第六讲生产函数与规模报酬
平新乔十八讲答案第六讲
12假定 ， ， ，
12.1证明 ， ．
证明： ；
同理，得 ．
12.2证明 ， ； ，
证明： ，其中 ， ， 均大于零，因此 ．而 ，因为 ．
12.3证明MRTS只取决于 而不依赖于生产规模，而且MRTS（ 对 ）随着 的增加而递减．
10.3证明落日湾的劳动边际产出为 ．
用图表示这一关系，并证明对于所有的 值， ．请解释它．
解： 对 求导，得 ．
边际产出用暗红色虚线（或者是灰色虚线，如果黑白打印的话）标出．在图中，任一点上代表该点上平均产出的斜线斜率均大于该点上边际产出的直线的斜率．因为在每一个劳动投入水平上，额外增加的一个劳动力，所多生产的产品比前面任何一个多增加的劳动力多生产的都少，所以，它自然也少于所有劳动力产出量的平均值．
但是，该村的劳动力于土地如果用产棉织布，也是有机会成本的．当织布的产量从零增加到32米这一阶段，粮食产量会从38担下降到30担；如果布的产量要从32米上升到38米，则粮食产量会从30担进一步下降到24担；如果布的产量从38米上升到50米，则粮食产量更会从24担下降到零．
作图：
3.1请以横轴表示粮食数量，纵轴表示以布的数量所代表的粮食的价格，作出该村粮食的供给曲线．
证明： ，即 只取决于 ，而随着 的增加而递减．
13我们已知，对于欧拉定理（见本讲第五节），它意味着规模报酬不变的生产函数 ，有
．
运用这一结论，证明对于这种生产函数，如果 ，则 必为负数．这意味着生产应该在何处进行呢？一个企业能够在 递增的点进行生产吗？
证明：在等式两边同除以 ，得
．
其中 ， ， ．因此有：
平新乔课后习题详解(第6讲--生产函数与规模报酬)
(1)不是齐次函数。
因为f tx,ty =t 3x 3 -t 2xy ，t 3y 3 =tf x, y 。
平新乔《微观经济学十八讲》第 6讲 生产函数与规模报酬1 •生产函数为 Q - _KL2 ・16L _18，工人工资为 w =8，产品价格为p =1。
计算：(1)短期内K =2，最优劳动投入是多少？(2) 最大平均产量的劳动投入为多少？此时的最大平均产量是多少？解: (1 )在短期内K =2，则厂商的生产函数为 Q- -2 L 2・16L —18，则可得厂商的利润 函数为：2二 L = pQ L -wL - -2L 8L -18利润最大化的一阶条件为：d4L 8=0 dL解得L =2，此即为短期内的最优劳动投入量。
(2) 由生产函数 ^_2L 2 16L -18，可得平均产量函数为:AP L =Q=-21_北6L平均产量最大化的一阶条件为:L =3 (负值舍去)。
故最大平均产量的劳动投入为 此时的最大平均产量为 AR =Q =-2L +16—些=4。
L L2 •确定下列函数是不是齐次函数，如果是，规模报酬情况如何？ (1) f x,y =x3 _xy y 3 (2) f x,y =2x y 3 xy 1/2■ 43 1/6(3) f x,y,w = x -5yw答：若函数f x,y 满足f tx,ty 二t k f x,y ，则称函数f x,y 为k 次齐次函数。
同时由 规模报酬的定义可知， 若f tx,ty j=tf x,y ,则为规模报酬不变； 若f tx,ty tf x,y ,贝U 为规模报酬递增；若f tx,ty ::: tf x,y ,则为规模报酬递减。
dtQ-18 L 2解得:(2) 是齐次函数，且规模报酬不变，因为 f tx,ty=2tx ty 3t xy三二tf x, y 。
(3) 是齐次函数，且规模报酬递减，因为：1 2 1 24 4 4 3 c ? 4 3 c艾f tx,ty,tw = t x - 5t yw =t x - 5yw =t f x,y,w ; tf x, y, w3 •设某省有一个村庄，该村既生产粮食又会织布。
平新乔十八讲课后习题答案
1-6-1
第一讲 偏好、效用与消费者的基本问题
