高二选修2-3课件：计数原理
解排列组合问题的常用技巧
（一）特殊元素的“优先安排法”
[例1]用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字
的三位数，其中偶数共有（
）
A.24
B.30
C.40
D.60
分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优 先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；
Cn0anb0 Cn1aa1b1 Cn2a b n2 2 L Cnra b nr r L Cnna0bn
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式
Tr1 Cnr anrbr (0 r n, r Z )
称为二项展开式的通项公式，它表示展开式的第r+1项.
高二上期末复习选修2-3
计数原理
两 个
排 列
计
计
数
数
原
组
原
理
合
理
排列概念 排列数公式 排列问题
组合概念 组合数公式 组合数性质
排列组 合应用
组合问题
二
项
二项展开
通项公式
应
式
式性质
用
定
二项式系
理
数的性质
复习分类回计数顾原理::
分类计数原理:
分步计数原理: • 完同有成 的一方件法m种事，2不，做同需 第的m要2方步1分法有成．mｎ那2个么种步完不.骤.成同.，这的做件m m方第n事m法n11共步…有有…:做第种ｎ不步
3.组合：（1）组合的定义：__________ （2）组合数公式：____________
（3）组合数性质：①_______②________
4.排列组合基本方法：特殊元素法、特殊位置法、捆绑法、插空法、排除法、隔 板法、分堆
5.排列组合应用题的关键：区别它是排列问题，还是组合问题，也就是看 它有无顺序
三人进行全排列 由分步计数原理可得：
种不同排法
A55A33
（3）不相邻问题——插空法
对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它元素排 好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空 隙之间插入即可。
例：7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有 多少种站法？
分析：可先让其余4人站好，共有A
C C A 2 2 2 4 2 6 90 A22
元素相同问题隔板策略
例.有10个运动员名额，再分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成
一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选６个位置插个隔板，
可把名额分成７份，对应地分给７个
班级，每一种插板方法对应一种分法
不遗漏 分类 分步 按事件的发生过程
、
，正确地交替使用两个原理，
这是解决排列问题的最基本，也是最重要的思想方法。
二项式定理有哪些题型？
知识梳理：
1.两个计数原理：_____________(分类) _____________(分步)
2.排列：（1）排列的定义：____________ （2）排列数公式：____________
C C C A 多少分法？ 2 2 2 3 Why?
642
3
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一
种情况,所以分组后要一定要除以 均分的组数)避免重复计数。
A(nnn为
1.将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4
个队, 有多少分法？
C C C 5
44
13
8
4
A2 2
2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每 班安排2名，则不同的安排方案种数为______
6.二项式定理：______________ 通项：_____________
7.二项式系数的性质：①对称性_______ ②增减性________最大值__________ ③二项式系数之和____________
8.注意区别“二项式系数”和“项的系数”
9.关于二项式定理的类型题： 求展开式、求指定项、求指定项的系数、求二项式系数和、求展开式中指定的 项的系数和（赋值法）、整除问题等。
1) 0排在末尾时，有A24个 2) 0不排在末尾时，有A12A13A13个 由分类计数原理，共有偶数30个.
（2）相邻问题——捆绑法
7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种 站法？
分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余
4人共有5个元素做全排列，有A55种排法，然后对甲，乙，丙
种不同的方法．
定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取
出m个元素的排列数.
用符号
Am
表示. n
A
m n
nn
1 n
2L
n
m 1
m, n N且m n.
A
m n
(n
n! m)!
（n, m
N*且m
n)
规定：0！=1
组合的定义：
一般地，从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成 一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合。
将n个相共同有的_元__素_C分_96_成__m_份__（种n分，法m为。正整数）,
每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n
个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数
为
C m1 一 n1 班
二三四五 六 七 班班班班 班 班
分类 重复 在处理排列组合综合题时，通过分析条件按元素的性质
，做到不
，
组合数的定义及其公式：
从 n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合
（Combination)的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号Cnm 表示。
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) (n m 1) m!
n!
m!(n m)!
二项式定理
(a b)n
(n N )
分析：若不考虑限制条件，则有A55 种排法，而甲，乙之间 排法有A22种，故甲在乙前面的排法只有一种符合条件，故
符合条件的排法有A55种. A 22
（5）分堆问题
例. 6本不同的书分成3堆,各堆分别1，2，3本，则共
有多少分法？ 解：分三步取书得
C C C 种方法 1 2 3 653
例. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有
4 4
种排法，再在这4人之间
及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲，乙，丙插入，则A
有 种方法，这样共A有44A35 种不同的排法。
3 5
（4）顺序固定问题用“除法” 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个
元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这 几个元素的全排列数.
