清晰认识概念 理解数学本质
以概念教学为径，明数学之本质
高中以概念教学为径，明数学之本质?南京师范大学教师教育学院 毛雯数学概念，即为反映数学对象本质属性的思维形式．它是数学思维大楼的基石，具有抽象性、逻辑性和发展性的特征．事实上，数学本质与数学概念之间有着十分密切的联系．人们通过数学概念来理解本质，反过来再通过数学本质更好地掌握概念．张奠宙教授认为数学本质的内涵包括数学知识的内在联系，数学规律的形成过程，数学思想方法的提炼，数学理性精神的体验．而这些内涵通过数学概念教学，会变得鲜活立体起来，更有利于学生理解数学本质．因此，笔者就如何通过概念教学让学生明晰数学本质提出了自己的一些看法．一、厘清数学知识的内在联系数学概念的产生，或源于实际生活的需要，或源于客观矛盾的解决．总的来说，数学知识之间不是孤立无关的，一个概念必然与某些概念之间有着或多或少的联系，因为这些联系，数学概念之间就形成了一张网络．比如，我们小学学习的等式和方程二者就是密不可分的，方程的实质是为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立起的一种等式关系．在学习方程的时候，教师应引导学生明确等式和方程之间的联系．数学家们以过去所学的知识为基础，经过一系列猜想假设验证，提出了新的概念．没有过去所学的旧知识，新概念就很难在学生的头脑沃土中生根发芽．在课堂上，若要让学生理解数学知识之间的联系，则需要将新概念的外延与过去所学旧概念的外延的重合部分厘清，进而明晰知识间的内在联系，这样才能使学生对新概念有着更深刻的理解．由此，我们将在概念教学中厘清数学知识的内在联系的步骤总结如下：（１）将相关知识与新概念相对比；（２）指出新概念和相关知识的联系与区别；（３）完善新概念．二、探寻数学规律的形成过程在概念课上探索数学规律，应该让学生用推理的方式去思考问题，发现问题，提出假设，解决问题．由此，我们将在概念教学中探索数学规律的形成过程的步骤总结如下：（１）挖掘不变或者循环出现的关系；（２）用数学语言表示关系；（３）将数学语言稍加整理完善概念．案例 “等差数列”该内容在高中数学人教Ａ版的必修五中是通过例举一系列现实情境中的差相等的数列，让学生寻找这些数列的共同规律，进而提出等差数列的概念．就数学本质而言，等差数列的产生实际上是源于人们通过发现这一些数列的规律———前一项与后一项的差相等．１．创设问题，引入新课教师利用多媒体展示四个现实情境，并归纳中其中包含的四组数列：Ａ．０．５，５．５，１０．５，１５．５，２０．５Ｂ．４８，５３，５８，６３Ｃ．１８，１５．５，１３，１０．５，８，５．５Ｄ．１００７２，１０１４４，１０２１６，１０２８８，１０３６０师：请同学们思考上面这四组数列有什么共同的特点．预设结果：学生们发现这几组数前一项和后一项的差相等．实施步骤（１），挖掘情境中不变的关系，为进一步理解概念做铺垫．２．新知探究，推进新课师：同学们能否用数学的语言来表示这些数列的共同特点呢？预设结果：学生们用犪狀＋１－犪狀＝犱表示出这些数列的共同特点．实施步骤（２），用数学语言表示该关系，学生们之前学习过了数列，因此，能够用数列的项数来表示前一项和后一项．在等差数列这一课中，用数学语言表示关系难度不大．３．整理思路，形成概念师：实际上，这类前项与后项之差为定值的数列，我们给它一个名称———等差数列．９８２０２１年１月 教育纵横数坛在线Copyright©博看网 . All Rights Reserved.高中而后教师在黑板上给出等差数列的相关概念……预设结果：实施步骤（３），将数学语言稍加整理完善概念．三、刻画数学思想方法的提炼从不同数学分支的产生和发展的地位来看，数学思想方法主要可以分为三类：一是数学赖以产生和发展的数学思想方法，如抽象，归纳，推理；二是建立数学体系的主要思想方法，如公理思想，极限思想，集合思想；三是处理数学问题常用的思想方法，如分类的思想，对应的思想，有限无限的思想，数形结合的思想等．