让我们首先来看一个例子，而在例子结束时，也就是我们回答此问题结束之际；
假设生产 a 单位的产出要固定用用上 a1 单位的 x1 与 a2 单位的 x2 ，那么此技术的生产函
越靠上的曲线所代表的效用水平就越高。
(3)
Y
y =−2 x3
Y
y = 2x
X
对于李楠而言汽水 x 与冰棍 y 是完全替代 的；三杯汽水 x 与两根冰棍 y 所带来的效用水
平是一样的，她的效用曲线拥有负的斜率；对
于一定量的汽水 x 而言，越多的冰棍 y 越好，
所以越靠上的曲线所代表的效用水平就越高；
她效用函数可用 u(x, y) = 3x + 2 y 表示。
ψ (x,λ) = x1 + λ(m − p1x1 − p2x2 )
∂ψ ∂x1
= 1 − λp1
=0
∂ψ ∂x2
= −λp2
=0
∂ψ ∂λ
=m−
p1x1 −
p2 x2
=0
由上式可得马歇尔需求函数： x1
=
m p1
； x2
=0
10
max = u(x)
x
s.t. m = p1x1 + p2x2
构造拉氏方程： ψ (x, λ) = Ax1α x12−α + λ(m − p1x1 − p2x2 )
∂ψ ∂x1
= 20(x1 +
x2 ) − λp1
=0
∂ψ ∂x2
=
20( x1
04章-长期生产函数与规模报酬
边 际 技 术 替 代 率
这决定了 等产量曲 线凸向原 点
P K1 K2 K3 K4 O L1 L2 L3 a
边际技术替代 率递减 b c d
K
边际技术替代 率＝等产量曲 线该点斜率的 绝对值
⊿K ⊿L
劳动替代资本的边际技术替代率
MRTSLK = -
⊿K ⊿L
K1 K2 O
Q1 L
dK MRTSLK = dL MPL MRTSLK = MPK
边际技术替代率的变化趋势
L1 L2
2、边际技术替代率递减规律
边际技术替代率递减规律： 在维持产量不变的前提下， 当一种生产要素的投入量不 断增加时，每一单位的这种 生产要素所能替代的另一种 生产要素的数量是递减的。
规模报酬与边际报酬的比较
报酬性质
规模报酬 边际报酬
适用时期
长期 短期
适用条件
所有投入同比例变动 其它投入不变，一种投 入变动
一种技术会呈现不同的区段性(locally)边际报酬特 性。随着可变要素的连续不断增加，边际报酬将从递 增转为递减。 一种技术也可以呈现不同的区段性规模报酬特性。随 着生产规模的扩张，规模报酬可以从递增转为递减。
O
300 L
3、等成本线的变动
成本支出增加 使等成本线向 右上方平移
等
成
本
线
劳动L价格下降使等 成本线以逆时针方 向旋转，斜率变小
K
A1 A0 A2 O B2 B0 B1 L
成本支出减少 使等成本线向 左下方平移
平新乔18讲06
第六讲 生产函数与规模报酬现转向经济中的供给方，研究人们消费的商品和劳务的生产过程。
供给方是由一系列被称为企业的生产单位组成。
企业可以是公司，也可以是其它合法的组织。
§1 基本概念一、生产要素：L （labor ），K （capital ），L d （land ）生产是将投入转化为产出的过程。
生产的投入叫生产要素。
生产要素包括：土地、劳动和资本。
生产技术指生产的投入要素与产出量之间的关系，通常表现为一种可行的生产计划表。
只有某些投入组合才有可能生产即定的产出量。
二、企业面临的约束企业的产生？谁拥有它？谁来管理它？它是怎样运作的？它是怎样组织的？它能做些什么？关于企业有一系列的问题，我们将集中讨论最后一个，即生产多少。
于是我们假定企业是一个能够将投入转化为产出的“黑匣子”。
而且，企业在做决策时都以利润最大化作为目标。
原因在于：一些行为符合利润最大化目标。
以利润最大化所得理论得到了实际支持；其替代性的目标，如市场份额最大化，可被视为企业的长期利润最大化战略中的短期策略，而不是企业的终极目标；市场力量强制厂商走向利润最大化。
如果未做到利润最大化，是由于经理造成的，则所有者会更换经理；若是由于所有者造成的，其他企业会购并该企业。
