有限差分法解热传导问题
(m,n+1)
y
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 0
y
y o
(m-1,n)
x
x
(m, n) (m,n-1)
x
(m+1,n)
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
y tm1,n tm,n y tm1,n tm,n x tm,n1 tm,n x tm,n1 tm,n
3x2
2
2x2
qw
)
19
写出所有内节点和边界节点的温度差分方程 n个未知节点温度，n个代数方程式：
t1 a11t1 a12t2 ...... a1ntn b1 t2 a21t1 a22t2 ...... a2ntn b2 ........................................ tn an1t1 an2t2 ...... anntn bn
B (D L)1U , f (D L)1b
Gauss－Seidel迭代
200℃ t1 t2 t3 100℃
100℃
t16 t17 t18
Tf=0 ℃ k=1W/(m*K) h=10W/(m2* ℃) (qw=h*(Tw-Tf))
Ax=b
b=[300,200,200,300,100,0,0,100,100,0,0,100,100,0,0,100,0,0]’ x=[t1,t2,t3,...t18]’
y tm1,n tm,n 2 x
y 2
qw
x 2
qw
x 2
tm,n1 y
tm,n
Φ m,n
x 2
y 2
0
x y
2tm,n
tm1,n
tm,n1Fra bibliotek2x
qw
Φm,n
x2
2
18
(3) 内部角点
y x
qw
y tm1,n tm,n
x2
y 2
热平衡法
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从 而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定 律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier 导热定律即可。
能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量
内部节点：Φm1,n Φm1,n Φm,n1 Φm,n1 0
x
yqw
x tm,n1 tm,n x tm,n1 tm,n
2 y
2 y
qw
Φ m,n
x 2
y
0
y x
x y
4tm,n
2tm1,n
2x
qw
tm,n1
tm,n1
Φm,n
x2
17
(2) 外部角点
qw
y x
NDSolve[{D[u[x,t],t]=D[u[x,t],{x,2}],u[x,0]=-x*(1x),Derivative[1,0][u][0,t]=0,Derivative[1,0][u][1,t]=3u[1,t],u,{x,0,1},{t,0,0.3}]
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
x 2
同样可得：
2t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y2 )
y2 m,n
y 2
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
2t x 2
2t y 2
v
0
其节点方程为：
ti1, j 2ti, j ti1, j ti, j1 2ti, j ti, j1 v,i, j 0
NDSolve[{D[u[x,t],t]=D[u[x,t],{x,2}]+x,u[x,0]=x*(1x),u[0,t]=0,u[1,t]=0,u,{x,0,1},{t,0,0.3}]
NDSolve[{D[u[x,t],t]=D[u[x,t],{x,2}],u[x,0]=Sin[x]*Sin[x],Derivative[1, 0][u][0,t]=0,Derivative[1,0][u][Pi,t]=0,u,{x,0,Pi},{t,0,1}]
