单位，抵达 B 点后察看到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则本来 A 的坐标为.（结果保存根号）．yAB（ 1）O x（2）（3）11、等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为.12、某人沿着坡度i=1: 3 的山坡走了50米，则他离地面米高。
13、如图 2，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是 6 米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是米。
14、在△ ABC中，∠ ACB＝90°， cosA=3，AB＝8cm，则△ABC的面积为______。
北师大版初三数学运用锐角三角函数测试题(附答案)
北师大版九年级数学运用锐角三角函数测试题（附答案） 一、选择题1. 一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（ ）．（A ）30海里 （B ）40海里 （C ）50海里 （D ）60海里2. 如图，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200m 的M 和N 两点分别测定对岸一棵树P 的位置，P 在M 的正北方向，在N 的北偏西30的方向，则河的宽度是（ ）A．B．3C．D ．100m3. 王师傅在楼顶上的点A 处测得楼前一棵树CD 的顶端C 的俯角为60 o ， 又知水平距离BD =10m ，楼高AB =24 m ，则树高CD 为（ ）A ．()31024-mB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-331024m C ．()3524-mD ．9m4. 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米B．C．3米 D5. 一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40°，则梯子底端到墙的距离为（ ） A ．5sin 40°B ．5cos 40°C ．5tan 40°D ．5cos 40°6. 如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）(A) m ·sin α米 (B) m ·tan α米 (C) m ·cos α米 (D) αtan m米7. 小明沿着坡度为2:1的山坡向上走了m 1000，则他升高了（ ）A ．m 5200B ．m 500C ．m 3500D ．m 10008. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ） Am B ．4 mA BCm αC．m D ．8 m9. 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB 的坡比是比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（ ）A． 米 B ． 10米 C ．15米 D．10. 如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O 点20 m 的点A 处，测得楼顶B点的仰角∠OAB ＝65°，则这幢大楼的高度为（结果保留3个有效数字）（ ） （A ）42.8 m （B ）42.80 m（C ）42.9 m （D ）42.90 m二、填空题11. 如图，AB 是伸缩式的遮阳篷，CD 是窗户．要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB 的长度是 米．(假设夏至的正午时刻阳光与地平面夹角为︒60)12. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB =14cm ，则阴影部分的面积是_________cm 2.13. 如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M （点M 在长边CD 上）出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点. 如果MC n =，CMN α∠=.那么P 点与B点的距离为 .14. 如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC 为3米，引桥的坡角∠ABC 为15°，则引桥的水平距离BC 的长是 米(精确到0.1米) .15. 如图，河岸AD 、BC 互相平行，桥AB 垂直于两岸，从C 处看桥的两端A 、B ，夹角∠BCA ＝60,测得BC ＝7m ，则桥长AB ＝ m （结果精确到1m ）2第7题ACE BAC B A DCBA16. 如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）.（参考数据：2 1.414≈ 3 1.732≈）17. 水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD 时的∠ABC ,其中AB 为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则α的余弦值为 .18. 课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB 在地面上的投影BC 长为24米，则旗杆AB 的高度约是 米．（结果保留3个有效数字，3≈1.732）19. 如图，一艘船向正北航行，在A 处看到灯塔S 在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B 点．在B 处看到灯塔S 在船的北偏东60°的方向上．此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S 的最近距离是 海里（不作近似计算）．20. 如图，一副三角板拼在一起，O 为AD 的中点，AB = a ．将△ABO 沿BO 对折于△A ′BO ，M 为BC 上一动点，则A ′M 的最小值为 ．三、应用题21. 某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，下图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中， AB ⊥BD ，∠BAD ＝18o ，C 在BD上，BC ＝0.5m ．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD 的长就是所限制的ABC30°60° 30°SBA 北南西 东45︒60︒A ′B MAODC高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果．