2.1等式性质与不等式性质(新课改2019新版人教A版高中数学必修第一册)
引言
• 1.相等关系、不等关系问题的描述：多少，大小，长短， 高低，远近，快慢，涨跌，轻重，不超过，不少于等.
• 2.数量关系：相等、不等. • 3.表示形式：等式、不等式.
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实数大小关系的基本事实来自• 1.正数大于0，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切 正数.
• 2.正数的相反数是负数，负数的相反数是正数.
cc
不等关系
不等式
不等式的 基本性质
两个实数大小关系 的基本运算
不等关系 自身的特性
不等式在运算中 的不变性
abba a b,b c a c
a b ac bc a b, c 0 ac bc； a b, c 0 ac bc
8
2.1等式性质与不等式性质
• 问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
不等式 的性质
一元一次 不等式
一元二次 不等式
基本不等式
一元一次 函数
一元二次 函数
等式的 性质
一元一次 方程
一元二次 方程
方程
相等关系
3
第二章 目录
• 2.1等式性质与不等式性质 • 2.2基本不等式 • 2.3二次函数与一元二次方程、不等式
4
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质 主讲人：小周周老师
SABCD S，即(a2 b2 ) 2ab. 综上有(a2 b2 ) 2ab
GF
C
A
H a
E
b
a2 b2
B
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相等关系 等式
2.1等式性质与不等式性质
知识框架
相等关系 自身的特性 等式的基本性质
等式在运算中的 不变性
a b b a 性质1 a b,b c a c 性质2
a b a c b c 性质3 a b ac bc a b, c 0 a b 性质4
• 3.两个正数的和仍是正数，两个负数的和仍是负数.
• 4.同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负 数.
O
x
7
相等关系 等式
2.1等式性质与不等式性质
知识框架
相等关系 自身的特性 等式的基本性质
等式在运算中的 不变性
abba a b,b c a c
a b ac bc a b ac bc a b, c 0 a b
证明：依题意，得
由a b 0，则ab 0, 1 0.所以a 1 b 1 即 1 1 .
ab
ab ab b a
由c 0，则 c c 即 c c . ba ab
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小结(等式性质与不等式性质)
• 1.性质 • 2.证明方法
15
10
2.1等式性质与不等式性质
注：a,b R,有a2 b2 2ab，当且仅当a b时，等号成立.
• 探究证明如：图依所题示意，，在得北京召开的第24届国际数学家大会的会标，
a,b会标R,是(a根2 据b2中) 国2古ab代 数(a学 b家)2赵 爽0，的弦图设计的，颜色的明暗
当且使仅它当看a 上b去时像，(a一个b)风2 =车0. ，代表中国人民热情好客，你能在这个D
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2.1等式性质与不等式性质
• 例2 已知a b 0, c 0，求证 c c .
分析：法一：作差法.
ab
a b 0 a b；
a b 0 a b；
a b 0 a b.
法二：分析法：执果索因
从结论出发，结合已知条件，寻求使当前命题成立的充分条件；
而这个充分条件是容易由已知条件证明的.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
主讲人：小周周老师
1
(一)地位
• 第二章是高中数学的预备知识. • 为以后进一步学习函数等内容作铺垫和过度. • 通过相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和
一元二次不等式的学习，体会数学知识的整体性和联系性.
2
(二)知识结构框图
函数
不等关系 不等式
实数大小的 基本事实
杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能 使提价后的销售总收入不低于20万元？
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2.1等式性质与不等式性质
• 例1 比较(x 2)(x 3)和(x 1)(x 4)的大小.
分析：作差法. a b 0 a b； a b 0 a b； a b 0 a b. 解：依题意，得 由(x 2)(x 3) (x 1)(x 4) (x2 5x 6) (x2 5x 4) 2 0， 即(x 2)(x 3) (x 1)(x 4) 0, 则(x 2)(x 3) (x 1)(x 4).
(1)某路段限速40km/h； (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%， 蛋白质的含量p应不少于2.3%； (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
• 问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，
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2.1等式性质与不等式性质
• 不等式性质推广 • 性质5 若a b,c d，则a c b d. • 性质6 若a b 0,c d 0，则ac bd. • 性质7 若a b 0，则an bn (n N, n 2).
• 注：实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等 式问题的基本依据.
所以图(a种2 找b出2 ) 一2些ab相 等0，关即系a和2 不b2等关2a系b.吗？
分析：四边形ABCD是正方形，四个直角三角形全等.
解：依题意，得
正方形ABCD的面积为SABCD a2 b2.
四个直角三角形的面积之和为S
4
1 2
ab
2ab.
由当图直，角得三S角AB形CD为等S腰，直即(角a2三角b2形) 即2aab=.b时，
cc
不等关系
不等式
不等式的 基本性质
两个实数大小关系 的基本运算
不等关系 自身的特性
不等式在运算中 的不变性
a b b a 性质1 a b,b c a c 性质2
a b a c b c 性质3 a b, c 0 ac bc；性质4 a b, c 0 ac bc
2.1 等式性质与不等式性质(教材完美复刻)课件 人教A版2019版必修一 原创精品
利用性质4和性质2可以推出: 性质6 如果a b 0, c d 0, 那么ac bd . 性质7 如果a b 0, 那么an bn (n N, n≥ 2)
性质6 如果a b 0, c d 0, 那么ac bd.
证明：a c
b d
0, 0,
c b
0 0
ac bc
bc bd
ac
bd
2. 用不等号“ ”或“ ”填空： (1) 如果a b, c d , 那么a c ＞ b d;
(2) 如果a b 0, c d 0, 那么ac ＜ bd;
我们来证明性质2 : 由两个实数大小关系的基本事实知
a b a b 0bcbc0(a
b)
(b
c)
0
a
c
0
a
c
类比等式的性质3～5, 可以猜想不等式还有如下性质 : 性质3 如果a b, 那么a c b c.
这就是说，不等式两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式 同向．
如图, 把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等的距离, 得到 另两个点A1与B1, A与B和A1与B1的左右位置关系不会改变. 用不等式的 语言表示, 就是上述性质3.
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40 km/h；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于 2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
对于(1), 设在该路段行驶的汽车的速度为v km / h“, 限速40 km / h”,
2.1+等式性质与不等式性质课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
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例2已知12 a 60,15 b 36,求 a b和 a 的范围. b
例题选讲
例 3 已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋2 β，α－2 β的取值范围．
解: ∵已知－π2≤α＜β≤2π,∴－π4≤α2＜π4,－π4＜β2≤4π, 两式相加,得－2π＜α＋2 β＜π2.
∵－4π＜β2≤π4. ∴－π4≤－β2＜π4. ∴－π2≤α－2 β＜π2，
收费总额分别为 y 甲、y 乙，一张全票价为 a 元，则
y 甲＝a＋0.55ax，
y 乙＝0.75(x＋1)a.
y 甲－y 乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a＝0.2a(1.25－x),
当 x＞1.25 (x∈N)时, y 甲＜y 乙; 当 x＜1.25,即 x＝1 时, y 甲＞y 乙.
2.1 等式与不等式的基本性质
生活中的相等关系和不等关系
问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可 以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元销 售量就可能减少2000本. 如何定价才能使提价后 的销售总收入不低于20万元?
