【步步高通用(理)】高三《考前三个月》专题复习篇【配套】专题二第一讲PPT课件

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【步步高通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套课件】专题一第三讲

PF PF1 7 1 ∴ ＝2.综上知，＝或2. PF PF2 2 2

题型与方法
第三讲
反思归纳
(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，
需按直角顶点不同的位置进行讨论. (2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论.
审题破题
直角三角形关键是确定直角顶点，由 |PF1 |>|PF2 |
知，只需分∠PF2F1 和∠F1PF2 分别为直角两种情况即可.
解若∠PF2F1＝90° ，
2 2 2 则 PF1 ＝|PF2 | ＋F1F2 ，又∵ PF1＋PF2 ＝6，F1F2＝2 5，
4 2 当 m<2－2m，又 m< ，即 m< 时，ymax＝2－2m. 3 3
题型与方法
第三讲
4 ⅱ若 4－3m<0，即 m> 时，二次函数 y 的图象开口向下，又 3 1 它的对称轴方程 x＝ <0，所以函数 y 在[0,1]上是减函数， 4－3m 于是 ymax＝f(0)＝m.
由①、②可知，这个函数的最大值为 2 2－2m，m<3， ymax＝ m，m≥2. 3
真题感悟
1 1 1 a ∴－＋a1＋a－＋a <－ 1＋， 2 2 2 2
1 1 5 ∴a－2＋a－2＋a<－4a. 1 1 5 ∵－1<a<0，∴ －2＋a －2＋a >－4， 1 2 1 2 5 5 ∴－－2＋a >－4，∴－2＋a <4，
则当
x∈ 0，

