线性代数环境科学中的应用
环境规划与管理的数学
概率论与统计在环境规划中的应用
01
概率论与统计是研究随机现象的数学方法，它在环境规划 中发挥着重要的作用。
02
通过概率论，可以对环境事件的概率分布进行描述和预测，如降 雨量、洪水频率等。统计方法则用于对环境监测数据进行描述性
城市规划中的数学优化
1 2
城市交通规划
通过数学模型对城市交通进行规划和优化，提高 交通运行效率，缓解交通拥堵问题。
城市土地利用
利用数学模型对城市土地利用进行优化，合理规 划城市空间布局，提高土地利用效率。
3
城市环境治理
通过数学方法对城市环境进行监测和治理，提高 城市环境质量，改善居民生活环境。
可持续发展的数学模型
智能监测
利用人工智能技术对环境进行实时监测和预警，提高环境管理的 效率和准确性。
智能决策
通过人工智能算法对环境数据进行深度学习和分析，为环境管理 提供智能化决策支持。
智能控制
利用人工智能技术对环境进行自动化控制和调节，实现环境管理 的智能化和精细化。
未来环境规划的挑战与机遇
A
气候变化
随着全球气候变化加剧，环境规划面临更大的 挑战，需要加强气候变化适应和减缓措施。
03 环境质量评估的数学模型
空气质量模型
空气质量指数模型
通过监测空气中的污染物浓度，计算出空气质量指数 ，评估空气质量状况。
大气扩散模型
模拟大气中污染物的扩散过程，预测不同气象条件下 的污染物浓度分布。
健康风险评估模型
基于污染物浓度和人群暴露水平，评估对健康的潜在 风险。
水质模型
01
02
2024年考研高等数学三环境工程中的数学应用历年真题
2024年考研高等数学三环境工程中的数学应用历年真题2024年的考研，作为环境工程专业的考生，面对高等数学这门课程，数学应用依然是其中的一大难点。
为了更好地帮助考生备考和复习，本文将通过分析历年真题，总结一些数学应用相关的知识点和解题技巧。
希望通过这个文章，能够为考生们提供一些帮助和指导。
1. 函数与导数应用函数与导数是高等数学中重要的基础知识点，也是许多数学应用问题的基础。
在环境工程中的数学应用中，通过函数与导数的分析，可以描述环境中的一些变化规律和趋势。
2. 微分方程与环境工程微分方程是环境工程中常常遇到的数学模型，通过建立相应的微分方程，可以描述环境中各种变化的规律。
在解题时，要根据实际情况选择合适的微分方程类型，并结合边界条件进行求解。
3. 概率与统计在环境工程中的应用概率与统计是环境工程中常用的数学方法，可以通过对数据的收集、整理和分析，得到环境中各种事件发生的概率，为环境工程师提供科学依据。
4. 线性代数与矩阵在环境工程中的应用线性代数与矩阵在环境工程中有广泛的应用，可以用于解决水质、大气质量等方面的问题。
在解题时，需要运用矩阵的性质和运算法则，结合实际问题进行求解。
5. 离散数学的应用离散数学是环境工程中一门重要的数学分支，它研究的是离散结构与离散对象的性质和关系。
在环境工程中，通过运用离散数学的方法，可以对环境中的一些离散事件进行建模和研究。
总结：通过以上对于2024年考研高等数学三环境工程中数学应用的历年真题的分析，我们可以发现在数学应用方面，环境工程专业的学生需要掌握各种数学工具和方法，并能够熟练地运用于实际问题中。
除了需要对各种数学知识点进行理解和掌握外，更要注重解题思路和方法的培养。
最后，希望广大考生能够认真学习和复习数学应用，掌握相关的知识点和解题技巧，在考试中取得好成绩。
同时也希望能够通过本文的介绍和分析，为考生们提供一些帮助和指导，祝愿大家顺利通过考研，实现自己的梦想！。
线性代数在环境保护中的应用有哪些
线性代数在环境保护中的应用有哪些在当今社会，环境保护已经成为全球共同关注的重要议题。
为了实现可持续发展，保护我们的生态环境，各种科学技术和方法被广泛应用。
其中，线性代数作为数学的一个重要分支，在环境保护领域也发挥着不可或缺的作用。
虽然它看似抽象和理论化，但实际上与环境保护的多个方面紧密相关。
首先，线性代数在环境监测数据的处理和分析中具有重要意义。
环境监测通常会产生大量的数据，如空气质量监测中的各种污染物浓度、水质监测中的各类化学物质含量等。
这些数据可以看作是多维向量或矩阵。
通过线性代数中的矩阵运算和线性变换，可以对这些数据进行整理、筛选和压缩，提取出有用的信息。
例如，在对多个监测站点的空气质量数据进行分析时，可以将每个站点不同时间的污染物浓度构建成一个矩阵。
通过线性代数中的特征值和特征向量分析，可以发现数据中的主要模式和趋势。
这有助于识别污染的主要来源、污染的传播方向以及季节性变化等规律。
线性代数在环境模型的建立和求解中也起着关键作用。
许多环境问题可以通过建立数学模型来描述和预测，比如大气污染物的扩散模型、水流和污染物迁移模型等。
以大气污染物扩散模型为例，它通常基于偏微分方程来描述污染物在大气中的传播过程。
为了求解这些方程，往往需要将其离散化为线性方程组。
线性代数中的求解线性方程组的方法，如高斯消元法、LU分解等，就可以被用来得到模型的数值解。
通过这些解，我们能够预测在不同的气象条件和污染源分布下，污染物在一定时间和空间范围内的浓度分布，从而为制定环境保护策略提供科学依据。
在环境图像处理方面，线性代数同样大显身手。
卫星遥感技术在环境监测中得到了广泛应用，它能够获取大面积的地表图像，包括植被覆盖、土地利用、水体分布等信息。