(8 x 2.5 0.2)x 20 0.1
[例3] (1)已知a，b均为正实数．试利用作 差法比较大小：
①a3＋b3与a2b＋ab2； ②a5＋b5与a3b2＋a2b3. (2)根据(1)中比较大小的结果，你认为有更 一般的结论吗？若有，请证明你的结论．
[解] (1)①a3＋b3－(a2b＋ab2)
＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． 当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
2.1 等式性质与不等式性质高一数学(人教A版2019必修第一册)
2.1等式性质与不等式性质【考点梳理】考点一：比较大小的方法依据如果a>b⇔a－b>0.如果a＝b⇔a－b＝0.如果a<b⇔a－b<0.结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小考点二：重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．考点三：等式的基本性质(1)如果a＝b，那么b＝a.(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.(4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么ac＝b c .考点四二不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>bc>0⇒ac>bcc的符号a>bc<0⇒ac<bc5同向可加性a>bc>d⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0c>d>0⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)同正【题型归纳】题型一：已知条件判断所给不等式的大小1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知,a b R∈，且a b>，则下列不等式中，一定成立的是（）A ．11a b<B ．||||a b >C ．22a b >D ．33a b >2．（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高一期中）若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（）A ．22a b >B ．11a b>C ．a b>D ．11a b a>-3．（2022·四川省峨眉第二中学校高一期中（理））若110a b<<，则下列不等式正确的是（）A ．a b>B ．a b<C ．3311a b >D ．a b ab+<题型二：不等式的性质比较数的大小4．（2022·浙江省淳安中学高一期中）已知实数,a b 满足0a b >>，则“0c b <<”是“1111a b a c b c+<++-”（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）若0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．b aa b>B ．11b b a a +>+C ．11a b b a->-D ．11ba>6．（2022·山东青岛·高一期末）已知0,0,0a b c d e >><<<，则下述一定正确的是（）A ．ae be >B ．22c d <C ．0e ea c d b+>--D ．()ea d c b->题型三：作差法或作商法比较不等式的大小7．（2022·甘肃张掖·高一期末）若(1)(3)a x x =++，22(2)b x =+，则下列结论正确的是（）A ．a b>B ．a b<C ．a b≥D ．a ，b 大小不确定8．（2021·山东·泰安一中高一期中）设()121p a a -=++，21q a a =-+，则（）．A ．p q>B ．p q<C ．p q≥D ．p q≤9．（2022·河北沧州·高一期末）下列说法正确的是（）A ．若a b >，c d >，则22a c b d ->-B ．若a ，b ∈R ，则2ab ba +≥C ．若0ab >>，0m n >>，则b b ma a n+<+D ．若||a b >，则22a b >题型四：利用不等式求取值范围10．（2022·吉林延边·高一期末）已知12a ≤≤，14b -≤≤，则2a b -的取值范围是（）A ．724a b -≤-≤B ．629a b -≤-≤C ．629a b ≤-≤D ．228a b -≤-≤11．（2022·江苏·高一）已知23,21<<-<<-a b ，则2a b -的取值范围为（）A ．(0,2)B ．(2,5)C ．(5,8)D ．(6,7)12．（2021·全国·高一专题练习）下列选项中，使不等式21x x x<<成立的x 的取值范围是（）A ．1x <-B ．10x -<<C ．01x <<D ．1x >题型五：由不等式性质证明不等式13．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：(1)若a b <，0c <，则()0a b c ->；(2)若0a <，10b -<<，则2a ab ab <<．14．（2022·湖南·高一课时练习）求证：(1)若0a b >>，且0c d <<，则ac bd <；(2)若a b >，且a ，b 同号，0c >，则c ca b<；(3)若0a b >>，且0c d >>，则a bd c>．15．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）（1）已知a ，b ，c ，d 均为正数.求证：()a b +()()()16b c c d d a abcd+++≥（2）已知0xy >.求证：1x <1y的充要条件为x >y 【双基达标】一、单选题16．（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））下列命题正确的是（）A ．若ac bc >，则a b >B ．若ac bc =，则a b =C ．若a b >，则11a b<D ．若22ac bc >，则a b>17．（2022·江苏·高一）已知a b <，3x a b =-，2y a b a =-，则,x y 的大小关系为（）A ．x y>B ．x y<C ．x y=D ．无法确定18．（2022·湖南·新化县教育科学研究所高一期末）已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（）A ．若a b >，c d <，则a c b d -<-B ．若0a b >>，0c d <<，则ac bd <C ．若0a b >>，则2211a b >D ．若0a b c >>>，则c c a b>19．（2022·广东珠海·高一期末）对于任意实数a b c d ,,,，给定下列命题正确的是（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若,a b c d >>，则a c b d ->-C ．若22ac bc >，则a b>D ．若a b <，则11a b>20．（2022·湖南·高一课时练习）已知0<a 1<1，0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是（）A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．无法确定21．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：(1)()21m -与()21m +；(2)()()222121x x x x ++-+与()()2211x x x x ++-+．22．（2022·湖南·高一课时练习）证明不等式：(1)若0a b <<，0c d <<，则ac bd >；(2)若0a b >>，0c d >>，则22a c b d >．【高分突破】一：单选题23．（2022·湖南永州·高一期末）若m n >，则下列不等式一定成立的是（）A ．m c n c->-B ．m n>C ．mc nc>D ．11m n<24．（2022·北京顺义·高一期末）已知||||0m n >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．m n >B ．||0m n +>C ．0m n +<D ．11m n<25．（2022·山西运城·高一期末）如果,,a b c ∈R ，且0abc ≠，那么下列命题中正确的是（）A ．若11a b<，则a b >B ．若ac bc >，则a b >C ．若33a b >，则11a b<D ．若a b >，则22a b>26．（2022·湖南·高一期末）已知1,0a b c >>>，则下列不等式一定成立的是（）A ．1a bcb ac c+<+B ．1a bcb ac a+<+C ．a bcc b ac+<+D ．a bca b ac+<+27．（2021·四川成都·高一期末（文））若a ，b 为实数，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若22a b >，则a b>D ．若a b >，则22a b >28．（2022·山东滨州·高一期末）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买12g 黄金，售货员先将6g 的砝码放在天平左盘中，取出x g 黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g 的砝码放在天平右盘中，再取出y g 黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则（）A ．12x y +>B ．12x y +=C ．12x y +<D ．以上选项都有可能29．