易拉罐尺寸的最优设计方案
易拉罐形状和尺寸的最优设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计（06全国一等奖）摘要任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的，这并非偶然，应该是某种意义下的最优设计.本文以饮料量为355毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，解决了以下五个问题.对于问题一，我们测得易拉罐顶盖直径为5.9cm，顶盖到底面的高为12cm，侧面的高为12.3cm，中间胖的部分的直径为6.6cm、周长为20.8cm，并在网上查得侧面与顶盖、底面厚度之比为1:2.对于问题二，本文以易拉罐所耗材料的费用达到最小来考虑，由于易拉罐各部分单位面积的价格难以确定，本文通过各部分单位面积的价格与相应厚度的关系，将目标函数由求所耗材料的最小费用转化为求所耗材料的最小体积，罐的容积是一定的（355毫升），即为目标函数的约束条件，所以我们建立了一个非线性优化模型.根据拉格朗日乘数法并用Matlab软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为半径和高之比是1:4，其结果可以合理地说明我们所测量的易拉罐的形状和尺寸.对于问题三，本文运用问题二的方法建立了一个非线性优化模型，根据拉格朗日乘数法并用Matlab 软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为——上面部分为圆锥体（下底半径为3.45cm，高为3.09cm）、下面部分为圆柱体（高为8.45cm），其结果与本文所测量的易拉罐的形状和尺寸并不符合.然后本文通过合理性和可行性分析，发现本文求得的是耗用材料最省的最优设计，但从美感、物理、力学、工程或材料方面考虑，与实际的设计相比实用性稍差.对于问题四，本文从耗材上的节省，以及外形的美观和可行性等方面设计了自己的关于易拉罐形状的最优设计——正椭圆柱体的易拉罐.运用问题二的方法建立了一个非线性规划模型，并通过Matlab 软件编程求得了比较合理的尺寸，求得：椭圆柱体上下底面的半径为 1.8h cm=，中间=，高为11.6r cm最胖部分的半径为3.6cm.另外，本文从不同的角度分析了这一设计的优缺点.对于问题五，我们根据做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文，阐述了什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点等.最后，本文对问题二、问题三、问题四的模型及结果进行了分析和评价.此外，对于问题四，我们求出了易拉罐为正椭圆柱体时的最优设计.用同样的方法，我们可以解决易拉罐为其它形状时的最优设计,如易拉罐的中心纵断面为双曲线的旋转体.另外,从消费者购买欲望的角度分析，最优设计还要考虑消费群体不同需求的偏好，不同的消费群体对产品的偏好是不同的.关键词：易拉罐非线性优化模型拉格朗日乘数法正椭圆柱问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的.看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计.当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了.以饮料量为355毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，现需解决五个问题，具体如下：问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是自己测量得到的，必须注明出处.问题二：⑴易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？⑵其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等.问题三：⑴易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体.什么是它的最优设计？⑵其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸.问题四：通过对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计.问题五用做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点.问题分析任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，要使易拉罐的设计达到最优即所耗材料费用应最省，因此我们可以将所耗材料费用看成是我们所要求的目标函数.材料费用通常是以单位面积来衡量的，从制造工艺的角度来看，侧面和顶盖、底面的造价是不同的，通常底面造价比侧面造价要高，这主要取决于底面比侧面厚度要大，因为如果底面和侧面一样薄，就很难将易拉罐拉开；如果侧面和底面一样厚，则浪费材料. 易拉罐总的费用应为顶盖、底面和侧面的面积乘以各自相应单位面积的造价，而底面和侧面的造价与其相应的厚度有关，厚度越大造价越高，反之，厚度越小造价越低.