数据库关系运算
数据库关系运算理论(1)
9
基本表
查询表
视图
10
(4)关系的规范化性质
列是同质的， ①列是同质的，即每一列中的分量是同一类型的数 来自同一个域。 据，来自同一个域。 不同的列可出自同一个域， ②不同的列可出自同一个域，称其中的每一列为一 个属性， 个属性，不同的属性要给予不同的属性名 ③列的顺序无所谓，即列的顺序可以任意交换。 列的顺序无所谓，即列的顺序可以任意交换。 任意两个元组不能完全相同。 ④任意两个元组不能完全相同。 行的顺序无所谓，即行的顺序可以任意交换。 ⑤行的顺序无所谓，即行的顺序可以任意交换。 分量必须取原子值， ⑥分量必须取原子值，即每个分量必须是不可再分 的数据项。 的数据项。
2)笛卡尔积：给定一组域D 2)笛卡尔积：给定一组域D1，D2，…Dn，这些域中 笛卡尔积 D 可以有相同的。笛卡尔积表示为： 可以有相同的。笛卡尔积表示为： D1╳D2 ╳ … Dn={(d1,d2,…dn)|di∈Di,i=1,2 …n} d n} 其中每一个元素(d 其中每一个元素(d1,d2,…dn)叫做一个n元组， 元素 d 叫做一个n元组， 简称为元组 元素中的每一个值d 叫做一个分量 元组。 分量。 简称为元组。元素中的每一个值di叫做一个分量。
一张二维表。 （1）数据结构：一张二维表。现实世界的实体 以及实体间的联系均用关系（二维表）表示。 以及实体间的联系均用关系（二维表）表示。 关系操作包括 操作。 （2）关系操作包括：查询和更新操作。 关系操作包括：查询和更新操作 查询操作包括：选择、投影、连接、 查询操作包括：选择、投影、连接、 操作。 除、并、交、差等操作。 更新操作包括：增加、删除、修改操作。 更新操作包括：增加、删除、修改操作。 操作 特点： 对象和 都是集合 关系操作的特点 操作对象 结果都是 关系操作的特点：操作对象和结果都是集合
关系数据库的检索操作的三种基本运算
关系数据库的检索操作的三种基本运算
1.选择：选择运算是指从关系中选出满足指定条件的元组，即数据行。
例如，从一个学生表中选择出所有年龄大于18岁的学生，可以使用如下的SQL语句：
SELECT * FROM students WHERE age > 18;
2. 投影：投影运算是指从关系中选取一部分属性，生成一个新的关系。
例如，从一个学生表中选取学生的姓名和性别，可以使用如下的SQL语句：
SELECT name, gender FROM students;
3. 连接：连接运算是指将两个关系合并成一个新的关系。
常见的连接方式包括内连接、外连接和交叉连接。
例如，将一个学生表和一个课程表进行内连接，可以使用如下的SQL语句：
SELECT * FROM students INNER JOIN courses ON students.id = courses.student_id;
以上三种基本运算是关系数据库中进行检索操作的基础，掌握它们对于进行高效的数据库查询操作非常重要。
- 1 -。
数据库关系运算
第3章 关系运算及关系系统
除法的性质：
（1） R÷S的结果属性是由属于R但不属于S的所有属性
构成的。
（2） R÷S的任一元组都是R中某元组的一部分。 （3） R（X，Y）÷S（Y，Z）≡R（X，Y）÷πY（S）
或构造临时关系T={P2，P4}， 再求
πE＃， P＃（EP）÷T
第3章 关系运算及关系系统
⑧ 检索参与全部项目职工姓名。
πEN（（（πE＃， P＃（EP））÷πP＃（P）） πE＃， P＃（EP）÷πP＃（σE＃=′E3′（EP）） E）
⑨ 检索参与项目包含职工E3参与项目的职工号，
或参与项目不包含职工E3所参与项目的职工号及姓名。
第3章 关系运算及关系系统
R÷S=πX（R）－πX（（πX（R）×S）－R）
（4） R÷S的计算过程如下：
① T=πX（R）;
② W=（T×S）－R;
③ V=πX（W）;
④ R÷S=T－V。
【例3.3】 给定关系R和S， 求R÷S。
第3章 关系运算及关系系统
图3.5 除法操作举例
第3章 关系运算及关系系统
然连接。 为了保留更多信息， 还有外连接、 半连接、 外部并-----扩充的关系代数运算。
第3章 关系运算及关系系统
1． 外连接（Outer join） 两个关系 R和 S 作自然连接时， 两个关系
公共属性上值不相等的元组无法进入连接后的
新关系， 造成R和S中部分元组值被舍弃。 有时希望这些该舍弃的元组继续保留在新关系 中-----外连接。
图3.7
S
SC运算结果
数据库专门关系运算-除
学生姓名
--------
张三
而RS÷S的意义是“选修了所有课程的学生”，楼主自己理解理解吧，其实很简单的。