【步步高通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题二第二讲

第二讲不等式1．不等式的基本性质(1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)加法法则：a >b ⇔a ＋c >b ＋c . (4)乘法法则：a >b ，c >0⇒ac >bc .a >b ，c <0⇒ac <bc .(5)同向不等式可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)． (8)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)． 2．一元二次不等式的解法解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)，可利用一元二次方程，一3．基本不等式：a ＋b2≥ab (a >0，b >0)利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”． 4．二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等； (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值．5．不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题(1)恒成立问题若不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )min >A ；若不等式f (x )A 成立，则等价于在区间D 上f (x )max >A ；若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )>A 的解集为D ；若不等式f (x )12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2} 答案 D解析由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.2． (2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．3． (2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________. 答案 2解析作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2.4． (2013·湖南)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．答案 12解析方法一 ∵(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2yz ＋2zx ≤3(x 2＋y 2＋z 2)，∴a 2＋4b 2＋9c 2≥13(a ＋2b ＋3c )2＝363＝12.∴a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12. 方法二 ∵a ＋2b ＋3c ＝6， ∴1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6. 由柯西不等式，可得(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a ＝12b ＝13c，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号．5． (2013·四川)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x＋2)<5的解集是________．答案 {x |－7<x <3}解析令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋4x <5，得－5<x <0，即f (x )<5的解集为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．题型一不等式的解法例1 (1)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) (2)(2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．审题破题 (1)可以将不等式转化为等价的二次不等式求解；(2)已知二次不等式的解集，可以利用根与系数的关系．答案 (1)A (2)9解析 (1)x －12x ＋1≤0等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≤0，2x ＋1>0，①或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，2x ＋1<0.②解①得－12<x ≤1，解②得x ∈∅，∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－12，1. (2)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22.又∵f (x )<c .∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.反思归纳解不等式的基本思路是将原不等式转化为一次或二次不等式，然后求解；和函数有关的不等式，可利用函数的单调性，含参数的不等式，要进行分类讨论．变式训练1 (1)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．[0,2]答案 C解析 p ∧q 为真命题，等价于p ，q 均为真命题．命题p 为真时，m <0；命题q 为真时， Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.故p ∧q 为真时，－2<m <0.(2)已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，∀x 1≥0，∀x 2≥0，若x 1≠x 2，则f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.如果f ⎝⎛⎭⎫13＝34，4f (x )>3，那么x 的取值范围为 ( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，2 C.⎝⎛⎦⎤12，1∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，18∪⎝⎛⎭⎫12，2 答案 B解析由已知可得当x ≥0时，f (x )是减函数．又f (x )为偶函数， ∴f (x )＝f (|x |)．由f (|x |)>34＝f ⎝⎛⎭⎫13，得|x |<13， ∴－13<x <13，∴12<x <2. 题型二线性规划问题例2 (1)已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2](2)设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞) 审题破题 (1)将OA →·OM →用坐标表示，转化为线性规划问题；(2)找到目标函数取最大值时经过可行域内的点，求出最大值，解关于m 的不等式求得m 的取值范围．答案 (1)C (2)A解析 (1)作出可行域，如图所示，由题意OA →·OM →＝－x ＋y . 设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1,1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2， ∴OA →·OM →的取值范围是[0,2]．(2)变形目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m >1，所以－1<－1m<0，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．根据目标函数的几何意义，只有直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ，x ＋y ＝1，得交点A ⎝⎛⎭⎫11＋m ，m 1＋m ，所以目标函数的最大值是11＋m ＋m 21＋m<2，即m 2－2m －1<0，解得1－2<m <1＋2，故m 的取值范围是(1,1＋2)．反思归纳 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．变式训练2 (1)(2012·辽宁)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55答案 D解析不等式组表示的区域如图所示，所以过点A (5,15)时 2x ＋3y 的值最大，此时2x ＋3y ＝55.(2)(2013·广东)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4x ＋y ≤4x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．答案 6解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可确定6条．题型三利用基本不等式求最值例3 (1)已知a >0，b >0，函数f (x )＝x 2＋(ab －a －4b )x ＋ab 是偶函数，则f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为________．(2)已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4审题破题 (1)由f (x )为偶函数得出a ，b 的关系式，再利用基本不等式，列出关于ab 乘积的不等关系，求ab 乘积的最小值．(2)求λ的最小值，即求x ＋22xyx ＋y 的最大值．答案 (1)16 (2)B解析 (1)根据函数f (x )是偶函数可得ab －a －4b ＝0，函数f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为ab .由ab －a －4b ＝0，得ab ＝a ＋4b ≥4ab ，解得ab ≥16(当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立)，即f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为16. (2)∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy (当且仅当x ＝2y 时取等号)．