又表面积乘以厚度为体积，从而我们可以将目标函数由求所耗材料的最小费用转化为求所耗材料的最小体积.我们在全文数据库中查得：铝制易拉罐的罐体采用的生产工艺是一次成型的，它并不要从一块大的铝片上裁下材料[1].所以，我们不用考虑余料的问题，只需考虑现在所耗的材料.罐的容积是一定的（355毫升），即为目标函数的约束条件.综合以上分析，对于问题二、问题三、问题四，我们可以建立一个以易拉罐所耗材料体积为目标函数，罐的容积为约束条件建立一个非线性优化模型.模型建立与求解1、对于问题一易拉罐的中心纵断面如下图所示，记为图①：图① 易拉罐的中心纵断面我们利用直尺、一条窄的无伸缩的薄纸条和游标卡尺测得：易拉罐侧面的高h 为12.3cm ，顶盖到底面的高1h 为12cm ，中间胖的部分的高2h 为10.2cm ，顶盖直径1d 为5.9cm ，中间胖的部分的直径2d 为6.6cm 、周长为20.8cm .在网上查得资料，侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2[2].⑴ 模型建立当易拉罐是一个正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图②（说明：侧面厚度和底面厚度应该是很薄的，为了方便图形的标识，就将其实际厚度扩大了很多倍）.底面厚度半径r图② 易拉罐的中心纵断面设易拉罐的侧面厚度为d ，底面外侧圆半径为r ，罐高为h ，罐的容积为V ，侧面所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材.其中，d 和V 是固定参数，r 和h 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ； 侧面所用材料的体积为：22[()]V r r d h ππ=--侧；顶盖和底面所用材料的体积为：22()2V r d d π=⨯-⨯底；222[()]2()2V V V r r d h r d dπππ ∴=+ =--+-⨯侧材底且2()(22)V r d h d π=-⨯-⨯综上，我们可以建立以下的数学模型：222min (,)[()]2()2(,)355..0,0V r h r r d h r d dV r h s t r h πππ =--+-⨯=⎧ ⎨>>⎩材 ┈┈┈┈┈┈┈模型①⑵ 模型求解根据我们所建立的模型，即要在罐的容积一定的情况下求使所用材料体积最小的半径和高之比.由模型可以看出，这是一个多元函数条件极值问题，可以由拉格朗日乘数法[3]来求解.引入参数λ，函数(,)(,)355r h V r h ϕ=-，令(,,)(,)(,)L r h V r h r h λλϕ=+材要求L 的极值，即其对r h λ、、的一阶偏导数为零，则：00(,)0V L rr r V L hh h L r h ϕλϕλϕλ∂⎧∂∂=+=⎪∂∂∂⎪∂⎪∂∂=+=⎨∂∂∂⎪∂⎪==⎪∂⎩材材 通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序1），求得：223:1:43.0460.4313(3.046)0.8626(3.046)0.431312.18.r h r d h d d d d d ==+=⨯+-⨯++⨯+；；即易拉罐是正圆柱体时的最优设计为：半径和高之比是1:4.我们所测量的易拉罐的顶盖直径为：5.9cm ，从顶盖到底面的高为：12cm ，从而我们所测的易拉罐的半径和高之比为：(5.92):121:4.0678÷≈因此，我们根据模型所求得的易拉罐的半径与我们测量得到的半径相差不大，且易拉罐的半径与高之比和我们所测的易拉罐的半径与高之比也基本吻合.⑶ 验证:1:4r h =使V 材达到最小要验证:1:4r h =使V 材达到最小，我们只需验证r 使V 材达到最小.由2()(22)V r d h d π=-⨯-⨯,可得:24()V h d r d π=+- 2222[()]42()2()V V r r d d r d d r d ππππ∴=--⨯++-⨯-材 计算''V 材,通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序2），求得:2''75.3865d+24.7500d V =材，其中0d >，故''0V >材.又由于在前面我们已经求得 3.046r d =+，所以，这个 r 的确使V 材 达到局部最小, 因为临界点只有一个, 故也使V 材达到全局最小.3、对于问题三⑴ 模型建立当易拉罐的上面部分是圆台、下面部分是正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图③.半径高度1h半径2r图③ 易拉罐的中心纵断面设圆台上底面半径为1r ，下底面半径为2r ，圆台的高为1h ，圆柱体的高为2h ，侧面（包括圆台侧面和圆柱体侧面）厚度为d ，罐的容积为V ，侧面（包括圆台侧面和圆柱体侧面）所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材.