2020版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第2讲排列与组合课件理
解析 由题意，得毕业留言共 A240＝1560 条．
解析
(2)从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名，其中至少有 1 名女生的选法共有 ________种．
答案 36
答案
解析 分两类： 第 1 类是有 1 名女生，共有 C12·C26＝2×15＝30 种； 第 2 类是有 2 名女生，共有 C22·C16＝1×6＝6 种． 由分类加法计数原理得，共有 30＋6＝36 种．
解析
(3)有大小和形状完全相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球，将它们排成 一排，共有________种不同的排列方法．
答案 56
答案
解析 8 个小球排好后对应着 8 个位置，题中的排法相当于在 8 个位置 中选出 3 个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这 3 个红球完全相同，所 以没有顺序，是组合问题．这样共有 C38＝56 种排法．
2．两类带有附加条件的组合问题的解法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的题型：若“含有”，则先将这些元 素取出，再由另外元素补足；若“不含有”，则先将这些元素剔除，再从剩 下的元素中去选取．
解析
1．组合问题的常见题型及解题思路 (1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组 问题等． (2)解题思路：①分清问题是否为组合问题；②对较复杂的组合问题，要 搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂 问题通过两个原理化归为简单问题．见举例说明 2.
解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素．
若丙站在排头或排尾有 2A55种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法 有(A66－2A55)·A22＝960 种方法．
答案
解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有 A14种方法．
[考纲解读] 理解排列组合的概念及排 列数与组合数公式，并能用其解决一些 简单的实际问题．(重点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看， 本讲是高考中的一个热点命题方向. 预测 2020 年将会考查：①有条件限制 的排列组合问题；②排列组合与其他知 识的综合问题. 试题以客观题的形式呈 现，难度不大，属中、低档题型.
解法二：先在编号为 1,2,3,4 的四个桶中分别放入与编号相同的球数，剩 余 2 个球，把 2 个球放入同一个桶中有 4 种方法，2 个球放入不同的桶中有 C24＝6 种方法，所以分配方案有 4＋6＝10 种．
解析
2．在∠AOB 的 OA 边上取 m 个点，在 OB 边上取 n 个点(均除 O 点外)，
答案
1．求解有限制条件排列问题的主要方法
2．解决有限制条件排列问题的策略 (1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位 置． (2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类． 提醒：(1)分类要全，以免遗漏． (2)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及要注意 相邻元素的排列数． (3)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确.
解析
题型 二 组合问题 1．将 12 个相同的小球放入编号分别为 1,2,3,4 的四个桶中，要求每个 桶中放入球的数量不得少于该桶的编号，则分配方案有( ) A．10 种 B．12 种 C．14 种 D．16 种 答案 A
答案
解析 解法一：根据题意，先在编号为 2,3,4 的 3 个桶中分别放入 1,2,3 个小球，编号为 1 的桶里不放球，再将剩下的 6 个小球放入四个桶里，每个 桶里至少一个，将 6 个球排成一排，中间有 5 个空，插入 3 块挡板分为四堆 放入四个桶中即可，共 C35＝10 种方法．
解析
3．从一架钢琴挑出的 10 个音键中，分别选择 3 个，4 个，5 个，…， 10 个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声， 则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．
答案 968
答案
解析 依题意共有 8 类不同的和声，当有 k(k＝3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时 按下时，有 Ck10种不同的和声，则和声总数为 C310＋C410＋C510＋…＋C1100＝210－ C010－C110－C210＝1024－1－10－45＝968.
