Jordan标准形汇总

注意 当 都是一阶Jordan块时，即
,
有 为对角阵,由此看出对角阵其实只是 阵的特例。
性质 1矩阵 可对角化，当且仅当 。
性质2Jordan块的个数 （相同的子块计重复出现的次数）是 的.线性无关特征值向量的个数。
定理9两个数字方阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价。
定义9称 阶数字矩阵 的特征矩阵 的行列式因子、不变因子和初等因子为矩阵 的行列式因子、不变因子和初等因子。
，
其中 代表1或0,因为 是 的特征值，故
.
从而
利用 定理可以简化矩阵计算。
其实，该定理换成线性变换语言为：
定理14（关于线性变换的 定理）设 为 维复线性空间, 为给定的线性变换,设 为 的特征值。
为 的特征多项式.令 表示将 中的 用 代替， 用 代替之后所得到的常系数变换，即
，
则 是零算 子,即将 中每一个向量都映为零向量：
Jordan标准型与矩阵可对角化
摘要：本文归纳总结矩阵论书本中的内容，以矩阵论的性质为基础，简单介绍了Jordan标准型定理以及定理的证明，再用Jordan标准型定理去解决Hamilton-Cayley定理的证明，以及在求解线性微分方程组中的应用。
关键词：矩阵对角化； -矩阵；Jordan标准型；线性微分方程；
充分性显然.事实上，若 -矩阵 与 有相同的不变因子，则 与 和同一个标准型等价，因而 与 等价。证毕。
定义6矩阵 的所有非常数不变因子的首项系数为1的不可约因式方幂的全体称为 的初等因子。
定理7矩阵 与 等价的充要条件是它们有相同的初等因子,并且秩相等。
3Jordan标准型与矩阵可对角化
在掌握了 -矩阵的基本概念:行列式因子、不变因子、初等因子基础上我们将进入Jordan标准型与矩阵可对角化理论的核心。
[5]Tom M.Apostol,Linear Algebra:a first course,with applications to differential equations[M],Beijing,Posts & Telecom Press,2010.
[6] 王卿文,线性代数核心思想及应用[M],北京,科学出版社,2012.
[7] 戴天时, 陈殿友, 大学数学•线性代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.
[8]赵树嫄,线性代数(3版)[M ]. 北京: 中国人民大学出版社, 2005.
定理10两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的行列式因子（或不变因子）。
定理11复数域上两个数字方阵相似的充要条件是它们有an块
存在一一对应关系。因此可利用特征矩阵的初等因子求矩阵的 标准型,即有如下定理：
定理12(Jordan标准型定理)复数域上任何一个数字方阵A都与一个Jordan型矩阵相似，这个Jordan型矩阵除去其中Jordan块排序外是被A唯一确定的，称它为A的Jordan标准型。
换句话说，A可对角化的充分必要条件是有 个线性无关的特征向量形成 的基,我们称这样的向量为特征向量基。
证首先看到，若 是列为 的任一 阶矩阵，D是对角线元素为 的对角阵，那么
（1）
而
（2）
现在假设 可对角化且 ，用 右乘等式两边，则有 。此时由（1）和（2）得
（3）
由列相等，有
（4）
因为 可逆,故 的列 必定线性无关。同样，因为这些 非零，（4）表示 是特征值, 是相应的特征向量。这就证明了定理中第一,第二和随后的第三个命题的必要性。
使 ,
其中
并且 是主对角线元为 的 阶 块。
令 ,
易知 是幂零矩阵，
因而
也是幂零矩阵。
在令 ,
则 相似于对角矩阵，并且 。
注意定理16等价于如下命题：
设 是数域 上 维线性空间 的线性变换，则 .其中 是数域上P 维线性空间 的线性变换且是幂零变换， 也是数域 上 维线性空间 的线性变换且可对角化，并且 .。
定义3如果矩阵 经过有限次的初等变换化成矩阵 ，则称矩阵 与 等价，记为 。
2．2 -矩阵的性质
定义4矩阵 的 标准型中的非零对角元
称为 的不变因子。
定义5矩阵 的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1）最大公因式 称为 的k阶行列式因子。
定理4等价矩阵具有相同的秩和相同的各级行列式因子。
定理5矩阵 的 标准型是唯一的，并且
但是通过以上内容显而易见可以看出在具体问题的求解过程中Jordan标准形依然发挥着简化计算的作用；它在线性微分方程的应用中有着很大的作用。
尽管限制了其在计算机方面大应用，Jordan标准型还是值得继续研究的，我们也将其更加深刻地认识到：在线性代数的理论体系下最深刻的概念之一矩阵的Jordan标准型只不过是包含该矩阵的GL(n,C)-轨道的某一最简单的表示。这一更深刻的认识涉及到群表示理论。总之，在探寻Jordan标准型与矩阵可对角化的关系中,我们认识到了认识是无止境的这一哲学命题，我们也有理由相信还有更加美妙的结果在等待着我们去发现。正因为线性微分方程组的此类解法的加入，无疑大大的扩展了，线性微分方程组的应用领域！与此同时线性微分方程组的适用领域的扩大，也让人们对于矩阵Jordan标准型的研究发展，我们也能从这些探究中获得学习数学的乐趣。
.