其中，d 和V 是固定参数，1r 、2r 、1h 和2h 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ； 又由于圆台的表面积和体积可以表示如下：圆台的表面积22()S r rl Rl R π=+++圆台表，圆台的体积'2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台（其中，r R 、分别为圆台上底、下底半径，h 为圆台的高，l 为圆台的母线）可得：侧面所用材料的体积为：2212222[([()]V r r d r r d h πππ=+⨯+--侧；顶盖和底面所用材料的体积为：2212[()]2V r r d d ππ=+-⨯底；1212(,,,)V r r h h V V ∴=+侧材底 且22211212221(2)[()()]()(2)3V h d r r d r r d r d h d ππ=-+-+-+-⨯-综上，我们可以建立以下的数学模型：121212121212min (,,,)(,,,)355..0,0,0,0V r r h h V r r h h s t r r h h =⎧ ⎨>>>>⎩材┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型③ ⑵ 模型求解根据我们所建立的模型，即要在罐的容积一定的情况下求使所用材料体积最小的半径和高之比.由模型可以看出，这是一个多元函数条件极值问题，可以用拉格朗日乘数法来解决这一问题. 引入参数λ，函数12121212(,,,)(,,,)355r r h h V r r h h ϕ=-，令121212121212(,,,,)(,,,)[(,,,)355]L r r h h V r r h h V r r h h λλ=+-材要求L 的极值，即其对1212,,,,r r h h λ的一阶偏导数为零，则：12121112221112220000(,,,)0V L r r r V L r r r V L h h h V L h h h L r r h h ϕλϕλϕλϕλϕλ∂⎧∂∂=+=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=∂∂∂⎪⎪∂⎪==∂⎪⎩材材材材 通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序3），求得两组可行解，具体如下所示： 1 4.211820119.10820r r h h ====、、、 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈解①12120 3.4527 3.08848.4498r r h h ====、、、 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈解②根据解①可以知道易拉罐是一个倒立的圆锥，显然不符合实际情况，故舍去这组解，我们取解②. 我们对结果保留两位小数，即圆台上底面半径为0，圆台的高为3.09cm ，圆台下底面半径也即圆柱体底面半径为3.45cm ，圆柱体的高为8.45cm ，此时易拉罐上面部分是一个圆锥体.⑶ 模型结果分析① 与实际测量的数据进行比较我们所测的顶盖直径为5.9cm ，中间胖的部分的直径为6.6cm ，侧面的高为12.3cm .根据我们的模型算得的结果与实际测的结果并不符合.② 合理性分析从耗用材料方面来说，我们建立的模型是耗用材料最省的最优设计.我们所求得的结果是满足材料最省的，由我们的模型在Matlab 下编程求得易拉罐耗用的材料体积为308.46d （d 为侧面厚度），而根据我们实际测量的数据求得易拉罐耗用的材料体积为357.45d ，故我们求得的易拉罐的最优设计比实际中的易拉罐耗用材料要省.③ 可行性分析根据我们求得的结果，易拉罐上面部分不是圆台而是一个圆锥体，这明显不符合实际，因为易拉罐的上顶面要留有拉环的位置.为什么我们求得的最优设计不符合实际的情况？主要原因有以下几点：第一，从美学角度上来讲.任何产品的设计都要注意包装要给人以美感，设计时要考虑消费者的审美习惯，使消费者能从包装中获得美的享受，并产生购买欲望.[4]我们根据实际测量的数据，发现易拉罐胖的部分的直径与胖的部分的高的比为：6.60.647110.2≈，很接近黄金分割率0.618.黄金分割率可以衡量平面图形美与不美，易拉罐下面部分的圆柱体的轴截面是矩形，如果它的轴截面的宽长之比满足黄金分割率，看起来就比较美观，说明这种设计并不是巧合，而是从外观的美感上作了研究的.而根据我们模型计算的结果，易拉罐胖的部分的直径与胖的部分的高的比为：21222 3.45270.59853.08848.4498r h h ⨯=≈++，这也很接近黄金分割率，满足了我们设计上美感的要求，从这一点上也可以说明我们的模型是有一定合理性的.但我们求的拉罐上面部分是一个圆锥体，从严格意义的美感上来讲不符合实际的情况.第二，从物理、力学、工程或材料方面考虑.[5]底面是上拱的底面，顶盖实际上也不是平面的，略有上拱，从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合) 很牢固、耐压.所有这些都是物理、力学或材料方面的要求，必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定.而我们的模型考虑的易拉罐的底面和顶部都是平面的，并且没有考虑坡度，实用性稍差.4、对于问题四⑴ 模型分析根据几何学原理，同体积的几何形状，以球体的表面积最小，也就是说容积一定时，做成球形时所耗用的材料最省.单以材料最省为目标的话，易拉罐的最优设计就是球形.