（2022·上海虹口·高一期末）设a 、b 都是实数，则“1a >且2b >”是“3a b +>且2ab >”的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分也非必要30．（2022·北京平谷·高一期末）已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a bc c>，则a b >C ．若a b >，0ab <，则11a b>D ．若22a b >，0ab >，则11a b<二、多选题31．（2022·湖北·测试·编辑教研五高一）下列命题为真命题的是（）A ．若23,12a b -<<<<，则42a b -<-<B ．若22ac bc >，则a b >C ．若0,0b a m <<<，则m ma b>D ．若,a b c d >>，则ac bd>32．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）下列说法正确的是（）A ．若0a b >>，则11a b<B ．若0a b >>，0m >，则b m ba m a+>+C ．0a b >>，则3322a b a b ab ->-D ．若0a b >>，则22ac bc >33．（2022·贵州贵阳·高一期末）下列说法正确的有（）A ．若,a b c d ><，则a c b d ->-B ．若0,0a b c d >><<，则ac bd <C ．若0a b c >>>，则c ca b >D ．若0a b c >>>，则a a cb b c+<+34．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，R c ∈，则下列命题正确的是（）A ．若0b a >>，则11a b>B ．若a b >，则ac bc >C ．若a b >，c d >，则a c b d+>+D ．若22ac bc >，则a b>35．（2022·辽宁·育明高中高一期末）若实数a b <，则下列不等关系正确的是（）A ．若1a >，则log 2a ab >B ．若0ab ≠，则11a b>C ．若0a >，则2211b a a b>++D ．22ac bc <36．（2022·湖南衡阳·高一期末）下列命题为假命题的是（）A ．若a b >，则11a b<B ．若a b >，c d >，则a c b d +>+C ．若a b <，c d <，则ac bd<D ．若0a b c <<<，则b bc a a c+<+37．（2022·辽宁丹东·高一期末）如果a ，b ，c ，d R ∈，那么（）A ．若a b >，则11a b<B ．若22ac bc >，则a b>C ．若a b >，c d >，则ac bd>D ．若a b >，c d >，则a c b d+>+38．（2022·浙江·杭州市富阳区江南中学高一开学考试）下列命题是真命题的是（）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，且0c d <<，则ac bd <C ．若11a b>，则a b <D ．若0a b c >>>，则a c ab c b+<+39．（2022·江苏镇江·高一期末）对于实数a ，b ，c ，正确的命题是（）A ．若a b >，则2a ba b +>>B ．若0a b >>，则a ab b >>C ．若11a b>，则0a >，0b <D ．若0a b >>，0c >，则a a cb b c+>+40．（2022·湖南张家界·高一期末）下列命题为真命题的是（）A ．若a b >，则a c b c ->-B ．若a b >，c d >，则ac bd >C ．若a b >，则33a b >D ．若0a b >>，则22a ab b >>三、填空题41．（2022·全国·高一）下列四个代数式①4mn ，②224+m n ，③224m n +，④22m n +，若0m n >>，则代数式的值最大的是______．（填序号）．42．（2022·全国·高一）已知14a -<<，12b <<，则-a b 的取值范围是__________．43．（2022·全国·高一）若a 、b ∈R ，则下列不等式：①a 2＋3＞2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a≥2中一定成立的是__________．(填序号)44．（2021·天津市滨海新区大港第八中学高一期中）比较大小：239x x -+___(2)(1)x x --.（填;≤≥<>；；）45．（2021·全国·高一专题练习）给出以下四个命题：①*()n n a b a b n N >⇒>∈；②*||()n n a b a b n N >⇒>∈；③110a b a b<<⇒>；④110a b a b a <<⇒>-．其中真命题的序号是________．46．（2021·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）某新农村为加强体育文化建设，购买了一批体育器材.已知在该批次器材中，4个排球和5个足球的价格之和小于400元，而6个排球和3个足球的价格之和大于450元.设1个排球的价格为A 元，1个足球的价格为B 元，则A ___________B （填“>”､“<”或“=”）.47．（2022·江苏·高一）若0a b <<，则下面有六个结论：①22a b >，②33a b >，③11a b <，④1a b>，⑤11a b a >-，⑥a b >-中，正确结论的序号是_______．四、解答题48．（2021·湖北·车城高中高一）（1）已知23x <<，23y <<，求x y -和xy的取值范围；（2）已知24<+≤x y ，13x y -<-<，求3x y +的取值范围.49．（2021·全国·高一专题练习）（1）若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a b b +≤c dd+；（2）已知c >a >b >0，求证：a bc a c b>--50．（2021·全国·高一）已知0a b >>，0c d <<，0m <，求证：(1)11a cb d<--；(2)m ma cb d>--.51．（2021·全国·高一）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：a bb+≤c dd+；（2）已知c>a>b>0，求证：a bc a c b>--；（3）观察以下运算：1×5＋3×6>1×6＋3×5，1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.①若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明；②若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由【答案详解】1．D 【详解】对A ，当2,1a b ==-时，11a b<不成立，故A 错误；对B ，当1,2a b ==-时，||||a b >不成立，故B 错误；对C ，当1,2a b ==-时，22a b >不成立，故C 错误；对D ，因为3y x =为增函数，故a b >时33a b >一定成立，故D 正确；故选：D 2．D 【解析】【分析】根据条件，结合结合不等式性质判断A ，B ，C 正确，再举例说明D 错误..【详解】因为0a b <<，所以0a b +<，0a b -<，0ab >，0b a ->，又22()()a b a b a b -=-+，所以220a b ->，所以22a b >成立，110b aa b ab --=>，所以11a b >，0a b a b -=-+>，所以a b >，取2,1a b =-=-可得11=121a b =---+，112a =-，11a b a <-，所以11a b a>-不成立，故选：D.3．D 【解析】【分析】根据不等式的性质判断．【详解】110a b<<0b a ⇔<<a b ⇒<，A 错，B 错；331111()()a b a b <⇒<即3311a b<，C 错；0a b ab +<<，D 正确．故选：D ．4．A 【解析】【分析】由11a b a b ab++=，()11a c b c ab c b c a a b ++=+-+--，依题意可得只需比较()c b c a --与0的大小，再根据充分条件、必要条件的定义判断可得；【详解】解：因为11a b a b ab++=，()()()11a c b c a c b a a b a b c ab c b c +==+--+++--+又0a b >>，则0a b +>，所以要比较11a b +与11a c b c++-的大小，即比较1ab 与()1ab c b c a +--的大小，即比较()c b c a --与0的大小，当0a b >>且0b c >>时()0c b c a --<，且()()0a c b c +->，即()0ab c b c a ab <+--<，所以()11ab ab c b c a <+--，即1111a b a c b c+<++-，故充分性成立，当0c b >>时()()0c b c a c a b c ⎡⎤--=---<⎣⎦，此时也满足1111a b a c b c+<++-，故必要性不成立；即“0c b <<”是“1111a b a c b c+<++-”充分不必要条件；故选：A 5．D 【解析】【分析】利用不等式的性质可判断ABD ，取特殊值可判断C 选项.【详解】选项A ：因为0a b >>，所以10a b>⋅，220a b >>所以a bb a>，故A 错误；选项B ：因为0a b >>，则0ab >，所以a ab b ab +>+，即()()11a b b a +>+，又()101a a >+，所以不等式()()11a b b a +>+两侧同时乘以()11a a +，则11b ba a+>+，故B 错误；选项C ：当11,23a b ==时，此时0a b >>，115322a b -=-=-，115233b a -=-=-，11b aa b -<-，故C 错误；选项D ：因为0a b >>，所以0a b >>，则11b a >，故D 正确.