随机过程期末模拟题

随机过程期末模拟题
一．填空题（每空2分，共20分）
1．设随机变量X 服从两点分布，则X 的特征函数为____________。

2．设X(t)=Vcos t,α ,t T=[0,+)∈∞，振幅V 是在区间（0,1）上均匀分布的随机变量，
α为常数，则X (t)的相关函数=)4,2(X R ________。

3．强度为λ的泊松过程{}X (t),t 0≥,{}n T ,n 1≥是对应的时间间隔序列，则随机变量
n T (n =1,2,)
独立同分布，密度函数为________________。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X (t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则1W 的分布函数为
______________。

5．设随机过程 X (t)只有两条样本曲线，1X (t,)=acost,ω2X (t,)=-acost,ω其中常数a >0，且
12P ()=
3
ω，21P ()=
3
ω，则随机过程的期望=)(t EX _________。

6．马氏链{}n X ,n 0≥，状态空间I ,记初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率j n p (n )P(X =j)=，n 步
转移概率(n)
ij p ，三者之间的关系式为_____________。

7．设{}
n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，记初始概率i 0p P(X =i)=，一步转移概率{}ij n+1n p p X j X i ===，用其表示{}0011n n P X =i ,X =i ,,X i == ________________。

8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥
(n)
ij ij
n=1
f f
∞
=
∑，若1<ii f ，称状态i 为_____________。

9．在直线上，如果质点每次向前、向后移动1步的概率都是3
1
，向后移动2步的概率也是3
1
，则
每个状态的周期=d _________。

10．如果状态j 非常返或零常返，则(n)
ij n lim p →∞
=_______，i I ∀∈。

二．证明题（每题6分，共24分）
1.设离散型随机变量Y X 与的期望存在，证明[])(Y X E E EX =。

2.设G F E ,,为三个随机事件，证明：)()()(EF G P F E P F EG P =。

3. 设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间为I ，则对任意整数0,≥n m ，及任意i,j I ∈，证明：∑
∈+=
I
k m kj n ik m n ij
p p p )
()()
(。

4.如果,j i → k j →，证明k i →。

三．计算题（共50分）
1. （12分）设随机过程X(t)=Asint,-<t<∞∞ 其中A 是随机变量，具有分布:
（1）给出样本函数集合及状态空间；（2）求一维分布函数)4
;
(π
x F 。

2.（13分）设电话总机在(0，t]内接到电话的呼叫数)(t X 是具有强度(每分钟)为5的泊松过程，求（1）2分钟内接到3次呼叫的概率；（2）在2分钟内呼叫数的平均数；（3）两次呼叫到达的时间间隔在1分钟到3分钟之间的概率。

3.（13分）设0,≥n X n 是具有三个状态0，1，2的齐次马氏链，一步转移概率矩阵为 ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡=4/34
/10
4/12/14
/104/34/1P 初始分布为{}2,1,0,310====i i X P p i ，
求(1){}2,1,0210===X X X P ；
(2)判断此链是否具有遍历性，若是遍历的，求其平稳分布。

4. (12分)设马尔可夫链{},0n X n ≥的状态空间为{}0,1,2,3,4I =，它的一步转移概率矩阵为：11/2001/2
01/4001/41/21/2001/2
00001/21/200
1/2
1/2⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
P （１）画出状态转移图；（２）对状态进行分类，并将状态空间进行分解。

四.简答题（6分）简述马尔科夫过程与泊松过程的关系。