但是考虑实际情况，球形不容易运输、不能静止放置等等有太多的缺点，故我们舍去这种想法.根据球形和放置方便等情况，再考虑对称美，我们想到把球体上下各切掉相等的一部分，这样可以解决放置问题，用图形表示如下所示，记为图④：图④ 易拉罐的中心纵断面根据图形，我们可以看出来它的形状是矮胖形，十分不美观，且很不方便握拿.由以上的分析，我们就尝试把易拉罐做如下图所示的形状，记为图⑤：图⑤ 易拉罐的中心纵断面也就是一个椭圆体上下部分各切掉相等的一部分.再考虑美观，我们引入黄金分割，即我们可以让易拉罐的宽（这里我们取易拉罐最胖部分的直径，即为椭圆柱体的中心纵断面的短轴长）跟易拉罐的高之比等于黄金分割率.⑵ 模型建立设侧面厚度为d ，底面外侧圆半径为r ，罐高为h ，罐的容积为V ，侧面积为S ，侧面的高为h ，侧面所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材，椭圆柱体的中心纵断面的长半轴为a 、短半轴为b .其中，d 和V 是固定参数，r 、h 、a 、b 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ；我们又利用黄金分割的思想，令易拉罐的宽（这里我们取易拉罐中间最大值）与易拉罐的高之比等于黄金分割率，即：212b h =. 为了方便求椭圆柱的侧面积，我们以椭圆柱体的中心纵断面的长轴为x 轴、短轴为y 轴、以长轴和短轴的交点为原点建立直角坐标系，用下图表示,记为图⑥：a - x - 0 x a x 轴b -图⑥侧面积()xx S A x dx -=⎰ （其中，()A x 表示过点x 且垂直于x 轴的截面的周长）罐的容积()xx V B x dx -=⎰ （其中，()B x 表示过点x 且垂直于x 轴的截面面积）侧面所用材料的体积为V S d =⨯侧；顶盖和底面所用材料的体积为：22()2V r d d π=⨯-⨯底；(,,)V r a b V V ∴=+侧材底且355(V =毫升）综上，我们可以建立以下的数学模型：min (,,)(,)355..0,0,0V r a b V a b s t r a b =⎧ ⎨>>>⎩材 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型④ ⑶ 模型求解根据模型，在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序4），求得五组可行解，其中有两组解可以满足我们的情况，这两组解如下：6.2 3.7121234*()a cm b cm h cm r cm s d = ====、、、、立方厘米 ┈┈┈┈┈解③6.7 3.611.6 1.8271.5*()a cm b cm h cm r cm s d =====、、、、立方厘米 ┈┈┈解④⑷ 结果分析在五组解中我们选了两组能满足我们情况的解，即解③和解④.先分析解③.单从材料最省来考虑，那么解③是比较可行的，但是我们可以看到这种情况下半径只有1cm，考虑放置问题的可行性，这种情况是不利于放置的.再分析解④.虽然就用料方面比解③那种情况要多一些，但是它的底面半径有1.8cm，应该是比较有利于放置的.所以我们认为第二种情况更为可行，于是我们取第二种情况的数据.另外，根据我们所得到的五组实数解，不难发现长轴长与短轴长相差越远所用的材料越多；反之，它们相差越小时，所用的材料越少.那么当长轴与短轴长度相等时，所耗用的材料应该是最少的，这也就是当易拉罐是球形时,所用的材料是最小的，从而也验证了此结果的合理性.5、对于问题五对数学建模的体会及认识我们的日常生活中无时无处不存在数学建模问题，例如：如何有效控制病毒的传播、如何进行生产使获利最大、如何节约水资源等等都离不开数学建模.数学建模让我们切身感受到了科学知识提高生产效率、改善生活质量的伟大力量，提高了我们的科研能力和团队合作精神.通过实践数学建模，我们对什么是数学建模、它的关键步骤以及难点有了比较深刻的认识.一、什么是数学建模？数学建模是运用科学方法，通过观察和想象，对实际问题进行抽象、简化，反复探索、逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型.因此，数学建模不仅是一种定量解决实际问题的科学方法，而且还是一种从无到有的创新活动过程.二、数学建模的关键步骤数学建模的基本步骤可以用下图来表示，记为图⑦：否否图⑦数学建模的基本步骤图我们觉得在这7个基本步骤中关键的步骤有有以下3个：⑴模型假设模型假设是把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆脱原型的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件.⑵模型建立模型建立是在模型假设的基础上，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻划实际问题的数学模型.⑶模型应用模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最客观、最公正的检验.因此，一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产科研中的特殊作用.三、数学建模的难点我们觉得数学建模的难点有3点，具体如下：⑴怎样针对实际的问题作出合理的假设.