注意每个特征值 都满足多项式方程 , 定理则是说 满足方程 。
4．2Jordan标准型在矩阵分解中的应用
定理 15复数域 上任意 阶方阵,都等于两个对称矩阵的乘积,并且其中之一是的非退化的。
证明：设 的Jordan标准型为
则存在 ，
令
,
与 阶数相同。
令
,
则有
.
故
令
,
则
其中, 对称且非退化, 为对角阵,这是因为
参考文献
[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,高等代数（第二版）[M],北京,高等教育出版社,1998 .
[2]徐立炜,赵礼峰,矩阵论[M],北京,科学出版社,2011.
[3] 钱吉林,高等代数解题精粹（第二版）[M],北京,中央民族大学出版社,2002.
[4]David y,Linear Algebra and Its Applications (Third Edition)[M],Beijing,Pearson Education Asia Limited and China Machine Press,2005 .
。
定理6矩阵 与 等价的充要条件是它们有相同的行列式因子（或相同的不变因子）。
证明：上一个定理的证明给出了 -矩阵的行列式因子与不变因子之间的关系。这个关系式说明行列式因子与不变因子是相互确定的。因此，说两个矩阵有相同的各阶行列式因子,就等于说它们有相同的各级不变因子。
必要性已由定理1.2.1给出。
3．1对角化的定义及判定定理
定义7如果方阵 相似于对角阵，即存在可逆矩阵 和对角阵 ，使得 ，则称 可对角化。
定理8(对角化定理) 阶矩阵 可对角化的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量。
事实上， ， 为对角阵的充分必要条件是P的列向量是A的 个线性无关的特征向量。此时， 的对角线上的元素分别是 的对应于 中的特征向量的特征值。
令
,
则
,
亦即
.
方程组的矩阵经过了一次相似变换,它现在是 的Jordan标准型。
从例题中可以看到，在解决具体问题中不仅要求出Jordan标准型，而且需要求出变换矩阵 。
结束语
本文主要是对所学矩阵论知识的一个总结与回顾，清楚明了地理解了Jordan标准形的理论和矩阵对角的关系，在矩阵应用中有着很多的作用。但唯一遗憾的是在数值应用方面，几乎没有用的Jordan标准形——这限制了其在计算机方面的应用。
4．5Jordan标准型在求解线性微分方程组中的应用
例题解线性微分方程组
解把微分方程组写成矩阵形式 ，
其中
对微分方程组实行一个非奇异线性变换 ，
其中
.
于是得
.
故
其一般解为
再由 求得原微分方程组的一般解为
其中 是任意常数。
注意解线性微分方程组可以用Jordan标准型来考察.设 是将 化为Jordan型的相似变换矩阵,若我们引进新变量 ，
证明: 设n阶复矩阵 的初等因子为
其中 可能有相同的,指数 也可能有相同的。每一个初等因子 对应于一个Jordan块，
。
这些Jordan块构成一个Jordan型矩阵，
易知,J的初等因子就是
。
由于 与 有相同的初等因子，所以它们相似。
假设有另一个Jordan型矩阵 与 相似，那么与 有相同的初等因子，因此， 与 除了其中Jordan块排序外是相同的，唯一性得证，证毕。
2 -矩阵
由于Jordan标准型的求解与特征多项式有关，而从函数的角度看,特征多项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵），这就引出对 -矩阵的研究。
2.1 -矩阵及其标准型
定义1称矩阵 为 -矩阵,其中元素
，为数域 上关于 的多项式。
定义2称 阶 -矩阵 是可逆的，如果有
，并称 为 的逆矩阵，反之亦然。
最后，给定任意 个特征向量 ，用它们作为矩阵 的列，并用相应的特征值来构造矩阵 ，由（1）~（3），等式 成立而不需要特征向量有任何条件。若特征向量是线性无关的，则 是可逆的，由 可推出 。证毕。
3．2Jordan标准型与对角化的关系
定义8形如
,（ ）
的块对角阵为Jordan型矩阵，并称方阵
为 阶Jordan块。
1 引言
矩阵表示方法贯穿于高等代数的各个章节，通过矩阵表示，许多高等代数中的问题都可归结为矩阵问题，而矩阵标准形的方法又是解决矩阵问题的重要方法之一，它的核心思想就是删简就繁，充分体现了解决数学问题的“转化思想”。
矩阵的Jordan标准形问题的讨论，源于如何选择线性空间的基，使得线性变换在该基下的矩阵具有尽可能简单的形式完成这一问题。矩阵内容，是大学学习中必须学习的知识点！其广泛的应用性，还有在处理数据上的优越性，矩阵是学习很多知识体系的支柱，在数据结构，自动控制原理，常微分计算等等上都是基础！