高中数学必修1 幂函数学案
幂函数导学案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
幂函数导学案教学目标：1、掌握幂函数的定义和特点；2、掌握幂函数的图象绘制方法和性质分析；3、体会由特殊到一般的数学研究方法和数学结合的数学思想。
教学重点：从5个具体函数中归纳幂函数性质 教学难点：从幂函数图象中概括性质特征。
教学过程：一、幂函数定义研究1-2132x =y x =y x =y x =y x =y ，，，，问题1：在这5个函数中，有哪些是我们已经学过的函数，有哪些是我们不熟悉的函数？问题2：从自变量、函数值及解析式观察这5个函数，都有什么共同特征？定义：________________________________________________________________ 二、幂函数图象和性质研究问题3：现在我们已经学习了幂函数的定义，我们应该怎么研究幂函数的图象和性质？ 问题4：在高中阶段，我们只研究这5个幂函数的图象和性质，结合我们在前几节所学的知识，我们应该研究它们的图象和哪些性质呢？ 三、课堂探究： 探究任务1：画出1-2132x =y x =y x =y x =y x =y ，，，，的图象和性质，进行小组探究，并展示探究成果。
任务2：使用ggb 画出5个函数的图象。
任务3：观察5个函数图象的精确图象，并完成下表。
y=x 2y x =3x y =21x y =1-=x y定义域 值域 奇偶性 单调性任务4：根据以上归纳，猜想幂函数 ax y = 的一些性质：（1）a>0时 （2）a<0时任务5：观察幂函数)0()0(<=>=a x y a x y aa 和 的动态图象变化，汇总幂函数的性质。
四、探究成果：经过本节课，你有什么收获？。
高中数学必修一幂函数教案
高中数学必修一幂函数教案教案主题：幂函数教案目标：1.了解幂函数的定义和性质；2.掌握幂函数图像的特点以及对称性；3.准确理解幂函数的增减性质并能应用到解题中；4.能够分析幂函数与线性函数、指数函数和对数函数的关系。
教学准备：1.多媒体教学工具；2.手写板或黑板；3.课本及教学参考书。
教学过程：一、导入（5分钟）教师利用多媒体工具或手写板呈现一幂函数的图像，并提问学生对于该图像的感受和认知。
引导学生逐渐了解幂函数。
二、输入与解释（10分钟）教师在黑板上写下幂函数的定义，并对每一部分进行解释。
幂函数定义：幂函数是指以自变量x为底数，以常数a（a>0且a≠1）为指数的函数。
它可以表示为y=x^a。
三、图像特点与对称性（20分钟）1.通过幂函数的图像和函数表达式的关系，教师解释幂函数的图像特点：（1）当a>1时，函数图像在x轴正半轴上逐渐上升；当0<a<1时，函数图像保持下降的趋势。
（2）当a为整数时，函数图像在坐标原点有一个翻转对称轴，如a为奇数，则函数图像在原点处且坐标原点是函数图像的一个特殊点。
2.教师通过实例讲解幂函数图像的对称性，并要求学生在黑板上绘制出幂函数图像，并观察其对称轴和特殊点。
四、增减性质与应用（30分钟）1.幂函数的增减性质：（1）a>1时，函数递增；（2）0<a<1时，函数递减。
教师通过函数的图像和定义，对幂函数的增减性质进行讲解，强调函数图像的上升和下降趋势。
2.教师通过例题引导学生应用增减性质去解题。
五、幂函数与其他函数的关系（20分钟）1.幂函数与线性函数的关系：幂函数的特殊情况即a=1时，函数变为y=x。
教师通过图像和式子对比，指出线性函数就是幂函数的特殊情况。
2.幂函数与指数函数及对数函数的关系：幂函数与指数函数和对数函数正好是互为反函数，即幂函数和指数函数是对方的反函数。
3.教师通过例题和实例分析，引导学生理解以上关系。
六、总结与归纳（10分钟）教师与学生共同总结幂函数的定义、图像特点以及与其他函数的关系。
新人教A版必修1《幂函数》教案
-强调幂函数的单调性、奇偶性、过定点等性质。
-结合具体幂函数，如f(x) = x^2、f(x) = x^3等，讲解其性质并举例说明。
-核心内容三：常见幂函数的图像与性质
-详细分析正比例函数、反比例函数、二次函数、三次函数的图像及其性质。
-引导学生观察图像，总结性质，并能运用性质解决相关问题。
2.教学难点
4.数学抽象：帮助学生从具体实例中抽象出幂函数的一般规律，培养学生的数学抽象思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容一：幂函数的定义及其一般形式
-重点讲解幂函数的一般形式f(x) = x^a，强调a为常数的特点。
-通过实例展示，让学生理解不同a值对应的幂函数图形差异。
-核心内容二：幂函数的性质
-难点三：幂函数在实际问题中的应用
-学生可能不知道如何将幂函数应用于实际问题，如计算面积、体积等。
-教师应设计相关实际问题，引导学生运用幂函数知识解决问题，提高应用能力。
-难点四：幂函数性质的应用与拓展
-学生可能难以将幂函数性质应用于更广泛的数学问题。
-教师可通过举例，如数学竞赛题等，展示幂函数性质在更复杂问题中的应用，拓展学生思维。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解幂函数的基本概念。幂函数是形如f(x) = x^a的函数，其中a为常数。幂函数在数学中具有重要地位，广泛应用于实际问题中。
2023年高中数学幂函数教学教案(7篇)
