高中数学第3章直线与方程31直线的倾斜角与斜率312两条直线平行与垂直的判定教材梳理素材新人教A版必修2
2019高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率第2课时两条直线平行与垂直的判定讲义含解析新人教A版
第课时两条直线平行与垂直的判定[核心必知]．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材～，回答下列问题：()观察教材图－，设对于两条不重合的直线与，其倾斜角分别为α与α，斜率分别为、，若∥，α与α之间有什么关系？与之间有什么关系？α之间的关系为与α提示：α＝α≠°＝时，＝，因为α；对于与之间的关系，当ααα，所以＝＝，即＝αα时，、不存在．＝.α°当α＝()观察教材图－，设直线与的倾斜角分别为α与α，斜率分别为、，且α<α，若⊥，α与α之间有什么关系？为什么？＝αα提示：°任意一外角等于不相邻两内角之和．，因为三角形＋．归纳总结，核心必记()两直线平行的判定①对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有＝.∥⇔②若直线和可能重合时，我们得到＝∥⇔或与重合．若直线和的斜率都不存在，且不重合时，得到③.∥()两直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于①－；反之，如果，即它们的斜率之积等于－，那么它们垂直⊥⇔.＝－②若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为时，它们互相垂直．[问题思考]()若两条直线平行，斜率一定相等吗？提示：不一定，垂直于轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．()若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为－吗？提示：不一定，如果两条直线，中的一条与轴平行(或重合)，另一条与轴垂直(也即与轴平行或重合)，即两条直线中一条的倾斜角为°，另一条的倾斜角为°，从而一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．()怎样判定两条直线平行？；()怎样判断两条直线垂直？.[思考] 对两直线平行与斜率的关系要注意哪几点？名师指津：对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点：()∥⇔＝成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合．()当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是°，则∥.()两条不重合直线平行的判定的一般结论是：∥⇔＝或，斜率都不存在．讲一讲．根据下列给定的条件，判断直线与直线的位置关系．()经过点()，(－)，经过点(，－)，(，－)；()的倾斜角为°，经过点()，(－，－)．[尝试解答] ()由题意知＝＝－，＝＝－.因为＝，且，，，四点不共线，所以∥.()由题意知＝°＝，＝＝.因为＝，所以∥或与重合．判断两条直线是否平行的步骤练一练．试确定的值，使过点(＋)，(－，)的直线与过点(－)，()的直线平行．解：由题意直线的斜率存在，则与其平行的直线的斜率也存在．＝＝，＝＝，由于∥，所以＝，即＝，得＝－.经验证＝－时直线的斜率存在，所以＝－.名师指津：对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点：()⊥⇔·＝－成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②≠且≠.()两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．()判定两条直线垂直的一般结论为：⊥⇔·＝－或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．讲一讲．已知直线经过点(，)，(－，－)，直线经过点()，(－，－)，如果⊥，求的值．[尝试解答] 设直线，的斜率分别为，.∵直线经过点()，(－，－)，且≠－，∴的斜率存在．当＝时，－＝，则＝，此时不存在，符合题意．当≠时，即≠，此时≠，由·＝－，得·＝－，解得＝－.综上可知，的值为或－.()一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．()二代：就是将点的坐标代入斜率公式．()三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．练一练．已知定点(－)，()，以、为直径作圆，与轴有交点，则交点的坐标是．解析：以线段为直径的圆与轴的交点为，则⊥.设()，则＝，＝，所以·＝－，得＝或，所以()或()．答案：()或()讲一讲．