[例]五人排队，甲在乙前面的排法有几种？
高二年级数学选修2-3《计数原理》优质课件
4、用0，1，2，…，9这十个数字可以组成无重复数字 的三位数的个数为
布置作业：课本习题1.1 A组（必做）
B组（选做）
本节课结束 同学们，再见！
分步乘法计数原理：
完成一件事情需要两个步骤，做第1步有m种不 同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完 成这件事共有N=m ×n种不同的方法。
推广
如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做 第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这 件事共有多少种不同的方法？
完成这件事总共有几种方法？
给座位编号
2个步骤：确定字母、 确定数字 不能
第1步：6种 第2步：9种 6×9=54种
练习2.设某班有男生30名，女生24名．现要 从中选出男、女各一名代表班级参加比赛， 共有多少种不同的选法?
解：第1步，从30名男生中选出1名，有30种不同选择；
第2步，从24名女生中选出1名，有24种不同选择． 共有30×24=720种不同的选法．
A8
9
A9
1
2
3
4
5
…
F
6
7
8
9
1 2
树
3 4
形
5 6
图
7
8
9
所以，共有9+9+9+9+9+9=6×9=54种不同号码
用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1， B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
高中数学选修2-3第一章《计数原理》整合课件人教A版
本章整合
专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
专题二 排列与组合中元素的相邻与不相邻问题 求解排列与组合中元素“相邻”和“不相邻”的问题,应遵循“先整体, 后局部”的原则. (1)元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普 通”元素全排列,然后在“普通”元素之间或两端将需要不相邻的元 素插入. (2)元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先将相邻的若干元素捆绑为 一个大元素,然后与其他元素全排列,最后松绑,将这若干个元素内 部全排列.
-5-
本章整合
专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
解:200÷ 40=5(个),即一个乒乓球筒中最多可装 5 个乒乓球. 方法一:分类法 1 第一类:全部放入 1 个乒乓球筒里,有C4 =4 种放法; 2 第二类:放入 2 个乒乓球筒里,有C4 × 4=24 种放法; 3 第三类:放入 3 个乒乓球筒里,有C4 × 6=24 种放法; 第四类:放入 4 个乒乓球筒里,有 4 种放法. 所以,不同的放法种数为 4+24+24+4=56. 方法二:隔板法 将 4 个乒乓球筒与 5 个乒乓球看成 9 个相同元素,除去两边共形 3 成了 8 个空隙,在这 8 个空隙中放进 3 个隔板,即有C8 =56 种不同的 放法.
������ 组合数公式:C������ =
������! (������-������)!
������(������-1)(������-2)…(������-������ + 1) ������! = ������! ������!(������-������)!
������ ������ -������ ������ ������ ������ -1 组合数性质:C������ = C������ ;C������ +1 = C������ + C������
高中数学选修2-3：第一讲 计数原理 含解析 精品
第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理【教材扫描】1．分类加法计数原理2．分步乘法计数原理3.两个原理的区别【知识运用】题型一：分类加法计数原理的应用【例1】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为__________．[解析] (1)法一：根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二：分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故共有8个；个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故共有7个；同理，个位是7的有6个；……个位是2的有1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．[答案] 36[一题多变]1．[变条件]若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个．解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．2．[变条件，变设问]用1,2,3这3个数字可以写出没有重复数字的整数________个．解析：分三类：第一类为一位整数，有3个；第二类为两位整数，有12,21,23,32,13,31，共6个；第三类为三位整数，有123,132,231,213,321,312，共6个，∴共写出没有重复数字的整数3＋6＋6＝15个．答案：15【变式】1某校高二共有三个班，各班人数如下表：（1）从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？（2）从高二（1）班、（2）班男生中或从高二（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？【解析】（1）从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高二（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高二（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高二（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法.根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法.（2）从1）班、（2）班男生或高3）班女生中选1名学生任有3类不第1类，1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高二（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高二（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法.根据分类加法计数原理知，从高二（1）班、（2）班男生或高二（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法.2.从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人、5人、6人、7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？分四类：从一班中选一人，有4种选法．从二班中选一人，有5种选法．从三班中选一人，有6种选法．从四班中选一人，有7种选法．共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．3. 一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种．【解析】任选一名同学参加学科竞赛，有两类办法：第一类：从男同学中选取一名参加学科竞赛，有3种不同的选法；第二类：从女同学中选取一名参加学科竞赛，有5种不同的选法．由分类加法计数原理，不同的选派方法共有3＋5＝8(种)．