四年级奥数教程及训练枚举法解题
小学奥数 加法原理之分类枚举(一) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲知识要点教学目标7-1-1.加法原理之分类枚举（一）2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．例题精讲模块一、分类枚举——数出来的种类【例1】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】小宝买一种礼物有三类方法：第一类，买玩具，有8种方法；第二类，买课外书，有20种方法；第三种，买纪念品，有10种方法．根据加法原理，小宝买一种礼物有8+20+10=38种方法．【答案】38【巩固】有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有多少种取法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】根据加法原理，共有6+4+3+2=15种取法．【答案】15【巩固】阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】解决这个问题有3类办法：从一班、二班、三班男生中任选1人，从一班18名男生中任选1人有18种选法：同理，从二班20名男生中任选1人有20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；根据加法原理，从四年级3个班中任选一名男生当升旗手的方法有：18201654++=种．【答案】54【例2】和为15的两个非零自然数共有对。
小学奥数枚举法解题方法的介绍
小学奥数枚举法解题方法的介绍
有关小学奥数枚举法解题方法的介绍
甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。
到现在为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。
问小强赛了几盘？
解：作表3-2。
甲已经赛了4盘，就是甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘，在甲与乙、丙、丁、小强相交的那些格里都打上√;乙赛的盘数，就是除了与甲赛的那一盘，又与丙和小强各赛一盘，在乙与丙、小强相交的那两个格中都打上√;丙赛了两盘，就是丙与甲、乙各赛一盘，打上√;丁与甲赛的那一盘也打上√。
丁未与乙、丙、小强赛过，在丁与乙、丙与小强相交的格中都画上圈。
根据条件分析，填完表格以后，可明显地看出，小强与甲、乙各赛一盘，未与丙、丁赛，共赛2盘。
答：小强赛了2盘。
小学奥数知识点趣味学习——枚举法（1）
小学奥数知识点趣味学习——枚举法（1）例1：如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状？哪种形状的长方形面积最大？（边长为1厘米的正方形的面积叫做1平方厘米）。
解：由于长方形的周长是20厘米，可知它的长与宽之和为10厘米。
下面列举出符合这个条件的各种长方形。
（注意，正方形可以说成是长与宽相等的长方形）。
下面把5种长方形按实际尺寸大小一一画出来，见下面图（1）～（5）。
例2：如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米。
问这样的最短路线共有多少条？请一一画出来。
解：将各种路线一一列出，可知共6条，见下图。
注意，如果题中不要求将路径一一画出，可采用如右图所示方法较为便捷。
图中交点处的数字表示到达该点的路线条数，如O点处的数字2，表示由A到O有2条不同的路径，见上图中的（1）和（2）；又H点处的数字3的意义也如此，见上图中的（1）、（2）、（3）可知有3条路径可由A到H。
仔细观察，可发现各交点处的数字之间的关系，如O点的2等于F点和E点的数字相加之和，即1+1=2，又如，C点的6等于G点和H点的数字相加之和，即3+3=6。
例3：在10和31之间有多少个数是3的倍数？解：由尝试法可求出答案：3×4=12 3×5=15 3×6=18 3×7=213×8=24 3×9=27 3×10=30可知满足条件的数是 12、15、18、21、24、27和30共7个。
注意，倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数，则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了，此时可采用下述方法：10÷3=3余1，可知10以内有3个数是3的倍数；1000÷3=333余1，可知1000以内有333个数是3的倍数；333-3=330，则知10～1000之内有330个数是3的倍数。
四年级奥数计数的基本方法枚举树
计数的基本方法---枚举树（2.28）“树形图”是数学中应用最为广泛的图形之一，在数学计数问题中，每当我们面对一些非常规的题目一筹莫展时、无从下手时，枚举法往往可以发挥巨大的威力。
枚举法又叫穷举法，顾名思义，就是把所有符合题目条件的对象一一列举出来，然后根据要求从中挑选出合理的。
