无理数指数幂
高一数学无理数指数幂知识点
高一数学无理数指数幂知识点在高一数学中，无理数指数幂是一个比较重要的知识点。
通过学习无理数指数幂，我们可以更好地掌握数的性质和运算规律。
本文将从无理数指数幂的定义开始，逐步探讨其性质和运算法则，以帮助读者更好地理解和应用这一知识。
一、无理数指数幂的定义无理数指数幂是指以无理数为底数，无理数为指数的幂运算。
在这种情况下，结果可能是一个有理数，也可能是一个无理数。
二、无理数指数幂的性质1. 无理数的任何正整数次幂都是无理数。
例如，√2的2次幂、3次幂、4次幂等都是无理数。
2. 无理数的负整数次幂可能是有理数或无理数。
例如，√2的负1次幂是1/√2，是一个有理数。
3. 无理数的零次幂被定义为1。
这样的定义是为了保持指数幂运算的一致性。
三、无理数指数幂的运算法则1. 同底数幂相乘：当两个幂具有相同的底数时，它们的指数相加。
例如，√2的3次幂乘以√2的2次幂等于√2的(3+2)次幂，即√2的5次幂。
2. 同底数幂相除：当两个幂具有相同的底数时，它们的指数相减。
例如，√2的3次幂除以√2的2次幂等于√2的(3-2)次幂，即√2的1次幂。
3. 幂的乘方：当两个幂进行乘方运算时，底数保持不变，指数相乘。
例如，(√2的3次幂)的2次幂等于√2的(3*2)次幂，即√2的6次幂。
4. 乘方的幂：当一个幂进行幂运算时，底数保持不变，指数相乘。
例如，√2的3次幂的2次幂等于√2的(3*2)次幂，即√2的6次幂。
四、应用举例1. 计算√2的2次幂。
根据性质2，无理数的负整数次幂可能是有理数或无理数，所以√2的2次幂可能是一个有理数或无理数。
计算结果是2，一个有理数。
2. 计算√2的0次幂。
根据性质3，无理数的零次幂被定义为1，所以√2的0次幂等于1。
3. 计算(√2的2次幂)的3次幂。
根据运算法则3，幂的乘方是底数保持不变，指数相乘。
所以(√2的2次幂)的3次幂等于√2的(2*3)次幂，即√2的6次幂。
通过以上的论述和例子，我们可以看出无理数指数幂具有一些特殊的性质和运算法则。
无理数指数幂及其运算性质
【解题策略】 指数运算在实际问题中的应用
在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计 算增减的次数、增减前后的数量等.
【跟踪训练】
从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用
水填满，以此继续下去，则至少应倒_______次后才能使纯酒精体积与总溶液
α 5 6 7 8 … 14 15 … 27
28
29
2α
32
64
128
256
…
163 84
327 68
…
13421 7728
26843 5356
53687 0912
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的
对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的
【解析】由x>1，α<0，得xα<x-α， 由xα+x-α=2 5，得x2α+2+x-2α=20， 所以x2α+x-2α=18， 所以xα-x-α= （x x）2 ＝ x2 2 x2＝ 18 2 =-4. 答案：-4
【变式探究】
将本例的条件变为“a+1 =5”，试求a2+a-2.
a
【解析】根据题意，a+ 1 =5，则 (a 1)2 =a2+ 1 +2=25，
=24m2=16m2.
答案：16m2
5.计算 9 2 3 2 6 2 =_______.
【解析】原式=3-
111
22 3 6
=3-2=1.