企业在决策时，也面临许多约束条件。
包括客户、竞争对手、自然条件等，归纳起来有：（1）资金约束（预算约束）：0d C w L r K q L ≤⋅+⋅+⋅（在我国，软约束）：你有多少资金可用于生产和投资？（2）市场需求约束：市场对你的产品究竟需要多少？（3）生产技术约束：即使你有了钱，买了设备、原材料，请了工人，也有市场需求，但你能生产多少？ 三、生产集生产集是技术上可行的所有投入与产出组合的集合。
技术表明的单一组合可以用不同的方法加以利用，从而产生许多不同的产出水平。
生产函数与技术不同。
生产集为凸集，即：()00,x y x ∈，()11,x y x ∈则()011x x x λλ+-∈。
生产函数与规模报酬规模报酬递减
生產函數與規模報酬
•規模報酬遞減(decreasing return to scale): 所有投入要素增加n倍，則產出會g少於n倍
Q=f( L, K), >
生產函數與規模報酬
•規模報酬固定(constant return to scale): 所有投入要素增加n倍，則產出亦會增加n倍
Q=f(K,L,t) Q：產出的數量 K：資本 L：勞動 t：技術
生產函數
Q = f(K,L)*A(t) Q:產出的數量 K：資本 L：勞動 A(t)：技術進步因子
特性
• 生產函數乃各生產要素之增函數
L ,K Q
短期與長期的決策
• 短期的條件： 1. 廠商某一規模或生產要素是固定 2. 廠商既無法加入也無法退出產業
短期與長期的決定
長期是指生產無固定投入要素的一 段時間。廠商能增加或減少運作的 規模，同時新廠商能加入，且既存 廠商能退出產業。
短期:(short run)
• f(L,K,t)=f(L) • 資本與生產技術固定，生產
函數只是勞動的函數
生產函數與規模報酬
規模報酬遞增(increasing return to scale): • 所有投入要素增加n倍，則產出會大於n倍
入的邊際產量會遞減。
三明治的生產函數
(1) 勞動量)
0
1 2 3 4 5 6
生產函數
(2) 總產出
0
(3)
(4)
勞動邊際 勞動平
產出 均產出
-
-
10
10
10.0
25
15
12.5
35
10
11.7
第六章 生产函数与规模报酬
五、最优劳动投入量
最优劳动投入量：使厂商获得最大利润的劳动 投入量。
故短期ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ优劳动投入量的必要条件是：劳动的 边际产量价值=劳动价格。
例 已知某企业的生产函：数为：
（1）求企业的平均产量和边际产量函数。 （2）若企业现在使用3单位的劳动力，是否合理 ？合理的劳动使用量的区间是什么？ （3）若企业产品的市场价格是3元，劳动力的 市场价格为63元，求企业最优的劳动投入量。
第六章 生产函数与规模 报酬
2020年4月23日星期四
本章要点
§1.若干基本概念 §2.短期生产函数与生产决策 §3.长期生产函数与要素组合比例 §4.生产扩张与规模报酬 §5.齐次生产函数与范围经济
§1.若干基本概念
一、生产技术与生产函数
1.生产技术
生产技术是指生产的投入、要素与产出量之间 的关系。
（2）凸性。若有两种方法生产单位的产出，则这 两种方法的加权平均至少能生产同样多的产量。
等产量线
二、短期和长期
短期是指在此时间段内，一种或多种生产要素 是无法变更的，它们的量是固定的这种在一定时 间段内不可变更的投入品也称为固定投入品。
长期是指在此时间段内所有的投入品都是可以 变更的。
注意：短期与长期的划分，要根据不同的行业 、不同的企业的具体情况而定。
上述最优要素比例可写成下列数学规划问题： 构造拉氏函数：
这便是企业决定最优要素比例的必要条件。 该条件也可由另一数学规划问题表示。
含义：μ是单位要素价格在最优时获得的边际 产量。最优要素组合比例说明，最后一单位的货 币投入，不管是投在资本还是劳动上，其对产理 的贡献是相等的。
例题