又由x ＋22xy ≤λ(x ＋y )可得λ≥x ＋22xyx ＋y，而x ＋22xy x ＋y ≤x ＋(x ＋2y )x ＋y＝2，∴当且仅当x ＝2y 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22xy x ＋y max ＝2.∴λ的最小值为2.反思归纳在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．变式训练3 设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D.14答案 B解析因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1.1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时“＝”成立．典例 (2012·福建)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12B ．1C.32D ．2解析在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1. 答案 B得分技巧由运动变化的观点让目标函数所表示的曲线过可行域上的某点，求线性约束条件中的某一参数值，是逆向思维，用数形结合的思想方法，即可破解．阅卷老师提醒本题要正确理解“存在”这个关键词，只要函数y ＝2x 和可行域有公共点即可．1． (2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B 等于( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4} 答案 C解析 A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}， ∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2} ＝{x |0≤x <2或x >4}．2．已知log (x ＋y ＋4)<log (3x ＋y －2)，若x －y <λ恒成立，则λ的取值范围是 ( )A ．(－∞，10]B ．(－∞，10)C ．[10，＋∞)D ．(10，＋∞)答案 C解析 x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋4>3x ＋y －2⇔x <33x ＋y －2>0画出可行域如图，设z ＝x －y ，易知z 的范围是(－∞，10)，故λ≥10. 3．若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4答案 C解析 ∵x >2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，即a ＝3，f (x )min ＝4.4． (2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a a 2－a 2a ＋b＝0，∴v >a .5．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 解析 ∵a ≥x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3对任意x >0恒成立，设u ＝x ＋1x ＋3，∴只需a ≥1u 恒成立即可．12 12∵x >0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)．由u ≥5知0<1u ≤15，∴a ≥15.6．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析设k ＝y ＋3x －1，则y ＝kx －(k ＋3)表示经过点P (1，－3)的直线，k为直线的斜率．所以求y ＋3x －1的取值范围就等价于求同时经过点P (1，－3)和圆上的点的直线中斜率的最大、最小值．从图中可知：当过P 的直线与圆相切时斜率取最大、最小值，此时对应的直线斜率分别为k PB 和k P A ，其中k PB 不存在，由圆心C (2,0)到直线y ＝kx －(k ＋3)的距离|2k －(k ＋3)|k 2＋1＝r ＝1，解得k ＝43，所以y ＋3x －1的取值范围是⎣⎡⎭⎫43，＋∞.专题限时规范训练一、选择题1．设0<a a ·a ＝a ， ab a ＋b2，又ab <a ＋b 2，所以a <ab <a ＋b20，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．14B ．4C ．12D ．2答案 C解析由2a ＋b ＝4，得22ab ≤4，即ab ≤2，又a >0，b >0，所以1ab ≥12，当且仅当2a ＝b ，即b ＝2，a ＝1时，1ab 取得最小值12.故选C.3．在R 上定义运算a *b ＝a (1－b )，则满足(x －2)*(x ＋2)>0的实数x 的取值范围为( ) A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案 D解析根据定义：(x －2)*(x ＋2)＝(x －2)[1－(x ＋2)]＝－(x －2)(x ＋1)>0，即(x －2)(x ＋1)<0.解得－1<x <2，所以所求实数x 的取值范围为(－1,2)． 4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73 B.37C.43D.34答案 A解析不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.5．已知x >0，y >0，若2y x ＋8xy>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2答案 D解析因为x >0，y >0，所以2y x ＋8xy≥216＝8.要使原不等式恒成立，只需m 2＋2m <8，解得－4<m <2.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)x 2 (x <0)，则f [f (x )]≥1的充要条件是( )A ．x ∈(－∞，－2]B ．x ∈[42，＋∞)C ．x ∈(－∞，－1]∪[42，＋∞)D ．x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞) 答案 D解析当x ≥0时，f [f (x )]＝x4≥1，所以x ≥4；当x <0时，f [f (x )]＝x 22≥1，所以x 2≥2，x ≥2(舍)或x ≤－ 2.所以x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)．故选D.7．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝x －2(x ≥12)，则m 与n 之间的大小关系为( )A ．m <nB ．m >nC ．m ≥nD ．m ≤n答案 C解析 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥4(a >2)，当且仅当a ＝3时，等号成立．由x ≥12得x 2≥14，∴n ＝x －2＝1x 2≤4即n ∈(0,4]，∴m ≥n .8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则3a ＋2b 的最小值为( )A.256 B.83C.113D ．4答案 A解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(ba＋a b )≥136＋2＝256，故选A. 二、填空题9．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．答案 18解析 ∵x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ， ∴22xy ＋6≤xy ，即xy －22xy －6≥0，解得xy ≥18.10．(2013·陕西)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．答案－4解析如图，曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－1,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－1)－2＝－4.11．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎦⎤259，4916解析因为不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1<0，其中(－a ＋4)x 2－4x ＋1＝0中的Δ＝4a >0，且有4－a >0，故0<a <4，不等式的解集为12＋a <x <12－a ，14<12＋a <12，则一定有{1,2,3}为所求的整数解集．所以3<12－a ≤4，解得a 的范围为⎝⎛⎦⎤259，4916. 12．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是__________．答案 (－∞，－5]解析当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立⇒m <－x 2＋4x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在x ∈(1,2)上恒成立，设φ(x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，φ(x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ∈(－5，－4)，故m ≤－5. 三、解答题 13．已知函数f (x )＝2x x 2＋6. (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围．解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)∵x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66.由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t ≥66.即t 的取值范围为⎣⎡⎭⎫66，＋∞.14．(2012·江苏)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程．(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6. 所以当a 不超过6千米时，可击中目标．。