2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。
（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。
力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。
情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。
（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。
2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。
教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。
3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。
（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。
为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。
问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。
函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。
）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。
将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。
教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。
人教版高中必修一《幂函数》教案
人教版高中必修一《幂函数》教案一、教学目标1.了解幂函数的定义和特点；2.学习叠加思想，并掌握简单的幂函数叠加方法；3.能够解决一些实际问题。
二、教学重难点1.幂函数的定义及其特点；2.幂函数的叠加思想；3.幂函数的绘图方法；三、教学过程1.引入幂函数的定义：$y=x^p(p\\in \\mathbb{R})$让学生发现x的取值范围对函数图象的影响，并对函数图象进行描述。
2. 概念讲解1.首先讲解幂函数的定义，指出它是一种基本函数；2.介绍幂函数的性质，让学生知道幂函数的图像不可能横切x轴；3.引入幂函数的叠加思想，让学生知道可以将不同的函数图像叠加在一起。
3. 具体例子讲解1.书写公式，说明函数图象的性质；2.给出幂函数的图象，描出函数的图象；3.确定函数图象的性质，让学生明白函数图象的变化。
4. 例题解析1.给出实际问题，提供数据；2.根据实际问题列出函数式，确定函数图象；3.通过实际问题，解释函数图象的意义。
5. 分组讨论1.将学生分成若干小组，每组做一道练习题；2.每组向其他组展示自己的想法、方法及结果；3.学生之间相互交流，共同探讨出最佳答案。
四、教学方法1.板书法：结合具体例子进行讲解；2.案例法：让学生通过实际问题练习解题思路；3.分组讨论法：提高学生探究问题、思考问题和解决问题的能力。
五、教学帮助1.帮助学生理解定义和性质；2.尤其帮助学生掌握幂函数的叠加思想，找出函数图象的变化规律。
六、课堂反馈1.倾听学生提出的疑问和问题；2.鼓励并指导学生提出自己的解决方案；3.搜集学生反馈，及时调整教学进度和方法。
七、课堂作业1.完成教师布置的作业；2.阅读教材给出的例题；3.自己找出一些幂函数的例子进行探究。
高一数学人教B版必修1：3.3 幂函数 学案
§3.3 幂函数幂函数要点导学一、知识导引1．幂函数定义：形如y ＝x α的函数叫幂函数(α为常数)．重点掌握α＝1,2,3，12，－1时的幂函数．2．图象：当α＝1,2,3，12，－1时的图象如右图．3．性质(1)当α>0时，幂函数图象都过(0,0)点和(1,1)点，且在第一象限都是增函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凹：α＝1时为过(0,0)点和(1,1)点的直线．(2)当α<0时，幂函数图象总过(1,1)点，且在第一象限为减函数．(3)当α＝0时，y ＝x α＝x 0，表示过(1,1)点平行于x 轴的直线(除(0,1)点)．(4)当α＝1,2,3，12，－1时的函数的性质同学们可自行研究．二、重点和难点重点：幂函数的定义、图象和性质． 难点：幂函数图象的位置和形状变化． 三、典型例题剖析例1 不论α取何值，函数y ＝(x －1)α－2的图象都通过A 点，求A 点的坐标．解 因为幂函数y ＝x α的图象恒通过(1,1)点， 所以y ＝(x －1)α的图象恒通过(2,1)点．所以y ＝(x －1)α－2的图象恒通过(2，－1)点．例2 将幂函数：①y ＝x 23；②y ＝x －4；③y ＝x 13；④y ＝x －13；⑤y ＝x 14；⑥y ＝x 43；⑦y ＝x －12；⑧y ＝x 53的题号填入下面对应的图象中的括号内．解析 先根据图象是否经过原点区分幂指数n 的正负：图象A ，B ，C ，D ，H 的幂指数大于零；而图象E ，F ，G 的幂指数小于零．再考察函数的定义域和值域．