x
x
y
y
Φxy 0
x y
tm1,n
tm1,n
tm,n1
tm,n1
4tm,n
x2
Φ
0
4tm,n
tm1,n
tm1,n
tm,n1
tm,n1
x2
Φ
1.边界节点离散方程的建立：
qw
(1) 平直边界上的节点
y tm1,n tm,n
知识回顾 Knowledge Review
x
y 2
tm1,n tm,n x
y 2 qw
x tm,n1 tm,n
y
x 2
tm,n1 tm,n y
x 2
qw
Φ m,n
3xy 4
0
x y
1 tm,n 6 (2tm1,n 2tm,n1 tm,n1 tm1,n
Gauss－Seidel迭代
x1(k
x
(k 2
1) 1)
a111(a12x
(k 2
a212(a21x
(k 1
)
a1n
x
(k n
)
b1
)
1)
a23x
(k 3
)
a1n
x
(k n
)
b2
)
x
(k n
1)
an1n (an1x 1(k 1) an
x b (k1)
n1 n1
n
)
x (k1) i
1 aii
(
i 1 j 1
aij
x
j
(k
1)
n
aij x j (k )
j i 1
bi )
Gauss－Seidel迭代
x(k1) D1(Lx (k1) Ux (k ) b) (I D1L)x(k1) D1Ux (k ) D1b x(k1) (I D1L)1 D1Ux (k ) (I D1L)1 D1b x(k1) (D L)1Ux (k) (D L)1b
偏微分方程工具箱
Step 1 “Draw模式”绘制平面有界区域 ，通过公式把Matlab系统提供的实体模 型：矩形、圆、椭圆和多边形，组合起来，生成需要的平面区域. Step 2 “Boundary模式”定义边界，声明不同边界段的边界条件. Step 3 “PDE模式”定义偏微分方程，确定方程类型和方程系数c,a,f,d，根据具 体情况，还可以在不同子区域声明不同系数. Step 4 “Mesh模式”网格化区域 ，可以控制自动生成网格的参数，对生成的网 格进行多次细化，使网格分割更细更合理. Step 5 “Solve模式”解偏微分方程，对于椭圆型方程可以激活并控制非线性自 适应解题器来处理非线性方程；对于抛物线型方程和双曲型方程，设置初始边界 条件后可以求出给定时刻t的解；对于特征值问题，可以求出给定区间上的特征值. 求解完成后，可以返回到Step 4，对网格进一步细化，进行再次求解. Step 6 “View模式”计算结果的可视化，可以通过设置系统提供的对话框，显 示所求的解的表面图、网格图、等高线图和箭头梯形图.对于抛物线型和双曲线型 问题的解还可以进行动画演示.
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
(m,n) N
n
y
y
x x
M m
泰勒级数展开法：
若取上面式右边的前三项，并将两式相加移项整理即 二阶导数的中心差分：
2t
tm1,n 2tm,n tm1,n o(x2 )
x2 m,n
傅里叶定律：在导热现象中，单位时间内通过给定截
面的热量，正比例于垂直于该界面方向上的温度变化
率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方 向相反。
导热微分方程：
定解条件：使微分方程获得适合某一问题的的解的附 加条件。
边界条件：
NDSolve[{D[u[x,t],t]=D[u[x,t],{x,2}],u[x,0]=x*(1x),u[0,t]=0,u[1,t]=0,u,{x,0,1},{t,0,0.3}]
热传导方程的求解
热传导方程的求解热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。
求解热传导方程有多种方法，下面将介绍两种常用的求解方法。
一、分离变量法分离变量法是一种常见且简单的求解热传导方程的方法。
它基于热传导方程的偏微分方程特性，将变量分离并进行独立的求解。
1. 问题设定假设需要求解的热传导问题为一维情况，物体的长度为L，初始时刻温度分布为u(x,0)=f(x)，物体两端保持恒温边界条件u(0,t) = A，u(L,t) = B。