答案
(4)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的 5 个元素 (同学)一起进行全排列有 A66种方法；再ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ甲、乙两个同学“松绑”进行排列 有 A22种方法，所以这样的排法一共有 A66A22＝1440 种．
(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：
答案
解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有 A25种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 A44种 方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A22种方法，所以这样的排 法一共有 A25A44A22＝960 种方法．
(2)若现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加 1 人，后排加 2 人，其他人 保持相对位置不变，则有多少种不同的加入方法？
解 (1)站成两排(前 3 后 4)，共有 A77＝5040 种不同的排法．
答案
(2)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有 3 种，第二步，前排 3 人形成了 4 个空，任选一个空加一人，有 4 种，第三步，后排 4 人形成了 5 个空，任选一个空加一人有 5 种，此时形成 6 个空，任选一个空加一人，有 6 种，根据分步乘法计数原理有 3×4×5×6＝360 种方法．
再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A55种方法，最后将甲、乙两同学“松 绑”，所以这样的排法一共有 A14A55A22＝960 种方法．
(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有： 解法一：(间接法)A77－A66·A22＝3600 种．
答案
解法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A55种方法，此时他们留下六 个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有 A26种方 法，所以一共有：A26·A55＝3600 种．
解析
(4)从 6 本不同的书中选出 4 本，分别发给 4 个同学，已知其中两本书不 能发给甲同学，则不同分配方法有________种．
答案 240
答案
解析 因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的 4 本中分 一本，然后再选 3 本分给 3 个同学，故有 A14·A35＝240 种．
解析
经典题型冲关
题型 一 排列问题
7 位同学站成一排： (1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？ (4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ (6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (7)甲总在乙的前面的排法有多少种？
□ ___0_3_所__有__不__同___组__合__的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合 □ 数，用__0_4__C_mn__表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
4．常用结论 (1)①Anm＝(n－m＋1)Amn －1； ②Amn ＝n－n mAmn－1； ③Amn ＝nAmn－－11. (2)①nAnn＝Ann＋ ＋11－Ann； ②Amn＋1＝Amn ＋mAmn －1. (3)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！＝(n＋1)！－1.
1．一排 12 个座位坐了 4 个小组的成员，每个小组有 3 人，若每个小组
的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．A33(A44)3 C.AA113322
B．(A33)4A44 D.AA114422
答案 B
答案
解析 12 个座位坐了 4 个小组的成员，每个小组有 3 人，操作如下：先 分别把第 1,2,3,4 小组的 3 个人安排坐在一起，各有 A33种不同的坐法，再把这 4 个小组进行全排列，有 A44种不同的排法，根据分步乘法计数原理得，每个 小组的成员全坐在一起共有(A33)4·A44种不同的坐法．
(7)甲总在乙的前面则顺序一定，共有AA7722＝2520 种．
答案
结论探究 1 若将举例说明结论变为“甲、乙、丙三个同学都不能相 邻”，则有多少种不同的排法？
解 先将其余四个同学排好，有 A44种方法，此时他们隔开了五个空位， 再从中选出三个空位安排甲、乙、丙，故共有 A44A35＝1440 种方法．
(4)①Cnm＝n－mm＋1Cmn －1； ②Cmn ＝n－n mCnm－1； ③Cmn ＝mn Cmn－－11. (5)①kCkn＝nCkn－－11； ②Crr＋Crr＋1＋Crr＋2＋…＋Crn＝Crn＋＋11.
1．概念辨析 (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( × )
解析
2．(2018·青岛模拟)在高三某班进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加， 其中 3 位女生，2 位男生，如果 2 位男生不能连续出场，且女生甲不能排第 一个，那么出场的顺序的排法种数为________．
答案 60
答案
解析 2 位男生不能连续出场的排法共有 N1＝A33·A24＝72(种)，女生甲排 第一个且 2 位男生不能连续出场的排法共有 N2＝A22·A23＝12(种)，所以出场顺 序的排法种数为 N＝N1－N2＝60.
连同 O 点共 m＋n＋1 个点，现任取其中 3 个点为顶点作三角形，可作的三
角形的个数为( )
A．C1m＋1C2n＋C1n＋1C2m C．C1mC2n＋C1nC2m＋C1mC1n
B．C1mC2n＋C1nC2m D．C1mC2n＋C2m＋1C1m
高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.2 排列与组合课件(理)
解：(1)利用 3Ax8＝3（8－8！x）！，4Ax9－1＝4（9－9x＋ ！1）！， 得到（38× －8x） ！！＝（140×－9x！）！. 利用(10－x)！＝(10－x)(9－x)(8－x)！，将上式化简后得到(10－x)(9 －x)＝4×3. 再化简得到 x2－19x＋78＝0. 解方程得 x1＝6，x2＝13.由于 Ax8和 Ax9－1有意义，所以 x 满足 x≤8 和 x－1≤9.于是将 x2＝13 舍去，原方程的解是 x＝6.