图象A 对应的幂函数的定义域为[0，＋∞)，对应函数为⑤y ＝x 14；图象E 对应的幂函数的定义域为(0，＋∞)，对应函数为⑦y ＝x －12；图象D ，H 对应的幂函数的值域为[0，＋∞)，再注意到图象分布规律，D 对应函数为⑥y ＝x 43，H 对应函数为①y ＝x 23；图象G 对应的幂函数的值域为(0，＋∞)，对应的函数为②y ＝x －4.余下的图象B ，C ，F 依次对应函数为③y ＝x 13，⑧y ＝x 53，④y ＝x －13.答案 ⑤ ③ ⑧ ⑥ ⑦ ④ ② ①点评 以上分析只是提供了一种思考对应的方法，对幂函数图象熟悉以后，可以对每个幂函数的分析直接将题号填入相应的括号内．幂函数常见错误剖析本文就同学们在学习“幂函数”中的一些常见错误加以剖析，供同学们参考． 一、概念不清例3 下列函数中不能化为幂函数的是( ) A ．y ＝x 0 B ．y ＝2x 2 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x错解 选A ，或选C ，或选D剖析 错解主要是对幂函数的概念不清，造成错误．由幂函数的定义：y ＝x α(α∈R )称为幂函数，因此，A ，C ，D 中的函数均可化为幂函数，而B 中的函数不能化为幂函数． 正解 B二、忽视隐含条件例4 作出函数y ＝4log 2x 的图象．错解 y ＝4log 2x ⇒y ＝22log 2x ⇒y ＝2log 2x 2⇒y ＝x 2. 故函数的图象如图所示．剖析 在将函数式y ＝4log 2x 变形为y ＝2log 2x 2，即y ＝x 2时，定义域扩大了．正解 y ＝4log 2x (x >0)⇒y ＝22log 2x (x >0)⇒y ＝2log 2x 2(x >0)⇒y ＝x 2(x >0)．作出幂函数y ＝x 2(x >0)的图象，如图所示，即为函数y ＝4log 2x 的图象． 三、思维片面例5 幂函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －1在区间(0，＋∞)上是增函数，求实数m 的取值集合．错解 由幂函数的定义，可知f (x )可以写成f (x )＝x α的形式，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.剖析 求得m 的值后，未检验是否符合题意．正解 由幂函数的定义，可知f (x )可以写成f (x )＝x α的形式，所以m 2－m －1＝1， 解得m ＝－1，或m ＝2.当m ＝－1时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝2时，f (x )＝x －1在(0，＋∞)上不是增函数，舍去． 故所求实数m 的取值集合为{－1}． 四、单调性理解不透彻例6 若(a ＋1)－1<(3－2a )－1，求实数a 的取值范围．错解 考查幂函数f (x )＝x －1，因为该函数为减函数，所以由(a ＋1)－1<(3－2a )－1，得a ＋1>3－2a ，解得a >23.故实数a 的取值范围是(23，＋∞)．剖析 函数f (x )＝x －1在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性，错解中错用了函数单调性，从而导致错误．正解 考查幂函数f (x )＝x －1，由于该函数在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为减函数，所以由(a ＋1)－1<(3－2a )－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a >0，或a ＋1>3－2a >0，或3－2a <a ＋1<0， 解得a <－1或23<a <32.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32).幂函数的“杀手锏”一、对幂函数的定义要掌握准确形如y ＝x α的函数叫幂函数(系数是1，α为实常数)．例1 如果f (x )＝(m －1)xm 2－4m ＋3是幂函数，则f (x )在其定义域上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数D ．在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数 解析 要使f (x )为幂函数，则m －1＝1，即m ＝2. 当m ＝2时，m 2－4m ＋3＝－1， ∴f (x )＝x －1.∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数． 答案 D二、幂函数在第一象限的图象与幂指数α的大小关系从x 轴的正方向按逆时针旋转到y 轴的正方向所经过的幂函数图象所对应的幂指数逐渐增大．如图为y ＝x α在α取－2,2，－12，12四个值时的图象，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为2，12，－12，－2，其规律为在直线x ＝1的右侧“指大图高”．三、抓住幂函数的奇偶性，利用第一象限图象画出整个幂函数图象，进而利用数形结合进行解题例2 若(a ＋1)－23<(3－2a )－23，求a 的取值范围．解 y ＝x －23为偶函数，其图象如图所示．