第九届“新希望杯”全国数学大赛七年级B卷试题(包含答案)

第九届“新希望杯”全国数学大赛

七年级试题（B 卷）

（时间：2013年3月24日 9：00~11：00 满分120分）

一、选择题（每小题4分，共32分）

1．方程261

2312-+=-x x 的解为（ ）

A ．21 B.27 C.21- D.2

9-

2,已知a 、b 、c 都是整数，则2b a +、2c b +和2

a

c +中（ ）

A ．必定都是整数 B.必定有两个是整数 C.必定有一个是整数 D.可能都不是整数

3．已知有理数a 、b 满足如下关系：)0(≠-=ab ab ab ，b a b a -=+.用数轴上的点来表示a 和b ，下列表示正确的是（ ）

x

D

C

B

A

4．关于x 的方程|2x|=mx-3没有负根，则m 的取值范围是（ ） A ．m > -2 B.m > 2 C.m 2-≥ D.m ≥2

5.如图所示，OB 、OC 是∠AOD 内的任意两条射线，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD.若∠MON=α，∠BOC=β，则∠AOD=（ ） A ．βα-2 B.βα- C.βα+ D.以上都不正确

6．已知1a 、2a 、3a 、…、2013a 都是正有理数，

（+?+++321a a a ))(20134322012a a a a a +?+++，N=（+?+++321a a a )(2013a )2012432a a a a +?+++， 则M 、N 的大小关系为（ ）

A ．M>N B.M

A

C

D

M (第5题图）

7．某中学七年级有13个课外兴趣小组，共165人.各组人数如下表：

一天下午学校同学举办语文和数学交流会，已知有12个小组参加，其中参加数学交流会的人数与参加语文交流会的人数之比为4：3，还剩下一个小组未参加，这个小组是（ ）

A ．第3组 B.第6组 C. 第9组 D.第12组

8．某商场为招揽顾客，贴出优惠告示：一次性购物不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算.苏老师二月份到该商场购物三次，第一次购物付款153元，第二次购物付款220元，三次共优惠了107元.则苏老师二月份三次到该商场购物实际付款共（ ） A.400元 B. 713元 C. 760元 D.820元 二、填空题（每小题5分，共40分） 9．计算：

[

]45434

312124.0217812

2---??

?

??+÷?

?? ?

?

-?-??? ??-÷??? ??-= . 10.若)23(1-=-m m A ，)12(3-=-m m B ，)1(5+=+m m C ，且

n C B B A =-=-，则=n . 11.观察一列按规律排列的数：2，1，

32，21，52，3

1

，…，则第8个数为 . 12.有三个互不相等的有理数，它们既可表示为1，x ，y x +的形式，又可表示为0，

x

y

，y 的形式，则=+20132012y x . 13.如图，用图1所示的包装纸剪出图2所示的小图案，最多能剪 个. 14．如图，A 、B 、C 三地两两之间由若干条曲线连接，每条曲线表示两地之间的一种走法，那么从A 地到C 地可供选择的走法共有 种.

图1

（第13题图）

图2

（第14

题图）

15.满足

02=-++b a ab 的所有整数对（a ，b ）有 对.

16．已知∠A 与∠B 互补，且∠A>∠B ，代数式○1B ∠-?90，○2A ∠-?90，○3?-∠90A ，○

42

B

A ∠-∠中，可以表示∠

B 的余角的是 （填序号）. 17.已知关于 x 的多项式()b x x x a b +---243是二次三项式， （1）求a 和b 的值；

（2）设=y ()b x x x a b +---243，当x 3-=时，求()xy

x xy xy x 2

14218222-??????-+-的值.

18．点C 是线段AB 延长线上一点，且BC 5

3

=AB ，反向延长AB 到点D ，使AD 4

3

=

AC ，已知CD=56cm ， （1）求AB 的长度；

（2）点P 是直线AB 上一点（与A 、C 不重合），AP 、CP 的中点分别为点M 、N ，求MN 的长度.

19.有甲、乙两家眼镜厂，甲厂配套生产镜片和镜架，乙厂不配套生产镜片和镜

某个季度内，甲厂销售10000副眼镜，乙厂销售镜片数量是镜架数量的4倍，乙厂获得的利润是甲厂的两倍，问：这个季度内，乙厂销售我镜片和镜架各多少副？

20．如图1，将数字1，2，3，4，5，6，7，8分别填写在八边形ABCDEFGH 的8个顶点上，并且以S1，S2，

S3，……，S8

分别表示（A ，B ，C ），（B ，C ，D ），……，（H ，A ，B ）8组相邻3个顶点上的数字之和。

（1）请给出一种填法，使得S1，S2，S3，……，S8都不小于12，在图2中完成；

（2）是否存在一种填法，使得S1，S2，S3，……，S8都不小于13？证明你的结论.