(2)由组合数的性质可得 Cxx－ ＋11＋Cxx＋1＋Cxx－ ＋22＝C2x＋1＋Cx1＋1＋C4x＋2＝C2x＋2＋C4x＋2， 又 Cxx＋ ＋13＝Cx2＋3，且 C2x＋3＝Cx2＋2＋C1x＋2， 即 C1x＋2＋Cx2＋2＝C2x＋2＋C4x＋2.∴C1x＋2＝Cx4＋2， ∴5＝x＋2，x＝3.经检验知 x＝3 符合题意且使得各式有 意义，故原方程的解为 x＝3.
(2015·河北模拟)某单位要邀请 10 位教师中的 6
位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，
则邀请的不同方法有( )
A．84 种
B．98 种
C．112 种
D．140 种
解：不同的邀请方法有：C12C85＋C86＝112＋28＝140 种．故选 D.
(2015·四川)用数字 0，1，2，3，4，5 组成没
(1)解方程：3A3x＝2A2x＋1＋6Ax2； (2)计算：C22＋C23＋C24＋…＋C2100.
解：(1)由 3Ax3＝2A2x＋1＋6A2x得 3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)， 由 x≠0 整理得 3x2－17x＋10＝0. 解得 x＝5 或23(舍去)． 即原方程的解为 x＝5. (2)原式＝(C33＋C23)＋C24＋…＋C2100 ＝(C34＋C24)＋…＋C2100＝…＝C3100＋C2100 ＝C3101＝166650.
高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及
一个排列．
(2)排列数
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有不同排 列的个数 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数， 记作 Anm .
2．组合与组合数
(1)组合 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 合成一组
，叫
做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合．
[解析] (1)先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人， 和其余 4 人进行全排列有 A55种站法，再把甲、乙进行全排列， 有 A22种站法Байду номын сангаас根据分步计数原理，共有 A55·A22＝240(种)站法．
(2)先将甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 A44种，然后将 甲、乙按条件插入站队，有 3A22种，故共有 A44·(3A22)＝144(种) 站法．
(2)组合数 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有不同组 合的个数 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数， 记作 Cnm .
3．排列数、组合数的公式及性质
公式
排列数公式 Anm＝ n(n－1)(n－2)
…(n－m＋1)
组合数公式 Cnm＝AAmnmm＝
=
=
性质 备注
(1)Ann＝ n！ ； (2)0！＝ 1
第十章 计数原理、概率、随机变量及分布列 第二节 排列与组合
1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数 公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.
知识
梳理诊断
1．排列与排列数
(1)排列
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素， 按照一定的
顺序排成一列
，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的
2020高中数学第十章 2《排列与组合》复习学案+检测
2020高中数学复习学案第10章计数原理、概率、随机变量及其分布2 排列与组合【要点梳理·夯实知识基础】1．排列、组合的定义2.排列数、组合数的定义、公式、性质【学练结合】[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．().()(4)k C k n＝n C k－1n－1答案：(1)×(2)√(3)×(4)√[小题查验]1．从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A．6B．8C ．12D ．16解析：C [由于lg a －lg b ＝lg a b ，从3,5,7,11中取出两个不同的数分别赋值给a 和b 共有A 24＝12种，所以得到不同的值有12个．]2．(教材改编)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A ．144B ．120C ．72D ．24解析：D [“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A 34＝4×3×2＝24.]3．有5名学生站成一排照相，其中甲、乙两人必须站在一起的排法有( )A ．A 23·A 22种B ．3A 22种C ．2A 33种D ．A 44·A 22种 解析：D [根据题意，分2步分析：①由于甲、乙两人必须站在一起，将甲、乙两人看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有A 22种情况；②将这个整体与其余3人全排列，有A 44种情况，则甲、乙两人必须站在一起的排法共有A 22A 44种排法，故选D.]4．安排4名机关干部去3个行政村做村官，且每人只去一个行政村，要求每个行政村至少有一名机关干部到位做村官，则不同的安排方式共有( )A ．36种B ．24种C ．34种D ．43种解析：A [由题意，先把四名机关干部分为三组，共C 24＝6(种)分法，再分配到三个行政村官，所以共有C 24A 33＝6×6＝36(种)，故选A.]5．7位身高各不相同的同学排成一排，要求正中间的最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，这样的排法共有 ________ 种．解析：最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边，有C 36种，则剩下三位同学的位置已定．故共有C 36＝20种．答案：20【考点探究·突破重点难点】考点一排列问题(师生共研)[典例](1)将A，B，C，D，E这5名同学从左至右排成一排，则A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学的排法有()A．18种B．20种C．21种D．22种(2)四位男演员与五位女演员排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两端的排法种数为()A．A55A46－2A44A45B．A55A46－A44A45C．A55A45－2A44A44D．A55A45－A44A44[解析](1)B(2)A[(1)当A，C之间为B时，将3人看成一个整体与剩余2人进行排列，共有A22·A33＝12(种)排法；当A，C之间不是B时，先在A，C之间插入D，E中的任意一个，然后B在A的另一侧，再将这4人看成一个整体，与剩余1人进行排列，共有C12·A22·A22＝8(种)排法．所以共有20种不同的排法．(2)四位男演员互不相邻可用插空法，有A55A46种排法，其中女演员甲站在两端的排法有2A44A45种，因此所求排法种数为A55A46－2A44A45.故选A.] 【解题反思】求解有限制条件排列问题的主要方法[提醒](1)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及相邻元素的排列数．