至于楼主给出的例题，关系S中的属性D实际上是没用的（因为作为被除方的R关系中没有这个属性），那么S的属性只保留A和C，其元组有<a,c> <d,f> <b,d>；
为了方便把R的属性按B、A、C的顺序排列，其元组有<b,a,c> <a,b,d><d,c,e> <f,d,g>；
赵四的象集为（教师和课程集合）：{(t6,c6)}
S在(教师、课程)上的投影为{(t1,c2), (t2,c3), (t2,c1)}。
所以，R÷S = {张会}（就是说只有张会一个学生选择了关系S中的教师和课程集合）
R的元组有<张三>、<李四>、<王五>，S的元组有<语文>、<数学>；
那么RS中的元组<张三，语文>就意味着R的元组<张三>与S中的元组<语文>有关系；元组<张三，数学>意味着R的元组<张三>与S中的元组<数学>有关系；
这样，R中的<张三>与S中所有元组都有联系，所以它是RS÷S的结果之一，也是这个例子中唯一的结果（楼主可以自己分析<李四>和<王五>）。
关系R:
学生名
--------
பைடு நூலகம்张三
李四
王五
关系S：
课程名
------
语文
数学
关系RS：
学生名课程名
--------------
数据库关系代数运算例题
数据库关系代数运算例题
下面是一个关系代数运算的例题：
已知有两个关系表格R和S，分别包含以下字段：
R(A, B, C)
S(C, D)
问题1: 求R和S的笛卡尔积。
解答1: 笛卡尔积可以利用关系代数的乘积运算来表示。
乘积运算使用 ×符号表示，即 R × S。
问题2: 求R和S的并集。
解答2: 并集可以利用关系代数的并运算来表示。
并运算使用∪符号表示，即 R ∪ S。
问题3: 求R和S的交集。
解答3: 交集可以利用关系代数的交运算来表示。
交运算使用∩ 符号表示，即R ∩ S。
问题4: 求R和S的差集。
解答4: 差集可以利用关系代数的差运算来表示。
差运算使用 - 符号表示，即 R - S。
问题5: 求R关于字段A的投影。
解答5: 投影可以利用关系代数的投影运算来表示。
投影运算使用π 符号表示，即π(A)(R)。
问题6: 求R关于字段A的选择条件为A=1的选择。
解答6: 选择可以利用关系代数的选择运算来表示。
选择运算使用σ 符号表示，即σ(A=1)(R)。
问题7: 求R和S的连接条件为R.C=S.C的自然连接。
解答7: 自然连接可以利用关系代数的连接运算来表示。
连接运算使用⨝符号表示，并在连接条件上加上等式。
即 R ⨝(R.C=S.C) S。
数据库——关系运算
3.1 集合运算 刘鹤年编写
（属于R而且也属于S）
第3章 关系代数
喜欢跳舞的学生关系R
Sname
Sex
李敬
女
高全英
女
吴秋娟
女
穆金华
男
张欣欣
女
王婷
女
喜欢唱歌的学生关系S 刘鹤年编写
Sname
Sex
赵成刚
男
张峰
男
吴秋娟
女
穆金华
男
孙政先
男
王婷
女
吕文昆
男
孙炜
女
既喜欢跳舞也喜欢唱歌的学生R∩S
Sname
Sex
有相同的域。
则关系R和S的交，将产生一个包含所有既属于R
也属于S的元组的新关系。记作：R∩S。
由于R∩S =R–(R-S),或者R∩S =S–(S-R),
所以R∩S 运算是一个复合运算。
第3章 关系代数
3.1.3 交运算（续）
交操作的示意图，如图3-3所示。
刘鹤年编写
第3章 关系代数
3.1.3 交运算(续)
李敬
16020010 C语言程序设计
李敬
16020011 图像处理
李敬
16020012 网页设计
第3章 关系代数
3.2 特殊的关系运算
3.2 特殊的关系运算 刘鹤年编写
关系数据库是用数学方法处理数据的，关系 间可以进行各种运算，以支持对数据库的各种操 作。我们介绍其中最基本的三种运算：
选择（Selection）
从一组集合的笛卡尔积中，抽取能反映现实世界的， 具有实际意义的子集。该子集即为一个关系。
D1×D2×…×Dn的子集叫做在域D1×D2×…×Dn 上的关系，表示为:
数据库关系代数
数据库关系代数关系代数是关系数据库系统查询语⾔的理论基础⼀、关系代数的9种操作：关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、⾃然联接等操作。
五个基本操作：并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)四个组合操作：交(∩)、联接(等值联接)、⾃然联接(R S)、除法(÷)注2：等值连接表⽰先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进⾏选择或等值关联后的结果(仅筛选⾏、不筛选列)注2：⾃然连接表⽰两个关系中若有相同名称的属性，则⾃动作为关联条件，且仅列出⼀列⼆、关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合⽽成的式⼦称为关系代数表达式。