∴|a ＋1|>|3－2a |，∴23<a <4.图象帮你定大小在涉及指数、对数和幂函数的有关问题中，经常会遇到确定有关底数、指数的大小等问题，此类问题，如果巧妙转化，有效利用图象，问题便可迎刃而解．以下试举几例说明运用图象的直观性．例3 已知实数a 、b 满足等式a 12＝b 13，下列五个关系式：①0<b <a <1；②－1<a <b <0；③1<a <b ； ④－1<b <a <0；⑤a ＝b .其中可能成立的式子有________．解析 首先画出y 1＝x 12与y 2＝x 13的图象(如图所示)，已知a 12＝b 13＝m ，作直线y ＝m .如果m ＝0或1，则a ＝b ；如果0<m <1，则0<b <a <1； 如果m >1，则1<a <b .从图象看一目了然，故成立的是①③⑤.答案 ①③⑤例4 函数y ＝x m，y ＝x n，y ＝x p的图象如图所示，则m ，n ，p 的大小关系是____________．解析 结合题目给出的幂函数图象，我们可以将其转化成指数问题解决，作直线x ＝a (0<a <1)，可得直线与3个函数图象交点纵坐标的大小关系是a n <a m <a p ，根据指数函数y ＝a x (0<a <1)是单调减函数可得n >m >p .答案 n >m >p点评 以上几例，教同学们学会如何分析问题、转化问题，数形结合使所学知识融会贯通，使所谓的某些“规律”直观地、立体地呈现在函数的图象中，减轻记忆的负担．三种数学思想在幂函数中的应用一、分类讨论的思想例5 若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，试求a 的取值范围．分析 利用函数y ＝x －13的图象及单调性解题，注意根据a ＋1,3－2a 是否在同一单调区间去分类．解 分类讨论⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a <0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a ＋1<0，解得a <－1或23<a <32.点评 考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，本题是根据a ＋1,3－2a 是否在同一单调区间去分类．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏． 二、数形结合的思想例6 已知x 2>x 13，求x 的取值范围．解 x 2与x 13有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数y ＝x α(其中α＝2，13)，所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x 的取值范围，如图所示，可得x 的取值范围是x <0或x >1.点评 数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然．三、转化的数学思想例7 指出函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调区间，并比较f (－π)与f (－22)的大小．解 因为f (x )＝x 2＋4x ＋4＋1x 2＋4x ＋4＝1＋1(x＋2)2＝1＋(x＋2)－2，所以其图象可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．所以f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且图象关于直线x＝－2对称．又因为－2－(－π)＝π－2，－22－(－2)＝2－22，所以π－2<2－22，故－π距离对称轴更近，所以f(－π)>f(－22)．点评通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而用其性质来解题．类抽象函数问题的解法大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得．解题时，若能从研究抽象函数的背景入手，通过类比、猜想出它们可能为某种基本初等函数，常可找到解题的切入点，进而加以解决．一、以正比例函数为模型的抽象函数例8 已知f(x)的定义域为实数集R，对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2，求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．解由条件f(x＋y)＝f(x)＋f(y)联想正比例函数f(x)＝kx，其中k<0，满足已知条件．由此猜想函数f(x)是区间[－3,3]上的减函数且又为奇函数，这样问题的解决就有了方向．因为对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，于是取x＝0，可得f(0)＝0，同时设y ＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，知函数f(x)为奇函数．下面证明它是减函数：任取－3≤x1<x2≤3，则x2－x1>0，又x>0时，f(x)<0，即f(x2－x1)<0，f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)<0.