(2)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确．[跟踪训练](1)5名学生进行知识竞赛．笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”．根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是()A．54 B．72C．78 D．96(2)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为()A．12 B．24C．36 D．48解析：(1)C(2)D[(1)由题得，甲不是第一，乙不是最后．先排乙：乙得第一，共有A44＝24(种)可能；乙没得第一，有3种可能，再排甲也有3种可能，余下的3人有A33＝6(种)可能，共有6×3×3＝54(种)可能．所以共有24＋54＝78(种)可能．(2)甲、乙分得的电影票连号有4×2＝8(种)分法，其余3人有A33种分法，所以共有8A33＝48(种)分法，故选D.]考点二组合问题(子母变式)[母题]要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．[解](1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分类加法计数原理知总选法数为C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771(种)．法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解．从12人中任选5人有C512种选法，其中全是男代表的选法有C57种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C512－C57＝771(种)．(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，共有C310＝120(种)选法．(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C510种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C512－C510＝540(种)．[子题]在本例条件下，求至多有2名女生入选的选法种数．解：至多有2名女生入选包括以下几种情况：0女5男，1女4男，2女3男，由分类加法计数原理知总选法数为C57＋C15C47＋C25C37＝546(种)．【解题方法总结】组合问题的常见类型与处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．[跟踪训练](1)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生选考方法种数共有()A．6B．12C．18 D．24(2)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：(1)C(2)D[(1)法一：所有选考方法可分两类：第一类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选一科有C13种不同的选法，第二步，考生从政治、历史、地理三科中任选二科有C23种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有C13C23种不同的选法；第二类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选二科有C23种不同的选法，第二步，从政治、历史、地理三科中任选一科有C13种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有C23C13种不同的选法．根据分类加法计数原理，考生共有C13C23＋C23C13＝18(种)不同的选考方法，故选C.法二：依题意，考生共有C36－2C33＝18(种)不同的选考方法，故选C.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴不同的取法共有C45＋C44＋C25C24＝66(种)．]考点三分组分配问题(多维探究)[命题角度1]整体均分问题1．教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．解析：先把6个毕业生平均分成3组，有C26C24C22A33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C26C24C22A33·A33＝90种分派方法．答案：90[命题角度2]部分均分问题2．今年，我校迎来了师大数学系5名实习教师，若将这5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有() A．180种B．120种C．90种D．60种解析：C[将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人．另两组都是2人，有C15·C24A22＝15(种)方法．再将3组分到3个班，共有15·A33＝90(种)不同的分配方案．故选C.] [命题角度3]不等分问题3．若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．解析：将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种取法．根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有A33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．答案：360【解题规律总结】解决分组分配问题的策略(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n(n为均分的组数)，避免重复计数．(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．2020高中数学复习学案第10章计数原理、概率、随机变量及其分布2 排列与组合检测一、选择题1．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(C)A．85 B．56C．49 D．28解析：分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选，甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为C12C27＋C22C17＝49.2．4位男生和2位女生排成一排，男生有且只有2位相邻，则不同排法的种数是(C)A．72 B．96C．144 D．240解析：先在4位男生中选出2位，易知他们是可以交换位置的，则共有A24种选法，然后再将2位女生全排列，共有A22种排法，最后将3组男生插空全排列，共有A33种排法．综上所述，共有A24A22A33＝144种不同的排法．故选C.3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(D) A．144 B．120C．72 D．24解析：“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.4．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐在最北面的椅子上，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有(B)A．60种B．48种C．30种D．24种解析：由题知，可先将B，C二人看作一个整体，再与剩余人进行排列，则不同的座次有A22A44＝48种．5．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有(B)A．900种B．600种C．300种D．