北师大版数学选修1-1作业：第3章 变化率与导数3.1
高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率作业1北师大版选修1-1(2021年整理)
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3。
1 变化的快慢与变化率[基础达标]1.将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR,则球的表面积增加ΔS等于（）A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π（ΔR)2C．4πRΔR＋4π（ΔR)2D．4π（ΔR）2解析：选B.ΔS＝4π（R＋ΔR）2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2.2.某质点的运动规律为s＝t2＋3,则在时间段（3，3＋Δt）中的平均速度等于（）A．6＋Δt B．6＋Δt＋错误!C．3＋Δt D．9＋Δt解析：选A.v＝错误!＝错误!＝错误!＝6＋Δt.3。
已知点P(2，8）是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为（）A．2 B．4C．6 D．8解析：选D。
Δy＝2（2＋Δx)2－2×22＝8Δx＋2（Δx）2，错误!＝错误!＝8＋2Δx,当Δx无限趋近于0时,错误!无限趋近于常数8.4.已知物体的运动方程为s＝t2＋错误!(t是时间,s是位移),则物体在时刻t＝2时的速度为（）A.194B.错误!C.错误!D。
错误!解析:选D.错误!＝错误!＝4＋Δt－错误!，当Δt无限趋近于0时,错误!无限趋近于错误!，∴选D.5.物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的速度为零,则相应的时刻为( )A．t＝1 B．t＝2C．t＝3 D．t＝4解析：选B.Δs＝－4(t＋Δt）2＋16(t＋Δt)－（－4t2＋16t)＝16Δt－8t·Δt－4（Δt)2。
高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率精练含解析北师大版选修1_10416228.doc
§1 变化的快慢与变化率1.f(x)=3x在x从1变到3时的平均变化率等于()A.12B.24C.2D.-12解析:Δy=f(3)-f(1)=33-3=24,∴=12.故选A.答案:A2.已知函数y=,当x由2变为1.5时,函数的增量为()A.1B.2C.D.解析:Δy=.答案:C3.某物体的运动规律是s=s(t),则该物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是() A.B.C.D.解析:由平均速度的定义可知,物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比,所以,故选A.答案:A4.如图,函数f(x)在A,B两点间的平均变化率是()A.1B.-1C.2D.-2解析:所求平均变化率等于=-1.答案:B5.已知函数f(x)=2x2+3的图像上一点(1,5)与邻近一点(1+Δx,f(1+Δx)),则等于()A.4+2ΔxB.4+(2Δx)2C.4xD.4解析:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2+3-(2×12+3)=4Δx+2(Δx)2,∴=4+2Δx,故选A.答案:A6.导学号01844030函数y=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx 到x0之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为()A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.不确定解析:由定义可知k1=2x0+Δx,k2=2x0-Δx,因为Δx可正、可负但不可为0,所以k1与k2大小不确定.故选D.答案:D7.质点运动规律为s=gt2,则在时间区间(3,3+Δt)内的平均速度等于(g=10m/s2).解析:Δs=g×(3+Δt)2-g×32=×10×[6Δt+(Δt)2]=30Δt+5(Δt)2,=30+5Δt.答案:30+5Δt8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如下图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,则三者的大小关系为.解析:由平均速度的定义结合图像知.答案:9.已知函数f(x)=x2+x,分别计算f(x)在自变量x从1变到3和从1变到2时的平均变化率.解自变量x从1变到3时,函数f(x)的平均变化率为=5,自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为=4.10.导学号01844031一小球沿一斜面自由滚下,其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位:m,时间单位:s).求小球在5到6 s间的平均速度和5到5.1 s间的平均速度,并与匀加速直线运动速度公式求得的t=5 s时的瞬时速度进行比较.解=36-25=11(m/s),=10.1(m/s).由于小球做匀加速直线运动,且初速度为0,故s=at2=t2,∴a=2(m/s2),5 s时的速度v=at=2×5=10(m/s).∴5到5.1 s间的平均速度更接近5 s时的瞬时速度.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章 知识归纳：变化率与导数