【答案】8题型二：分步乘法计数原理的应用类型一：涂色A B C D四个区域涂色,有5种不同的颜色可供选择，规定一个区域只涂一种颜色,相【例2-1】如图,将图中的,,,邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有______种．⨯⨯⨯=种.【解析】由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方案有5433180【名师点睛】解答涂色问题有两种方法：（1）选择正确的涂色顺序,按步骤逐一涂色,这时用分步乘法计数原理进行计数；（2）根据涂色时所用颜色数的多少,进行分类处理,这时用分类加法计数原理进行计数.注意：“相邻区域不得使用同一种颜色”,找好不相邻的区域是解题的关键.一般地,在分步涂色时,要注意尽量让相邻区域多的区域先涂色.【变式】用6种不同颜色为如图所示的广告牌着色，要求有公共边界的区域不能用同一种颜色，问一共有多少种不同的方法着色？【解】由分步乘法计数原理知第1步，涂①区有6种方法；第2步，涂②区有5种方法；第3步，涂③区有4种方法；第4步，涂④区有4种方法．由分步乘法计数原理知，共有N＝6×5×4×4＝480(种)方法．类型二：数字问题【例2-2】一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?解析：按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码．【变式】1、从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数．[解] (1)三位数有三个数位，百位十位个位故可分三个步骤完成：第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．(2)分三个步骤完成：第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个三位数的偶数．2．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( ) A．24 B．18C．12 D．6解析：选B 由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种．因此总共有12＋6＝18种情况．故选B．3.某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选1台检验，有多少种不同的选法？解：从这三种型号的电视机中各选1台检验可分三步完成：第一步，从甲种型号中选1台，有10种不同的选法；第二步，从乙种型号中选1台，有8种不同的选法；第三步，从丙种型号中选1台，有12种不同的选法．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有10×8×12＝960种．题型三、两个计数原理的综合应用【例3】用0，1，2，3，4五个数字，①可以排出多少个三位数字的电话号码？②可以排成多少个三位数？③可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？【解析】①三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5=53=125(种).②三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5=100(种).③被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3=12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3=18种排法.因而有12+18=30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.【变式】1.在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？解析：选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法；2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法．∴共有6＋6＋4＋2＝18种选法．所以共有18种不同的选法．2. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？【解】依题意得既会英语又会日语的有7＋3－9＝1人，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选一人有6种方法，此时会日语的有2＋1＝3种．由分步乘法计数原理可得N1＝6×3＝18种．第二类：不从只会英语的6人中选，只有1种方法，此时会日语的有2种．由分步乘法计数原理可得N2＝1×2＝2种综上可知，共有18＋2＝20种不同的选法．【强化练习】1．甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有( )A．6种 B．12种C．30种 D．36种解析：选B ∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门，∴由分步乘法计数原理，可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3＝12种．2．由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为( )A．15 B．12C．10 D．5解析：选D 分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成3位整数，其中偶数有2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．3．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )A．4种 B．5种C．6种 D．12种解析：选C 若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．4．现给如图所示的4个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色，共有3种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有A．4种B．6种 C．8种D．12种B 【解析】首先给下面一个涂色，有三种涂色方法，再给上面的最左边涂色，有两种涂色方法，中间一块只有一种涂色方法，右边的一块只有一种涂色方法，根据分步计数原理，得共有种不同的涂色方法.5．由错误！未找到引用源。
人教版高二数学选修23计数原理第三课时课件
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第二十页，共35页。
第二十一页，共35页。
第二十二页，共35页。
第二十三页，共35页。
பைடு நூலகம்
第二十四页，共35页。
第二十五页，共35页。
第二十六页，共35页。
第二十七页，共35页。
第二十八页，共35页。
第二十九页，共35页。
第三十页，共35页。
第三十一页，共35页。
第三十二页，共35页。
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第三十四页，共35页。
第三十五页，共35页。
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第二页，共35页。
第三页，共35页。
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人教A版数学选修2-3《1.1计数原理》课件(共15张ppt)
（5）某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场， 再从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？
明计数之道——辨析理解 固化原理
问题5：分类加法计数原理与分步乘法计数 原理的相同点和不同点是什么?