2. 分离变量假设u(x,t)可表示为u(x,t) = X(x)T(t)，将u(x,t)代入热传导方程中，可得到两个方程：X''(x)/X(x) = T'(t)/αT(t)，其中α为热扩散系数。
由于左侧只依赖于x，右侧只依赖于t，所以二者必须等于一个常数λ。
3. 求解分离后的方程将上述得到的分离变量方程代入边界条件，可得到两个常微分方程，分别是X''(x)/X(x) = λ 和T'(t)/αT(t) = -λ。
这两个常微分方程可以求解得到X(x)和T(t)。
4. 求解系数通过使用初始条件u(x, 0) = f(x)，可以求解出常数λ的值，进而求解出X(x)和T(t)。
5. 求解问题最终将X(x)和T(t)重新结合，即可得到热传导问题的解u(x, t)。
二、有限差分法有限差分法是一种数值求解热传导方程的常用方法，它通过将连续的空间和时间离散化，将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
1. 空间和时间离散化将物体的空间进行网格划分，时间进行离散化，并在网格节点上计算温度的近似值。
2. 差分方程将热传导方程中的偏导数进行近似，得到差分方程。
例如，可以使用中心差分法来近似偏导数。
3. 迭代求解根据差分方程，通过迭代计算每个网格节点的温度值，直到达到收敛条件。
4. 求解问题最终，根据求解的温度值，在空间和时间通过插值或者线性拟合等方法得到热传导问题的解。
热传导方程的求解及其应用
热传导方程的求解及其应用热传导是指物质内部由高温区向低温区传递热量的过程，是自然界中十分普遍的现象。
为了更好地理解和研究这一过程，我们需要借助数学模型来描述和求解热传导过程，其中最常用的数学模型就是热传导方程。
一、热传导方程的数学模型热传导方程是描述物质内部温度变化随时间和空间的变化而变化的偏微分方程。
它可以描述均质物质内部的热量传递，以及介质中的温度变化。
热传导方程的数学表示式如下：$$ \frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \nabla^2 u $$其中，$u$表示物质内部温度的分布，$t$表示时间，$\alpha$表示热扩散系数，$\nabla^2$表示拉普拉斯算子，表示温度分布的曲率。
二、热传导方程的求解方法热传导方程是一个偏微分方程，需要借助一定的数学方法才能求解。
下面简要介绍两种常见的求解方法：1.分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的常见方法之一。
对于热传导方程，我们通常采用分离变量法将其转化为两个方程：$$ \frac{1}{\alpha}\frac{\partial u}{\partial t}= \nabla^2 u $$设$u(x,t)=f(x)g(t)$，代入上式得：$$ \frac{1}{\alpha}\frac{g'(t)}{g(t)}= \frac{f''(x)}{f(x)}=\lambda $$其中，$\lambda$为待定常数，$f(x)$和$g(t)$分别为$x$和$t$的函数。
将上述两个方程分别求解，可以得到形如下面的解：$$ u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_nexp(-\lambda_n\alphat)sin(\frac{n\pi x}{L}) $$其中，$\lambda_n$为常数，$L$为问题的区间长度。
2.有限差分法有限差分法是一种常见的数值求解方法，可以用来求解各种偏微分方程，包括热传导方程。
一维热传导方程数值解法及matlab实现分离变量法和有限差分法
一维热传导方程数值解法及matlab实现分离变量法和有限差分法一维热传导方程的Matlab解法：分离变量法和有限差分法。
问题描述：本实验旨在利用分离变量法和有限差分法解决热传导方程问题，并使用Matlab进行建模，构建图形，研究不同情况下采用何种方法从更深层次上理解热量分布与时间、空间分布关系。
实验原理：分离变量法：利用分离变量法，将热传导方程分解为两个方程，分别只包含变量x和变量t，然后将它们相乘并求和，得到一个无穷级数的解。