已知(－)，()，()，(－)四点，若顺次连接，，，四点，试判定图形的形状．(链接教材—例) [思路点拨] 画出图形，通过求四条边所在直线的斜率，分析它们之间的关系判断图形形状．[尝试解答] 由题意知，，，四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得＝＝，＝＝，＝＝－，＝＝－.所以＝，由图可知与不重合，所以∥.由≠，所以与不平行．又因为·＝×(－)＝－，所以⊥，故四边形为直角梯形．利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤练一练．已知()，(－)，()，求点的坐标，使四边形为直角梯形(，，，按逆时针方向排列)．解：设所求点的坐标为(，)，如图，由于＝，＝，∴·＝≠－，即与不垂直，故，都不可作为直角梯形的直角腰．若是直角梯形的直角腰，则⊥，⊥.∵＝，＝，由于⊥，∴·＝－.①又∥，∴＝.②解①②两式可得(\\(＝()，＝().))此时与不平行．若为直角梯形的直角腰，则⊥，且∥.∵＝，∴的斜率不存在．故＝，又∥，则＝.故点坐标为()．综上可知，使四边形为直角梯形的点的坐标可以为()或.——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．．本节课要重点掌握的规律方法()判断两条直线平行的步骤，见讲.()利用斜率公式判断两条直线垂直的方法，见讲.()判断图形形状的方法步骤，见讲.．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论，如讲.课下能力提升(十六)[学业水平达标练]题组两条直线平行的判定及应用．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α、α，斜率分别为、，有下列命题：①若∥，则斜率＝；②若＝，则∥；③若∥，则倾斜角α＝α；④若α＝α，则∥.其中真命题的个数是( )．个．个．个．个解析：选①错，两直线不一定有斜率．．已知过(－，)和()的直线与斜率为－的直线平行，则的值是( )．－．．．解析：选由题意可知，＝＝－，所以＝－.．过点()和点(－)的直线与直线＝的位置关系为．解析：∵直线＝的斜率为＝，过()，(－)的直线的斜率＝＝, ∴两条直线平行．答案：平行．已知△中，()、(，－)，、分别为、的中点，则直线的斜率为．解析：∵、分别为、的中点，∴∥.∴＝＝＝－.答案：－题组两条直线垂直的判定及应用．(·淄博高一检测)直线，的斜率是方程－－＝的两根，则与的位置关系是( )．平行．重合．相交但不垂直．垂直解析：选设，的斜率分别为，，则·＝－.．若不同两点、的坐标分别为(，)，(－－)，则线段的垂直平分线的斜率为．解析：由两点的斜率公式可得：＝＝，所以线段的垂直平分线的斜率为－.答案：－．已知直线⊥，若直线的倾斜角为°，则直线的斜率为．解析：由题意可知直线的斜率＝°＝，设直线的斜率为，则·＝－，∴＝－.答案：－题组两条直线平行与垂直的综合应用．以(－)，(，－)，()为顶点的三角形是( )．锐角三角形．钝角三角形．以点为直角顶点的直角三角形．以点为直角顶点的直角三角形解析：选＝＝－，＝＝，∵·＝－，∴⊥，∴△是以点为直角顶点的直角三角形．．已知直线经过点(，)，(－)，直线经过点()，(－，＋)．()若∥，求的值．()若⊥，求的值．解：设直线的斜率为，则＝＝－.()若∥，则直线的斜率为＝，所以＝－，解得＝或＝，经检验当＝或＝时，∥. ()若⊥，①当＝时，此时＝，＝－，不符合题意；②当≠时，的斜率存在，＝，由·＝－得到×＝－，解得＝或＝－.．已知()，()，()，点满足⊥，且∥，试求点的坐标．解：设(，)，则＝＝，＝＝－，＝，＝.因为⊥，∥，所以·＝－，＝，即(\\(×(－)＝－，,(－)＝－().))解得(\\(＝，＝－.))即(，－)．[能力提升综合练]．下列说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若∥，则＝；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．．个．个．个．个解析：选若＝，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．．已知点(－，－)，()，点在轴上，且∠＝°，则点的坐标为( )．(，－) ．()．(，－)或() ．(－)或()解析：选由题意可设点的坐标为(，)．因为∠＝°，所以⊥，且直线与直线的斜率都存在．又＝，＝，·＝－，即·＝－，解得＝－或＝.所以点的坐标为(，－)或()．．(·邯郸高一检测)若点(，)与(－，＋)关于直线对称，则的倾斜角为( )．° ．° ．° ．°解析：选＝＝－，·＝－，∴的斜率为，倾斜角为°.．已知点()，(－)，()，()，则以，，，为顶点的四边形是( )．梯形．平行四边形．菱形．矩形解析：选如图所示，易知＝－，＝，＝－，＝＝－，＝，所以＝，＝，·＝，·＝－，故∥，∥，与不垂直，与不垂直．所以四边形为平行四边形．．