第6章生产函数与规模报酬

（1）C点以前，MP>AP。AP递增，MP把AP向上拉。 （2）C点以后，MP<AP。AP递减，MP把AP向下拉。 （3）C点，MP=AP。AP最大。
Q f ( L) L L d f ( L) Lf ( L* ) f ( L* ) 0 *2 dL L L
* f ( L ) * f ( L ) * L
V wL rK (q0 f ( L, K ))
f f w / L K r MPL w MPK r
f f / w /r L K MPL MPK w r
含义：μ是单位要素价格在最优时获得的边际 产量。最优要素组合比例说明，最后一单位的货 币投入，不管是投在资本还是劳动上，其对产理 的贡献是相等的。
例：
已知某企业的生产函数为：
Q 21L 9L2 L3
（1）求企业的平均产量和边际产量函数。 （2）若企业现在使用3单位的劳动力，是否合理？ 合理的劳动使用量的区间是什么？ （3）若企业产品的市场价格是3元，劳动力的 市场价格为63元，求企业最优的劳动投入量。
(2) MP AP, 可得:
x1
二、短期和长期
短期是指在此时间段内，一种或多种生产要素 是无法变更的，它们的量是固定的这种在一定时 间段内不可变更的投入品也称为固定投入品。 长期是指在此时间段内所有的投入品都是可以 变更的。 注意：短期与长期的划分，要根据不同的行业、 不同的企业的具体情况而定。
§2.短期生产函数与生产决策
2.生产集

生产集是关于投入品与产出品的各种组合的集 合。生产集的边界就叫生产函数。
y
生产集
( x0 , y 0 )
y0

o
x0
x
生产集的性质
1.非空的 Y
2.闭集: y n Y , y n y, y Y 3.不生产是可能的 : 0 Y 4.不可逆性 : y Y , y 0, y Y 5.非递增的规模报酬 : y Y , a (0,1), ay Y 6.非递减的规模报酬 : y Y , a 1, ay Y 7.常数规模报酬 : y Y , a 0, ay Y 8.可加性 : y Y , y ' y, y y ' , y y ' Y 9.凸性: y Y , y ' Y , a (0,1), ay (1 a ) y ' Y
例题：
如果某企业的生产函数为q=6KL，工资w=5， 利率r=10试求劳动与资本的最优比例。
MPL 6 K , MPK 6 L MPL K MPK L w 5 r 10 某企业的生产函数为：
q min{3L, K}, w 2, r 2
Q (1) AP 21 9 L L2 L dQ MP 21 18 L 3L2 dL
21 9 L L2 21 18 L 3L2 L 0(舍去), L 4.5 MP 0, 可得: 21 18 L 3L2 0 L 1(舍去), L 7
Ee EL EK
3.替代弹性 定义：K/L对MPL/MPK变化的反应灵敏度。 K d L K MPL K d MP L K L E MPL MPL K d d L MPK MPK MPL MPK
V f w 0 L L V f r 0 K K V C 0 wL rK 0
f f w / L K r MPL w MPK r
这便是企业决定最优要素比例的必要条件。 该条件也可由另一数学规划问题表示。
wL rK )} min{( L, K 0 s . t . f ( L , K ) q
第六章 生产函数与规模报酬
本章要点
§1.若干基本概念 §2.短期生产函数与生产决策 §3.长期生产函数与要素组合比例 §4.生产扩张与规模报酬 §5.齐次生产函数与范围经济
§1.若干基本概念
一、生产技术与生产函数
1.生产技术