通过截取该级数的前n项，可以得到近似解。
有限差分法：利用有限差分法，将空间和时间分别离散化，将偏导数用差分代替，得到一个差分方程组。
通过迭代求解该方程组，可以得到近似解。
分离变量法实验：采用Matlab编写代码，利用分离变量法求解热传导方程。
首先设定x和t的范围，然后计算无穷级数的前n项，并将其绘制成三维图形。
代码如下：matlabx = 0:0.1*pi:pi;y = 0:0.04:1;x。
t] = meshgrid(x。
y);s = 0;m = length(j);for i = 1:ms = s + (200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t));endsurf(x。
t。
s);xlabel('x')。
XXX('t')。
zlabel('T');title('分离变量法（无穷）');axis([0 pi 0 1 0 100]);得到的三维热传导图形如下：有限差分法实验：采用Matlab编写代码，利用有限差分法求解热传导方程。
首先初始化一个矩阵，用于存储时间t和变量x。
然后计算稳定性系数S，并根据边界条件和初始条件，迭代求解差分方程组，并将其绘制成三维图形。
代码如下：matlabu = zeros(10.25);s = (1/25)/(pi/10)^2;fprintf('稳定性系数S为:\n');disp(s);for i = 2:9u(i。
有限差分法及热传导数值计算
有限差分法及热传导数值计算有限差分法（finite difference method）是一种常用的数值计算方法，可以用于求解热传导问题。
它基于热传导方程，通过将连续的热传导问题离散化成离散网格上的代数方程组，然后利用数值迭代方法求解方程组，得到热传导问题的数值解。
热传导方程描述了热量在物体内部传导的过程，它可以写成以下形式：∂T/∂t=α∇²T其中，T是温度场的分布，α是热扩散系数，∇²是拉普拉斯算子。
为了使用有限差分法求解热传导问题，我们需要将时间和空间进行离散化。
时间上，我们将连续的时间区间[0,T]分成N个子区间，每个子区间的长度为Δt，表示为t_i=iΔt，其中i=0,1,2,...,N。
空间上，我们将研究区域Ω划分为M个离散节点，每个节点的坐标为x_j，表示为x_j=jΔx，其中j=0,1,2,...,M。
在离散化后，我们可以用差分近似的方式来近似热传导方程。
对于时间上的导数，我们可以使用前向差分，即∂T(x_j,t_i)/∂t≈(T(x_j,t_{i+1})-T(x_j,t_i))/Δt对于空间上的二阶导数，我们可以使用中心差分，即∇²T(x_j,t_i)≈(T(x_{j-1},t_i)-2T(x_j,t_i)+T(x_{j+1},t_i))/Δx²将上述差分近似带入热传导方程中，我们可以得到如下的差分方程：(T(x_j,t_{i+1})-T(x_j,t_i))/Δt=α*(T(x_{j-1},t_i)-2T(x_j,t_i)+T(x_{j+1},t_i))/Δx²重新整理得到：T(x_j,t_{i+1})=T(x_j,t_i)+α*Δt*(T(x_{j-1},t_i)-2T(x_j,t_i)+T(x_{j+1},t_i))/Δx²这个差分方程可以用于迭代求解热传导问题。
我们可以根据初始条件和边界条件，从t=0的初始时刻开始，按照时间步长Δt进行迭代计算。
热传导方程的建立、数值解法及应用
推导物体的热传导方程时，需要利用能量守恒定律和关于热传导的
Fourier定律：
热传导的Fourier定律定律(用自己的语言组织)：
d t 时间内，沿某面积元d s 的外法线方向流过的热量d q 与该面积元两
u 侧的温度变化率 n 成正比，比例系数为k .自然条件下温度趋于减少，所
以等式右边有个负号d.即q： k
2u y2 xix
ui, j1
2ui, j y2
ui, j1
O(y2 )
y jy
上式误差之所以为x2的高阶无穷小可以通过泰勒公式来证明。
泰勒公式展开为佩亚诺余项形式：
u ui1, j =ui, j + x
xix
x
1 2!
