8字形全等图形的应用 ppt课件
8字形全等图形的应用 PPT
不同点是什么？
全等“ ”字形图形特征
图1
图2
1.两条线段相交——对顶角相等 2.交点是两条相交线段的中点——相等线段 3.一组对边平行——角相等
如图，已知ΔABC，点D在AB的延长线上，且 BD=AB ，你能利用“8字形”构造出与ΔABC 全等的图形吗？你是怎么做的？
方法1：延长 CB到点E，使 BE=BC，连结 EF。
8字形全等图形的应用
线段相等
在一对 全等三角形中
在同一个 三角形中
1．如图1，AC、BD相交于点O,OA=OC,OB=OD, 求证：DC=BA
图1
图2
2.如图2，AC、BD相交于点O, OA=OC，AB∥CD, 求证：DC=AB
思考（1）这两道题目的图形有什么共同特点？
（2）这两道题目所给条件的相同点是什么？
方法2：过点F 作AC的平行 线交CB延长线 于点E。
不在同一个 三角形中； 不在一对全等 三角形中
转 化
转
线段相等 化
等 腰
三
角
形
在一对全等 在同一个
三角形中
三角形中
直
角
三
角
形
复杂 图形
转 化 基础
图形
不在同一个 三角形中； 不在一对全等 三角形中
转
转
化
线段相等 化
在一对全等 三角形中
在同一个 三角形中
思考：构造8字形全等图形后能得到什么结论？
例1（3）已知：如图，AD为ΔABC的中线，E为AC上 一点，连接BE与AD交于点F,且AE=EF.求证：BF=AC.
A
E F
B
D
C
方法1：延长 CB到点E，使 BE=BC，连结 EF。
初中数学课件全等三角形常用模型 - 8字形
确认预判Ⅲ
如图，//， = ， = ．请写出与的数量关系，
并证明你的结论．
课程目标
1.理解并掌握三角形全等里面的“8”字模型等常用模型；
2.熟练应用这些模型解决三角形全等相关问题.
知识讲解
五、“8”字全等
例题讲解
如图，与相交于点, = , = ．
例题讲解
如图，在四边形中，是的中点延长、相交于点,
∠ = ∠ + ∠．求证： = ．
例题讲解
证明：
∵ //，
∴∠＝∠，∠＝∠，
在△ 和△ 中
ቐ
∴△ ≅△ ()，
∴＝，
∵ − ＝，
√
全等三角形的常用模型
“8”字全等
思维导图
确认预判Ⅰ
△ 中， = ，三条高，，相交于O，那么图中
全等的三角形有(
)对.
确认预判Ⅱ
如图，已知线段、相交于点, = , = ．
(1)求证：△ ≅△ ;
(2)当 = 5时，求 的长．
求证： ∠ = ∠．
例题讲解Байду номын сангаас
证明：
在△ 和△ 中，
=
ቐ∠ = ∠
=
∴△ ≅△ () ，
∴∠ = ∠（全等三角形对应角相等）．
应用练习
如图，与相交于点, = , ∠ = ∠.
求证: △ ≅△
∴ − ＝．
∠ = ∠
∠ = ∠
=
应用练习
如图，点是上一点，交于点, = , ∥ .
求证: − = .
课堂小结
1. 确定好是哪两个三角形全等.
2. 确定两个三角形中的已相等条件（是否有“8”字形状）.
3. 确定好判定方法.