若(－)，(，－)，()，()，给出下面四个结论：①∥；②⊥；③∥；④⊥.其中正确的是．(把正确选项的序号填在横线上)解析：∵＝－，＝－，＝，＝－，∴∥，⊥.答案：①④．过点()，(－)，过点()，()，且∥，则＝.解析：∵∥，且＝＝－，∴＝＝－，∴＝.答案：．直线经过点()，(－)，直线经过点(，)，(－，＋)，当∥或⊥时，分别求实数的值．解：当∥时，由于直线的斜率存在，则直线的斜率也存在，则＝，即＝，解得＝；当⊥时，由于直线的斜率存在且不为，则直线的斜率也存在，则·＝－，即·＝－，解得＝－.综上，当∥时，的值为；当⊥时，的值为－.．已知△三个顶点坐标分别为(－，－)，()，()，求此三角形三边的高所在直线的斜率．解：由斜率公式可得＝＝，＝＝，＝＝.由＝知直线∥轴，∴边上的高线与轴垂直，其斜率不存在．设、边上高线的斜率分别为、，由·＝－，·＝－，即·＝－，·＝－，解得＝－，＝－.∴边上的高所在直线的斜率不存在；边上的高所在直线的斜率为－；边上的高所在直线的斜率为－.。
高中数学第三章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件新人教A版必修
2 1
2
所以(m-1)×(- 1 )=-1,所以 m=3. 2
(3)若∠C=90°,则 CA⊥CB,kCA·kCB=-1,
kCA= m 1 =- m 1 ,kCB= m 1 =m-1,
25 3
2 1
kCA·kCB=-1,
所以(- m 1 )×(m-1)=-1, 3
所以 m2=4,所以 m=±2. 综上所述,m=-2 ,2,-7,3.
2.已知在▱ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4). (1)求点D的坐标; (2)试判定▱ABCD是否为菱形?
解:(1)设 D(a,b),因为四边形 ABCD 为平行四边形,
所以
kAB=kCD,kA D=kBC,所以
0 2 5 1 b 2
b a 4
4 3 0
, ,
解得
a b
即时训练3-1:(2018·衡水高一期末)已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0),求点D的坐标, 使直线CD⊥AB,且CB∥AD.
解:设点 D 的坐标为(x,y),由已知得,直线 AB 的斜率 kAB=3,
直线 CD 的斜率 kCD= y ,直线 CB 的斜率 kCB=-2,直线 AD 的斜率 kAD= y 1 .
所以l1∥l2.
方法技巧
判断两条直线平行,应首先看两条直线的斜率是否存在,即先看两点 的横坐标是否相等,对于横坐标相等是特殊情况,应特殊判断.在证明 两条直线平行时,要区分平行与重合,必须强调不共线才能确定平行. 因为斜率相等也可以推出两条直线重合.
即时训练1-1:在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.
即时训练2-1:判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直: (1)l1经过点A(-1,-2),B(1,2),l2经过点M(-2,-1),N(2,1); (2)l1的斜率为-10,l2经过点A(10,2),B(20,3);
高一数学 人教A版必修2 第三章 3.1.1、2直线的倾斜角与斜率、两条直线平行与垂直的判定 课件
[归纳升华] 1．根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，则直线向上的 方向与 x 轴的正方向所成的角，即为直线的倾斜角． 2．直线的斜率 k 随倾斜角 α 增大时的变化情况： ①当 0°≤α＜90°时，随 α 的增大，k 在[0，＋∞)范围内增大； ②当 90°＜α＜180°时，随 α 的增大，k 在(－∞，0)范围内增大.
[特别提醒] 在[0°，180°)范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角 α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率 k
0
3 3
1
3
－ 3 －1
－
3 3
3．过点 P(0，－2)的直线 l 与以 A(1,1)、B(－2,3)为端点的线段有公共点，
则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )
D．60°或 120°
(2)直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k，则当 k＝________时，α＝60°；当 k＝
________时，α＝135°；当 k＞0 时，α 的范围是____________；当 k＜0 时，α
的范围是________．
解析： (1)如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为 60°或 120°，故选 D.