【步步高通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题七第一讲

专题七概率与统计第一讲计数原理1．两个计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题．“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步．分类要用分类加法计数原理将种数相加；分步要用分步乘法计数原理将种数相乘．2．排列、组合(1)排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，A m n＝n！(n－m)！，A n n＝n！，0！＝1(n∈N*，m∈N*，m≤n)．(2)组合数公式及性质C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，C m n＝n！m！(n－m)！，C0m＝1，C m n＝C n－mn，C m n＋1＝C m n＋C m－1n.(3)应用题①解排列、组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先选后排，先分类后分步．②常用策略：(a)相邻问题捆绑法；(b)不相邻问题插空法；(c)多排问题单排法；(d)定序问题倍缩法；(e)多元问题分类法；(f)有序分配问题分步法；(g)交叉问题集合法；(h)至少或至多问题间接法；(i)选排问题先取后排法；(j)局部与整体问题排除法；(k)复杂问题转化法．3．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n－1nab n－1＋C n n b n(n∈N*)．通项(展开式的第r＋1项)：T r＋1＝C r n a n－r b r，其中C r n(r＝0,1，…，n)叫做二项式系数．(2)二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C0n＝C n n，C1n＝C n－1n ，C2n＝C n－2n，…，C r n＝C n－rn.②二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C1n＋C3n＋C5n ＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.(3)赋值法解二项式定理有关问题，如3n ＝(1＋2)n ＝C 0n ＋C 1n ·21＋C 2n ·22＋…＋C n n ·2n等．1． (2013·山东)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( )A ．243B ．252C ．261D ．279答案 B解析不重复的三位数字有：A 39＋A 12A 29＝648个．则有重复数字的三位数有：900－648＝252个．2． (2013·福建)满足a ，b ∈{－1,0,1,2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为 ( )A ．14B ．13C ．12D ．10答案 B解析由已知得ab ≤1.若a ＝－1时，b ＝－1,0,1,2，有4种可能；若a ＝0时，b ＝－1,0,1,2，有4种可能；若a ＝1时，b ＝－1,0,1，有3种可能；若a ＝2时，b ＝－1,0，有2种可能． ∴共有(a ，b )的个数为4＋4＋3＋2＝13.3． (2013·江西)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为 ( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40答案 C解析 T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝C r 5(－2)r x 10－5r，令10－5r ＝0得r ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.4． (2013·浙江)将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．答案 480解析分类讨论：A 、B 都在C 的左侧，且按C 的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况．所以共有：2(A 22·A 33＋C 13A 33·A 22＋C 23A 44＋A 55)＝480.5． (2013·上海)设常数a ∈R ，若⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 5的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝________. 答案－2解析 T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r (a x)r，2(5－r )－r ＝7⇒r ＝1，故C 15a ＝－10⇒a ＝－2.题型一计数原理及应用例1(1)(2012·辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为() A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!(2)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)审题破题(1)直接利用分步计数乘法原理；(2)含“至少”，可以利用间接法．答案(1)C(2)14解析(1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．(2)先求出2,3组成的所有四位数的个数，再减去不符合要求的四位数的个数．因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24－2＝14(个)．反思归纳分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．变式训练1(1)某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．答案7 200解析其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7 200.(2)如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．288种B．264种C．240种D．168种答案 B解析分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F有2种方法，故有A34×2＝48(种)方法；第二类，涂四种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F有3C13种方法，故共有A34·3C13＝216(种)方法．由分类加法计数原理，共有48＋216＝264(种)不同的涂法．题型二排列组合的应用例2(1)(2012·大纲全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有() A．12种B．18种C．24种D．36种(2)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为() A．85 B．86 C．91 D．90审题破题(1)每行每列互不相同，可分步来排，先排第一列；(2)可按男生甲、女生乙是否入选分类．答案(1)A(2)B解析(1)先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．(2)可分三类考虑：①男生甲入选，女生乙不入选：C13C24＋C23C14＋C33＝31；②男生甲不入选，女生乙入选：C14C23＋C24C13＋C34＝34；③男生甲入选，女生乙入选：C23＋C14C13＋C24＝21，∴共有入选方法种数为31＋34＋21＝86.反思归纳解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．变式训练2(1)在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有() A．34种B．48种C．96种D．144种答案 C解析 B 和C 捆在一起，和除A 以外的3个数字排列A 44，B 和C 排列A 22，A 排在第一或最后，2种，所以共有2A 44A 22＝96(种)．(2)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(以数字作答) 答案 48解析 ①只有1名老队员的排法有C 12·C 23·A 33＝36种；②有2名老队员的排法有C 22·C 13·C 12·A 22＝12种．所以共48种．题型三二项式定理及应用例3 (1)若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．360B ．180C ．90D ．45 (2)如果⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是 ( ) A ．7B ．－7C ．21D ．－21审题破题 (1)从第六项二项式系数最大可得n 的值，再利用展开式的通项公式即可；(2)从二项式系数和可求得n . 答案 (1)B (2)C解析 (1)依题意知：n ＝10，∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝C r 102r·x ，令5－52r ＝0，得r ＝2，∴常数项为C 21022＝180.(2)由已知2n ＝128，n ＝7，由T r ＋1＝C r 7(3x )7－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 2r＝C r 7·37－r (－1)r ·x ，令7－53r ＝－3，得r ＝6，故1x3的系数为C 67·31·(－1)6＝21，故选C. 反思归纳 (1)二项式定理是一个恒等式，求二项展开式中某指定项的系数、二项式系数或指定项问题，是二项式定理的常考问题，通常用通项公式来解决．(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．变式训练3 已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n . 5－52r 7－52r(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.所以T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫124×23＝352， T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫123×24＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.所以T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432. (2)因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，所以n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大．因为⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x )12，所以⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1，所以9.4≤k ≤10.4. 又因为0≤k ≤12且k ∈N ，所以k ＝10. 所以展开式中系数最大的项为T 11.T 11＝⎝⎛⎭⎫1212C 1012410x 10＝16 896x 10.典例 (1)(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．484解析分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C 14C 212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C 312－3C 34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．答案 C(2)若(1＋x )(2－x )2 011＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 011x 2 011＋a 2 012x 2 012，则a 2＋a 4＋…＋a 2 010＋a 2 012等于( )A ．2－22 011B ．2－22 012C ．1－22 011D ．1－22 012解析采用赋值法，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 011＋a 2 012＝2，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 011＋a 2 012＝0，把两式相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 2 012)＝2，所以a 0＋a 2＋…＋a 2 012＝1，又令x ＝0，得a 0＝22 011，所以a 2＋a 4＋…＋a 2 010＋a 2 012＝1－22 011.