3.2 导数的概念及其几何意义变化率问题1.平均变化率：已知函数y =f (x )，令Δx=21x x -，21()()y f x f x =-，则当0x ≠时，比值2121()()f x f x x x --=y x，称作函数f (x )从1x 到2x 得平均变化率. 2.瞬时速度：物体在某一时刻的速度.3.求自变量的增量Δx=0x x -，函数的增量000()()()()y y y f x f x f x x f x =-=-=+-4.求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00，要注意Δx 、y 的值可正、可负，但0x ≠，y 可为零，若函数f (x )为常值函数，则y =0导数的概念1.导数：一般地，函数y =f (x )在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000= xy x ∆∆→∆0lim .我们称它为函数y =f (x )在0x x =处的导数，记作f ′(x 0)或f ′(x 0)，即f ′(x 0)=x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000. 2.对导数的定义要注意两点：第一：Δx 是自变量x 在0x 处的该变量，所以Δx 可正可负，但0x ≠；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量之比的极限值，因此它是一个常数而不是变数.3.求函数y =f (x )在点x 0处的导数的方法是：(1)求函数y =f (x )的增量Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0);(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00; (3)取极限，得函数f ′(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim . 导数的几何意义1.导数的几何意义k=tanα=f′(x0)函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0).切线方程可表示为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).2.可以利用导数求曲线的切线方程,方法：①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0).②得切线方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).特例：如果曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数不存在，就是切线平行于y 轴，这时根据切线定义，可得切线方程为x=x0.3.导数与切线的关系.①f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角.②f′(x0)<0,切线与x轴正向的夹角为钝角.③f′(x0)=0，切线与x轴平行.④f′(x0)不存在，切线与y轴平行.。
北师大版选修1-1高中数学第三章《变化率与导数》ppt章末归纳总结课件
函数 y＝f(x)的导函数 f ′(x)，就是当 Δx→0 时，函数的增
量 Δy 与自变量的增量 Δx 之间的比值ΔΔxy的极限，即 f ′(x)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx＋Δx－fx
Δx
.
2．导数的意义 (1)几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)就是曲 线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率 k，即 k＝f ′(x0)． (2)物理意义：函数 s＝s(t)在点 t 处的导数 s′(t)，就是当物 体的运动方程为 s＝s(t)时，运动物体在时刻 t 时的瞬时速度 v， 即 v＝s′(t)．而函数 v＝v(t)在 t 处的导数 v′(t)，就是运动物 体在时刻 t 时的加速度 a，即 a＝v′(t)．
• 6l求． 1，KQ设若的直l长2线交．lx1轴与于曲Q线点y，＝又相作切P于K垂P，直直于线x轴l2过，P垂且足垂为直K于，
• [分析] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变 形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算 量，提高运算速度，减少差错．
[解析] (1)y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23.
1
1
(2)先化简，得 y＝－x2 ＋x－2
∴y′＝－12x－12 －12x－23 ＝－2x＋ x 1x.
(3)y′＝x2′sinsxi－n2xx2sinx′ ＝2xsinsxi－n2xx2cosx. (4)解法 1：y′＝2csoisnxx＋3scionsxx′ ＝2csoinsxx′＋3csoinsxx′ ＝2cos2cxo＋s22xsin2x＋－3sins2ixn－2x3cos2x ＝co2s2x－sin32x.
[解析] (1)y＝u－4，u＝1－3x. ∴y′＝y′u·u′＝(u－4)′·(1－3x)′ ＝－4·u－5·(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5＝1－123x5.