这种表达式的运算结果仍然是⼀个关系。
可以⽤关系代数表达式表⽰对数据库的查询和更新操作。
三、举例说明：设教学数据库中有3个关系：学⽣关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)(1) 检索学习课程号为C2的学⽣学号与成绩------------------------------------SELECT SNO,GRADEFROM SCWHERE CNO='C2'------------------------------------π SNO, GRADE (σ CNO='C2' (SC))************************************(2) 检索学习课程号为C2的学⽣学号与姓名------------------------------------SELECT SC.SNO,S.SNAMEFROM SC,SWHERE SC.SNO=S.SNOAND /doc/4100a9c158f5f61fb73666f5.html O='C2'------------------------------------π SNO,SNAME (σ CNO='C2' (S SC))此查询涉及S和SC，先进⾏⾃然连接，然后再执⾏选择投影操作。
数据库系统-关系代数
数据库系统-关系代数
关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式，它是利用对关系的运算来表达查询的。
任何运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。
关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。
在关系代数中，有5种基本运算，它们是并（U）、差（—）、投影、选择、笛卡尔积（X），其他运算如交、连接和除，均可通过这5种基本运算来表达。
1. 并运算：结果为二者元组之和去除重复行。
2. 交运算：结果为二者重复行。
3. 差运算：前者去除二者重复行。
4. 笛卡尔积：从数学角度理解，就是将集合A和集合B中所有有序对元素集合。
在数据库系统中，表示得是对两个关系R 和S进行操作，产生的关系中元组个数为两个关系中元组个数之积。
5. 投影：关系R上的投影是从R中选择出若干属性列组成新的关系。
6. 选择：选择又称为限制（Restriction）。
7. 自然连接：结果列数为二者属性列数之和减去重复列，行数为二者同名属性列其值相同时的结果元组。
此外，关系代数还有许多等价表示，如常考的关系代数是笛
卡尔积、选择、投影组合与自然连接的等价表示等。
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孙政先
王婷 吕文昆 孙炜
男
女 男 女
张欣欣
王婷
女
女
喜欢跳舞但是不喜欢唱歌的学生R-S
Sname
Sex
李敬
高全英 张欣欣
女
女 女
第3章 关系代数
3.1 集合运算 刘鹤年编写
3.1.3
交运算
设：关系R与关系S有相同的属性，并且对应属性
有相同的域。 则关系R和S的交，将产生一个包含所有既属于R 也属于S的元组的新关系。记作：R∩S。 由于R∩S =R–(R-S),或者R∩S =S–(S-R),
刘鹤年编写 这个表是我们 要的关系吗？
刘逸
刘逸 刘逸
计算机
计算机 机械
刘琛
王敏 李勇
刘逸
刘逸
机械
机械
刘琛
王敏
第3章 关系代数
关于关系的数学描述
刘鹤年编写
关系模型的数学基础是关系代数。关系代数是由一组 以关系作为运算对象的特定的运算所组成的。用户通过这组 运算，对一个或多个关系不断地进行“组合”与“分割”从 而得到所需要的数据。 从一组集合的笛卡尔积中，抽取能反映现实世界的， 具有实际意义的子集。该子集即为一个关系。 D1×D2×…×Dn的子集叫做在域D1×D2×…×Dn 上的关系，表示为:
域的积
关系的形式化定义：
笛卡尔积 或其子集
第3章 关系代数
笛卡尔积示例
D1=导师集合Supervisor={张清枚，刘逸}
D2=专业集合Speciality={计算机，机械} D3=研究生集合Postgraduate={李勇，刘琛，王敏}
D1×D2×D3={
刘鹤年编写
三个域