150种解析：依题意，就甲是否去支教进行分类计数：第一类，甲去支教，则乙不去支教，且丙也去支教，则满足题意的选派方案有C25·A44＝240(种)；第二类，甲不去支教，且丙也不去支教，则满足题意的选派方案有A46＝360(种)，因此，满足题意的选派方案共有240＋360＝600(种)，故选B.6．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，则甲、乙在同一路口的分配方案共有(C)A．18种B．24种C．36种D．72种解析：不同的分配方案可分为以下两种情况：①甲、乙两人在一个路口，其余三人分配在另外的两个路口，其不同的分配方案有C 23A 33＝18(种)；②甲、乙所在路口分配三人，另外两个路口各分配一个人，其不同的分配方案有C 13A 33＝18(种)．由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18＋18＝36(种)．7．我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”飞机准备着舰，规定乙机不能最先着舰，且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻)，那么不同的着舰方法种数为( C )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：根据题意，分2种情况讨论：①丙机最先着舰，此时只需将剩下的4架飞机全排列，有A 44＝24种情况，即此时有24种不同的着舰方法；②丙机不最先着舰，此时需要在除甲、乙、丙之外的2架飞机中任选1架，作为最先着舰的飞机，将剩下的4架飞机全排列，丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，则此时有12×C 12A 44＝24种情况，即此时有24种不同的着舰方法．则一共有24＋24＝48种不同的着舰方法．故选C.二、填空题8．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，若甲、乙分得的电影票连号，则共有48种不同的分法．(用数字作答)解析：电影票号码相邻只有4种情况，则甲、乙2人在这4种情况中选一种，共C 14种选法，2张票分给甲、乙，共有A 22种分法，其余3张票分给其他3个人，共有A 33种分法，根据分步乘法计数原理，可得共有C 14A 22A 33＝48种分法．9．现有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，有1_260种不同的方法．(用数字作答)解析：第一步，从9个位置中选出2个位置，分给相同的红球，有C 29种选法；第二步，从剩余的7个位置中选出3个位置，分给相同的黄球，有C 37种选法；第三步，剩下的4个位置全部分给4个白球，有1种选法．根据分步乘法计数原理可得，排列方法共有C 29C 37＝1 260(种)．10．从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成1_260个没有重复数字的四位数．(用数字作答)解析：若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为C 25C 23A 44；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为C 25C 13C 13A 33.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为C 25C 23A 44＋C 25C 13C 13A 33＝720＋540＝1 260.11．某班主任准备请2018届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有1_080种．(用数字作答)解析：若甲、乙同时参加，有2C 26A 22A 22＝120种，若甲、乙有一人参加，有C 12C 36A 44＝960种，从而不同的发言顺序有1 080种．12．福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有( B )A ．90种B ．180种C ．270种D ．360种解析：根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C 16＝6种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C 15＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有C 24C 22A 22×A 22＝6种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案，故选B.13．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为( D )A ．72B ．120C ．192D ．240解析：将数字“124 467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数．(1)若末位数字为2，因为其他位数上含有2个4，所以有5×4×3×2×12＝60种情况；(2)若末位数字为6，同理有5×4×3×2×12＝60种情况；(3)若末位数字为4，因为其他位数上只含有1个4，所以共有5×4×3×2×1＝120种情况．综上，共有60＋60＋120＝240种情况．14．某小区一号楼共有7层，每层只有1家住户，已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，则在同一天这7家住户有无快递的可能情况共有12种．解析：分三类：(1)同一天2家有快递：可能是2层和5层、3层和5层、3层和6层，共3种情况；(2)同一天3家有快递：考虑将有快递的3家插入没有快递的4家形成的空位中，有C 35种插入法，但需减去1层、3层与7层有快递，1层、5层与7层有快递这两种情况，所以有C 35－2＝8种情况；(3)同一天4家有快递：只有1层、3层、5层、7层有快递这一种情况．根据分类加法计数原理可知，同一天7家住户有无快递的可能情况共有3＋8＋1＝12种．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有( B )A ．18种B ．24种C ．48种D ．36种解析：由题意，有两类：第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个，有C 23＝3种，然后分别从选择的班级中再选择一个学生，有C 12C 12＝4种，故有3×4＝12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，有C 13＝3种，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人，有C 12C 12＝4种，这时共有3×4＝12种，根据分类计数原理得，共有12＋12＝24种不同的乘车方式，故选B.16．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD (边长为3个单位)的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i (i ＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有( C )A ．22种B ．24种C ．25种D ．36种解析：由题意知正方形ABCD (边长为3个单位)的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处表示三次骰子的点数之和是12，在点数中三个数字能够使得和为12的有1,5,6；2,4,6；3,4,5；3,3,6；5,5,2；4,4,4，共有6种组合，前三种组合1,5,6；2,4,6；3,4,5各可以排出A 33＝6种结果，3,3,6和5,5,2各可以排出A 33A 22＝3种结果，4,4,4只可以排出1种结果．根据分类计数原理知共有3×6＋2×3＋1＝25种结果，故选C.。