答案：1
C.20 736亩
D.17 280亩
【解析】选D.设年份为x，造林亩数为y，则y=10 000×(1+20%)x-1，
无理指数幂的定义问题
无理指数幂的定义问题zhcosin<zhcosin@>在中学数学的课本中，没有定义指数为无理数的幂，然而却提出了定义在全实数域上的指数函数，这是因为无理指数幂的定义要用到极限，本文的目的是为了在初等数学范围内给无理指数幂作一个解释，以解答中学生对此问题可能的疑惑。
在高等数学中，对无理指数幂的定义是，对于一个无理数r和一个实数a>0，用任意一个以r为极限的有理数的序列r i(i=1,2,...)去逼近它，无理指数幂a r的定义为a r=lim n→∞a r n.这个极限值是与序列r n无关的，用任何一个以r为极限的有理数序列，所得的那个极限都是相同的。
这就是高等数学中无理指数幂的定义。
接下来我们尝试在初等数学范围内解释一下无理指数幂定义。
先回顾一下在中学数学范围内是如何定义出一个实数的。
对于字面上能够写出来的数，比如整数2与小数3.2，我们清楚它的每一个数位上的数字是多少，我们就认为我们定出了一个数。
比如3.2的个位是3，十分位为2，其余为零。
有些数我们是不可能把它的每一位都写出来的，比如说无限循环小数1，但是我们清楚它的小数部分每一位都是3，这样我们也认为我们定出了3一个数。
圆周率π是一个自然界中存在的常数，这个无限不循环小数我们也不能把它的每一位都写出来，甚至我们为了确定它的小数部分第100位数是几都得经过一番计算，但无论如何，它的每一位数我们也是能够确定的，只是这需要一些计算而已1。
还有一些数，比如ln2，我们是用它所满足的一些性质来刻画它的，如果要问ln2的某一数位上的数字是几，我们也需要通过一些计算步骤才能得出2。
1这计算需要利用高等数学中的级数展开式2这同样需要利用高等数学中的级数展开式12所以我们可以说，我们认为我们定出了一个数，当且仅当我们能够回答出来这个数的每一个数位上的数字是多少，无论这个回答是立刻就能作出的，还是需要经过一系列的运算。
有了这点认识，我们要定义如像2√3这样的无理指数幂，我们只要能够按照某种规则确定出它的每一个数位上的数值就行了。
4.1.2无理数指数幂及其运算性质-新人教版高中数学优秀教案
4.1.2无理数指数幂及其运算性质教学内容无理数指数幂及其运算性质教学要求能举倒说明实数指数幂),10(R x a a a x ∈≠>且的含义,能说出指数幂的拓展过程，能说出实数 指数幂的运算性质。
教学重点与难点（1）重点：指数幂的推广；无理数指数幂的意义。
（2）难点：建立指数幂推广的整体架构；无理数指数幂的意义。
教学过程一、复习回顾,引入任务引导语 上一节课,我们从初中的二次方根、三次方根开始，先定义了n 次方根，又将之推广到根式，依据定义，用分类讨论的方法得出根式的性质；针对根式，转换表达形式，得到了分数指数幂，于是将指数的范围从正整数拓展到了有理数，依据数系扩充原则知道，原来正整数指数幂的运算法则依然适用于有理数指数幂。
为了研究指数函数、对数函数，我们要将指数的范围拓展到实数。
本节课我们将继续完成这一任务，接上一节课的研究，先熟练一下有理数指数幂及其运算性质。
二、类比研究,抽象概念1、无理数指数幂问题2我们将)0(>a a x 中指数x 的取值范围拓展到了有理数，那么,当指数x 是无理数时，)0(>a a x 的意义是什么？它是一个确定的数吗？追问1 回忆一下,你是如何认识2的，类比之，你将如何认识25？ 师生活动 学生回忆，老师帮助整理.取√2的不足近似值x 和过剩近似值y ，借助于表4.1-1（第108页）可以从数的角度看到相应的近似值都趋向于一个数，这个数就是2.猜想：是一个确定的实数，那么25也应该是一个确定的实数。
即无理数既然存在，无理数指数幂也应该存。
结论：25是一个确定的实数.追问2 你能类比上述过程说明23也是一个确定的实数吗?师生活动 学生用计算器进行计算，并在数轴上绘制相应的点.老师可以用追问1中使用的GeoGebra 软件演示动态变化过程.教师讲解 由以上实验探究过程可以想象,当指数工是无理数时，23是一个确定的实数.（设计意图 类比无理数的存在性,猜想无理数指数幂的存在性，并设计方案，开展实验探究，验证想的正确性,并通过变式,即追问2再一次经历相同的过程,强化对无理数指数幂意义的理解.达到对生数指数幂意义和存在性的理解，此外,通过类比无理数的夹逼方法，解释5的意义,让学生体会其中蕴含于为极限思想。
无理数指数幂及其运算性质-【新教材】人教A版高中数学必修
3
)3，所以有a21 a2
3
－a－2
1
－a－2
1
1
1
1
＝a2
－a－2
a＋a－1＋a2
1
1
·a－2
＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
a2 －a－2
[归纳提升] (1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已
知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条
1
1
件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过 a2 ＋a－2___.