所以函数f(x)在区间[－3,3]上是减函数．当x＝－3时，函数f(x)取最大值；当x＝3时，函数f(x)取最小值．f(x)max＝f(－3)＝－f(3)＝－f(1＋2)＝－[f(1)＋f(2)]＝－[f(1)＋f(1)＋f(1)]＝－3f(1)＝6；f(x)min＝f(3)＝3f(1)＝－6.点评本题求解有两个特点：一是赋值；二是在求最值时，反复运用条件．这是求解抽象函数问题时常用的方法．二、以指数函数为模型的抽象函数例9 设函数f(x)的定义域为实数集R，满足条件：存在x1≠x2，使得f(x1)≠f(x2)，对任意x和y，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．(1)求f(0)；(2)对任意x∈R，判断f(x)值的正负．解 由已知猜想f (x )是指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的抽象函数，从而猜想f (0)＝1且f (x )>0.(1)将y ＝0代入f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，得f (x )＝f (x )·f (0)，于是有f (x )[1－f (0)]＝0. 若f (x )＝0，则对任意x 1≠x 2，有f (x 1)＝f (x 2)＝0， 这与已知题设矛盾，所以f (x )≠0，从而f (0)＝1. (2)设x ＝y ≠0，则f (2x )＝f (x )·f (x )＝[f (x )]2≥0， 又由(1)知f (x )≠0，所以f (2x )>0， 由x 为任意实数，知f (x )>0. 故对任意x ∈R ，都有f (x )>0.点评 从已知条件联想到指数函数模型，为问题的解决指出了方向．但在推导过程中，说理的严密性是很重要的，如不能由f (x )[1－f (0)]＝0，直接得出f (0)＝1，这是求解有关抽象函数问题时必须注意的地方．三、以对数函数为模型的抽象函数例10 设函数f (x )是定义域(0，＋∞)上的增函数，且f (xy)＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，求不等式f (x ＋3)＋f (1x )≤2的解集．解 由已知猜想f (x )是对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的抽象函数．(1)将x ＝y ＝1代入f (xy )＝f (x )－f (y )，得f (1)＝f (1)－f (1)，所以f (1)＝0. (2)因为f (6)＝1，所以2＝f (6)＋f (6)，于是f (x ＋3)＋f (1x )≤2等价于f (x ＋3)－f (6)≤f (6)－f (1x )，即f (x ＋36)≤f (6x )，而函数f (x )是定义域(0，＋∞)上的增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋36≤6x x ＋36>0，解得x ≥335，因此满足已知条件的不等式解集为[335，＋∞)．点评 (1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处；(2)本题是增函数概念“若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)”的逆用．利用这个性质可以去掉函数的符号“f ”，从而使问题得以解决．谈函数模型法的应用例11 定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )具有下列两条性质：①对于任意x ∈R 都有f (x 3)＝[f (x )]3；②对于任意x 1，x 2∈R ，当x 1≠x 2时，都有f (x 1)≠f (x 2)．则f (－1)＋f (0)＋f (1)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．0分析 通过性质①可以看出此函数应为幂函数，性质②则要求这个幂函数必须是一个单调函数．解析 根据题设条件设f (x )＝3x ，则可以求得f (－1)＋f (0)＋f (1)＝0，答案为D. 答案 D例12 已知f (x )是R 上的增函数，且f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，若f (2)＝4，则f (2x ＋1)>8的解集是________．分析 性质f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)类似于指数函数的性质a m ＋n ＝a m ·a n ，故可以构建指数函数模型．解析 设f (x )＝a x (a >1)，则由f (2)＝4可得a ＝2， 所以f (x )＝2x .由f (2x ＋1)>8，则22x ＋1>8，解得x >1.故不等式f (2x ＋1)>8的解集是(1，＋∞)． 答案 (1，＋∞)例13 已知函数f (x )是定义域为R 的增函数，且值域为(0，＋∞)，则下列函数中为减函数的是( )A ．f (x )＋f (－x )B ．f (x )－f (－x )C ．