[归纳升华] 求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法 (1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等， 其斜率不存在；若不相等，可用公式来求． (2)α＝0°⇔k＝0；0°<α<90°⇔k>0；90°<α<180°⇔k<0；α＝90°⇔斜率不存 在；若求 α 的具体值，可用公式 k＝tan α 求解.
高一数学下册第三单元直线的倾斜角与斜率知识点
高一数学下册第三单元直线的倾斜角与斜率知
识点
数学在科学开展和现代生活消费中的应用非常广泛，以下是查字典数学网为大家整理的高一数学下册第三单元直
线的倾斜角与斜率知识点，希望能帮助大家学习。
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定= 0.
2、倾斜角的取值范围： 0180. 当直线l与x轴垂直时, = 90.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tan
⑴当直线l与x轴平行或重合时, =0, k = tan0
⑵当直线l与x轴垂直时, = 90, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，假设它们平行，那么它们的斜率相等;反之，假设它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提
下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即假设k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，假设它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，假设它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直。
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高中数学 第3章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定教材梳理素材 新人教A
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定疱丁巧解牛知识·巧学一、两直线平行的判定1.如果两条直线的倾斜角都是90°，即斜率均不存在，那么这两条直线平行.2.如果两条直线的倾斜角都不是90°，即斜率均存在，那么有l 1∥l 2⇔k 1=k 2.3.在判断两条直线是否平行时，首先判断两条直线的斜率是否存在，若存在且相等,则二者平行；若二者斜率均不存在，仍然平行.误区警示 这里所说的“两条直线”是指不重合的两条直线.以后若不加特殊说明，教材中“两条直线”均指不重合的两条直线.若直线l 1、l 2可能重合时，我们得到k 1=k 2⇔⎩⎨⎧.,//2121重合与或l l l l 用上述的结论可以证明三点共线问题. 二、两直线垂直的判定1.如果两条直线l 1、l 2中的一条与x 轴平行(或重合)，另一条与x 轴垂直(也即与y 轴平行或重合)，即两条直线一条的倾斜角为0°，另一条的倾斜角为90°，从而一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，那么这两条直线互相垂直.2.如果两条直线l 1、l 2的斜率都存在，且其中一个不为0，那么l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.方法归纳 在判断两条直线是否互相垂直时，如果两条直线的斜率都存在且不为0，则由乘积是否为-1来判断是否垂直；如果一条直线的斜率不存在，另一条的斜率为0，则二者仍垂直.问题·探究问题1 三条直线两两相交，它们能否构成三角形？探究:不一定，当三条直线交于同一点时，它们就不能构成三角形.问题2 如何由两个二元一次方程的系数判断所表示的直线的平行、垂直、相交、重合？ 探究:设l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，记D 1=A 1B 2-A 2B 1，D 2=B 1C 2-C 1B 2，D 3=A 1A 2-B 1B 2.当D 1≠0时，l 1与l 2相交；当D 1=0,D 2≠0时，l 1与l 2平行；当D 1=D 2=0时，l 1与l 2重合；当D 3=0时，l 1与l 2垂直.问题3 木工为了锯木板，需在木板上弹出墨线.第一次弹出了一条线，记为l 1，为防第一次弹线不清晰，第二次在原位置重弹一次，得直线l 2；若平行移开，弹第三次线，记为l 3；若换成与l 2垂直方向弹线，得直线l 4，问l 1与l 2、l 3、l 4的关系如何？探究:由题意容易分析判断，l 1与l 2重合，而平行移开弹线，所以l 1与l 3平行，l 4与l 2垂直，所以l 1与l 4垂直.典题·热题例1 直线l 1：2x+my+4=0与直线l 2：(m+1)x+3y-2=0平行，则实数m 的值为( )A.2B.-3C.2或-3D.-2或-3 思路解析：(方法一)当m=0时，直线l 1的斜率不存在，而l 2的斜率存在，所以l 1与l 2不平行；当m≠0时，若l 1∥l 2，则有312+=m m ，解得m=2或m=-3.经验证，当m=2或m=-3时，两条直线平行.故应选C.(方法二)利用反代法.将m=2代入方程可得两直线平行;将m=-3代入方程也可得两直线平行.所以应选C.答案:C误区警示 在求解此类问题时，一定要注意当两直线斜率都不存在时，也有可能平行.例2 如图3-1-2所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O(0，0)、P(1，t)、Q(1-2t ，2+t)、R(-2t ，2)，其中t ＞0.试判断四边形OPQR 的形状.图3-1-2思路解析：判断四边形的形状，首先看每对边的关系，再看邻边的关系，判断平行只需研究其斜率之间的关系即可.公式可得:k OP =t t =--.010，k QR =t t t t t =--=---+-1)21(2)2(2， k OR =t t 10202-=---，k PQ =tt t t t 1221212-=-=-+-+. ∴k OP =k QR ，k OR =k PQ .从而OP∥QR，OR∥PQ.∴四边形OPQR 为平行四边形.又k OP ·k OR =-1，∴OP⊥OR.故四边形OPQR 为矩形.方法归纳 判断两直线平行的方法，重点是利用过两点的直线的斜率公式，求出相关直线的斜率，通过观察找出其中斜率相等的直线，从而确定两直线平行.例3 绕倾斜角为30°的直线l 上一点P(2，1)按逆时针方向旋转30°得到直线l 1，且l 1与线段AB 的垂直平分线互相平行，其中A(1，m-1)、B(m ，2)，求m 的值.思路解析：由题意，需求出直线AB 的斜率，而AB 的斜率与直线l 1的斜率互为负倒数，直线l 1的倾斜角可求，从而斜率也可求.如图3-1-3，直线l 1的倾斜角为30°+30°=60°，所以l 1的斜率k 1=tan60°=3.图3-1-3又直线AB 的斜率为mm m m --=---13121，所以AB 的垂直平分线的斜率为3131--=---m m m m .因为l 1与AB 的垂直平分线平行，所以313--=m m .解得m=34+. 深化升华 对于已知直线上给出的两点中含有参数时，通常可以利用斜率公式来求解，这就需要求得直线的斜率.而当题目提供了相关直线的平行与垂直关系时，可利用两直线的特殊位置下斜率的关系直接求解.。
高中数学 312 两条直线平行与垂直的判定课件 新人教A版必修2
A．－12
B．－2
C．2
1 D.2
[答案] D
[解析] ∵l1⊥l2，∴(－2)×(12)＝－1，故选D.
3．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－12，则l1与
l2( ) A．平行
B．垂直
C．重合
D．异面
[答案] B [解析] k1＝2，k2＝－12→k1·k2＝－1→l1⊥l2
4．直线l1的斜率为k1＝－3，直线l解析] ∵l1⊥l2，∴l2的斜率为－12 ∴7x－－35＝－y－1－53＝－12，解得x＝－1，y＝7.
7．判断下列各对直线平行还是垂直： (1)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)； (2)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)， N(0，－2)； (3)l1经过点A(1,3)，B(1，－4)，l2经过点M(2,1)，N(2,3)； (4)l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)．
已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)， B(1,0)，C(3,2)，则第四个顶点D的坐标为________．
[答案] (2,3)
[分析] 由长方形的性质知AD⊥CD，AD∥BC，则有
kAD·kCD＝－1，kAD＝kBC，解方程组即可．
[解析] 设第四个顶点D的坐标为(x，y)，
第三章
直线与方程
第三章
3．1 直线的倾斜角与斜率
第三章
3．1.2 两条直线平行与垂直的判定
课前自主预习 思路方法技巧 名师辨误做答
课堂基础巩固 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 1．直线的倾斜角与斜率． 当直线倾斜角α≠90°时，斜率k＝ tanα .当直线倾斜角α＝90° 时，斜率k 不存在 ． 直线倾斜角的范围是 0°≤α<180°，直线斜率的取值范围是 k∈R .
高中数学直线与方程31直线的倾斜角与斜率312两条直线平行与垂直的判定
判断两条直线是否平行的步骤：
1．根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直线 l2 是否平行． (1)l1 经过点 A(2,1)，B(－3,5)，l2 经过点 C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1 经过点 E(0,1)，F(－2，－1)，l2 经过点 G(3,4)，H(2,3)； (3)l1 的倾斜角为 60°，l2 经过点 M(1， 3)，N(－2，－2 3)； (4)l1 平行于 y 轴，l2 经过点 P(0，－2)，Q(0,5)．
[双基自测]
1．下列说法正确的有( )
①若不重合的两直线斜率相等，则它们平行；
②若 l1∥l2，则 k1＝k2； ③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0，则两
直线垂直；
④若 l1 与 l2 的斜率都不存在，则 l1∥l2.
A．1 个 B．2 个
C．3 个
答案：B
D．4 个
2．已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，则直线 AB 与直线 CD( )
的垂直平分线的斜率为－1. 答案：－1
3．已知△ABC 的顶点坐标分别为 A(1,2)，B(－1,1)，C(0,2)，求 BC 边 上的高所在直线的斜率与倾斜角． 解析：设 BC 边上的高所在直线的斜率为 k， 则有 k·kBC＝－1. ∵kBC＝0－2－－11＝1，∴k＝－1. ∴BC 边上的高所在直线的倾斜角为 135°.
两条直线垂直的判定条件： (1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直； (2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为 0，那么这两条直线也垂直．
2．若不同两点 P，Q 的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段 PQ 的
高中数学第三章直线与方程311倾斜角与斜率312两条直线平行与垂直的判定刷题课件新人教A版必修2
15．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k
满足( A ) A．k≥ 3 或k≤－4
4
B．k≥3/4或k≤ Leabharlann 1 43 C．－4≤k≤ 4
3 D. 4 ≤k≤4
解析
如图所示，过点P作直线PC⊥x轴交线段AB于点C，作出直线PA，PB.
①直线l与线段AB的交点在线段AC(除去点C)上时，
14．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，如果
l1⊥l2，则a＝_____-_6_或__5___.
解析 当k2＝0时，由两直线垂直知直线l12≠0时，由k1·k2＝－1，得a＝－6.故a的值为－6或5.
3.1.1+3.1.2
刷易错
易错点 直线斜率与倾斜角关系理解不准确致误
3.1.1+3.1.2
刷基础
题型1 直线的倾斜角与斜率
1．下列说法正确的是( D ) A．一条直线和x轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角 B．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角 C．和x轴平行的直线，它的倾斜角为180° D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
解析 对于A，一条直线向上方向和x轴正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角，A错误； 对于B，直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，B错误； 对于C，和x轴平行的直线，它的倾斜角为0°，C错误； 对于D，每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率，如α＝90°时，斜率不存 在，D正确． 故选D.
3.1.1+3.1.2
题型1 直线的倾斜角与斜率
D
刷基础
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3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
疱丁巧解牛
知识·巧学
一、两直线平行的判定
1.如果两条直线的倾斜角都是90°，即斜率均不存在，那么这两条直线平行.
2.如果两条直线的倾斜角都不是90°，即斜率均存在，那么有l 1∥l 2⇔k 1=k 2.
3.在判断两条直线是否平行时，首先判断两条直线的斜率是否存在，若存在且相等,则二者平行；若二者斜率均不存在，仍然平行.
误区警示 这里所说的“两条直线”是指不重合的两条直线.以后若不加特殊说明，教材中“两条直线”均指不重合的两条直线.若直线l 1、l 2可能重合时，我们得到
k 1=k 2⇔⎩⎨⎧.,//2
121重合与或l l l l 用上述的结论可以证明三点共线问题. 二、两直线垂直的判定
1.如果两条直线l 1、l 2中的一条与x 轴平行(或重合)，另一条与x 轴垂直(也即与y 轴平行或重合)，即两条直线一条的倾斜角为0°，另一条的倾斜角为90°，从而一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，那么这两条直线互相垂直.
2.如果两条直线l 1、l 2的斜率都存在，且其中一个不为0，那么l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.
方法归纳 在判断两条直线是否互相垂直时，如果两条直线的斜率都存在且不为0，则由乘积是否为-1来判断是否垂直；如果一条直线的斜率不存在，另一条的斜率为0，则二者仍垂直.
问题·探究
问题1 三条直线两两相交，它们能否构成三角形？
探究:不一定，当三条直线交于同一点时，它们就不能构成三角形.
问题2 如何由两个二元一次方程的系数判断所表示的直线的平行、垂直、相交、重合？ 探究:设l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，记D 1=A 1B 2-A 2B 1，D 2=B 1C 2-C 1B 2，D 3=A 1A 2-B 1B 2.当D 1≠0时，l 1与l 2相交；当D 1=0,D 2≠0时，l 1与l 2平行；当D 1=D 2=0时，l 1与l 2重合；当D 3=0时，l 1与l 2垂直.
问题3 木工为了锯木板，需在木板上弹出墨线.第一次弹出了一条线，记为l 1，为防第一次弹线不清晰，第二次在原位置重弹一次，得直线l 2；若平行移开，弹第三次线，记为l 3；若换成与l 2垂直方向弹线，得直线l 4，问l 1与l 2、l 3、l 4的关系如何？
探究:由题意容易分析判断，l 1与l 2重合，而平行移开弹线，所以l 1与l 3平行，l 4与l 2垂直，所以l 1与l 4垂直.
典题·热题
例1 直线l 1：2x+my+4=0与直线l 2：(m+1)x+3y-2=0平行，则实数m 的值为( )
A.2
B.-3
C.2或-3
D.-2或-3 思路解析：(方法一)当m=0时，直线l 1的斜率不存在，而l 2的斜率存在，所以l 1与l 2不平行；
当m≠0时，若l 1∥l 2，则有3
12+=m m ，解得m=2或m=-3.经验证，当m=2或m=-3时，两条直线平行.故应选C.
(方法二)利用反代法.将m=2代入方程可得两直线平行;将m=-3代入方程也可得两直线平行.所以应选C.
答案:C
误区警示 在求解此类问题时，一定要注意当两直线斜率都不存在时，也有可能平行.
例2 如图3-1-2所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O(0，0)、P(1，t)、Q(1-2t ，2+t)、R(-2t ，2)，其中t ＞0.
试判断四边形OPQR 的形状.
图3-1-2
思路解析：判断四边形的形状，首先看每对边的关系，再看邻边的关系，判断平行只需研究其斜率之间的关系即可.公式可得:
k OP =t t =--.010，k QR =t t t t t =--=---+-1
)21(2)2(2， k OR =t t 10202-=---，k PQ =t
t t t t 1221212-=-=-+-+. ∴k OP =k QR ，k OR =k PQ .
从而OP∥QR ，OR∥PQ.
∴四边形OPQR 为平行四边形.
又k OP ·k OR =-1，
∴OP⊥OR.故四边形OPQR 为矩形.
方法归纳 判断两直线平行的方法，重点是利用过两点的直线的斜率公式，求出相关直线的斜率，通过观察找出其中斜率相等的直线，从而确定两直线平行.
例3 绕倾斜角为30°的直线l 上一点P(2，1)按逆时针方向旋转30°得到直线l 1，且l 1与线段AB 的垂直平分线互相平行，其中A(1，m-1)、B(m ，2)，求m 的值.
思路解析：由题意，需求出直线AB 的斜率，而AB 的斜率与直线l 1的斜率互为负倒数，直线l 1的倾斜角可求，从而斜率也可求.
如图3-1-3，直线l 1的倾斜角为30°+30°=60°，所以l 1的斜率k 1=tan60°=3.
图3-1-3
又直线AB 的斜率为m
m m m --=---13121，所以AB 的垂直平分线的斜率为3131--=---m m m m .因为l 1与AB 的垂直平分线平行，所以3
13--=m m .解得m=34+. 深化升华 对于已知直线上给出的两点中含有参数时，通常可以利用斜率公式来求解，这就
需要求得直线的斜率.而当题目提供了相关直线的平行与垂直关系时，可利用两直线的特殊位置下斜率的关系直接求解.。