这是建模至关重要的一步，一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设将很难转化成数学模型，即便转化成功也可能是一个复杂且难于求解的模型.⑵怎样采用合适的方法求解模型.对于较为复杂的问题，模型即使建出来但可能解不出来，所以，我们要选择合适的算法来求解模型.⑶怎样检验模型是正确合理的.如果模型不合理就没有其实用价值，就又得重新建立一个合理的模型.另外，我们觉得建一个合理的模型只依靠数学知识是远远不够的，必须对所研究问题的背景有很深入的了解，就拿本题的第三问来说，我们设计的易拉罐的确是用料最省的，可是其形状并不符合实际，这主要是我们对背景知识的了解并不够透彻，第三问不仅仅是要满足用料最省，还要从美感、物理、力学、工程或材料等方面来考虑.评价与推广对于问题二，在计算过程中我们考虑了制成易拉罐的铝片的厚度，用拉格朗日乘数法进行求解得到最优值，其误差很小，而且我们最后得出的结论具有普遍性.对于问题三，如果考虑易拉罐的厚度，在用拉格朗日乘数法进行求解时，由于所求的方程组太复杂，计算机运行时间太长，无法得到结果.根据分析，我们发现易拉罐的厚度对结果的影响不大，因此，我们在计算时可以忽略易拉罐的厚度进行近似求解，这一近似的求解误差也是非常的小.对于问题四，由于相同体积下球的表面积是最小的，根据这一条件，我们从耗用量上料的节省、美观及可行性等方面设计了自己的关于易拉罐形状的最优设计——正椭圆柱的易拉罐.以椭圆柱为模型生产易拉罐，可以使厂家的生产成本减小，但是在装运方面与现在市场上的易拉罐形状比起来相对逊色很多,从而会增加装运成本.另外,我们求出了易拉罐为椭圆柱体时的最优设计.用同样的方法，我们可以解决易拉罐为其它形状时的最优设计,如易拉罐的中心纵断面为双曲线的旋转体.从消费者购买欲望的角度分析，最优设计还要考虑消费群体不同需求的偏好，不同的消费群体对产品的偏好是不同的. 经济学总是假设人们试图得到最偏好的结果，通常，我们可以模型化这个人试图最大化什么，例如欲望、货币、效用，这样我们就把人们的决策模型化为了最优化问题.。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
1 2 h 2 z2 a h12 2 ) dz h a (1 2 12 b b 2
h 2
2
建立数学模型三：
目标函数：
min SV
1 2 12b 2 b k
a 2 2b k h 2k1 2 2 2 2 k h 2k1 2ab 12b k h 2k1 2 2 2 b k 12b k h 2k1
2r1
1 =12b 2 b k 2
a 2 2b k h 2k1 2 2 2 2 k h 2k1 2ab 12 b k h 2k1 2 2 2 b k 12 b k h 2k1
11.210 11.141
内直径 内高 圆柱内高
d=2r=6.6-2×0.011=6.578cm h=11.210-0.034-0.035=11.141cm h2=h-h1=11.141-1.301=9.84cm
从上表的数据可以做如下假设： 1. k1=k2=3k
2. h=2d=4r
问题二求解：
模型一： 目标函数： min SV=(2πrk+πk2)×(h+k
h SV上底=SV下底=
h k1 2 h 2
2 z2 a (1 2 ) dz b
2r1
1 2 3h 2 6hk1 4k12 a k1 12 = 2 12 b
椭球的内长轴为b，内短轴为a SV=SV侧+SV上底+SV下底 侧壁.上下底厚度为k.k1
易拉罐形状和尺寸的最优设计
符号说明
H:正圆柱体易拉罐罐身的高 H’:正圆台和正圆柱体结合的易拉罐罐身的高 h1:易拉罐的圆台部分的高 h2:易拉罐的圆柱部分的高 其中：H’=h1+h2 R:易拉罐的圆柱部分的半径 r:易拉罐的圆台上底面的半径 l:易拉罐的圆台的母线长 S:制作易拉罐所需要的铝的总体积数 V: 铝制易拉罐的实际容积 w1:铝制易拉罐的顶部厚度 w2:铝制易拉罐的壁厚 w :铝制易拉罐的底部厚度
R
36.96715
l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ32.90419
h1
24.50651
h2
75.72977
• 图形说明：最顶上 圆柱部分为旋合式 瓶口，以下部分为 瓶身，瓶子底端、 圆柱和圆台相接处 有加强折痕。
模型总结
• 问题一的测量中，我们缺少有效的测量工 具，在实际的测量过程中存在着一定的误 差，但通过对可口可乐的易拉罐（净含量 为355毫升）进行测量，得到它顶盖的直径 和从顶盖到底部的总高: 约为6厘米和12厘 米. 最大圆柱的直径约为6.6厘米。这和我们 对纯美啤酒的易拉罐测量数据相当接近。
• 问题三中，当易拉罐是由一个正圆柱体和一个圆 台所组成时，在圆台顶面半径一定的情况下，外 观看起来最为舒适且用铝量最小是它的最优设计， 得到半径和高的比值为3.417，就单单从尺寸数 据上来看，虽然它的比值仍然和真实的比值相接 近，但是与第二题中的圆柱得到的比值反而差别 更大，这证明数据出现了更大的偏差，然而我们 从形状的角度来看，就会发现此时的易拉罐和真 实的易拉罐有比较大的相似之处，所以我们认为 得到的结果能比较合理的说明所得到的测量数据。
模型求解
问题1：我们利用游标卡尺测量得到了以下结论：
总高 中间最大 直径 壁厚度 顶盖厚度 顶盖直径 底盖厚度
易拉罐形状和尺寸的最优设计方案