f (x )·f (－x ) D.f (－x )f (x )分析 指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)中，在a >1的情况下，函数满足题设的条件①定义域为R ；②增函数；③值域为(0，＋∞)．解析 不妨设f (x )＝2x ，通过观察四个选项，可以得出f (－x )f (x )＝(14)x 符合题意，故选D.答案 D幂函数高考考点透视(一)考情分析本节知识在高考中很少单独出现，一般是与指数函数、对数函数联合命题，因此在学习上要注意知识的结合点．借助y ＝x α(α＝1,2,3，12，－1)的图象和性质研究多项式函数、分式函数、简单的无理函数是高考考查的重点，考试题多以填空题为主．(二)考题例析1．(陕西高考)函数f (x )＝11＋x 2(x ∈R )的值域为( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(0,1)解析 ∵1＋x 2≥1，∴0<11＋x 2≤1∴f (x )＝11＋x 2的值域是(0,1]．答案 C2．(课标全国高考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x | 解析 ∵y ＝x 3在定义域R 上是奇函数，∴A 不对．y ＝－x 2＋1在定义域R 上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C 不对．D 中y ＝2－|x |＝(12)|x |虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，只有B 对．答案 B3．(北京高考)函数f (x )＝x ＋1－12－x 的定义域为______________．解析 要使函数f (x )＝1＋x －12－x有意义，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x ≠0⇒⎩⎨⎧x ≥－1，x ≠2即x ∈[－1,2)∪(2，＋∞)．答案 [－1,2)∪(2，＋∞)4．(山东高考)设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 3(f 2(f 1(2 007)))＝________.解析 f 3(f 2(f 1(2 007)))＝f 3(f 2(2 00712))＝f 3(2 007－12)＝2 007－1＝12 007.答案 12 007。
高中数学 33(幂函数)学案 新人教B版必修1 学案
一、教学目标：1、了解幂函数的概念。
2、会画幂函数y=x ，y=x 2，y=x 3，1-=x y ，y=x 21的图象，并了解幂函数的变化情况。
重点：幂函数的定义、图像和性质。
难点：幂函数图像的位置和形状变化。
二、知识梳理1函数y=x 、y=x 2、y=x1的表达式有着共同的特征：幂的是自变量，指数是. 2、一般地，形如的函数称为幂函数，其中α为常数。
3、幂函数的性质：（1）（2）（3）4、幂函数y=x α（α∈R ）的图像主要分以下几类：（1）当α=0时，图像是过（1，1）点平行于x 轴但除去（0，1）点的一条断直线。
（2）当α为正偶数时，幂函数为偶函数，图像过第一、二象限及原点。
（3）当α为正奇数时，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点。
（4）当α为负偶数时，幂函数为偶函数，图像过第一、二象限但不过原点。
（5）当α为负奇数时，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限但不过原点。
（6）当α为正分数时，设为nm （m 、n 是互质的正整数）。
如果m ，n 都为奇数，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点；当m 是偶数、n 是奇数时，幂函数是偶函数，图像过第一、二象限及原点；如果m 为奇数、n 为偶数，幂函数是非奇非偶函数，图像过第一象限及原点。
（7）当α为负分数时，设为-nm （m 、n 是互质的正整数）。
如果m ，n 都为奇数，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限；当n 是偶数、m 是奇数时，幂函数为非奇非偶函数，图像只在第一象限；如果n 为奇数、m 为偶数，幂函数是偶函数，图像过第一、二象限。
（8）幂函数图像一定不会出现在第四象限，若幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点。
三、例题解析题型一 幂函数的概念例1、 下列函数是幂函数的是①y=ax m （a ，m 为非零常数，且a ≠1）；②y=13x +x 2； y=x π；④y=3(1)x -。
A 、①③B 、①②C 、③D 、①③④ 变式训练：在函数21y x=、22y x =、y=1、y=x 2+x 中，幂函数的个数是。
人教B版高中数学必修一《幂函数》课堂学案
3.3幂函数一、幂函数定义一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量。
⑴底数是 ； ⑵指数是 ；⑶函数式前的系数都是 ； (4) 为常数。