但是怎样在枚举的过程中既不重不漏地枚举出所有符合条件的对象呢？“树形图”就可以使我们的枚举过程不仅形像直观，而且有条理又不易重复或遗漏，使人一目了然一．树形图在组合计算中的应用例1.用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其它物体当砝码），当砝码只能放在同一盘内时，可称出不同的重量有多少种？例2.甲乙两人进行乒乓球比赛，规定谁先胜三场谁胜。
第一场甲胜。
问到决出最后的胜负为止，共有几种不同的情形？其中甲胜的情形有几种？例3.某人游览 A ,B,C 三个风景区，计划旅游5天。
由A区开始游览，一天换一个风景区，最后又回到A区，试问有多少种游览路线？例4.小马虎给4位同学写信，由于粗心，他在把信装入信封时给弄错了，结果四位同学都没有收到小马虎给自己写的信，而是收到了他写给别的同学的信，请问一共有多少种可能情形？（PS.本题是组合数学中著名的“错装信封问题”把n个已写好相应地址的信封任意打乱。
问，所有信纸全都装错了信封的情况有多少种？例5.下图中有6个点，9条线段，一只蚂蚁从A点出发，沿着某几条线段爬到F点，行进中，同一个点或同一条线段只能经过一次，这只蚂蚁最多有多少种不同的爬行路线？例6.对自然数作如下操作：如果是奇数就减去1，如果是偶数就除以2，如此操作直到结果变为1为止。
那么经过6次操作后使结果变成1的数有几个？二．枚举树在决策问题中的应用枚举树不仅可以帮助我们去计数，还可以帮我们在众多的决策中选择出一组最优的策略。
例7.四皇后问题是将4个棋子放在4X4的格子里，使得不会有两个棋子在同一行、同一列或对角线上。
（用象棋术语来讲，该问题是如何将4个皇后放在4X4的棋盘中，并且使得没有皇后能攻击对方）例8.设有13个银币，标号为1、2、3、……13。
奥数教程(第八版)四年级 第12讲 用枚举法解应用题
经典例题精讲 四年级
第12讲 用枚举法解应用题
主讲老师： Mathematical Olympiad Tutorial
第12讲 用枚举法解应用题
例1 有三张数字卡片，分别为 4 ， 9 ， 0 。 从中挑出两张排成一个两位数，一共可以排 成多少个两位数？
第12讲 用枚举法解应用题
第12讲 用枚举法解应用题
例5 计划将甲、乙、丙三种不同的树苗种植在一条 直路的同一侧，要求相邻的两棵树苗不能相同， 那么考虑前5棵，第1棵与第5棵同是甲种树苗 的种法共有 6 种。 解： 画树状图枚举如下：
因此，第1棵与第 5棵同是甲种树苗 的种法共有6种。
第12讲 用枚举法解应用题
例6 用长48厘米的铁丝围成各种长方形(长和宽都 是整厘米数，且长和宽不相等)，围成的最大 一个长方形面积是多少平方厘米？ 解： 列表如下：
(2)剩下1张5元，取出 1+10+50+100=161(元)；
(3)剩下1张10元，取出 1+5+50+100=156(元)；
第12讲 用枚举法解应用题
例3 你的口袋里有1元、5元、10元、50元、100元 的纸币各1张。如果每次取出4张计算它们的钱 数，共有 5 种不同的钱数。
解： (4)剩下1张50元，取出 1+5+10+100=116(元)；
圆珠笔 橡皮 签字笔 (支 ) (块) (支)
圆珠笔 橡皮 签字笔 (支 ) (块) (支)
第12讲 用枚举法解应用题
例4 一个文具店中橡皮的售价为每块5角，圆珠笔 的售价为每支1元，签字笔的售价为每支2元5 角。小明要在该店花5元5角购买其中的两种文 具，他有多少种不同的选择？ 解： 5+2+1=8(种)， 所以他有8种不同的选择。
四奥第4讲 枚举法
第四讲枚举法教学课题：枚举法教学课时：两课时教学目标：1．经历枚举的过程，让学生形成分类枚举的思维习惯。
2.通过操作发展学生的枚举能力，形成比较抽象的数学思维。
教学重难点：经历枚举过程，进行恰当的分类，做到枚举不重不漏。
教具准备：本周通知：教学过程：一、故事导入师：最近老师在看一部讲述骗子的英国电视剧《飞天大盗》，这部剧讲的是一群高智商的骗子如何去骗一些贪婪的人的钱。
昨天讲到这样一个故事，他们把一个贪婪狡诈的银行家骗上钩了，但是如何把他锁在保险箱里的钱偷到手呢？问题就来了——保险箱需要输入一个三位数的密码，密码都是由1~3这3个数字其中三个组成的。
电视放到这里就给观众留下了一个悬念，问我们，最多需要试多少次才能把密码试出来呢？那同学们你们愿意试试吗？生：（七嘴八舌）123！231！……师：同学们各有各的想法，都很棒。
但是我们想想，什么叫“最多需要试多少次”呢？生：就是看着这1、2、3能组成多少个三位数！（如果学生答不出来由老师引导）师：恩，XXX答得非常对！就是看1、2、3能组成多少个三位数！那究竟怎么去写才能够保证我没有写重复或者漏掉呢，这就是我们今天要学习的——枚举法。