图2

图1

C

E

解答：

一、选择题

1．方程两边同乘以6，得2(21)2112x x -=+-，9

2

x =-

答案：D

2．○1当a 、b 、c 三数同奇或同偶时，2a b +、2b c +、2

c a

+都是整数；

○2当a 、b 、c 三数不完全为奇或不完全为偶时，2a b +、2b c +、2

c a

+只有一个是整数； 答案：C

3．因为(0)ab ab ab =-≠，所以a 、b 异号；又a b a b +=-，所以0b b a ><且

答案：C

4．因为关于x 的方程23x mx =-没有负根，显然也不能有零根，也就是说x 为正数.因此

原方程就可变化为23x mx =-，即(2)3m x -=，因此2m > 答案：B

5．AOD AOM MON NOD ∠=∠+∠+∠

BOM MON NOC =∠+∠+∠

()BOM NOC MON =∠+∠+∠ 2αβααβ=-+=- 答案：A

6．设232012S a a a =++

+，则2120131201312013()()()M a S S a S a a S a a =++=+++，

21201312013()()N a S a S S a a S =++=++，因为1a 、2013a 都是正有理数，所以M N >

答案：A

7．因为参加数学交流会的人和参加语文交流会的人数之比为4：3，所以参加交流会的总人

数是7的倍数. 又因为1657234722117211872025=?+=?+=?+=?+，对照可

知，没有参加的是第6组 答案：B

8．一次购物200元，须付款180元，

苏老师第一次付款153元，购物原价是1530.9170÷=元，优惠17元；

苏老师第二次付款220元，购物原价是(220180)0.8200250-÷+=元，优惠30元； 苏老师第三次优惠107173060--=元，其中的200元按九折计算，优惠20元，所以按八折计算的部分优惠40元，这一部分商品原价是200元，因此苏老师第三次所购商品的原价是400元，购物付款340元；

苏老师二月份三次购物实际付款共153220340713++=元. 答案：B

二、填空题

9．原式5512255

984542

??????=-÷--?÷- ? ?????????

5552

9225??=-?-

??

? 1=

10．[][]2(32)1(21)32A B m m m m m m -=-+--+=--

2

[(21)3][(1)

5]

28

B C m

m m m m m -=-+-+-=-+ 2

2m m --=2

28m m -+

10m =

88n =

11．规律：分子为2的数的分母，就是这个数所在位置的序数；分子为1的数的分母依次为 1，2，3，……；所以第8个数为

14

12．这里的三个有理数，其中之一个为0，一个为1；又x 不能为0，所以0x y +=，所以

1y

x

=-，因此，1y =，1x =-，201220132x y += 13．最多12个

14． A —B —C ：4312?=种，A —C ：3种，共15种

15．0,2a b ==； 0,2a b ==- ； 2,0a b ==； 2,0a b =-=；共4对 16．○1○3○4 三、解答题

17．（1）因为3

(4)2b

a x x x

b ---+是二次三项式，所以4a =，2b =；

（2）当3x =-时，()2

2

2232321y x x =--+=--?-+=-，

2

2112[8(4)]22x xy xy x xy -+

--2211

28222

x xy xy x xy =--+-249x xy =-9= 18．（1）设5AB x =，则3BC x =，8AC x =，6AD x =，14CD x =，

所以1456x =，4x =，20AB = （cm ）

(2)由（1）知：AC=32cm.

○1当P 点在AC 之间时，111

16222

MN MP PN AP PC AC =+=

+==； ○2当点P 在AC 延长线上时，111

16222

MN PM PN AP PC AC =-=-==；

○3当点P 在CA 的延长线上时，111

16222

MN PN PM PC AP AC =-=

-==； 综上所述，16MN =cm.

19.设乙厂销售镜架x 副，则销售镜片4x 副，根据题意，列方程得

()47030(3515)210000(11350)x x -+-=- 7000x =，428000x =

乙厂销售镜片28000副，镜架7000副.

20．因为12812++<，所以1和2这两个数不能在同一个数组中，并且1和2不能与两个

相同的数构成数组（12a b a b ++≠++），所以1和2的相对位置如图甲：

图甲1

2图甲

2

2

图甲3

8

21

图乙1

8

21

图乙2

8

图乙3

8

图乙4

8

图乙5

8

图乙6

在图甲1的情况下，任意选定8的位置，（改变8的位置会有不同的填法）。如图乙所示（图乙1和图乙2只有方向不同）。 下面只说图乙1：

H 所在的位置不能是3，所以3一定会和2在同一个数组中，这时7也在这个数组中；因此这个位置也不能是4，因为含2和3的数组有两个，含1和4的数组中的第三个数不能小于7，所以如果在H 位填4，则至少还需要两个不于7的数；因此H 位的数只能是5或6：

5

2图丙1

6

5

2图丙1

6

5

4

2图丙1

7

6

5

4

3

2图丙1

类似的可以得到其它的填法：

8765

43

8

65

42

8

6

5

43

2

854

3

2

8

7

6

54

3

2

（2）不存在满足要求的填法.证明如下：

假设存在满足要求的填法，则1和2、1和3不能出现在同一个三数组中（因为 12813813

++<++<），所以1，2，3的分布如下图所示：

2

图丁1

3

2图丁2

3

2图丁3

在图丁1和图丁3中，都会出现两个同时含有2和3的数组，这种数组中的第三个数不能小天8，所以这种情况不可能.

在图丁2中，2和3之间的数是8，如图丁4所示：

3

2

图丁4

d

c

b

a 32

图丁4

设余下的四个位置上的数分别是a ，b ，c ，d ，则有

12a b +≥，12c d +≥，所以24a b c d +++≥ ○1 又456722a b c d +++=+++= ○2 ○

1和○2矛盾，所以不存在满足要求的填法.