这些图像可以表示为数字矩阵，通过线性代数中的矩阵变换和滤波操作，可以对图像进行增强、去噪和特征提取。
比如，通过线性变换可以调整图像的对比度和亮度，使隐藏在图像中的环境特征更加清晰可见。
线性代数在现实生活中的应用
线性代数在现实生活中的应用线性代数在现实生活中的应用1．线性代数与彩票2．线性代数的矩阵图法3．线性代数在MATAL中的使用4．利用线性代数解决密码的编码与解码5．线性代数解决闭合经济问题6．利用线性代数解决世界人口预测问题7．商品市场占有率问题8．动物繁殖规律问题9．线性代数解决城乡流动人口问题10．线性代数求生产总值问题概述：近几十年来，随着科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，数学的应用领域已由传统的物理领域（包括力学，电子等学科以及土木，机电等工程技术）迅速扩展到非物理领域（人口，经济，金融，生物，医学等），数学在发展高科技，提高生产力水平和实现现代化管理等方面的作用越来越明显，这就要求我们如何将实际问题经过分析，简化，转化为一个数学问题，然后用一个适当的数学方法来解决。
线性代数是一个数学分支，是代数的一个重要学科，线性代数研究最多的就是矩阵，矩阵就是一个数表，而这个数表可以进行变换，以形成新的数表。
也就是说如果抽象出某种变化规律，就可以用代数的理论对研究的数表进行变换，并得到想要的一些结论。
因此，矩阵的应用日趋广泛，我们小组今天将会想各位介绍一小部分线性代数在现实生活中的应用，我们将通过一些典型案例来进行分析，使大家对线性代数有更深刻的了解。
1．线性代数与彩票旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。
旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。
所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。
旋转矩阵是世界上著名的彩票专家、澳大利亚数学家底特罗夫研究的，它可以帮助您锁定喜爱的号码，提高中奖的机会。
首先您要先选一些号码，然后，运用某一种旋转矩阵，将你挑选的数字填入相应位置。
如果您选择的数字中有一些与开奖号码一样，您将一定会中一定奖级的奖。
当然运用这种旋转矩阵，可以最小的成本获得最大的收益，且远远小于复式投注的成本。
旋转矩阵的原理在数学上涉及到的是一种组合设计：覆盖设计。
线性代数的应用与分析
线性代数的应用与分析线性代数是数学的一个分支，它研究向量空间和线性映射的性质与结构。
虽然线性代数在数学领域中有着重要的地位，但其应用和分析也渗透到了许多其他学科中，如计算机科学、物理学、经济学等。
本文将探讨线性代数在不同领域中的应用与分析。
一、计算机科学中的线性代数应用与分析在计算机科学中，线性代数被广泛应用于图形学、机器学习和密码学等领域。
在图形学中，线性代数可以用于描述和处理三维空间中的图形对象。
例如，通过矩阵变换可以实现图像的旋转、缩放和平移等操作。
在机器学习中，线性代数可以用于构建和求解线性方程组，从而实现对数据的拟合和预测。
在密码学中，线性代数可以用于设计和分析加密算法，如RSA算法中的模运算。
二、物理学中的线性代数应用与分析物理学是自然科学的一门学科，它研究物质和能量的运动与相互作用。
线性代数在物理学中有着广泛的应用，尤其是量子力学领域。
量子力学是描述微观粒子行为的理论，其中的波函数可以用向量表示。
通过线性代数的工具，可以对波函数进行运算和分析，从而得到粒子的能级、态矢和测量结果等信息。
此外，线性代数还可以用于描述和分析电磁场、热传导和振动等现象。
三、经济学中的线性代数应用与分析经济学是研究资源配置和经济行为的学科，线性代数在经济学中有着重要的应用。
例如，在经济模型中，可以使用线性代数的方法来求解均衡点和最优解。
线性代数还可以用于描述和分析市场供求关系、生产函数和投资组合等经济现象。
此外，线性代数还可以用于构建和求解输入产出模型，从而评估经济发展的效益和影响。
四、其他领域中的线性代数应用与分析除了计算机科学、物理学和经济学，线性代数还广泛应用于其他领域。
例如，在生物学中，线性代数可以用于描述和分析基因组的结构和功能。
在工程学中，线性代数可以用于建模和分析电路、信号处理和控制系统等问题。
在社会科学中，线性代数可以用于分析人口统计数据和社会网络的结构。
在环境科学中，线性代数可以用于建立和求解环境模型，从而评估环境影响和制定环境政策。
线性代数在生活中的应用
线性代数在生活中的应用
1. 在机器学习中，线性代数主要用于预测数据集分析和特征工程。
它可以用于建立联合概率模型，用于预测概率分布，以及结构化机器
学习算法的实现。
2. 线性代数可以用于人工智能的应用，例如深度学习的实施和语音识
别的实施。
它还可以用于控制系统的优化和控制，方式几何中解决二
次关系的数学模型建立和求解，以及移动机器人的自动导航。
3. 线性代数也被广泛应用于光学和信号处理技术中，主要用于图像处
理技术中图像处理系统和颜色变换系统的建立，以及视频、语音和数
字信号下降处理中的矩阵分析和计算。
4. 线性代数也被用于物流供应链管理中，用于供应商评估模型、竞争
力分析、计划优化和路径规划等领域。
线性代数还可用于机器人定位、定向和路径规划、空间集合建模和解算等方面。
浅谈线性代数在岩土工程中的应用