（结果精确到0.1m）22. 水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库大坝进行加固.原大坝的横断面是梯形ABCD，如图（9）所示，已知迎水面AB的长为10米，60B∠=°，背水面DC的长度为103米，加固后大坝的横断面为梯形.ABED若CE的长为5米.（1）已知需加固的大坝长为100米，求需要填方多少立方米；（2）求新大坝背水面DE的坡度.（计算结果保留根号．．．．．．．．）23. 据交管部门统计，高速公路超速行驶是引发交通事故的主要原因．我县某校数学课外小组的几个同学想尝试用自己所学的知识检测车速，渝黔高速公路某路段的限速是：每小时80千米（即最高时速不超过80千米），如图，他们将观测点设在到公路l的距离为0.1千米的P 处．这时，一辆轿车由綦江向重庆匀速直线驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒（注：3秒=12001小时），并测得∠APO=59°，∠BPO=45°.试计算AB并判断此车是否超速？（精确到0.001）．（参考数据：sin59°≈0.8572，cos59°≈0.5150，tan59°≈1.6643）．24. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度.25. 如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平面上．（1）改善后滑滑板会加长多少米？（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．ABC（参考数据：141.12=，732.13=，449.26=，以上结果均保留到小数点 后两位．）26. 某乡镇中学数学活动小组，为测量教学楼后面的山高AB ，用了如下的方法.如图所示，在教学楼底C 处测得山顶A 的仰角为60︒，在教学楼顶D 处，测得山顶A 的仰角为45︒.已知教学楼高12CD =米，求山高AB .（参考数据3 1.732 1.41==，，精确到0.1米，化简后再代参考数据运算）一、选择题第1题答案.B第2题答案.A第3题答案.A第4题答案.C第5题答案.B第6题答案.B第7题答案.A第8题答案. B第9题答案.A第10题答案.C 二、填空题第11题答案.3第12题答案.492第13题答案.tan tan m n αα-⋅第14题答案.11.2第15题答案.12第16题答案.82.0第17题答案.π21第18题答案.13.9第19题答案.第20题答案.a 426- 三、应用题第21题答案.解：在△ABD 中，∠ABD ＝90 ，∠BAD ＝18，BA ＝10∴tan ∠BAD ＝BABD…………………………………2分 ∴BD ＝10×tan 18∴CD ＝BD―BC ＝10×tan 18―0.5…………………………4分 在△ABD 中，∠CDE ＝90―∠BAD ＝72∵CE ⊥ED ∴sin ∠CDE ＝CDCE…………………………………6分 ∴CE ＝sin ∠CDE×CD ＝sin72×（10×tan 18―0.5）≈2.6（m ）………9分 答：CE 为2.6m ……………………………………10分第22题答案.解：（1）分别过A D 、作AF BC ⊥、DG BC ⊥，垂足分别为F G 、，如图（1）所示， 在Rt ABF △中，10AB =米，60B ∠=°. ∴sin AFB AB ∠=，即sin 6010AF =°， 310532AF ∴=⨯=，………………………………………………… 2分 ∴53DG =……………………………………………………………………3分所以11255533222DCE S CE DG =⨯⨯=⨯⨯=△， ∴需要填方100253125032⨯=（立方米）. ……………………………6分（2）在Rt DGC △中，103DC =， 所以GC＝()()22221035315DC DG -=-=， (7)分所以15520.GE GC CE =+=+=∴背水面DE 的坡度i ＝533.204DG GE ==………………………………10分 答：（1）需要土石方12503立方米；新大坝背水面DE 的坡度34i =.………………10分第23题答案.解：设该轿车的速度为每小时x 千米∵AB AO BO =-，45BPO ∠= ∴0.1BO PO ==千米 ··················又tan590.1 1.6643AO OP =⨯=⨯ ·················································∴0.1 1.66430.10.10.66430.06643AB AO BO =-=⨯-=⨯= ·············即0.066AB ≈千米 ·····································································而3秒=12001小时 ∴0.06643120079.716x =⨯≈千米∕时 ············································∵79.716＜80 ∴该轿车没有超速. ·················································第24题答案.解：过点A 作直线BC 的垂线，垂足为点D .则90CDA ∠=°，60CAD ∠=°，30BAD ∠=°，CD =240米.1分在Rt ACD △中，tan CDCAD AD∠=， 24080 3.tan 603CD AD ∴===°3分 在Rt ABD △中，tan BDBAD AD∠=， 3tan30803803BD AD ∴==⨯=·°. 5分 ∴BC CD BD =-=240-80=160.答：这栋大楼的高为160米.6分（注：只要正确求出BC 的值，没答不扣分）第25题答案.解：（1）在Rt △ABC 中，∠ABC=45°∴AC=BC=AB ·sin45°=22224=⨯……………2分 在Rt △ADC 中，∠ADC=30°∴AD=24212230sin =÷=oAC ……………………2分 ∴AD-AB=66.1424≈-∴改善后滑滑板会加长约1.66米. ……………4分（2）这样改造能行，理由如下： ……………………5分 ∵989.462332230tan ≈=÷==oAC CD ……………6分∴07.22262≈-=-=BC CD BD …………………7分 ∴6-2.07≈3.93＞3∴这样改造能行. …………………………………8分第26题答案.解：过D 作DE AB ⊥于E ，则DE BC ∥设AB h =米，在Rt ABC △中，60tan 30BC hh =︒=︒·cot ? 在Rt AED △中，3tan 45tan 453AE DE BC h =︒=︒= 又12AB AE BE CD -===3123h h ∴-= 123636(33)1863186 1.73633313h +∴====+=+⨯--1810.3828.4=+≈（米）答：山高AB 是28.4米ABCD。