故选C. 答案 C得分技巧 (1)排列、组合问题的解题关键是深刻透彻理解题意，分类时不重不漏；也可利用正难则反思想：间接法；(2)二项式系数和的解题策略就是“赋值”．阅卷老师提醒 (1)排列、组合问题题意理解不准确是出错的主要原因，分类标准不明确产生“漏”、“重”是常见问题．(2)求二项展开式系数和时，赋值的原则是能整体出现所求式子，x ＝1，x ＝－1，x ＝0是常用值．1． (2013·四川)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lga －lgb 的不同值的个数是 ( )A ．9B ．10C ．18D ．20答案 C解析由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18，选C. 2． (2013·辽宁)使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为 ( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析展开式的通项公式T r ＋1＝C r n(3x )n －r ⎝⎛⎭⎫1x x r， ∴T r ＋1＝3n －r C r n x ，r ＝0,1,2，…，n .令n －52r ＝0，n ＝52r ，故最小正整数n ＝5.3．若(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x 2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2答案 C解析 ∵(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x 2 013(x ∈R )，∴令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎫1－2×12 2 013＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝0，其中a 0＝1所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－1.故选C.4． (x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是( )n －52rA ．－3B ．－2C ．2D ．3答案 D解析二项式⎝⎛⎭⎫1x 2－15展开式的通项为 T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫1x 25－r ·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r . 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5；当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2. ∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.5． (2013·北京)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．答案 96解析将5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A 44种分法，∴不同的分法种数共有4A 44＝96.6． (2012·浙江)若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________. 答案 10解析将f (x )＝x 5进行转化，利用二项式定理求解． f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )5－r ·(－1)r ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.专题限时规范训练一、选择题1．从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有 ( )A ．70种B ．112种C ．140种D ．168种答案 C解析 ∵从10名同学中挑选4名参加某项公益活动有C 410种不同方法；从甲、乙之外的8名同学中挑选4名参加某项公益活动有C 48种不同方法； ∴所求的不同挑选方法共有C 410－C 48＝140(种)．2．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有 ( )A ．11种B ．20种C ．21种D ．12种答案 C解析当第一组开关有一个接通时，电路接通为C 12(C 13＋C 23＋C 33)＝14种方式；当第一组有两个接通时，电路接通有C 22(C 13＋C 23＋C 33)＝7种方式．所以共有14＋7＝21种方式，故选C.3．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是 ( )A ．420B ．560C ．840D ．20 160答案 C解析从下层8件中取2件，有C 28种取法，放到上层时，若这两件相邻，有A 15A 22种放法，若这两件不相邻，有A 25种放法，所以不同调整方法的种数是C 28(A 15A 22＋A 25)＝840.故选C.4．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种答案 A解析分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C 12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C 24＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．5． 2014年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有 ( )A ．1 440种B ．1 360种C ．1 282种D ．1 128种答案 D解析采取对丙和甲进行捆绑的方法：如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：A 66·A 22＝1 440(种)，如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：C 11·A 14·A 22·A 44＝192(种)，如果“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：A 55＝120(种)．则不同的安排方案共有1 440－192－120＝1 128(种)．6．设⎝⎛⎭⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )A ．－150B ．150C ．300D ．－300答案 B解析 M ＝⎝⎛⎭⎫5×1－11n ，N ＝2n ⇒4n －2n ＝240⇒2n ＝16⇒n ＝4，T r ＋1＝(－1)r C r 4·54－r ·x 4－3r 2⇒r ＝2，则(－1)2C 24·52＝150. 7． (2012·湖北)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．11D ．12答案 D解析化51为52－1，用二项式定理展开．512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012522 012－C 12 012522 011＋…＋C 2 0112 012×52×(－1)2 011＋C 2 0122 012×(－1)2 012＋a . 因为52能被13整除，所以只需C 2 0122 012×(－1)2 012＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，因为0≤a <13，所以a ＝12.8．设f (x )是⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，5)B ．(－∞，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)答案 D解析由于T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫12r x 12－3r ，故展开式中间的一项为T 3＋1＝C 36·⎝⎛⎭⎫123·x 3＝52x 3，f (x )≤mx ⇔52x 3≤mx 在⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，即m ≥52x 2，又52x 2≤5，故实数m 的取值范围是m ≥5. 二、填空题9． (2013·大纲全国)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答) 答案 480解析方法一先把除甲、乙外的4个人全排列，共有A 44种方法．再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个，共有A 25种不同的方法．故所有不同的排法共有A 44·A 25＝24×20＝480(种)．方法二 6人排成一排，所有不同的排法有A 66＝720(种)，其中甲、乙相邻的所有不同的排法有A 55A 22＝240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有720－240＝480(种)．10．(2013·浙江)设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.答案－10解析 T r ＋1＝C r 5(x )5－r ⎝⎛⎭⎫－x －13r ＝C r 5(－1)r x 15－5r 6，令15－5r ＝0，则r ＝3.∴A ＝T 4＝C 35(－1)3＝－10.11．(2012·上海)在⎝⎛⎭⎫x －2x 6的二项展开式中，常数项等于________．答案－160解析方法一利用计数原理及排列、组合知识求解．常数项为C 36x 3⎝⎛⎭⎫－2x 3＝20x 3⎝⎛⎭⎫－8x 3＝－160. 方法二利用二项展开式的通项求解．T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3.所以常数项为T 4＝(－2)3C 36＝－160.12．若对于任意实数x ，有x 5＝a 0＋a 1(x －2)＋…＋a 5(x －2)5，则a 1＋a 3＋a 5－a 0＝________.答案 89解析令x ＝3得a 0＋a 1＋…＋a 5＝35，令x ＝1得a 0－a 1＋…－a 5＝1，两式相减得a 1＋a 3＋a 5＝35－12＝121，令x ＝2得a 0＝25＝32，故a 1＋a 3＋a 5－a 0＝121－32＝89.三、解答题13．现安排甲、乙等5名同学去参加3个运动项目，要求每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，求满足上述要求且甲、乙两人不参加同一个项目的安排方法种数．解 5个人分别参加三个项目有两种可能：1人＋1人＋3人；2人＋2人＋1人．(1)当按1人＋1人＋3人参加时，可按以下方式分类考虑：①甲乙都是一人的，则有A 33＝6(种)情况；②甲乙中有一个是一人的，则有2·C 23A 33＝36(种)．(2)当按2人＋2人＋1人参加时，可按以下方式分类考虑：①甲乙中有一个是一人的，则有2·C 13A 33＝36(种)；②甲乙都是两人的，则有C 13C 12A 33＝36(种)．综上可知：共有排法6＋36＋36＋36＝114(种)．14．已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56. (1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；(2)求展开式中的有理项．解根据题意，设该项为第r ＋1项，则有⎩⎪⎨⎪⎧ C r n 2r ＝2C r －1n 2r －1，C r n 2r ＝56C r ＋1n 2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧C r n ＝C r －1n ，C r n ＝53C r ＋1n ，亦即⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝2r －1，n ！r ！(n －r )！＝53×n ！(r ＋1)！(n －r －1)！，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，n ＝7. (1)令x ＝1得展开式中所有项的系数之和为 (1＋2)7＝37＝2 187.所有项的二项式系数之和为27＝128.(2)展开式的通项为T r ＋1＝C r 72r x r 2，r ≤7且r ∈N . 于是当r ＝0,2,4,6时，对应项为有理项，即有理项为T 1＝C 0720x 0＝1，T 3＝C 2722x ＝84x ，T 5＝C 4724x 2＝560x 2，T 7＝C 6726x 3＝448x 3.。