浅谈对线性代数的认识和其在岩土工程中的应用认识李浩东一对线性代数的认识：线性代数是重要的数学工具。
瑞典数学家Lars Garding说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。
”线性代数是研究有限维线性空间的线性理论与方法的一门学科，“有限维线性空间”是一种代数结构，“线性理论与方法”指的是线性映射（变换，算子）。
线性代数的核心理论：线性空间与线性变换。
第一个核心概念是线性空间。
空间的概念可以从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。
线形空间则比较初级，若在线性里面定义了范数，称赋范线性空间。
赋范线性空间如果满足完备性，则称巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，即为内积空间，内积空间再满足完备性，就得到Hilbert空间。
任何空间，其中都会有符合一定规则的变换，比如，拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换。
变换的本质是对应空间中的运动形式，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。
线性空间中的对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。
只要找到合适的基，用向量可以表示线性空间里的对象。
向量是一列数，这些数是有序的，本身携带的信息，同时还在每个数的对应位置上携带信息。
线性空间中的变换，被称为线性变换，从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，可以通过一个线性变化来完成。
线性变换如何表示呢？在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的变换，用矩阵与向量的乘法施加变换。
即，当选定一组基之后，就可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个变换。
而使某个对象发生对应变换的方法，就是用代表那个变换的矩阵，乘以代表那个对象的向量。
一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。
不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。
一些实际问题中的微积分和线性代数应用
一些实际问题中的微积分和线性代数应用微积分和线性代数是现代科学和工程领域中的两个基础学科。
这两门学科被广泛应用于物理学，经济学，工程学，计算机科学，环境学等领域。
本文将介绍一些实际问题中的微积分和线性代数应用，希望能够帮助读者更好地了解这两门学科的应用。
1.微积分应用：优化问题优化问题是许多实际问题中的一类重要问题，如工程设计，生产规划，财务管理等。
微积分提供了一种有效的工具来解决优化问题。
在具体应用中，我们通常需要找到函数的最大值或最小值。
例如，我们考虑一家工厂生产两种产品A和B，生产每单位A需要2小时，每单位B需要3小时。
A产品的利润为100元，B产品的利润为200元。
现在我们需要制定一个生产计划，以使利润最大化。
我们可以使用微积分的技术来解决这个问题。
我们假设工厂生产x单位A和y单位B，则工厂需要花费的总时间为2x+3y小时。
总利润为100x+200y元。
则我们可以将总利润表示为函数f(x,y)=100x+200y，花费总时间表示为限制条件2x+3y=24。
我们可以使用拉格朗日乘数法来求解这个问题。
首先我们构造一个新函数L(x,y)=f(x,y)+λ(2x+3y-24)。
这里λ是拉格朗日乘数。
我们使用偏导数的技术来求解这个问题。
具体地，我们求以下方程组的解：∂L/∂x=100+2λ=0∂L/∂y=200+3λ=0∂L/∂λ=2x+3y-24=0解出以上方程组，我们可以得到x=4，y=4，λ=-100/3。
这意味着工厂应该生产4单位A和4单位B才能实现最大利润。
总利润为1600元。
2.线性代数应用：线性回归问题线性回归是一种用于解决实际问题的强大工具。
例如，在经济学和金融学中，我们经常需要通过一些因素来预测股票价格、货币汇率和其他经济指标。
线性回归可用于确定这些因素的重要度和预测趋势。
假设我们想预测房屋价格，我们可以考虑使用线性回归。
为了简化问题，我们假设房屋价格只受到房屋面积的影响。
我们可以将所有房屋的价格表示为一个向量y，所有房屋的面积表示为一个向量x。
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线性代数环境科学中的应用12环境工程1班 李磊 卢春明 汪泽洋实验目的：大学数学是自然科学的基本语言，是应用模式探索现实世界物质运动机理的主要手段。
学习数学的意义不仅仅是学习一种专业的工具而已。
初等的数学知识、学习线性代数数学建模、函数模型的建立及应用，作为变化率的额倒数在几何学、物理学、经济学中的应用，抛体运动的数学建模及其应用，最优化方法及其在工程、经济、农业等领域中的应用，逻辑斯谛模型及其在人口预测、新产品的推广与经济增长预测方面的应用，网络流模型及其应用，人口迁移模型及其应用，常用概率模型及其应用，等等。