故选：D.6．C【详解】解：因为0,0,0a b c d e >><<<，所以ae be <，22c d >，故AB 错误；0c d ->->，所以0a c b d ->->，所以11a c b d <--，所以e e a c b d >--，即0e e a c d b+>--，故C 正确；对于D ，若12,1,1,,12a b c d e ===-=-=-时，则()2e a d c b-==，故D 错误.故选：C.7．B【详解】解：因为22(2)(1)(3)b a x x x -=+-++()2228843x x x x =++-++245x x =++()2210x =++>，所以a b <．故选：B.8．D【解析】【分析】首先配方判断p 、q 均大于零，然后作商即可比较大小.()1222110132411p a a a a a -==>⎛⎫++ ⎪⎭+⎝=+++，22131024q a a a ⎛⎫=-+=-+> ⎪⎝⎭，则()()()222121111a a a a a a a q a p --+-++++=+=()()222222111a a a a =+-=++≥.故p q ≤，当且仅当0a =时，取等号，故选：D【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题.9．C【解析】【分析】结合特殊值、差比较法确定正确选项.【详解】A ：令2a =，1b =；1c =，0d =，则20a c -=，21b d -=，不满足22a c b d ->-，故A 错误；B ：a ，b 异号时，不等式不成立，故B 错误；C ：()()()()b m b b m a b a n ma nb a n a a n a a n a++-+--==+++，0a b >>，0m n >>，0am bm ∴->，即b m b a n a+>+，故C 正确；D ：令1a =，2b =-，22a b >不成立，故D 错误.故选：C10．A【解析】【分析】先求2b -的范围，再根据不等式的性质，求2a b -的范围.【详解】因为14b -≤≤，所以822b -≤-≤，由12a ≤≤，得724a b -≤-≤.故选：A.【解析】【分析】由不等式的性质求解【详解】23,21<<-<<-a b ，故426a <<，12b <-<，得528<-<a b 故选：C12．A【解析】【分析】根据给定条件解不等式2x x <，再分类等价转化即可求解作答.【详解】因21x x x<<，则有2x x <，解得：0x <或1x >，当1x >时，22311x x x x x ⇔<<<<，显然21x <不成立，无解，当0x <时，22311x x x x x⇔>><<，不等式31x >恒成立，解21x >得1x <-或1x >，则有1x <-，所以使不等式21x x x <<成立的x 的取值范围是1x <-.故选：A13．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）可知0a b ->，而0c <，即可得证；（2）可知2101b b >>>>-，而0a <，即可得证；(1)证明：a b >，0a b ∴->，又0c <，()0a b c ∴-<；(2)证明：10b -<<，201b ∴<<2101b b ∴>>>>-，又0a <，2a ab ab ∴<<．14．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】（1）将0c d <<变为0c d ->->，利用不等式同向正值的可乘性，即可证明结论；（2）由a b >以及0c >，可得ac bc >，再根据a ，b 同号，得10ab >，利用不等式同向正值的可乘性证明结论；（3）由0c d >>可得110d c >>，继而可得0a b d c >>,利用不等式的性质可得结论.(1)证明：因为0c d <<，所以0c d ->->，又0a b >>，故()()0a c b d ->->，即ac bd <；(2)证明：因为a b >，0c >，所以ac bc >，因为a ，b 同号，所以0ab >，10ab >，故11ac bc ab ab ⨯>⨯，即c c b a >，所以c c a b <；(3)证明：因为0c d >>，所以110d c >>，又0a b >>，所以0a b d c>>，故a b d c >.15．详见解析.【解析】【分析】（1）利用基本不等式即证；（2）利用不等式的性质，由x y >，0xy >可得1x <1y ，由1x <1y，0xy >，可得x y >，即证.【详解】（1）∵a ，b ，c ，d 均为正数，∴20,a b ab +≥>当且仅当a b =时取等号，同理可得20,20,20b c bc c d cd d a da +≥>+≥>+≥>，∴()()()()16a b b c c d d a abcd ++++≥，当且仅当a b c d ===时取等号；（2）充分性，因为x y >，0xy >，10xy >，∴1x <1y，必要性，因为1x <1y ，0xy >，所以x y >，综上，1x <1y的充要条件为x >y .16．D【解析】【分析】由不等式性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，若0c <，由ac bc >可得：a b <，A 错误；对于B ，若0c =，则0ac bc ==，此时a b =未必成立，B 错误；对于C ，当0a b >>时，110a b>>，C 错误；对于D ，当22ac bc >时，由不等式性质知：a b >，D 正确.故选：D.17．B【解析】【分析】作差可得x-y 的表达式，根据题意，分析可得x-y 的正负，即可得答案.【详解】()()3221x y a b a b a a b a -=--+=-+，因为a b <，所以0a b -<，又210a +>，所以2()(1)0a b a -+<，即x y <.故选：B18．B【解析】【分析】利用不等式的性质逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，若a b >，c d <，则c d ->-，故a c b d ->-，A 错；对于B 选项，若0a b >>，0c d <<，则0c d ->->，所以，ac bd ->-，故ac bd <，B 对；对于C 选项，若0a b >>，则220a b >>，则2211a b <，C 错；对于D 选项，若0a b c >>>，则110b a >>，所以，c c a b<，D 错.故选：B.19．C【解析】【分析】利用特殊值判断A 、B 、D ，根据不等式的性质证明C ；【详解】解：对于A ：当0c =时，若a b >则0ac bc ==，故A 错误；对于B ：若0a =，1b =-，1c =-，10d =-，满足,a b c d >>，则1a c -=，9b d -=，a c b d ->-不成立，故B 错误；对于C ：若22ac bc >，则20c >，所以a b >，故C 正确；对于D ：若1a =-，1b =满足a b <，但是11a b<，故D 错误；故选：C20．B【解析】【分析】采用作差法，将M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1相减，根据条件判断差的符号，即可比较大小.【详解】∵0<a 1<1，0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N ，故选：B.21．(1)22(1)(1)m m ≤-+(2)()()222121x x x x ++-+()()2211x x x x ≤++-+【解析】【分析】利用作差法得出大小关系.(1)()()()()221121214m m m m m m m --+=-+-++=-因为0m ≥，所以22(1)(1)0m m --+≤，当且仅当0m =时，取等号.即22(1)(1)m m ≤-+(2)()()222121x x x x ++-+()()2211x x x x -++-+()()2222222121x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+--+-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为0x ≥，所以()()2222221210x x x x ⎡⎤⎡⎤+--+-≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当且仅当0x =时，取等号.故()()222121x x x x ++-+()()2211x x x x ≤++-+.22．(1)证明见解析；(2)证明见解析；【解析】【分析】（1）利用不等式的性质可证得结论；（2）由0a b >>，知220a b >>，利用0c d >>，即可证得结论；(1)0a b <<Q ，两边同乘以0c <，则ac bc>又0c d <<，两边同乘以0b <，则bc bd>即ac bd>(2)0a b >>，两边同乘以0a >，得20a ab >>；两边同乘以0b >，得20ab b >>，所以220a ab b >>>又0c >，则220a b c c >>，又0cd >>，则22b c b d >，即22a c b d>23．A【解析】选项A.根据不等式的基本性质可判断；选项B.当,m n 为负数时，根式无意义可判断；选项C.当0c ≤时的情况可判断；选项D.举特例可判断.【详解】选项A.由m n >，根据不等式的基本性质可得m c n c ->-成立，故选项A 正确.选项B.当,m n 为负数时，根式无意义，则m n >不成立.故选项B 不正确.选项C.当0c ≤时，mc nc >不成立.故选项C 不正确.选项D.取2,1m n ==-，显然m n >满足，但11m n <不成立，故选项D 不正确.故选：A24．