问题五：对易拉罐形状和尺寸的最优设计综合考虑了多方面的影响因素，并巧妙应用 拉格朗日乘数法求出了最优解析解，具有较强的实用性和推广性。
二、模型假设
模型 四个假设
1：易拉罐的 容积是一定 的；
2：所有材料 的密度都相同， 材料的价格与 其体积成正比；
3：拉环生产 成本固定， 不受易拉罐 形状和尺寸 的影响；
3
m a r1 b2 r2 c 2 r1 br2 c
图4有不同罐壁厚 度易拉罐的圆台
（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形
综合考虑两方面因素，使得易拉罐用料最少时，焊缝 长度也尽量取到最小。
由此可得 模型六：
2 2 2 2 min M 1Y 2 Z 1 r2 h m r1 r2 r1r2 r2 c h d 焊缝长度： 3 2 2 Z 2r1 1 m a r1 b r2 c r1 b r2 c 2 2r1 3 V r2 c 2 h d m a r1 b 2 r2 c 2 r1 b r2 c 3 m 0.2873 l s.t. （模型六为求解问题 r1 , r2 , l , h 0 三的完善模型） r2 r1 1 , 2 0
内容概要
七、模型评价与推广 二、模型假设 三、符号说明
一、问题重述
六、模型求解
五、模型建立
四、模型分析
一、问题重述
问题一：测量十种常见饮料的易拉罐的八项指标，我们得到了比较精确的数据。 问题二：将易拉罐分为各处壁厚相同、壁厚不同以及兼顾不同壁厚与焊接长度三种情 形，分别建立了以易拉罐表面积、材料体积、材料体积和焊缝长度为目标函数，容积 一定为约束条件的非线性规划模型，检验实测数据与理论结果吻合效果较好。 问题三：分上述三种情形分别建立模型，再用拉格朗日乘数法求得解析解之后，用 Matlab 6.5编程求得结果，并用配对样本T检验，说明实测数据与理论结果基本相符。 问题四：引入黄金分割点，综合考虑压强、环保及材料最省，设计了一种集各种优点 的新型易拉罐。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
目录
• 引言 • 易拉罐的历史与现状 • 易拉罐形状和尺寸的影响因素 • 最优设计的探索与实验 • 最优设计的实现与应用 • 结论与展望
01
引言
主题简介
• 易拉罐作为一种常见的包装容器，广泛应用于饮料、食品等领 域。其形状和尺寸的设计对于产品的展示、运输、存储以及消 费者的使用体验等方面都有着重要的影响。因此，研究易拉罐 形状和尺寸的最优设计，对于提升产品品质、降低生产成本以 及增强市场竞争力等方面都具有重要的意义。
形状单一，缺乏个性化，难以满 足消费者多样化的需求。
定制化易拉罐优点
可根据客户需求进行个性化设计 ，适用范围广。
可重复使用易拉罐缺点
成本较高，清洗和保养较为麻烦 ，消费者接受度有待提高。
可重复使用易拉罐优点
可减少浪费和环境污染，节约资 源。
定制化易拉罐缺点
成本较高，生产周期较长，消费 者认知度有限。
材料选择和设计应考虑环保和可持续性。
实验设计与方法
文献调研
查阅相关文献，了解现有易拉罐的设 计和市场情况。
用户调研
通过问卷和访谈，收集用户对易拉罐 的期望和需求。
原型制作与测试
根据设计思路制作多个原型，进行实 际使用测试。
数据分析
收集用户反馈，分析数据，优化设计。
实验结果与分析
功能性测试结果
原型在开启、关闭和携带方面表现良好，满 足基本功能需求。
研究目的和意义
• 随着市场竞争的加剧和消费者需求的多样化，对于包装容器的要求也越来越高。易拉罐作为包装容器的一种，其形状和尺 寸的设计直接影响到产品的外观、使用便利性以及存储运输的效率。因此，研究易拉罐形状和尺寸的最优设计，旨在满足 消费者对于产品外观和使用体验的需求，提升产品的市场竞争力，同时降低生产成本，为企业创造更大的经济效益。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
具体说，请你们完成以下的任务：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
2．设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。
摘要本文利用游标卡尺分别测出355毫升易拉罐的各项数据。
设易拉罐是一个圆柱体时，我们采用等厚度面积法将体积问题转化为面积问题，再运用极值的知识求出最优比例。
设易拉罐中心纵断面上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，我们通过对其厚度、材料的密度分布、易拉罐的预留体积做一系列假设，建立相应数学模型，运用LINGO、CAD等工具求出其最优设计。
对于易拉罐的设计，我们着重从经济、视觉、安全和消费者心理几个角度入手设计，并建立对应数学模型验证其可行性。
关键词：黄金分割率等厚度面积法一、问题重述二、模型假设1．不考虑易拉罐具体制作工艺，仅对形状、尺寸及重量等非工程及技术量作出相应的分析。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计组员：邢登峰，张娜，刘梦云摘要研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。
问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。