【步步高通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题三第一讲

专题三三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tanα＝y x .(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 23． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x 值、y值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (2013·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4. 3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (2012·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫π2，π⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且 f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1， ∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. (2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________．答案－34解析原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝⎛⎭⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3；当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和．变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4 B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －3π4 答案 B解析由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.又f ⎝⎛⎭⎫－π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4，选B. 题型三三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值．审题破题利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3 ＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3 ＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2，当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sin t ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤π3，5π6D.⎣⎡⎦⎤5π6，π答案 C解析因为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( ) A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称， ∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x .∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数．题型四三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象．所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y ＝－k在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调区间．解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π3，π2.变式训练4 (2013·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析当x ＝11π12时，f ⎝⎛⎭⎫11π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2×11π12－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x ≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12. (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值．规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分] 又∵f (x )过点⎝⎛⎭⎫π6，12，∴12＝12cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3. [5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3.[7分] 将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14. [12分]评分细则 (1)将点⎝⎛⎭⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分．阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (2013·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 ( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34 B.34 C.43 D ．－43答案 D解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4．设函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x ) ( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎡⎦⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤2π3，7π6上是增函数，选B. 5．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4B.π3C.π2D.3π4答案 A解析由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π， ∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝±1，∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1．已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2．设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A.3．函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4时的值域为( )A ．[－1,0] B.⎣⎡⎦⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4．设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于 ( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5．将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为 ( )A.π8B.38πC.34πD.π2答案 B解析依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝⎛⎭⎫π4＝±4，得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (2012·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6D ．9答案 C解析由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9．函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ) 得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同， ∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)．答案 ①③解析由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin 0＝0，故③对；y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故④错．故填①③. 三、解答题13．(2013·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2. (1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1.。

【步步高通用(理)】高三《考前三个月》专题复习篇【配套】专题七第二讲PPT课件

答案 2
题型与方法
专题七第二讲
本讲栏目开
题型一抽样方法
例1 (1)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，
为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的
58.79 kg
真题感悟
专题七第二讲
本讲栏目开
解析由于线性回归方程中 x 的系数为 0.85，因此 y 与 x 具有正的线性相关关系，故 A 正确.
又线性回归方程必过样本点中心( x ， y )，因此 B 正确. 由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加 1 cm，其体重约增加 0.85 kg，故 C 正确. 当某女生的身高为 170 cm 时，其体重估计值是 58.79 kg，而不是具体值，因此 D 不正确. 答案 D
x2i －n x 2
i＝1
(2)相关系数 r＞0，表明两个变量正相关；r＜0，表明两个变量负相关； |r|越接近于 1，表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于 0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系；|r|＞0.75 时，认为两变量有很强的线性相关关系.
考点整合
专题七第二讲
本讲栏目开
人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的
人数为
()
A.7
B.9
C.10
D.15
题型与方法
专题七第二讲
本讲栏目开
(2)某学校高一、高二、高三三个年级共有学生 3 500 人，其中
高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多
300 人，现在按1010的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则