B【解析】【分析】对于ACD ，举例判断，对于B ，分0,0n n ><两种情况判断【详解】对于A ，若2,1m n =-=时，满足||||0m n >>，而不满足m n >，所以A 错误，对于B ，当0n >时，则||0m n +>一定成立，当0n <时，由||||0m n >>，得m n >-，则||0m n +>，所以B 正确，对于C ，若2,1m n ==时，满足||||0m n >>，而不满足0m n +<，所以C 错误，对于D ，若2,1m n =-=-时，则满足||||0m n >>，而不满足11m n<，所以D 错误，故选：B25．D【解析】【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可.【详解】对于A ，若1a =-，1b =，满足11a b <，但a b >不成立，错误；对于B ，若0c <，则a b <，错误；对于C ，若2a =，1b =-，满足33a b >，但11a b<不成立，错误；对于D ，由指数函数的单调性知，正确.故选：D.【解析】【分析】通过作差法来判断每一个选项.【详解】对于A ，()()()2211b c a bc ac bc b ac b ac c b ac c b ac c -++---==+++，当1c >时，()()210b c b ac c ->+，即1a bc b ac c +>+，则A 错误；对于B ，()()()()211a a c b ac a bc a abc b ac b ac a b ac a b ac a-+-++---==+++，当1a c >>时，0,1a c ac ->>，则()()()10a a c b ac b ac a -+->+，即1a bc b ac a+>+，则B 错误；对于C ，()221a c a bc a bc bc ac c b ac b ac b ac -++---==+++，当01c <<时，210c ->，则()210a c b ac ->+，即a bc c b ac+>+，则C 错误；对于D ，()()221a b b a c a bc a bc ab a c a b ac b ac b ac -+-++---==+++，因为1,0a b c >>>，所以()()210,0a b b a c -<-<，所以()()210a b b a cb ac -+-<+，即a bc a b ac+<+，则D 正确.故选：D27．D【解析】【分析】据特值可说明ABC 不正确；根据不等式的性质可得D 正确.【详解】对于A ，当1,2a b =-=-时，满足a b >，不满足22a b >，故A 不正确；对于B ，当1,2a b =-=-时，满足||a b >，不满足22a b >，故B 不正确；对于C ，当2,1a b =-=-时，满足22a b >，不满足a b >，故C 不正确；对于D ，若a b >0≥，则222||a b b >=，故D 正确.故选：D.28．A【解析】【分析】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设)a b >，先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m ，利用杠杆的平衡原理可得16a m b=，26b m a =，再利用作差法比较12m m +与12的大小即可．【详解】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设)a b >，先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m ，由杠杆的平衡原理：16bm a =⨯，26am b =⨯，解得16a m b =，26b m a=，则1266a b m m b a +=+，下面用作差法比较12m m +与12的大小，212666()()1212a b b a m m b a ab-+-=+-=，又a b ≠，∴26()0b a ab->，1212m m ∴+>，∴顾客实际购买的黄金大于12克．故选：A ．29．A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合不等式性质即可判断作答.【详解】a 、b 都是实数，若1a >且2b >，由不等式性质得：3a b +>且2ab >成立，若3a b +>且2ab >成立，取1,52a b ==，而1a >且2b >不成立，所以“1a >且2b >”是“3a b +>且2ab >”的充分非必要条件.故选：A30．C【解析】【分析】根据不等式的性质或通过举反例，对四个选项进行分析．【详解】A ．若a b >，当0c =时，22ac bc =，所以A 不成立；B ．若a b c c>，当0c <时，则a b <，所以B 不成立；C ．因为0ab <，将a b >两边同除以ab ，则11a b >，所以C 成立D ．若22a b >且0ab >，当00a b <⎧⎨<⎩时，则a b <，所以11a b >，则D 不成立．故选：C ．31．ABC【解析】【分析】对于A ：利用同向不等式相加，即可证明；对于B 、C ：利用不等式的可乘性可以证明；对于D ：取特殊值2,1;2,3a b c d ===-=-即可否定结论.【详解】对于A ：因为12b <<，所以21b -<-<-.因为23a -<<，利用同向不等式相加，则有42a b -<-<.故A 正确；对于B ：因为22ac bc >，所以20c ≠，所以210c >，对22ac bc >两边同乘以21c，则有a b >.故B 正确；对于C ：因为0b a <<，所以110a b <<.因为0m <，所以0m ->.对11a b <两边同乘以m -，有m m a b --<，所以m m a b >.故C 正确；对于D ：取2,1;2,3a b c d ===-=-，满足,a b c d >>，但是4,3ac bd =-=-，所以ac bd >不成立.故D 错误.故选：ABC32．ABC【解析】【分析】根据不等式的性质判断AD ，结合作差法比较大小判断BC.【详解】解：对于A 选项，因为0a b >>，故10ab>，故110a b <<，正确；对于B 选项，由于0a b >>，0m >，故0a b ->，0a m +>，故()()()()()0a b m b a m m a b b m b a m a a a m a a m +-+-+-==>+++，即b m b a m a+>+，正确；对于C 选项，由于0a b >>，故0a b ->，故()()()()332222220a b a b ab a a b b a b a b a b --+=-+-=-+>，即3322a b a b ab ->-，正确；对于D 选项，当0c =时，220ac bc ==，故错误.故选：ABC33．AB【解析】【分析】对于A ：利用同向不等式相加可以证明；对于B ：利用同向不等式相乘可以证明；对于C ：利用不等式的可乘性可以判断；对于D ：取特殊值3,2,1a b c ===可以判断.【详解】对于A ：因为c d <，所以c d ->-，利用同向不等式相加可以得到：a c b d ->-.故A 正确；对于B ：因为0c d <<，所以0c d ->->，又因为0a b >>，利用同向不等式相乘可以得到：ac bd ->-，所以ac bd <.故B 正确；对于C ：因为0a b c >>>，所以11a b <.因为0c >，所以c c a b<.故C 错误；对于D ：取特殊值3,2,1a b c ===满足0a b c >>>，但是32a b =，43a cbc +=+，所以a a c b b c +>+.故D 错误.故选：AB34．ACD【解析】【分析】分别由不等式的同加同乘性质可得，注意选项B 中c 为0的情况.【详解】选项A ：0b a >>，0.ab ∴>在不等式b a >两边同除以ab 得11a b>，A 正确；选项B ：当0c =时，ac bc =，B 错误；选项C ：同向不等式相加，不等号方向不变，C 正确；选项D ：22ac bc >，20c ∴>，两边同除以2c 得，a b >，D 正确.故选：ACD.35．AC【解析】【分析】直接利用不等式的性质、构造函数、作差法等进行逐项判断即可．【详解】对于A ：由于1b a >>，∴22log 2log log log 0a a a aab ab ab a a -=-=>，故A 正确；对于B ：由于a b <，且0ab ≠，则b －a ＞0，∴11b a a b ab --=不一定大于0，故B 错误；对于C ：设2()(1)f x x x =+，由于函数在(0,)+∞上单调递增，故f (b )＞f (a )，可得2211b a a b>++成立，故C 正确；对于D ：当0c =时，22ac bc =，故D 错误．故选：AC ．36．AC【解析】【分析】对于AC ，举例判断，对于B ，利用不等式的性质判断，对于D ，利用作差法判断【详解】对于A ，若1,1a b ==-，则1111a b=>=-，所以A 错误，对于B ，因为a b >，c d >，所以由不等式的性质可得a c b d +>+，对于C ，若2,1,1,2a b c d =-=-==，则2ac bd =-=，所以C 错误，对于D ，因为0a b c <<<，所以()0,()0c a b a a c ->+>，所以()()()0()()b c b a b c b a c c a b a c a a a c a a c ++-+--==>+++，所以b b c a a c+<+，所以D 正确，故选：AC37．BD【解析】【分析】根据举例说明即可判断选项A 、C ，根据不等式的基本性质即可判断选项B 、D.【详解】A ：令11a b ==-，，满足a b >，但11a b>，故A 错误；B ：因为2220ac bc c >>，，所以a b >，故B 正确；C ：令11a b ==-，，11c d ==-，，满足a b >，c d >，但ac bd =，故C 错误；D ：因为a b >，c d >，由不等式的性质，得a c b d +>+，故D 正确.故选：BD38．BD【解析】【分析】举出反例可判断AC ，利用不等式的性质即可判断B ，利用作差法即可判断D.