如果某企业的生产函：数为q=6KL，工资w=5，
称之规模报酬不变
16
3、边际技术替代率递减规律
1）边际技术替代率MRTS ----表示在保持产出不变前提下增加一种投入品的 数量与必须减少的另一种投入品数量（否则就不 能保持技术上有效率）之比。 K K dK MRTS LK MRTS LK lim L 0 L L dL
MPL L MPK K
MRTSLK K MPL L MPK
L↑→MPL↓ K↓→MPK↑
18
4、特殊的等产量曲线
(1)两种要素完全替代的等产量曲线 MRTS为常数，要素之间为完全替代关系, 等产量曲线为一条直线。
(2)两种要素完全互补的等产量曲线 MRTS=0，要素之间为完全互补关系，等 产量曲线为一直角。
5
第二节 一种可变生产要素生产函数 (短期生产函数 Q f ( L, K ) )
一、总产量TP、平均产量AP和边际产量MP
总产量TP ：在K不变下,投入一定量的某种可变生产要素 所生产出来的全部产量。 TPL=f (L,K) 平均产量AP：平均每单位某可变要素所生产出来的产量。 APL=TPL/L
13
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
E AP
0
A
B
L MP
第三节 两种可变生产要素的生产函数
一、两种可变要素的生产函数的特征： 1）生产一定数量的某种产品所使用的生产要素是可变的， 且两种要素可以替代。 2）可以认为这两种可变要素与一种或多种固定要素在生产 中发挥作用（短期)：Q=f(L,m,K)；也可以认为是生 产中只使用这两种要素进行生产，即Q=f(L，K)，长 期中厂商只使用短期的变动要素L和短期的固定要素K 进行生产。 3）本节研究两种可变要素如何配合才可实现技术上有效率。
19
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主要学习问题： 一、生产与技术 二、产出弹性与生产要素的分配 三、利润最大化的选择 四、生产成本分析 五、利润函数与生产供给
一、生产与技术
一、生产技术与生产函数
• 1、技术 • 生产技术是生产的投入、要素与产出量之间的关
系。 • 生产的投入要素又称生产要素。通常我们将生产
MPL > APL
•L＝6
MPL = APL；APL极大
•L>6
MPL < APL
平均产量等于边际产量的证明：
Q f (L) LL
[
f
(L)]' L
Lf
'(L) L2
f
(L)
0
f '(L) f (L) L
三、边际报酬递减规律
• 1、含义 • 2、注意事项（前提条件） • （1）技术不变 • （2）其它要素不变 • （3）增加的要素达到一定程度（或者量）
二、短期与长期
• 短期和长期的定义 • 短期和长期的相对性
第二节 短期生产函数与生产决策
• 一、短期生产函数 • 二、总产量、平均产量与边际产量的相互
关系 • 1、定义 • 2、产出曲线
• 劳动投入各区间各产量的变化：
0<L<4
TPL递增↑；MPL↑ ；APL↑
4<L<6
TPL趋缓↑；MPL↓；APL↑
• 产出Y是X1和X2的函数；产出量究竟是多少， 取决于少的那一种生产要素的量。在日常生活 中，我们叫做“短边规则”。图形如下图：
x2
o 里昂惕夫生产函数
Q( y2 ) Q( y1)
x1
（2）线性生产函数
• 如 y f (x1, x2 ) (x1 x2 )....(6.2) • 在这种情况下，增加一个单位的X1，同时减少
四、生产三阶段
• 1、 三阶段的各自特点 • 2、厂商合理劳动投入阶段为第二阶段
五、短期中劳动的最优投入量
• 短期内最优劳动投入量的含义，就是企业 利润最大化。公式为：
pf (L, K ) wL r K ...(6.10)
d
(L, K ) w 0...(6.11)
dL dL
p df
一个单位的X2，就会正好相互抵消。这时，等 产量线是一条直线。
（3）柯布——道拉斯函数