生产技术是指生产的投入与产出量之间的关系。 生产的投入要素又称生产要素。通常，我们将 生产要素分为三类：劳动、原料与资本品。 生产技术约束可以集中地以生产集来描述。生 产集是企业面临的关于投入品与产出品的各种 组合的集合。生产集的边界就叫生产函数。
f f Q Q dQ dL dK dL dK L K L K
K和L按同一比例增加，即
dL dK dx L K x
dQ X Q dL 1 Q dK 1 dX Q L dX Q K dX Q X X Q dL 1 Q dK 1 L dL Q K dK Q L K Q K Q L K Q L Q EK EL
平均产量最大 化的必要条件
三、边际报酬递减规律
当一种或一种以上的要素固定不变时，增加另 一种要素投入量达到一定程度后，会出现边际产 量递减。 （1）边际报酬递减以技术不变为前提；（2） 以其他要素不变为前提；（3）是在某种要素增 加达到一定程度之后才出现。 原因：
四、生产阶段的划分
第Ⅰ阶段：MP递增、最大、递减，但MP>AP， AP递增，因而TP递增。厂商的可变投入不会停在 这一阶段。 第Ⅲ阶段：MP<0，且继续下降,TP和AP也不断 下降。即随着劳动投入量增加，TP反而下降，因 此，厂商不会选择在这一阶段进行生产。 合理的劳动投入量应在第Ⅱ阶段。
求资本和劳动的最优比例。
解：若3L>K，则q=K。非成本最小化。 若3L<K，则q=3L。非成本最小化。 因此，成本最小的投入应是：
q 3L K L : K 1: 3
§4.生产扩张与规模报酬
一、生产经济区—脊线
K B

B0
B2 经济区域 B1 A A2 A 1
脊线
q2 q1
L
A0
q0
3.生产函数 生产函数：一定技术条件下特定的投入组合 有效利用时最大的可行性产出。从而剔除了投 入品的使用使产出下降的可能，生产函数曲线 不包括产出量下降的线段。
y f ( x)
常见的生产函数
（1）固定比例生产函数
y f ( x1 , x2 ) min{x1 , x2 }
x2
短边规则
4.生产技术的性质
（1）单调性。如果在至少一种要素上增加投入， 则产出量应不会减少。“自由处臵”
（2）凸性。若有两种方法生产单位的产出，则这 两种方法的加权平均至少能生产同样多的产量。
x2 a2 b2
1 1 1 1 ( a1 b1 , a2 b2 ) 2 2 2 2
q

等产量线
o
a1
b1
规模报酬递增 规模报酬递减 规模报酬不变
练习：
在下列生产函数中，哪些属于规模报酬递增、不 变和递减？
(1) F ( K , L) K 2 L
(2) F ( K , L) K 2L
(3) F (bK , bL) bF ( K , L)
2.生产力弹性表示法
dQ dX dQ X Ee / Q X dX Q dX dQ 要素变动率, 产出变动率 X Q
因此，使用L的合理区域为：
4.5 L 7
（3）根据最优劳动投入的条件： p MPL w
(21 18L 3L2 ) 3 63 L 0(舍去) ,L 6
§3.长期生产函数与最优要素组合比例
一、长期生产函数
q f ( L, K )
二、要素的边际技术替代率（MRTS）
一、短期生产函数
y f (K , L) f (L)
二、总产量、平均产量与边际产量的关系
1.定义
TP Q f ( L)
Q AP L
Q dQ MP L dL
总产量
平均产量
边际产量
Q
D
C B
A
Q f ( L)
2.产出曲线
Q
L
Ⅰ
B MP
Ⅱ
Ⅲ


C
AP D
L1
L2
L
3.边际产量与平均量的关系
2.生产力弹性 定义：当技术与投入品价格不变，所有要素都 按同一比例变动时，产出的相对变动与投入的相 对变动之比。
dQ dX dQ X Ee / Q X dX Q
定理：若产量Q是资本K和劳动L的函数，则有：
Ee EL EK
证明：Q=f(K,L)，要素向量X=(L,K)，对Q进行 全微分有：
q q1 q q0 x1
（2）线性生产函数
y f ( x1 , x2 ) x1 x2
x2
o
x1
（3）柯布—道格拉斯生产函数 y f ( x1 , x2 ) Ax1 x2
x2 ( K )
1 1 , 2 2
y y2 y y1
y y0
o
x1 ( L)
C 0 wL rK
此时最优要素比例由过等产量线与等成本线共 切点的切线的斜率决定。
K
K
*
E
q0
o
L
*
L
上述最优要素比例可写成下列数学规划问题：
f ( L, K )} max{ L, K 0 s . t . wL rK C 构造拉氏函数：
V f ( L, K ) (C 0 wL rK )
Ee 1, 即 , 规模报酬递增; Ee 1, 即 , 规模报酬递减; Ee 1, 即 , 规模报酬不变.
dK MRTS L , K dL f f dq dL dK 0 L K MPL dK f f MRTS L , K / dL L K MPK