完__成__一N__件=__m_事_1 _有 __mn_类2__不 __m_同3__方_种案不，同在的第方法 1类。方案中有m1
种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方
法， 在第n类方案中有mn种不同的方法，那么
完成这件事共有_N_____m__1___m__2___ _____m__n___
巩固训练：
书架上第一层放有4本不同的计算机书，第 二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同 的体育书。若从第一,二,三层中各取1本书，有 多少种不同取法？ 变解式：1：从若第从一书, 二架, 三上层任各取取1本1本书书，，有分多为少3个种步不骤同：取 法第？1步，从第一层取1本书，有4种不同的方法； 变第式22步：，若从从第书二架层上取取12本本书不，同有类3种 别不 的同 书的 ，方 有法多；少 种第不3同步取，法从？第三层取1本书，有2种不同的方法。
种不同的方法。
明计数之道——生活感知 初识原理
问题3：
(1) 小明先从北京到成都，飞机有4班，一天后再从成 都到重庆，火车有3班。小明乘坐这些交通工具从北京 经成都到重庆共有多少种不同的走法？
明计数之道——感知积累 再识原理
问题3：
(1) 小明先从北京到成都，飞机有4班，一天后再从成 都到重庆，火车有3班。小明乘坐这些交通工具从北京 经成都到重庆共有多少种不同的走法？
高中数学选修2-3精品课件1：第一章 计数原理
§1.3.1二项式定理
高中数学选修2-3·同步课件
教学目标
1.理解两个原理，并会应用解题； 2.掌握排列组合的概念并且会灵活运用； 3.掌握二项式定理的内容和熟练运用解题.
知识梳理
1.排列的概念及排列数公式； 2.组合的概念及组合数公式； 3.二项式定理及二项式系数的性质；
(2)二项展开式的通项 Tr＋1＝Crnan－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中 Crn叫做二项式系数． (3)二项式系数的性质 ①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等， 即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，…，Ckn＝Cnn－k，…. ②最大值：当 n 为偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当 n 为奇 数时，中间的两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． ③各二项式系数的和 a．C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n；
(1)它表示二项展开式的任意项，只要 n 与 r 确定，该项就随之确定； (，b 的指数和为 n 且 a，b 不能随便颠倒位置； (4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (5)对二项式(a－b)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．
题型二 排列与组合 例 2 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？ (3)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？ 分析： (1)确定一个空盒→将四个球放入 3 个盒内→选 2 个球放入一 个盒内． (2)与(1)的含义相同． (3)4 个球放入 2 个盒子，可以平均放也可以不平均放．
b．C0n＋C2n＋…＋C2nr＋…＝Cn1＋Cn3＋…＋C2nr＋1＋…＝12·2n＝2n－1.
人教a版数学【选修2-3】第1章《计数原理》归纳总结ppt课件
2．(2012·浙江理，6)若从1、2、3、„、9这9个整数中同
时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( A．60种 C．65种 [答案] D B．63种 D．66种 )
[解析] 本题考查了排列与组合的相关知识．取出的 4 个 数和为偶数，可分为三类．
4 2 2 四个奇数 C4 5，四个偶数 C4，二奇二偶，C5C4. 4 2 2 共有 C4 ＋ C ＋ C 5 4 5C4＝66 种不同取法． [点评] 分类讨论思想在排列组合题目中应用广泛．
1 n n ③各二项式系数的和：C0 ＋ C ＋„＋ C ＝ 2 . n n n
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(4)解决二项式定理问题的注意事项
n－k k ①运用二项式定理一定要牢记通项 Tk＋1＝Ck a b ，注意(a n
＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同， 但具体到它们展开式的某一项时是不 同的．另外，二项式系数与项的系数是两个不同概念，前者指
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3．在(x2＋x＋1)(x－1)5的展开式中，含x4项的系数是(
)
A．－25
C．5 [答案] B
B．－5
D．25
[解析] (x2＋x＋1)(x－1)5＝(x3－1)(x－1)4，其展开式中 x4
中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部
分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成．
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2．排列与组合 (1)排列与组合的定义
人教版高中数学选修2-3第一章计数原理总复习优质课件
4. 在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有多少个？
5．某艺术组有 9 人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中 7 人会钢琴，3 人会小号， 从中选出会钢琴与会小号的各 1 人，有多少种不同的选法？
注：分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理
[例 1]体育场南侧有 4 个大门，北侧有 3 个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的
方案有 （ ）
A．12 种 B．7 种 C．24 种
D．49 种
[例 2]从 1,2，3，…,10 中选出 3 个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共 有多少个？
[例 2]从－3，－2，－1,0，1,2，3，4 八个数字中任取 3 个不同的
数字作为二次函数 y ax2 bx c 的系数 a ，ｂ，ｃ的取值，问
共能组成多少个不同的二次函数？
[例 3]以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥？
[例 4] 4 名男生和 3 名女生并坐一排，分别回答下列问题： （1）男生必须排在一起的坐法有多少种？ （2）女生互不相邻的坐法有多少种？ （3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？ （4）男女生相间的坐法有多少种？ （5）女生顺序已定的坐法有多少种？
0,1,2, , n) 叫做二项式系数.
式中的
C
r n做二项展开式的通项，用 Tr 1
表示，
即
Tr 1
＝
C
r n
a
nr
b
r
.
(a b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n .
三、经典例题导讲