北师大版选修1-1高中数学第三章《变化率与导数》ppt课件
北师大版 · 选修1-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 变化率与导数
●情景导学 在阳光明媚的春天，外出旅游 是一件非常惬意的事情，爬爬山、 看看大海，既锻炼了身体，开阔了 眼界，又愉悦了心情．在登山时， 你是否有这样的感觉：当山坡比较 平缓时，会步履轻松，而当山坡比较陡峭时，就会气喘吁吁．当 然你可以从物理角度来解释这种现象，可是你有没有思考过其 中蕴含的数学知识呢？
●学法探究 1．要注意理解导数的物理意义及几何意义，尤其是几何意 义在解决曲线的切线问题上具有广泛的应用． 2．公式要记牢，尤其是指数函数与对数函数的求导公式比 较容易记混，要在应用中理解并记忆，积函数与商函数的导数 公式要弄清区别．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。6
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/13
最新中小学教学课件
北师大版高中数学选修1-1：第三章变化率与导数_习题 3--1_课件1共36页
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
北师大版高中数学选修1-1：第三章变化 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。 率与导数_习题 3--1_课件1
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
北师大版高中数学选修1-1：第三章 变化率与导数 复习课件
3、若f(x)=sin x，则 f ' ( x ) = cos x
4、若f(x)=cos x，则 f ' ( x ) = -sin x
5、若f(x)=ax，则 f ' ( x ) = ax lna
6、若f(x)=ex，则 f ' ( x ) = e x
7、若f(x)=loga x，则 f'(x)
此时割线PT斜率的极限就是曲线C在点P处的切线 的斜率，用极限运算的表达式来写出，即
k=tanα=
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
导数的概念：
1、导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给
自变量x以增量△x，函数y相应有增量
△y=f(x0+△
x)－f(x0)，若极限
练习3、求下列函数的导数。
本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比 值，再利用导数的运算法则（3）来计算。
练习4、求曲线 y = 9 在点M(3，3)处
x
的切线的斜率及倾斜角。
解：
y′=
9 x2
代入x=3，得 y′= 1。
斜率为-1，倾斜角为135°。
1
1
练习5、判断曲线y= 2 x2在（1，2 ）处
1 xlna
8、若f(x)=ln x，则 f '(x) 1
x
导数的运算法则:
法则1：两个函数的和(差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(差)，即：
法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函 数的导数，即：
法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘第二个函数，减去第一个函数乘第二个函 数的导数，再除以第二个函数的平方。即：
北师大版高中数学选修1-1第三章变化率与导数同步练习.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第三章 变化率与导数 同步练习一.选择题(每小题5分,共40分)1．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则x y ∆∆为( )A ．Δx ＋x ∆1＋2 B ．Δx －x ∆1－2 C ．Δx ＋2 D ．2＋Δx －x∆1 2．物体自由落体运动方程为s (t )＝21gt 2，g ＝9．8m/s 2， 若0lim →∆t ts t s ∆-∆+)1()1(＝g ＝9．8 m/s ，那么下面说法正确的是( ) A ．9．8 m/s 是0～1 s 这段时间内的平均速度B ．9．8 m/s 是从1 s 到1＋Δs 这段时间内的速度C ．9．8 m/s 是物体在t ＝1这一时刻的速度D ．9．8 m/s 是物体从1 s 到1＋Δs 这段时间内的平均速度3．一直线运动的物体，从时间t 到t+△t 时，物体的位移为△s ，那么ts t ∆∆→∆0lim 为( )A ．从时间t 到t+△t 时，物体的平均速度B ．时间t 时该物体的瞬时速度C ．当时间为△t 时该物体的速度D ．从时间t 到t+△t 时位移的平均变化率4．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则P 点的坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)C ．(－2，－8)或(2，8)D ．(－1，－1)或(1，1)5．设函数f(x)在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000等于( ) A ．)('0x f B ．)('0x f - C ．0'()f x - D ．0'()f x --6．若13)()2(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则)('0x f 等于( ) A ．32 B ．23 C ．3 D ．2 7．