(张清枚，计算机，李勇), (张清枚，计算机，刘琛),(张清枚，计算机，王敏), (张清枚，机械，李勇), (张清枚，机械，刘琛), (张清枚，机械，王敏), (刘逸，计算机，李勇), (刘逸，计算机，刘琛), (刘逸，计算机，王敏), (刘逸，机械，李勇), (刘逸，机械，刘琛), (刘逸，机械，王敏) }
R(D1×D2×…×Dn)
N是关系的目或度。
第3章 关系代数
刘鹤年编写
关系代数运算的三个要素: 运算对象：关系 运算结果：关系 运算符：四类。集合运算符、关系运算符、 算术比较符和逻辑运算符。 关系代数运算分： 传统的集合运算： 并、差、交、广义笛卡尔积 专门的关系运算： 选择、投影、连接、除
第3章 关系代数
第3章 关系代数
3.1 集合运算 刘鹤年编写
3.1.2
差运算(续)
差操作的示意图如下：
第3章 关系代数
3.1 集合运算 刘鹤年编写
3.1.2
差运算(续)
（R中有，S中没有的元组）
第3章 关系代数
喜欢跳舞的学生关系R Sname 李敬 高全英 吴秋娟 穆金华 Sex 女 女 女 男 喜欢唱歌的学生关系S 刘鹤年编写 Sname Sex 赵成刚 张峰 吴秋娟 穆金华 男 男 女 男
第3章 关系代数
喜欢跳舞的学生关系R Sname 李敬 Sex 刘鹤年编写 女 女 女 男
喜欢跳舞或喜欢唱歌的学生关系R∪S
高全英 吴秋娟 穆金华
Sname 李敬 高全英
Sex 女
张欣欣
王婷 喜欢唱歌的学生关系S Sname 赵成刚 张峰 吴秋娟 穆金华 孙政先 王婷 吕文昆 孙炜
女
女 Sex 男 男 女 男 男 女 男 女
第3章 关系代数
3.1 集合运算
3.1.1
并运算
刘鹤年编写
设：关系R与关系S有相同的属性，并且对应属性 有相同的域。 则关系R和S的并将产生一个包含R、S中所有不同 元组的新关系。记作：R∪S。 并操作的示意图如下：
第3章 关系代数
3.1 集合运算 刘鹤年编写
3.1.1 并运算（续） 在实际运用中，并运算可实现插入新元组的操作。
第3章 关系代数
关系模型概述
关系数据结构
数据结构 数 据 模 型 关系模型
刘鹤年编写
二维表
选择、投影、连接 增加、删除、修改等
关系操作集合
数据操作
实体完整性约束
数据的约束条件 关系完整性约束 参照完整性约束 用户定义的完整性 约束
第3章 关系代数 数字、 字符及 其子集。
刘鹤年编写
关系的数据库结构 和形式化定义 – 域(Domain) – 笛卡尔积(Cartesian Pdoduct) – 关系(Relation)
3.1 集合运算 刘鹤年编写
3.1 集合运算
传统的集合运算包含并、差、交、广义笛卡尔积等。 其运算是从关系的水平方向（表中的行）来进行的。 关系代数运算符 运算符 集 合 运 算 符 ∪ ∩ × 含义 并 差 交 笛卡尔积 运算符 ＞ 比 较 ≥ 运 ＜ 算 ≤ 符 ＝ <> 含义 大于 大于等于 小于 小于等于 等于 不等于
吴秋娟
穆金华 张欣欣
女
男 女
王婷
赵成刚 张峰 孙政先 吕文昆 孙炜
女
男 男 男 男 女
第3章 关系代数
3.1 集合运算 刘鹤年编写
3.1.2
差运算
设：关系R与关系S有相同的属性，并且对应属性有
相同的域。 则关系R和S的差，将产生一个包含所有属于R但不 属于S的元组新关系。记作：R-S。 差运算是有序的：R-S不等于S-R。
D1×D2×D3的基数M = 2 ×2×3 = 12（共有12个元组）
第3章 关系代数
上例的运算结果
Supervisor 张清枚 张清枚 张清枚 张清枚 张清枚 张清枚 刘逸 Speciality 计算机 计算机 计算机 机械 机械 机械 计算机
Postgraduate 李勇 刘琛 王敏 李勇 刘琛 王敏 李勇
所以R∩S 运算是一个复合运算。
第3章 关系代数
3.1.3
交运算（续）
刘鹤年编写
交操作的示意图，如图3-3所示。
第3章 关系代数
3.1 集合运算 刘鹤年编写
3.1.3
交运算(续)
（属于R而且也属于S）
第3章 关系代数
刘鹤年编写
本章要点
并、 差、交、 笛卡尔积运算 投影、选择和连接运算
从第9张PPT开始 讲述每个运算的 规则。是重点。
第3章 关系代数
关系模型概述
刘鹤年编写
关系模型是以关系代数为理论基础的；关系模 型的理论的奠基人是IBM公司的E. F. Codd。 目前国际著名的关系数据库有：DB2，Oracle， SQL Server等。在我国，东软集团有限公司的 OpenBase、人大金仓的Kingbase ES、武汉达 梦公司的DM4和中国航天科技集团公司OSCAR 已经成为我国的支柱型关系数据库产品。 关系数据库系统是支持关系模型的数据库系统。