2u x2
xix
x2 O(x2 )
y jy
y jy
同理：ui1, j =ui, j
uin, j,k (1 2rx
2ry
2rz ) rx (uin1, j,k
un i 1,
j,k
)
ry
(uin,
j 1,k
uin, j1,k ) rz (uin, j,k 1 uin, ) j,k 1
这样的处理还没有完，由于边界的情况未知，所以我们需要对边界进行 特殊处理。 边界条件一般分为三类：边界温度已知、边界温度的法向梯度已知、两 者的线性组合已知。 • 第一种最简单，只要设定一个初始温度ui0, j ，之后的每一次迭代过程
热传导方程的数值 解法及应用
主讲人: 陈鹏
主要内容
1.热传导方程的建立 2.用有限差分法建立热差分模型 3.双层玻璃中的一维热传导 4.利用PDE工具箱设计面包烤盘 5.利用差分模型研究浴缸水温的变化规律
有限差分法的一维热传导方程应用
有限差分法的一维热传导方程应用
陈金雄;张敏;沈丹梅;杨玲玲;罗翔文
【期刊名称】《武夷学院学报》
【年(卷),期】2022(41)3
【摘要】针对多层高温防护服的厚度优化问题进行研究,运用傅里叶定律建立一维热传导方程,利用有限差分法对温度在时间和空间节点上作离散化处理,通过MATLAB软件画出不同时刻的温度分布图、稳态时的温度分布数值解和不同时刻
的空间温度分布图,并通过与已测量的数据进行对比验证一维热传导模型的有效性。
基于以上的有限差分法建立了一维热传导方程,并运用二分法得出高温防护服第II
层的最佳厚度,为高温防护服的设计节省研发成本、压缩研发周期提供依据。
【总页数】5页(P53-57)
【作者】陈金雄;张敏;沈丹梅;杨玲玲;罗翔文
【作者单位】武夷学院数学与计算机学院;武夷学院土木工程与建筑学院;福州超德
中学;莆田私立实验中学;福州靠谱云科技有限公司
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2;TS941.26
【相关文献】
1.热传导方程有限差分法的MATLAB实现
2.不定边界热传导方程的差分法
3.用边界积分法求解热传导方程的反问题
4.一维热传导方程的差分法
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有限差分法matlab程序一维热传导
有限差分法matlab程序一维热传导一维热传导是一个常见的物理问题，涉及到热量在一个维度上的传递和分布。
在工程和科学领域中，研究和解决一维热传导问题对于优化系统设计和预测热现象非常重要。
本文将介绍如何使用有限差分法在MATLAB中模拟一维热传导过程。
有限差分法是一种常用的数值解法，用于近似求解微分方程。
它将连续的物理问题离散化，将连续的空间和时间划分为离散的网格点，并通过近似替代微分算子来计算离散点上的数值。
在一维热传导问题中，我们可以将传热方程离散化为差分方程，然后通过迭代计算来模拟热传导过程。
我们需要定义问题的边界条件和初始条件。
对于一维热传导问题，我们通常需要给定材料的热扩散系数、初始温度分布和边界条件。
假设我们研究的是一个长为L的细杆，材料的热扩散系数为α，初始温度分布为T(x,0)，边界条件为T(0,t)和T(L,t)。
接下来，我们将空间离散化为N个网格点，时间离散化为M个时间步长。
我们可以使用等距网格，将杆的长度L划分为N个小段，每段的长度为Δx=L/N。
同样，时间也被划分为M个小步长，每个步长的长度为Δt。
这样，我们可以得到网格点的坐标x(i)和时间点的坐标t(j)，其中i=1,2,...,N，j=1,2,...,M。
在有限差分法中，我们使用差分近似代替偏导数项。
对于一维热传导方程，我们可以使用向前差分近似代替时间导数项，使用中心差分近似代替空间导数项。
这样，我们可以得到差分方程：(T(i,j+1)-T(i,j))/Δt = α*(T(i+1,j)-2*T(i,j)+T(i-1,j))/Δx^2其中，T(i,j)表示在位置x(i)和时间t(j)的温度。