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为( )A ．90°B ．0°C ．锐角D ．钝角 8．对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为( )A ．4)(x x f =B ．2)(4-=x x fC ．1)(4+=x x fD ．2)(4+=x x f 二,填空题:(每小题5分,共20分)9．y ＝x 1x 2－2在点(1，－23)处的切线方程为________． 10．已知曲线y ＝x ＋x 1，则y ′|x ＝1＝________．11．曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线为2x ＋y ＋1＝0，则y ′|x ＝a 的符号为________．12．物体运动方程为s ＝4t －0．3t 2，则t ＝2时的速度为________．三,解答题:13．(本题10分)动点沿x 轴运动，运动规律由x ＝10t ＋5t 2给出，式中t 表示时间(单位s )，x 表示距离(单位m)，(1)当Δt ＝1，Δt ＝0．1，Δt ＝0．01时，分别求在20≤t ≤20＋Δt 时间段内动点的平均速度．(2)当t ＝20时，运动的瞬时速度等于多少？14．(本题10分)已知函数f (x )在x ＝a 处可导，且f ′(a )＝A ，求a x →lim ax x a f a x f ----)2()2(．15．(本题10分)在抛物线2x y =上求一点P ，使过点P 的切线和直线3x-y+1=0的夹角 为4π.16．(本题10分)求经过点（2，0）且与曲线xy 1=相切的直线方程.参考答案:一,选择题: 1.C 2.C 3.B 4.D 5.C 6.B 7.C 8.B二,填空题: 9．2x －2y －5＝0 10．21 11．小于0 12．2．8 13．解：(1)tt t t x ∆+-∆++∆+=∆∆∙∙222052010[]])20(5)20(10[＝210＋5Δt Δt ＝1时，v ＝215(m/s)Δt ＝0．1时，v ＝210．5(m/s)Δt ＝0．01时，v ＝210．05( m/s)(2)0lim →∆t t x ∆∆＝ 0lim →∆t (210＋5Δt )＝210(m/s) 14．解：令x －a ＝Δx 则f ′(a )＝0lim →∆x xa f x a f ∆-∆+)()(＝A a x →lim a x x a f a x f ----)2()2(＝0lim →∆x xx a f a x f ∆∆--+∆)()2( ＝0lim →∆x xa f x a f a f a x f ∆-∆---+∆)]()([)]()2([ ＝20lim →∆x x a f a x f ∆-+∆2)()2(＋0lim →∆x xa f ax a f ∆---)()(＝2A ＋A ＝3A 15、由导数定义得f′(x)=2x，设曲线上P 点的坐标为),(00y x ，则该点处切线的斜率为02x k p =，根据夹角公式有13213200=⋅+-x x 解得10-=x 或410=x ，由10-=x ，得10=y ；由410=x ，得1610=y ； 则P （-1，1）或)161,41(P 。
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第三章 3.1
A 级 基础巩固
一、选择题
1．函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 等于( D )
A ．f (x 0＋Δx )
B ．f (x 0)＋Δx
C ．f (x 0)·Δx
D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)
[解析] 写出自变量x 0和x 0＋Δx 对应的函数值f (x 0)和f (x 0＋Δx )，两式相减，就得到了函数值的改变量．
2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点(32，314)及邻近一点(32＋Δx ，314＋Δy )，则Δy Δx
＝( D ) A ．3
B ．－3
C ．－3－(Δx )2
D ．－Δx －3
[解析] ∵Δy ＝f (32＋Δx )－f (32
)＝－3Δx －(Δx )2， ∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx
＝－3－Δx .故选D ． 3．f (x )＝3x 在x 从1变到3时的平均变化率等于( A )
A ．12
B ．24
C ．2
D ．－12
[解析] Δy ＝f (3)－f (1)＝33－3＝24，
∴Δy Δx ＝243－1＝12.故选A ． 4．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x
中．平均变化率最大的是( B )
A ．④
B ．③
C ．②
D ．①
[解析] ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.
5．已知函数y ＝2x
，当x 由2变为1.5时，函数的增量为( C ) A ．1
B ．2
C ．13
D ．32
[解析] Δy ＝21.5－22＝13
. 6．(2019·杭州高二检测)设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( A )
A ．2.1
B ．1.1
C ．2
D ．0
[解析] ∵函数f (x )＝x 2－1的自变量x 由1变成1.1，所以Δx ＝1.1－1＝0.1，Δy ＝(1.12－
1)－(12－1)＝0.21，
∴Δy Δx ＝0.210.1
＝2.1.故选A ． 二、填空题
7．y ＝x 2－2x ＋3在x ＝2附近的平均变化率是__2＋Δx __.