线性代数中行列式 实质上是又一些竖直排列形成的数表按一定的法则计算得到的一个数。
早在1683年与1693年，日本数学家关孝和与德国数学家莱布尼茨就分别独立的提出了行列式的概念。
之后很长一段时间，行列式主要应用与对现行方程组的而研究。
大约一个半世纪后，行列式逐步发展成为线性代数的一个独立的理论分支。
1750年瑞士数学家克莱姆也在他的论文中提出了利用行列式求解线性方程组的著名法则——克莱姆法则。
随后1812年，法国数学家柯西发现了行列式在解析几何中的应用，这一发现机器了人们对行列式的应用进行探索的浓厚兴趣。
如今，由于计算机和计算软件的发展，在常见的高阶行列式计算中，行列式的数值意义虽然不大，但是行列式公式依然可以给出构成行列式的数表的重要信息。
在线性代数的某些应用中，行列式的只是依然非常重要。
模型简介：例：有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮70克，磷8克，钾2克；乙种、 化肥每千克含氮64克，磷10克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮70克，磷5克，钾1.4克．若把此三种化肥混合，要求总重量23千克且含磷149克，钾30克，问三种化肥各需多少千克？ 解：题意得方程组依千克、、各需设甲、乙、丙三种化肥３２,1x x x⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.304.16.02,1495108,23321321321x x x x x x x x x ,527-=D 此方程组的系数行列式8127581321-=-=-=D D D ，，又 由克莱姆法则，此方程组有唯一解：3=x １;52=x ;.153=x 即甲乙丙三种化肥各需 3千克 5千克 15千克、矩阵实质上就是一张长方形的数表，无论是在日常生活中还是科学研究中，矩阵是一种非常常见的数学现象。
学校课表、成绩单、工厂里的生产进度表、车站时刻表、价目表、故事中的证劵价目表、科研领域中的数据分析表，它是表述或处理大量的生活、生产与科研问题的有力的工具。
矩阵的重要作用主要是它能把头绪纷繁的十五按一定的规则清晰地展现出来，使我们不至于背一些表面看起来杂乱无章的关系弄得晕头转向。
塌还可以恰当的给出事物之间内在的联系，并通过矩阵的运算或变换来揭示事物之间的内在联系。
它也是我们求解数学问题时候“数形结合”的途径。
矩阵的运算是非常重要的内容。
例：计算⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------⨯n n nn nn n n n n n nn nn 11111111112解：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------n n n n nn n n n n n n n 1111111111 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=11111111112n n n n⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=111111111122n n n n⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=)1()1()1(12n n n n n n n nn n n n n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=n n n n n n n n n n n n 111111111.,,2是幂等矩阵所以在此例中A A A =矩阵的初等变化，矩阵的秩，初等矩阵，线性方程组的解。
向量组的线性相关，向量空间，向量组的秩，n 维向量。
这些都是线性代数的核心概念。
线性代数在应用上的重要性与计算机的计算性能成正比例增长。
而这一性能伴随着计算机软硬件的不断创新提升，最终，计算机并行处理和大规模计算的迅猛发展将会吧计算机科学与线性代数紧密的联系在一起并广泛应用于解决飞机制造，桥梁设计，交通规划，石油勘探，经济管理等科学领域。
线性模型比复杂的非线性模型更易于用计算机进行计算。
线性方程组应用广泛。
主要有网络流模型，人口迁移模型，基因问题，求血液的流率和血管分支点出的压强等等。
线性方程组的解法其中至关重要的例： 求解齐次线性方程组.034022202432143214321⎪⎩⎪⎨⎧=---=--+=+++x x x x x x x x x x x x 解：施行初等行变换：对系数矩阵A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=341122121221A 1312~2r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------463046301221)3(~223-÷-r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000342101221~221r r -⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00003421035201即得与原方程组同解的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=--,0342,0352432431x x x x x x由此即得⎪⎩⎪⎨⎧--=+=,342,352432431x x x x x x ).,(43可任意取值x x 形式，把它写成通常的参数令2413,c x c x ==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=+=,,,342,3522413222221c x c x c c x c c x方阵的特征值、特征向量理论及方阵的相似对角化的问题，这些内容不仅在数学本身的研究中具有重要的作用，在其他的许多科学领域中也有重要的应用。
例如，在生物信息学中，人类基因的染色体图谱在进行DNA 序列对比是就用到了矩阵的相似，这个概念。
线性代数学习对数学建模十分必要。
那么, 为什么线性代数得到广泛运用, 也就是说, 为什么在实际的科学研究中解线性方程组是经常的事, 而并非解非线性方程组是经常的事呢? 这是因为, 大自然的许多现象恰好是线性变化的。
按照辩证唯物主义的观点, 世间的一切事物都是在不断地运动着的.所谓运动, 从数学上描述, 就是随时间而变化, 因此, 研究各个量随时间的变化率, 即导数, 与各个量的大小之间的关系, 就是非常重要的。
.1034350122214321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴c c x x x x应用举例：在用化学方法处理污水过程中, 有时会涉及到复杂的化学反应. 这些反应的化学方程式是分析计算和工艺设计的重要依据. 在定性地检测出反应物和生成物之后,可以通过求解线性方程组配平化学方程式.污水处理模型准备：某厂废水中含KCN, 其浓度为650mg/L. 现用氯氧化法处理, 发生如下反应:KCN + 2KOH + Cl 2 = KOCN + 2KCl + H 2O.投入过量液氯, 可将氰酸盐进一步氧化为氮气. 请配平下列化学方程式:KOCN + KOH + Cl 2 === CO 2 + N 2 + KCl + H 2O.(注: 题目摘自福建省厦门外国语学校2008-2009学年高三第三次月考化学试卷)模型建立：设x 1KOCN ＋ x 2KOH ＋ x 3Cl 2 === x 4CO 2 ＋ x 5N 2 ＋ x 6KCl ＋ x 7H 2O,则1261247141527362222x x x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=+⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩, 即1261247141527360200202020x x x x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+--=⎪⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎪-=⎪⎩ 模型求解：在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,0,0,0,-1,0;1,1,0,-2,0,0,-1;1,0,0,-1,0,0,0;1,0,0,0,-2,0,0;0,1,0,0,0,0,-2;0,0,2,0,0,-1,0];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’Matlab 执行后得 ans =1 2 3/2 1 1/2 3 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k(1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1)T.取k = 2得x = (2, 4, 3, 2, 1, 6, 2)T. 可见配平后的化学方程式如下2KOCN + 4KOH + 3Cl2 ===2CO2+ N2+ 6KCl + 2H2O.模型分析：利用线性方程组配平化学方程式是一种待定系数法. 关键是根据化学方程式两边所涉及到的各种元素的量相等的原则列出方程. 所得到的齐次线性方程组Ax= θ中所含方程的个数等于化学方程式中元素的种数s, 未知数的个数就是化学方程式中的项数n.当r(A) = n-1时, Ax = θ的基础解系中含有1个(线性无关的)解向量. 这时在通解中取常数k为各分量分母的最小公倍数即可. 例如本例中1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1分母的最小公倍数为2, 故取k = 2.当r(A) ≤n-2时, Ax = θ的基础解系中含有2个以上的线性无关的解向量. 这时可以根据化学方程式中元素的化合价的上升与下降的情况, 在原线性方程组中添加新的方程.模型的应用及推广：线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。
比如微分学研究很多函数线性近似的问题。
在实践中与非线性问题的差异是很重要的。