二、例题精讲例1、有红、黄、蓝色的小旗各1面，我们可以把不同数量、不同顺序的旗子挂在旗杆上表示不同的信号，那么一共可以表示出多少种不同信号？【考虑顺序不同信号不同的情况】【思路点拨】和放砝码、取硬币一样，将取出小旗的面数进行分类一面：3种两面：6种三面：6种 3+6+6=15种例2、从3名男生、2名女生中选出三名升旗手，其中至少有1名男生，共有多少种不同的选法？【思路点拨】分类枚举，一个男生的情况：3 两个男生的情况：6 三个男生的情况：13+6+1=10种例3、一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？师：咱们一起来回忆一下，我们长方形的面积公式是？生：长方形的面积=长×宽师：很好，看来大家并没有因为放暑假而把知识还给老师。
四年级奥数教程及训练枚举法解题
四年级奥数第五讲枚举法解应用题【知识要点和基本方法】一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的，这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法，我们也可以通俗地称枚举法为举例子。
枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是容易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。
【例题精选】例1.用数字1，2，3可以组成多少个不同的数字？分别是哪几个数？练习题：用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？例2.小明有面值为5角、8角的邮票各两枚。
他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）课堂练习题：10元钱买6角邮票和8角邮票共14张，问两种邮票各多少张？例3.用一台天平和重3克、 6克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在一个盘内时，可称出不同的重量有多少种？例4.课外小组组织120人做游戏，按1－120号排队报数。
第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中第一个人开始站出来，隔一人站出来一人。
到第几次这些人全部站出来了？最后站出来的人应是第几号？例5.用长48厘米的铁丝围成各种长方形（长和宽都是整厘米数，且长和宽部不相等），围成的最大一个长方形面积是多少平方厘米？例6.商店出售饼干，现存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的。
一顾客要买12千克饼干，为了便于携带要求不开箱。
营业员有多少种发货方法？【课后练习题】1.从甲地到乙地有2条路可走，由乙地到丙地有3条路可走，那么由甲地经乙地到丙地共有几条路可走？2.有4个小足球队参加“希望杯”足球比赛，每两个队都必须比赛一场，共比赛多少场？如果进行淘汰赛，最后决出冠军共需多少场比赛？3.甲、乙、丙、丁站成一排照相，但甲必须站在两头，共有多少种不同的排法？4.从3、6、7、8四张数字卡片中，任取3张，排成三位数，能排成多少个不同的三位数？最大的三位数是多少？最小的三位数是多少？5.从两张5元币、五张2元币、十张1元币中，拿出10元钱买钢笔，一共有多少种不同的拿法？6.用1、0、3、5这四个数可以组成多少个四位数？7.有7张卡片上写着数字2、3、4、5、6、7、8，从中抽出两张，组成的所有的两位数是奇数的个数是多少？8.两人见面要握一次手，照这样规定，6人见面共握多少次手？9.有红、黄、蓝色的小旗各1面，从中选出1面、2面或3面升上旗杆，作出各种不同的信号，一共可以作几种不同的信号？10.已知三位数的各位数字之和等于8，那么这样的三位数共有多少个？11.有四张8角邮票与三张1元邮票，用这些邮票中的一张或若干张能得出多少种不同的邮资？12.已知三个自然数的积等于12，这三个自然数分别是多少？13.现有1克、2克、3克重的天平砝码，要用10个砝码称出重20克的物体。
四年级奥数枚举法和列表法
枚举法[知识要点]一般地，根据问题要求，一一列举问题，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。
这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。
运用枚举法解决应用题时，必须注意无重复、无遗漏。
为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。
[典型例题]例1 用7、4、2三张数字卡片，能排成多少个无重复数字的三位数,它们分别是哪几个数？例2 用数字2，4，5，可以组成多少个无重复数字的三位数？分别是哪几个数？其中最大、最小各是多少？例3 小明有面值为5角邮票一枚、8角的邮票两枚，他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数？）2.用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不用其他物体当砝码），当砝码只能放在同一盘内时，可称出不同的重量有多少种？3．把6支相同的铅笔分给3个小朋友，使每个小朋友都分到铅笔，那么有多少种不同的分法？4.用2张10元和1张50元一共可以组成多少种币值（组成的钱数）？5.麦当劳推出一种优惠活动，汉堡类有：A、鸡腿汉堡 B、麦辣鸡腿汉堡；饮料类有：C、雪碧 D、可口可乐；冰淇淋类有：（1）草莓冰淇淋（2）奶油冰淇淋汉堡只能选一种，饮料只能选一种，冰淇淋只能选一种，每次各类选一种，有多少种不同的选择，它们分别是哪些？1．用数字4，8，9，可以组成多少个无重复数字的三位数？分别是哪些数？2.用数字0，1，4可组成多少个无重复数字的三位数？分别哪些？3.由1角，2角，5角元的人民币各一张，一共可以组成多少种币值。