数学家们在数学思想方法的指导下，探索数学对象的本质，提出切合本质的概念．可以说没有数学思想方法，数学概念的大厦就不会如此雄伟．若想让学生对数学思想方法有着更深刻的认识，关键在于对数学思想方法的提炼．也就是说对于数学概念的产生，不要一带而过，重视概念产生步骤过渡的“连接点”，将其用数学思想方法进行丰富．由此，我们将在概念教学中提炼数学思想方法的步骤总结如下：（１）利用数学思想方法提炼关键属性；（２）利用数学思想方法形成概念；（３）利用数学思想方法理解概念．四、注重数学理性精神的体验笔者认为，中学生的理性精神应该表现为不因主观意识否定真理，用严格的逻辑证明求证事实．即使是在如今非逻辑证明蓬勃发展的今天，逻辑证明仍然具有无法撼动的地位，其原因就在于严密的逻辑证明对于学生理性精神的培养作用．在课堂中，如果想要培养学生的理性精神，应当着重于让学生养成不主观揣测，运用已有的知识与逻辑来说明问题的思维方式．由此，我们可以将在概念教学中注重数学理性精神的体验的步骤归结如下：（１）对客观事实进行观察；（２）思辨分析客观事实；（３）用数学思维定义蕴含其中的数学概念．案例 “数系的扩充和复数的概念”该内容在高中数学人教Ａ版选修２－２的第三章第一节．其是从数系的扩充开始讲起，接着过渡到了复数的概念．就笔者而言，认为这样的教学安排对于培养学生的理性精神而言显得有些不足，为此笔者对复数概念的教学提出以下改编：１．创设情境，感悟数学史教师向学生们展示复数的发展史，数学家卡丹对复数的发现做出了不可磨灭的贡献，他讨论了这样的一个问题：用一根１０米长的绳子，围成面积为４０的长方形，那么长应该是多少，宽应该是多少呢？师：请学生们根据这段材料列出相应的方程并求解．预设结果：学生们很顺利地列出了方程，但是在求解上因为Δ＜０，给学生们求解造成了困难．实施步骤（１），对客观现实问题进行观察，用数学角度解决问题，发现遇见瓶颈，为复数的提出做铺垫．２．提出问题，引发思考师：基于这个解，你觉得今天应当解决什么问题？如何寻找解决这个问题的方法呢？在解决这个问题之前，请同学们阅读教材第１０２页第一段．预设结果：学生们通过阅读数系的扩充，想到我们可以再次对现有的数系进行扩充．实施步骤（２），结合１提出的现实问题和数系扩充的阅读材料，大家开始想到仿照之前的方法再次扩充系数．３．整理思路，建构概念师：类似于我们引入无理数，我们再次引入一个新数ｉ，使得ｉ·ｉ＝－１．这样我们设想将实数和数ｉ进行结合，就引入了复数……预设结果：学生在教师的带领下，对复数的概念有了初步的理解．实施步骤（３），利用之前所学的数系扩充的思想，扩充出复数．数学的海洋是由一系列概念和命题定理等组成的，概念教学不是简简单单的课堂开始，更是带领学生探索数学世界的开端．故概念教学不仅要让学生了解概念，更要带领学生探索数学本质，让学生能在数学的海洋中顺利遨游．参考文献：［１］李 ．中学数学教学设计［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１６．［２］张奠宙．教育数学是具有教育形态的数学［Ｊ］．数学教育学报，２００５（３）．［３］张乃达．数学证明和理性精神———也谈数学证明的教学价值［Ｊ］．中学数学，２００３（２）．犠０９数坛在线教育纵横 ２０２１年１月Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
把握数学概念本质,促进学生深度体验
把握数学概念本质，促进学生深度体验数学是一门抽象而又具有深刻内涵的学科，它是一种逻辑思维和抽象推理的艺术，也是一种高度精确和系统化的语言。
在学习数学的过程中，不仅仅是为了应付考试，更重要的是深入理解数学的内在本质，促进学生对数学的深度体验。