[解析] Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋3－(22－2×2＋3)＝(Δx )2＋2Δx .
∴Δy Δx ＝(Δx )2＋2Δx Δx
＝Δx ＋2. 8．物体的运动方程是s (t )＝4t －0.3t 2，则从t ＝2到t ＝4的平均速度是__2.2__.
[解析] 由题意，可得Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝
4.4，
∴平均速度为Δs Δt ＝4.42
＝2.2，故填2.2. 三、解答题
9．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s ＝s (t )＝t 2(位移单位：m ，时间单位：s)．求小球在5到6秒间的平均速度和5到5.1秒间的平均速度，并与匀速直线运动速度公式求得的t ＝5时的瞬时速度进行比较．
[解析] v －1＝s (6)－s (5)6－5
＝36－25＝11(m/s)， v －2＝s (5.1)－s (5)5.1－5
＝5.12－520.1＝10.1(m/s)． 由于小球做匀速直线运动，且初速度为0，
故s ＝12
at 2＝t 2， ∴a ＝2，
5秒时的速度v ＝at ＝2×5＝10(m/s)．
∴5到5.1秒间的平均速度更接近5秒时的瞬时速度．
B 级 素养提升
一、选择题
1．函数y ＝f (x )＝x 2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为k 1，在区间[x 0－Δx ，x 0]上的平
均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( A )
A ．k 1＞k 2
B ．k 1＜k 2
C ．k 1＝k 2
D ．不确定
[解析] k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx
＝2x 0＋Δx ，
k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx
＝2x 0－Δx . 由题意知：Δx >0，∴k 1>k 2，选A ．
2．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx
＝( D )
A ．3
B ．3Δx －(Δx )2
C ．3－(Δx )2
D ．3－Δx
[解析] Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)
＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2)
＝－(Δx )2＋3Δx .
∴Δy Δx ＝－(Δx )2＋3Δx Δx
＝－Δx ＋3. 3．已知物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8m/s 2，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt
，当Δt 趋于0时，v 趋近于9.8 m/s ，则9.8 m/s( C )
A ．是物体从0 s 到1 s 这段时间的平均速度
B ．是物体从1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间的平均速度
C ．是物体在t ＝1 s 这一时刻的瞬时速度
D ．是物体在t ＝Δt s 这一时刻的瞬时速度
[解析] 根据瞬时变化率的概念可知．
二、填空题
4．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为
28π3 . [解析] ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3
， ∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3
. 5．已知s (t )＝12gt 2，则t ＝3s 到t ＝3.1s 的平均速度为__30.5m/s__.(g 取10 m/s 2)
[解析] 平均速度为Δs Δt ＝12g (3.12－32)3.1－3
＝30.5(m/s)． 三、解答题
6．已知质点M 按规律s ＝3t 2＋2做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．
(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求Δs Δt
； (2)求质点M 在t ＝2时的瞬时速度．
[解析] Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt
＝3(t ＋Δt )2＋2－(3t 2＋2)Δt
＝6t ＋3Δt .
(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，
Δs Δt
＝6×2＋3×0.01＝12.03 cm/s. (2)当Δt 趋于0时，6t ＋3Δt 趋于6t ，
∴质点M 在t ＝2时的瞬时速度为12 cm/s.
7．试计算余弦函数f (x )＝cos x 在自变量x 从0变到π3和从π3变到π2
时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
[解析] 自变量x 从0变到π3
时，函数f (x )＝cos x 的平均变化率为： f (π3)－f (0)π3－0＝cos π3－cos0π3
＝－32π. 自变量x 从π3变到π2
时，函数f (x )＝cos x 的平均变化率为： f (π2)－f (π3)π2－π3＝cos π2－cos π3π6
＝－3π. 因为|－32π|<|－3π|，所以函数f (x )＝cos x 在自变量x 从π3变到π2
时函数值变化得较快．
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