【详解】解：对于A ，若0a b >>，当0c =时，22ac bc =，故A 错误；对于B ，若0a b >>，且0c d <<，则0c d ->->，所以ac bd ->-，所以ac bd <，故B 正确；对于C ，若11a b>，当1,1a b ==-时，a b >，故C 错误；对于D ，若0a b c >>>，则()()()()()0b a c a b c c b a a c a b c b b b c b b c +-+-+-==<+++，所以a c a b c b+<+，故D 正确.故选：BD.39．ABD【解析】【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a b b +--=>，所以2a b a b +>>，故A 正确；对选项B ，0a b >>，1aaab b =>，所以a ab >，因为1ab a b b=>，所以ab b >，即a ab b >>，故B 正确；对选项C ，令2a =，3b =，满足11a b>，不满足0a >，0b <.对选项D ，因为0a b >>，0c >，所以()()()()()0a b c b a c c a b a a c b b c b b c b b c +-+-+-==>+++，故D 正确.故选：ABD40．ACD【解析】【分析】利用不等式的性质或举反例的方法来判断各选项中不等式的正误.【详解】由不等式性质知若a b >，则+()()a c b c ->+-，即a c b c ->-，A 对，取2,1,1,2a b c d ===-=-，则a b >，c d >，=ac bd ，B 错，因为a b >，所以0a b ->，所以2332223=()()()024b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫---+=--+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(当且仅当0a b ==时等号成立)，而a b >，故33a b >，C 对，因为0a b >>，所以2a ab >，2ab b >，所以22a ab b >>，D 对，故选：ACD.41．③【解析】【分析】利用作差法比较大小即可．【详解】∵0m n >>，令②-①得：()2224042mn m n m n -=-+＞，∴②＞①，令③-②得：22222244330m n m n m n +--=-＞，∴③＞②，令③-④得：22222430m n m n m +--=＞，∴③＞④，∴代数式的值最大的是③.故答案为：③42．()3,3-【解析】【分析】利用不等式的基本性质可得答案.【详解】因为14a -<<，12b <<，则21b -<-<-，所以1241--<-<-a b ，即-a b 的取值范围是33a b -<-<．故答案为：()3,3-.43．①②【解析】【分析】利用作差法及不等式性质，即可作出判断.【详解】①a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0，正确；②a 2＋b 2－2a ＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，正确；③a 5－a 3b 2＋b 5－a 2b 3＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a ＋b )(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)，若a ＝b ，则上式＝0，不正确；④若a ＜0，则a ＋1a＜0不正确.∴①②一定成立.故答案为：①②44．>【解析】【分析】利用差比较法确定正确答案.【详解】()()()2223921393270x x x x x x x x -+---=-+--+=>，所以()()23921x x x x -+>--故答案为：>45．②③【解析】【分析】利用不等式的基本性质及特殊值法，判断命题的真假即可．【详解】解：①当1a =-，2b =-，2n =时，满足a b >，当时n n a b <，所以①不正确；②因为0b >，所以*||()n n a b a b n N >⇒>∈，所以②正确；③1100a b a b <<⇒>>；所以③正确；④110a b a b a<<⇒>-．反例2a =-，1b =-，满足条件但是结论不成立．所以④不正确；故答案为：②③．46．>【解析】【分析】依题意可得4540063450A B A B +<⎧⎨+>⎩，再根据不等式的性质即可得到25A B ->，即可判断；【详解】解：由题意得4540063450A B A B +<⎧⎨+>⎩，所以4540063450A B A B -->-⎧⎨+>⎩，所以250A B ->>，则A B >.故答案为：>47．①④⑥【解析】【分析】利用不等式的基本性质及作差法，对结论逐一分析，选出正确结论即可.【详解】因为0a b <<，则0a b ->->，所以()()22a b ->-，即22a b >，故①正确；由22a b >，不等式两边同时乘a 时，32a b a <，对于a b <，两边同乘2b ，可得23b a b <，故323a b a b <<，即33a b <，则②错误；因为0a b <<，所以0ab >，则10ab >，所以11a b ab ab ⋅<⋅，即11b a <，则③错误；由11b a <，不等式边同时乘a ，得1a a b a>=，故④正确；由()()()11a a b b a b a a b a a b a---==---，因为0,0a b a -<<，所以()0a b a ->，又因为0b <，所以110a b a-<-，即11a b a <-，故⑤错误；由0a b <<可得，a b b >=-，故⑥正确；因此，正确结论的序号是①④⑥.故答案为：①④⑥.48．（1）11x y -<-<，2332x y <<；（2）3311x y <+<.【解析】【分析】（1）根据不等式的性质求解（2）由待定系数法配凑后求解【详解】（1）23y <<，32∴-<-<-y又23x <<，11∴-<-<x y 23y <<，11132y <<又23x <<，2332∴<<x y （2）设3()()x y a x y b x y +=++-，得3211a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩即32()()+=++-x y x y x y 而42()8<+≤x y ，13x y -<-<3311∴<+<x y 49．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由不等式的性质，先得到c ad b ≥，两边同时+1，即得证；（2）由不等式的性质，先得到11a b <，两边乘以c,可得c c a b <，两边同时-1，可得c a c b a b --<，再两边取倒数，即得证.【详解】证明：（1）∵bc ≥ad ，bd >0，∴c ad b ≥，∴c d ＋1≥a b ＋1，∴a b b +≤c d d+.（2）∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.∵a >b >0，∴11a b <又∵c >0，∴c c a b <，∴c a c b a b--<，又c －a >0，c －b >0，∴a b c a c b >--.50．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据不等式的性质证明即可；（2）结合（1）和不等式的性质求解.(1)证明：因为0a b >>，0c d ->->，所以0a cb d ->->所以11a c b d <--；(2)证明：由（1）得11a c b d <--，又0m <，所以m m a c b d>--.51．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①成立，证明见解析；②a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1≤a 1b 2＋a 2b 1＋a 3b 3≤a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3【详解】证明：（1）因为0bd >，所以10bd >，又0bc ad -≥，即bc ad ≥，所以c a d b ≥，所以11c a d b +≥+，即a b b +≤c d d+；（2）因为0c a b >>>，所以0,0,c a c b c a c b ->->-<-，11a b <，所以c a c b a b --<，所以a b c a c b>--；（3）解：①成立，证明如下：∵a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝a 1(b 1－b 2)＋a 2(b 2－b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，又a 1≤a 2，b 1≤b 2，∴(a 1－a 2)(b 1－b 2)≥0，即a 1b 1＋a 2b 2≥a 1b 2＋a 2b 1；②a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1≤a 1b 2＋a 2b 1＋a 3b 3≤a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3。
2.1 等式性质和不等式性质(共2课时课时)高一数学同步教材精品课件(人教A版2019必修第一册)
概念讲解
问题1： 用不等式（组）表示下列问题中的不等关系？
（1）
v≤40 km/h
m≤10 t
概念讲解
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋 白质
的含量p应不少于2.3%；
≥ . %
≥ . %
（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
设三角形三边分别为，，，则 + > , − <
注意：
同向不等式具有可加性与可乘性（同正），
但是
，应用时要充
分利用所给条件进行适当变形来求取值范
围，注意变形的等价性。
概念讲解
3.已知-2<a+b≤5, -1≤a-b≤4, 求a+5b的取值范围.