通过把握数学概念的本质，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高数学解决问题的能力，培养学生的创新意识和逻辑思维能力。
抓住数学概念的本质，就要认识到数学是一种抽象和逻辑的思维方式。
数学领域中的概念往往是抽象的，不容易直观理解，需要通过逻辑推理和数学语言的描述来具体表达。
数学中的集合概念，最初可能让人感到抽象和难以理解，但通过对集合的定义、性质和运算规则的学习，逐渐能够透彻理解集合的本质和意义，从而对集合运算有更深入的体会。
学生在学习数学的过程中，要注重培养自己的逻辑思维能力，善于分析问题，善于归纳总结，理解数学概念的本质。
把握数学概念的本质，需要注重数学知识与具体问题之间的联系。
数学知识是为解决实际问题而产生的，数学的本质就是在解决实际问题中揭示出来的。
学生学习数学的过程中，要注重将抽象的数学概念与具体问题相联系，注重数学知识的应用。
通过举一反三、由浅入深的训练，学生可以更深入地理解数学知识的本质和意义，同时也会提高解决实际问题的能力。
在学习微积分的过程中，可以通过对曲线的变化率、变化量的概念的理解，再结合实际问题，比如速度、加速度等，来深入理解微积分的原理和应用，从而更加深刻地把握微积分的本质。
把握数学概念的本质，需要注重数学知识的系统化和严谨性。
数学是一门高度精确和系统化的学科，它的严谨性和系统性决定了数学知识的内在本质和意义。
学生在学习数学的过程中，要注重数学知识的系统化学习，不能只停留在表面的概念与应用之间，要注重对数学知识的整体把握，深刻理解数学知识的内在联系和逻辑脉络。
只有在整体把握数学知识的基础上，才能更好地把握数学概念的本质，促进学生对数学的深度体验。
整体把握数学知识揭示数学知识本质
整体把握数学知识揭示数学知识本质数学是一门自然科学，是研究数量、结构、变化等概念的一门学科。
在现代社会，数学已经成为了各个领域中不可或缺的一部分。
然而，在学习数学时，许多学生都会遇到理解困难、学习不顺畅的问题。
这一部分原因在于学生不能从整体把握数学知识，理解数学知识的本质。
本文将讨论如何通过整体把握数学知识揭示数学知识本质。
一、从整体把握数学知识的角度来看待数学知识首先，整体把握数学知识并不是把数学知识全部背下来，而是将知识连接起来，在脑海中形成一张有机的知识图谱，这样才能够全面、深入地理解数学知识。
在学习数学的过程中，我们应该将所学的知识点联系起来，形成一个整体。
例如，在初中学习数学时，可能会学习到平方、三角函数、平行四边形等基础知识，这些知识点看起来并不相关。
然而，如果我们将它们联系起来，发现它们都可以通过向量的形式表示，这时候，这些看似没有任何联系的知识点就产生了联系。
整体把握数学知识能够帮助我们在解决数学问题时，从整体出发，快速找到解决问题的方法。
二、揭示数学知识本质的重要性在现代科学领域中，许多知识点都存在各种复杂的数学问题。
因此，揭示数学知识本质是非常重要的。
只有通过对数学知识本质的探索才能发现新的问题和解决方法，从而推动科学技术的发展。
例如，在物理学中，为了解决电磁场的问题，麦克斯韦提出了四个方程组。
这些方程看起来可能很难理解，但是当我们正确理解它们的本质时，便能够通过它们描述电场和磁场，为电磁学的研究提供重要的工具。
三、探索数学知识的本质针对一些复杂的数学知识，我们应该从以下几个方面来进行探索和理解：1.通过思考，把复杂的知识点转化为简单的基础知识当学生在学习数学时遇到了复杂的知识点，应该根据自己已经掌握的基础知识来进行思考和推导。
这种方法可以帮助我们将复杂的知识点转化为一些我们已经熟悉的简单知识，从而让我们能够更好地理解和掌握新的知识点。
2.总结数学知识的几何意义几何意义是许多数学知识的本质。
抓住数学本质 理解概念意义
10月21号南京天正小学与我校举行了“手拉手”教学联谊活动，天正小学送来了三节优秀的课，《周长的认识》《百分数的认识》，校长王九红作了就《小学数学教学智慧及发展》的问题作专题讲座，老师们享受了一次丰盛的教学大餐。