通过对差分方程进行重排和整理，我们可以得到递推公式：T(i,j+1) = T(i,j) + α*Δt*(T(i+1,j)-2*T(i,j)+T(i-1,j))/Δx^2现在，我们可以在MATLAB中实现这个递推公式。
首先，我们需要定义问题的参数和初始条件。
有限差分法及热传导数值计算
其中式(4-20)是绝热边界的一种离散方式，在确定t1(i+1)之值时需要用到t-1(i) 。根据对称性该值等于t2(i)。这样，从已知的初始分布t0出发，利用式(4-17)及(4-19)可以依次求得第二时层、第三时层直到 i 时层上的温度值(见图4-8)。至于空间步长Δx及时间步长Δτ的选取，原则上步长越小，计算结果越接近于精确解，但所需的计算机内存及计算时间则大大增加。此外，Δx及Δτ之间的关系还受到显式格式稳定性的影响。下面我们从离散方程的结构来分析，说明稳定性限制的物理意义。
理论解 在规定的边界条件下积分，有很大局限性； 数值解 借助计算机，前景广阔。
2.1 导热问题数值解法的基本思想——离散化
以有限差分 无限微分 无限划分 实质 达到精度 以差分代数方程 微分方程 计算机帮助 （当离散点足够多时可以满足要求）
据导热问题的控制方程 ( 导热微分方程 ) 若 △x=△y 则有 得
x
y
如图所示 边界节点 (m,n) 只能代表半个元体，若边界上有向该元体传递的热流密度为q ，据能量守恒定律对该元体有： 边界节点离散方程的建立： 平直边界上的节点 2.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 傅里叶定律
02
设有一三元方程组：
其中 （ i=1,2,3 ； j=1,2,3 ）及 是已知的系数（均不为零）及常数。
采用高斯——赛德尔迭代法的步骤： （1）将三元方程变形为迭式方程：
假设一组解（迭代初场），记为：
并代入迭代方程求得第一 次解 每次计算均用最新值代入。 以新的初场 重复计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，则称迭代收敛，计算终止。
小结： 导热问题数值求解的基本思想
基本概念 ： 有限差分法
一维稳态导热数值计算
一维稳态导热数值计算引言在工程和科学领域中，热传导是一个重要的问题，它涉及到物体内部的热量传递过程。
一维稳态导热是指物体在一个方向上的热传导过程，且不随时间变化。
为了分析和解决一维稳态导热问题，我们可以使用数值计算方法，如有限差分法。
本文将介绍一维稳态导热数值计算的基本原理和步骤。
基本原理一维稳态导热问题可以描述为以下的热传导方程：$$\\frac{{d}}{{dx}}(k \\frac{{dT}}{{dx}}) = 0$$其中，k是物质的热导率，T是温度。
我们需要根据边界条件和初始条件求解该方程的解析解或数值解。
在数值求解中，我们通常将问题的区域离散化，将连续变量转化为离散变量。
我们可以将区域划分为多个小区间，每个小区间内的温度和导热系数近似为常数。
然后，我们可以使用有限差分法来近似求解。
数值计算步骤为了进行一维稳态导热问题的数值计算，我们需要按照以下步骤进行操作：步骤 1：确定区域和边界条件首先，我们需要确定问题的区域，并确定边界条件。
区域可以是一根导热杆或其他具有一维结构的物体。
边界条件可以是固定温度或热流量。
步骤 2：离散化区域将区域离散化是数值计算的基础。
我们可以将区域划分为多个小区间，每个小区间内的温度和导热系数近似为常数。
确定离散化的步长可以根据问题的要求进行选择。
步骤 3：建立差分方程根据离散化后的区域，我们可以建立差分方程，将热传导方程转化为一个线性方程组。
在一维稳态导热问题中，通常采用中心差分法或其他差分格式进行近似。
步骤 4：求解线性方程组求解差分方程就是求解线性方程组。
我们可以使用常见的数值计算工具或算法，如高斯消元法或迭代法，来求解线性方程组。
根据边界条件的不同，方程组的形式也会有所不同，需要根据具体情况进行选择。
步骤 5：计算结果最后，根据线性方程组的解，我们可以计算出每个小区间内的温度分布。