解：设m=a+b, n=a-b, 则-2<m≤5, -1≤n≤4,
所以-6<3m≤15, -8≤-2n≤2;
∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)＞0，
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
概念讲解
练习2.若 > 2，比较 2 + 4 + 4和 2 − 4的大小.
作商法
与“1”比较
.
作差法
与“0”比较
04
重要不等式
概念讲解
北京——第24届国际数学家大会会标．
入不低于20万元?
设涨价之后的杂志每本定价元，则销售总收入为
单价涨了多
少个0.1元
单价涨了
多少元
−
−
−.
.
−.
×
.
× . 万元，所以用不等式表示为：
高中数学必修第一册人教A版(2019)《等式性质与不等式性质》教材分析
高中数学必修第一册人教A版（2019）《等式性质与不等式性质》教材分析2.1等式性质与不等式性质一、本节知识结构框图二、重点、难点重点：不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异.难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异.三、教科书编写意图及教学建议在初中，学生学习了用含有未知数的等式（方程）表示问题中的相等关系，为了解方程研究了等式的一些基本性质，本节在初中等式学习的基础上，类比等式的学习内容和方法，展开不等式的研究，首先类比用等式表示相等关系，用不等式表示问题中的不等关系；然后在对等式的基本性质进行梳理，归纳其中蕴含的数学思想方法的基础上，研究不等式的性质，并用不等式的性质证明简单命题，通过本节的学习，掌握不等式的性质，提高对等式和不等式的共性与差异的理解，加深对“代数性质”的认识，提高提出问题和解决问题的能力.1.相等关系与不等关系教科书从现实世界和日常生活中存在的相等关系、不等关系讲起，类比用等式表示相等关系，用问题1的4个例题说明了如何用不等式或不等式组表示实际问题或数学问题中蕴含的不等关系.与用等式表示相等关系类似，用不等式表示不等关系的关键也是确定问题中涉及的量及其满足的不等关系，然后用未知数表示量，把不等关系“翻译”成不等式.与用等式表示相等关系不同的是，有时用自然语言表达的不等关系不够明确，例如“不少于”“不低于”“至多”“至少”等，需要先把它们翻译成大于或小于的关系，再用不等式表示.关于问题2，要解决这个问题，需要用不等式表示其中的不等关系，还需要求不等式的解集.而如何解这个不等式呢，教科书提出“与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质”，这就引出了对不等式性质的研究.接下来，教科书没有立即开始研究不等式的性质，而是先讨论了确定两个实数大小关系的方法.在初中，学生学过了实数的大小关系是由这两个实数在数轴上的点的位置关系规定的，这可以看成确定实数之间大小关系的几何规则.这个规则尽管直观，但在比较两个实数的大小关系时并不实用，因此这里介绍了一种代数方法——两个实数大小关系的基本事实.这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而使实数的运算能够参与到实数的大小比较中，为不等式的论证提供了运算工具，也为研究不等式的性质奠定了基础.在本部分内容的最后，作为对相等关系和不等关系的总结，也为了引出基本不等式，教科书设计了一个探究栏目，让学生在第24届国际数学家大会的会标中发现相等关系和不等关系.这个会标实际上就是“赵爽弦图”——由4个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，由于大正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，即（设直角三角形的两条直角边的长为，（）），而当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，中空部分缩为一个点，这时有相等关系.这样，就引出了基本不等式的一种变形形式.在上述过程中，学生的困难在于想不到从面积的角度发现不等关系，教学中应加强引导.接下来，教科书利用完全平方公式和两个实数大小关系的基本事实证明了上述不等式，这既体现了数学知识之间的联系，又再一次说明了两个实数大小关系的基本事实在解决不等式问题中的应用价值.2，等式性质与不等式性质教科书类比等式的基本性质，研究了不等式的基本性质及其证明和应用.为了帮助学生从等式的性质及其研究方法中获得启发，去研究不等式的性质，教科书设计了两个问题（教科书第40页的思考栏目和探究栏目）.通过这两个问题，让学生在梳理并观察等式的基本性质的基础上认识到，这些性质包括在数学推理和运算中经常用到的“对称性”和“传递性”，还包括解方程所需要的等式对四则运算的不变性，而这两个方面反映了“式的大小关系”的本质属性，这些基本属性为探究不等式的基本性质指明了方向.学生在猜想不等式的基本性质的过程中会发现，不等式的基本性质与等式的基本性质存在差异：就不等式自身的特性而言，不等式不具有“对称性”，而是具有“相反性”，即，；就不等式与四则运算的关系而言，当乘一个负数时，不等号要调换方向，即，.不等式的这种特殊性是由实数的基本性质决定的，在对不等式进行论证时，除了要用到实数大小关系的基本事实，还需要用到关于实数的其他一些基本事实，例如：（1）正数大于0，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数.（2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数.（3）两个正数的和仍是正数，两个负数的和仍是负数.（4）同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数.利用这些基本事实，可以对猜想出的不等式的基本性质进行证明.在表述不等式的基本性质时，教科书也做了一些改变.不等式的性质3是类比等式的性质3得到的，性质4是类比等式的性质4，5得到的，在表述它们时，教科书把加法和减法合并为“加法”，把乘法和除法合并为“乘法”，这也表明高中数学对运算的认识更趋于一般性.此外，考虑到对于同一个数学对象的多元联系表示，有利于加深学生对它的理解，教科书从不同角度表述了不等式的性质，例如对于性质3和性质4使用了自然语言叙述，对于性质3还用数轴上的实数点展现了不等式包含的动态过程及结果.教学中可以让学生用自然语言或图形语言表述其他不等式的性质.在得到并证明了不等式的基本性质之后，教科书用这些基本性质，推导出了其他一些常用的不等式的性质（性质5~7），这些性质可以作为结论在今后的推理中使用.另外，证明这些性质的过程可以看作不等式的性质在代数证明中的初步应用.证明的关键是利用不等式的基本性质，对给定的不等式进行结构上的变形，例如“不等式两边同加一个数”“不等式两边同乘一个数”等，逐步把给定的不等式变形为要证明的不等式.正确地运用不等式的性质对不等式进行变形对学生来说有一定的难度，教学中可以通过让学生多练习、纠正其典型错误等方式逐步帮助学生掌握正确的方法.在本部分内容的最后，教科书安排了一道例题（例2），向学生示范了应用不等式的性质证明命题的一般思路，这个命题的证明比不等式的性质5~7的证明要复杂一些，因为已知条件与结论之间的联系不够明显，证明中需要对已知不等式做什么变形不太明确，对于这样的问题，教科书在“分析”中给出了证明的一般思路：从结论出发，结合已知条件，寻求使当前命题成立的充分条件，而这个充分条件是容易由已知条件证明的，这实际上是综合运用“综合法”和“分析法”证明命题的思路，但因为教科书没有专门介绍证明方法，所以本例的证明过程采用了学生更熟悉的“综合法”的格式，教师在教学中可以补充一些典型题目，引导学生领会这种“发展条件、转化结论、寻求联系”的证明较复杂命题的一般思路.。
2_1 等式性质与不等式性质-高中数学人教A版(2019)必修第一册
解析：
2 + > 8,
由题意得ቊ
2x=A,3y=B,
4 + 5 < 22,
+ > 8,
3
整理得x= ,y= , ൞
5
2
3
2 + < 22,
3
5
将A+ >8乘-2与2A+ B<22相加,解得B<6,将B<6代入A>8- 中,解得
3
3
3
A>6,故A>B.