问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为 3： 1的条件下，建 立易拉罐用料模型s （r ） 2 rd （爲 2r ），由微积分方法求最优解，结论：易拉r罐高与直径之比2： 1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2： 1的条件下，将 易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：min s （r,h ）2g （r,h ） r h v 0 s.t r 0h 0用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为 3: 1。
问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比 2: 1的条件下，将上面为正圆 台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设 计。
模型用数学软件求得最优解结论：易拉罐总高：底直径=2: 1，上下底之比=1: 2，与实际比较分析了 各种原因。
问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1： 0.4更别 致、美观。
对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。
另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样 易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。
最后写出了我们对数学建模的体会文章。
关键词：易拉罐最优设计数学建模问题重述在生活中我们会发现销量很大的饮料（例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等）的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非（R才W 卄（R 「亍r=1.467, h=1.93时，s=45.07最小。
圆台面积 s （r ） r 2偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
罐形状和尺寸的最优设计方案
易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要易拉罐十分流行，对易拉罐的优化设计有重要的经济意义与实际意义。
对问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。
对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)vs r rd r rππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：2min (,)(,)0.00s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。
对问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。
模型圆台面积2()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=４5.07最小。
结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。
对问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。
对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。
另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。
对问题五，写出了我们对数学建模的体会文章。
关键词：易拉罐 最优设计 数学建模一、问题的提出每年我国易拉罐的使用量是很大的，（近年我国每年用易拉罐6070亿只），如果每个易拉罐在形状和尺寸作优化设计，节约一点用料，则总的节约就很大了。
为此提出下述问题：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明。
2．设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
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罐底 厚度 (cm)
6.616 6.62 6.66 6.618 6.614 6.616 6.646 6.628 6.62 6.614
表2 GB／T 9106—2001中规定的
罐体主要尺寸(单位：毫米)[5
名称
符号
250mL
公称尺寸 275mL 300mL 335mL
500mL
极限 偏差
罐体高度 H 90.93 98.95 115.2 122.22 167.84 ±0.38
min M Y r 2h r c2 h a d
s.t.V r c2 h a d
a, c, d 0
图2 有不同罐壁 厚度的圆柱形易
拉罐