苏科版八年级数学上册1.1《全等图形》(共11张PPT)
(3)
图（1）、（2）、（3）中的两个全等图形， 怎样改变其中一个图形的位置可以得到另一 个图形？
B C
90°
A
1.8
D
1.如图，四边形ABCD与四边形EFGH全等，根据 图中的数据，则CD=____，EH=___,∠E=_____
练一练
2.用不同的方法沿着网格线把 正方形分割成两个全等图形。
练一练
我们看看下面的几种划分方法，与你的 划分方法对比一下，看看自己是如何划 分的。
议一议： 上图中，（4）和（7）、（5）和 （10）为什么不是全等图形？
(4)
(7)
(5)
(10)
两个图形面积相同， 但形状不同；
两个图形形状相同， 但大小不同。 形状与 它们不能重合，不是全等图形 大小全 都相同
全等图形的特征是：能够完全重合。
练一练：请判断下列哪些属于全等图形__________ （1）两个面积相等的等腰三角形 （2）两个周长相等的等腰三角形 （3）两个面积相等的等边三角形 （4）两个周长相等的等边三角形 （5）两个周长相等的长方形（矩形） （6）两个面积相等的长方形（矩形） （7）两个周长相等的圆 （8）两个面积相等的圆
观察下面的图形：
你有什么发现？
能完全重合的图形叫做全等图形.
两个图形全等，它们的形状、大小相同.
A D
பைடு நூலகம்
B
C E
F
请举例，生活中还有哪些属于全等图形？
观察下图，从中找出全等图形，与同学交流。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
全等图形有： （1）和（9）、（2）和（8）、（3）和（6）。
2020年中考数学几何复习课件：八字模型模型(19张ppt)
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D
∠D-∠B=∠C-∠A
八字形模型秒杀技巧
8.如图，BP平分∠ABC交CD于F，DP平分∠ADC交AB于E，AB与CD相交于G，如果 ∠A=42°，∠C=38°，求∠P的度数
构造“8”字形
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D
∠D-∠B=∠C-∠A
八字形模型秒杀技巧
∠D-∠B=∠C-∠A
八字形模型秒杀技巧
6：如图，BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∠A=46°，∠P=55°，求∠C
构造“8”字形
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D
∠D-∠B=∠C-∠A
八字形模型秒杀技巧
7 ： 如 图 , 已 知 B P 平 分 ∠ A B C 、 D P 平 分 ∠ A D C , D P 与 B P 交 于 点 P, A B 与 C D 交 于 点 O, 若 ∠A=40°,∠C=36°,求∠P的度数.
诀曰：歪八套，和歪 A，形影不离似孪生。 特殊的三对相似（和四点共圆结合理解更加妙趣横生）
A
D O
OD∽△BOC，添油加醋— ∠A+∠D=∠B+∠C
八字形模型秒杀技巧
如 图 ， 直 线 A D, B C 交 于 点 O, 连 接 A B , C D ， 构 造 出 “ 8 ” 字 型 角
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D ∠D-∠B=∠C-∠A
八字形模型秒杀技巧
1.如图，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB. （1）求证：∠A+∠D=∠C+∠B； （2）若∠A=40°，∠C=60°，则∠D-∠B= ； （3）若∠C=α，∠A=β（α＞β），则∠D-∠B= .
图形的全等(课件ppt）
新知讲解
全等的表示方法
A
F
B
CD
E
△ABC 与△DEF 全等 记作“△ABC ≌△DEF ” 读作： △ABC 全等于△DEF 注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
新知讲解
【议一议】 全等三角形对应边的高、中线相等吗？还有哪些相等的线段，举例 说明．
相等 全等三角形对应角的角平分线也相等
＝2∠CAB＋10°＝120°， ∴∠CAB＝55°.∵∠B＝∠D＝25°， ∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－55°－25°＝100°.
课堂总结
全等形：能够完全重合的 两个图形叫作全等形.
全等三角 形
全等三角形：能够完全重合的两个 三角形叫作全等三角形.