y f (x1, x2 ) Ax1 x12 ...(6.3) 如果x1 L, x2 K ,
A 1, 1
y f (L, K ) L K1 ...(6.4)
x2
Q( y3 )
Q( y2 )
Q( y1)
o
x1
C-D生产函数
5、生产技术的性质
• （1）单调性。 • 单调性是指如果你在至少一种生产要素上增加了
投入，那么，产出量应该至少等于你原先的生产 量。 • 这一性质有时被称为自由处置，即企业可以无代 价地处置任何投入品，拥有超额的投入品至少不 会损害企业。 • （2）凸性。这是指，如果你有两种方法 （X1,X2),(Z1,Z2)去生产Y单位的产出，那么，上 述两种方法的加权平均至少能生产出同样多的产 出量。
• L＝9
TPL极大；MPL ＝ 0
• L>9
TPL下降（一阶导数<0） ；MPL < 0
• 总产量和平均产量的关系 APL = Q / L •0<L<6
TPL增加；APL增加
•L＝6
APL极大
•L>6
TPL先增后降 ；APL 下降
• 平均产量和边际产量的关系 APL = Q / L ；MPL = dQ / dL •0<L<6
6<L<9
TPL趋缓↑；MPL↓；APL↓
L>9
TPL↓；MPL < 0；APL↓
• 总产量和边际产量的关系
MPL = dQ / dL
• 0<L<4
TPL上凹（一阶导数>0；二阶导数>0）；MPL增加
• L＝4
TPL拐点；MPL极大
• 4<L<9
TPL上凸（一阶导数>0；二阶导数<0）；MPL下降
(L, K ) w...(6.12)
dL
df dL (L, K ) MPL
所以，在短期，决定劳动最优投入量
的必要条件是
pMPL w...(6.13) 即劳动的边际产量价值与劳动的价格相等。
应用
• 例1：（最优劳动投入量）：已知某企业的生产函 数为
Q 21L 9L2 L3
• (1)求该企业的平均产出函数和边际产出函数。 • （2）如果企业现在使用了3个劳动力，试问是否
合理？合理的劳动使用量应在什么范围内？ • （3）如果该企业的产品的市场价格为3元，劳动
力的市场价格为63元。那么，该企业的最优劳动 投入量是多少？
• 解：（1）平均产出函
数为：
AP Q 21 9L L2 L
MP dQ 2118L 3L2 dL
• (2)我们首先确定合理 投入区间的左端点。 令AP=MP,即
要素分为三类：劳动、原料与资本品。 • 生产技术是对企业的一种可行性约束。一般来说，
企业决策面临三类约束：一是资金约束，又称预 算约束；二是市场需求约束；三是生产技术约束。
2、生产集
• 是用来表示在一定的技术水平下的投入产 出的可能性集。
• 在一个具体的生产计划中，厂商可能有许 多个投入组合，但不一定每一个都在技术 上可行。
•
3、生产函数
• 生产的可能性边界就叫生产函数。是用于 表示投入产出关系的数学等式。是给定生 产投入品的前提下的最大可能产出点的集 合。
• 不同的生产函数内含着不同的生产技术水 平。
4、常见的生产函数
• （1）固定比例的生产函数（里昂惕夫函数）
y f (x1, x2 ) min x1, x2 ...(6.1)
•
21 9L L2 21 18L 3L2 解得L=0和L=4.5,其中L=0不合理,舍去.
得L=4.5
再定合理区域得的右端点。令MP=0,即
21 18L 3L2＝0 得L 1与L＝7 其中L 1不合理，舍去。得L 7 这样合理区域为：
4.5 L 7 目前的使用量L=3,所以是不合理的。
f (x1, x2 ) f x1x2 (x1) y
（3）劳动投入最优的必要条件为：
PMP L
w
(21 18L 3L2 )3 63
得L 0和L=6
其中L 0不合理，舍去，得L 6
所以使用6个劳动力最优。
第三节 长期生产函数与要素组合比 例
• 一、长期生产函数
二、要素的边际技术替代率（MRTS）
表示一种要素对于另一种要素的替代技术。 它可以度量等产量线的斜率。