（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度[4]的情形 在模型二的基础上，考虑工作量（焊缝长度）的不同
V r 2h
s.t. r, h 0
图1 各点罐壁厚度 相同的圆柱形易拉
罐
（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形 易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同， 模型二：
根据材料的用量与其体积成正比。
容积一定时，所用材料的体积最小时的尺 寸即易拉罐的最优尺寸，所需要的材料为：
Y r 2h r c2 h a d 应使Y取最小 值， 模型二：
6.646 4.55 10.114 12.166 0.0473 0.0107 0.0318
轻怡
6.628 4.552 10.118 12.166 0.0468 0.0104 0.032
菠萝啤酒 6.62 4.548 10.108 12.158 0.0482 0.0113 0.0322
雪花啤酒 6.614 4.55 10.11 12.166 0.0475 0.0107 0.0324
c2
0
F
r
c 2 h
a
d
V
0
解得：
h ad
rc
即 圆柱体的高与半 径 之比为6时为最优
尺寸
2 h6 r
，
（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形 根据模 型一知：
min S 2 r 2 rh
Matlab6.5
V r 2h
s.t. r, h 0
高铁1602 314宿舍
销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同，这是为什么呢？？？
问题：
• 1.假设易拉罐是一个正圆柱体且底面和侧面的厚度相同，什么是它的最优设 计？
• 2.如果易拉罐是一个正圆柱体，但底面和侧面厚度不同（例如底面厚度是侧 面厚度的3倍），如何设计最优？
一、摘要
对问题一，我们通过实际测量得出（355ml）易拉罐各部分的数据。
工作量有影响，使得易拉罐的材料用量最省的同时，焊缝 长度也尽量取到最小。
根据模型分析，可得焊缝Z长度：2r
将焊缝的长度为Z时的工作量转化为同等的材料体积，从而可以 将二者直接相加。
模型三： min M 1Y 2Z 1 r2h r c2h a d 2 2r
百事可乐 6.618 4.554 10.114 12.174 0.0466 0.0108 0.0326
七喜劲柠 6.614 4.548 10.112 12.172 0.0462 0.0102 0.0316
美年达
6.616 4.536 10.116 12.162 0.047 0.0108 0.032
醒目
s.t.r 0 h 0
二、模型建立
问题二：正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型
模型一：
（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形由图1可知：
V r2h
容积为 ：
表面积为 ：V r2h
模型一： M S 2rh r2 r2 2 r2 rh
min S 2 r 2 rh
a, c, d 0
F r2h r c2h a d r c2h a dV
F
r
2rh
2
r
ch
a
d
2r源自cha
d
0
F
h
2r 2
2 r
c2
2 r
V r c2 h a d
s.t.
1,2 0
（此模型即为求解 问题二的完善模型）
三、模型求解
1. 问题一的求解 表1 10种355ml易拉罐饮料的相关测量数据
数项 目
值 种类
可口可乐
罐体 直径 (cm)
圆台口 直径 (cm)
罐体 高度 (cm)
6.616 4.552 10.116
整罐 高度 (cm)
顶盖 厚度 (cm)
侧面 厚度 (cm)
圆台 厚度 (cm)
12.164 0.0471 0.0109 0.0318
雪碧
6.62 4.562 10.088 12.192 0.0448 0.011 0.0332
天府百柠 6.66 4.574 10.102 12.182 0.0462 0.0113 0.0322
罐体外径 D1
66.04
缩颈内径 D2 翻边宽度 B
57.40 2.22
±0.25 ±0.25
然后分别对
（2）易拉罐有不同罐， 壁厚度的情形，根据模
型二，
用拉格朗日乘数法求解新的函数：
，
V
r c2 h a d
min M Y r 2h r c2 h a d s.t.
对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，
建立易拉罐用料模型
s(r)
2rd
(
v
r
2
2r),
由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在
假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，
得用料模型：
min s(r, h)
g(r, h) r 2h v 0
S 取最小值时，必定有
2 2r
V
r 2
2
r2
2r3
V
r 2
0r
3
V
2
h V 3 4 2V 3 3 8V 2r
r 2
2V 2
2
r 图7 体积一定时 S 随 变化的曲线
即易拉罐的高度为半径的二倍（等边圆柱形）时，所需材料最少。