3．(mn ) 3＝____n_3_m_－__3___.
关键能力·攻重难
题型探究 题型一 无理数指数幂的运算
例 1 计算下列各式：
(1)(3 23 2 2)3 2；
π 2π
a6 a 3 (2) aπ .
[解析] (1)原式＝(3 2×2 32)3 2＝36×22＝2 916.
件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求．
学科素养
用换元法处理指数幂中的化简与证明问题
例 4 已知 pa3＝qb3＝rc3，且1a＋1b＋1c＝1.求证：(pa2＋qb2＋rc2)13
1
1
1
＝p3 ＋q3 ＋r3 .
[分析] 看见三个式子连等，立刻想到赋中间变量，通过中间变量去 构建能用到题干中已知值的式子．
(1)无理数指数幂有的不是实数．
(2)指数幂 ax(a>0)中的 x 只能是有理数．
(3)(3 2) 2＝9.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] (1)无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确； (2)指数幂 ax(a>0)中的 x 是任意实数，不正确； (3)(3 2) 2＝3 2× 2＝32＝9，正确，故选 B．
2.1.1指数幂运算与无理数指数幂
3, 3
例6：已知x+x =3，求下列各式的值 (1)x x
2 1 2 2 1 2
1
2 x x 3 3 3 x x
3
补充：x y x y x
3
2
xy y
2
1 a b a b ________
4 4
2 2 2 ______
【题型4】分数指数幂或根式中x的定义域问 题根式运算 例5.求下列各式中x的范围
(1) 1 x ;
4
。
x≤1
(2).( x 1)
1 3 X≠1
(3)( x 1)
2 3
X∈R
(4).(1 2 x)
3 4 x 1
2
(5).(| x | 1)
1 3
思考2:观察上面两个图表，你能发现 5 2 的 大小可以通过怎样的途径来得到吗？ 结论:由一串逐渐增大的有理数指数幂的值
5
1.4
,5
1.41
,5
1.414
,5
1.4142
,
和另一串逐渐减小的有理数指数幂的值
5 ,5
1.5
1.42
,5
1.415
,5
1.4143
, 无限逼近得到
无理数指数幂
51.4
-6x+4=0的两根且a>b,
a b 求 的值. a b
1.分数指数概念
(1) a n a m ; m (2) a n 1 m an
m n
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
n
1 ; am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理数指数幂运算性质
高中数学第册学案：无理数指数幂及其运算性质含解析
4。
1。
2无理数指数幂及其运算性质必备知识·探新知基础知识知识点1 无理数指数幂无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是__一个确定的实数__。
思考1：2错误!一定是实数吗？提示：根据无理指数幂的定理2错误!是实数．知识点2 实数指数幂的运算性质(a>0，b>0,r，s∈R) (1)a r a s＝__a r＋s__.(2）(a r）s＝__a rs__.(3)(ab）r＝__a r b r__。
思考2：指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的?提示：基础自测1．下列说法正确的个数是（ B ）（1）无理数指数幂有的不是实数．（2)指数幂a x（a〉0)中的x只能是有理数．(3）（32)错误!＝9。
A．0 B．1C．2 D．3[解析］（1）无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确；(2)指数幂a x（a>0)中的x是任意实数，不正确;（3)（32)错误!＝3错误!×错误!＝32＝9，正确，故选B．2．a错误!a错误!＝__a错误!__.3．（nm）3＝__n错误!m－错误!__。
关键能力·攻重难题型探究题型一无理数指数幂的运算例1 计算下列各式：（1）（32错误!）3错误!；（2）错误!.［解析］(1）原式＝(3错误!×2错误!）3错误!＝36×22＝2 916。
(2）原式＝a错误!＋错误!－π＝a－错误!。
[归纳提升] 关于无理数指数幂的运算（1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算．（2）若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留．【对点练习】❶计算下列各式：（1）错误!2错误!；(2)（m错误!m－错误!）12.[解析] （1）原式＝（π3－错误!）2错误!＝（π错误!)2错误!＝π3。
(2)原式＝（m错误!－错误!）12＝（m错误!)12＝m2π。
题型二指数幂运算的综合应用例2 已知a错误!＋a－错误!＝3，求下列各式的值．（1)a＋a－1；(2）a2＋a－2；（3)错误!。
无理数指数幂
即 au+2h-au+h>au+h-au.
u
课堂导学
课前预学
数学运算——整体代换思想的应用
m
n
(1)已知 10 =2,10 =3,求 10
2x
(2)已知 a =3,求
3 + -3
+ -
3 -2
2
的值;
的值.