现我把听课的收获总结如下：一、抓住数学本质理解概念意义教学认识百分数时，都是从学生的实际生活出发，创设情境，让学生经历百分数的产生过程，感受到百分数的独特作用和价值，深刻领会百分数的意义，理解百分数与分数的联系和区别。
教师都在尊重教材例题的基础上，进行适当的改编，如老师出示了三个礼物，哪个礼物最受欢迎？好多学生习惯于凭一个数量来进行简单的比较，这便是学生的认知起点；通过再问，就会引起学生的思考，激发学习的原动力。
在原动力的推动下，学生能自觉地去比较“支持人数”和“调查人数”这两个量。
百分数是在学生学过整数、小数、分数，特别是解决“求一个数是另一个数的几分之几”问题的基础上进行的教学，这一内容是学习百分数与分数、小数互化和用百分数知识解决问题的基础，是小学数学中重要的基础知识之一。
虽然大部分学生在平时生活中已接触过百分数，对百分数有了一些零散的感性人数。
所以对于百分数学生已有一定的经验积累，但对百分数的产生、意义等还缺乏系统、全面、深入的认识。
百分数在日常生活中运用非常广泛，它源于分数，又有别于一般的分数。
今天两位教师在下面我从四个方面谈一谈我对这两节课的认识。
一、创设有效的问题情境，引起学生的认知冲突建构主义学习理论认为：学习是学生主动的建构活动，学习应与一定的情境相联系，在实际情境下进行学习，可以使学生利用原有知识和经验同化当前要学习的新知识。
这里所说的“情境”不仅仅指“生活情境”，学生的认知起点、思考性的问题等都是一个有效的“问题情境”。
两位教第一次只出示投中次数，问学生“谁投得最准？”往往会问出学生以往的惯常思维，好多学生习惯于凭一个数量来进行简单的比较，这便是学生的认知起点；通过再问，就会引起学生的思考，激发学习的原动力。
把握数学概念本质,促进学生深度体验
把握数学概念本质，促进学生深度体验随着科学技术的不断发展，数学已成为一门重要的学科。
对于中小学生而言，数学也是一门重要的课程，掌握好数学对于学生的未来发展也是至关重要的。
但是，很多学生在学习数学过程中多数时候是被动的，单纯的消化知识点，对数学的本质概念了解不够深入，体验不够深刻，导致了他们在日常学习和实际生活中不能够更好地运用数学知识。
因此，对于中小学生而言，如何把握数学概念本质，是一个需要考虑的问题。
首先，我们要深入理解并掌握数学的本质概念，从而为学生提供更好的数学教育体验。
数学概念的本质有什么？数学概念的本质是什么？我们可以从以下几个方面来探讨：1. 数学概念是数学语言中的基本构成要素，是通过符号或语言来描述或表示数学问题的符号或语言；2. 数学概念是抽象的，它们不仅仅是关于已知对象、事物或现象的描述，而且包括一系列抽象的数学概念和推理；3. 数学概念是数学推理过程中的重要组成部分，是解决数学问题的关键之一；4. 数学概念是数学学习的基础，是数学知识体系的框架和基石。
基于以上探讨，我们可知道，在数学学习的过程中，理解数学概念的本质是非常重要的。
掌握数学的本质概念可以帮助学生更好地理解数学知识，更高效地解决数学问题。
同时，深刻地理解数学概念也可以激发学生兴趣，促进学习成效。
在教学中，如何帮助学生深入体验数学概念的本质是我们需要关注的问题。
在此，笔者总结以下几个方法。
1. 引导学生参与实际问题的培养在数学教学中，我们可以引导学生去思考和解决实际问题。
通过实际问题的引导，让学生慢慢感受数学的本质概念。
实际问题可以结合学生的兴趣爱好和生活经历，根据不同的年龄段进行有针对性的选题，使学生获得更好的学习体验。
例如，在小学阶段，我们可以通过数量的概念帮助学生发现数学本质。
对于同学姓名的数量进行统计，让他们数一数班里有多少人的名字，如何壹次才能数清，然后引导学生进一步理解数量概念。
在中学阶段，我们可以通过公式的举例子让学生更深入地理解数学知识。
把握数学概念本质,促进学生深度体验
把握数学概念本质，促进学生深度体验1. 引言1.1 数学概念的重要性数学概念在数学学习中具有极其重要的作用。
它是数学知识的基石，是学生建立数学思维的基础。
数学概念不仅仅是抽象的符号和公式，更重要的是它们所代表的实际意义和解决问题的方法。
通过深入理解数学概念的本质，学生可以更好地应用数学知识解决实际问题，提高数学学习的效率和质量。
数学概念的重要性还体现在培养学生的逻辑思维和分析能力上。
数学概念的学习过程可以帮助学生建立逻辑思维框架，培养他们的分析和推理能力。
通过掌握数学概念，学生可以更好地理解问题的本质和内在联系，提高问题解决的效率和准确性。
数学概念的重要性还在于它对学生综合素质的培养具有重要影响。
深入理解数学概念需要学生具备扎实的数学基础和较强的思维能力，这促进了学生的综合素质的全面发展。
加强数学概念教育，培养学生对数学概念的深刻理解和运用能力，对于提升学生的学习水平和素质提升具有重要的意义。
1.2 学生对数学的认识学生对数学的认识是一个重要的方面，它直接影响着学生对数学学习的态度和学习效果。
一些学生可能认为数学只是一堆数字和公式的堆砌，缺乏实际意义，从而导致他们对数学学习产生抵触情绪。
另一些学生可能觉得数学是一门抽象的学科，难以理解和掌握，因此对数学学习感到挫败和无助。
数学不仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。
通过数学，我们可以有效地分析和解决现实生活中的问题，培养逻辑思维能力和创造力。
学生应该正确认识数学的本质，将其视为一种有益的工具和方法，而不是一种枯燥的学科。
只有这样，学生才能真正深入理解数学的内涵，提高数学学习的效果，实现自身的全面发展。
2. 正文2.1 理解数学概念的本质理解数学概念的本质是数学学习的基础和核心。
数学概念是数学知识的基本单元，是抽象和具体的思维活动的载体，是数学问题的关键。
在学习数学的过程中，理解数学概念的本质可以帮助学生建立起数学思维的基础，提高数学的学习效果。
如何有效地学习和理解数学概念？
如何有效地学习和理解数学概念？该如何比较有效地学习和理解数学概念：教育专家的视角数学是一门逻辑严谨、抽象性强的学科，学习和理解数学概念对学生建立扎实的数学基础极为关键。
但这，许多学生在学习数学时会遇到困难，感到困惑和懊恼。
如何有效地学习和理解数学概念，成为学生和教育工作者共同关注的议题。
以下从教育专家的角度，针对如何有效地学习和理解数学概念，提出几点建议：1. 理解概念的本质学习数学不是仅仅记住一些公式和解题技巧，更重要的是理解概念的本质。
学生应该主动学习每个概念背后的逻辑，观察其形成过程，以及它与其他概念的联系。
例如，学习微积分时，应该理解微分和积分的本质，以及它们在解决实际问题中的应用。
2. 运用多种学习策略有效学习数学需要采取多种学习策略，例如：主动参与课堂活动：积极主动参加课堂讨论，提出问题，并虚心接受老师给出的解答。
培养独立思考的习惯和练习：课后独立完成练习题，并尝试用多种方法解决同一个问题。
建立概念框架：通过思维导图、概念图等工具，构建概念之间的逻辑关系，形成完整的知识体系。
运用多种感官去学习：依靠图片、视频、模型等直观材料辅助学习，将抽象的概念可操作化。
3. 寻求帮助和反馈遇到困难时，学生不要害怕寻求帮助。
可以向老师、同学或家长寻求答案，也可以查阅书籍和资料。
同时，积极主动地寻求老师和同学的反馈，及时改正错误，弥补学习上的不足。
4. 进行数学实践将数学知识运用到实际问题中，可以帮助学生更深刻地理解数学概念。
例如，学习数学几何概念时，可以通过身边的物体进行实践，加深对图形的认识和理解。
5. 培养学习兴趣学习兴趣是学习的关键。
学生可以通过参加数学竞赛、泛读与数学相关的书籍和杂志、观看数学相关的电影和纪录片等，培养学习兴趣，激发学习的积极性。
6. 注重数学思维训练数学思维训练是学习数学的关键。
学生可以通过思考问题，分析问题，并尝试用不同的方法解决问题，来训练自己的数学思维能力。
7. 合理安排学习时间学习数学需要长时间的积累和反复练习，学生应该合理安排学习时间，坚持每天进行一定量的学习和练习，并保持良好的学习习惯。
整体把握数学知识揭示数学知识本质
整体把握数学知识揭示数学知识本质数学是一门基础学科，也是人类理性思维的高峰之一。
通过学习数学知识，可以培养我们的逻辑思维和数学思维能力，提高我们的分析和解决问题的能力。
然而，很多人在学习数学知识的过程中，经常会出现一些问题，比如不理解数学知识的本质，或者只是凭记忆学习而不能真正理解数学公式和概念的含义。
因此，整体把握数学知识就成为了极为重要的一步。
通过整体把握数学知识，我们可以深入理解数学知识的本质，掌握数学知识的核心内容，从而更好地应对各种挑战和复杂问题。
一、认识数学知识的本质在学习数学知识之前，我们需要认识数学知识的本质。
数学知识不仅仅是一些公式、定理和概念的堆砌，更是通过抽象化和理论化来研究自然界和社会现象的科学。
数学的根本目的是研究客观事物，探究事物之间的关系和规律，从而用科学的方式把握事物的本质和内在联系。
在学习数学知识的过程中，我们应该关注数学的本质特点，强调思维方式和逻辑方法的训练，以及对数学知识的应用。
二、整体把握数学知识的步骤整体把握数学知识是一个系统性的过程，需要遵循一定的步骤。
下面简要介绍一下整体把握数学知识的步骤：1.掌握基础知识在学习一门学科之前，我们首先需要掌握它的基础知识。
学习数学也是一样，我们需要先了解数学的基本概念和基本原理，例如数学中的函数、方程、几何等等。
只有掌握了这些基本知识，才能逐步深入理解数学的更高层次知识。
2.构建概念体系掌握了数学的基本知识之后，我们需要进一步构建数学的概念体系。
数学的概念体系是数学知识体系的基础，是数学知识内在联系的显著体现。
要全面理解数学知识的本质，我们需要理解每个概念所代表的实际意义和数学内涵，并且理解各个概念之间的联系。
3.研究定理和公式为了深入理解数学的知识体系，我们需要研究数学的定理和公式。
通过研究定理和公式，我们可以了解它们的特点、重要性和应用。
需要深入理解定理和公式的证明过程，这可以帮助我们更加深入地理解数学知识的本质。
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——对“方差”概念的分析与思考
【专题名称】中学数学教与学（高中读本）
【专题号】G35
【复印期号】2009年06期
【原文出处】《中学数学教学参考》(西安)2009年3中期第21～23页
【作者简介】万荣庆，江苏常州市新北区教研室。
在中学统计内容教学中有两类描述数据特征的概念：一类是描述数据集中程度的，如平均数、中位数、众数；另一类是描述数据离散程度的，如极差、方差、标准差。
教师在讲授这些概念时，常常由于自己对概念认识较浅，导致学生学习这些概念时不明不白。
甚至有时因教师自己对概念的错误理解，而直接影响学生的后续学习或实际应用。
现以统计中“方差”概念的教学为例作些分析与思考，以便教师在概念教学中引导学生清晰地认识数学概念，从而真正理解概念，正确应用概念。
一、清晰地引入“方差”概念
当我们描述一批数据时，有时考虑它们的集中程度，有时还要考虑它们的离散程度。
如某次数学单元检测，A组成绩：95，85，75，65，55，45；B组成绩：73，72，71，69，68，67。
这两组成绩中，A组数据给人的感觉波动范围较大，较“散”，B组数据给人的感觉波动范围较小，没A组“散”。
如果将上述两组成绩用图形（如图1）描述的话，将更直观地看出A 组数据比B组数据“散”。
图1
那么我们接着要考虑的是，这里的“散”是对于谁而言的呢？我们需要找到一个可以进行比较的参照对象，这个比照对象就是反映数据集中程度的平均数。
为什么找平均数，不找别的呢？一是平均数本身是这批数据最集中的“地方”，视觉中的“散”与“不散”就是围绕这个集中“地方”作比较的；二是如果以别的作比较的话，如图1，若A、B两组数据均以0分作比较对象，感觉A、B两组数据对0来说都较“散”，很难对两组数据的离散作判断。
当把比照对象“平均数”确定以后，我们更重要的任务是如何用具体的量来描述这批数据对于“平均数”这个比照对象来说的离散程度，这是我们最本质的问题，因为数学很重要的任务就是如何用数量或数量关系描述我们所面对的问题。
在寻找能描述这批数据对于“平均数”的离散程度的量时，当然首先想到的是这些数据与平均数的差，并将这些差的和作为这些数据与平均数的离散程度的累计，如前面所提的A组测试成绩，其平均数x=70，每个数据与70作差后得25，15，5，-5，-15，-25。
但若把这些偏离值相加，出现正负抵消，这样这批数据的离散程度会由于差值中的正负抵消而不能真正表述数据的离散程度。
如何解决上面的问题呢？我们自然会想到要消除每个数据与平均数差后的负值。
这里的方法很多，其中最常见的两种方法是对差值作绝对值或平方。
我们常常采用加平方的方式来描述这批数据离开“平均数”的离散程度，即设一批数据
，通过计算来描述这批数据离开平均数的离散程度的和。
但问题又来了，这种用和来描述这批数据的离散度会不会受到数据个数的影响呢？当然会，数据个数多时，其和值会相对大，特别是在比较两组数据的离散度时，就会因为个数不同而不科学了。
为了避免由于个数产生的影响，我们很自然地会想到计算这些数据与平均数作差后平方所得到的新数据的平均数，即
，用它来表示这批数的平均离散程度。
这个值彻底解决了上面所遇到的问题，即这个结果能用数量来刻画出一批数据对平均数偏离的平均程度，描述出这批数据相
对于平均数而言的波动程度。
回到开头，对于A组：
“方差”概念是我们要解决怎样用数量去刻画一批数据的离散程度时而引入的。
上述的引入是通过不断探索合理的方法，逐步解决出现的新问题，直至最后把问题解决。
在这过程中，我们一方面帮助学生理清为什么要引入方差、怎样引入方差、在引入方差过程中为什么要与平均数作差、为什么对差作平方、又为什么对平方后的和要除以n……帮助学生理清了概念的来龙去脉，更重要的是在这个过程中，不断让学生面临问题，然后积极探索寻找解决问题的方法，不断完善方法，使学生经历了一次充满探究、解决问题的过程。
数学本身也正是在这样不断遇到问题，不断寻找解决问题的方法中得到发展和完善，这是学生在数学学习过程中最本质的。
二、进一步理解“方差”概念
(1)方差与极差有何区别？在中学统计内容的教学中，反映一批数据离散程度的还有一个概念——极差。
极差是一批数据中最大值与最小值的差，它很简洁明了地描述了这批数据的波动范围。
很多教材都说明了极差也能反映一批数据的离散程度或波动大小。
但在教学中学生往往会有疑问：既然形式简单的极差能反映一批数据的离散程度，那为什么还要引入复杂的方差呢？其实教学中我们要帮助学生理清：教材中的说法是含糊不清的，极差仅反映这批数据中两个极端值的离散程度，并不能真正反映这批数据离散的整体情况，从某种意义上讲它仅能说明这批数据的离散范围，而不能表示这批数据的整体离散程度。
而“方差”充分利用每个数据的作用，削弱极端数据的作用，整体反映这批数据的离散程度，更科学、更完整地反映这批数据的离散程度（或波动程度），教学中，我们要强调这一点。
(2)方差单位有何意义？在方差公式的引入过程中，由于将每个数据与平均数作差后进行了平方，因此方差的结果单位
均以平方形式出现，如表示以cm为长度单位的一批数据，其方差单位为，表示以kg为重量单位的一批数据，其方差单位
为……教学中，学生很难理解这些方差单位。
事实上，方差单位是没有意义的，因为我们计算方差的目的就是想用纯数量来刻画这批数据的离散程度，关心的不是单位，而是离散程度的大小。