二、探究：幂函数的图象与性质 1、画出3x y =的图象x2- 1-21-0 21 1 23x y =2、画出21x y =的图象x41 14921x y =3、探究：观察图象，将你发现的结论写在表内由上述特殊幂函数的特征和性质，总结幂函数的性质。
（从①公共点 ②第一象限的单调性③奇偶性考虑）探究：观察更多的幂函数，归纳出幂函数 αx y = 在第一象限的图象（即0,0,10,1,1<=<<=>ααααα时的图象）。
小试牛刀讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出图象，并根据图象说明它的单调性。
三、典型例题练习1：判断下列函数是否为幂函数.练习2：下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数？练习3：如果函数322)1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，求满足条件的实数m 的值.练习4：.),22,2()(式试求出这个函数的解析的图象过点已知幂函数x f y =练习5：比较下列各组数的大小练习6：如果函数322)1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，且当),0(+∞∈x 时，)(x f 是增函数，求满足条件的实数m 的值.x y 2.0=x y 5=21x y =1-=x y x y -=35xy =25251.33)1(--和8787918)2(⎪⎭⎫⎝⎛---和3232632)4(--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-π和()5332529.18.31.4)5(---，，1.225.15.1)3(和练习7：如图的曲线是幂函数nx y =第一象限内的图像，已知 分别取a,b,c,d 四个值，与曲线C 1，C 2，C 3，C 4相应，则a,b,c,d 四个值从大到小依次为练习8：.),0[)(上是增函数在证明幂函数+∞=x x f。
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3.3幂函数（学案）
学习目标
1.理解幂函数的概念，能区分什么样的函数是幂函数；
2.体会幂函数在第一象限内的变化规律；
3.借助解析式研究幂函数的性质，并能根据性质作出幂函数的图象；
学法指导
自学课本108页——109页例1上方。
通过课本引例，体会幂函数在第一象限内的变化规律。
特别强调：指数决定曲线的趋势。
自学检测
1.幂函数的定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中α为常数.
注：幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，为“形式”定义。
练习1：判断下列函数哪些是幂函数 . ①1y x
=； ②22y x =； ③3y x x =-； ④1y = ； ⑤x 2.0y =；⑥5
1x y =； ⑦3x y -=； ⑧2x y -=.
练习2：已知某幂函数的图象经过点)2,2(，则这个函数的解析式为_________________
练习3：函数322
)1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，求其解析式。
2.根据课本引例，你能总结出幂函数的图象在第一象限内的变化规律吗？
（1）0<α<1时，
（2） α=1时，
（3） α>1时，
（4） α<0时，
4.研究函数12132x y ,x y ,x y ,x y ,x y -=====的性质，完成下表：
课堂小结
幂函数的的性质及图象变化规律：
（1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点 ；
（2）0α>时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0,)+∞上是 （增、减）函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸；
（3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,
)+∞上是 （增、减）函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（形状类似于x
y 1=在第一象限的图象） 能力提升
求出下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性，并且作出简图。
（1） 32x y =（2）23x y =（3）53x y =（4）0x y =（5）32-=x y （6）23x y -=（7）53-=x y
定义域
奇偶性
单调性
图象
（简图）
课堂小测
1、下列函数中，是幂函数的是（）
A、x2
y=B、3x2
y=C、
x
1
y=D、x2
y=
2、下列结论正确的是（）
A、幂函数的图象一定过原点
B、当0
<
α时，幂函数α
=x
y是减函数
C、当0
>
α时，幂函数α
=x
y是增函数
D、函数2x
y=既是二次函数，也是幂函数
3、下列函数中，在
()0,∞
-是增函数的是（）
A、
3
x
y=B、2x
y=C、x
1
y=
D、
2
3
x
y=。