高三数学立体几何中的最值问题复习

突破立体几何之《立体几何中的最值问题》 考点动向
高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．
例１如图６－１，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，
1906ACB AC BC CC ∠==== ，，．
P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值
为 ．
解析 考虑将立体几何问题通过图形变换，转化为平面几何问题解答．
解 连结1A B ，沿1BC 将1CBC △展开与
11A BC △在同一个平面内，如图６－２所示，连1AC ，则1AC 的长度就是所求的最小值．通过计
算可得1190AC C ∠=︒，又145BC C ∠=︒故11135AC C ∠=︒，
由余弦定理可求得1AC =．
例２ 如图６－３，在四棱锥P ABCD -中，
PA ⊥底面A B C D ，DAB ∠为直角，
2A B C D A D C D A B ==，∥，E F ，分别为
PC CD ，的中点．
（I ）试证：CD ⊥平面BEF ；
（II ）设PA k AB =
，且二面角E BD C --的平面角大于30︒，求k 的取值范围．
解析 对（I ），可以借助线面垂直的判定定理，或者借助平面的法向量及直线的方向
A
1
A 1
1
图６－１
A
C P
B
1
A
1
C
1
B
图６－２
C C
图６－３
向量解答；对（II ），关键是确定出所求二面角的平面角．
解法１（I ）证：由已知DF AB ∥且DAB ∠为直角， 故ABFD 是矩形，从而CD BF ⊥．又PA ⊥底面
ABC D ，CD AD ⊥，故由三垂线定理知CD PD ⊥．
在PDC △中，E ，F 分别为PC ，CD 的中点，故
EF PD ∥，从而CD EF ⊥，由此得CD ⊥面BEF ．
（II ）连接AC 交BF 于G ，易知G 为AC 的中点，
连接EG ，则在PAC △中易知EG PA ∥．又因PA ⊥底面ABCD ，故EG ⊥底面ABCD ． 在底面ABCD 中，过G 作GH BD ⊥，垂足为H ，连接EH ，由三垂线定理知EH BD ⊥，从而EHG ∠为二面角E BD C --的平面角． 设
AB a =，则在PAC
△中，有
11
22
EG PA ka =
=．以下计算GH ，考虑底面的平面图（如图６－５），连接GD ，因
11
22BD S BD GH GB DF =
= △G ， 故GB DF
GH BD = ．在ABD △中，因AB a =，
2AD a =
，得BD =．
而11
22
GB FB AD a =
==，DF AB =，
从而得GB AB GH BD ===
．因此1
tan ka
EG EHG GH ===．
故0k >知EHG ∠是锐角，故要使30EHG >
∠
，必须
tan 3023
>=
， 解之得，k
的取值范围为15
k >
． 解法２（I ）如图６－６，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，设AB a =，则易知点A ，B ，C ，D ，F 的坐标分别为()000A ，，，()00B a ，，，()220C a a ，，，()020D a ，，，()20F a a ，，．
C
图６－４
图６－５
A
从而(200)(020)DC a BF a ==
，，，，，，0DC BF = ，故DC BF ⊥ ．
设PA b =，则(00)P b ，，，而E 为PC 中
点，故
2b E a a ⎛
⎫ ⎪
⎝
⎭，，，从而
02b B E a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭ ，，．0DC BE = ，故
D C B E
⊥
．由此得CD BEF ⊥面． （II ）设E 在xOy 平面上的投影为G ，过G 作GH BD ⊥垂足为H ，由三垂线定理知
EH BD ⊥．从而EHG ∠为二面角E BD C --的平面角．由PA k AB = 得(00)P ka ，，，
2ka E a a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，，，(0)G a a ，，．设(0)H x y ，，，则(0)(20)GH x a y a BD a a =--=- ，，，，，，
由0GH BD =
得()2()0a x a a y a --+-=，即2x y a -=-． ①
又因(0)BH x a y =- ，，，且BH 与BD
的方向相同，故2x a y
a a
-=-， 即22x y a +=． ②
由①②解得3455x a y a ==，
，从而21055GH a a GH ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭
，，，．
tan ka EG EHG GH
=== ．
由0k >知EHG ∠是锐角，由30EHG ∠>︒，得t a n t a n30E H G >
︒，
>
． 故k
的取值范围为k >． [规律小结]
立体几何中的最值与范围，需要首先确定最值或范围的主体，确定题目中描述的相关变动的量，根据必要，可确定是利用几何方法解答，还是转化为代数（特别是函数）问题解答．其中的几何方法，往往是进行翻折变换，这时可以想象实际情形，认为几何体是利用硬纸等折
图６－６
成的，可以动手翻折的，在平时做练习时，不妨多动手试试，培养自己的空间想象能力，在考试时就可以不动手，动脑想就可以了．特别注意变动的过程，抓住变动的起始与终了等特殊环节．
考点误区分析
（１）这类问题容易成为难点，关键是学生的空间想象能力缺乏，或者对问题的转化方向不明确．因此，要注意常见的转化方向，如化立体几何问题为平面几何问题，或化立体几何问题为代数问题等，根据题目特征进行转化．
（２）对题目所描述的情形没有清醒的认识也是造成错解的主要原因，注意产生量的变化的主要原因是什么，相关的数量和位置关系都做怎样的变化，抓住问题的关键，才能顺利解决问题．
同步训练
１．如图６－７，在直三棱柱111ABC A B C -中，
AB BC ==12BB =， 90=∠ABC ，,E F
分别为111,AA C B 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 ．
２．有两个相同的直三棱柱，高为
a
2
，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a ．用它们拼成
一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________．
３．如图６－８，正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 ．
［参考答案］
１．［解析］分别将111A B C △沿11A B 折到平面11ABB A 上；将111A B C △沿11AC 折到平面11ACC A 上；将11BCC B 沿1BB 折到平面11ABB A 上；
将11BCC B 沿1CC 折到平面11ACC A
A
图６－７
1A 1
E
图６－８
上，比较其中EF 长即可．
［答案］
2
２．［解析］可知，全面积最小的是四棱柱面积为2
2428a +，全面积最小的是三棱柱面积为21248a +，解2212482428a a +>+即可．
［答案］3
150<
<a ． ３．［解析］当CD 所在的直线与平面α平行时，所求射影面积最大，为
1122
AB CD ⨯=；
当CD 所在的直线与平面α垂直时，所求射影面积最小，可求得为
4
．
［答案］1[]42
．。