数学学科素养
1.数学抽象：不等式的基本性质；
2.逻辑推理：不等式的证明；
3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；
4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围
之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将
除法转化为乘法）；
5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测
不等式的基本性质。
c
c
2
2
a
b
a
b
(6)
( )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(
)
（3）×
（7 ）×
（4）√
)
)
解题方法（不等式性质应用）
可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证.
1、用不等号“>”或“<”填空：
（1）如果a>b，c<d，那么a-c ______ b-d；
（2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd；
1
1
（3）如果a>b>0，那么2 ______2
2.1 等式性质与不等式性质(2课时)(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.
思考：
D
你能在这个图中找出些相等关系和不等关系吗
1.正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿
+
?
２.四个直角三角形的面积和S’ =＿＿＿＿
３.S与S’有什么样的关系？ S > S′
追问：那么它们有相等的情况吗？
>
+ ）( + ) > （ + ）( + ).
所以（
追问4：还有其他的方法比较两个实数的大小吗？
4
学习目标
课堂导入
知识点2 重要不等式
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
∀ a，b∈R，有a²＋b²≥２ab， 当且仅当a＝b时，等号成立．
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,
性质7（同向同正可乘方性）如果 > > 0, ∈ ∗ , 那么 >
根据性质6，你能自己证明性质7吗？
4
新知1.并集
学习目标
课堂导入
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
知识点1 不等式的性质
【例2】已知 > > , < , 求证
>
证明：∵ 已知 > >
掌握不等式的基本
性质
重点
数学抽象
不等式的基本性质
应用不等式的基本
性质
难点
逻辑推理
第
二
课
时
重、难点 核心素养
学习目标
2.1等式性质与不等式性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件
可乘性
a>b，c>0⟺ ac>bc；a>b，c<0⟺ ac<bc.
不等式的两边同乘一个正数，所得的不等式与原不等式同向； 不等式的两边同乘一个负数，所得的不等式与原不等式反向
性质4扩展：如果a>b，c>0，则a/c>b/c； 如果a>b，c<0，则a/c<b/c.
例题讲解
例2
已知 a > b >0, c <0, 求证:
(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f f 2.5%
应不少于2.5%，蛋 白质的含量p应不少于2.3%；
p
2.3%
(3)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边；
设三角形的三边分别为a,b,c，则有a+b>c,a-b<c.
O
(4)连接直线外一点与直线上各点的所有直线中，垂线
l
段最短.
c aLeabharlann c＞b.
证明：因为a > b >0, 于是 a 1 b 1 ,
ab ab
即 1 1.
ba
由 c<0 , 得 c c , 即 c c.
ba
ab
思考？
能否用 作差法 证明 ？
新知初探 不等式的性质
性质5：如果a>b，c>d，则a+c>b+d.
ac>>db，⟺ a+c>b+d.
同向可加性
a>b⟺ b<a
性质1表明，把不等式的左边和右边交 换位置，所得不等式与原不等式异向，我 们把这种性质称为不等式的对称性．
新知初探 不等式的性质
性质2 如果a>b，b>c，那么a>c.
2.1.2等式性质与不等式性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件 (共28张PPT)
ba
改变方向
由c < 0,得 c > c .
ab
还可以利用作差法证明吗？ 证明:
已知b克糖水中含有a克糖 （b＞a＞０），再添加m克 糖 （m＞０）（假设全部溶 解），糖水变甜了．
请将这一事实表示为一个不 等式，并证明这个不等式成 立．
(1)当0≤a<8时0≤ a <4；
b
(2)当－6<a<0时－3< a <0.
21.0．已知三个不等式：①ab>0；②ac>db；③bc>ad.若以其中两 个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并 写出推理过程．
解：答案不唯一． 命题一：若 ab>0，且ac>db，则 bc>ad. 证明：因为ac>db，且 ab>0， 所以ac·ab>db·ab，即 bc>ad. 命题二：若 ab>0，且 bc>ad，则ac>db. 证明：因为 ab>0，所以a1b>0，又 bc>ad， 所以 bc·a1b>ad·a1b，即ac>db.
反例：不一定，如3>1，－1>－10， 则3－(－1)>1－(－10)不成立．
2．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？
不可以．两个不同向不等式的两 边不能分别相除，在需要商时，可利 用不等式性质转化为同向不等式相 乘．
练习
用不等号 “＞”或 “＜”填空：
（１）如果a＞b，c＜d，那么a－c
b－d；
d＝－2.
则
a c
＝－1，
b d
＝－1，排除选项
A B.
又
a d
＝－
3 2
2019新版高中数学必修一第二章 第1节 等式与不等式性质
练习：（1）若 x≠－2 且 y≠1，则 M＝x2＋y2＋4x－2y 的值与－5 的大小关系是( )
A．M＞－5
B．M＜－5
C．M≥－5
D．M≤－5
解析：选 A M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，
∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2＞0，(y－1)2＞0，因此(x＋2)2＋(y－1)2＞0.故 M＞－5.
比较两个实数a，b大小的依据
例 2：比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x2＋3 与 2x； (2)已知 a，b 为正数，且 a≠b，比较 a3＋b3 与 a2b＋ab2 的大小．
解：(1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2＞0，∴x2＋3＞2x.
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b)，∵a＞0，b＞0，且 a≠b，∴(a－b)2＞0，a＋b＞0. ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，即 a3＋b3＞a2b＋ab2.
分，体育成绩 z 超过 45 分，用不等式(组)表示就是( )
x≥95 A.y≥380
z>45
x≥95 B.y>380
z≥45
x>95 C.y>380
z>45
x≥95 D．y>380
z>45
解析：选 D 由题中 x 不低于 95 即 x≥95，y 高于 380 即 y>380，z 超过 45 即 z>45.
例 5：（多选）对于任意实数 a，b，c，d，则下列命题正确的是（ ）
A．若 a+d
C．若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd