河南省郑州市2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 理(含解析)
A．
B．
C．
D．
11．（5分）口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个
球，定义数列{an}：
，如果Sn为数列{an}的前n项之和
，那么S7=3的概率为（）
A．
B．
C． D．
12．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x 的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）
B．
0.32
C．0.84 D． 0.64
3．（5分）用反证法证明命题“自然数a，b，c，中恰有一个偶数”时，需假设 （） A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数 C．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数 D．a，b，c至少有两个偶数
4．（5分）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5） +f′（5）=（）
21．（12分）当n∈N*时，
，Tn= + + +…
+．
（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2； （Ⅱ）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．
22．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2． （Ⅰ）求h（x）=f（x）﹣3x的极值； （Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围； （Ⅲ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣k，k∈R，若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜ m＜n），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线能否平行 于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．
9．（5分）某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要
求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）
A．14
B．
24 C．
28 D． 48
考点：排列、组合的实际应用．
专题：计算题；转化思想．
分析：
法一：用直接法，4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，计
算各种情况下的选派方案种数，由加法原理，计算可得答案；
计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可 得到结论．
-9-
解答：
解：由题意， =
=5， =
=38+ ，
∵y关于x的线性回归方程为 =8.5x+7.5， 根据线性回归方程必过样本的中心， ∴38+ =8.5×5+7.5，
∴m=60． 故选：C． 点评：
本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中 心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．
解答：
解：联立方程
得到两曲线的交点（4，2），
因此曲线y= ，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：
S=
．故选C．
- 11 -
点评： 本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意
识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的 认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．
解答：
解：∵函数f（x）=
，
- 10 -
∴f′（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=
，当cosx= 时，f
′（x）取得最小值 ；当cosx=1时，f′（x）取得最大值2．
且f′（﹣x）=f′（x）．即f′（x）是既有最大值，又有最小值的偶函数． 故选C． 点评：
熟练掌握复合函数的导数、二次函数型的函数的最值、三角函数的单调性及 函数的奇偶性是解题的关键．
河南省郑州市20162017学年高二下学期期末数学试卷（理科）
一、选择题 1．（5分）已知i是虚数单位，则复数z= 在复平面内对应的点所在的象限为
（）
A．第一象限
B．
第四象限
第二象限
C．第三象限 D．
2．（5分）设X～N（500，602），P（X≤440）=0.16，则P（X≥560）=（）
A．0.16
考点：反证法． 专题：推理和证明． 分析：直接利用反证法的定义，写出结果即可． 解答：
解：用反证法证明命题“自然数a，b，c，中恰有一个偶数”时，需假设 ：a，b，c都是奇数或至少有两个偶数． 故选：C． 点评：本题考查反证法的定义，利用反证法证明命题的步骤，基本知识的考查．
4．（5分）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5） +f′（5）=（）
非重度污染
重度污染
合计 100
20．（12分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑 球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这 两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结 束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率； （Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．
法二：用排除法，首先计算从4男2女中选4人的选派方案种数，再计算4名都是男
生的选派方案种数，由排除法，计算可得答案．
解答：
解：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，
故不同的选派方案种数为C12•C34+C22•C24=2×4+1×6=14；
法二：从4男2女中选4人共有C46种选法，4名都是男生的选法有C44种， 故至少有1名女生的选派方案种数为C46﹣C44=15﹣1=14． 故选A． 点评：
8．（5分）函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（
）
A．1，﹣1
B．
1，﹣17
C．3，﹣17 D．
9，﹣19
考点：函数的最值及其几何意义．
专题：计算题．
分析：
求导，用导研究函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的单调性，利用
单调性求函数的最值．
解答：
解：f′（x）=3x2﹣3=0，x=±1，
-8-
A．
B．
1 C．
2 D． 0
考点：导数的运算．
专题：导数的概念及应用．
分析：
利用函数在切点处的导数值是切线的斜率求出f′（5），将切点坐标代入切
线方程求出f（5）．
解答：
解：f′（5）=﹣1
将x=5代入切线方程得f（5）=﹣5+8=3，
所以f（5）+f′（5）=3+（﹣1）=2，
故选：C
点评：本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率．
5．（5分）某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根 据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为 =8.5x+7.5，
则表中的m的值为（）
x
2
4
5
6
8
y
25
35
m
55
75
A．50
B．
55 C．
60 D． 65
考点：线性回归方程． 专题：应用题；概率与统计． 分析：
故函数f（x）=x3﹣3x+1[﹣3，﹣1]上是增函数，在[﹣1，0]上是减函数
又f（﹣3）=﹣17，f（0）=1，f（1）=﹣1，f（﹣1）=3．
故最大值、最小值分别为3，﹣17；
故选C．
- 12 -
点评： 本题考点是导数法求函数最值．此类解法的步骤是求导，确定极值点，研究
单调性，求出极值与区间端点的函数值，再比较各数的大小，选出最大值与最小 值．
，若z2+az+b=1+i，求实数a，b的值 -4-
18．（12分）已知
（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的
系数的比是10：1． （1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中含 的项．
19．（12分）某市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数
据，结果统计如下：
API
A．3
B．
4 C．
5 D． 6
二、填空题 -3-
13．（5分）
的展开式中x3的系数是．
14．（5分）设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布列如下：
ξ ﹣1 0
1
P 0.5
q2
则q=．
15．（5分）设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为 ，在事件A发生 的条件下，事件B发生的概率为 ，则事件A发生的概率为．
解：复数z= =
=
=
在复平面内对应的点
所在的象限为第四象限．
故选：D． 点评：本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题．
2．（5分）设X～N（500，602），P（X≤440）=0.16，则P（X≥560）=（）
A．0.16
B．
0.32
C．0.84 D． 0.64
考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 分析：利用正态分布的对称性即可得出．
[0，50] （50，100]
（100，150]
（150，200]
（200，250]
（250，300]
＞300
空气质量 优
良
轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染
重度污染
天数 4
13
18
30
9
11
15
记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为S（单位：元），空气质量指数API
为ω，在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造
16．（5分）设面积为S的平面四边形的第i条边的边长为ai（i=1，2，3，4），P 是该四边形内一点，点P到第i条边的距离记为
中学2016-2017学年高二下期末考试数学试卷含解析
2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。
【精选高中试题】河南省天一大联考高二下学期期末考试数学(理)Word版含答案
天一大联考2016—2017学年高二年级期末考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.在复平面内，复数21i z i-=+（i 为虚数单位）所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限2.设集合{}2|0,|411x A x B x x x -⎧⎫=≤=-≤≤⎨⎬+⎩⎭，则A B = A. []1,1- B. []4,2- C. (]1,1- D.()1,1-3.已知向量()3,2a =与向量(),3b x =相互垂直，则x =A. -2B. -1C. 1D. 24.某几何体是三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 40B. 30C.20D. 105.执行如图所示的程序框图，则输出S 的等于A. 2450B. 2500C.2550D.26506.如果实数,x y 满足260303x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值为A. -6B. 3C. 6D. 2127.已知三个学生A,B,C 能独立解出一道数学题的概率分别为0.6,0.5,0.4，现让这三个学生各自独立解这道数学题，则该题被解出的概率为A.0.88B.0.90C. 0.92D.0.958.已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足11a =，且243,,a a a 成等差数列，则63S S = A. 78 B. 78- C. 98 D. 98- 9.已知甲、乙、丙、丁、戊五个人在图中矩形的四个顶点及中心，要求甲乙必须站在同一条对角线上，且丙不站在中心，则不同的站法有A. 16种B. 48种C.64种D.84种 10.已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再把所得的图象向右平移ϕ个单位长度，得到偶函数()y g x =的图象，则ϕ的值可能是A. 8π B. 524π C. 34π D. 1524π 11.已知双曲正弦函数2x x e e shx --=和双曲余弦函数2x x e e chx -+=与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，则下列类比结论中错误的是A. shx 为奇函数，chx 是偶函数B. 22sh x shxchx =C. ()sh x y shxchy chxshy -=-D.()ch x y chxchy shxshy -=+12.已知O 为坐标原点，F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，A,B 分别为双曲线C 的左右顶点，过点F 作x 轴的垂线交双曲线C 于P,Q 两点，连接PA 交y 轴于点E,连接EB 并延长交QF 于点M,若M 恰好为QF 的中点，则双曲线C 的离心率为A. 2B. 52C. 3D. 72二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等差数列{}n a 中，3283,14a a a =+=,则10a = .14.已知某一离散型随机变量X 的分布列如下表所示：则()E X .15.已知随机变量()()()2,,020.34N P P ξμσξξ≤=≥=，则()01P ξ≤≤= .16.若()201722017012201721x a a x a x a x -=++++，则012201722017a a a a ++++= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3cos .c A a C =（1）求C 的值；（2）若1,7b c ==，求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）如图，AD ⊥平面ABC ，//CE AD 且2.AB AC CE AD ===（1）试在线段BE 上确定一点M ，使得//DM 平面ABC ；（2）若AB AC ⊥，求平面BDE 与平面ABC 所成角的余弦值.19.（本题满分12分）若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，设n n n c a b =，则我们经常用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和n S ，记()n S f n =，在这个过程中许多同学常将结果算错.为了减少出错，我们可以代入1n =和2n =进行检验：计算()11S f =，检验是否与11a b 相等；在计算()22S f =检验是否与1122a b a b +相等.如果两处中有一处不等，则说明计算错误，某次数学考试对“错位相减法”进行了考查.现随机抽取100名学生，对他们是否进行检验以及答案是否正确进行了统计，得到数据如下表所示：（1）请完成上表；（2）是否有95%的把握认为检验计算结果可以有效避免计算错误？（3）在调查的100名学生中，用分层抽样的方法从未检验结果的学生中抽取8名学生，进一步调查他们不检验的原因.现从这8人中任取3人，记其中答案正确的学生人数为随机变量X,求X 的分布列和数学期望.20.（本题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>上一点()2,P t 到焦点F 的距离为3.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 作两条相互垂直的直线12,l l ，设1l 与抛物线C 交于,A B 两点，2l 与抛物线C 交于,D E 两点，求AF FB EF FD ⋅+⋅的最小值.21.（本题满分12分）已知函数().xf x e x =- （1）若函数()()21F x f x ax =--的导数()F x '在[)0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）求证：()1111,.234142n f f f f n n N n n *⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++>+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2016-2017学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(理科)及参考答案与解析
2016-2017学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.(5分)不等式＞1的解集为()A.(﹣∞，1)B.(0，1)C.(1，＋∞)D.(0，＋∞)2.(5分)a＞b的一个充分不必要条件是()A.a＝1，b＝0B.＜C.a2＞b2D.a3＞b33.(5分)在△ABC中，若a＝1，b＝2，cosA＝，则sinB＝()A. B. C. D.4.(5分)等比数列{a n}中，a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则a6＝()A.16B.32C.64D.1285.(5分)两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为()A.akmB.2akmC.akmD.akm6.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F满足＝3，＝3，则BE与DF所成角的正弦值为()A. B. C. D.7.(5分)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1009＝1，则S2017()A.1008B.1009C.2016D.20178.(5分)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则•＝()A.﹣1B.﹣2C.﹣3D.﹣49.(5分)设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A. B. C. D.10.(5分)在△ABC中，若BC＝2，A＝120°，则•的最大值为()A. B.﹣ C. D.﹣11.(5分)正实数ab满足＋＝1，则(a＋2)(b＋4)的最小值为()A.16B.24C.32D.4012.(5分)圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为() A.一个点 B.椭圆C.双曲线D.以上选项都有可能二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.(5分)命题“∃x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定为.14.(5分)若x，y满足，则z＝x＋2y的取值范围为.15.(5分)已知F为双曲线C：﹣＝1的左焦点，A(1，4)，P是C右支上一点，当△APF周长最小时，点F到直线AP的距离为.16.(5分)若数列{a n}满足a n＋1＋(﹣1)n•a n＝2n﹣1，则{a n}的前40项和为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(10分)设f(x)＝(m＋1)x2﹣mx＋m﹣1.(1)当m＝1时，求不等式f(x)＞0的解集；(2)若不等式f(x)＋1＞0的解集为，求m的值.18.(12分)在△ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C的对边，a2﹣c2＝b2﹣，a＝6，△ABC的面积为24.(1)求角A的正弦值；(2)求边b，c.19.(12分)S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2＋a n＝2S n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n.20.(12分)已知命题p：函数f(x)＝lg(x2﹣2x＋a)的定义域为R，命题q：对于x∈[1，3]，不等式ax2﹣ax﹣6＋a＜0恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.21.(12分)如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1＝2(1)求直线DC与平面ADB1所成角的大小；(2)在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由.22.(12分)在圆x2＋y2＝3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，＝动点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程及其离心率；(2)若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为，求△AOB 面积的最大值.2016-2017学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.(5分)不等式＞1的解集为()A.(﹣∞，1)B.(0，1)C.(1，＋∞)D.(0，＋∞)【解答】解：不等式可化为x(x﹣1)＜0，∴0＜x＜1，∴不等式＞1的解集为(0，1)，故选B.2.(5分)a＞b的一个充分不必要条件是()A.a＝1，b＝0B.＜C.a2＞b2D.a3＞b3【解答】解：A.当a＝1，b＝0时，满足a＞b，反之不成立，则a＝1，b＝0是a ＞b的一个充分不必要条件.B.当a＜0，b＞0时，满足＜，但a＞b不成立，即充分性不成立，C.当a＝﹣2，b＝1时，满足a2＞b2，但a＞b不成立，即充分性不成立，D.由a3＞b3得a＞b，即a3＞b3是a＞b成立的充要条件，故选：A3.(5分)在△ABC中，若a＝1，b＝2，cosA＝，则sinB＝()A. B. C. D.【解答】解：∵0＜A＜π，且cosA＝，∴sinA＝＝，由正弦定理得，，则sinB＝＝＝，故选D.4.(5分)等比数列{a n}中，a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则a6＝()A.16B.32C.64D.128【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，∴，解得a＝2，q＝2，∴a6＝2×25＝64.故选：C.5.(5分)两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为()A.akmB.2akmC.akmD.akm【解答】解：根据题意，△ABC中，∠ACB＝180°﹣20°﹣40°＝120°，∵AC＝akm，BC＝2akm，∴由余弦定理，得cos120°＝，解之得AB＝akm，即灯塔A与灯塔B的距离为akm，故选：D.6.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F满足＝3，＝3，则BE与DF所成角的正弦值为()A. B. C. D.【解答】解：如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为4，∵点E，F满足＝3，＝3，∴B(4，4，0)，E(4，3，4)，D(0，0，0)，F(0，1，4)，＝(0，﹣1，4)，＝(0，1，4)，设异面直线BE与DF所成角为θ，则cosθ＝＝＝.sinθ＝＝，∴BE与DF所成角的正弦值为.故选：A.7.(5分)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1009＝1，则S2017()A.1008B.1009C.2016D.2017【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1009＝1，∴S2017＝(a1＋a2017)＝2017a1009＝2017.故选：D.8.(5分)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则•＝()A.﹣1B.﹣2C.﹣3D.﹣4【解答】解：由题意知，抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，∴直线AB的方程为y＝k(x﹣1)，由，得k2x2﹣(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝，x1＋x2＝1，y1•y2＝k(x1﹣1)•k(x2﹣1)＝k2[x1•x2﹣(x1＋x2)＋1]'则•＝x1•x2＋y1•y2＝x1•x2＋k(x1﹣1)•k(x2﹣1)＝﹣3.故选：C.9.(5分)设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A. B. C. D.【解答】解：|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2x，|F1F2|＝x，又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c∴2a＝3x，2c＝x，∴C的离心率为：e＝＝.故选D.10.(5分)在△ABC中，若BC＝2，A＝120°，则•的最大值为()A. B.﹣ C. D.﹣【解答】解：∵，∴⇒4＝AC2＋AB2﹣2AC•ABcosA⇒4＝AC2＋AB2＋AC•AB≥2A•CAB＋AC•AB＝3AC•AB⇒AC•AB≤∴•＝AC•ABco s120°≤，则•的最大值为，故选：A.11.(5分)正实数ab满足＋＝1，则(a＋2)(b＋4)的最小值为()A.16B.24C.32D.40【解答】解：正实数a，b满足＋＝1，∴1≥2，解得ab≥8，当且仅当b＝2a＝4时取等号.b＋2a＝ab.∴(a＋2)(b＋4)＝ab＋2(b＋2a)＋8＝3ab＋8≥32.故选：C.12.(5分)圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为() A.一个点 B.椭圆C.双曲线D.以上选项都有可能【解答】解：∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA＝QP，则QA﹣QO＝QP﹣QO＝OP＝R，即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.(5分)命题“∃x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定为∀x∈[﹣，]，tanx ＞m.【解答】解：命题“∃x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定为命题“∀x∈[﹣，]，tanx＞m”，故答案为：∀x∈[﹣，]，tanx＞m14.(5分)若x，y满足，则z＝x＋2y的取值范围为[0，] .【解答】解：x，y满足，不是的可行域如图：z＝x＋2y化为：y＝﹣＋，当y＝﹣＋经过可行域的O时目标函数取得最小值，经过A时，目标函数取得最大值，由，可得A(，)，则z＝x＋2y的最小值为：0；最大值为：＝.则z＝x＋2y的取值范围为：[0，].故答案为：[0，].15.(5分)已知F为双曲线C：﹣＝1的左焦点，A(1，4)，P是C右支上一点，当△APF周长最小时，点F到直线AP的距离为.【解答】解：设双曲线的右焦点为F′(4，0)，由题意，A，P，F′共线时，△APF 周长最小，直线AP的方程为y＝(x﹣4)，即4x＋3y﹣16＝0，∴点F到直线AP的距离为＝，故答案为：16.(5分)若数列{a n}满足a n＋1＋(﹣1)n•a n＝2n﹣1，则{a n}的前40项和为820.＋(﹣1)n a n＝2n﹣1，【解答】解：由于数列{a n}满足a n＋1故有a2﹣a1＝1，a3＋a2＝3，a4﹣a3＝5，a5＋a4＝7，a6﹣a5＝9，a7＋a6＝11，…a50﹣a49＝97.从而可得a3＋a1＝2，a4＋a2＝8，a7＋a5＝2，a8＋a6＝24，a9＋a7＝2，a12＋a10＝40，a13＋a11＝2，a16＋a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列.{a n}的前40项和为10×2＋(10×8＋×16)＝820，故答案为：820三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(10分)设f(x)＝(m＋1)x2﹣mx＋m﹣1.(1)当m＝1时，求不等式f(x)＞0的解集；(2)若不等式f(x)＋1＞0的解集为，求m的值.【解答】(本题12分)解：(1)当m＝1时，不等式f(x)＞0为：2x2﹣x＞0⇒x(2x﹣1)＞0⇒x＞，x＜0；因此所求解集为；…(6分)(2)不等式f(x)＋1＞0即(m＋1)x2﹣mx＋m＞0∵不等式f(x)＋1＞0的解集为，所以是方程(m＋1)x2﹣mx＋m＝0的两根因此⇒. …(12分)18.(12分)在△ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C的对边，a2﹣c2＝b2﹣，a＝6，△ABC的面积为24.(1)求角A的正弦值；(2)求边b，c.【解答】解：(1)由在△ABC中，a2﹣c2＝b2﹣①，整理得cosA＝＝，则sinA＝＝；(2)∵S＝bcsinA＝24，sinA＝，∴bc＝80，将a＝6，bc＝80代入①得：b2＋c2＝164，与bc＝80联立，解得：b＝10，c＝8或b＝8，c＝10.19.(12分)S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2＋a n＝2S n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n.【解答】解：(1)由题得a n2＋a n＝2S n，a n＋12＋an＋1＝2S n＋1，两式子相减得：结合a n＞0得a n＋1﹣a n＝1 …..(4分)令n＝1得a12＋a1＝2S1，即a1＝1，所以{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，即a n＝n…..(6分)(2)因为b n＝＝(n≥2)所以T n＝＋…＋①T n＝＋…＋＋②…..(8分)①﹣②得T n＝1＋＋…＋﹣＝﹣，所以数列{b n}的前n项和T n＝3﹣.…..(12分)20.(12分)已知命题p：函数f(x)＝lg(x2﹣2x＋a)的定义域为R，命题q：对于x∈[1，3]，不等式ax2﹣ax﹣6＋a＜0恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.【解答】解：当P真时，f(x)＝lg(x2﹣2x＋a)的定义域为R，有△＝4﹣4a＜0，解得a＞1.…..(2分)当q真时，即使g(x)＝ax2﹣ax﹣6＋a在x∈[1，3]上恒成立，则有a＜在x∈[1，3]上恒成立，而当x∈[1，3]时，＝≥，故a＜.…..(5分)又因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假，…..(6分)当p真q假时，a＞1.…..(8分)当p假q真时，a＜…..(10分)所以实数a的取值范围是(﹣∞，)∪(1，＋∞)…..(12分)21.(12分)如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1＝2(1)求直线DC与平面ADB1所成角的大小；(2)在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由.【解答】解：(1)∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1＝2，∴以点D为坐标原点O，DA，DC，DA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，…..(2分)D(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，1，)，C(0，1，0)，，＝(0，1，)，＝(0，1，0)，的法向量为，设平面ADB则，取z＝1，得＝(0，﹣，1)，…..(4分)设直线DC与平面所ADB1成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝，∵θ∈[0，]，∴θ＝，∴直线DC与平面ADB1所成角的大小为.…..(6分)(2)假设存在点P(a，b，c)，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，设＝，由A1(0，0，)，得(a﹣1，b，c)＝λ(﹣a，﹣b，)，∴，解得，B1(0，1，)，C1(﹣1，1，)，＝(﹣1，0，0)，＝(，﹣1，﹣)，设平面的法向量为＝(x，y，z)，则，取z＝1，得＝(0，﹣，1)，….(9分)由(1)知，平面AB1C1D的法向量为＝(0，﹣，1)，∵二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，∴cos30°＝＝＝.由λ＞0，解得λ＝2，所以棱AA1上存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，且AP＝2PA1.22.(12分)在圆x2＋y2＝3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，＝动点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程及其离心率；(2)若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为，求△AOB 面积的最大值.【解答】解：(Ⅰ)设M(x，y)，P(x0，y0)，由＝得x0＝x，y0＝y …..(2分)因为x02＋y02＝3，所以x2＋3y2＝3，即＝1，其离心率e＝.…..(4分)(Ⅱ)当AB与x轴垂直时，|AB|＝.(5分)②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知，得.(6分)把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2﹣3＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝(7分)∴k≠0，|AB|2＝(1＋k2)(x2﹣x1)2＝3＋≤4，当且仅当9k2＝，即k＝时等号成立，此时|AB|＝2.(10分)当k＝0时，|AB|＝.(11分)综上所述：|AB|max＝2，此时△AOB面积取最大值＝(12分)。
2016_2017学年河南省郑州市高中二年级(上)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）不等式＞1的解集为（）A．（﹣∞，1） B．（0，1）C．（1，+∞）D．（0，+∞）2．（5分）a＞b的一个充分不必要条件是（）A．a=1，b=0 B．＜C．a2＞b2D．a3＞b33．（5分）在△ABC中，若a=1，b=2，cosA=，则sinB=（）A． B．C． D．4．（5分）等比数列{an }中，a2+a4=20，a3+a5=40，则a6=（）A．16 B．32 C．64 D．1285．（5分）两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A 在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为（）A．akm B．2akm C．akm D．akm6．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F满足=3，=3，则BE与DF所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）等差数列{an }的前n项和为Sn，若a1009=1，则S2017（）A．1008 B．1009 C．2016 D．20178．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则•=（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣49．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B．C．D．10．（5分）在△ABC中，若BC=2，A=120°，则•的最大值为（）A．B．﹣C．D．﹣11．（5分）正实数ab满足+=1，则（a+2）（b+4）的最小值为（）A．16 B．24 C．32 D．4012．（5分）圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为（）A．一个点B．椭圆C．双曲线D．以上选项都有可能二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）命题“∃x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定为．14．（5分）若x，y满足，则z=x+2y的取值范围为．15．（5分）已知F为双曲线C：﹣=1的左焦点，A（1，4），P是C右支上一点，当△APF周长最小时，点F到直线AP的距离为．16．（5分）若数列{an }满足an+1+（﹣1）n•a n=2n﹣1，则{a n}的前40项和为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）设f（x）=（m+1）x2﹣mx+m﹣1．（1）当m=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若不等式f（x）+1＞0的解集为，求m的值．18．（12分）在△ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C的对边，a2﹣c2=b2﹣，a=6，△ABC的面积为24．（1）求角A的正弦值；（2）求边b，c．19．（12分）Sn 为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+an=2Sn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．20．（12分）已知命题p：函数f（x）=lg（x2﹣2x+a）的定义域为R，命题q：对于x∈[1，3]，不等式ax2﹣ax﹣6+a＜0恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．21．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2（1）求直线DC与平面ADB1所成角的大小；（2）在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由．22．（12分）在圆x2+y2=3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，=动点M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程及其离心率；（2）若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．2016-2017学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）不等式＞1的解集为（）A．（﹣∞，1） B．（0，1）C．（1，+∞）D．（0，+∞）【分析】不等式可化为x（x﹣1）＜0，即可得到不等式＞1的解集．【解答】解：不等式可化为x（x﹣1）＜0，∴0＜x＜1，∴不等式＞1的解集为（0，1），故选B．【点评】本题考查不等式的解法，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键．2．（5分）a＞b的一个充分不必要条件是（）A．a=1，b=0 B．＜C．a2＞b2D．a3＞b3【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．当a=1，b=0时，满足a＞b，反之不成立，则a=1，b=0是a＞b 的一个充分不必要条件．B．当a＜0，b＞0时，满足＜，但a＞b不成立，即充分性不成立，C．当a=﹣2，b=1时，满足a2＞b2，但a＞b不成立，即充分性不成立，D．由a3＞b3得a＞b，即a3＞b3是a＞b成立的充要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3．（5分）在△ABC中，若a=1，b=2，cosA=，则sinB=（）A． B．C． D．【分析】由A的范围和平方关系求出sinA的值，由条件和正弦定理求出sinB 的值．【解答】解：∵0＜A＜π，且cosA=，∴sinA==，由正弦定理得，，则sinB===，故选D．【点评】本题考查了正弦定理，以及平方关系的应用，注意内角的范围，属于基础题．4．（5分）等比数列{an }中，a2+a4=20，a3+a5=40，则a6=（）A．16 B．32 C．64 D．128【分析】由等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a6．【解答】解：∵等比数列{an }中，a2+a4=20，a3+a5=40，∴，解得a=2，q=2，∴a6=2×25=64．故选：C．【点评】本题考查等比数列的第6项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．5．（5分）两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A 在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为（）A．akm B．2akm C．akm D．akm【分析】先根据题意确定∠ACB的值，再由余弦定理可直接求得|AB|的值．【解答】解：根据题意，△ABC中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，∵AC=akm，BC=2akm，∴由余弦定理，得cos120°=，解之得AB=akm，即灯塔A与灯塔B的距离为akm，故选：D．【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A与灯塔B的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．6．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F满足=3，=3，则BE与DF所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BE与DF所成角的正弦值．【解答】解：如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为4，∵点E，F满足=3，=3，∴B（4，4，0），E（4，3，4），D（0，0，0），F（0，1，4），=（0，﹣1，4），=（0，1，4），设异面直线BE 与DF 所成角为θ， 则cosθ===．sinθ==，∴BE 与DF 所成角的正弦值为． 故选：A ．【点评】本题考查异面直线所成角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．7．（5分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1009=1，则S 2017（ ） A ．1008B ．1009C ．2016D ．2017【分析】由等差数列的性质得S 2017=（a 1+a 2017）=2017a 1009，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1009=1， ∴S 2017=（a 1+a 2017）=2017a 1009=2017．故选：D ．【点评】本题考查等差数列的前2017项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．8．（5分）过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，若O 为坐标原点，则•=（ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣4【分析】由抛物线y 2=4x 与过其焦点（1，0）的直线方程联立，消去y 整理成关于x 的一元二次方程，设出A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点坐标，则•=x 1•x 2+y 1•y 2，由韦达定理可以求得答案．【解答】解：由题意知，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），∴直线AB的方程为y=k（x﹣1），由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），x 1+x2=，x1+x2=1，y1•y2=k（x1﹣1）•k（x2﹣1）=k2[x1•x2﹣（x1+x2）+1]'则•=x1•x2+y1•y2=x1•x2+k（x1﹣1）•k（x2﹣1）=﹣3．故选：C．【点评】题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，属于基础题．9．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B．C．D．【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．10．（5分）在△ABC中，若BC=2，A=120°，则•的最大值为（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由，⇒4=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA⇒4=AC2+AB2+AC•AB≥2A•CAB+AC•AB=3AC•AB⇒AC•AB，•=AC•ABcos120°即可【解答】解：∵，∴⇒4=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA⇒4=AC2+AB2+AC•AB≥2A•CAB+AC•AB=3AC•AB⇒AC•AB≤∴•=AC•ABcos120°≤，则•的最大值为，故选：A．【点评】考查向量减法的几何意义，数量积的运算及其计算公式，涉及了不等式a2+b2≥2ab的应用，属于基础题．11．（5分）正实数ab满足+=1，则（a+2）（b+4）的最小值为（）A．16 B．24 C．32 D．40【分析】正实数a，b满足+=1，利用基本不等式的性质得ab≥8．把b+2a=ab 代入（a+2）（b+4）=ab+2（b+2a）+8=3ab+8，即可得出．【解答】解：正实数a，b满足+=1，∴1≥2，解得ab≥8，当且仅当b=2a=4时取等号．b+2a=ab．∴（a+2）（b+4）=ab+2（b+2a）+8=3ab+8≥32．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为（）A．一个点B．椭圆C．双曲线D．以上选项都有可能【分析】结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质，推导新的结论，熟练掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．【解答】解：∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA=QP，则QA﹣QO=QP﹣QO=OP=R，即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线故选：C．【点评】双曲线是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）命题“∃x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定为∀x∈[﹣，]，tanx＞m ．【分析】根据已知中的原命题，结合特称命题的否定方法，可得答案．【解答】解：命题“∃x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定为命题“∀x∈[﹣，]，tanx＞m”，故答案为：∀x∈[﹣，]，tanx＞m【点评】本题考查的知识点是特称命题的否定，难度不大，属于基础题．14．（5分）若x，y满足，则z=x+2y的取值范围为[0，] ．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解范围即可．【解答】解：x，y满足，不是的可行域如图：z=x+2y化为：y=﹣+，当y=﹣+经过可行域的O时目标函数取得最小值，经过A时，目标函数取得最大值，由，可得A（，），则z=x+2y的最小值为：0；最大值为：=．则z=x+2y的取值范围为：[0，]．故答案为：[0，]．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中利用角点法是解答线性规划类小题最常用的方法，一定要掌握．15．（5分）已知F为双曲线C：﹣=1的左焦点，A（1，4），P是C右支上一点，当△APF周长最小时，点F到直线AP的距离为．【分析】设双曲线的右焦点为F′（4，0），由题意，A，P，F′共线时，△APF 周长最小，求出直线AP的方程，即可求出点F到直线AP的距离．【解答】解：设双曲线的右焦点为F′（4，0），由题意，A，P，F′共线时，△APF周长最小，直线AP的方程为y=（x﹣4），即4x+3y﹣16=0，∴点F到直线AP的距离为=，故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于中档题．16．（5分）若数列{a n }满足a n+1+（﹣1）n •a n =2n ﹣1，则{a n }的前40项和为 820 ．【分析】根据熟练的递推公式，得到数列通项公式的规律，利用构造法即可得到结论．【解答】解：由于数列{a n }满足a n+1+（﹣1）n a n =2n ﹣1， 故有 a 2﹣a 1=1，a 3+a 2=3，a 4﹣a 3=5，a 5+a 4=7，a 6﹣a 5=9，a 7+a 6=11，…a 50﹣a 49=97．从而可得 a 3+a 1=2，a 4+a 2=8，a 7+a 5=2，a 8+a 6=24，a 9+a 7=2，a 12+a 10=40，a 13+a 11=2，a 16+a 14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n }的前40项和为 10×2+（10×8+×16）=820，故答案为：820【点评】本题主要考查数列的通项公式，以及数列求和，根据数列的递推公式求出数列的通项公式是解决本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）设f （x ）=（m+1）x 2﹣mx+m ﹣1． （1）当m=1时，求不等式f （x ）＞0的解集； （2）若不等式f （x ）+1＞0的解集为，求m 的值． 【分析】（1）直接把m=1代入，把问题转化为求2x 2﹣x ＞0即可；（2）直接根据一元二次不等式的解集与对应方程的根之间的关系求解即可． 【解答】（本题12分） 解：（1）当m=1时，不等式f（x）＞0为：2x2﹣x＞0⇒x（2x﹣1）＞0⇒x＞，x＜0；因此所求解集为；…（6分）（2）不等式f（x）+1＞0即（m+1）x2﹣mx+m＞0∵不等式f（x）+1＞0的解集为，所以是方程（m+1）x2﹣mx+m=0的两根因此⇒．…（12分）【点评】本题主要考察根与系数的关系．解决本题的关键在于一元二次不等式的解集的区间端点值是对应方程的根．18．（12分）在△ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C的对边，a2﹣c2=b2﹣，a=6，△ABC的面积为24．（1）求角A的正弦值；（2）求边b，c．【分析】（1）已知等式整理后，利用余弦定理化简求出cosA的值，进而求出sinA 的值；（2）利用三角形面积公式列出关系式，将sinA与已知面积代入求出bc的值，再将a与bc的值代入已知等式求出b2+c2的值，联立即可求出b与c的值．【解答】解：（1）由在△ABC中，a2﹣c2=b2﹣①，整理得cosA==，则sinA==；（2）∵S=bcsinA=24，sinA=，∴bc=80，将a=6，bc=80代入①得：b2+c2=164，与bc=80联立，解得：b=10，c=8或b=8，c=10．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）Sn 为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+an=2Sn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（1）由题得an 2+an=2Sn，an+12+an+1=2Sn+1，两式子相减得{an}是首项为1，公差为1的等差数列，即可求数列{an}的通项公式；（2）若bn =，利用错位相减法，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）由题得an 2+an=2Sn，an+12+an+1=2Sn+1，两式子相减得：结合an ＞0得an+1﹣an=1 …..（4分）令n=1得a12+a1=2S1，即a1=1，所以{an }是首项为1，公差为1的等差数列，即an=n…..（6分）（2）因为bn==（n≥2）所以Tn=+…+①Tn=+…++②…..（8分）①﹣②得Tn=1++…+﹣=﹣，所以数列{bn }的前n项和Tn=3﹣．…..（12分）【点评】本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，属于中档题．20．（12分）已知命题p：函数f（x）=lg（x2﹣2x+a）的定义域为R，命题q：对于x∈[1，3]，不等式ax2﹣ax﹣6+a＜0恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【分析】若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，进而得到答案．【解答】解：当P真时，f（x）=lg（x2﹣2x+a）的定义域为R，有△=4﹣4a＜0，解得a＞1．…..（2分）当q真时，即使g（x）=ax2﹣ax﹣6+a在x∈[1，3]上恒成立，则有a＜在x∈[1，3]上恒成立，而当x∈[1，3]时，=≥，故a＜．…..（5分）又因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假，…..（6分）当p真q假时，a＞1．…..（8分）当p假q真时，a＜…..（10分）所以实数a的取值范围是（﹣∞，）∪（1，+∞）…..（12分）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查复合命题，函数恒成立问题，函数的最值与值域，难度中档．21．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2（1）求直线DC与平面ADB1所成角的大小；（2）在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由．【分析】（1）以点D为坐标原点O，DA，DC，DA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DC与平面ADB1所成角的大小．（2）假设存在点P（a，b，c），使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，利用向量法能求出棱AA1上存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，且AP=2PA1．【解答】解：（1）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2，∴以点D为坐标原点O，DA，DC，DA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，…..（2分）D（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，1，），C（0，1，0），，=（0，1，），=（0，1，0），设平面ADB1的法向量为，则，取z=1，得=（0，﹣，1），…..（4分）设直线DC与平面所ADB1成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|==，∵θ∈[0，]，∴θ=，∴直线DC与平面ADB1所成角的大小为．…..（6分）（2）假设存在点P（a，b，c），使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，设=，由A1（0，0，），得（a﹣1，b，c）=λ（﹣a，﹣b，），∴，解得，B 1（0，1，），C1（﹣1，1，），=（﹣1，0，0），=（，﹣1，﹣），设平面的法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，﹣，1），…．（9分）由（1）知，平面AB1C1D的法向量为=（0，﹣，1），∵二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，∴cos30°===．由λ＞0，解得λ=2，所以棱AA1上存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，且AP=2PA1．【点评】本题考查线面角的大小的求法，考查满足条件的点的位置的确定与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．22．（12分）在圆x2+y2=3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，=动点M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程及其离心率；（2）若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【分析】（1）由=得x0=x，y=y，即可得到椭圆的方程及其离心率；（2）由于已知坐标原点O到直线l的距离为，故求△AOB面积的最大值的问题转化为求线段AB的最大值的问题，由弦长公式将其表示出来，再判断最值即可得到线段AB的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y），由=得x=x，y=y …..（2分）因为x02+y2=3，所以x2+3y2=3，即=1，其离心率e=．…..（4分）（Ⅱ）当AB与x轴垂直时，|AB|=．（5分）②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由已知，得．（6分）把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴x1+x2=，x1x2=（7分）∴k≠0，|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=3+≤4，当且仅当9k2=，即k=时等号成立，此时|AB|=2．（10分）当k=0时，|AB|=．（11分）综上所述：|AB|max=2，此时△AOB面积取最大值=（12分）【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解答本题关键是对直线AB的位置关系进行讨论，可能的最值来，本题由于要联立方程求弦长，故运算量比较大，又都是符号运算，极易出错，做题时要严谨认真．利用弦长公式求弦长，规律固定，因此此类题难度降低不少，因为有此固定规律，方法易找，只是运算量较大．。
河南省郑州市2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 理(含解析)
河南省郑州市2016-2017学年高二下学期期末数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）已知i是虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设X～N（500，602），P（X≤440）=0.16，则P（X≥560）=（）A．0.16 B．0.32 C．0.84 D．0.643．（5分）用反证法证明命题“自然数a，b，c，中恰有一个偶数”时，需假设（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数D．a，b，c至少有两个偶数4．（5分）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．B． 1 C． 2 D．05．（5分）某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（）x 2 4 5 6 8y 25 35 m 55 75A．50 B．55 C．60 D．656．（5分）若函数f（x）=，则f′（x）是（）A．仅有最小值的奇函数B．仅有最大值的偶函数C．既有最大值又有最小值的偶函数D．非奇非偶函数7．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B． 4 C． D． 68．（5分）函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，﹣1 B．1，﹣17 C．3，﹣17 D．9，﹣199．（5分）某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）A．14 B．24 C．28 D．4810．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．11．（5分）口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列{an }：，如果Sn为数列{an}的前n项之和，那么S7=3的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A．3B． 4 C． 5 D． 6二、填空题13．（5分）的展开式中x3的系数是．14．（5分）设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布列如下：ξ﹣1 0 1P 0.5 q2则q=．15．（5分）设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为．（i=1，2，3，4），P 16．（5分）设面积为S的平面四边形的第i条边的边长为ai是该四边形内一点，点P到第i条边的距离记为，类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内的一点，点Q到第i，若等于．i个面的距离记为di三、解答题17．（10分）设复数z=，若z2+az+b=1+i，求实数a，b的值．18．（12分）已知（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含的项．19．（12分）某市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：API [0，50] （50，100] （100，150] （150，200]（200，250] （250，300] ＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为S（单位：元），空气质量指数API 为ω，在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元．（1）试写出S（ω）表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？P（K2≥k）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005c0.001K1.3232.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828cK2=非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10020．（12分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．21．（12分）当n∈N*时，，Tn=+++…+．（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；（Ⅱ）猜想Sn 与Tn的关系，并用数学归纳法证明．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2．（Ⅰ）求h（x）=f（x）﹣3x的极值；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣k，k∈R，若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x，F（x））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．河南省郑州市2016-2017学年高二下学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知i是虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．解答：解：复数z====在复平面内对应的点所在的象限为第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题．2．（5分）设X～N（500，602），P（X≤440）=0.16，则P（X≥560）=（）A．0.16 B．0.32 C．0.84 D．0.64考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．分析：利用正态分布的对称性即可得出．解答：解：∵μ=500，σ2=602，即σ=60．根据正态分布的对称性P（X≥μ﹣3σ）=P（X≤μ﹣3σ）=0.16．故选A．点评：正确理解正态分布的对称性是解题的关键．3．（ 5分）用反证法证明命题“自然数a，b，c，中恰有一个偶数”时，需假设（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数D．a，b，c至少有两个偶数考点：反证法．专题：推理和证明．分析：直接利用反证法的定义，写出结果即可．解答：解：用反证法证明命题“自然数a，b，c，中恰有一个偶数”时，需假设：a，b，c都是奇数或至少有两个偶数．故选：C．点评：本题考查反证法的定义，利用反证法证明命题的步骤，基本知识的考查．4．（5分）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．B． 1 C． 2 D．0考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：利用函数在切点处的导数值是切线的斜率求出f′（5），将切点坐标代入切线方程求出f（5）．解答：解：f′（5）=﹣1将x=5代入切线方程得f（5）=﹣5+8=3，所以f（5）+f′（5）=3+（﹣1）=2，故选：C点评：本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率．5．（5分）某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（）x 2 4 5 6 8y 25 35 m 55 75A．50 B．55 C．60 D．65考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论．解答：解：由题意，==5，==38+，∵y关于x的线性回归方程为=8.5x+7.5，根据线性回归方程必过样本的中心，∴38+=8.5×5+7.5，∴m=60．故选：C．点评：本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．6．（5分）若函数f（x）=，则f′（x）是（）A．仅有最小值的奇函数B．仅有最大值的偶函数C．既有最大值又有最小值的偶函数D．非奇非偶函数考点：简单复合函数的导数．专题：导数的概念及应用．分析：先求导，转化为二次函数型的函数并利用三角函数的单调性求其最值，再利用函数的奇偶性的定义进行判断其奇偶性即可．解答：解：∵函数f（x）=，∴f′（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=，当cosx=时，f′（x）取得最小值；当cosx=1时，f′（x）取得最大值2．且f′（﹣x）=f′（x）．即f′（x）是既有最大值，又有最小值的偶函数．故选C．点评：熟练掌握复合函数的导数、二次函数型的函数的最值、三角函数的单调性及函数的奇偶性是解题的关键．7．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B． 4 C． D． 6考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．8．（5分）函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，﹣1 B．1，﹣17 C．3，﹣17 D．9，﹣19考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：求导，用导研究函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的单调性，利用单调性求函数的最值．解答：解：f′（x）=3x2﹣3=0，x=±1，故函数f（x）=x3﹣3x+1[﹣3，﹣1]上是增函数，在[﹣1，0]上是减函数又f（﹣3）=﹣17，f（0）=1，f（1）=﹣1，f（﹣1）=3．故最大值、最小值分别为3，﹣17；故选C．点评：本题考点是导数法求函数最值．此类解法的步骤是求导，确定极值点，研究单调性，求出极值与区间端点的函数值，再比较各数的大小，选出最大值与最小值．9．（5分）某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）A．14 B．24 C．28 D．48考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；转化思想．分析：法一：用直接法，4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，计算各种情况下的选派方案种数，由加法原理，计算可得答案；法二：用排除法，首先计算从4男2女中选4人的选派方案种数，再计算4名都是男生的选派方案种数，由排除法，计算可得答案．解答：解：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为C12•C34+C22•C24=2×4+1×6=14；法二：从4男2女中选4人共有C46种选法，4名都是男生的选法有C44种，故至少有1名女生的选派方案种数为C46﹣C44=15﹣1=14．故选A．点评：本题考查简单的排列组合，建议如果分类讨论太复杂的题目最好用间接法即排除法，以避免直接的分类不全情况出现．10．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．专题：压轴题．分析：本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．解答：解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．点评：考查函数的单调性问题．11．（5分）口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列{an }：，如果Sn为数列{an}的前n项之和，那么S7=3的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：常规题型；概率与统计．分析： S7=3说明共摸球七次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，故可以用独立事件的概率乘法公式求解．解答：解：由题意S7=3说明共摸球七次，只有两次摸到红球，因为每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是所以只有两次摸到红球的概率是=故选B点评：本题考查独立事件的概率乘法公式，考查学生分析解决问题的能力，确定S7=3说明共摸球七次，只有两次摸到红球是关键．12．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A．3B． 4 C． 5 D． 6考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．解答：解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，不妨设x2＞x1，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），如下示意图象：如图有三个交点，故选A．点评：考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．二、填空题13．（5分）的展开式中x3的系数是24．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：求出的通项公式为 Tr+1=，令，求出r的值，即可求得x3的系数．解答：解：由于的展开式的通项公式为Tr+1==，令，解得 r=2，故 T4=24 x3，故展开式中x3的系数是24，故答案为：24．点评：本题考查二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求出通项公式为=，是解题的关键，属于中档题．Tr+114．（5分）设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布列如下：ξ﹣1 0 1P 0.5 q2则q=．考点：离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；阅读型．分析：根据随机变量的概率非负不大于1，且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，列出方程和不等式，解方程组即可．解答：解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，0.5+1﹣q+q2=1 ①0≤1﹣q≤1 ②q2≤1③∴解一元二次方程得q=或1，而1代入②③不合题意，舍去，故答案为：．点评：本题主要考查了分布列的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的分布列是一个相反的过程，但是两者都要用到分布列的性质，属于中档题．15．（5分）设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A 发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为．考点：条件概率与独立事件．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意，结合条件概率公式加以计算即可得到事件A发生的概率．解答：解：根据题意，得∵P（A|B）=，P（AB）=，P（A|B）=∴=，解得P（B）==故答案为：点评：本题给出事件A、B同时发生的概率和A发生的条件下B发生的概率，求事件A的概率，着重考查了条件概率及其应用的知识，属于基础题．16．（5分）设面积为S的平面四边形的第i条边的边长为a（i=1，2，3，4），Pi是该四边形内一点，点P到第i条边的距离记为，类比上述结论，体积为V的三棱（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内的一点，点Q到第锥的第i个面的面积记为Si，若等于．i个面的距离记为di考点：类比推理．专题：计算题．分析：由可得a=ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边i形的四个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积．解答：解：根据三棱锥的体积公式得：，即S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V，∴，即．故答案为：．点评：本题主要考查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力．解题的关键是理解类比推理的意义，掌握类比推理的方法．平面几何的许多结论，可以通过类比的方法，得到立体几何中相应的结论．当然，类比得到的结论是否正确，则是需要通过证明才能加以肯定的．三、解答题17．（10分）设复数z=，若z2+az+b=1+i，求实数a，b的值．考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：先将z按照复数代数形式的运算法则，化为代数形式，代入 z2+az+b=1+i，再根据复数相等的概念，列出关于a，b的方程组，并解即可．解答：解：z=====1﹣iz2+az+b=（1﹣i）2+a（1﹣i）+b=a+b﹣（a+2）i=1+i∴解得点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，复数相等的概念，属于基础题．18．（12分）已知（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含的项．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出第五项的系数与第三项的系数，根据已知条件列出方程，求出n的值，将n的值代入二项式，给二项式中的x赋值1，求出展开式中各项系数的和．（2）令二项展开式的通项中的x的指数为，求出r的值，将r的值代入通项求出展开式中含的项．解答：解：由题意知，展开式的通项为则第五项系数为Cn 4•（﹣2）4，第三项的系数为Cn2•（﹣2）2则有，化简，得n2﹣5n﹣24=0解得n=8或n=﹣3（舍去）（1）令x=1，得各项系数的和为（1﹣2）8=1（2）令，则r=1故展开式中含的项为点评：求二项展开式的特定项问题一般借助的工具是二项展开式的通项公式；求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察，通过赋值的方法来解决．19．（12分）某市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：API [0，50] （50，100] （100，150] （150，200]（200，250] （250，300] ＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为S（单位：元），空气质量指数API 为ω，在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元．（1）试写出S（ω）表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005P（K2≥kc0.0011.3232.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828KcK2=非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计100考点：独立性检验．专题：综合题；概率与统计．分析：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可得函数关系式；（2）由500＜S≤900，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．解答：解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可得S（ω）=；（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元”为事件A；由500＜S≤900，得150＜ω≤250，频数为39，∴P（A）=；（2）根据以上数据得到如表：非重度污染重度污染合计供暖季 22 8 30非供暖季63 7 70合计85 15 100K2的观测值K2=≈4.575＞3.841所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．点评：本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．20．（12分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：（I）设“在X次游戏中摸出i个白球”为事件Ai（i=，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，求出相应的概率，再相加即可求得结果；（II）在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望．解答：（I）解：设“在X次游戏中摸出i个白球”为事件Ai（i=，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，又P（A3）=，P（A2）==，且A2，A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=+=；（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.所以X的分布列是X 0 1 2PX的数学期望E（X）=0×+1×+2×=．点评： 本题考查古典概型及共概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．21．（12分）当n ∈N *时，，T n =+++…+．（Ⅰ）求S 1，S 2，T 1，T 2；（Ⅱ）猜想S n 与T n 的关系，并用数学归纳法证明．考点： 数学归纳法；数列的求和． 专题： 点列、递归数列与数学归纳法．分析： （Ⅰ）由已知直接利用n=1，2，求出S 1，S 2，T 1，T 2的值；（Ⅱ）利用（1）的结果，直接猜想S n =T n ，然后利用数学归纳法证明，①验证n=1时猜想成立；②假设n=k 时，S k =T k ，通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可． 解答： 解：（Ⅰ）∵当n ∈N *时，，T n =+++…+．∴S 1=1﹣=，S 2=1﹣+﹣=，T 1==，T 2=+=（2分） （Ⅱ）猜想：S n =T n （n ∈N *），即：1﹣+﹣+…+﹣=+++…+（n ∈N *）（5分） 下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，已证S 1=T 1（6分） ②假设n=k 时，S k =T k （k≥1，k ∈N *），即：1﹣+﹣+…+﹣=+++…+（8分）则：S k+1=S k +﹣=T k +﹣（10分）=+++…++﹣（11分）=++…+++（﹣）=++…++=T k+1，由①，②可知，对任意n ∈N *，S n =T n 都成立．（14分）点评： 本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．22．（12分）已知函数f （x ）=lnx+x 2． （Ⅰ）求h （x ）=f （x ）﹣3x 的极值；（Ⅱ）若函数g （x ）=f （x ）﹣ax 在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）设F （x ）=2f （x ）﹣3x 2﹣k ，k ∈R ，若函数F （x ）存在两个零点m ，n （0＜m ＜n ），且满足2x 0=m+n ，问：函数F （x ）在（x 0，F （x 0））处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题： 综合题；导数的综合应用．分析： （Ⅰ）求导数，利用极值的定义，求h （x ）=f （x ）﹣3x 的极值； （Ⅱ）根据题意写出g （x ）再求导数，由题意知g′（x ）≥0，x ∈（0，+∞）恒成立，转化为a≤2x+，再利用基本不等式求右边的最小值，即可求得实数a 的取值范围；（Ⅲ）先假设F （x ）在（x 0，F （x 0））的切线平行于x 轴，其中F （x ）=2lnx ﹣x 2﹣kx ．结合题意列出方程组，利用换元法导数研究单调性，证出ln ＜在（0，1）上成立，从而出现与题设矛盾，说明原假设不成立．由此即可得到函数F （x ）在（x 0，F （x 0））处的切线不能平行于x 轴．解答：解：（Ⅰ）由已知，，令=0，得，所以h（x）极小值=h（1）=﹣2，（Ⅱ）因为g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，属于g′（x）=+2x﹣a由题意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即a≤（2x+）min又x＞0，2x+≥2，当且仅当x=时等号成立故（2x+）min=2，所以a≤2（Ⅲ）设F（x）在（x0，F（x））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx结合题意，有①﹣②得2ln﹣（m+n）（m﹣n）=k（m﹣n）所以k=﹣2x，由④得k=﹣2x所以ln=…⑤设u=∈（0，1），得⑤式变为lnu﹣=0（u∈（0，1）），设y=lnu﹣（u∈（0，1）），可得y′=＞0，所以函数y=lnu﹣在（0，1）上单调递增，因此，y＜y|u=1=0，即lnu﹣＜0，也就是ln＜此式与⑤矛盾所以函数F（x）在（x0，F（x））处的切线不能平行于x轴．点评：本题给出含有对数符号的基本初等函数函数，讨论了函数的单调性并探索函数图象的切线问题，着重考查了导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题．。
河南省中原名校2016-2017学年高二下期末数学试题(理)含答案
中原名校2016—2017学年期末检测高二数学(理)试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合U R =，集合{}2|40M x x =-≤，则U C M = A. {}|22x x -<< B. {}|22x x -≤≤ C. {}|22x x x <->或 D.{}|22x x x ≤-≥或 2.设复数z 满足()()225z i i --=，则z =A. 23i +B. 23i -C. 32i +D.32i -3.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>A. 2y x =±B. y =C. 12y x =±D.y = 4.设x R ∈，向量()()1,,2,6a x b ==-，且//a b ，则a b ⋅=A. -4B.C.D.20 5.下列四个结论：①若“p q ∧”是真命题，则p ⌝可能是真命题；②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∃∈--≥”；③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充要条件；④当0a <时，幂函数ay x =在区间()0,+∞上单调递减.其中正确的结论个数是A.0个B.1个C. 2个D. 3个 6.在单调递减等差数列{}n a 中，若32431,4a a a ==，则1a = A. 1 B. 2 C.32D. 37.从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动，则所选的3人中女生人数不少于1人的概率是 A.45 B. 35 C. 25 D.158.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A-BCD 的正视图与俯视图如图所示，则其几何体的表面积为A.22+B.C. 1D. 1+9.函数22sin 33,00,1441x y x xππ⎛⎫⎡⎫⎛⎤=∈-⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦⎝⎭+的图象大致是10.如果函数()f x 在区间D 上是增函数，且()f x x在区间上是减函数，则称函数()f x 在区间D 上是缓增函数，区间D 叫做缓增区间.若函数()21322f x x x =-+在区间D 上是缓增函数，则缓增区间D 是A.[)1,+∞ B. ⎡⎣ C. []0,1 D.⎡⎣11.若函数()3211232b f x x x bx ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在区间[]3,5上不是单调函数，则函数⎡⎣在R 上的极大值为 A.232136b b - B. 3223b - C. 0 D. 423b - 12.已知函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是A. (],e -∞B. []0,eC. (),e -∞D.[)0,e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.()cos 5sin aax x x -+=⎰ .14.曲线()ln f x x x =在点()()1,1f 处的切线方程为 .15.若将函数sin y x x =+的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数sin y x x =-的图象，则ϕ的最小值为 .16.已知函数()312x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，若()()2120f a f a -+≤，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知命题P 函数()()2log 1m f x x =+是增函数，命题Q 2,10.x R x mx ∀∈++≥（1）写出命题Q 的否命题Q ⌝，并求出实数m 的取值范围，使得命题Q ⌝为真命题； （2）如果P Q ∨是真命题，P Q ∧是假命题，求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AB AA E ==为BC 的中点. （1）求证：11C D D E ⊥;（2）若二面角1B AE D --的大小为90，求AD 的长.19.（本题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，A 是椭圆的上顶点，直线2AF 交椭圆于另一点B. （1）若190F AB ∠=，求椭圆的离心率；（2）若22132,2AF F B AF AB =⋅=，求椭圆的方程.20.（本题满分12分）设等差数列{}n a 的公差0d >，且10a >，记12231111.n n n T a a a a a a +=+++（1）用1,a d 分别表示123,,T T T ，并猜想n T ； （2）用数学归纳法证明你的猜想.21.（本题满分12分）已知()()2ln , 3.f x x x g x x ax ==-+-（1）求函数()f x 在区间[](),20t t t +>上的最小值；（2）对一切实数()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：对一切()0,x ∈+∞，12ln xx e ex>-恒成立.22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 在平面直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt=+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l ，2l 的交点为P,当变化时，P 的轨迹为曲线.（1）写出曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()24,1 1.f x x ax g x x x =-++=++-（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含，求实数a 的取值范围.中原名校2016—2017学年期末检测高二数学(理)答案一、选择题 1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．B7．A8．B 9．A 10．D11．D12．A1．C 【解析】因为{}240M x x =-≤{}22x x =-≤≤，全集U R =，所以U C M ={}22x x x <->或，故选C.2．A 【解析】利用方程思想求解复数并化简.由(－2i)(2－i)＝5，得＝2i ＋52－i ＝2i ＋5(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.3．D 【解析】由条件e ＝3，即c a ＝3，得c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝3，所以ba ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22．故选D4．D 【解析】∵a ＝(1，)，b ＝(2，－6)且a ∥b ，∴－6－2＝0，＝－3，∴a ＝(1，－3)，a ·b ＝20，故选D ．5．B 【解析】①若p q ∧是真命题，则p 和q 同时为真命题，p ⌝必定是假命题；②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”； ③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充分不必要条件；④a y x =1'a y a x -⇒=⋅，当0a <时，'0y <，所以在区间()0+∞，上单调递减. 选B ．6．B 【解析】由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递减，∴a 4＝12，a 2＝32．∴公差d ＝a 4－a 22＝－12．∴a 1＝a 2－d ＝2．7．A 【解析】设所选女生人数为，则服从超几何分布，其中N ＝6，M ＝2，n ＝3，则P (1)＝P (＝1)＋P (＝2)＝212436C CC 错误！未找到引用源。
高中高二数学下学期期末试题 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2016-2017学年某某省某某市普通高中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.1．若复数a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣72．设随机变量ξ～N（l，25），若P（ξ≤0）=P（ξ≥a﹣2），则a=（）A．4 B．6 C．8 D．103．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．724．在二项式（x+a）10的展开式中，x8的系数为45，则a=（）A．±1 B．±2 C．± D．±35．计算（e x+1）dx=（）A．2e B．e+1 C．e D．e﹣16．甲、乙二人参加一项抽奖活动，每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为（）A．B．C．D．7．由抛物线y=x2与直线y=x+4所围成的封闭图形的面积为（）A．15 B．16 C．17 D．188．已知x，y的取值如表，画散点图分析可知，y与x线性相关，且求得回归直线方程为=x+1，则m的值为（）x 0 1 2 3 4y 1.2 m 2.9 4.1 4.7A．1.8 B．2.1 C．2.3 D．2.59．在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，斜边为c，则由勾股定理知c2=b2+a2，则在四面体P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，类比勾股定理，类似的结论为（）A．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2B．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2C．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2+S△PBC2D．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2+S△ABC210．已知（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017，则a1+2a2+3a3+…+2017a2017=（）A．1 B．﹣1 C．4034 D．﹣403411．已知函数f（x）=x2﹣cos（π+x）+l，f′（x）为f（x）的导函数，则y=f′（x）的函数图象大致为（）A．B．C．D．12．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞﹣（x+1）f′（x），则不等式f（x+l）＞（x﹣2）f（x2﹣5）的解集是（）A．（﹣2，3）B．（2，+∞）C．（，3）D．（，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知离散型随机变量ξ～B（5，），则D（ξ）=．14．（）dx=．15．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（﹣）=．16．已知曲线C： +y2=1与直线l：（t为参数）相交于A、B两点，则线段|AB|的长度为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…以此归纳出S n的表达式，并用数学归纳法证明．18．已知函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个高三理科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个高三理科班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班10乙班30合计（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？P（K20.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考数据：（K2=，其中n=a+b+c+d）20．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．（Ⅰ）求曲线C的参数方程；（Ⅱ）若曲线C与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A、B，在曲线C上任取一点P，求点P到直线AB的距离的最大值．21．某某市区某“好一多”鲜牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作垃圾回收处理．（1）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：盒，n∈N*）的函数解析式．（2）牛奶店老板记录了 100天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：曰需48 49 50 51 52 53 54求量频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望；（ⅱ）若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：x＞0，x＜（x+l）ln（x+1），（Ⅲ）比较：（）100，e的大小关系，（e为自然对数的底数）．2016-2017学年某某省某某市普通高中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.1．若复数a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】A2：复数的基本概念．【分析】直接由题意求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，∴a=2，b=3，则a﹣b=﹣1．故选：B．2．设随机变量ξ～N（l，25），若P（ξ≤0）=P（ξ≥a﹣2），则a=（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的对称性即可得出a﹣2=2．【解答】解：∵随机变量ξ～N（l，25），∴P（ξ≤0）=P（ξ≥2），∴a﹣2=2，即a=4．故选A．3．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．72【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在2、4之中任选1个，安排在个位，②、将剩下的4个数字安排在其他四个数位，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、要求五位数为偶数，需要在2、4之中任选1个，安排在个位，有2种情况，②、将剩下的4个数字安排在其他四个数位，有A44=24种情况，则有2×24=48个五位偶数，故选：B．4．在二项式（x+a）10的展开式中，x8的系数为45，则a=（）A．±1 B．±2 C．± D．±3【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在二项式（x+a）10的展开式中，令x的幂指数等于8，求得r的值，可得x8的系数，再根据x8的系数为45，求得a的值．【解答】解：二项式（x+a）10的展开式的通项公式为 T r+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=8，求得r=2，可得x8的系数为•a2=45，∴a=±1，故选：A．5．计算（e x+1）dx=（）A．2e B．e+1 C．e D．e﹣1【考点】67：定积分．【分析】由题意首先求得原函数，然后利用微积分基本定理即可求得定积分的值．【解答】解：由微积分基本定理可得．故选：C．6．甲、乙二人参加一项抽奖活动，每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为（）A．B．C．D．【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】由题意利用条件概率的计算公式，求得甲中奖的前提下乙也中奖的概率．【解答】解：每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，设甲中奖概率为P（A），乙中奖的概率为P（B），两人都中奖的概率为P（AB），则P（A）=0.6，P（B）=0.6，两人都中奖的概率为P（AB）=0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为P（B/A）===，故选：D．7．由抛物线y=x2与直线y=x+4所围成的封闭图形的面积为（）A．15 B．16 C．17 D．18【考点】67：定积分．【分析】本题考查定积分的实际应用，首先求得交点坐标，然后结合题意结合定积分的几何意义计算定积分的数值即可求得封闭图形的面积．【解答】解：联立直线与曲线的方程：可得交点坐标为（﹣2，2），（4，8），结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部分的面积为：．故选：D．8．已知x，y的取值如表，画散点图分析可知，y与x线性相关，且求得回归直线方程为=x+1，则m的值为（）x 0 1 2 3 4y 1.2 m 2.9 4.1 4.7A．1.8 B．2.1 C．2.3 D．2.5【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据表中数据计算、，代入回归直线方程中求出m的值．【解答】解：根据表中数据，计算=×（0+1+2+3+4）=2，=×（1.2+m+2.9+4.1+4.7）=，代入回归直线方程=x+1中，得=2+1，解得m=2.1．故选：B．9．在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，斜边为c，则由勾股定理知c2=b2+a2，则在四面体P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，类比勾股定理，类似的结论为（）A．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2B．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2C．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2+S△PBC2D．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2+S△ABC2【考点】F3：类比推理．【分析】由题意结合平面与空间类比的关系即可得出题中的结论．【解答】解：平面与空间的对应关系为：边对应着面，边长对应着面积，结合题意类比可得．故选：C．10．已知（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017，则a1+2a2+3a3+…+2017a2017=（）A．1 B．﹣1 C．4034 D．﹣4034【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，两边同时对x求导，再令x=2，可得a1+2a2+3a3+…+2017a2017 的值．【解答】解：在（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017中，两边同时对x求导，可得﹣2×2017（3﹣2x）2016=a1+2a2（x﹣1）+…+2017a2017（x﹣1）2016，再令x=2，可得a1+2a2+3a3+…+2017a2017=﹣4034，故选：D．11．已知函数f（x）=x2﹣cos（π+x）+l，f′（x）为f（x）的导函数，则y=f′（x）的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】求出f′（x）的解析式，判断奇偶性，再根据f″（x）的单调性得出f′（x）的增长快慢变化情况，得出答案．【解答】解：f′（x）=x+sin（x+π）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f′（x），∴f′（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；∵f″（x）=1﹣cosx在（0，π）上是增函数，∴f′（x）在（0，π）上的增加速度逐渐增大，排除C，故选A．12．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞﹣（x+1）f′（x），则不等式f（x+l）＞（x﹣2）f（x2﹣5）的解集是（）A．（﹣2，3）B．（2，+∞）C．（，3）D．（，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数的单调性得到x+1＞x2﹣5＞0，解不等式即可．【解答】解：∵f（x）＞﹣（x+1）f′（x），∴[（x+1）•f（x）]′＞0，故函数y=（x+1）•f（x）在（0，+∞）上是增函数，由不等式f（x+1）＞（x﹣2）f（x2﹣5）得：（x+2）f（x+1）＞（x+2）（x﹣2）f（x2﹣5），即（x+2）f（x+1）＞（x2﹣4）f（x2﹣5），∴x+1＞x2﹣5＞0，解得：﹣2＜x＜3，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知离散型随机变量ξ～B（5，），则D（ξ）=．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用二项分布的性质求解即可．【解答】解：∵离散型随机变量ξ～B（5，），Dξ=5×=，故答案为：．14．（）dx=．【考点】67：定积分．【分析】本题考查定积分的几何意义，首先确定被积函数表示的几何图形，然后结合图形的形状和圆的面积公式即可求得定积分的数值．【解答】解：函数即：（x﹣1）2+y2=1（x≥1，y≥0），表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆在x轴上方横坐标从1到2的部分，即四分之一圆，结合定积分的几何意义可得．故答案为．15．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（﹣）= ﹣9 ．【考点】63：导数的运算．【分析】由题意首先求得f'（2）的值，然后结合导函数的解析式即可求得最终结果．【解答】解：由函数的解析式可得：∴f′（x）=2x+f′（2）（﹣1），∴f′（2）=4+f′（2）（﹣1），解得f′（2）=，则∴．故答案为：﹣9．16．已知曲线C： +y2=1与直线l：（t为参数）相交于A、B两点，则线段|AB|的长度为．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】由曲线C的直角坐标方程，代入直线的参数方程，运用韦达定理，可得|AB|=|t1﹣t2|，化简整理即可得到所求值；【解答】解：把代入+y2=1可得：，整理得：8t2+4t﹣3=0，，|AB|=|t1﹣t2|==．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…以此归纳出S n的表达式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法．【分析】归纳S n的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明．【解答】解：记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…S n=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2=﹣n×（2n+1），证明如下：①当n=1时，显然成立，②假设当n=k时，等式成立，即S k=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2k﹣1）2﹣（2k）2=﹣k×（2k+1），那么当n=k+1时，即S k+1=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2k﹣1）2﹣（2k）2+（2k+1）2﹣（2k+2）2=﹣k×（2k+1）+（2k+1）2﹣（2k+2）2=﹣（2k2+5k+3）=﹣（k+1）（2k+3）即n=k+1时，等式也成立．故由①和②，可知等式成立．18．已知函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出f （x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，再由极值的定义，可得所求极值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]的导数为f′（x）=x﹣5+=，可得y=f （x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，切点为（1，8），即有切线的方程为y﹣8=2（x﹣1），即为2x﹣y+6=0；（Ⅱ）由f′（x）=x﹣5+=，结合x＞0，由f′（x）＞0，可得x＞3或0＜x＜2，f（x）递增；由f′（x）＜0，可得2＜x＜3，f（x）递减．则f（x）在x=2处取得极大值，且为；f（x）在x=3处取得极小值，且为2+6ln3．19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个高三理科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个高三理科班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班10乙班30合计（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？P（K20.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考数据：（K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】BL：独立性检验．【分析】（Ⅰ）首先由题意求得优秀的人数，据此结合列联表的特征写出列联表即可；（Ⅱ）结合（1）中的列联表结合题意计算K2的值即可确定喜欢数学是否与性别有关．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：所有优秀的人数为：人，据此完成列联表如下所示：优秀非优秀合计甲班10 30 40乙班30 30 60合计40 60 100（Ⅱ）由列联表中的结论可得：，则若按99%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．20．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．（Ⅰ）求曲线C的参数方程；（Ⅱ）若曲线C与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A、B，在曲线C上任取一点P，求点P到直线AB的距离的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，求了曲线C的直角坐标方程为，由此能求出曲线C的参数方程；（Ⅱ）求得直线AB的方程，设P点坐标，根据点到直线的距离公式及正弦函数的性质，即可求得点P到直线AB的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，即ρ2（sin2θ+cos2θ+3sin2θ）=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即；∴曲线C的参数方程为（α为参数）；（Ⅱ）∵曲线与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A，B，∴由已知可得A（2，0），B（0，1），直线AB的方程：x+2y﹣2=0，设P（2cosφ，sinφ），0＜φ＜2π，则P 到直线AB的距离d==丨sin（φ+）﹣1丨，∴当φ+=π，即φ=时d取最大值，最大值为（+1）．点P到直线AB的距离的最大值（+1）．21．某某市区某“好一多”鲜牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作垃圾回收处理．（1）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：盒，n∈N*）的函数解析式．（2）牛奶店老板记录了 100天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：48 49 50 51 52 53 54曰需求量频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望；（ⅱ）若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据利润公式得出函数解析式；（2）（i）求出利润的可能取值及其对应的概率，得出分布列和数学期望；（ii）求出n=51时对应的数学期望，根据利润的数学期望大小得出结论．【解答】解：（1）当n≤50时，y=5n﹣50×3=5n﹣150，当n＞50时，y=50×（5﹣3）=100，∴y=．（2）（i）由（1）可知n=48时，X=90，当n=49时，X=95，当n≥50时，X=100．∴X的可能取值有90，95，100．∴P（X=90）==，P（X=95）==，P（X=100）==，∴X的分布列为：X 90 95 100P∴E（X）==98．（ii）由（i）知当n=50时，E（X）=98，当n=51时，y=，∴当n=48时，X=87，当n=49时，X=92，当n=50时，X=97，当n≥51时，X=102，∴P（X=87）=，P（X=92）=，P（X=97）==，P（X=102）=．∴E（X）=87+++=97.7．∵98＞97.7，∴每天应购进50盒比较合理．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：x＞0，x＜（x+l）ln（x+1），（Ⅲ）比较：（）100，e的大小关系，（e为自然对数的底数）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的X围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于ln（x+1）＞，令t=x+1，则x=t﹣1，由x＞0得t＞1，问题等价于：lnt＞，根据函数的单调性证明即可；（Ⅲ）根据＜1，令x=，得到（1+）ln（x+1）＞1，判断大小即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）=，当a≤0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f'（x）＜0得0＜x＜a，由f'（x）＞0得x＞a，所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：①因为x＞0，x＜（x+l）ln（x+1）等价于ln（x+1）＞，令t=x+1，则x=t﹣1，由x＞0得t＞1，所以不等式ln（x+1）＞（x＞0）等价于：lnt＞，即：lnt﹣＞0（t＞1），由（Ⅰ）得：函数g（t）=lnt﹣在（1，+∞）上单调递增，所以g（t）＞g（1）=0，即：ln（x+1）＞；②因为x＞0，不等式 x＜（x+l）ln（x+1）等价于ln（x+1）＜x，令h（x）=ln（x+1）﹣x，则h′（x）=﹣1=，所以h'（x）＜0，所以函数h（x）=ln（x+1）﹣x在（0，+∞）上为减函数，所以h（x）＜h（0）=0，即ln（x+1）＜x．由①②得：x＞0时，x＜（x+l）ln（x+1）；（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x＞0时，＜1，所以令x=，得100×ln（+1）＜1，即ln（）100＜1，所以（）100＜e；又因为＞（x＞0），所以（1+）ln（x+1）＞1，令x=得：100×ln＞1，所以ln（）100＞1，从而得（）100＞e．所以（）100＜（）100．。
(精编)河南省郑州市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题有答案
2017-2018学年下期期末考试高二数学（理）试题卷 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则复数242iz i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.在某项测量中，测量结果2(3,)(0)N ξσσ>，若ξ在(3,6)内取值的概率为0.3，则ξ在(0,)+∞内取值的概率为（ ）A ．0.2B ．0.4C ．0.8D ．0.9 3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0'()0f x =，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值'(0)0f =，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确 4.函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(1,1)- B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．(0,)+∞5.已知具有线性相关关系的五个样本点1(0,0)A ，2(2,2)A ，3(3,2)A ，4(4,2)A ，5(6,4)A ，用最小二乘法得到回归直线方程1l ：y bx a =+，过点1A ，2A 的直线方程2l ：y mx n =+，那么下列4个命题中：①m b >，a n >；②直线1l 过点3A ；③552211()()iiiii i y bx a y mx n ==--≥--∑∑；④5511iiiii i y bx a y mx n ==--≥--∑∑.（参考公式1221n i ii nii x y nx y b xnx==-=-∑∑121()()()niii nii x x y y x x ==--=-∑∑，a y bx =-）正确命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6.由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4 C ．163D ．6 7.已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =-相切，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-8.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则(|)P B A 等于 A ．18 B ．14 C ．25 D ．129.已知函数21()sin 42f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10.现有4种不同品牌的小车各2辆（同一品牌的小车完全相同），计划将其放在4个车库中（每个车库放2辆），则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（ ） A ．144种 B ．108种 C ．72种 D ．36种 11.设sin1a =，12sin2b =，13sin 3c =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．a b c << D ．c b a << 12.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，()2'()f x f x +>，(0)1f =，则不等式ln[()2]ln3f x x +>+的解集为（ ）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分）13.若将函数5()f x x =表示为2012()(1)(1)f x a a x a x =++++55(1)a x +⋅⋅⋅++，其中(0,1,,5)i a i =⋅⋅⋅为实数，则3a = ．14.一次英语测验由50道选择题构成，每道题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7，则该生在这次测验中的成绩的期望是 ．15.已知函数322()3(1)1(0)f x kx k x k k =+--+>在(0,4)上是减函数，则实数k 的取值范围是 ．16.如图所示，由直线x a =，1(0)x a a =+>，2y x =及x 轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形和大矩形的面积之间，即1222(1)a aa x dx a +<<+⎰，类比之，*n N ∀∈，111122A n n n ++⋅⋅⋅+<++111121n n n <++⋅⋅⋅++-恒成立，则实数A = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设实部为正数的复数z，满足z =，且复数(13)i z +在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上. （1）求复数z ；（2）若复数2(1)225z m i i m ++-+-为纯虚数，求实数m 的值.18.已知(1n +（m 是正实数）的展开式的二项式系数之和为128，展开式中含x 项的系数为84. （1）求m ，n 的值；（2）求(1(1)n x +-的展开式中有理项的系数和.19.已知某公司为郑州园博园生产某特许商品，该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该特许商品x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且22110.8,01030()1081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩.（1）写出年利润W （万元）关于该特许商品x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该公司在该特许商品的生产中所获年利润最大？20.为了响应党的十九大所提出的教育教学改革，某校启动了数学教学方法的探索，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班40人，甲班按原有传统模式教学，乙班实施自主学习模式.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50,100]，按照区间[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀.2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ （1）完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；位同学发言，记来自[80,90)发言的人数为随机变量x ，求x 的分布列和期望.21.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2222n n n na a S a -+=，且0n a >，*n N ∈.（1）求1a ，2a ，3a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 22.已知函数()ln()f x ax bx =+在点(1,(1))f 处的切线是0y =. （1）求函数()f x 的极值；（2）当21()(0)x mx ef x x m e e-≥+<恒成立时，求实数m 的取值范围（e 为自然对数的底数）.。
2016-2017学年河南省天一大联考高二(下)期末数学试卷及答案(理科)
2016-2017学年河南省天一大联考高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．（5分）设集合A＝{x|≤0}，B＝{x|﹣4≤x≤1}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[﹣4，2]C．（﹣1，1]D．（﹣1，1）3．（5分）已知向量＝（3，2）与向量＝（x，3）互相垂直，则x＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．40B．30C．20D．105．（5分）如果执行程序框图，那么输出的S＝（）A．2450B．2500C．2550D．26526．（5分）如果实数x，y满足，则z＝x+2y的最大值为（）A．﹣6B．3C．6D．7．（5分）已知三个学生A、B、C能独立解出一道数学题的概率分别是0.6、0.5、0.4，现让这三个学生各自独立解这道数学题，则该题被解出的概率为（）A．0.88B．0.90C．0.92D．0.958．（5分）已知公比不为1的等比数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝1，且a2，a4，a3成等差数列，则＝（）A．B．﹣C．D．﹣9．（5分）已知甲、乙、丙、丁、戊五人站在图中矩形的四个顶点及中心，要求甲、乙必须站在同一条对角线上，且丙不站在中心，则不同的站法有（）A．16种B．48种C．64种D．84种10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再把所得的图象向右平移φ个单位长度，得到偶函数y＝g（x）的图象，则φ的值可能是（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线正弦函数shx＝和双曲余弦函数chx＝与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，则下列类比结论中错误的是（）A．shx为奇函数，chx为偶函数B．sh2x＝2shxchxC．sh（x﹣y）＝shxchy﹣chxshyD．ch（x﹣y）＝chxchy+shxshy12．（5分）已知O为坐标原点，F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F做x轴的垂线交双曲线于点P，Q，连接PB交y轴于点E，连结AE交QF于点M，若M是线段QF的中点，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．3D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）在等差数列{a n}中，a3＝3，a2+a8＝14，则a10＝．14．（5分）已知某一离散型随机变量X的分布如表所示：则E（X）＝．15．（5分）已知随机变量ξ～N（μ，σ2），P（ξ≤0）＝P（ξ≥2）＝0.34，则P（0≤ξ≤1）＝．16．（5分）若（2x﹣1）2017＝a0+a1x+a2x2+…+a2017x2017，则a0+a1+2a2+…+2017a2017＝．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且c sin A＝a cos C．（1）求C；（2）若b＝1，c＝，求△ABC的面积．18．（12分）如图，AD⊥平面ABC，CE∥AD，且AB＝AC＝CE＝2AD．（1）试在线段BE上确定一点M，使得DM∥平面ABC；（2）若AB⊥AC，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．19．（12分）若{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，设c n＝a n b n，则我们经常用“错位相减法”求数列{c n}的前n项和S n，记S n＝f（n）．在这个过程中许多同学常将结果算错，为了减少出错，我们可代入n＝1和n＝2进行检验：计算S1＝f（1），检验是否与a1b1相等；再计算S2＝f（2），检验是否与a1b1+a2b2相等，如果两处中有一处不等，则说明计算错误．某次数学考试对“错位相减法”进行了考查，现随机抽取100名学生，对他们是否进行检验以及答案是否正确的情况进行了统计，得到数据如表所示：（1）请完成上表；（2）是否有95%的把握认为检验计算结果可以有效地避免计算错误？（3）在调查的100名学生中，用分层抽样的方法从未检验计算结果的学生中抽取8人，进一步调查他们不检验的原因，现从这8人中任取3人，记其中答案正确的是学生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．附：下面的临界值表供参考（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d）20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点P（2，t）到焦点F的距离为3．（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线C交于A、B两点，l2与抛物线C交于D、E两点，求|AF|•|FB|+|EF|•|FD|的最小值．21．（12分）设函数f（x）＝e x﹣x．（1）若函数F（x）＝f（x）﹣ax2﹣1的导函数F′（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）求证：f（）+f（）+f（）+…+f（）＞n+，n∈N*．四、选做题：[选修4－4：坐标系与参数方程]（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2016_2017学年河南省郑州市高中二年级(上)期末数学试卷(理科)
2016-2017 学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分. 在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项切合题目要求.1．（5 分）不等式＞1的解集为（）A．（﹣∞， 1） B ．（0，1） C．（1，+∞）D．（0，+∞）2．（5 分） a＞b 的一个充足不用要条件是（）A．a=1， b=0B．＜C．a2＞ b2D．a3＞b33．（5分）在△ ABC中，若 a=1，b=2，cosA=，则 sinB= （）A． B ．C． D ．4．（5分）等比数列 {a} 中， a +a =20， a +a =40，则 a =（）n24356A．16B．32C．64D．1285．（5 分）两座灯塔 A 和 B 与大海观察站 C 的距离分别是 akm和 2akm，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°，灯塔 B 在观察站 C的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔B 之间的距离为（）A．akm B．2akm C．akm D． akm6．（5 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，点 E，F 知足=3，=3，则BE与 DF所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．（5 分）等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，若 a1009=1，则 S2017（）A．1008B．1009C．2016D．20178．（ 5 分）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A，B 两点，若 O为坐标原点，则?=（）A．﹣ 1 B．﹣2 C．﹣ 3 D．﹣49．（5 分）设椭圆 C：=1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦点分别为F1、F2，P 是 C 上的点 PF⊥ F F，∠ PF F =30°，则 C 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．10．（ 5 分）在△ ABC 中，若 BC=2，A=120°，则 ? 的最大值为（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣11．（ 5 分）正实数 ab 知足 + =1，则（ a+2）（ b+4）的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．4012．（5 分）圆 O 的半径为定长， A 是平面上必定点， P 是圆上随意一点，线段 AP 的垂直均分线 l 和直线 OP 订交于点 Q ，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹为（）A ．一个点B ．椭圆C ．双曲线D ．以上选项都有可能二、填空题：本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分 .13．（ 5 分）命题“ ? x ∈[ ﹣ ， ] ，tanx ≤m ”的否认为 ．14．（ 5 分）若 x ，y 知足，则 z=x+2y 的取值范围为．15．（ 5 分）已知 F 为双曲线 C ： ﹣ =1 的左焦点， A （ 1， 4），P 是 C 右支上一点，当△ APF 周长最小时，点 F 到直线 AP 的距离为．nn=2n ﹣1，则 {a n } 的前 40 项和为．16．（5 分）若数列 {a n } 知足 a n+1+（﹣ 1）? a三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出必需的文字说明或推理、验算过程 .17．（ 10 分）设 f （x ）=（m+1） x 2﹣mx+m ﹣1．（ 1）当 m=1时，求不等式 f （ x ）＞ 0 的解集；（ 2）若不等式 f （x ）+1＞ 0 的解集为，求 m 的值．18．（12 分）在△ ABC 中，a ，b ，c 的对角分别为 A ，B ，C 的对边， a 2﹣ c 2=b 2﹣ ，a=6，△ ABC 的面积为 24．（ 1）求角 A 的正弦值；（ 2）求边 b ，c ．19．（ 12 分） S n为数列 {a n} 的前 n 项和，已知 a n＞0，a n2+a n=2S n．（1）求数列 {a n} 的通项公式；（2）若 b n=，求数列{b n}的前n项和T n．220．（ 12 分）已知命题 p：函数 f （x）=lg （ x ﹣2x+a）的定义域为 R，命题 q：2关于 x∈[1 ，3] ，不等式 ax ﹣ ax﹣6+a＜ 0 恒成立，若 p∨ q 为真命题， p∧q 为假命题，务实数 a 的取值范围．21．（ 12 分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中， A1 D⊥平面 ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2（1）求直线 DC与平面 ADB1所成角的大小；（2）在棱上 AA1能否存在一点 P，使得二面角 A﹣B1C1﹣P 的大小为 30°，若存在，确立 P 的地点，若不存在，说明原因．22（．12分）在圆 x2+y2=3上任取一动点 P，过 P作 x 轴的垂线 PD，D为垂足，=动点 M的轨迹为曲线 C．（ 1）求 C 的方程及其离心率；（ 2）若直线 l 交曲线 C 交于 A，B 两点，且坐标原点到直线l 的距离为，求△ AOB面积的最大值．2016-2017 学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分. 在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项切合题目要求.1．（5 分）不等式＞1的解集为（）A．（﹣∞， 1） B ．（0，1） C．（1，+∞）D．（0，+∞）【剖析】不等式可化为 x（ x﹣ 1）＜ 0，即可获得不等式＞1的解集．【解答】解：不等式可化为x（x﹣1）＜ 0，∴ 0＜ x＜ 1，∴不等式＞1 的解集为（ 0，1），应选 B．【评论】本题观察不等式的解法，观察学生转变问题的能力，正确转变是重点．2．（5 分） a＞b 的一个充足不用要条件是（）A．a=1， b=0B．＜C．a2＞ b2D．a3＞b3【剖析】依据充足条件和必需条件的定义进行判断即可．【解答】解： A．当 a=1，b=0 时，知足 a＞ b，反之不可立，则 a=1，b=0 是 a＞b 的一个充足不用要条件．B．当 a＜0，b＞ 0 时，知足＜，但a＞b不可立，即充足性不可立，C．当 a=﹣ 2，b=1 时，知足 a2＞ b2，但 a＞ b 不可立，即充足性不可立，D．由 a3＞b3得 a＞b，即 a3＞b3是 a＞ b 成立的充要条件，应选： A【评论】本题主要观察充足条件和必需条件的判断，依据充足条件和必需条件的定义是解决本题的重点．3．（5 分）在△ ABC中，若 a=1，b=2，cosA=，则sinB=（）A．B．C．D．【剖析】由 A 的范围和平方关系求出sinA 的值，由条件和正弦定理求出sinB 的值．【解答】解：∵ 0＜A＜π，且 cosA=，∴ sinA==，由正弦定理得，，则 sinB===，应选 D．【评论】本题观察了正弦定理，以及平方关系的应用，注意内角的范围，属于基础题．4．（5 分）等比数列 {a n} 中， a2+a4=20， a3+a5=40，则 a6=（）A．16 B．32 C．64D．128【剖析】由等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a6．【解答】解：∵等比数列 {a n} 中， a2 +a4=20， a3 +a5=40，∴，解得 a=2，q=2，∴a6=2×25=64．应选： C．【评论】本题观察等比数列的第 6 项的求法，是基础题，解题时要仔细审题，注意等比数列的性质的合理运用．5．（5 分）两座灯塔 A 和 B 与大海观察站 C 的距离分别是 akm和 2akm，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°，灯塔 B 在观察站 C的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔B 之间的距离为（）A．akm B．2akm C．akm D．akm【剖析】先依据题意确立∠ ACB的值，再由余弦定理可直接求得|AB| 的值．【解答】解：依据题意，△ABC中，∠ ACB=180°﹣ 20°﹣40°=120°，∵ AC=akm，BC=2akm，∴由余弦定理，得cos120°=，解之得 AB=akm，即灯塔 A 与灯塔 B 的距离为akm，应选： D．【评论】本题给出实质应用问题，求大海上灯塔 A 与灯塔 B 的距离．侧重观察了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．6．（5 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，点 E，F 知足=3，=3，则BE与 DF所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【剖析】以 D 为原点， DA为 x 轴，DC为 y 轴，DD1为 z 轴，成立空间直角坐标系，利用向量法能求出BE与 DF所成角的正弦值．【解答】解：如图，以 D 为原点， DA为 x 轴， DC为 y 轴，DD1为 z 轴，成立空间直角坐标系，设正方体 ABCD﹣ A1 B1C1 D1中棱长为 4，∵点 E，F知足=3，=3，∴B（4，4，0），E（4，3，4），D（0，0，0），F（0，1，4），=（0，﹣ 1，4）， =（0，1，4），设异面直线 BE与 DF所成角为θ，则 cosθ===．sin θ==，∴ BE与 DF所成角的正弦值为．应选： A．【评论】本题观察异面直线所成角的正弦值的求法，是基础题，解题时要仔细审题，注意愿量法的合理运用．7．（5 分）等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，若 a1009=1，则 S2017（）A．1008B．1009C．2016D．2017【剖析】由等差数列的性质得S2017=（a1+a2017）=2017a1009，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，a1009=1，∴S2017=（a1+a2017）=2017a1009=2017．应选： D．【评论】本题观察等差数列的前2017 项和的求法，是基础题，解题时要仔细审题，注意等差数列的性质的合理运用．8．（ 5 分）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A，B 两点，若 O为坐标原点，则?=（）A．﹣ 1 B．﹣2 C．﹣ 3 D．﹣4【剖析】由抛物线 y 2=4x 与过其焦点（ 1，0）的直线方程联立，消去y 整理成关于 x 的一元二次方程，设出（Ax1，y1）、（Bx2，y2）两点坐标，则?=x1? x2+y1? y2，由韦达定理能够求得答案．【解答】解：由题意知，抛物线y2=4x 的焦点坐标为（ 1，0），∴直线 AB的方程为 y=k（x﹣1），由2222=0，设 A（x，y ），B（x， y），，得 k x﹣（ 2k +4） x+k1122x1+x2=，x1+x2=1，y1? y2=k（x1﹣1）? k（x2﹣1）=k2[x1? x2﹣（x1+x2）+1]'则 ? =x1 ? x2+y1? y2=x1? x2+k（x1﹣ 1） ? k（x2﹣1）=﹣3．应选： C．【评论】题观察直线与圆锥曲线的关系，解决问题的重点是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，属于基础题．9．（5 分）设椭圆 C：=1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦点分别为F1、F2，P 是 C上的点 PF2⊥ F1F2，∠ PF1F2 =30°，则 C 的离心率为（）A．B．C．D．【剖析】设|PF2|=x ，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得 |PF1 | 与|F 1F2| ，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解： |PF2|=x ，∵ PF2⊥F1F2，∠ PF1F2=30°，∴ |PF1|=2x ，|F 1 F2|=x，又 |PF1|+|PF 2 |=2a ，|F 1F2|=2c∴2a=3x，2c= x，∴C的离心率为： e= = ．应选 D．【评论】本题观察椭圆的简单性质，求得 |PF1| 与 |PF2| 及|F 1F2 | 是重点，观察理解与应用能力，属于中档题．10．（ 5 分）在△ ABC中，若 BC=2，A=120°，则?的最大值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【剖析】由22﹣ 2AC? ABcosA?22， ? 4=AC+AB4=AC+AB+AC? AB≥2A? CAB+AC? AB=3AC? AB? AC? AB，?=AC? ABcos120°即可【解答】解：∵，∴22? 4=AC+AB﹣2AC? ABcosA?224=AC+AB+AC? AB≥2A? CAB+AC? AB=3AC? AB? AC? AB≤∴ ?=AC? ABcos120°≤，则 ?的最大值为，应选： A．【评论】观察向量减法的几何意义，数目积的运算及其计算公式，波及了不等式a2+b2≥2ab 的应用，属于基础题．11．（ 5 分）正实数 ab 知足+ =1，则（ a+2）（ b+4）的最小值为（）A．16 B．24 C．32D．40【剖析】正实数 a，b 知足 + =1，利用基本不等式的性质得ab≥ 8．把 b+2a=ab 代入（ a+2）（b+4）=ab+2（b+2a）+8=3ab+8，即可得出．【解答】解：正实数 a，b 知足+=1，∴ 1≥ 2，解得ab≥ 8，当且仅当b=2a=4时取等号．b+2a=ab．∴（ a+2）（b+4）=ab+2（ b+2a） +8=3ab+8≥32．应选： C．【评论】本题观察了基本不等式的性质，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5 分）圆 O的半径为定长， A 是平面上必定点， P 是圆上随意一点，线段AP 的垂直均分线 l 和直线 OP订交于点 Q，当点 P在圆上运动时，点 Q的轨迹为（）A．一个点B．椭圆C．双曲线D．以上选项都有可能【剖析】联合双曲线的定义及圆与直线的有关性质，推导新的结论，娴熟掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的重点．【解答】解：∵ A为⊙ O外必定点， P 为⊙ O上一动点线段 AP的垂直均分线交直线 OP于点 Q，则 QA=QP，则 QA﹣QO=QP﹣QO=OP=R，即动点 Q到两定点 O、A 的距离差为定值，依据双曲线的定义，可知点 Q的轨迹是：以 O，A 为焦点， OP为实轴长的双曲线应选： C．【评论】双曲线是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也能够定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于 1 的常数的点之轨迹．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .13．（5 分）命题“ ? x∈[ ﹣，] ，tanx ≤m”的否认为? x∈[ ﹣，] ，tanx ＞m．【剖析】依据已知中的原命题，联合特称命题的否认方法，可得答案．【解答】解：命题“ ? x∈[ ﹣，] ，tanx ≤m”的否认为命题“ ? x∈[ ﹣，] ，tanx ＞m”，故答案为： ? x∈[ ﹣，] ，tanx ＞ m【评论】本题观察的知识点是特称命题的否认，难度不大，属于基础题．14．（ 5 分）若 x，y 知足，则z=x+2y的取值范围为[0 ，]．【剖析】画出拘束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解范围即可．【解答】解： x，y 知足，不是的可行域如图：z=x+2y 化为： y=﹣+，当y=﹣+经过可行域的O时目标函数获得最小值，经过 A 时，目标函数获得最大值，由，可得 A（，），则 z=x+2y 的最小值为： 0；最大值为：=．则 z=x+2y 的取值范围为： [0 ， ] ．故答案为： [0 ， ] ．【评论】本题观察的知识点是简单线性规划的应用，此中利用角点法是解答线性规划类小题最常用的方法，必定要掌握．15．（ 5 分）已知 F 为双曲线 C：﹣=1 的左焦点， A（ 1， 4），P 是 C 右支上一点，当△ APF周长最小时，点 F 到直线 AP的距离为．【剖析】设双曲线的右焦点为F′（ 4，0），由题意， A，P，F′共线时，△ APF 周长最小，求出直线AP的方程，即可求出点 F 到直线 AP的距离．【解答】解：设双曲线的右焦点为F′（ 4，0），由题意， A，P，F′共线时，△APF周长最小，直线AP的方程为 y=（x﹣4），即4x+3y﹣16=0，∴点 F 到直线 AP的距离为=，故答案为：【评论】本题观察双曲线的方程与性质，观察点到直线的距离公式，属于中档题．n16．（5 分）若数列 {a n} 知足 a n+1+（﹣ 1）? a n =2n﹣1，则 {a n} 的前 40 项和为820 ．【剖析】依据娴熟的递推公式，获得数列通项公式的规律，利用结构法即可获得结论．【解答】解：因为数列 {a n} 知足 a n+1+（﹣ 1）n a n=2n﹣1，故有 a 2﹣a1=1， a3+a2=3， a4﹣a3=5，a5+a4=7， a6﹣a5 =9，a7+a6=11， a50﹣a49=97．从而可得 a 3+a1=2，a4+a2=8， a7+a5=2，a8+a6 =24，a9+a7=2，a12+a10=40， a13+a11=2，a16+a14=56，从第一项开始，挨次取 2 个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，挨次取 2 个相邻偶数项的和组成以8 为首项，以 16 为公差的等差数列．{a } 的前 40 项和为 10 ×2+（10× 8+×16） =820，n故答案为： 820【评论】本题主要观察数列的通项公式，以及数列乞降，依据数列的递推公式求出数列的通项公式是解决本题的重点．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出必需的文字说明或推理、验算过程 .217．（ 10 分）设 f （x）=（m+1） x ﹣mx+m﹣1．（ 2）若不等式 f （x）+1＞ 0 的解集为，求m的值．【剖析】（1）直接把 m=1代入，把问题转变为求2x2﹣x＞0 即可；（2）直接依据一元二次不等式的解集与对应方程的根之间的关系求解即可．【解答】（本题 12 分）解：（ 1）当 m=1时，不等式 f （ x）＞ 0 为： 2x2﹣x＞0? x（2x﹣1）＞ 0? x＞，x＜0；所以所求解集为；（6分）（2）不等式 f （ x） +1＞0 即（ m+1）x2﹣ mx+m＞0∵不等式 f （x） +1＞0 的解集为，所以是方程（ m+1）x2﹣ mx+m=0的两根所以?．（12分）【评论】本题主要观察根与系数的关系．解决本题的重点在于一元二次不等式的解集的区间端点值是对应方程的根．18．（12 分）在△ ABC中，a，b，c 的对角分别为 A，B，C的对边， a2﹣ c2=b2﹣，a=6，△ ABC的面积为 24．（1）求角 A 的正弦值；（2）求边 b，c．【剖析】（ 1）已知等式整理后，利用余弦定理化简求出 cosA 的值，从而求出sinA 的值；（ 2）利用三角形面积公式列出关系式，将 sinA 与已知面积代入求出 bc 的值，再将 a 与 bc 的值代入已知等式求出 b2+c2的值，联立刻可求出 b 与 c 的值．【解答】解：（1）由在△ ABC中，a2﹣ c2 =b2﹣①，整理得cosA==，则 sinA==；（ 2）∵ S= bcsinA=24 ，sinA=，∴bc=80，将 a=6，bc=80 代入①得： b2+c2=164，与 bc=80 联立，解得： b=10，c=8 或 b=8， c=10．【评论】本题观察了正弦、余弦定理，三角形面积公式，娴熟掌握定理及公式是解本题的重点．19．（ 12 分） S n为数列 {a n} 的前 n 项和，已知 a n＞0，a n2+a n=2S n．（1）求数列 {a n} 的通项公式；（2）若 b n=，求数列{b n}的前n项和T n．22} 是首项为1，【剖析】（1）由题得 a +a =2S，a+a =2S ，两式子相减得 {annn n+1n+1n+1n公差为 1 的等差数列，即可求数列 {a n} 的通项公式；（ 2）若 b =，利用错位相减法，求数列 {b } 的前 n 项和 T ．n n n22【解答】解：（1）由题得 a n +a n=2S n， a n+1+a n+1=2S n+1，两式子相减得：联合 a n＞ 0 得 a n+1﹣a n=1.. （4分）令 n=1 得 a12+a1 =2S1，即 a1=1，所以 {a n} 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，即 a n =n.. （ 6 分）（ 2）因为 b n ==（n≥2）所以 T n= ++①T n= + + +② ..（8分）①﹣②得T n =1+ + +﹣=﹣，所以数列 {b n} 的前 n 项和 T n=3﹣．..（12分）【评论】本题观察数列的通项与乞降，观察错位相减法的运用，属于中档题．220．（ 12 分）已知命题 p：函数 f （x）=lg （ x ﹣2x+a）的定义域为 R，命题 q：2关于 x∈[1 ，3] ，不等式 ax ﹣ ax﹣6+a＜ 0 恒成立，若 p∨ q 为真命题， p∧q 为假命题，务实数 a 的取值范围．【剖析】若 p∨q 为真命题， p∧ q 为假命题，则 p，q 一真一假，从而获得答案．【解答】解：当 P 真时， f （ x） =lg （x2﹣2x+a）的定义域为 R，有△ =4﹣ 4a＜0，解得 a＞1． .. （ 2 分）当 q 真时，即便 g（ x） =ax2﹣ax﹣6+a 在 x∈[1 ， 3] 上恒成立，则有 a＜在x∈[1，3]上恒成立，而当 x∈[1 ，3] 时，=≥，故 a＜．..（5分）又因为 p∨ q 为真命题， p∧q 为假命题，所以p， q 一真一假， .. （ 6 分）当 p 真 q 假时， a＞1． .. （ 8 分）当 p 假 q 真时， a＜ .. （ 10 分）所以实数 a 的取值范围是（﹣∞，）∪（1，+∞）..（12分）【评论】本题以命题的真假判断与应用为载体，观察复合命题，函数恒成立问题，函数的最值与值域，难度中档．21．（ 12 分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中， A1 D⊥平面 ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2（1）求直线 DC与平面 ADB1所成角的大小；（2）在棱上 AA1能否存在一点 P，使得二面角 A﹣B1C1﹣P 的大小为 30°，若存在，确立 P 的地点，若不存在，说明原因．【剖析】（1）以点 D 为坐标原点 O，DA，DC， DA1分别为 x， y， z 轴，成立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 DC与平面 ADB1所成角的大小．（2）假定存在点 P（a，b，c），使得二面角 A﹣B1C1﹣P 的大小为 30°，利用向量法能求出棱 AA1上存在一点 P，使得二面角 A﹣ B1 C1﹣P 的大小为 30°，且AP=2PA1．【解答】解：（1）∵四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1中， A1D⊥平面 ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2，∴以点 D 为坐标原点 O，DA，DC，DA1分别为 x，y，z 轴，成立空间直角坐标系，..（2 分）D（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，1，），C（0，1，0），，=（0，1，）， =（0，1，0），设平面 ADB1的法向量为，则，取 z=1，得 =（ 0，﹣，1），.. （4 分）设直线 DC与平面所1ADB成角为θ，则 sin θ=|cos ＜＞|== ，∵θ∈ [0 ，] ，∴θ= ，∴直线 DC与平面 ADB1所成角的大小为．.. （ 6 分）（ 2）假定存在点 P（a，b，c），使得二面角 A﹣B1C1﹣P 的大小为 30°，设 =，由 A1（0，0，），得（ a﹣1，b，c）=λ（﹣ a，﹣ b，），∴，解得，B1（ 0， 1，），C1（﹣1，1，），=（﹣ 1， 0，0），=（，﹣1，﹣），设平面的法向量为=（ x， y， z），则，取 z=1，得=（ 0，﹣，1），．（9分）由（ 1）知，平面 AB1C1D 的法向量为=（0，﹣，1），∵二面角 A﹣B1 C1﹣P 的大小为 30°，∴cos30°===．由λ＞ 0，解得λ=2，所以棱 AA1上存在一点 P，使得二面角 A﹣B1C1﹣P 的大小为 30°，且 AP=2PA1．【评论】本题观察线面角的大小的求法，观察知足条件的点的地点确实定与求法，是中档题，解题时要仔细审题，注意愿量法的合理运用．22（．12分）在圆 x2+y2=3上任取一动点 P，过 P作 x 轴的垂线 PD，D为垂足，=动点 M的轨迹为曲线 C．（ 1）求 C 的方程及其离心率；（ 2）若直线 l 交曲线 C 交于 A，B 两点，且坐标原点到直线l 的距离为，求△ AOB面积的最大值．【剖析】（1）由=得x0=x，y0=y，即可获得椭圆的方程及其离心率；（ 2）因为已知坐标原点O到直线 l 的距离为，故求△ AOB面积的最大值的问题转变为求线段AB的最大值的问题，由弦长公式将其表示出来，再判断最值即可获得线段 AB的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设 M（x，y）， P（ x0，y0），由=得x0=x，y0=y..（2 分）因为 x02+y02=3，所以 x2+3y2=3，即=1，其离心率 e= ． .. （ 4 分）（Ⅱ）当 AB与 x 轴垂直时， |AB|=．（5 分）②当 AB与 x 轴不垂直时，设直线 AB的方程为 y=kx+m，A（x1，y1），B（x2， y2），由已知，得．（6分）222把 y=kx+m代入椭圆方程，整理得（ 3k +1）x +6kmx+3m﹣ 3=0，∴ x1+x2=，x1x2=（7 分）∴ k≠ 0， |AB| 2=（1+k2）（ x2﹣x1）2=3+≤ 4，当且仅当 9k2 =，即k=时等号成立，此时|AB|=2．（10分）当 k=0 时， |AB|=．（11分）综上所述： |AB| max=2，此时△ AOB面积取最大值=（12分）【评论】本题观察直线与圆锥曲线的综合问题，解答本题重点是对直线AB的位置关系进行议论，可能的最值来，本题因为要联立方程求弦长，故运算量比较大，又都是符号运算，极易犯错，做题时要谨慎仔细．利用弦长公式求弦长，规律固定，所以此类题难度降低许多，因为有此固定规律，方法易找，不过运算量较大．。