因此对方差的单位，教师在教学中应适当解释说明，但不作过分强调，在教学中去设计判断方差的单位是否正确一类题完全没有必要。
但我们可引导学生如何去解决这个问题，即为了使
得描述数据的离散程度方差更有实际意义，我们可引入标准差s的概念，即。
标准差的结果，既能从量上反映这批数据的离散程度，又能使单位与实际相一致，同时也避免了方差中由于平方后可能夸大离散的程度。
(3)为什么不用绝对值方式？在“方差”概念引入过程中，我们发现要消除每个数据与平均数作差后相加，结果会因为
每项相抵消的问题，解决这个问题有很多种方式，其中有一种对差取绝对值法，即设一批数，与平
均数作差后取绝对值得，将这些数据相加就能消除正负相抵的问题，接着采用
像方差引入一样得出来描述这批数据的离散程度，这种方式叫“平均差”。
从“平均差”法的引入过程可以看到，它同样能刻画一批数据的离散程度，“平均差”值越大，说明这批数据的离散度大；“平均差”值越小，这批数据的离散度小。
那为什么我们平时不采用这种较简洁的“平均差”法，而用计算较复杂的方差（或标准差）来刻画数据的离散程度呢？原因有：一是“平均差”法在遇及具体数据时较方便，教学中应充分肯定这种方法的优越性，但当遇到用字母来表示数时，绝对值就不如平方简捷了；二是用标准差来刻画一批数据的离散程度要比简单的“平均差”更能精确地反映一批数据的离散度。
在中学里选择方差（标准差）的学习更是今后学习复杂统计内容的需要。
(4)一定要平均数相同吗？在比较两批数据的离散程度时，教材上例题、习题中所列出的两批数据，它们平均数都相同，即都是在两批数据平均数相同情况下利用方差（标准差）来判断其离散程度的。
那么到底要不要平均数相同这个条件才能比较呢？平均数不等情况下能否比较两批数据的离散程度呢？事实上，每批数据的离散程度都是相对这批数据的平均数而言的，在比较两组数据的离散程度时，仅仅判断两组数据的波动大小，完全没必要一定要平均数相同，如判断下表中A、B两组数的离散程度。
A 2 3 4 5 6
B 7.5 8.5 9.0 9.5
10.5
因为，故A组数的离散程度大于B组数的离散程度。
但在实际生活中，利用方差（标准差）来比较两批数据的离散程度并用来决策时，就不得不考虑平均数的因素。
例如：某校甲、乙两名运动员在10次100 m练习跑中成绩如下表（单位s）：
甲12.8 12.9 13.0 12.7 13.2 13.1 12.8 13.0 12.7 12.8乙13.9 13.9 13.8 13.8 14.0 13.9 13.8 14.1 14.0 13.8
请你根据练习成绩，选择谁代表学校参加校外比赛？
很显然，，说明乙的成绩波动较小。
但我们是不是就选择乙代表学校参加校外比赛呢？当然不会，因为甲的100m跑平均成绩在12.9s，而乙的100m跑平均成绩只有13.9s，甲的成绩明显好于乙的成绩。
因此在实际应用中，对两批数据进行比较选择时，当两批数据的平均数差异较大时，应首先考虑平均数的作用；当两批数据相等或很接近时，我们才考虑用方差来刻画其离散程度，根据离散程度来进行选择。
这个过程是先进行平方，再进行作差。
我们可以证明①式与②式是相等的，即。
教学中如何证明对学生可以不作要求，但我们教师应该清晰。
这时也许②式称为“方差”，而我们平时用的①式称“差方”更合理些。
但实际中正因为
，所以①式也就习惯称之为“方差”。
“方差”仅是统计内容中的一个概念，通过上述对这个概念的清晰引入和一些深入理解，我们清楚地认识到，数学概念的教学不是简单地让学生去识记，让学生利用概念去解决一些实际问题，而是要在教学中帮助学生理清概念的来龙去脉，真正理解概念，从而正确地应用概念，同时，更要通过概念的教学激发学生的探究欲望，明了学习数学的本质，提高解决数学问题的方法和能力。
^NU1DA20091028。