全等三角 形的性质
全等三角形的 对应边相等
新知讲解
【议一议】
如图 ，已知△ABC ≌ △A′ B′ C′ ，你如何在△A′ B′ C′ 中画出与线
段DE 相对应的线段？
A
A′
E
B
D
C B′
C′
新知讲解
【议一议】 如图 ，已知△ABC ≌ △A′ B′ C′ ，你如何在△A′ B′ C′ 中画出与线 段DE 相对应的线段？
①在A'B'上截取B'E'=BE,在B'C'上截取B'D'=BD
（1）你能说出生活中全等图形的例子吗？
（2）观察下面三组图形，它们是不是全等图形？为什么？与同伴交 流．
形状相同 大小不同
形状不同 大小相同
√
新知讲解
（3）如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同吗？
全等图形的形状和大小都相同．
全等图形PPT课件
△ABC≌△FDE
对应的位置上.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结 全等三角形的有关概念及性质
例 如图，已知△ABD≌△CDB，∠ABD＝∠CDB，写出其对应边和对应角．
解：BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边； ∠A与∠C，∠ABD与∠CDB，∠ADB与 ∠CBD是对应角．
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
角形的定义.
A
D
B
CE
F
定义：能够完全重合的两个三角形,叫作全等三角形.重合的点 叫做对应点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
全等三角形的有关概念及性质
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
A
F
B
CD
E 记两个三角形全等
时，通常把表示对
应顶点的字母写在
全等三角形的有关概念及性质
对应元素 确定方法
对应边
长对长，短对短，中对中 公共边一定是对应边
大角对大角，小角对小角 对应角 公共角一定是对应角
对顶角一定是对应角
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
全等三角形的有关概念及性质
练一练：如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角 形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角.
那么BC的长是( A ) A.7cm
C
D
B.5cm
C.4cm
D.无法确定
A
B
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
3.如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°， 则∠EAC的度数为( B ) A.40° B.35° C.30° D.25°
“8”形在解答几何题中的妙用
“8”字型在解答几何题中的妙用高台中学 教师 何光银如图，线段AB ，CD 相交于O,连接AD,CB,我们把形如此图的图形称之为”8”字形，根据三角形的内角和或三角形的外角性质和有∠A+∠B=∠C+∠D,有些几何题如果我们能巧妙地运用 该性质，能收到事半功倍的效果。
下面举例说明一，利用”8”字形数量关系求不规则几何图形的多个角的度数和， 题目1、如图1，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的值。
分析： 直接利用“8”字形的数量关系得出∠E+∠F=∠OBC+∠OCB ，再利用四边形内角和定理得出答案． 解答：连接BC ，∵∠E +∠F =∠OBC +∠OCB ，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F=∠A +∠D +∠ABC +∠DCB=360∘.题目：2、如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数。
分析：连接ED ，由“8”形的数量关系得出∠A+∠B=∠BED+∠ADE ，由四边形内角和是360°，即可求∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠BEF+∠F=360°．解答：如图，连接ED.∵∠A+∠B=∠BED+∠ADE∴∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠BEF+∠F=∠DEF+∠EDC+∠C+∠F.又∵∠DEF+∠EDC+∠C+∠F=360∘，∴∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠BEF+∠F=360∘.题目3、如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n⋅90∘，则n=___.分析：连接AB，由“8”形的数量关系得出∠DAB+∠GBA=∠D+∠G,因为五边形ABCEF的内角和和为540°，即可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°，从而可求出n的值为6.解答：如图连接A B∵∠DAB+∠GBA=∠D+∠G∴∠F AB+∠A BC+∠C+∠E+∠F=540°∠F AD+∠DA B+∠ABG+∠GBC+∠C+∠E+∠F=∠F AD++∠GBC+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°∴n⋅90∘=540°∴n=6巧妙连线，灵活运用“8”字形的数量关系，将不规则多边形很多角的度数和切换成形多边形的内角和，是解决问题的关键。
8字形的应用
8字形的探究应用
在三角形的学习过程中，8字形作为一个重要的基本图形，在计算和证明中多次出现，现在我们对8字形进行进一步的探究，总结，升华。
图1是△ABC ，求证：∠A+∠B+∠C=180°
2中，线段AB 、CD 相交于点O ，连接
AD 、CB 。