（组成的钱数）4.有7本相同的书，分别借给2名同学，每人至少借一本，有多少种不同的借法？列表法解应用题【典型例题】例1 华仔、小方、小米粥三人去商店买相同的书包，小米粥买了4个，用去256元钱，华仔买了6个，用去多少钱？小方花了320元能买多少个？ 请根据要解决的问题，找出需要的条件列表整理并解答. （1）华仔用了多少元？ （2）小方买了多少个？练习1 小林、小强、小冬三人去商店买同样的彩笔，小林用30元买了5盒，小强买了3盒，小冬买彩笔共用了48元。
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四年级奥数第五讲
枚举法解应用题
【知识要点和基本方法】
一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的，这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法，我们也可以通俗地称枚举法为举例子。
枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是容易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。
【例题精选】
例1.用数字1，2，3可以组成多少个不同的数字？分别是哪几个数？
练习题：
用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？
例2.小明有面值为5角、8角的邮票各两枚。
他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）
课堂练习题：
10元钱买6角邮票和8角邮票共14张，问两种邮票各多少张？
例3.用一台天平和重3克、 6克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在一个盘内时，可称出不同的重量有多少种？
例4.课外小组组织120人做游戏，按1－120号排队报数。
第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中第一个人开始站出来，隔一人站出来一人。
到第几次这些人全部站出来了？最后站出来的人应是第几号？
例5.用长48厘米的铁丝围成各种长方形（长和宽都是整厘米数，且长和宽部不相等），围成的最大一个长方形面积是多少平方厘米？
例6.商店出售饼干，现存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的。
一顾客要买12千克饼干，为了便于携带要求不开箱。
营业员有多少种发货方法？
【课后练习题】
1.从甲地到乙地有2条路可走，由乙地到丙地有3条路可走，那么由甲地经乙地到丙地共有几条路可走？
2.有4个小足球队参加“希望杯”足球比赛，每两个队都必须比赛一场，共比赛多少场？如果进行淘汰赛，最后决出冠军共需多少场比赛？
3.甲、乙、丙、丁站成一排照相，但甲必须站在两头，共有多少种不同的排法？
4.从3、6、7、8四张数字卡片中，任取3张，排成三位数，能排成多少个不同的三位数？最大的三位数是多少？最小的三位数是多少？
5.从两张5元币、五张2元币、十张1元币中，拿出10元钱买钢笔，一共有多少种不同的拿法？
6.用1、0、3、5这四个数可以组成多少个四位数？
7.有7张卡片上写着数字2、3、4、5、6、7、8，从中抽出两张，组成的所有的两位数是奇数的个数是多少？
8.两人见面要握一次手，照这样规定，6人见面共握多少次手？
9.有红、黄、蓝色的小旗各1面，从中选出1面、2面或3面升上旗杆，作出各种不同的信号，一共可以作几种不同的信号？
10.已知三位数的各位数字之和等于8，那么这样的三位数共有多少个？
11.有四张8角邮票与三张1元邮票，用这些邮票中的一张或若干张能得出多少种不同的邮资？
12.已知三个自然数的积等于12，这三个自然数分别是多少？
13.现有1克、2克、3克重的天平砝码，要用10个砝码称出重20克的物体。
（1）在取出的砝码中，1克重的有3个，那么3克重的砝码应有多少个？
（2）如果任一种砝码至少取一个，那么除情况（1）外，取出的砝码还有哪几种情况？
14.某食堂的菜单如下：
汤类：A. 鸡蛋汤；B. 三鲜汤。
菜类：C. 炒肉丝；D. 红烧猪肉；E. 炒青菜。
饮料类：（1）高橙；（2）健力宝；（3）葡萄酒。
每顿饭若只能各类选一种，试问：
（1）可以有多少种不同的选购方法？（2）请写出这些选购菜单。
15.5个茶杯的价钱分别是8角、6角、5角、4角和3角，3个茶盘的价格分别是9角、7角和2角，如果一个茶杯配一个茶盘，一共可以配成多少种不同价格的茶具？。