【步步高通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套课件】专题二第三讲

题型与方法
第三讲
解析
函数 f(x)＝2x－2 是把函数 y＝2x 的图象向下平移两个单
位得到的图象，
由 2x－2<0 得 x<1，即在(－∞，1)上，函数 f(x)＝2x－2 的图象位于 x 轴下方，根据指数函数图象的特点，不难看出把 x 轴下方的部分对称到 x 轴上方后得到函数 y＝|f(x)|的图象.故选 B.
第三讲
x<g x， x≥ g x，
则 f(x)的值域是
(
)
9 A.[－， 0]∪ (1，＋∞ ) 4 9 C.[－，＋∞ ) 4
B.[0，＋∞ ) 9 D.[－， 0]∪ (2，＋∞ ) 4
解析由 x<g(x)得 x<x2－2，∴x<－1 或 x>2；
由 x≥g(x)得 x≥x2－2，∴－1≤x≤2.
所以 a>0，
当 a<0 时，由 f(1－a)≥f(1＋a)得： 3 －1＋a－2a≥2＋2a＋a，解得 a≤－4， 3 综上可知，a 的取值范围为 a≤－或 a>0. 4
题型与方法
变式训练 1 设函数 g(x)＝ x2－ 2(x∈ R)，
g x＋ x＋ 4， f(x)＝ g x－ x，
5.(2013· 江苏)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时，f(x) ＝x2－4x，则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为 (－5,0)∪(5，＋∞) ____________________.
解析因此
由已知 f(0)＝0，当 x<0 时， f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，
真题感悟
第三讲
1.(2013· 江西)函数 y＝ xln(1－x)的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]

【步步高通用(理)】高三《考前三个月》专题复习篇【配套】专题五第二讲PPT课件

∴a⊥β.
4.异面直线所成的角
(1)定义.
(2)范围：θ∈(0，π2].
(3)求法：先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的
角，然后解含有这个角的三角形.若求得的角为钝角，则这个
角的补角才为所求的角.
考点整合
专题五第二讲
本讲栏目开
5.直线与平面所成的角 (1)定义. (2)范围：θ∈[0，π2]. (3)求法：先找到(或作出)过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解这个角所在的直角三角形可得.
考点整合
专题五第二讲
3.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理 ∵m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，
l⊥n，∴l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理 ∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b.
(3)面面垂直的判定定理 ∵a⊂β，a⊥α，∴α⊥β.
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(4)面面垂直的性质定理 ∵α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，ຫໍສະໝຸດ 真题感悟专题五第二讲
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1.(2013·安徽)在下列命题中，不是公理的是
(A )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上
所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只
考点整合
专题五第二讲
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(4)公理 4 ∵a∥c，b∥c，∴a∥b. (5)等角定理 ∵OA∥O1A1，OB∥O1B1， ∴∠AOB＝∠A1O1B1 或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°. 2.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理 ∵a⊄α，b⊂α，a∥b，∴a∥α. (2)线面平行的性质定理 ∵a∥α，a⊂β，α∩β＝b，∴a∥b. (3)面面平行的判定定理 ∵a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α， b∥α，∴α∥β. (4)面面平行的性质定理 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b.

【步步高通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套课件】专题二第一讲

思想解读
专题二第一讲
专题二
集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合与常用逻辑用语
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1.集合的概念、运算 (1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据 . (2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.
思想解读
真题感悟
解析
专题二第一讲
∵|CA|＋ |CB|≥ |AB|，当且仅当点 C 在线段 AB 上等号
成立，即三个点 A，B，C，
∴点 C 在线段 AB 上，
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∴点 C 是 A，B，C 的中位点，故①是真命题.
如图(1)，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，P 是 AB 的中点，CH⊥AB，点 P，H 不重合，则|PC|>|HC|.
(2)定义 A－ B＝{x|x∈A 且 x∉ B}，若 M＝{1,2,3,4,5}，N＝ {2,3,6}，则 N－ M 等于 A.M B.N C.{1,4,5}
题型与方法
专题二第一讲
审题破题 (1)先对集合 A、B 进行化简，注意 B 中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合 C 即可. (2)透彻理解 A－B 的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来.
)
1 C.(－∞， 0)∪ ，＋∞ 2
1 D.(－∞， 0)∪ ，＋∞ 2
题型与方法
审题破题
专题二第一讲
(1)利用逆否命题判别甲、乙的关系；(2)转化为两
个集合间的包含关系，利用数轴解决. 解析 (1)“甲⇒乙”，即“x≠2 或 y≠3”⇒“x＋y≠5”，其
逆否命题为：“x＋y＝5”⇒“x＝2 且 y＝3”显然不正确.同