3
2
方法指导
(1)根据指数幂运算法则将原式转化为 10 ÷10n 即可求
范围.
课堂导学
课前预学
22
关于圆周率 π,祖冲之的贡献有二:①3.1415926<π<3.1415927;②用 7
355
作为密率,其中约率与密率提出了用有理数最佳逼近实数的问题.约
113
作为约率,
率可通过用连分数近似表示的方法得到,如
3.14159265=3+
1
1
0.14159265
1
1 22
≈3+7+0.0625135 ≈3+7= 7 ,舍去 0.0625135,得到逼近的一个
解析
1
1
n
1
假设 ≥1,则( ) ≥1,即 a≥1,这与 0<a<1 矛盾,故 <1 成立.
的概念
问题 1:如何理解5 2 的意义?
答案 5 2 是一个确定的实数.
问题 2:你能再给出一个无理数指数幂吗?
答案
能,如2 3 .
当 3的不足近似值从小于 3的方向逼近 3时,2 3 的近似值从小于2 3 的方向逼
近2 3 ;当 3的过剩近似值从大于 3的方向逼近 3时,2 3 的近似值从大于2 3 的方向逼
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9.73987262
9.738618643 9.738524602 9.738518332 9.738517862 9.738517752
9.738517736
1.4143
1.41422 1.414214 1.4142136 1.41421357 1.414213563
1.4142135
1.41421356
1.414213562
过剩 近似值 进一法
1.5
1.42
1.415
1.4143
1.41422
1.414214
1.4142136
1.41421357
1.414213563
2 1.414 213 562 373
5 的不足近似值与过剩近似值
2 的不足近似值
思考：类比以上过程， 请你说明无理数指数幂
2 的含义。
3
5
1.4143
5
1.415
5
1.42
11.5
5
1.5
无限逼近思想
类比已知，探求新知（四）： 一般地，无理数指数幂aα（a＞0，α是无理数）是一个 确定的实数.
有理数指数幂的运算性质
无理数指数幂的运算性质
(1)a r a s a r s (2)(a r ) s ห้องสมุดไป่ตู้a rs (3)(ab) r a r b r (a 0, b 0 , r , s R)
1.414 213 562 4
1.414213562
1.414 213 562 3
9.738517736
9.738517736
……
……
……
……
……
5 是一个唯一确定的实数
5
9.5
2
2
5
1.4
5 5
1.41
1.414
5
1.4142
5
1.41421
5
1.414213
5
5 1.414214
1.41422
随堂练习： 3、计算下面各式：
36 (1) 49
3 2
(2)2 3 3 1.5 6 12
(3)a
1 2
aa
x
1 3
1 4
1 8
(4)2
1 1 x3 2 2
x
2 3
随堂练习：
（1）用根式表示下列各式(a>0）
a
(1)
5 6
a
4
3 5
a
1.5 1.42 1.415
1.4142
1.41421 1.414213 1.4142135 1.41421356
9.738305174
9.738461907 9.738508928 9.738516765 9.738517705
0.001567446
0.000156736 0.000015674 0.000001567 0.000000157
2 3
（2）用分数指数幂表示下列各式：
m n ( m n)
6 5
(2) p q ( p 0)
(3)
m m
3
类比已知，探求新知（四）：
有理数 实数
整数 正分数 分数 0 负分数
无理数
问题： 是否可将指数幂的范围由有理数进一步推广到无理数呢？
2 =1.414 213 562 3 ……
2
2 1.414 213 562 373
5
2
的近似值a
| a－b ︳ 1.662070196 0.156965355 0.015680769
5
2
的近似值b
2 的过剩近似值
1.4 1.41 1.414
9.518269694 9.672669973 9.735171039
11.18033989 9.829635328 9.750851808
5
2
=51.414
213 562 3 ……
无限逼近思想
2 的不足近似值与过剩近似值
精确度 不足 近似值 舍一法
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.00001
0.000001
0.0000001
0.00000001
0.000000001 …
1.4
1.41
1.414
1.4142
1.41421
1.414213