可以根据具体需求进行进一步计算和分析。
总结本文介绍了一维稳态导热数值计算的基本原理和步骤。
热传导方程有限差分法的MATLAB实现
万方数据万方数据万方数据万方数据热传导方程有限差分法的MATLAB实现作者：史策作者单位：西安建筑科技大学,理学院,陕西,西安,710055刊名：咸阳师范学院学报英文刊名：JOURNAL OF XIANYANG NORMAL UNIVERSITY年，卷(期)：2009，24(4)被引用次数：0次1.曹钢,王桂珍,任晓荣.一维热传导方程的基本解[J].山东轻工业学院学报,2005,19(4):76-80.2.万正苏,方春华,张再云.关于热传导方程有限差分区域分解并行算法精度的注记[J].湖南理工学院学报(自然科学版),2007,20(3):12-14.3.StephenJ.Chapman.MATLAB编程[M].邢树军,郑碧波,译.北京:科学出版社,2008.4.田兵.用MATLAB解偏微分方程[J].阴山学刊,2006,20(4):12-13.5.王飞,裴永祥.有限差分方法的MATLAB编程[J].新疆师范大学学报(自然科学版),2003,22(4):21-27.6.王宝红.热传导方程的可视化探讨[J].忻州师范学院学报,2008,24(2):31-36.7.李先枝.热传导方程差分解法的最佳网格[J].河南大学学报(自然科学版),2004,34(3):16-18.8.赵德奎,刘勇.MATLAB在有限差分数值计算中的应用[J].四川理工学院学报,2005,18(4):61-64.9.谢焕田,吴艳.拉普拉斯有限差分法的MATLAB实现[J].四川理工学院学报,2008,21(3):1-2.10.南京大学数学系计算数学专业.偏微分方程数值解法[M].北京:科学出版社,1979.1.学位论文申卫东热传导方程有限差分区域分解算法研究2003区域分解算法是在并行机上求解偏微分方程数值解的一种较自然的方法.该方法先将偏微分方程求解区域划分为若干个子区域,然后在各个子区域并行求解.全文共五章.第一章为引言,简要介绍了热传导方程并行算法的概况及该文所讨论的基本内容.在第二章,我们在内边界点为等距分划的多子区域条件下,得到Dawson等人关于求解热传导方程区域分解算法差分解的误差估计.在第三章,我们以Saul'yev非对称格式作内边界处理,发展了新的区域分解算法,得到了差分解的先验误差估计,并与Dawson等人的算法作了比较.给出了关于算法计算精度的数值结果.在第四章,我们发展了一些新技术,在子区域的边界处采用小时间步长古典显式格式求解,构造了新的区域分解算法,得到了差分解的先验误差估计.给出了关于算法计算精度的数值结果.在第五章,我们在二维热传导方程求解上扩充了Dawson等人的区域分解算法.给出了关于算法计算精度的数值结果.第六章为该研究工作的主要结论.2.期刊论文张守慧.王文洽.ZHANG Shou-hui.WANG Wen-qia热传导方程有限差分逼近的数学Stencil及其新型迭代格式-山东大学学报（理学版）2006,41(6)将Stencil应用于偏微分方程有限元差分逼近过程,以两类差分格式为基础建立了求解热传导方程的两种新型迭代算法.此两种算法与经典的Jacobi方法同样具有并行的性质,但比Jacobi方法收敛快.给出的算例说明方法的适用性.3.期刊论文吕桂霞.马富明.Lü Guixia.Ma Fuming二维热传导方程有限差分区域分解算法-数值计算与计算机应用2006,27(2)本文讨论了一类数值求解二维热传导方程的并行差分格式.在这个算法中,通过引进内界点将求解区域分裂成若干子区域.在子区域间内界点上采用非对称格式计算,一旦这些点的值被计算出来,各子区域间的计算可完全并行.本文得到了稳定性条件和最大模误差估计.它表明我们的格式有令人满意的稳定性,并且有着较高的收敛阶.4.学位论文田源地下煤火三维数理模型正演数值模拟2006本文首先给出了几个地下煤火随空间、温度变化的动态和稳态热数学物理模型及其简化模型。