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{2,3,6}，则 N－M 等于
()
A.M
B.N
C.{1,4,5} D.{6}
题型与方法
专题二第一讲
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审题破题 (1)先对集合 A、B 进行化简，注意 B 中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合 C 即可. (2)透彻理解 A－B 的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来. 解析 (1)由 x2－3x＋2＝0 得 x＝1 或 x＝2，∴A＝{1,2}. 由题意知 B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的 C 可为{1,2}，{1,2,3}， {1,2,4}，{1,2,3,4}. (2)N－M＝{x|x∈N 且 x∉M}. ∵2∈N 且 2∈M，∴2∉N－M； 3∈N 且 3∈M，∴3∉N－M； 6∈N 且 6∉M，∴6∈N－M. ∴故 N－M＝{6}.
答案 C
真题感悟
专题二第一讲
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5.(2013·四川)设 P1，P2，…，Pn 为平面 α 内的 n 个点，在平面 α 内的所有点中，若点 P 到点 P1，P2，…，Pn 的距离之和最小，则称点 P 为点 P1，P2，…，Pn 的一个“中位点”. 例如，线段 AB 上的任意点都是端点 A、B 的中位点.现有下列命题： ①若三个点 A，B，C 共线，C 在线段 AB 上，则 C 是 A，B， C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点 A，B，C，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号)
真题感悟
专题二第一讲
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2.(2013·北京)“φ＝π”是“曲线 y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”
的
(A )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析当 φ＝π 时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin 2x 过原点.当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有 φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线 y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件.
真题感悟
专题二第一讲
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对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据 1,3,5 和 3,3,3 的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；
对于命题③，圆 x2＋y2＝12的圆心(0,0)到直线 x＋y＋1＝0 的距
离
d＝
1＝ 2
22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确.
AB BA A＝B
p是q q⇒p)
的既不充分也不必要条件(p⇒q，
A 与 B 互不包含
真题感悟
专题二第一讲
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1.(2013·辽宁)已知集合 A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则
A∩B 等于
(D )
A.(0,1)
B.(0,2]
C.(1,2)
D.(1,2]
解析 A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}.
真题感悟
专题二第一讲
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3.(2013·四川)设 x∈Z，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集.若
命题 p：∀x∈A,2x∈B，则Fra bibliotek(D )
A.綈 p：∀x∈A,2x∈B
B.綈 p：∀x∉A,2x∉B
C.綈 p：∃x∉A,2x∈B
D.綈 p：∃x∈A,2x∉B
解析命题 p：∀x∈A,2x∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈 p 应为∃x∈A,2x∉B，选 D.
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如图(3)，由①可知，若点 P 是点 A，C 的中位点，则点 P 在线段 AC 上，若点 P 是点 B，D 的中位点，则点 P 在线段 BD 上，∴若点 P 是点 A，B，C，D 的中位点，则 P 是 AC，BD 的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题.
∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，綈 p(x).
思想解读
专题二第一讲
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3.充要条件
设集合 A＝{x|x 满足条件 p}，B＝{x|x 满足条件 q}，则有
从逻辑观点看
从集合观点看
p 是 q 的充分不必要条件(p⇒q，q⇒p) p 是 q 的必要不充分条件(q⇒p，p⇒q)
p 是 q 的充要条件(p⇔q)
专题二第一讲
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(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形. (4)重要结论：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A. 2.命题 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)含有量词的命题的否定： ∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，綈 p(x)；
思想解读
专题二第一讲
专题二集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数
第一讲集合与常用逻辑用语
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1.集合的概念、运算 (1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据. (2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.
思想解读
答案 ①④
题型与方法
专题二第一讲
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题型一集合的概念与运算问题
例 1 (1)(2012·湖北)已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B
＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件 A⊆C⊆B 的集合 C 的个数
为
()
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)定义 A－B＝{x|x∈A 且 x∉B}，若 M＝{1,2,3,4,5}，N＝
∴点 P 不是点 A，B，C 的中位点，故②是假命题.
真题感悟
专题二第一讲
如图(2)，A，B，C，D 是数轴上的四个点，若 P 点在线段 BC 上，则|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AD|＋|BC|，由中位点的定义及①可知，点 P 是点 A，B，C，D 的中位点.显然点 P 有无数个，故③是假命题.
真题感悟
专题二第一讲
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4.(2013·天津)已知下列三个命题： ①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线 x＋y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝12相切.
其中真命题的序号是
()
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
解析对于命题①，设球的半径为 R，则43πR23＝18·43πR3，故体积缩小到原来的18，命题正确；
真题感悟
专题二第一讲
本讲栏目开
解析 ∵|CA|＋|CB|≥|AB|，当且仅当点 C 在线段 AB 上等号成立，即三个点 A，B，C， ∴点 C 在线段 AB 上， ∴点 C 是 A，B，C 的中位点，故①是真命题. 如图(1)，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，P 是 AB 的中点，CH⊥AB，点 P，H 不重合，则|PC|>|HC|. 又|HA|＋|HB|＝|PA|＋|PB|＝|AB|， ∴|HA|＋|HB|＋|HC|<|PA|＋|PB|＋|PC|，

【步步高通用(理)】高三《考前三个月》专题复习篇【配套】专题二第一讲PPT课件

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