高考数学一轮复习 第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布 第2节 排列与组合课件 理
(5)方法一：甲在左端的站法有 A55种，乙在右端的站法有 A55种，且 甲在左端而乙在右端的站法有 A44种，所以共有 A66－2A55＋A44＝504 种．
方法二：以元素甲分为两类：①甲在右端有 A55种；②甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端有 A14·A14·A44种． 据分类加法计数原理，故共有 A55＋A14·A14·A44＝504 种站法．
法二：先将所在的泳道编号是 3 个连续数字的 3 名运动员全排列， 有 A33种排法，然后把他们捆绑在一起当作一名运动员，再与剩余 5 名 运动员全排列，有 A66种排法，故共有 A33A66＝4 320 种安排方式．
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第十六页，共三十四页。
考点二 组合问题
(1)从一架钢琴挑出的 10 个音键中，分别选择 3 个，4 个， 5 个，…，10 个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出 不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．
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第四页，共三十四页。
公式
性质 备注
排列数公式
组合数公式 Cnm＝AAmnmm＝
Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝n－n！m！
nn－1n－m2！…n－m＋1＝ n！
m！n－m！
Ann＝n×(n－1)×(n－
C0n＝1；
2)×…×3×2×1＝n！；
Cnm＝Cnn－m；
答案：7 200
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第九页，共三十四页。
5．将 2 名女教师，4 名男教师分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两 所学校轮岗支教，每个小组由 1 名女教师和 2 名男教师组成，则不同的安 排方案共有________种．
2020高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第2讲排列与组合课件理
考点突破互动探究
考点1 排列问题——自主练透
例 1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总 数．
(1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻； (6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人； (7)全体排成一排，甲必须排在乙前面； (8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端，
所以男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 31＋34＋21＝86.
(2)∵丙没有入选，∴可把丙去掉，总人数变为 9 个．∵甲、乙至少有 1 人入 选，∴可分为两类：一类是甲、乙两人只选一人的选法有 C12·C27＝42(种)，另一类 是甲、乙都入选的选法有 C22·C17＝7(种)，根据分类加法计数原理知共有 42＋7＝ 49(种)．
排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法， 在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或 有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法 是解决有限制条件的排列问题的常用方法．
[解析] (1)从 7 个人中选 5 个人来排，是排列， 有 A57 ＝7×6×5×4×3＝2520(种)． (2)分两步完成，先选 3 人排在前排，有 A37种方法，余下 4 人排在后排，有 A44种方法，故共有 A37·A44＝5 040(种)．事实上，本小题即为 7 人排成一排的全排列， 无任何限制条件．
5．(2019·上饶模拟)将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4 人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ____9_6______.
高考数学一轮总复习 第十章 排列与组合
组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
(1)从中任取4张，共有________种不同取法；
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
• 拓直展接提法高 求把解符排合列条应件用的问排题列的数主直要接方列法式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
故共有 C16C25C33＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题． 由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑 再分配，共有 C16C25C33A33＝360(种)． (3)无序均匀分组问题． 先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不 妨记六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一步取了 AB，第二步 取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，
拓展提高 组合问题常有以下两类题型：
法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人， 拓展提高 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还
是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；
正难则有反、A等价26种转化排的方法法 ，其他有 A55种排法，共有 A26A55＝3 600(种)．
• 思路点拨 要注意分析特殊元素是“含”、“不含”、“至少”、 “至多”．
[解] (1)共有 C318＝816(种)． (2)共有 C518＝8 568(种)． (3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C12C418＋C318＝6 936(种)． (4)(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是 外科医生的选法种数，得 C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．
(新课改省份专用)2020版高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布列第二节二项式定理课件
C．40
D．80
解析：(2x－y)6 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr6(2x)6－r(－y)r，
当 r＝2 时，T3＝240x4y2，当 r＝3 时，T4＝－160x3y3，故 x4y3
的系数为 240－160＝80，故选 D.