证明∠A 、∠B 、∠C 、∠D
之间的关系。
（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ．
（2）图（2）中的点A 向下移到BE 上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E ）有无变化
（3）把图（
2）中的点C 向上移到BD 上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+
∠D+∠E ）有无变化说明你的结论的正确性．
（1）如图，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数；
（2）如图，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数．
1、如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BCD ，求证∠B ，∠ P ，∠D 之间的关系。
2、如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，求证∠
B
，∠
P ，∠D 之间的关系。
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E F
B
D
C
2020/12/15
11
方法1：延长 CB到点E，使 BE=BC，连结 EF。
方法2：过点F 作AC的平行 线交CB延长线 于点E。
2020/12/15
不在同一个 三角形中； 不在一对全等 三角形中
转
转
化
线段相等 化
等角
对等
边
在一对全等 三角形中
在同一个 三角形中
12
在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点. 你能构造8字 ∥BC，AB=BC+AD，H是 CD中点，试说明：BH⊥AH
A
D
H
B
C
2020/12/15
19
特殊四边形 转 化
16
2020/12/15
17
练习、若将“正方形”的条件改为“矩形”、和“平行 四边形”仍然满足点E是CD的中点，点F是BC边上的一 点，且∠FAE=∠EAD，那么EF⊥AE还成立吗？若成立， 请你任选一种加以证明；若不同意，请说明理由。
A
D
A
D
E
E
B
FC
B
FC
2020/12/15
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
1．如图1，AC、BD相交于点O,OA=OC,OB=OD, 求证：DC=BA
图1
图2
2.如图2，AC、BD相交于点O, OA=OC，AB∥CD, 求证：DC=AB
思考（1）这两道题目的图形有什么共同特点？
（2）这两道题目所给条件的相同点是什么？
思考：构造8字形全等图形后能得到什么结论？
2020/12/15
13
在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°， 点E是CD的中点，连结AE、BE.求证：AE=BE.
A
D
E
B
C
2020/12/15
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方法1：延长 CB到点E，使 BE=BC，连结 EF。
方法2：过点F 作AC的平行 线交CB延长线 于点E。
专题课 证明线段相等
2020/12/15
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线段相等
在一对 全等三角形中
在同一个 三角形中
2020/12/15
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
2020/12/15
不同点是什么？
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全等“ ”字形图形特征
图1
图2
1.两条线段相交——对顶角相等 2.交点是两条相交线段的中点——相等线段 3.一组对边平行——角相等
2020/12/15
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如图，已知ΔABC，点D在AB的延长线上，且 BD=AB ，你能利用“8字形”构造出与ΔABC 全等的图形吗？你是怎么做的？
2020/12/15
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方法1：延长 CB到点E，使 BE=BC，连结 EF。
方法2：过点F 作AC的平行 线交CB延长线 于点E。
2020/12/15
线段相等
在一对
全等三 角形中
在同一
个三角 形中
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例1（1）已知：如图，AD为ΔABC的中线。 你能构造8字形全等图形吗？
思考：构造8字形全等图形后能得到什么结论？
2020/12/15
不在同一个 三角形中； 不在一对全等 三角形中
转 化
转
线段相等 化
等 腰
三
角
形
在一对全等 在同一个
三角形中
三角形中
直
角
三
角
形
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复杂 图形
转 化 基础
图形
不在同一个 三角形中； 不在一对全等 三角形中
转
转
化
线段相等 化
在一对全等 三角形中
在同一个 三角形中
2020/12/15
三角形
2020/12/15
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例1（2）已知：如图，AD为ΔABC的中线，E为AC上 一点，连接BE与AD交于点F。
你还能构造8字形全等图形吗。
思考：构造8字形全等图形后能得到什么结论？
2020/12/15
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例1（3）已知：如图，AD为ΔABC的中线，E为AC上 一点，连接BE与AD交于点F,且AE=EF.求证：BF=AC.