答案：D
4.[考法三]在x＋1x－16 的展开式中，含 x5 项的系数为(
考法一 形如(a＋b)n 的展开式问题
[例 1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)x2＋2x5 的展开式中 x4 的系
数为
()
A．10
B．20
C．40 D．80
[解析] x2＋2x5 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr5·(x2)5－r·2xr ＝Cr5·2r·x10－3r，令 10－3r＝4，得 r＝2.故展开式中 x4 的系数为 C52·22＝40.
故选 B.
答案：B
突破点二 二项式系数性质及应用
抓牢双基·自学回扣
[基本知识]
二项式系数的性质
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．
() (2)在(1－x)9 的展开式中，系数最大的项是第 5 项和第 6 项．
()
(3)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋
考法二 形如(a＋b)n(c＋d)m 的展开式问题
[例 2] (1)(2018·广东一模)x＋1x(1＋2x)5 的展开式中，
x3 的系数为
()
A．120 B．160 C．100 D．80
[解析] x＋1x(1＋2x)5＝x(1＋2x)5＋1x(1＋2x)5，∵x(1＋2x)5 的展开式中含 x3 的项为 x·C52(2x)2＝40x3，1x(1＋2x)5 的展开式中含
高考数学一轮总复习教学课件第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布第2节 排列与组合
法二(间接法) 甲、乙、丙、丁等 6 人全排列有 种排法,其中甲在最
左边时,有 种排法,乙在最右边时,有 种排法,其中都包含了甲在最
左边且乙在最右边的情形,有 种排法,故共有 -2 + =504 种排法.
(9)排成前后两排,前排2人,后排4人.
-
√
-
解析:(1)对于
!
A,因为 =
,所以
(-)!
A 不正确;
+
对于 B,(n+2)(n+1)
=(n+2)(n+1)n·(n-1)…(n-m+1)=
+ ,
故 B 正确;对于 C, + + +…+
= + + + +…+
解:(9)分两步完成,先选 2 人站前排,有 种排法,余下 4 人站后排,
有 种排法,共有 =720 种排法.
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法
直接利用排列数公式列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,
同时注意捆绑元素的内部排列
解:(6)先排甲、乙、丙有 种不同的排列方法,然后在甲、乙、丙
3 人排好形成的 4 个空隙中,选择前 3 个或后 3 个排其他 3 人,各有
种排法,因此满足条件的排列方法有 2 =72 种.
(7)6人排好后,从左向右看甲、乙、丙3人的顺序一定;
解:(7)由于甲、乙、丙3人的顺序一定,则满足条件的排法共有
D 正确.故选 BD.
高三数学一轮总复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 10.2 排列与组合课件.ppt
(3)排列数公式
n！
Amn ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝□4 _n_－__m__！__。
Ann＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝□5 __n_！___，规定0！＝1.
5
2．组合与组合数
(1)组合的定义：一般地，从n个 □6 ___不__同___的元素中取m(m≤n)个元素合成一
(1)选其中5人排成一排；
解析：(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A57＝2 520(种)排法。
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
解析：(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5 040(种)排法。
(3)全体站成一排，男、女各站在一起；
解析：(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A
123 312 231 A.6种 B．12种 C．24种 D．48种
解析：如图，不同填法有：C13·C12·C12＝12(种)。 C13 C12 C11 C12 C11 C11 C11 C11 C11
答案：B
12
4．现有甲、乙、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、 4、5、6的六张卡片，现从甲、乙、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的 标号恰好成等差数列的取法数为( )
9
1．设直线的方程是Ax＋By＝0，从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数作
为A、B的值，则所得不同直线的条数是( )
A．20
B．19
C．18
D．16
解析：重合的有x＋2y＝0与2x＋4y＝0；2x＋y＝0与4x＋2y＝0，∴有A
2 5
－2＝
18(条)。
答案：C
10
2．某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至 多选一门。学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是 ()